江苏省扬州中学2015届高三8月开学考试 数学

扬大暑假夏令营高三数学试卷

一、填空题：（每小题5分，共14题，总分70分）

1．]2,0[,sin 3)(π∈=x x x f 的单调减区间为

2．若复数z=1+ai （i 是虚数单位）的模不大于2，则实数a 的取值范围是

3．若方程0102ln =-+x x 的解为0x ，则大于0x 的最小整数是

4．设A 、B 是非空集合，定义}|{B A x B A x x B A ?∈=?且． 已知{

}

22|x x y x A -==，{}0,2|>==x y y B x ，则=?B A

5．将函数)3

2sin(π

+=x y 的图象上的所有点向右平移

6

π

个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2

1

倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为

6．下列说法中，正确的有 ．（写出所有正确命题的序号）．

①若f '（x 0）＝0，则f （x 0）为f （x ）的极值点； ②在闭区间[a ，b ]上，极大值中最大的就是最大值；

③若f （x ）的极大值为f （x 1），f （x ）的极小值为f （x 2），则f （x 1）＞f （x 2）； ④有的函数有可能有两个最小值；

⑤已知函数x

e x

f =)(,对于)(x f 定义域内的任意一个1x 都存在唯一个1)()(,212=x f x f x 使成立．

7．设向量a ，b 的夹角为θ，a =（2，1），a +3b =（5，4），则sin θ=

8．若一次函数()f x 满足[()]1f f x x =+，则2()

()(0)f x g x x x

=>的值域为

9．设函数x x x f sin 1)(-=在0x x =处取极值，则)2cos 1)(1(02

0x x ++=

10．在ABC ?中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知sin sin sin sin cos 21A B B C B ++=。 若23C π=，则a

b

=

11．函数y=sinx 与y=cosx 在]2

,0[π

内的交点为P ，在点P 处两函数的切线与x 轴所围成的三角形的

面积为

12．已知ABC ?是边长为4的正三角形，D 、P 是ABC ?内部两点，且满足

11

(),48

AD AB AC AP AD BC =

+=+，则APD ?的面积为

13．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当2

)(,0x x f x =≥时，若对任意的]2,[+∈t t x ，不等式

)(2)(x f t x f ≥+恒成立，则实数t 的取值范围是

14．已知函数2

()(,),f x x bx c b c R =++∈对任意的x R ∈，恒有'

()f x ≤()f x .若对满足题设条件的任意b ，c ，不等式2

2

()()()f c f b M c b -≤-恒成立，则M 的最小值为

二、解答题：（共6小题，总分90分） 15．（本题14分）已知2(2sin(),3),(cos(),2cos ()),222

a x

b x x θ

θθ

=+

=++且0θπ≤≤,

()3f x a b =?-,且()f x 为偶函数.

（1）求θ; (2) 求满足()1f x =，[,]x ππ∈-的x 的集合．

16．（本题14分）已知命题:p 指数函数()(26)x f x a =-在R 上单调递减，命题:q 关于x 的方程

23x ax -2210a ++=的两个实根均大于3.若“p 或q ”为真,“p 且q ”为假,求实数a 的取值范围.

17．（本题14分）在ABC ?中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知,a b c ≠，

22cos -cos cos cos .A B A A B B =

（1）求角C 的大小； （2）若4

sin 5

A =，求ABC ?的面积.

18．（本题16分）一走廊拐角处的横截面如图所示，已知内壁FG 和外壁BC 都是半径为1m 的四分之一圆弧，A B ,D C 分别与圆弧BC 相切于B ,C 两点，

E F //A B ,G H //C 且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m.

（1）若水平放置的木棒MN 的两个端点M ,N 分别在外壁CD 和

AB 上，且木棒与内壁圆弧相切于点P,设CMN (rad ),θ∠=试

用θ表示木棒MN 的长度f ();θ

（2）若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值。

19．（本题16分）设函数1

(0ln x x

be f x ae x x

-=+，曲线()y f x =在点（1，(1)f 处的切线为

(1)2y e x =-+. (Ⅰ)求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >.

20．（本题16分）设)(x f 使定义在区间),1(+∞上的函数，其导函数为)('x f .如果存在实数a 和函数)(x h ，其中)(x h 对任意的),1(+∞∈x 都有)(x h >0，使得)1)(()('2+-=ax x x h x f ，则称函数)(x f 具有性质)(a P . (1)设函数)(x f 2

ln (1)1

b x x x +=+

>+，其中b 为实数 ①求证：函数)(x f 具有性质)(b P ，②求函数)(x f 的单调区间。 (2)已知函数)(x g 具有性质)2(P ，给定

为实数，设m x x x x ,),,1(,2121<+∞∈21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，且1,1>>βα，

若|)()(βαg g -|<|)()(21x g x g -|，求m 的取值范围。

高三__________________ 姓名__________________ 学号

………………密……………封……………线……………内……………不……………要……………答……………题………………

数学答题纸

一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.

16.

17.

18.

19.20题解答请写在试卷反面

高三__________________ 姓名__________________ 学

………………密……………封……………线……………内……………不……………要……………答……………题………………

数学附加题

(满分40分，考试时间30分钟)

21.（本题满分10分）两条曲线的极坐标方程分别为12cos()3

π

ρρθ==+与,它们相交于A,B 两点，

求线段AB 的长。

22. （本题满分10分）已知曲线C ：22

149x y +=，直线l ：222x t y t =+??=-?

