几种常见数列求和方法的归纳

几种常见数列求和方法的归纳殊方法：倒序相加）

例：(1 )求5］产2+4+6+ (2)

(2)求=x+ +. + …+ (x'

)

2.倒序相加：适用于：数列距离首尾项距离相同的两项相加和相同。

例:（1小证：等差数列「｝的前n项和S n 2n(n 1)d

2

(2)sin21 sin22'.' sin 23、川川sin2

89：

3.分组求和法：把数列的每一项分成若干项, 例：（1）求和：（1）S n 111 111 使其转化为等差或等比数列，再求

和。

11 1

n个

10n1 9n 10

81

(2)S n (X 丄)2 (X2

X

n

(X

丄)2

n /

X

1

时,

S n

1 时,S n

/ 2n 2n 2

(x 1)(X 1)

2n / 2

2

X (X 1)

4n

1.公式法：即直接用等差、(1)等差数列的求和公式: 等比数列的求和公式求和。主要适用于等差，比数列求

和。n（a1 a n）

2

S n

n（r

2

1）

d （等差数列推导用到特

(2)等比数列的求和公式S n na1 (q 1) 印(1 q n)

(3)

n

k2122232

k 1 HI

1 q(q

n(n 1)(2n

1)

1)

（切记：公比含字母时一定要讨论）

（不作要求, 但要了解）

4 ?裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。裂项相消）

1 11 1 1 1 1 、

——( ) n(n 1) n n 1 (2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1

1 1 1 1

( )

n(n 2) 2 n n 2

(2 n)2 (2n 1)(2 n 1)

1

(2n 1)(2 n 1)

1 1

、2n 1 ,2n 3 2n 1 、2n 3

2

例：（1）求和:

1 ___

2 4，

3 5

1

n(n

(2)求和S n 2242

1 3 3 5

(2n)2

(2n 1)(2 n 1)

S n

2n(n 1)

2n 1

5 ?错位相减法：比如a n等差等比，求@4 a2b2以等比数列的通项求和）

例:求和：a,2a2,3a3,川,na n,|||

当a 1时，S n

anS的和?（适用于：等差数列乘

1 2 3 …n

当a 1时，S n na n 2 (n 1)a n 1 a

(1 a)2

（分式求和常用

常见的拆项公式:

2 ，

(1)

6.合并求和法：如求1002 992 982 972

2

n + n * 练：已知数列｛a n ｝的前n 项和S=—, n € N.

(1) 求数列｛a n ｝的通项公式；

a n = n .

(2) 设 b n 2an ( 1)n a n ，求数列｛ b n ｝的前 2n 项和.

Tm = 22"+

1

+ n — 2

7.分类讨论求和

(1 )分奇偶项：奇数项是一个数列，偶数项又是一数列。

(分组求和法的变通) 例：已知数列｛a n ｝的通项a n

6n 5 (n 为奇数) n

，求其前n 项和S n .

2

(n 为偶数)

3n 2 n 2 4(2n 1

1) (n 为奇数) S n 2 3 n(3n 5) 4(2n 1)

(n 为偶数) 2 3

(2)分正负：数列中一些项为正，一些项为负。

求 d , a n , (2)若 d 0 ,求 a a 2 a 3 |卄 a n 。

d 4,a n 4n 6 或 d 1,a n n 11

2 2

2 1 的和。 5050

例：已知公差为d 的等差数列｛a n ｝，已知a 1

10，且印,2a 2

2 , 5a 3成等比数列,

(21 n)n 「

n 11 2

(n 10)( n 11) 「S n

n 11

2