数列求和的几种方法的课件
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数列求和PPT课件
1 2n-1
-
1 2n+1
)]
=
3n 2n+1
.
11.已知 {an} 是 首 项 为 a1, 公 比 为 q 的 等 比 数 列. (1)求和: a1C20-a2C12+a3C22, a1C03-a2C13+a3C23-a4C33 ; (2)由(1)的结果归纳概 括出关于正整数 n 的一个结论, 并加以证明; (3)设q≠1, Sn是{an} 的前 n 项和, 求 S1Cn0-S2C1n+S3C2n-S4C3n+ … +(-1)nSn+1Cnn.
n+1 项
∵lgx+lgy=a, ∴lg(xy)=a.
∴Sn=
n(n+1) 2
lg(xy)=
n(n2+1)a.
注: 本题亦可用对数的运算性质求解:
∵Sn=lg[xn+(n-1)+…+3+2+1y1+2+3+…+(n-1)+n],
∴Sn=
n(n+1) 2
lg(xy)=
n(n2+1)a.
7.求证: Cn0+3Cn1+5Cn2+…+(2n+1)Cnn=(n+1)2n.
-nn2+,1 2
,
n 为偶数时, n 为奇数时.
将数列的每一项拆(裂开)成两项之差, 使得正负项能相互
抵消, 剩下首尾若干项.
例
求和
Sn=
1×1 2+
1 2×3
+…+
1 n(n+1)
.
n n+1
数列求和方法总结PPT课件
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比 数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、 等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并 即可.
-
6
例2：求数列的前n项和：1 1, 1 4, 1 7, , 1 3n 2，…
a a2
a n1
-
7
练习 : 求数列1 1 2
,3 1 4
,5
1 8
-
1
本节概要 数列求和的常用方法
-
2
等差数列前 n 项和公式：
Sn
n(a1 2
an )
na1
n(n 1) 2
d
．
等比数列前 n
项和公式：
Sn
na1(q a1(1
1) qn)
1 q
a1 anq 1 q
(q
1)
．
自然数方幂和公式：1 2 3 n 1 n(n 1) 2
12 22 32 n2 1 n(n 1)(2n 1) 6
2n 2n
…………………………………①
1 2
Sn
2 22
4 23
6 24
2n 2 n1
………………………………②
（设制错位）
①－②得(1
1 2
)S
n
2 2
2 22
2 23
2 24
2 2n
2n 2 n 1
2 1 2n 2n1 2n1
∴
Sn
4
n2 2 n 1
-
17
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的 方法，就是将一个数列倒过来排列，再把它与原 数列相加。
-
18
例
5.设
f
(x)
4 x , 则f 4x 2
数列求和的常用方法完整版课件
解 设等比数列{an}的公比为q(q>1)，
则由 a2＋a4＝90，a3＝27，得aa11qq＋ 2＝a21q7，3＝90，
解得aq1＝＝33，
a1＝243， 或q＝13
(舍去)，
故an＝3×3n－1＝3n. 因为 bn＋1＝bnb＋n 1(n∈N*)， 所以bn1＋1＝b1n＋1，
又 b1＝1，所以b1n是首项为 1，公差为 1 的等差数列. 于是，b1n＝1＋(n－1)×1＝n，故 bn＝1n.
√A.1 011
B.1 008
C.1 009
D.1 010
解析 由an＋2Sn－1＝n得an＋1＋2Sn＝n＋1， 两式相减得an＋1－an＋2an＝1⇒an＋1＋an＝1⇒S2 021＝a1＋(a2＋a3)＋… ＋(a2 018＋a2 019)＋(a2 020＋a2 021)＝1 010×1＋1＝1 011.
②
②－①得2an＋1＝2(n2＋2n＋2)an＋1－(n＋1)2an＋2－(n＋1)2an，
所以2(n＋1)2an＋1＝(n＋1)2an＋2＋(n＋1)2an，
化简得2an＋1＝an＋2＋an，
所以{an}是等差数列.
由2S1＝(1＋1)2a1－a2可得a2＝4，
所以公差d＝a2－a1＝4－2＝2，
故an＝2＋2(n－1)＝2n.
由 b1＝a1，nbn＋1＝anbn 以及 an＝2n 可知，b1＝2，bbn＋n 1＝2，所以数列{bn} 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列， 故bn＝2×2n－1＝2n.
(2)若数列{cn}满足cn＝an＋bn(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Tn.
