2019-2020年高二理科数学选修2-1期末试卷及答案-选修2-1北师大版
2019-2020年高二理科数学选修2-1期末试卷及答案-选修2-1北师大版（测试时间：120分钟 满分150分）注意事项：答题前，考生务必将自己的班级、姓名、考试号写在答题纸的密封线内．答题时，答案写在答题纸上对应题目的空格内，答案写在试卷上无效．．．．．．．．．．本卷考试结束后，上交答题纸． 一、选择题（每小题5 分，共12小题，满分60分）1. 已知命题tan 1p x R x ∃∈=：，使，其中正确的是 （ ） (A) tan 1p x R x ⌝∃∈≠：，使(B) tan 1p x R x ⌝∃∉≠：，使 (C) tan 1p x R x ⌝∀∈≠：，使(D) tan 1p x R x ⌝∀∉≠：，使 2. 抛物线24(0)y ax a =<的焦点坐标是 （ ） （A ）（a , 0） （B ）(－a , 0) （C ）（0, a ） （D ）（0, －a ） 3. 设a R ∈，则1a >是11a< 的 （ ） （A ）充分但不必要条件 （B ）必要但不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件4. 已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的 中线长为 （ ） （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）55.有以下命题：①如果向量,与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,的关系是不共线；②,,,O A B C 为空间四点，且向量,,不构成空间的一个基底，则点,,,O A B C 一定共面； ③已知向量,,是空间的一个基底，则向量,,-+也是空间的一个基底。
其中正确的命题是 （ ） （A ）①② （B ）①③ （C ）②③ （D ）①②③6. 如图：在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为11C A 与11D B 的交点。
若a AB =，b AD =，=1则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）（A ） ++-2121 （B ）++2121 （C ）c b a +--2121 （D ）c b a +-21217. 已知△ABC 的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0，4)，则顶点A 的轨迹方程是 （ ）（A ）1203622=+y x （x ≠0） （B ）1362022=+y x （x ≠0）（C ）120622=+y x （x ≠0） （D ）162022=+y x （x ≠0）8. 过抛物线 y 2 = 4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1, y 1）B （x 2, y 2）两点，如果21x x +=6，C1那么AB ＝ （ ） （A ）6 （B ）8 （C ）9 （D ）109. 若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，那么k 的取值范围是 （ ）（A ）（315,315-）（B ）（315,0） （C ）（0,315-） （D ）（1,315--） 10.试在抛物线x y 42-=上求一点P ，使其到焦点F 的距离与到()1,2-A 的距离之和最小，则该点 坐标为 （ ） （A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,41 （B ）⎪⎭⎫⎝⎛1,41 （C ）()22,2-- （D ）()22,2- 11. 在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，如果AB=BC=1，AA 1=2，那么A 到直线A 1C 的距离为 （ ）（A （B ） （C （D ）12.已知点F 1、F 2分别是椭圆22221x y a b+=的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A 、B 两点，若△ABF 2为正三角形，则该椭圆的离心率e 为 （ ）（A ）12 （B ）（C ）13（D二、填空题（每小题4分，共4小题，满分16分）13.已知A （1，－2，11）、B （4，2，3）、C （x ，y ，15）三点共线，则x y =___________。
14.已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米。
当水面升高1米后，水面宽度是________米。
15. 如果椭圆193622=+y x 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是___________。
16.①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②在ABC ∆中，“︒=∠60B ”是“C B A ∠∠∠,,三个角成等差数列”的充要条件.③12x y >⎧⎨>⎩是32x y xy +>⎧⎨>⎩的充要条件；④“am 2<bm 2”是“a <b ”的充分必要条件.以上说法中，判断错误的有___________.三、解答题（共6小题，满分74分）17.（本题满分12分）设p ：方程210x mx ++=有两个不等的负根，q ：方程244(2)10x m x +-+=无实根，若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．18.（本题满分12分）已知椭圆C的两焦点分别为()()12F F 、，长轴长为6，⑴求椭圆C 的标准方程;⑵已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C 于A 、B 两点,求线段AB 的长度。
.19.（本题满分12分）如图，已知三棱锥O ABC -的侧棱OA OB OC ，，两两垂直， 且1OA =，2OB OC ==，E 是OC 的中点。
（1）求异面直线BE 与AC 所成角的余弦值； （2）求直线BE 和平面ABC 的所成角的正弦值。
20.（本题满分12分）在平面直角坐标系x O y 中，直线l 与抛物线2y ＝2x 相交于A 、B 两点。
（1）求证：命题“如果直线l 过点T （3，0），那么⋅＝3”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由。
21.（本题满分14分）如图，棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ， PA=AD=2，BD=22. （1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求二面角P —CD —B 余弦值的大小； （3）求点C 到平面PBD 的距离.22. （本题满分12分）如图所示，F 1、F 2分别为椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右两个焦点，A 、B 为两个顶点，已知椭圆C 上的点)23,1(到F 1、F 2两点的距离之和为4.（1）求椭圆C 的方程和焦点坐标；（2）过椭圆C 的焦点F 2作AB 的平行线交椭圆于P 、Q 两点，求△F 1PQ 的面积.高二年级理科数学选修2-1期末试卷参考答案一、选择题：二、填空题： 13、 2 14、24 15、 082=-+y x 16、③④ 三、解答题：17、解：若方程210x mx ++=有两个不等的负根，则21240m x x m ⎧∆=->⎨+=-<⎩， …………2分所以2m >，即:2p m >． ………………………………………………………3分 若方程244(2)10x m x +-+=无实根，则216(2)160m ∆=--<， …………5分即13m <<， 所以:13p m <<． …………………………………………………6分 因为p q ∨为真，则,p q 至少一个为真，又p q ∧为假，则,p q 至少一个为假．所以,p q 一真一假，即“p 真q 假”或“p 假q 真”． ……………………………8分 所以213m m m >⎧⎨≤≥⎩或或213m m ≤⎧⎨<<⎩ …………………………………………………10分所以3m ≥或12m <≤．故实数m 的取值范围为(1,2][3,)+∞． …………………………………………12分 18、解：⑴由()()12F F 、，长轴长为6得：3ca ==所以1b =∴椭圆方程为22191x y += …………………………………………………5分⑵设1122(,),(,)A x y B x y ,由⑴可知椭圆方程为22191x y +=①,∵直线AB 的方程为2y x =+②……………………………7分把②代入①得化简并整理得21036270x x ++=∴12121827,510x x x x +=-= ……………………………10分又AB ……………………………12分19、解：（1）以O 为原点,OB 、OC 、OA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系.则有(0,0,1)A 、(2,0,0)B 、(0,2,0)C 、(0,1,0).E ……………………………3分(2,0,0)(0,1,0)(2,1,0),(0,2,1)EB AC =-=-=-COS<,EB AC>2,5==- ……………………………5分 所以异面直线BE 与AC 所成角的余弦为52……………………………6分 （2）设平面ABC 的法向量为1(,,),n x y z = 则新课标第一网11:20;n AB n AB x z ⊥⋅=-=知11:20.n AC n AC y z ⊥⋅=-=知取1(1,1,2)n =， ………8分则303065012,cos 1=+->=<n EB ，…………………10分 故BE 和平面ABC 的所成角的正弦值为3030…………12分 20、证明：（1）解法一：设过点T(3,0)的直线l 交抛物线2y =2x 于点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2).当直线l 的钭率下存在时,直线l 的方程为x =3,此时,直线l 与抛物线相交于A(3,6)、B(3,－6)，∴3=⋅。
……………………………3分 当直线l 的钭率存在时,设直线l 的方程为y =k (x －3),其中k≠0.⎩⎨⎧-==)3(22x k y x y 得ky 2－2y －6k =0,则y 1y 2=－6. 又∵x 1=21y 12, x 2=21y 22, ∴OB OA ⋅=x 1x 2+y 1y 2=21221)(41y y y y +=3. ……………………………7分综上所述, 命题“......”是真命题. ……………………………8分 解法二：设直线l 的方程为my =x －3与2y =2x 联立得到y 2-2my-6=0 ⋅=x 1x 2+y 1y 2=(my 1+3) (my 2+3)+ y 1y 2=(m 2+1) y 1y 2+3m(y 1+y 2)+9=(m 2+1)× (-6)+3m ×2m+9＝3 ………8分（2）逆命题是：“设直线l 交抛物线y 2=2x 于A 、B 两点,如果3=⋅OB OA ,那么该直线过点T(3,0).”…………………………………………………10分该命题是假命题. 例如：取抛物线上的点A(2,2),B(21,1),此时3=⋅OB OA =3, 直线AB 的方程为y =32(x +1),而T(3,0)不在直线AB 上. ………………………………12分 点评：由抛物线y 2=2x 上的点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)满足3=⋅,可得y 1y 2=－6。
北师大版高二数学选修2-1试题及答案
