大学物理课件波的基本概念
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大学普通物理课件 第21章 - 波动
本章重点：机械波中的简谐波 波的叠加
§21-1 机械波 行波
Mechanical Wave and Travelling Wave
1. 机械波的产生和传播 机械波——机械振动的传播。
机械波产生和传播的条件：
波源 弹性介质
波源——引起介质振动，即产生形变和位移的振(扰)动 系统。锣鼓 琴弦 声带 扬声器纸膜 抖绳的手
O点的振动状态向右传播到 x 点需要时间：t x / u x处的质元开始振动的时刻比原点晚 x / u ，所以 x 处的质元在 时刻 t 的位移应该等于原点在 (t x / u) 的位移，即
y A cos[ (t x u) 0 ]
y A cos[ (t x u) 0 ]
2. 均匀细棒中纵波波动方程的推导
设细棒密度为，截面积为S，沿细棒取x坐标，设波沿x
正向传播。考察媒质中 x x +x 段质元：
y (x)
y ( x x)
S
F (x)
F ( x x)
x x x x
x
t 时刻两端面的位移如图，则x处微小质元的线应变可表
结论：波形曲线也是余弦函数曲线；
波的传播表现为波形曲线的平移. 波形曲线以波速u向传播方向平移。x ut
[例1] 设波源位于 x 轴的原点处， y (cm) 波源的振动曲线如图所示，已知波速为 2 u = 5 m/s ，波向 x 正向传播。 O 6 t (s) 2 4 （1）画出距波源 15 m处质元的振 2 动曲线； （2）画出 t = 3 s 时的波形曲线。（3）写出 20m 处质元的速度表达式。 解：由图可知
1 G 2 ( SD ) 2 材料发生切变时，单位体积内的弹性势能为：
§21-1 机械波 行波
Mechanical Wave and Travelling Wave
1. 机械波的产生和传播 机械波——机械振动的传播。
机械波产生和传播的条件：
波源 弹性介质
波源——引起介质振动，即产生形变和位移的振(扰)动 系统。锣鼓 琴弦 声带 扬声器纸膜 抖绳的手
O点的振动状态向右传播到 x 点需要时间：t x / u x处的质元开始振动的时刻比原点晚 x / u ，所以 x 处的质元在 时刻 t 的位移应该等于原点在 (t x / u) 的位移，即
y A cos[ (t x u) 0 ]
y A cos[ (t x u) 0 ]
2. 均匀细棒中纵波波动方程的推导
设细棒密度为，截面积为S，沿细棒取x坐标，设波沿x
正向传播。考察媒质中 x x +x 段质元：
y (x)
y ( x x)
S
F (x)
F ( x x)
x x x x
x
t 时刻两端面的位移如图，则x处微小质元的线应变可表
结论：波形曲线也是余弦函数曲线；
波的传播表现为波形曲线的平移. 波形曲线以波速u向传播方向平移。x ut
[例1] 设波源位于 x 轴的原点处， y (cm) 波源的振动曲线如图所示，已知波速为 2 u = 5 m/s ，波向 x 正向传播。 O 6 t (s) 2 4 （1）画出距波源 15 m处质元的振 2 动曲线； （2）画出 t = 3 s 时的波形曲线。（3）写出 20m 处质元的速度表达式。 解：由图可知
1 G 2 ( SD ) 2 材料发生切变时，单位体积内的弹性势能为：
大学物理(机械波篇).