（t 为参数）.

(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；

(2)过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o

30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.

23. （本题满分10分）抛掷A,B,C 三枚质地不均匀的纪念币，它们正面向上的概率如下表所示

)10(<

将这三枚纪念币同时抛掷一次，设ξ表示出现正面向上的纪念币的个数。 （1）求ξ的分布列及数学期望；

（2）在概率)3,2,1,0)((==i i P ξ中，若)1(=ξP 的值最大，求a 的最大值。

24. （本题满分10分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1422AB ,AD ,AA ,F ===是棱

BC

的中点，点E 在棱11C D 上，且11D E EC λ=（λ为实数）。 （1）当1

3

λ=

时，求直线EF 与平面1D AC 所成角的正弦值的大小；

（2）试问：直线EF 与直线EA 能否垂直？请说明理由。

数学答案：

1．），也可以写（

2

32

]2

3,2[

π

ππ

π 2．]3,3[- 3．5

4．),2(]1,0[+∞

5．x y 4sin =

6．⑤

7．

10

10 8．[2,)+∞

9．2 10．

35

11．

2

2 12 13．),2[+∞ 14．

32

15.解：（1）6

π

θ=

；（2）55{,,,}6666

x ππππ

∈-

- ． 16.解:7

(2,3][,)2

+∞

17.（1）由题意得，

1cos 21cos 2222222

A B A B ++-=-，

11

2cos 22cos 222

A A

B B -=-， sin(2)sin(2)66A B ππ-=-，由a b ≠得，A B ≠，又()0,A B π+∈，得2266A B ππ

π-+-=，

即23A B π+=，所以3

C π

=；

（2）由c =4sin 5A =，sin sin a c A C =得8

5

a =，

由a c <，得A C <，从而3

cos 5

A =，故

(

)4sin sin sin cos cos sin 10

B A

C A C A C +=+=+=

， 所以ABC ?

的面积为118

sin 225

S ac B =

=

． 18.⑴如图，设圆弧FG 所在的圆的圆心为Q ，过Q 点作CD 的垂线，垂足为点T ，且交MN 或其延

长线于S ，并连结PQ ，再过点N 作TQ 的垂线，垂足为W ，在Rt △NWS 中，因为NW=2，∠SNW=θ，所以NS=

2

cos θ

， 因为MN 与圆弧FG 切于点P ，所以PQ ⊥MN ，在Rt △QPS 中，因为PQ=1，∠PQS=θ，所以QS=

11,2cos cos QT QS θθ

-=-，

所以一根

水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处，则其长度的最大值为2．

19. 112()'()1.

(1)2,'(1).a 1, 2.

x x x x a b b f x f x ae nx e e e x x x

f f e b ==∞=+-+====（I ）函数的定义域为(0,+),由题意可得故

122

()1,()11.

()1,'()1.

x x x f x e n e f x x nx xe x e g x x nx g x nx =-=+>>-==（II ）由（I ）知从而等价于设函数则

11

(0,)'()0;(,)'()0.x g x x g x e e

∈<∈+∞>所以当时，当时，

11

(),()11.g x g x e e

e e

+∞∞故在（0,）单调递减，在（）单调递增，从而在(0,)的最小值为

g()=-2

(),'()(1).

(0,1)'()0;(1,)'()0.()1

()(0,)(1).

0()(),() 1.

x x h x xe h x e x e

x h x x h x h x h x h e

x g x h x f x --=-=-∈>∈+∞<∞∞=->>>设函数则所以当时当时，故在（0,1）单调递增，在(1,+)单调递减，从而在的最大值为综上，当时，即

20. （1）①'()f x 2

22121(1)(1)(1)b x bx x x x x +=

-=-+++∵1x >时，

2

1()0(1)h x x x =>+恒成立，∴函数)(x f 具有性质)(b P ；

22.

2cos.

().

3sin.

60.

x

y

l x y

θ

θ

θ

=

?

?

=

?

+-=

（I）曲线C的参数方程为为参数直线的普通方程为2

cos sin

3sin 6.

l

d

θθ

θθ

=+-

（II）曲线C上任意一点P(2.3)到的距离为

4

)6,tan.

sin303

sin

5

sin()1

d

PA

PA

PA

θααα

θα

θα

==+-=

?

+=

则其中为锐角，且

当(+)=-1时，取得最大值，最大值为

当时，

2

=

Eξ（2）

2

0≤

2

24. 由??

?

?

?

=

?

=

?

,0

,0

1

1

D

n

A

D

n

解得

?

?

?

=

=

,

2

,

y

z

z

x

取1

=

y，则)2,1,2(

=

n，因为14

|

|=，3

|

|=

n，

1

=

?n，所以=

?

?n,

cos=

|

||

|n

EF42

14

3

14

1

=

?

因为0

,

cos>

?

?n

EF，所以?

?n,是锐角，是直线EF与平面AC

D

1

所成角的余角，

所以直线EF与平面AC

D

1

所成角的正弦值为

42

14

．

⑵假设EF EA

⊥，则0

=

?EA

EF，因为)2

,

1

4

,2(-

+

-

=

λ

λ

EA，

)2

,

1

4

4,1(-

+

-

=

λ

λ

，所以0

4

)

1

4

4(

1

4

2=

+

+

-

+

-

λ

λ

λ

λ

，

化简，得03232=+-λλ，因为0364<-=?，所以该方程无解，所以假设不成立，即直线

EF 不可能与直线EA 垂直．