北师大版高二数学选修2-1试题及答案（选修2-1）孙 敏一、选择题（本大题共12小题，每小题6分，共72分） 1、a 3＞8是a ＞2的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件2、全称命题“所有被5整除的整数都是奇数”的否定是（ ） A ．所有被5整除的整数都不是奇数； B ．所有奇数都不能被5整除C ．存在一个被5整除的整数不是奇数；D ．存在一个奇数，不能被5整除3、抛物线281x y -=的准线方程是( )A ． 321=xB ． 2=yC ． 321=y D ． 2-=y4、有下列命题：①20ax bx c ++=是一元二次方程（0a ≠）；②空集是任何集合的真子集；③若a ∈R ，则20a ≥；④若,a b ∈R 且0ab >，则0a >且0b >．其中真命题的个数有（ ）A ．1B ． 2C ． 3D ． 45、椭圆1162522=+y x 的离心率为（ ） A ．35 B ． 34 C ．45 D ． 9256、以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆096222=++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程是（ ）A ．23x y =或23x y -=B ．23x y =C ．x y 92-=或23x y =D ．23x y -=或x y 92=7、已知a ＝（2，－3，1），b ＝（4，－6，x ），若a ⊥b ，则x 等于（ ）A ．－26B ．－10C ．2D ．10 8、如图，空间四边形ABCD 中，M 、G 分别是BC 、CD 的中点，则BD BC AB 2121++等于（ ）A ．ADB ．GAC ．AGD ．MG9、已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是（ ）A ．OM OA OB OC =++ B ． 2OM OA OB OC =--C ．1123OM OA OB OC =++D ．111333OM OA OB OC =++ 10、设3=a ，6=b ， 若a •b ＝9，则,<>a b 等于（ ）A ．90°B ．60°C ．120°D ．45°11、已知向量a ＝（1，1，－2），b ＝12,1,x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若a ·b ≥0，则实数x 的取值范围为（ ）A ．2(0,)3B ．2(0,]3 C ．(,0)-∞∪2[,)3+∞ D ．(,0]-∞∪2[,)3+∞ 12、设R x x ∈21,，常数0>a ，定义运算“﹡”：22122121)()(x x x x x x --+=*，若0≥x ，则动点),(a x x P *的轨迹是（ ）A ．圆B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）20、（本小题满分11分）已知0≠ab ,求证1=+b a 的充要条件是02233=--++b a ab b a21、（本小题满分12分）如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点． （Ⅰ）证明：AD ⊥D 1F ； （Ⅱ）求AE 与D 1F 所成的角； （Ⅲ）证明：面AED ⊥面A 1FD 1．22、（本小题满分12分）设椭圆12222=b y a x ＋(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－2，0)，左准线 L 1 ：ca x 2-=与x 轴交于点N （－3，0），过点N 且倾斜角为300的直线L 交椭圆于A 、B 两点。
2019-2020版高中数学北师大版选修2-1文档：第一章 章末检测(一) Word版含答案
章末检测(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)1.下列语句中是命题的个数为()①“等边三角形难道不是等腰三角形吗？”；②“平行于同一条直线的两条直线必平行吗？”；③“一个数不是正数就是负数”；④“x·y为有理数，则x，y也都是有理数”；⑤“作△ABC∽△A′B′C′”.A.1B.2C.3D.4解析根据命题的概念，判断是不是命题.①不是陈述句，不是命题.②疑问句.没有对平行于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题.③是假命题.0既不是正数也不是负数.④是假命题.如x＝3，y＝－ 3.⑤是祈使句，不是命题.答案 B2.命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是()A.若α≠π4，则tan α≠1B.若α＝π4，则tan α≠1C.若tan α≠1，则α≠π4D.若tan α≠1，则α＝π4解析 命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”，故选C.答案 C3.设a >0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 结合函数单调性的定义求解.由题意知函数f (x )＝a x 在R 上是减函数等价于0<a <1，函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数等价于0<a <1或1<a <2，∴“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件.答案 A4.设函数f (x )＝x 2＋mx (m ∈R )，则下列命题中的真命题是( )A.任意m ∈R ，使y ＝f (x )都是奇函数B.存在m ∈R ，使y ＝f (x )是奇函数C.任意m ∈R ，使y ＝f (x )都是偶函数D.存在m ∈R ，使y ＝f (x )是偶函数解析 存在m ＝0∈R ，使y ＝f (x )是偶函数，故选D.答案 D5.下列命题中的假命题是( )A.存在x ∈R ，sin x ＝52B.存在x ∈R ，log 2x ＝1C.任意x ∈R ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >0D.任意x ∈R ，x 2≥0解析 因为任意x ∈R ，sin x ≤1<52，所以A 是假命题；对于B ，存在x ＝2，log 2x＝1；对于C ，根据指数函数图像可知，任意x ∈R ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >0；对于D ，根据二次函数图像可知，任意x∈R，x2≥0.答案 A6.下列命题正确的是()A.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则a>b是cos A<cos B的充要条件B.命题p：对任意的x∈R，x2＋x＋1>0，则綈p：对任意的x∈R，x2＋x＋1≤0C.已知p：1x＋1>0，则綈p：1x＋1≤0D.存在实数x∈R，使sin x＋cos x＝π2成立解析对于A，在△ABC中大边对大角，由a>b得A>B，又余弦函数在(0，π)上单调递减，所以cos A<cos B；又由A，B∈(0，π)，cos A<cos B时得A>B，故a>b，故A正确.对于B，命题p的否定綈p应为：存在x0∈R，x20＋x0＋1≤0，故B不正确.对于C，p：1x＋1>0⇔p：x>－1，故綈p为x≤－1，而不是1x＋1≤0，故C不正确.对于D，sin x＋cos x的最大值为2，小于π2，故D不正确.答案 A7.命题“任意x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是()A.任意x∈(－∞，0)，x3＋x<0B.任意x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C.存在x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0D.存在x0∈[0，＋∞)，x30＋x0≥0解析全称命题：任意x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0的否定是特称命题：存在x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0.答案 C8.命题“若函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2<0”的逆否命题是()A.若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数B.若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数C.若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数D.若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数解析先对命题取逆，然后取否可得“若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数”，选A.答案 A9.下列命题中真命题的个数是()①任意x∈R，x4>x2；②若p且q是假命题，则p，q都是假命题；③命题“任意x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“存在x0∈R，x30－x20＋1>0”.A.0B.1C.2D.3解析对于①，当x＝0时，左边＝右边＝0，故①为假命题.对于②，p，q有一个为假时，p且q也为假，故②为假命题.③为真命题.故真命题有1个.答案 B10.已知命题p：任意x∈R，1－x2≤1，则()A.綈p：存在x∈R，1－x2≥1B.綈p：任意x∈R，1－x2≥1C.綈p ：存在x ∈R ，1－x 2>1D.綈p ：任意x ∈R ，1－x 2>1解析 根据全称命题的否定方法，当命题p ：任意x ∈R ，1－x 2≤1时，綈p ：存在x ∈R ，1－x 2>1.故选C. 答案 C11.已知命题p ：存在x 0∈(－∞，0)，使得3x 0<4x 0；命题q ：任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，有tan x >x ，则下列命题中的真命题是( )A.p 且qB.p 或(綈q )C.p 且(綈q )D.(綈p )且q 解析 由3x <4x 得⎝ ⎛⎭⎪⎫43x >1， 当x <0时不等式不成立，故p 为假命题，由图像知，tan x >x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立. 故q 为真命题.故D 项为真.答案 D12.下列有关命题的说法正确的是( )A.命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1”B.若p 或q 为假命题，则p ，q 均不为假命题C.命题“存在x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1<0”的否定是“对任意x ∈R ，均有x 2＋x＋1<0”D.命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题解析 选项A 中否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”；选项B 中，若p 或q 为假命题，则p ，q 均为假命题；选项C 中命题的否定为“对任意x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”.故A ，B ，C 三项说法均不正确.选项D 中，“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”是真命题，故其逆否命题也为真命题. 答案 D二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13.命题：“存在一个实数对，使2x ＋3y ＋3<0成立”的否定是_____________________________________________________________________.解析 特称命题的否定是全称命题.答案 对任意实数对，2x ＋3y ＋3≥0恒成立14.命题“若a >b ，则2a >2b －1”的否命题为________________________________. 解析 一个命题的否命题是对条件和结论都否定.答案 若a ≤b ，则2a ≤2b －115.在下列四个命题中，真命题的个数是________.①任意x ∈R ，x 2＋x ＋3>0；②存在α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β；③存在x 0，y 0∈Z ，使3x 0－2y 0＝10.解析 ①中x 2＋x ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋114≥114>0， 故①是真命题.②中α＝π4，β＝－π4时，sin(α＋β)＝0，sin α＋sin β＝0，故②是真命题.③中x 0＝4，y 0＝1时，3x 0－2y 0＝10成立，故③是真命题.答案 316.已知命题p ：不等式x x －1<0的解集为{x |0<x <1}；命题q ：在△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”成立的必要不充分条件.有下列四个结论：①p 真q 假；②“p 且q ”为真；③“p或q”为真；④p假q真，其中正确结论的序号是________.解析解不等式知，命题p是真命题，在△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件，∴命题q是假命题，∴①正确，②错误，③正确，④错误.答案①③三、解答题(本大题共6个小题，共70分)17.(10分)(1)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.①面积相等的两个三角形是全等三角形；②若x2＋y2＝0，则实数x，y全为零.(2)写出下列命题的否定并判断真假：①所有自然数的平方是正数；②任何实数x都是方程5x－12＝0的根；③任意x∈R，x2－3x＋3>0；④有些质数不是奇数.解(1)①逆命题：全等的两个三角形的面积相等，真命题.否命题：面积不相等的两个三角形不是全等三角形，真命题.逆否命题：两个不全等的三角形的面积不相等，假命题.②逆命题：若实数x，y全为零，则x2＋y2＝0，真命题.否命题：若x2＋y2≠0，则实数x，y不全为零，真命题.逆否命题：若实数x，y不全为零，则x2＋y2≠0，真命题.(2)①綈p：有些自然数的平方不是正数，真命题.②綈p：存在x0∈R，使得5x0－12≠0，真命题.③綈p：存在x0∈R，x20－3x0＋3≤0，假命题.④綈p：所有的质数都是奇数，假命题.18.(10分)求证：方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是。
北师大版高二理科数学选修2-1期末试卷(有答案)AKMKqH