第12章 机械波
13
结论
(1) 波动中各质点并不随波前进； (2) 各个质点的相位依次落后,波动是相位的传播； (3) 波动曲线与振动曲线不同。 y t
振动曲线 波动曲线
y x
波形图： 某时刻 各点振动的位移 y (广义：任一物理量)与相应的平衡位置坐标 x 的关系曲线
思考：上述波形图表示的波一定是横波吗？
16
a点的振动曲线
y
O
t
b点的振动曲线
y
O
t
第12章 机械波
17
c点的振动曲线
y
O
t
d点的振动曲线
y
O
t
第12章 机械波
18
例2 已知x=0处质元的振动曲线如图，画出t = 0时刻的波 形曲线(设波沿 +x方向传播)。 x=0 解: 由振动曲线看出: x=0处质元 在零时刻的振动状态为 T
y
y 0, v 0
F
G
切变模量 弹性模量
u
Y
B
体积模量
在液、气体中只能传播纵波： u 如声音的传播速度
空气，常温 左右，混凝土
23
343 m s 4000 m s
第12章 机械波
§12-2 平面简谐波
简谐波 介质传播的是谐振动，且波所到之处，介质中 各质点作同频率的谐振动。 平面简谐波 说明 简谐波是一种最简单、最基本的波，研究简谐波的波 动规律是研究更复杂波的基础。 波面为平面的简谐波
因此，波速必定与介质的惯性及弹性有关 在弦中传播的横波波速
量纲分析：速率：L/T (m/s)
惯性：由弦的质量线密度表示（ m / l）（kg/m） 弹性：由弦的张力表示 F , 量纲（F=ma） （kg.m/s2） 显然： u C
大学物理下册课件 第15章 机械波
已知振动状态以速度 沿 轴正向传播 。对应同一时刻 ，
振动状态与原点在
时刻的振动状态相同。
点的
因此，在设定坐标系中，波线上任一点、任意时刻的振动规律为
这就是沿 X 轴正向传播的平面简谐波动方程。它是时间和空间的双重周期函数。
15.2.1 平面简谐波的波函数
沿 X 轴正向传播的平面简谐波动方程
t = 7T / 8
t = T
在同一坐标系
XOY 中
正向波
反向波
驻波
点击鼠标，观察在一个周期T 中不同时刻各波的波形图。
每点击一次，
时间步进
合成驻波
15.4.3 驻 波
为简明起见，
设
改写原式得
并用
由
正向波
反向波
驻 波 方 程
注意到三角函数关系
得
驻 波 方 程
驻 波 方 程
波节
波腹
波腹处振幅最大
固体的容变弹性模量
液体和气体:液体可以产生容变,其容变弹性模量如固体一致
对于密度为 的固体,在其中传播横波和纵波的速度为
液体和气体中传播纵波的波速为
15.1.3 波的特征量
关于波速问题: 波速取决于媒质的弹性(弹性模量)和媒质的惯性(密度)
细长棒:沿着棒的长度方向传播纵波的波速取决于杨氏弹性模量及其惯性
上下
抖动
振速 最小
振速 最大
形变最小
形变最大
时刻波形
在波动中，各体积元产生不同程度的 弹性形变，
具有 弹性势能
各体积元以变化的振动速率 上下振动，
具有振动动能
总能量
15.3 波的能量
动能
动能计算
势能计算
大学物理课件-驻波
02
波源的振动通过介质传递到另一 端，并被反射回来，形成驻波。
分类
按形成方式分类
可分为自由驻波和强制驻波。自由驻 波是由自由振动的波源产生的，而强 制驻波则是由外部力作用下的振动系 统产生的。
按节点数量分类
可分为一阶驻波、二阶驻波等。节点 数量越多，波形越复杂。
02
驻波的形成原理
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
液体和气体介质中的驻波
在液体和气体介质中，由于声速较低，驻波的波长较 长。与固体介质中的驻波相比，液体和气体中的驻波 振幅分布更加均匀，能量分布也更加广泛。
不同形状的驻波
要点一
矩形驻波
矩形驻波是指沿着传播方向上存在周期性变化的波形。在 矩形驻波中，波腹和波节的位置是固定的，振幅和相位在 空间中呈现周期性变化。
大学物理课件-驻波
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
