湖北省黄冈市2016-2017学年高二下学期期末考试理科数学试题(word版含答案)

2017学年黄冈市高二（下）期末试题数学（理科）2017年6月一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．）1. 设集合S ＝{x |x ＞－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝( ) A ．B ．(－∞，1]C ．2.已知复数201712i z i=-，则复数z 的虚部为（ ）A. 25-B. 15iC. 15D. 15-3. 随机变量X ～()1,4N ，若()20.2p x ≥=，则()01p x ≤≤为（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.64.若4个人报名参加3项体育比赛，每个人限报一项，则不同的报名方法的种数有（ ）A. 34A B. 34C C. 34 D. 435. 广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如下表（单位：万元）8万元时的销售额约为（ ）A. 90.8B. 72.4C. 98.2D. 111.26. 从1,2,3,4,5中不放回地依次取2个数，事件A 表示“第1次取到的是奇数”，事件B 表示“第2次取到的是奇数”，则(|)P B A =（ ）A.15 B.310 C.25 D.127.，()f x '是()f x 的导函数，则()f x '的图象大致是( ）8. 如图，长方形的四个顶点坐标为O (0,0),A (4,0),B (4,2),C (0,2),曲线y =B,现将质点随机投入长方形OABC 中，则质点落在图中阴影部分的概率为( ) A.23 B. 34 C. 45 D. 569.若,0x y >且2x y +>，则1y x +和1xy+的值满足（ ） A.1y x +和1x y +都大于2 B. 1y x +和1xy +都小于2 C.1y x +和1xy+中至少有一个小于2 D. 以上说法都不对 10.2013年8月,考古学家在湖北省随州市叶家山发现了大量的古墓,经过对生物体内碳14含量的测量,估计该古墓群应该形成于公元前850年左右的西周时期,已知碳14的“半衰期”为5730年(即含量大约经过5730年衰减为原来的一半)，由此可知，所测生物体内碳14的含量应最接近于（ ） A ．25﹪ B ． 50﹪C ． 70﹪D ．75﹪11. 对大于1的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：33313731523945171119⎧⎧⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎩⎪⎪⎩⎪⎩， ， ，....仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是2017，则m 的值为( )A. 44B. 45C. 46D.4712. 已知函数()()2ln 2f x a x x a x =+-+恰有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()1,-+∞B. ()1,0-C. ()2,0-D. ()2,1-- 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格。

某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是______________14. 已知函数()()2ln '1f x x x f =-⋅，则曲线()y f x =在1x =处的切线方程是_________ 15.设()()()()62601262111x a a x a x a x -=+++++++ ，则4a 等于______________ 16.先阅读下面的文字：“求的值时，采用了如下的方式：令x =，则有x =x =2（负值舍去）”。

那么，可用类比的方法，求出12122+++⋅⋅⋅的值是 ．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）已知定义在R⑴求a b ，的值，并判断函数()f x 在定义域中的单调性（不用证明）；⑵若对任意的t R ∈，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围．18. （本小题满分12分）为了增强环保意识，某社团从男生中随机抽取了60人，从女生中随机抽取了50人参加环保知识测试，统计数据如下表所示：（2）为参加市举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，现在环保测试优秀的同学中选3人参加预选赛，已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率为32，若随机变量X 表示这3人中通过预选赛的人数，求X 的分布列与数学期望． 附:2K ＝2()()()()()n ad bc a b c d a c b d -++++19. （本小题满分12分）如图,某段铁路AB 长为80公里，BC AB ⊥,且10BC =公里，为将货物从A 地运往C 地,现在AB 上的距点B 为x 的点M 处修一公路至点C.已知铁路运费为每公里2元,公路运费为每公里4元.（1）将总运费y 表示为x 的函数. （2）如何选点M 才使总运费最小？20. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()211,n n a S n a n N +==∈（1）试求出1234,,,S S S S ，并猜想n S 的表达式； （2）用数学归纳法证明你的猜想，并求出n a 的表达式。

21.（本小题满分12分）设函数()(1)ln(1)f x x x x =-++． （1）求()f x 的极值；（2）当0a b >>时，试证明：(1)(1)baa b +<+．请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

