第二章 误差分布与精度指标

E ( X ) f ( X ) XdX X
D( X ) E X E ( X ) f ( X )X E ( X ) dX DXX
2 2


§2-2
1 E ( x1 ) 2 E ( x2 ) E( X ) X E(x ) n n
第二章 误差分布与精度指标
本章主要内容
正态分布
偶然误差的分布特性
衡量精度的指标
精度、准确度与精确度
测量不确定度
§2-1
一、数学期望
离散型 连续型
随机变量的数字特征
E ( x) xi p i
i 1


E ( x)
二、方差
_
xf ( x)dx
D( x) E{[ x E( x)]2 }
1、在一定条件下的有限观测值中，其误差的绝 对值不会超过一定的界限； 2、绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现 的次数多； 3、绝对值相等的正负误差出现的次数大致相等； 4、当观测次数无限增多时，其算术平均值趋近 于零， n i [ ] i=1 Lim =0 即n Lim ——= n —— n n
~ i Li Li
L2 ... Ln
T
用向量表示：
n ,1
~ ~ L L1

~ L2
...
~ Ln

T
n ,1
L L1
n ,1
1
2
...
n
T
~ L L E( L) L
§2-3
偶然误差的规律性
二、偶然误差的规律特性
前面已经指出，就单个偶然误差而言，其大小或符号没有规律性， 即呈现出一种偶然性（或随机性）。但就其总体而言，却呈现出一 定的统计规律性。并且指出它是服从正态分布的随机变量。人们从 无数的测量实践中发现，在相同的观测条件下，大量偶然误差的分 布也确实表现出了一定的统计规律性。下面用一个实例来说明。 在相同的条件下，独立地观测了358个三角形的全部内角，由于观 测值带有偶然误差，故三内角观测值之和不等于其真值 180º 。各个 三角形内角和的真误差：

2 D ( x ) [ x E ( x )] pi i 离散型 i 1

连续型
D( x) [ x E ( x)]2 f ( x)dx

§2-1
三、协方差
随机变量的数字特征
xy {[ X E( X )][Y E(Y )]}
四、相关系数
xy x y
i 180 ( L1 L2 L3 )i

将计算的真误差按大小和符号列于下表：
§2-3
误差的 区间″
0.00-0.20
偶然误差的规律性
Δ 为 正 值
vi / n d
Δ 为 负 值
个数vi 频率vi/n
备注
vi / n d
个数
vi
频率 vi / n
0.20-0.40
，，
0.40-0.60 0.60-0.80 0.80-1.00
46 41 33 21 16 13 5 2 0 177
0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006 0.000 0.495
0.064 0.575 0.460 0.295 0.225 0.180 0.070 0.030 0.000
d
=0.02″
和
偶然误差的特性：


0
t2 exp 2 dt
§2-2 二、N 维正态分布
服从N维正态分布的随机向量 的概率密度函数是：
正态分布
X ( x1, x2 ,, xn )T
f (X ) D XX
1
1 2
2

n 2
1 T 1 exp X X D XX X X 2
t x
k
k
( x E ( x))2 f ( x)dx exp dx 2 2 2 k
k k
t2 2 P( k x k ) exp dt k 2 2 2 1
偶然误差的规律性
1.真值 任何一个被观测量，客观上总是存在着一个能代表其真正大小 ~ 的数值。这一数值就称为该观测量的真值。通常用 L 表示真值。 2.真误差 设 进 行 了 n 次 观 测 ， 各 观 测 值 为 L1 、 L2 、 … 、 Ln ， 真 值 ~ ~ ~ ，每一个观测值的真值与观测值之间必存在一个差数， 为 L 1 、 L2 Ln 称为真误差，即：

D( x ) E x E ( x ) f ( x )x E ( x ) dx
2 2


f ( x ) xdx

2
§2-2
正态分布
一维正态随机变量出现在给定区间 内的概率是：
( k , k )
1
k
P( k x k )
§2-2
一、一维正态分布
正态分布
( x )2 1 f( x) exp 2 2 2
x 来自百度文库
其中 和 是分布密度的两个参数。正态分布也称为高斯 分布。对一维随机变量服从参数为的正态分布，一般记为 x～N（ ）。


E( x )
正态分布
DXX E X E( X )X E( X )
2 x 1 x2 x1 x x n1

T

xx 2 x
2
1 2

x x
n 2
x1xn x2 xn 2 x n

§2-3
一、真值与真误差
1.00-1.20
1.20-1.40 1.40-1.60 1.60以上
45 40 33 23 17 13 6 4 0 181
0.126 0.112 0.092 0.064 0.047 0.036 0.017 0.011 0.000 0.505
0.063 0.560 0.460 0.320 0.235 0.180 0.085 0.055 0.000