• 驻波的概念 • 驻波的形成原理 • 驻波的应用 • 驻波实验 • 驻波的数学模型与计算 • 驻波的扩展知识
目录
CONTENTS
01
驻波的概念
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
波腹
在驻波中，有些位置的振动幅度最大，这些位置被称为波腹。波腹的位置由介质 和障碍物的性质共同决定。
弦的振动与驻波的关系
弦的振动
弦的振动可以产生驻波。当弦以一定的频率振动时，产生的 波动会在弦的两端反射，形成驻波。
弦的长度与驻波的关系
弦的长度必须是半波长的整数倍才能产生驻波。如果弦的长 度不是半波长的整数倍，则无法形成驻波。
乐器发声原理
弦乐器
波源的振动通过介质传递到另一 端，并被反射回来，形成驻波。
分类
按形成方式分类
可分为自由驻波和强制驻波。自由驻 波是由自由振动的波源产生的，而强 制驻波则是由外部力作用下的振动系 统产生的。
按节点数量分类
可分为一阶驻波、二阶驻波等。节点 数量越多，波形越复杂。
02
驻波的形成原理
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
液体和气体介质中的驻波
在液体和气体介质中，由于声速较低，驻波的波长较 长。与固体介质中的驻波相比，液体和气体中的驻波 振幅分布更加均匀，能量分布也更加广泛。
不同形状的驻波
要点一
矩形驻波
矩形驻波是指沿着传播方向上存在周期性变化的波形。在 矩形驻波中，波腹和波节的位置是固定的，振幅和相位在 空间中呈现周期性变化。
大学物理课件-驻波
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
• 驻波的概念 • 驻波的形成原理 • 驻波的应用 • 驻波实验 • 驻波的数学模型与计算 • 驻波的扩展知识
目录
CONTENTS
01
驻波的概念
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
波腹
在驻波中，有些位置的振动幅度最大，这些位置被称为波腹。波腹的位置由介质 和障碍物的性质共同决定。
弦的振动与驻波的关系
弦的振动
弦的振动可以产生驻波。当弦以一定的频率振动时，产生的 波动会在弦的两端反射，形成驻波。
弦的长度与驻波的关系
弦的长度必须是半波长的整数倍才能产生驻波。如果弦的长 度不是半波长的整数倍，则无法形成驻波。
乐器发声原理
弦乐器
《大学物理下》课件-第十章波的传播与叠加(1)
§10. 5 波的叠加与干涉
§10.5 波的的叠加与干涉
·49 ·
Chapter 10. 波的传播与叠加
§10. 5 波的叠加与干涉
一、波的迭加与独立性传播原理
1. 波的传播具有独立性：相遇后各列波原有特性不变。
2. 在相遇空间中的任一点的振动为各列波在该点分别
引起的振动位移矢量和 :
·50 ·
Chapter 10. 波的传播与叠加
2. t 一定：t = t0 ，
判断：
右图中各点的速度方向 或运动趋势。
·17 ·
Chapter 10. 波的传播与叠加 §10. 2 平面简谐波的波函数
3. x、t 都不定：
☻波速即为相位传播速度 ( 相速 ) 。
☻行波或前进波。
·18 ·
Chapter 10. 波的传播与叠加 §10. 2 平面简谐波的波函数
Chapter 10. 波的传播与叠加 §10. 4 惠更斯原理 波的反射、折射及衍射
1. 惠更斯原理： (1) 媒质中波动各点皆可当作球面子波的新波源； (2) 任意时刻各子波源所发出子波的包迹即为新波
阵面。 2. 惠更斯作图法。
( The end ) ·48 ·
Chapter 10. 波的传播与叠加
结论：任意时刻媒质中某质元的 动能 ＝ 势能 ！
质元 dx 的形变量：
Ek、Ep 皆最大：1，3，5
Ek、Ep 皆最小：2，4，6
·34 ·
Chapter 10. 波的传播与叠加
二、波的能量密度
§10. 3 波的能量 能流
能量密度： 一个周期内能量密度平均值：
·35 ·