22.(本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线C 的方程为2cos29ρθ=，点)6P π．以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系．（1）求直线OP 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线OP 与曲线C 交于A 、B 两点，求11||||PA PB +的值．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()||f x x a =-，不等式()2f x ≤的解集是{}|15x x ≤≤． （1）求实数a 的值；（2）若(2)(2)f x f x m ++≥对一切x R ∈恒成立，求m 的范围．黄冈市2017年春季高二期末试题数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：13.4514. 20x y --= 15. 135 16. 72部分题解析： 9. 【答案】C 【解析】假设1y x +和1xy+都不小于2. 因为x ＞0，y ＞0，所以1+x ≥2y ，且1+y ≥2x ，两式相加得1+x+1+y ≥2(x+y)， 即x+y ≤2，这与x+y ＞2相矛盾，因此1+xy 与1+yx 中至少有一个小于2.故选C. 10. 【答案】C【解析】依题意知，生物体内碳14含量P 与死亡年数t 的关系为：57301()2tP =，而生物体距发掘时有约2863年，故可得286357301()0.72P =≈,选C三、解答题：.17. 【答案】⑴1a b ==；⑵13⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，.【解析】⑴∵()f x 是定义在R 上的奇函数， ∴()1001b f a -==+，∴1b = ……………………1分∴212x x a a +=+ ， ……………………3分 即()2121x x a -=-对一切实数x 都成立．∴1a =，∴1a b ==． ……………………5分 ()f x 是R 上的减函数。

……………………6分⑵不等式()()22220f t t f t k -+-<等价于()()2222f t t f k t -<-．又()f x 是R 上的减函数，∴2222t t k t ->-． ……………………8分∴221132333k t t t ⎛⎫<-=-- ⎪⎝⎭对t R ∈恒成立， ……………………10分∴13k <-．即实数k 的取值范围是13⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，． ……………………12分18. 【答案】（1）有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关；（2）分布列见解析，【解析】（1……………………3分因为27.822 6.635K ≈> 2( 6.635)0.01P K >=所以有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关． ……………………6分 （2）X 的可能取值为0，1，2，3 ……………………7分 271)31()0(3===X P ， 92)31)(32()1(213===C X P所以X 的分布列为：……………………10分因为2~(3,)3X B ， 所以2()323E X np ==⨯= ……………………12分19. 【答案】（1（2）当在距离点B 里时的点M 处修筑公路至C 时总运费最省．【解析】（1）依题意，铁路AM 上的运费为()280x -,公路MC 上的运费为,则由A 到C ……………………6分（2……………………8分令'0y =,. ……………………10分,'0y ≤ ,'0y ≥ ；,y 取得最小值, 即当在距离点B M 处修筑公路至C 时总运费最省. ……………………12分20. 【答案】（1）21n nS n =+；（2）见解析. 【解析】（1）解： ()()()221112221n n n n n n n n n a S S n S n S S S S n n ---=-≥∴=-∴=≥- 11123443681,1,,,,3245a S a S S S =∴====== ` ……………………3分 猜想21n nS n =+……………………5分（2）证明：（1）当1n =时， 1211,111S ⨯==+等式成立。

假设当()1,n k k k N +=≥∈时，等式成立，即21k kS k =+。

当1n k =+时，()21111211k k k kkkS k aa S ak ++++=+⋅=+=+，∴()()122121212k k a k k k k k +=⋅=++++ ……………………8分 ()()()()()()()2211212121112211k k k k S k a k k k k k ++++∴=+⋅=+⋅==+++++1n k ∴=+时，等式也成立。

综上1）2）知，对于任意n N +∈， 21n nS n =+都成立。

……………………10分 又()()()122121k n a a k k n n +=∴=+++……………………12分21. 【答案】（1）()f x 极大值=(0)0f =；（2）证明见解析． 【解析】（1）函数()f x 定义域为(1,)-+∞，()[]'1ln(1)1ln(1)f x x x =-++=-+ ……………………2分当)0,1(-∈x 时，'()0f x >， (0,+),'()0,x f x ∈∞<时 ……………………4分 所以当0x =时，()f x 极大值=(0)0f =．函数()f x 无极小值。