选修2-1期末试卷斗鸡中学 郑改娟（测试时间：120分钟 满分150分）注意事项：答题前，考生务必将自己的班级、姓名、考试号写在答题纸的密封线内．答题时，答案写在答题纸上对应题目的空格内，答案写在试卷上无效．．．．．．．．．．本卷考试结束后，上交答题纸． 一、选择题（每小题5 分，共12小题，满分60分）1. 已知命题tan 1p x R x ∃∈=：，使，其中正确的是 （ ） (A) tan 1p x R x ⌝∃∈≠：，使(B) tan 1p x R x ⌝∃∉≠：，使 (C) tan 1p x R x ⌝∀∈≠：，使(D) tan 1p x R x ⌝∀∉≠：，使 2. 抛物线24(0)y ax a =<的焦点坐标是 （ ） （A ）（a , 0） （B ）(－a , 0) （C ）（0, a ） （D ）（0, －a ） 3. 设a R ∈，则1a >是11a< 的 （ ） （A ）充分但不必要条件 （B ）必要但不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件4. 已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的 中线长为 （ ） （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）55.有以下命题：①如果向量b a ,与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么b a ,的关系是不共线；②,,,O A B C 为空间四点，且向量OC OB OA ,,不构成空间的一个基底，则点,,,O A B C 一定共面； ③已知向量c b a ,,是空间的一个基底，则向量c b a b a ,,-+也是空间的一个基底。
其中正确的命题是 （ ） （A ）①② （B ）①③ （C ）②③ （D ）①②③6. 如图：在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为11C A 与11D B 的交点。
若=，=，AA =1则下列向量中与相等的向量是（ ）（A ） c b a ++-2121 （B ）c b a ++2121（C ）+--2121 （D ）+-21217. 已知△ABC 的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0，4)，则顶点A 的轨迹方程是 （ ）（A ）1203622=+y x （x ≠0） （B ）1362022=+y x （x ≠0）（C ）120622=+y x （x ≠0） （D ）162022=+y x （x ≠0）8. 过抛物线 y 2 = 4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1, y 1）B （x 2, y 2）两点，如果21x x +=6，那么AB ＝ （ ） （A ）6 （B ）8 （C ）9 （D ）10C19. 若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，那么k 的取值范围是 （ ）（A ）（315,315-）（B ）（315,0） （C ）（0,315-） （D ）（1,315--） 10.试在抛物线x y 42-=上求一点P ，使其到焦点F 的距离与到()1,2-A 的距离之和最小，则该点坐标为 （ ） （A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,41 （B ）⎪⎭⎫⎝⎛1,41 （C ）()22,2-- （D ）()22,2- 11. 在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，如果AB=BC=1，AA 1=2，那么A 到直线A 1C 的距离为 （ ）（A （B ） （C （D ）12.已知点F 1、F 2分别是椭圆22221x y a b+=的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A 、B 两点，若△ABF 2为正三角形，则该椭圆的离心率e 为 （ ）（A ）12 （B ） （C ）13（D二、填空题（每小题4分，共4小题，满分16分）13.已知A （1，－2，11）、B （4，2，3）、C （x ，y ，15）三点共线，则x y =___________。
北师大版高二数学选修试题及答案
高二数学选修2－1质量检测试题（卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至6页。
考试结束后. 只将第Ⅱ卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 顶点在原点，且过点(4,4)-的抛物线的标准方程是A.24y x =- B.24x y =C.24y x =-或24x y = D. 24y x =或24x y =- 2. 以下四组向量中，互相平行的有（ ）组.(1) (1,2,1)a =r ,(1,2,3)b =-r ； (2) (8,4,6)a =-r,(4,2,3)b =-r ；（3）(0,1,1)a =-r ,(0,3,3)b =-r ； （4）(3,2,0)a =-r,(4,3,3)b =-rA. 一B. 二C. 三D. 四3. 若平面α的法向量为1(3,2,1)n =r ，平面β的法向量为2(2,0,1)n =-r，则平面α与β夹角的余弦是A.14 B. 10 C. 14- D. －10 4.“5,12k k Z αππ=+∈”是“1sin 22α=”的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分又不必要条件5. “直线l 与平面?内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面?垂直”的（ ）条件 A ．充要 B ．充分非必要 C ．必要非充分 D ．既非充分又非必要6.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱11A B 的中点，则1A B 与1D E 所成角的余弦值为A B C D 7. 已知两定点1(5,0)F ，2(5,0)F -，曲线上的点P 到1F 、2F 的距离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为A.221916x y -= B.221169x y -= C.2212536x y -= D. 2212536y x -= 8. 已知直线l 过点P(1,0,－1)，平行于向量(2,1,1)a =r，平面α过直线l 与点M(1,2,3)，则平面α的法向量不可能是 A. (1,－4,2) B.11(,1,)42- C. 11(,1,)42-- D. (0,－1,1)9. 命题“若a b <，则a c b c +<+”的逆否命题是A. 若a c b c +<+，则a b >B. 若a c b c +>+，则a b >C. 若a c b c +≥+，则a b ≥D. 若a c b c +<+，则a b ≥10 . 已知椭圆221102x y m m +=--，若其长轴在y 轴上.焦距为4，则m 等于 A.4. B.5. C. 7. D .8.11．以下有四种说法，其中正确说法的个数为：（1）“m 是实数”是“m 是有理数”的充分不必要条件； (2) “a b >”是“22a b >”的充要条件；(3) “3x =”是“2230x x --=”的必要不充分条件； （4）“A B B =I ”是“A φ=”的必要不充分条件. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个12。
2019-2020学年高二数学北师大版选修2-1章末综合测评(三) 圆锥曲线与方程 Word版含答案
章末综合测评(三) 圆锥曲线与方程(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y －2＝0，则a 的值是( )A.18 B ．－18C ．8D ．－8【解析】 抛物线y ＝ax 2的标准方程为x 2＝1ay ，所以－14a ＝2，即a ＝－18.【答案】 B2.如图1，已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝100，点A (－6,0)，M 为圆O 上任意一点，AM 的垂直平分线交OM 于点P ，则点P 的轨迹是( )图1A ．圆B ．抛物线C ．椭圆D ．两条直线【解析】 ∵P 为AM 垂直平分线上的点． ∴|PM |＝|P A |. 又∵|OP |＋|PM |＝10， ∴|P A |＋|PO |＝10.故P 点的轨迹是以A ，O 为焦点，长轴长为10的椭圆． 【答案】 C3．设AB 是椭圆的长轴，点C 在椭圆上，且∠CBA＝π4.若AB＝4，BC＝2，则椭圆的焦距为( )A.33B．263C.463D．233【解析】如图，设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，由题意可知，2a＝4，a＝2.因为∠CBA＝π4，BC＝2，所以C(－1，1)．因为点C在椭圆上，所以14＋1b2＝1，所以b2＝43.由公式a2＝b2＋c2得c＝263，所以焦距为463.【答案】 C4．双曲线x2－4y2＝4的焦点坐标为( ) A．(±3，0) B．(0，±3) C．(0，±5) D．(±5，0)【解析】依题意a＝2，b＝1，∴c＝5，又x24－y2＝1焦点在x轴上，∴焦点坐标为(±5，0)．【答案】 D5．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )A.5B．2C.3D．2【解析】 结合图形，用a 表示出点M 的坐标，代入双曲线方程得出a ，b 的关系，进而求出离心率．不妨取点M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)，则|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°，∴M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫2a ，3a .∵M 点在双曲线上，∴4a2a2－3a2b2＝1，a ＝b ，∴c ＝2a ，e ＝ca＝2.故选D.【答案】 D 6．已知双曲线C 1：x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833y B ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y【解析】 双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，由于ca＝a2＋b2a2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b a 2＝2，所以b a ＝3，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±3x .抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，p 2，所以p22＝2，所以p＝8，所以抛物线方程为x 2＝16y .【答案】 D7．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是( )A.x24－y25＝1 B ．x24－y25＝1C.x22－y25＝1 D ．x22－y25＝1 【解析】 右焦点为F (3,0)说明两层含义：双曲线的焦点在x 轴上且c ＝3.又离心率为ca ＝32，故a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝32－22＝5，故C 的方程为x24－y25＝1，选B.【答案】 B8．已知椭圆x225＋y2m2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝( )A ．9B ．4C ．3D ．2【解析】 由题意得：m 2＝25－42＝9，因为m >0，所以m ＝3，故选C. 【答案】 C 9．设双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离小于a ＋a2＋b2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－2，0)∪(0，2) D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)【解析】 根据双曲线的性质和两直线的位置关系求解． 由题作出图像如图所示．由x2a2－y2b2＝1可知A (a,0)，F (c ，0)． 易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c ，b2a ，C ⎝⎛⎭⎪⎪⎫c ，－b2a .∵k AB ＝b2ac －a＝错误!， ∴k CD ＝错误!.∵k AC ＝b2aa －c＝错误!， ∴k BD ＝－错误!.∴l BD ：y －b2a ＝－错误!(x －c )，即y ＝－错误!x ＋错误!＋错误!，l CD ：y ＋错误!＝错误!(x －c )，即y ＝错误!x －错误!－错误!.∴x D ＝c ＋错误!.∴点D 到BC 的距离为错误!.∴错误!<a ＋错误!＝a ＋c ，∴b 4<a 2(c 2－a 2)＝a 2b 2，∴a 2>b 2，∴0<错误!<1.∴0<错误!<1或－1<b a<0. 