Chapter 10. 波的传播与叠加 §10. 3 波的能量 能流
大学物理——韩永胜——09第十二章机械波
中国药科大学物理教研室（Phys. Dept. C.P.U.）
例题 已知 t = 0 时的波形曲线为Ⅰ，波沿 x 正向传播，在 t = 0.5 s 时波形变为曲线Ⅱ。已知波的周期 T > 1 s ，试根 据图示条件求波动方程和 P 点的振动表达式。 （已知 A = 0.01 m） y(cm) u Ⅰ Ⅱ
u
S u
在单位时间内通过垂直于波线的单位面积上的波的平 均能量，即为能流密度 I，也叫波的强度：
1 2 2 I u uA TS 2
它是表征波动中能量传播的一个重要物理量。
中国药科大学物理教研室（Phys. Dept. C.P.U.）
uTS
例题 试利用能流密度的概念求出球面波的表达式。 设在t1时刻球面波到达r1处，即球面波的波前是半 2 S 4 r 径为r1的球面（面积 1 1），在t2时刻波前半径是r2 2 S 4 r （面积 2 2） 。设介质本身不吸收能量，则单位时间 内通过S1面的能量，必然通过S2。因此有如下等式：
2 2 y ( x1 , t ) A cos( t x1 0 ) T 2 2 y ( x 2 , t ) A cos( t x2 0 ) T
中国药科大学物理教研室（Phys. Dept. C.P.U.）
在波的传播方向上，两定点 x1 和 x2的振动相位依 次落后，相位差为:
y0 ( t ) 0.01 cos( t ) 2
所以，可得波动方程：
x ) y ( x, t ) 0.01cos (t 0.02 2
P点振动表达式：
0.01 ) y P ( t ) 0.01cos ( t 0.02 2
机械波的平均能量密度与振幅的平方、频率的平方 机械波的平均能量密度与振幅的平方、频率的平方 及介质的密度都成正比。 及介质的密度都成正比。
《大学物理波的干涉》课件
干涉的应用
探索干涉的应用领域，包括物理实验、光学和工程等方面。
1
物理实验
利用干涉现象进行实验研究，深入理解波动性和光的特性。
2
光学装置
利用干涉效应设计光学装置，如干涉仪和干涉滤光片。
3
工程应用
在工程领域中利用干涉技术进行测量、检测和精密加工。
干涉的限制和局限性
了解干涉的限制和局限性，为进一步研究和应用提供参考。
3 干涉效应
波与波叠加时会产生干涉效应，出现增强或抵消的现象。
波的干涉现象
探索波的干涉现象，包括波的相位差和波的干涉模式。
相位差
波的相位差决定了干涉效果的强度和性质。
干涉模式
不同条件下的波的干涉模式呈现出多样的条 纹和图案。
波的干涉实验装置
介绍波的干涉实验装置，供大家进行实验和观察。
双缝实验
利用双缝装置产生干涉，展示波的干涉现象。
相位歧义
相位差的测量和解释存在一 定的歧义，影响干 应的观察和应用范围。
强度分布
干涉条纹的强度分布受到多 种因素的影响，难以控制。
总结和展望
总结物理波的干涉内容，回顾重点，并展望未来的研究和应用方向。
迈克尔逊干涉仪
利用迈克尔逊干涉仪观察干涉效果，研究光的 特性。
干涉条纹的形成和分析
揭示干涉条纹的形成原理和分析方法，帮助理解干涉现象。
波前叠加
不同波的波前叠加形成 明暗相间的条纹。
干涉条纹
通过干涉条纹的间距和 颜色分布，确定干涉的 性质和条件。
分析方法
利用干涉条纹的特性进 行实验和数据分析，推 断物理现象。
《大学物理波的干涉》 PPT课件
这份PPT课件将会带领你领略物理波的干涉世界，揭示波的特性和干涉现象， 探索干涉的应用和限制。
课件：波的能量(大学物理)
B 点质元的动能、势能同时达到最大；
y
A
u
v最小, y 也最小
x
O
B
x
v最大, y 也最大 x
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y(m) y 0 x
y 最大 x
O
x
上页 下页 返回 退出
几乎没有形变 形变最大
上页 下页 返回 退出
(2) 质元机械能随时空周期性变化，表明质元在波传播过 程中不断吸收和放出能量；
EP
1 2
GS x
(y)2