＝2n＋1－2＋n－2 1－n
＝2n＋1－n2－52. ∴Tn＝22nn＋＋11－＋2n2n－－252，，nn为为奇偶数数，.
数列求和的常用方法总结归纳PPT
等比数列）的数列，可采用错位相减的方法进行求和.
例6：(1)已知数列{an}的首项a1 2，an 3an1 （2 n 2）,
bn log3(an 1),cn anbn n. ①证明：{an 1}是等比数列； ②求数列{cn }的前n项和S n .
Sn
3 4
(1 2
n
1 )3n1 4
(2)已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2 5x 6 0的根.
(2)求和Sn
1
(1
1) 2
(1
1 2
1) 4
(1
1 2
1 4
1 2n1 ).
Sn
1 2n1
2n 2
三、并项求和法： 若数列的通项公式中含有形如(1)n，或通项公式
需分奇偶讨论的数列，可采用并项的方法进行求和.
例3：(1)设Sn是数列{an}的前n项和，已知 a1 1,S n 2 2an1. ①求数列{an}的通项公式；
4x 4x
2
, 令bn
g
(
an ), 2021
求数列{bn
}的前2020项和T2020
.
T2020 1010
五 、 裂 项 相 消 法 ： 若通项项公式为分式，可 待定系数法 对定系数法
对分式进行裂项 .
例5：(1)设数列{an}满足a1 3a2 (2n 1)an 2n.
2
①求数列{an}的通项公式；
D.10200
四 、 倒 序 相 加 法 ：若数列首末两端等“距离”的两项和相等(通项公式常与
函数有关)，可采用倒序相加的方法进行求和.
例4：(1)已知函数 y f (x)满足f (x) f (1 x) 1,若数列{an}满足
例6：(1)已知数列{an}的首项a1 2，an 3an1 （2 n 2）,
bn log3(an 1),cn anbn n. ①证明：{an 1}是等比数列； ②求数列{cn }的前n项和S n .
Sn
3 4
(1 2
n
1 )3n1 4
(2)已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2 5x 6 0的根.
(2)求和Sn
1
(1
1) 2
(1
1 2
1) 4
(1
1 2
1 4
1 2n1 ).
Sn
1 2n1
2n 2
三、并项求和法： 若数列的通项公式中含有形如(1)n，或通项公式
需分奇偶讨论的数列，可采用并项的方法进行求和.
例3：(1)设Sn是数列{an}的前n项和，已知 a1 1,S n 2 2an1. ①求数列{an}的通项公式；
4x 4x
2
, 令bn
g
(
an ), 2021
求数列{bn
}的前2020项和T2020
.
T2020 1010
五 、 裂 项 相 消 法 ： 若通项项公式为分式，可 待定系数法 对定系数法
对分式进行裂项 .
例5：(1)设数列{an}满足a1 3a2 (2n 1)an 2n.
2
①求数列{an}的通项公式；
D.10200
四 、 倒 序 相 加 法 ：若数列首末两端等“距离”的两项和相等(通项公式常与
函数有关)，可采用倒序相加的方法进行求和.
例4：(1)已知函数 y f (x)满足f (x) f (1 x) 1,若数列{an}满足
数列求和ppt课件
1
20
(2)设bn=
,数列{bn}的前n项和为Sn,若Sm= ,求m的值.
·+1
41
1
1
1
1
1
【解析】(2)由(1)知,bn=
=
= ·(
),
·+1 (2−1)(2+1) 2 2−1 2+1
1
1
1 1
1
1
1
1
所以Sn= [(1- )+( - )+…+(
)]= (1)=
.
2
3
3
D.
2
【解析】选C.S2 023=a1+(a2+a3+a4)+(a5+a6+a7)+…+(a2 021+a2 022+a2 023)=
1+cos
2π
5π
2 018π
2 021π
2π
5π
+cos +…+cos
+cos
=1+337×(cos +cos )=1.
3
3
3
3
3
3
)
2 , 当为奇数时,
和.形如an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解.
考点二裂项相消法求和
模型一
1
b n=
({an}为等差数列)型
+1
1
[例1](1)数列{an}中,an=
,则数列{an}的前2
(+1)
024项和S2 024=
1
1 1
【解析】由题意得,an=
= - ,
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(2)设bn=
,数列{bn}的前n项和为Sn,若Sm= ,求m的值.