【答案】 A 10．椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2c ，若直线y ＝2x 与椭圆一个交点的横坐标恰为c ，则椭圆的离心率等于( )A.2－22B ．22－12C.3－1D ．2－1【解析】 当x ＝c 时，由c2a2＋y2b2＝1， 得y ＝±b2a.又交点在y ＝2x 上，所以交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c ，b2a .所以2c ＝b2a ＝a2－c2a ＝a －c2a .所以2ca ＝1－c2a2，即e 2＋2e －1＝0， 解得e ＝－1＋2.【答案】 D11．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )【导学号：32550099】A ．3B ．6C ．9D ．12【解析】 根据已知条件求出椭圆的方程，|AB |＝2|y A |，只需求出|y A |即可． 抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，∴椭圆中c ＝2， 又ca ＝12，∴a ＝4，b 2＝a 2－c 2＝12， 从而椭圆方程为x216＋y212＝1.∵抛物线y 2＝8x 的准线为x ＝－2， ∴x A ＝x B ＝－2，将x A ＝－2代入椭圆方程可得|y A |＝3， 由图像可知|AB |＝2|y A |＝6.故选B.【答案】 B12．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处．已知灯口的直径为60 cm ，灯深40 cm ，则抛物线的标准方程可能是( )A ．y 2＝254xB ．y 2＝454xC ．x 2＝－452yD ．x 2＝－454y【解析】 如果设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，则抛物线过点(40,30)，则有302＝2p ×40,2p ＝452，所以所求的抛物线方程应为y 2＝452x ，所给选项中没有y 2＝452x ，同理若设x 2＝－2py ，则抛物线过点(30，－40)，求得抛物线方程为x 2＝－452y .故选C.【答案】 C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )满足PA→·PB→＝x 2，则点P 满足的方程为________．【解析】 PA →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(3－x ，－y )， ∴PA →·PB →＝(－2－x ，－y )·(3－x ，－y )＝x 2. 即(－2－x )(3－x )＋(－y )(－y )＝x 2，即y 2＝x ＋6. 【答案】 y 2＝x ＋614．过抛物线y 2＝4x 的焦点，作倾斜角为3π4的直线交抛线于P 、Q 两点，O 为坐标原点，则△POQ 的面积等于________．【解析】 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，F 为抛物线焦点，由错误!得y 2＋4y －4＝0，|y 1－y 2|＝错误!＝4错误!，S △POQ ＝错误!|OF ||y 1－y 2|＝2错误!.【答案】 2215．双曲线x2m－y2n＝1(mn ≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为________．【解析】 抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)， ∴双曲线x2m －y2n ＝1的焦点在x 轴上．m ＞0，n ＞0，a ＝m ，b ＝n ，∴c ＝m ＋n ＝1，∴e ＝m ＋nm ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝34，∴mn ＝316.【答案】31616．平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)交于点O ，A ，B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________．【导学号：32550100】【解析】 利用三角形垂心的性质建立关于a ，b ，c 的等式求离心率．双曲线的两条渐近线方程为y ＝±b a x ，与抛物线方程联立得交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2pb a ，2pb2a2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2pb a ，2pb2a2，抛物线焦点为F ⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，p 2，由三角形垂心的性质，得BF ⊥OA ，即k BF ·k OA ＝－1，又k BF ＝p 2－2pb2a22pb a ＝a4b －ba ，k OA ＝ba ，所以有⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 4b －b a b a ＝－1，即b2a2＝54，故C 1的离心率e ＝c a ＝1＋b2a2＝1＋54＝32.【答案】 32三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，短轴的一个端点到右焦点的距离为3，求椭圆C 的方程．【解】 设椭圆的半焦距为c ，依题意知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝63，a ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝ 2.∴b 2＝1，∴所求椭圆方程为x23＋y 2＝1.18．(本小题满分12分)若双曲线的一条准线为x ＝4，其相应的焦点为(10,0)，离心率为2，求此双曲线的方程．【解】 设P (x ，y )是所求双曲线上的任一点， 由双曲线的第二定义，得错误!＝2， 化简整理，得错误!－错误!＝1.19．(本小题满分12分)直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，l 与C ：(1)相切；(2)相交；(3)相离．【解】 将直线l 和抛物线C 的方程联立，得 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1 ①，y2＝4x ②，将①代入②，并整理，得k 2x 2＋2(k －2)x ＋1＝0.当k ＝0时，x ＝14，y ＝1，得交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，1.当k ≠0时，方程为一元二次方程，所以Δ＝16(1－k )． (1)当Δ＝0，即k ＝1时，l 与C 相切； (2)当Δ＞0，即k ＜1且k ≠0时，l 与C 相交； (3)当Δ＜0，即k ＞1时，l 与C 相离．综上(1)k ＝1时相切；(2)k <1且k ＝0时相交；(3)k >1时相离．20．(本小题满分12分)求以(1，－1)为中点的抛物线y 2＝8x 的弦所在直线的方程． 【解】 设弦的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧y21＝8x1，y22＝8x2，. ①②由⎩⎪⎨⎪⎧x1＋x22＝1，y1＋y22＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x1＋x2＝2， ③y1＋y2＝－2， ④k AB ＝y2－y1x2－x1. ⑤由②－①，得(y 2＋y 1)(y 2－y 1)＝8(x 2－x 1)， ∴y2－y1x2－x1＝8y2＋y1.将④⑤代入上式可得k AB ＝－4.∴弦所在直线方程为y ＋1＝－4(x －1)，即4x ＋y －3＝0. 21．(本小题满分12分)点A ，B 分别是椭圆x236＋y220＝1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，P A ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．【解】 (1)由已知可得点A (－6,0)，B (6,0)，F (4,0)． 设点P 的坐标为(x ，y )，∵P A ⊥PF ，∴k AP ·k PF ＝－1.由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x236＋y220＝1，y x ＋6·yx －4＝－1，则2x 2＋9x －18＝0， 解得x ＝32或x ＝－6(舍去)．∴x ＝32，由于y ＞0，故y ＝532.∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，532. (2)易知直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0.设点M 的坐标为(m,0)，则点M 到直线AP 的距离是|m ＋6|2.于是|m ＋6|2＝|m －6|，又－6≤m ≤6，解得m ＝2.故点M 的坐标为(2,0)．椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离d 的平方为： d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －922＋15.由于－6≤x ≤6，所以当x ＝92时，d 取得最小值，最小值为15.22．(本小题满分12分)如图2，已知抛物线C 1：y ＝14x 2，圆C 2：x 2＋(y －1)2＝1，过点P (t,0)(t >0)作不过原点O 的直线P A ，PB 分别与抛物线C 1和圆C 2相切，A ，B 为切点．图2(1)求点A ，B 的坐标； (2)求△P AB 的面积．【解】 (1)由题意知直线P A 的斜率存在，故可设直线P A 的方程为y ＝k (x －t )． 由错误!消去y ，整理得x 2－4kx ＋4kt ＝0， 由于直线P A 与抛物线相切，得k ＝t . 因此，点A 的坐标为(2t ，t 2)．设圆C 2的圆心为D (0,1)，点B 的坐标为(x 0，y 0)．由题意知：点B ，O 关于直线PD 对称，故⎩⎪⎨⎪⎧y02＝－x02t ＋1，x0t －y0＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝2t1＋t2，y0＝2t21＋t2，因此，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2t 1＋t2，2t21＋t2. (2)由(1)知|AP |＝t ·1＋t2， 直线P A 的方程为tx －y －t 2＝0. 点B 到直线P A 的距离是d ＝t21＋t2.设△P AB 的面积为S (t )，则S (t )＝12|AP |·d ＝t32.。
2019-2020学年高中数学北师大版选修2-1模块综合测试2 Word版含解析
北师大版2019-2020学年数学精品资料模块综合测试(二)(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．已知命题p ：∀x ∈R ，x ≥1，那么命题¬p 为( ) A ．∀x ∈R ，x ≤1 B ．∃x ∈R ，x <1 C ．∀x ∈R ，x ≤－1D ．∃x ∈R ，x <－1解析：全称命题的否定是特称命题． 答案：B2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝8x 有一个相同的焦点F ，且该点到双曲线的渐近线的距离为1，则该双曲线的方程为( )A ．x 2－y 2＝2 B ．x 23－y 2＝1C ．x 2－y 2＝3D ．x 2－y 23＝1解析：本题主要考查双曲线与抛物线的有关知识．由已知，a 2＋b 2＝4 ①，焦点F (2,0)到双曲线的一条渐近线bx －ay ＝0的距离为|2b |a 2＋b 2＝1 ②，由①②解得a 2＝3，b 2＝1，故选B.答案：B3．已知命题p ，q ，如果命题“¬p ”与命题“p ∨q ”均为真命题，那么下列结论正确的是( )A ．p ，q 均为真命题B ．p ，q 均为假命题C ．p 为真命题，q 为假命题D ．p 为假命题，q 为真命题解析：命题“¬p ”为真，所以命题p 为假命题．又命题“p ∨q ”也为真命题，所以命题q 为真命题．答案：D4．在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，已知命题p ：a >b ，命题q ：tan 2A >tan 2B ，则p 是q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：本题主要考查充要条件的判定以及三角形、三角函数的有关知识．在三角形中，命题p ：a >b ⇔A >B .命题q ：tan 2A >tan 2B ⇔sin(A ＋B )sin(A －B )>0⇔A >B ，显然p 是q 的充要条件，故选C.答案：C5．如右图，在三棱锥A —BCD 中，DA ，DB ，DC 两两垂直，且DB ＝DC ，E 为BC 中点，则AE →·BC →等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：如右图，建立空间直角坐标系． 