EP
1 GSx( y )2
2
x
1 GV ( y )2
2
x
u G
G u2
EP
1 2
u2V ( y )2
x
EP
1 2
u2V ( y )2
x
上页 下页 返回 退出
EP
1 2
u2V ( y )2
x
y Acos[(t x ) ]
u
EP
1 2
VA2 2
sin 2[(t
x) ]
介质质元从最大位移位置向平衡位置运动时，从后方 吸纳能量，动能和势能都逐渐增大，到达平衡位置时，动 能和势能均最大，所具有的能量也最大。
介质质元从平衡位置向最大位移处运动时，动能和势 能都逐渐减小，向前方输送能量，达到最大位移处时，动 能和势能都等于零，介质质元所具有的能量也最小。
如此不断循环，能量将随着波的传播而向前流动。
因此，波动过程是能量的传播过程。
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波的能量密度 w ：介质中单位体积的波动能量。
w( x, t )
E V
A2 2 sin 2[(t
x u
大学物理课件-驻波
开放和闭合端口
空气柱的开放和闭合端口决定了驻波的波腹和波节 的位置。
立方腔中的驻波
1
驻波形成
立方腔中反射的声波导致波的干涉和驻波的形成。
2
声音共振
特定频率的声波在立方腔内共振，增强声音的音量。
3
声学应用
立方腔的驻波效应在音响系统和乐器设计中发挥重要作用。
电磁波中的驻波
1 电磁辐射
电磁波在空间中传播，形成长波和短波。
驻波的产生条件
1 多次反射
波在两个方向上反射多次，产生定点振动。
2 波长符合条件
波的波长与反射体长度符合特定条件，形成驻波。
柔性弦上的驻波
驻波现象
当弦振动频率与波长匹配时，在弦上产生驻波现象。
节点和反节点
驻波中存在固定的波节和波腹位置，形成稳定的波 形。
空气柱中的驻波
气体共鸣
空气柱中的驻波使特定频率的声波增强，产生共鸣。
2 驻波现象
电磁波在干涉中形成驻波，如微波炉中的驻 波。
节点和反节点
1 节点
波在驻波中不振动的位置，能量传输为零。
2 反节点
波在驻波中最大振动幅度的位置，能量传输最大。
大学物理课件-驻波
欢迎来到我们的大学物理课件，今天源自们将深入研究驻波。驻波的定义和特点
1 定义
驻波是在同一介质内传播的两个波的干涉现象。
2 特点
驻波具有站立波形态、能量不传播、波节和波腹等特点。
波的反射和干涉
1 反射
波在边界上反射，使波的能量在同一介质中回弹。
2 干涉
波通过干涉产生波形的叠加，形成驻波。
大学物理(祝之光) 第十章 波动学基础
2 2 2
w A sin (t x / u)
2 2 2
2.平均能量密度 能量密度在一个周期内的平均值.
1 T w wdt T 0 A2 2 T
T
1 2 2 0 sin (t x / u)dt 2 A
2
3. 能流：单位时间内垂直通过某一面积的能量. 平均能流： P
x1 t x1 1 (t ) 2 π ( ) u T x2 t x2 2 (t ) 2 π ( ) u T
x2 x1 x21 12 1 2 2 π 2π
2π x
R1 ct
R2 c(t t )
O
平面波
球面波
*四、电磁波
1.电磁波的产生和传播 LC电路的能量集中在线圈内和极板间，将电路改 造，最后形成电偶极子，即发射电磁波的天线.
L
C
辐射功率 ,
4
1 LC
2. 平面电磁波性质： 1）电磁波是横波,
2） E 和 H 同相位 ; 3） E 和 H 数值成比例， E H ；
cos 2 π
x
1, 2π
x
x
kπ
(k 0,1,2,)
1 0, 2π (k ) π (k 0,1,2,) 2
波腹
x
k
2 1 (k ) 2 2
(k 0,1,2,) Amax 2 A
(k 0,1,2,) Amin 0 波节
相邻波节距离为
dV
u
弹性介质中取一体积元 dV，质量 dm dV
1 x 2 2 2 振动动能 dEk ρdVA ω sin ω(t ) 2 u
w A sin (t x / u)
2 2 2
2.平均能量密度 能量密度在一个周期内的平均值.