·+1
41
1
1
1
1
1
【解析】(2)由(1)知,bn=
=
= ·(
),
·+1 (2−1)(2+1) 2 2−1 2+1
1
1
1 1
1
1
1
1
所以Sn= [(1- )+( - )+…+(
)]= (1)=
.
2
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D.
2
【解析】选C.S2 023=a1+(a2+a3+a4)+(a5+a6+a7)+…+(a2 021+a2 022+a2 023)=
1+cos
2π
5π
2 018π
2 021π
2π
5π
+cos +…+cos
+cos
=1+337×(cos +cos )=1.
3
3
3
3
3
3
)
2 , 当为奇数时,
和.形如an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解.
考点二裂项相消法求和
模型一
1
b n=
({an}为等差数列)型
+1
1
[例1](1)数列{an}中,an=
,则数列{an}的前2
(+1)
024项和S2 024=
1
1 1
【解析】由题意得,an=
= - ,
数列求和各种方法总结归纳最新版本课件
PPT学习交流
9
[冲关锦囊] 分组求和常见类型及方法
(1)an＝kn＋b，利用等差数列前n项和公式直接求解； (2)an＝a·qn－1，利用等比数列前n项和公式直接求解； (3)an＝bn±cn，数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，
采用分组求和法求{an}的前n项和.
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[精析考题] [例2] (2011·辽宁高考)已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{2an－n 1}的前n项和．
【裂项求和法】{an}的前 n 项和为 Sn，若 an＝nn1＋1，则 Sn=
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5
数列求和的方法
(1)一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通 项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备 某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．
(2)解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路： ①转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比 数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来 完成． ②不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项 相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．
【分组求和法】数列{(－1)n·n}的前n项和Sn=？
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3
3．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项
之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求.
【错位相减法】设 {an}的前n项和为Sn，an＝n·2n，则Sn＝
解析：∵Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…
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6
[例1] (2011·山东高考)等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表
一轮复习-数列求和专题 ppt课件
∴Sn=
1（121
11 +
33
-
1 +……+
5
= 1 （1 - 1 ）= n
2
2n+1
2n+1
1 -
2n-1
1 )
2n+1
评：裂项相消法的关键就是将数列的每
一项拆成二项或多项使数列中的项出现
有规律的抵消项，进而达到求和的目的。
ppt课件
20
变式探究：
求数列
1111 12 + 2 , 22 + 4 , 32 + 6 , 42 + 8
3 anan+1
3
11 1
= (6n - 5)[6(n +1) - 5] = 2 (6n - 5 - 6n +1).
故Tn=b1+b2+…+bn
=
12〔(1 -
11 )+(
77
-
1
1
)+•••+(
13
6n - 5
-
1 )〕
6n + 1
1
1
= (1 -
)
2 6n + 1
因此，使得
1 (1 -
1
m )<
a1 anq 1 q
(q
1)
2
④ 12 22 32 n2 1 n(n 1)(2n 1)
6
⑤
13 23 33
n3
n(n 1) 2
2
ppt课件
3
⑥ 2+4+6+…+2n= n2+n
数列求和专题PPT优秀课件
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
一、分组求和法
• 方法点拨：有一类数列，既不是等差数列， 也不是等比数列，若将这类数列适当拆开， 可分为几个等差、等比或常见的数列，然 后分别求和，再将其合并即可。
一、分组求和法
练习1：求数列 9,99,999,… … ， 10n1 的前n项和 S n
练习2：求{ 1
n
1 }的前n项和
n 1
练习3：求{ 1 }的前n项和 S
n(n 2)
n
；
已知数列{ a n } 的通项公式为 an n12n
变式：(5) 求数列{ a n } 的前n项和 S n
。
三、错位相减法
• 方法点拨：这种方法是在推导等比数列的 前n项和公式时所用的方法，这种方法主要
用于求数列{an bn }的前n项和，其中 { a n } 、 { b n } 分别是等差数列和等比数列。
三、错位相减法
练习4：已知数列 { b n } 的通项公式为 bn (1)n n 求 { b n } 的前n项和 S n
小结
• 1、掌握数列求和的常见方法： 公式法、分组求和法、裂项相消法、 错位相减法；
• 2、注意观察数列通项的特点，灵活选用 求和方法。
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
一、分组求和法
• 方法点拨：有一类数列，既不是等差数列， 也不是等比数列，若将这类数列适当拆开， 可分为几个等差、等比或常见的数列，然 后分别求和，再将其合并即可。
一、分组求和法
练习1：求数列 9,99,999,… … ， 10n1 的前n项和 S n
练习2：求{ 1
n
1 }的前n项和
n 1
练习3：求{ 1 }的前n项和 S
n(n 2)
n
；
已知数列{ a n } 的通项公式为 an n12n
变式：(5) 求数列{ a n } 的前n项和 S n
。
三、错位相减法
• 方法点拨：这种方法是在推导等比数列的 前n项和公式时所用的方法，这种方法主要
用于求数列{an bn }的前n项和，其中 { a n } 、 { b n } 分别是等差数列和等比数列。
三、错位相减法
练习4：已知数列 { b n } 的通项公式为 bn (1)n n 求 { b n } 的前n项和 S n
小结
• 1、掌握数列求和的常见方法： 公式法、分组求和法、裂项相消法、 错位相减法；
• 2、注意观察数列通项的特点，灵活选用 求和方法。
数列求和各种方法总结归纳 ppt课件
)
A．n2＋1－21n
B．n2＋2－21n
C．n2＋1－2n1－1
D．n2＋2－2n1－1
解析：因为an＝2n－1＋21n， 则Sn＝1＋22n－1n＋1211－－1221n＝n2＋1－21n.