设DC ＝DB ＝a ，DA ＝b ，则B (a,0,0)、C (0，a,0)、A (0,0，b )，E (a 2，a2，0)，所以BC →＝(－a ，a,0)，AE →＝(a 2，a 2，－b )，AE →·BC →＝－a 22＋a 22＋0＝0.答案：A6．若直线y ＝x ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点，则|AB →|等于( )A ．43B ．423C ．83D ．823解析：联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 22＋y 2＝1，得3x 2＋4x ＝0，解得A (0,1)，B (－43，－13)，所以|AB →|＝(－43－0)2＋(－13－1)2＝423. 答案：B7．[2014·浙江省杭州二中期末考试]给出下列命题：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在直线平行； ②若三个向量a ，b ，c 两两共面，则a ，b ，c 共面；③已知空间中三个向量a ，b ，c ，则对空间的任意一个向量p ，总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c 成立．其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：本题主要考查空间向量的共线、共面、空间向量的基本定理等基础知识．若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在直线平行或在同一条直线上，故①不正确；在三棱锥P －ABC 中，取P A →，PB →，PC →分别为向量a ，b ，c ，则a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不共面，故②不正确；在三棱锥P －ABC 中，取AB →，BC →，CA →分别为向量a ，b ，c ，则对向量P A →，不存在实数x ，y ，z 使得P A →＝x a ＋y b ＋z c 成立，故③不正确；综上，正确命题的个数是0，故选A.答案：A8．下列四个结论中正确的个数为( )①命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是“若x >1或x <－1，则x 2>1”； ②已知p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，q ：若a <b ，则am 2<bm 2，则p ∧q 为真命题； ③命题“∃x ∈R ，x 2－x >0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≤0”； ④“x >2”是“x 2>4”的必要不充分条件． A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：只有③中结论正确． 答案：B9．[2014·河南省开封高中月考]如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝2，E 、F 分别是面A 1B 1C 1D 1、面BCC 1B 1的中心，则E 、F 两点间的距离为( )A ．1B ．52C ．62 D ．32解析：本题主要考查空间中两点间的距离．以点A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E (1,1，2)，F (2,1，22)， 所以|EF |＝(1－2)2＋(1－1)2＋(2－22)2＝62，故选C. 答案：C10．如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝CC 1，AC ⊥BC ，点D 是AB 的中点，则直线B 1B 和平面CDB 1所成角的正切值为( )A ．2 2B ．322C ． 2D ．22解析：如右图，建立空间直角坐标系，可设AC ＝BC ＝CC 1＝1，则A (1,0,0)，B (0,1,0)，D (12，12，0)，B 1(0,1,1)，CD →＝(12，12，0)，CB 1→＝(0,1,1)，B 1B →＝(0,0，－1)．设平面CDB 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·CD →＝0，n ·CB 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋12y ＝0，y ＋z ＝0，不妨取n ＝(1，－1,1)，所以cos 〈n ，B 1B →〉＝n ·B 1B →|n ||B 1B →|＝－13＝－33.设直线B 1B 和平面CDB 1所成角为α，则sin α＝33，故cos α＝63，tan α＝22. 答案：D11．已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为3的直线交抛物线于A 、B 两点，则||F A |－|FB ||的值为( )A ．83B ．163C ．833D ．823解析：本题主要考查直线与抛物线的位置关系以及抛物线的有关性质．直线AB 的方程为y ＝3(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x y ＝3(x －1)得3x 2－10x ＋3＝0，故x 1＝3，x 2＝13，所以||F A |－|FB ||＝|x 1－x 2|＝83.故选A.答案：A12．[2012·浙江高考]如图，F 1、F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与双曲线C 的两条渐近线分别交于P 、Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|＝|F 1F 2|，则双曲线C 的离心率是( )A ．233B ．62C ． 2D ． 3解析：本题主要考查双曲线离心率的求解．结合图形的特征，通过PQ 的中点，利用线线垂直的性质进行求解．不妨设c ＝1，则直线PQ ：y ＝bx ＋b ，双曲线C 的两条渐近线为y ＝±b a x ，因此有交点P (－a a ＋1，b a ＋1)，Q (a 1－a ，b 1－a )，设PQ 的中点为N ，则点N 的坐标为(a 21－a 2，b 1－a 2)，因为线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ，|MF 2|＝|F 1F 2|，所以点M 的坐标为(3,0)，因此有k MN ＝b1－a 2－0a 21－a 2－3＝－1b ，所以3－4a 2＝b 2＝1－a 2，所以a 2＝23，所以e ＝62.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0”的否定是__________．解析：特称命题的否定是全称命题，故原命题的否定是∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0. 答案：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>014．已知双曲线x 2m －y 2n ＝1的一条渐近线方程为y ＝43x ，则该双曲线的离心率e 为__________．解析：当m >0，n >0时，可设a ＝3k ，b ＝4k ， 则c ＝5k ，所以离心率e ＝53；当m <0，n <0时，可设a ＝4k ，b ＝3k ， 则c ＝5k ，所以离心率e ＝54.答案：53或5415．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是底面A 1C 1和侧面CD 1的中心，若EF →＋λA 1D →＝0(λ∈R )，则λ＝__________.解析：如右图，连接A 1C 1，C 1D ，则E 在A 1C 1上，F 在C 1D 上易知EF 綊12A 1D ，∴EF →＝12A 1D →， 即EF →－12A 1D →＝0，∴λ＝－12.答案：－1216. [2014·湖北省襄阳五中月考]已知函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |(x ∈R )，给出下列命题：①若a 2－b ≤0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数；②若a 2－b >0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数；③当x ＝a 时，f (x )有最小值b －a 2；④当a 2－b ≤0时，f (x )有最小值b －a 2.其中正确命题的序号是________．解析：本题考查含绝对值的二次函数单调区间和最小值问题的求解．由题意知f (x )＝|x 2－2ax ＋b |＝|(x －a )2＋b －a 2|.若a 2－b ≤0，则f (x )＝|(x －a )2＋b －a 2|＝(x －a )2＋b －a 2，可知f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数，所以①正确，②错误；只有在a 2－b ≤0的条件下，才有x ＝a 时，f (x )有最小值b －a 2，所以③错误，④正确．答案：①④三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)(1)设集合M ＝{x |x >2}，P ＝{x |x <3}，则“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的什么条件？(2)求使不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立的充要条件． 解：(1)x ∈R ，x ∈(M ∩P )⇔x ∈(2,3)． 因为“x ∈M 或x ∈P ”x ∈(M ∩P )． 但x ∈(M ∩P )⇒x ∈M 或x ∈P .故“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的必要不充分条件．(2)当m ≠0时，不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧4m <0Δ＝4m 2＋16m <0⇔－4<m <0. 又当m ＝0时，不等式4mx 2－2mx －1<0对x ∈R 恒成立， 故使不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立的充要条件是－4<m ≤0.18．(12分)[2014·福建省质检]某几何体ABC －A 1B 1C 1的三视图和直观图如图所示．(1)求证：A 1C ⊥平面AB 1C 1； (2)求二面角C 1－AB 1－C 的余弦值．解：(1)由三视图可知，在三棱柱ABC －A1B 1C 1中，AA 1⊥底面A 1B 1C 1，B 1C 1⊥A 1C 1，且AA 1＝AC ＝4，BC ＝3.以点C 为原点，分别以CA 、CB 、CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得A (4,0,0)，B (0,3,0)，C (0,0,0)，A 1(4,0,4)，B 1(0,3,4)，C 1(0,0,4)，∴CA 1→＝(4,0,4)，C 1A →＝(4,0，－4)，C 1B 1→＝(0,3,0)．∴CA 1→·C 1A →＝4×4＋0×0＋4×(－4)＝0，CA 1→·C 1B 1→＝4×0＋0×3＋4×0＝0. ∴CA 1⊥C 1A ，CA 1⊥C 1B 1，又C 1A ∩C 1B 1＝C 1，∴A 1C ⊥平面AB 1C 1. (2)由(1)得，CA →＝(4,0,0)，CB 1→＝(0,3,4)，设平面AB 1C 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则CA →⊥n ，CB 1→⊥n ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧CB 1→·n ＝0CA →·n ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝03y ＋4z ＝0，即x ＝0，令y ＝4，则z ＝－3，得平面AB 1C 的一个法向量为n ＝(0,4，－3)． 由(1)知，CA 1→是平面AB 1C 1的一个法向量， cos 〈n ，CA 1→〉＝n ·CA 1→|n ||CA 1→|＝－12202＝－3210.由图可知，二面角C 1－AB 1－C 为锐角， 故二面角C 1－AB 1－C 的余弦值为3210.19．(12分)设直线l ：y ＝x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两个不同的点，l 与x 轴相交于点F .(1)证明：a 2＋b 2>1；(2)若F 是椭圆的一个焦点，且AF →＝2FB →，求椭圆的方程．(1)证明：将x ＝y －1代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去x ，整理，得(a 2＋b 2)y 2－2b 2y ＋b 2(1－a 2)＝0.由直线l 与椭圆相交于两个不同的点，得Δ＝4b 4－4b 2(a 2＋b 2)(1－a 2)＝4a 2b 2(a 2＋b 2－1)>0，所以a 2＋b 2>1. (2)解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(a 2＋b 2)y 21－2b 2y 1＋b 2(1－a 2)＝0，① 且(a 2＋b 2)y 22－2b 2y 2＋b 2(1－a 2)＝0.