1 T w wdt T 0 A2 2 T
T
1 2 2 0 sin (t x / u)dt 2 A
2
3. 能流：单位时间内垂直通过某一面积的能量. 平均能流： P
x1 t x1 1 (t ) 2 π ( ) u T x2 t x2 2 (t ) 2 π ( ) u T
x2 x1 x21 12 1 2 2 π 2π
2π x
R1 ct
R2 c(t t )
O
平面波
球面波
*四、电磁波
1.电磁波的产生和传播 LC电路的能量集中在线圈内和极板间，将电路改 造，最后形成电偶极子，即发射电磁波的天线.
L
C
辐射功率 ,
4
1 LC
2. 平面电磁波性质： 1）电磁波是横波,
2） E 和 H 同相位 ; 3） E 和 H 数值成比例， E H ；
cos 2 π
x
1, 2π
x
x
kπ
(k 0,1,2,)
1 0, 2π (k ) π (k 0,1,2,) 2
波腹
x
k
2 1 (k ) 2 2
(k 0,1,2,) Amax 2 A
(k 0,1,2,) Amin 0 波节
相邻波节距离为
dV
u
弹性介质中取一体积元 dV，质量 dm dV
1 x 2 2 2 振动动能 dEk ρdVA ω sin ω(t ) 2 u
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y(x,t)Aco2s([tx)]
y(x,t)Aco2 s[(xu)t] y (x ,t) A co k (x s u [)t]2/T
u/T
9
2(x x )
y (x x ,tt) A co ( t st) [
0 ]
A co t s2 [x 2 (u t x ) 0 ]
若这两处相位相同，则有：
u
y31 0 4co4st (x')
5
8米
5米 x
C
B
A
u
ox
y3104co4s(tx)米 ( ）
BC4 u (xCxB)
u
B点相位落后C点相位 4(13 5） 8
与坐标选取无关。
20
5
15
二、 波的能量，能流密度
•
媒质中单位体积中的能量
有一行波： yAc
os[(t
x)] u
质元的速度 yAsin[(tx)]
y (x ,t) A co k (x s u [) t0 ]
11
例题：
一条长线的质量线密度为 1.5102kg/m今用
一水平力 F6N将它张紧，并使其上产生横波 向左传播，在t =0的波形如图所示
A 4.0 1 2 0 m , 0.4m
求：振幅，波长，波速和波的周期
波函数及质元振动速度表达式
解：
波线 波面
波线
6.2 波的周期性和波速 一、 波长、波速和频率：
波面
波长——振动相位相同的两个相邻波 阵面之间的距离是一个波长。或振动 在一个周期中传播的距离，称为波长，
用表示。
4
显然，这里波长远大于媒质分子间距离，即假设 弹性媒质是连续的，媒质中一个波长的距离内有 无数分子在陆续振动，宏观上看来媒质就象连续 的一样。如果波长小到等于或小于分子间距离时， 相距约为一波长的两个分子之间，不再存在其它 分子，我们就不能认为媒质是连续的了，这时媒 质就再也不能传播弹性波了。因此有一个频率上 限存在。高度真空中分子间距离极大，不能传播
u
F
6 1.51 02
2m 0/s
T0.40.02s
u 20
t 0
y
0
2
0.04m
u
x
0.2m 0.4m
12
0.4
T 0.02s u 20
yAco2T s(t22x)
t 0
y
0
2
0.04m
u
x
0.2m 0.4m
0 .4 1 2 c 01 o0 t s 5 ( 0 x 2 ) m
u2 Y
代入上式得在 V体积内
其动势能能为为：：W p1 2V2 A 2si2[n (txu )]
W k 1 2m y t 2 1 2
V2A 2si2 [n (tx )] u
17
总机械能为：
W W k W p V 2 A 2s2 i[ n (t u x )]
对于横波，推导过程中只需用
定义
切变模量代替杨氏模量，结果相同。
能量密度＝单位体积内的总机械能
二、物体的弹性和波速
机械波的传播速度完全取决于介质的弹性性质 和惯性性质。即介质的弹性模量和介质的密度, 亦即决定于这种波在媒质中传播的机制。
5
可以证明（只需要了解）：
* 对于柔软的绳索和弦线中横波波速为
T
ut
量纲!