2．(2011·北京东城二模)已知{an}是首项为19，公差为－2的等差 数列，Sn为{an}的前n项和．
[自主解答] (1)当a1＝3时，不合题意； 当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意； 当a1＝10时，不合题意． 因此a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比q＝3， 故an＝2·3n－1.
(2)因为bn＝an＋(－1)nln an＝2·3n－1＋(－1)nln(2·3n－1) ＝2·3n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，
解：Sn＝a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an① 2Sn＝2a1＋22a2＋23a3＋…＋2nan② ①－②得－Sn＝a1＋2(a2－a1)＋22(a3－a2)＋…＋2n－1(an－an－1)－2nan ＝1－(2＋22＋…＋2n－1)－2n(2－n)＝1－211－－22n－1－2n＋1＋n·2n ＝1＋2－2n－2n＋1＋n·2n＝(n－3)2n－3， ∴Sn＝3－(n－3)·2n.
数列求和的方法
(1)一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通 项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备 某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．
(2)解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路： ①转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比 数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来 完成． ②不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项 相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．
数列求和ppt课件
法，分别求和后相加减．
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的
一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等
比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项
和即可用错位相减法求解．
如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的
(4)倒序相加法：
两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数
an，n 为奇数，
2．若数列{cn}的通项公式为 cn＝
其中数列{an}，{bn}
bn，n 为偶数，
是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前 n 项和．
聚焦必备知识
11
突破核心命题
限时规范训练
1．(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10
＝40.
(1)求{an}的通项公式；
列的前n项和即可用倒序相加法求解．
(3)错位相减法：
聚焦必备知识
4
常用结论
1．一些常见的数列的前 n 项和
n（n＋1）
(1)1＋2＋3＋…＋n＝
；
2
(2)2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；
(3)1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2.
突破核心命题
限时规范训练
聚焦必备知识
5
突破核心命题
限时规范训练
裂项相消法:适用的通项公式如下
( + ) +
聚焦必备知识
16
突破核心命题
考 点 二 裂项相消法求和
1
(1)数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 an＝
，则 Sn=____
n（n＋1）
训练2
已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝n2.
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的
一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等
比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项
和即可用错位相减法求解．
如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的
(4)倒序相加法：
两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数
an，n 为奇数，
2．若数列{cn}的通项公式为 cn＝
其中数列{an}，{bn}
bn，n 为偶数，
是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前 n 项和．
聚焦必备知识
11
突破核心命题
限时规范训练
1．(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10
＝40.
(1)求{an}的通项公式；
列的前n项和即可用倒序相加法求解．
(3)错位相减法：
聚焦必备知识
4
常用结论
1．一些常见的数列的前 n 项和
n（n＋1）
(1)1＋2＋3＋…＋n＝
；
2
(2)2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；
(3)1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2.
突破核心命题
限时规范训练
聚焦必备知识
5
突破核心命题
限时规范训练
裂项相消法:适用的通项公式如下
( + ) +
聚焦必备知识
16
突破核心命题
考 点 二 裂项相消法求和
1
(1)数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 an＝
，则 Sn=____
n（n＋1）
训练2
已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝n2.