②因为AF →＝2FB →，所以y 1＝－2y 2.将y 1＝－2y 2代入①，与②联立，消去y 2， 整理得(a 2＋b 2)(a 2－1)＝8b 2.③因为F 是椭圆的一个焦点，则有b 2＝a 2－1. 将其代入③式，解得a 2＝92，b 2＝72，所以椭圆的方程为2x 29＋2y 27＝1.20．(12分)已知两点M (－1,0)、N (1,0)，动点P (x ，y )满足|MN →|·|NP →|－MN →·MP →＝0， (1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)假设P 1、P 2是轨迹C 上的两个不同点，F (1,0)，λ∈R ，FP 1→＝λFP 2→，求证：1|FP 1→| ＋1|FP 2→|＝1. 解：(1)|MN →|＝2，则MP →＝(x ＋1，y )， NP →＝(x －1，y )． 由|MN →||NP →|－MN →·MP →＝0， 则2(x －1)2＋y 2－2(x ＋1)＝0， 化简整理得y 2＝4x .(2)由FP 1→＝λ·FP 2→，得F 、P 1、P 2三点共线，设P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，斜率存在时，直线P 1P 2的方程为：y ＝k (x －1) 代入y 2＝4x 得：k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0. 则x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.∴1|FP 1→| ＋1|FP 2→| ＝1x 1＋1＋1x 2＋1 ＝x 1＋x 2＋2x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＝1.当P 1P 2垂直x 轴时，结论照样成立．21．(12分)[2013·江西高考]如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，E 为BD 的中点，G 为PD 的中点，△DAB ≌△DCB ，EA ＝EB ＝AB ＝1，P A ＝32，连结CE 并延长交AD于F .(1)求证：AD ⊥平面CFG ；(2)求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值．解：(1)证明：在△ABD 中，因为E 是BD 中点，所以EA ＝EB ＝ED ＝AB ＝1，故∠BAD ＝π2，∠ABE ＝∠AEB ＝π3，因为△DAB ≌△DCB ，所以△EAB ≌△ECB ， 从而有∠FED ＝∠BEC ＝∠AEB ＝π3，所以∠FED ＝∠FEA ，故EF ⊥AD ，AF ＝FD ，又因为PG ＝GD ， 所以FG ∥P A . 又P A ⊥平面ABCD ，所以GF ⊥AD ，故AD ⊥平面CFG .(2)以点A 为坐标原点建立如图所示的坐标系，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (32，32，0)，D (0，3，0)，P (0,0，32)，故BC →＝(12，32，0)，CP →＝(－32，－32，32)，CD →＝(－32，32，0)．设平面BCP 的法向量n 1＝(1，y 1，z 1)， 则⎩⎨⎧12＋32y 1＝0，－32－32y 1＋32z 1＝0，解得⎩⎨⎧y 1＝－33，z 1＝23，即n 1＝(1，－33，23)． 设平面DCP 的法向量n 2＝(1，y 2，z 2)，则⎩⎨⎧ －32＋32y 2＝0，－32－32y 2＋32z 2＝0，解得⎩⎨⎧ y 2＝3，z 2＝2， 即n 2＝(1，3，2)．从而平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值为cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝43169·8＝24. 22．(12分)[2014·山东高考]已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|F A |＝|FD |.当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形．(1)求C 的方程；(2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ，①证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；②△ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．解：(1)由题意知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0.设D (t,0)(t >0)，则FD 的中点为⎝⎛⎭⎫p ＋2t 4，0.因为|F A |＝|FD |，由抛物线的定义知3＋p 2＝⎪⎪⎪⎪t －p 2， 解得t ＝3＋p 或t ＝－3(舍去)．由p ＋2t 4＝3，解得p ＝2. 所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)①由(1)知F (1,0)，设A (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)，D (x D,0)(x D >0)，因为|F A |＝|FD |，则|x D －1|＝x 0＋1，由x D >0得x D ＝x 0＋2，故D (x 0＋2,0)．故直线AB 的斜率k AB ＝－y 02. 因为直线l 1和直线AB 平行，设直线l 1的方程为y ＝－y 02x ＋b ， 代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8b y 0＝0，由题意Δ＝64y 20＋32b y 0＝0，得b ＝－2y 0. 设E (x E ，y E )，则y E ＝－4y 0，x E ＝4y 20， 当y 20≠4时，k AE ＝y E －y 0x E －x 0＝－4y 0＋y 04y 20－y 204＝4y 0y 20－4， 可得直线AE 的方程为y －y 0＝4y 0y 20－4(x －x 0)，由y 20＝4x 0， 整理可得y ＝4y 0y 20－4(x －1)， 直线AE 恒过点F (1,0)． 当y 20＝4时，直线AE 的方程为x ＝1，过点F (1,0)，所以直线AE 过定点F (1,0)． ②由①知直线AE 过焦点F (1,0)，所以|AE |＝|AF |＋|FE |＝(x 0＋1)＋⎝⎛⎭⎫1x 0＋1＝x 0＋1x 0＋2. 设直线AE 的方程为x ＝my ＋1，因为点A (x 0，y 0)在直线AE 上，故m ＝x 0－1y 0， 设B (x 1，y 1)，直线AB 的方程为y －y 0＝－y 02(x －x 0)， 由于y 0≠0，可得x ＝－2y 0y ＋2＋x 0， 代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8－4x 0＝0. 所以y 0＋y 1＝－8y 0， 可求得y 1＝－y 0－8y 0，x 1＝4x 0＋x 0＋4， 所以点B 到直线AE 的距离为 d ＝⎪⎪⎪⎪4x 0＋x 0＋4＋m ⎝⎛⎭⎫y 0＋8y 0－11＋m 2 ＝4(x 0＋1)x 0＝4⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0. 则△ABE 的面积S ＝12×4·⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0＋2≥16，1当且仅当x0＝x0，即x0＝1时等号成立．所以△ABE的面积的最小值为16.。
数学北师大版高中选修2-1高二下数学期末试卷
高二数学期末试卷一、选择题（本大题共有12小题, 每小题5分, 共60分. 在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题意的，请把正确选项前的字母代号填在题后的括号内）1．物体的运动方程是S =10t －t 2(S 的单位：m ； t 的单位：s), 则物体在t =2s 的速度是 ( ) A ．2 m/s B ．4 m/s C ．6 m/s D ．8 m/s 2．算法此算法的功能是 ( )A ．a ，b ，c 中最大值B ．a ，b ，c 中最小值C ．将a ，b ，c 由小到大排序D ．将a ，b ，c 由大到小排序3．从一群游戏的孩子中抽出k 人，每人扎一条红带，然后让他们返回继续游戏，一会后，再从中任取m 人，发现其中有n 人扎有红带，估计这群孩子的人数为 （ ） A ．k m B ．k n C ．m kn D ．n km4．甲、乙、丙、丁四名射击选手在选拔赛 中所得的平均环数x 及其方差S 2如下表所示，则选送参加决赛的最佳人选 是 （ ）A ．甲B ． 乙C ．丙D ． 丁 5．若命题p : x ∈A ∪B , 则非p 是 ( ) A ．x ∉A 且x ∉B B ．x ∉A 或x ∉B C ．x ∉A ∩B D ．x ∈A ∩B 6．在下列命题中，(1)2,0x R x ∀∈≥. (2)x R ∃∈,使得x 2+x +1<0. (3)若tan α= tan β,则α=β.(4)若ac =b 2则a 、b 、c 成等比数列。
其中真命题有 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个7．若不等式|x －1| <a 成立的充分条件是0<x <4,则实数a 的取值范围是 ( )A ．a ≤1B ．a ≤3C ．a ≥1D ．a ≥38． (文科做) 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是21，乙获胜的概率是31则65是 ( ）A ．乙胜的概率B ．乙不输的概率C ．甲胜的概率D ．甲不输的概率8．(理科做)若向量、的坐标满足(2,1,2)a b +=--，(4,3,2)a b -=--，则·等于 ( ) A ．1- B ．5- C ．5 D ．79．(文科做) 设一组数据的方差s 2,将这组数据的每个数据乘以10,所得到一组新数据的方差是( )9．(理科做)下列积分正确的一个是( )A ．22ππ-⎰sin x dx =2 B ．271⎰=12C ．ln 2⎰e x (1+ e x ) dx =163D ．21⎰12xe x dxe10．已知双曲线x 2a 2 － y 22 =1(a>2)的两条渐近线的夹角为π3,则双曲线的离心率为 ( )A ．2B ． 3C ．263D ．23311．在平面直角坐标系中，点(x ,y ) 中的x 、y ∈{0,1,2,3,4,5,6}且x ≠y ，则点(x ,y )落在半圆（x －3）2+y 2=9(y ≥0)内(不包括边界) 的概率是 （ ）A ．1142B ．1342C ．37D ．154912．函数y =x cos x －sin x 在下面哪个区间上是增函数 ( )A ．(2π, 23π)B ．(π, 2π)C ．( 23π,25π) D ．( 2π, 3π)二、填空题（本大题共有6小题，每题5分，共30分. 把结果直接填在题中的横线上）13．若施肥量x 与水稻产量y 的线性回归方程为ˆy=5x +250，当施肥量为80kg 时，预计的水 稻产量为 . 14.右图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序 框图，其中判断框内应填入的条件是 . 15有两个人在一座15层大楼的底层进入电梯，设他们中的每一个人自第二层开始在每一层离开是等可能的，则这两个 人在不同层离开的概率是 ．16．直线y ＝x －3与抛物线y 2=4x 交于A 、B 两点，过A 、B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P 、Q ，则梯形 APQB 的面积为 ．17．点P 是椭圆19y 16x 22=+上一点, F 1、F 2是其焦点, 若 ∠F 1P F 2=90°, △F 1P F 2面积为 ．18. (文科做) 函数f (x )= x －e x在点P 的切线平行于x 轴,则点P 的坐标为 ． 18. (理科做) 由曲线y=24x 、直线x =1、x =6和x 轴围成的封闭图形的面积为 ． 三、解答题（本大题共有6小题，满分50分. 解答需写出文字说明、推理过程或演算步骤） 19.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了20000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．根椐上述信息回答下列问题：（1）月收入在[3000, 3500 )的居民有多少人? (2) 试估计该地居民的平均月收入（元）； (3) 为了分析居民的收入与年龄、学历、职 业等方面的关系，要从这20000人中再用分层抽样方法抽出300人作进一步调查，则在[2500, 3000 )（元）月收入段应抽出多少人．20.今有一批球票，按票价分别为10元票5张，20元票3张，50票2张，从这批票中抽出2 张. 问：（1）抽得2张均为20元的票价的概率 （2）抽得2张不同票价的概率.（3）抽得票价之和等于70元的概率.21.(文科做)已知命题p : f (x )=31x- , 且,命题q : 集合{}2|(2)10,A x x a x x R =+++=∈,B={x | x ＞0}, 且A B =∅，求实数a 的取值范围，使p 、q 中有且只有一个为真命题。
2019-2020学年高二数学北师大版选修2-1学业分层测评1 Word版含答案