T为绳索或弦线中张力; 为质量线密度
* 细长的棒状媒质中纵波波速为
Y
ul
Y 为媒质的杨氏弹性模量; 为质量密度
v y y (x t,t) A si( n t u x [ )0 ]
v y y (x ,t) 1 .6 c 21 o0 t s 5 ( 0 x ) m /s t
注意：质元振动速度与波传播速度的不同。
13
例题 6.5
有一平面波在均匀介质中以速度u=20m/s沿直线 传播，已知在传播路径上的某点A的振动方程为
* 各向同性均匀固体媒质横波波速
ut
N
N为媒质的切变弹性模量; 为质量密度
在同一种固体媒质中，横波波速比纵波波速小些。
6
§7 平面简谐波的波函数
一、行波方程：右行波和左行波
下面要用数学表达式描述波线上每一质点在每
一时刻的位移，这样的函数 yf(x,t)称为行波
的波函数。
以横波为例说明平面简谐波的波函数。
y (x x ,tt) y (x ,t)
y(x,t)A cots(2 x0)
2(utx)0
可见波速就是相位传播的速度
10
左行波的波函数：
y
p点运动传到 O 点需用
u
p
x
时间：
t
x
Ox
u
也即p点的相位超前于O点相位： x 2x
所以 p点的运动方程，
u
也就是左行波的波方程：
y(x,t)Acos(t[u x)0]
第六章 振动和波
§6 波的基本概念
§7 平面简谐波的波函数 一、行波方程：右行波和左行波 二、 波的能量，能流密度 *三、行波动力学方程（不要求仅供参考）
作业： 6-13， 6-14， 6-15， 6-16（旧版） 6-20，6-21，6-24，6-26（新版）
1
球面波 平面波
在各向同性均 匀介质中波线 与波阵面垂直.
u
质量为 m 的媒质其动能为：
W k1 2m y t 21 2V2 A 2si2 [ n (tu x)]
以棒内传播纵波为例讨论弹性势能：
x
xx
y
yy
16
单位体积媒质中弹性势能等于弹性模量与应变 平方乘积的一半。
应变= yx Au si( n t x [u )]
wp1 2YA 22u2si2[n (txu)]
y(x ,t)A co s t [0 ()2 x]
2/T u/T
也即p点的相位落后于O点相位：2 x
O
y
u
x
这就是右行波的波方程。
px
定义 k为角波数
k2 T2 u T
2 2 ； Tuu 因此下述几式等价
T
8
因此下述几式等价：
y(x,t)Acos([tx)]
u
y(x,t)Ac ost [ 2 x]
已知O点振动表达式： yA cots(0)
y表示各质点在y方向上的
位移，A是振幅，是角频
率或叫圆频率， 0为O点在
y
u
px
零时刻的相位。
O点运动传到 p点需用 t
相位落后
x u
，所以
x Ox
u p点的运动方程：
7
相位落后
x u
，所以 p点的运动方程：
y(x,t)A cos (t[u x)0]
y3104co4st(米 ）
(1)求以A点为坐标原点ห้องสมุดไป่ตู้波动表达式。
(2)求以距A点5米处的B点为坐标原点的波函数。
(3)求B、C两点的相位差。
8米 C
5米 x
B
A
u
y3104co4s(tx)米 ( ）
u
xx'5
o
x
u
y3104co4s(tx'5)
u
o'
x'
14
y3104co4s(tx'5) u2m 0/s
y(x,t)Aco2 s[(xu)t] y (x ,t) A co k (x s u [)t]2/T
u/T
9
2(x x )
y (x x ,tt) A co ( t st) [
0 ]