学业分层测评(一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列语句不是命题的有( )①《非常学案》是最畅销的教辅材料吗？②2x－1＞3.③7＋6＝14.④两直线平行内错角相等．A．①②B．①③C．②④D．①②③【答案】 A2．若命题p的逆命题是假命题，则下列判断一定正确的是( )A．命题p是真命题B．命题p的否命题是假命题C．命题p的逆否命题是假命题D．命题p的否命题是真命题【解析】一个命题的逆命题与否命题互为逆否命题，故它们同真假，故选B.【答案】 B3．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是( )A．这个四边形的对角线互相平分B．这个四边形的对角线互相垂直C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直D．这个四边形是平行四边形【解析】此命题可改为“若一个四边形是平行四边形则它的对角线互相平分，也互相垂直”，故结论为选项C.【答案】 C4．在下列命题中，真命题是( )A．“x＝2时，x2－3x＋2＝0”的否命题B．“若b＝3，则b2＝9”的逆命题C．若x∈R，则x2＋3＜0D．“相似三角形的对应角相等”的逆否命题【解析】“相似三角形的对应角相等”是真命题，又因为原命题与逆否命题为等价命题，故选D.【答案】 D5．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图像不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )A．3 B．2C．1 D．0【解析】易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题只有一个．【答案】 C二、填空题6．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的________命题．【导学号：32550002】【解析】根据四种命题的关系，易知s是t的否命题．【答案】否7．把下列不完整的命题补充完整，并使之成为真命题．若函数f(x)＝3＋log2x的图像与g(x)的图像关于________对称，则函数g(x)＝________.(填上你认为可以成为真命题的一种情况既可)【解析】该题将函数的图像和性质与命题综合在一起，要综合利用各部分的知识．部分可能情况有：x轴，－3－log2x；y轴，3＋log2(－x)；原点，－3－log2(－x)；直线y＝x,2x－3等．【答案】x轴－3－log2x8．给定下列命题：①“若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0”有实数根；②若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x、y中至少有一个为0.其中真命题的序号是________．【解析】①Δ＝4＋4k∵k＞0，∴Δ＞0方程有实根，故①为真命题．②，④易判断为真命题．③对角线相等的四边形有可能是梯形．【答案】①②④三、解答题9．将下列命题改写为“若p，则q”的形式，并判断真假．(1)偶数能被2整除；(2)奇函数的图像关于原点对称．【解】(1)若一个数是偶数，则它能被2整除．真命题．(2)若一个函数是奇函数，则它的图像关于原点对称．真命题．10．分别写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断这四个命题的真假：(1)若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除；(2)四条边相等的四边形是正方形．【解】找出原命题的条件和结论，依照定义写出另外三种命题．(1)逆命题：若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数字是0；否命题：若一个整数的末位数字不是0，则这个整数不能被5整除；逆否命题：若一个整数不能被5整除，则这个整数的末位数字不是0.逆命题和否命题是假命题，原命题和逆否命题是真命题．(2)原命题可以改写成：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形；逆命题：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等；否命题：若一个四边形的四条边不全相等，则它不是正方形；逆否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不全相等．原命题和逆否命题是假命题，逆命题和否命题是真命题．[能力提升]1．有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．其中真命题的序号为( )A．①②B．②③C．①③D．③④【解析】①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题是“若x，y互为相反数，则x ＋y＝0”，是真命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题是“若两个三角形不全等，则这两个三角形面积不相等”，是假命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题是“若x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1”，是真命题；④“不等边三角形的三个内角相等”是假命题，其逆否命题是假命题．【答案】 C2．若命题p 的逆否命题是q ，q 的逆命题是r ，则p 与r 是( )A ．互逆命题B ．互否命题C ．互逆否命题D ．不确定【解析】 p ，q 互为逆否命题，又q 的逆命题是r ，故p 、r 为互否命题．【答案】 B3．下列说法正确的是________．①“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零”的否命题为“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 全不为零”． ②“正多边形都相似”的逆命题是真命题．③“若x －312是有理数，则x 是无理数”的逆否命题是真命题． 【解析】 ①中否命题：“若x 2＋y 2≠0则x ，y 不全为0”，故是错误的．②中逆命题：“若两个多边形相似，则这两个多边形是正多边形”，是假命题，故此说法错误．③中逆否命题：“若x 不是无理数，则x －312不是有理数”，是真命题，故说法正确． 【答案】 ③4．若方程x 2＋2px －q ＝0(p ，q 是实数)没有实数根，则p ＋q <14. (1)判断上述命题的真假，并说明理由．(2)试写出上述命题的逆命题，并判断真假，说明理由．【解】 (1)上述命题是真命题，由题意，得方程的判别式Δ＝4p 2＋4q <0，得q <－p 2，∴p ＋q <p －p 2＝－⎝⎛⎭⎪⎪⎫p －122＋14≤14， ∴p ＋q <14. (2)逆命题：如果p ，q 是实数，p ＋q <14，则方程x 2＋2px －q ＝0没有实数根．逆命题是假命1 4，但原方程有实数根x＝－1.题，如当p＝1，q＝－1时，p＋q<。
北师大版高中数学选修2-1考试题及答案(理科)
选修〔 2-1 〕学刘理论班级：姓名： 座号： 成绩：一、选择题〔15× 4=60 分〕1、(x+1)(x+2)>0是 (x+1)(x 2 +2)>0的〔〕条件A必要不充分 B充要C充分不必要 D 既不充分也不必要2、 p 是 r 的充分不必要条件， s 是 r 的必要条件， q 是 s 的必要条件，那么 p 是 q 成立的〔 〕条件A 必要不充分B 充分不必要C 充要D 既不充分也不必要 uuur uuur3、 A 2, 5,1, B 2, 2,4 ,C 1,4,1 ，那么向量 AB 与 AC 的夹角为〔〕A 300B450C600D9004、O 、A 、B 、C 为空间四个点，又 OA、OB、OC为空间的一个基底，那么〔〕A O 、 A 、B 、C 四点共线 B O 、A 、B 、C 四点共面C O 、A 、B 、C 四点中任三点不共线D O 、A 、B 、C 四点不共面5、给出以下关于互不相同的直线 m 、 l 、 n 和平面α、β的四个命题：①假设m, lA,点 Am ,那么 l 与 m 不共面；②假设m 、l 是异面直线， l // , m //,且 n l , nm ,那么 n；③假设l //, m //, // , 那么 l // m ；④假设l, m, lm点 A, l // , m // , 那么 // .其中为假命题的是 〔 〕A ①B ②C ③D ④6、高为 3 的直棱柱 ABC — A ′ B ′ C ′的底面是边长为 1 的正三角形〔如图 1 所示〕，那么三棱锥 B ′— ABC 的体积为〔 〕A1B1C3 D 342647、假设焦点在 x轴上的椭圆 x2y 2 1 的离心率为 1，那么 m=〔 〕2m2A3B 3C8D2 2338、 P3cos,3sin,1 和Q2cos,2sin,1 ，那么 PQ 的取值范围是〔〕A1,5B1,5C0,5D0,259、椭圆x2y 21上一点 P 到它的右准线的距离为10, 那么点 P 到它的左焦10036点的距离是 ()A 8B 10C 12D 1410、与双曲线x2y21有共同的渐近线,且经过点 3,2 3 的双曲线的一个焦点916到一条渐近线的距离是 () A 1 B2 C 4 D 811、假设抛物线y28x 上一点P到准线和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，那么此点 P 的横坐标为〔〕A 10B9C8D非上述答案12、坐标满足方程F〔 x， y〕 =0 的点都在曲线 C上，那么〔〕A 曲线 C上的点的坐标都适合方程F〔 x， y〕=0；B凡坐标不适合 F〔x，y〕=0 的点都不在 C上；C不在 C上的点的坐标不必适合 F〔x，y〕=0；D不在 C上的点的坐标有些适合 F〔x，y〕=0，有些不适合 F〔 x， y〕 =0。
2019-2020学年高二数学北师大版选修2-1学业分层测评12 Word版含答案
学业分层测评(十二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC1→上且AM→＝12MC1→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为( )A.216aB ．66aC.156a D ．153a【解析】 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A (a ，0,0)，C 1(0，a ，a )，N ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ，a ，a 2.设M (x ，y ，z )．∵点M 在AC1→上且AM →＝12MC1→.∴(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z )，∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a 3.于是M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2a 3，a 3，a 3.∴|MN →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a －23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a －a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2－a 32＝216a .【答案】 A2．已知平面α的法向量为n ＝(－2，－2,1)，点A (x,3,0)在平面α内，则点P (－2,1,4)到平面α的距离为103，则x ＝( )【导学号：32550053】A ．－1B ．－11C ．－1或－11D ．－21【解析】 PA →＝(x ＋2,2，－4)，而d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪PA →·n|n|＝103，即错误!＝错误!，解得x ＝－1或－11. 【答案】 C3．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长是1，则直线DA 1与AC 间的距离为( ) A.13 B ．23C.33 D ．34【解析】 建系如图A (1,0,0)，A 1(1，0,1)，C (0,1,0)，AC →＝(－1,1,0)，DA1→＝(1,0,1)，设n ＝(x ，y ，z )，令⎩⎪⎨⎪⎧n·AC →＝0n·DA1→＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0x ＋z ＝0令x ＝1则n ＝(1,1，－1)DA →＝(1,0,0)，DA1→与AC 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪DA →·n |n|＝33.【答案】 C 4．△ABC 的顶点分别为A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AC 边上的高BD 等于( )A ．5B ．41C ．4D ．25【解析】 设AD →＝λAC →，D (x ，y ，z )． 则(x －1，y ＋1，z －2)＝λ(0,4，－3)． ∴x ＝1，y ＝4λ－1，z ＝2－3λ， ∴BD →＝(－4,4λ＋5，－3λ)．∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0，∴λ＝－45，∴BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－4，95，125，∴|BD →|＝ 16＋8125＋14425＝5.【答案】 A5．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离为( )A.83 B ．38C.43D ．34【解析】 如图，建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (2，0,0)，A 1(2,0,4)，B 1(2,2,4)，D 1(0,0,4)．∴D1B1→＝(2,2,0)，D1A →＝(2,0，－4)，AA1→＝(0,0,4)，设n ＝(x ，y ，z )是平面AB 1D 1的一个法向量，则n ⊥D1B1→，n ⊥D1A →，∴⎩⎪⎨⎪⎧n·D1B1→＝0，n·D1A →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0，2x －4z ＝0.令z ＝1，则平面AB 1D 1的一个法向量为n ＝(2，－2,1)．∴由AA1→在n 上射影可得A 1到平面AB 1D 1的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AA1→·n|n|＝43.【答案】 C 二、填空题6．如图2-6-5所示，在直二面角D -AB -E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△AEB 是等腰直角三角形，其中∠AEB ＝90°，则点D 到平面ACE 的距离为________．图2-6-5【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1,0)，E (1,0,0)，D (0，－1,2)，C (0,1,2).AD→＝(0,0,2)，AE →＝(1,1,0)，AC →＝(0,2,2)，设平面ACE 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n·AE →＝0，n·AC →＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0；2y ＋2z ＝0.令y ＝1，∴n ＝(－1,1，－1)． 故点D 到平面ACE 的距离 d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AD→·n|n|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23＝233. 【答案】2337．设A (2,3,1)，B (4,1,2)，C (6,3,7)，D (－5，－4,8)，则点D 到平面ABC 的距离为________．【导学号：32550054】【解析】 设平面ABC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，∵n ·AB →＝0，n ·AC →＝0， ∴错误!即错误!⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32z y ＝－z令z ＝－2，则n ＝(3,2，－2)．又AD →＝(－7，－7,7)，∴点D 到平面ABC 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AD →·n |n|＝错误!＝错误!＝错误!.【答案】4917178．如图2-6-7所示，正方体的棱长为1，E ，F ，M ，N 分别是棱的中点，则平面A 1EF 与平面B 1NMD 1的距离为________．图2-6-7【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(1,0,0)，B 1(1,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，0，1，F ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，12，1，D 1(0,0,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12，1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1，1.∵E ，F ，M ，N 分别是棱的中点， ∴MN ∥EF ，A 1E ∥B 1N . ∴平面A 1EF ∥平面B 1NMD 1.∴平面A 1EF 与平面B 1NMD 1的距离即为A 1到平面B 1NMD 1的距离． 设平面B 1NMD 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∴n ·D1B1→＝0，且n ·B1N →＝0. 即(x ，y ，z )·(1,1,0)＝0，且(x ，y ，z )·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，0，1＝0. ∴x ＋y ＝0，且－12x ＋z ＝0，令x ＝2，则y ＝－2，z ＝1.∴n ＝(2，－2,1)，n 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23，－23，13.∴A 1到平面B 1NMD 1的距离为d ＝|A1B1→·n 0| ＝错误!＝错误!. 【答案】23三、解答题9．如图2-6-8，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，BC ＝3，CC 1＝2.图2-6-8(1)求证：直线CD 1∥平面A 1BC 1； (2)求直线CD 1与平面A 1BC 1间的距离． 【证明】 (1)建系如图，则C (0,4,0)，D 1(0,0,2)，B (3,4,0)，A 1(3,0,2)，C 1(0,4,2)，所以CD1→＝(0，－4,2)，BA1→＝(0，－4,2)，BC1→＝(－3,0,2)，BC →＝(－3,0,0)．∵CD1→＝BA1→，∴CD 1∥BA 1，又因为CD 1平面A 1BC 1，BA 1平面A 1BC 1，所以CD 1∥平面A 1BC 1.(2)设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n·BA1→＝0，n·BC1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4y ＋2z ＝0，－3x ＋2z ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12z ，x ＝23z.取z ＝6，则x ＝4，y ＝3，∴n ＝(4,3,6)，则BC →·n ＝(－3，0,0)·(4,3,6)＝－12，|n |＝61.所以点C 到平面A 1BC 1的距离即直线CD 1到平面A 1BC 1的距离，即d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪BC →·n|n|＝|－12|61＝126161. 10．如图2-6-9，已知△ABC 是以∠B 为直角的直角三角形，SA⊥平面ABC ，SA ＝BC ＝2，AB ＝4，M ，N ，D 分别是SC ，AB ，BC 的中点，求点A 到平面SND 的距离．图2-6-9【解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则N (0,2,0)，S (0,0,2)， D (－1,4,0)， ∴NS →＝(0，－2,2)，SD →＝(－1,4，－2)．设平面SND 的法向量为n ＝(x ，y,1)． ∴n ·NS →＝0，n ·SD →＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－2y ＋2＝0，－x ＋4y －2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.∴n ＝(2,1,1)．∵AS →＝(0,0,2)．∴点A 到平面SND 的距离为|n·AS →||n|＝26＝63.[能力提升]1．若正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，AB 1与底面ABCD 成60°角，则A 1C 1到底面A BCD 的距离为( )A.33B ．1C.2 D ．3【解析】 如图所示，直线AB 1与底面ABCD 所成的角为∠B 1AB ，而A 1C 1到底面ABCD 的距离为AA 1，在Rt △ABB 1中，B 1B ＝AB ·tan 60°＝3.所以AA 1＝BB 1＝3.【答案】 D2．如图2-6-10，P -ABCD 是正四棱锥，ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体，其中AB ＝2，P A ＝6，则B 1到平面P AD 的距离为( )图2-6-10A ．6B ．355C.655D ．322【解析】 以A 1B 1为x 轴，A 1D 1为y 轴，A 1A 为z 轴建立空间直角坐标系，设平面P AD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，∵AD →＝(0,2,0)，AP →＝(1,1,2)， ∴AD →·n ＝0，且AP →·n ＝0.∴y ＝0，x ＋y ＋2z ＝0，取z ＝1，得n ＝(－2,0,1)．∵B1A →＝(－2,0,2)，∴B 1到平面P AD 的距离d ＝|B1A →·n||n|＝655.【答案】 C3.如图2-6-11所示，已知边长为42的正三角形ABC 中，E ，F 分别为BC 和AC 的中点，P A⊥平面ABC ，且P A ＝2，设平面α过PF 且与AE 平行，则AE 与平面α间的距离为________．【导学号：32550055】图2-6-11【解析】 设AP →，AE →，EC →的单位向量分别为e 1，e 2，e 3，选取{e 1，e 2，e 3}为空间向量的一个基底，易知e 1·e 2＝e 2·e 3＝e 3·e 1＝0，AP →＝2e 1，AE →＝26e 2，EC →＝22e 3，PF →＝PA →＋AF →＝PA →＋12AC →＝PA →＋12(AE →＋EC →)＝－2e 1＋6e 2＋2e 3.设n ＝x e 1＋y e 2＋e 3是平面α的一个法向量，则n ⊥AE →，n ⊥PF →，∴⎩⎪⎨⎪⎧n·AE →＝0n·PF →＝0⇒错误!⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 26y|e2|2＝0－2x|e1|2＋6y|e2|2＋2|e3|2＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＝22.∴n ＝22e 1＋e 3.∴直线AE 与平面α间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AP →·n |n|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2e1·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22e1＋e3⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪22e12＋|e3|2＝233.【答案】 2334．已知正方形ABCD 的边长为1，PD ⊥平面ABCD ，且PD ＝1，E ，F 分别为AB ，BC 的中点．(1)求点D 到平面PEF 的距离；(2)求直线AC 到平面PEF 的距离．【解】 (1)建立以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴的空间直角坐标系，如图所示．则P (0,0,1)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1，0，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，12，0，PE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，12，－1， 设平面PEF 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则n ·EF →＝0且n ·PE →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －12x ＋12y ＝0，x ＋12y －z ＝0.令x ＝2，则y ＝2，z ＝3，所以n ＝(2,2,3)，所以点D 到平面PEF 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪DE →·n |n|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋14＋4＋9＝31717，因此，点D 到平面PEF 的距离为31717.(2)因为AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12，0，所以点A 到平面PEF 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AE →·n |n|＝117＝1717， 所以AC 到平面PEF 的距离为1717.。