A co t s2 [x 2 (u t x ) 0 ]
若这两处相位相同，则有：
u
y31 0 4co4st (x')
5
8米
5米 x
C
B
A
u
ox
y3104co4s(tx)米 ( ）
BC4 u (xCxB)
u
B点相位落后C点相位 4(13 5） 8
与坐标选取无关。
20
5
15
二、 波的能量，能流密度
•
媒质中单位体积中的能量
有一行波： yAc
os[(t
x)] u
质元的速度 yAsin[(tx)]
y (x ,t) A co k (x s u [) t0 ]
11
例题：
一条长线的质量线密度为 1.5102kg/m今用
一水平力 F6N将它张紧，并使其上产生横波 向左传播，在t =0的波形如图所示
A 4.0 1 2 0 m , 0.4m
求：振幅，波长，波速和波的周期
波函数及质元振动速度表达式
解：
波线 波面
波线
6.2 波的周期性和波速 一、 波长、波速和频率：
波面
波长——振动相位相同的两个相邻波 阵面之间的距离是一个波长。或振动 在一个周期中传播的距离，称为波长，
用表示。
4
显然，这里波长远大于媒质分子间距离，即假设 弹性媒质是连续的，媒质中一个波长的距离内有 无数分子在陆续振动，宏观上看来媒质就象连续 的一样。如果波长小到等于或小于分子间距离时， 相距约为一波长的两个分子之间，不再存在其它 分子，我们就不能认为媒质是连续的了，这时媒 质就再也不能传播弹性波了。因此有一个频率上 限存在。高度真空中分子间距离极大，不能传播
u
F
6 1.51 02
2m 0/s
T0.40.02s
u 20
t 0
y
0
2
0.04m
u
x
0.2m 0.4m
12
0.4
T 0.02s u 20
yAco2T s(t22x)
t 0
y
0
2
0.04m
u
x
0.2m 0.4m
0 .4 1 2 c 01 o0 t s 5 ( 0 x 2 ) m
u2 Y
代入上式得在 V体积内
其动势能能为为：：W p1 2V2 A 2si2[n (txu )]
W k 1 2m y t 2 1 2
V2A 2si2 [n (tx )] u
17
总机械能为：
W W k W p V 2 A 2s2 i[ n (t u x )]
对于横波，推导过程中只需用
定义
切变模量代替杨氏模量，结果相同。
能量密度＝单位体积内的总机械能
二、物体的弹性和波速
机械波的传播速度完全取决于介质的弹性性质 和惯性性质。即介质的弹性模量和介质的密度, 亦即决定于这种波在媒质中传播的机制。
5
可以证明（只需要了解）：
* 对于柔软的绳索和弦线中横波波速为
T
ut
量纲!
T为绳索或弦线中张力; 为质量线密度
* 细长的棒状媒质中纵波波速为
Y
ul
Y 为媒质的杨氏弹性模量; 为质量密度
v y y (x t,t) A si( n t u x [ )0 ]
v y y (x ,t) 1 .6 c 21 o0 t s 5 ( 0 x ) m /s t
注意：质元振动速度与波传播速度的不同。
13
例题 6.5
有一平面波在均匀介质中以速度u=20m/s沿直线 传播，已知在传播路径上的某点A的振动方程为
* 各向同性均匀固体媒质横波波速
ut
N
N为媒质的切变弹性模量; 为质量密度
在同一种固体媒质中，横波波速比纵波波速小些。
6
§7 平面简谐波的波函数
一、行波方程：右行波和左行波
下面要用数学表达式描述波线上每一质点在每
一时刻的位移，这样的函数 yf(x,t)称为行波
的波函数。
以横波为例说明平面简谐波的波函数。
y (x x ,tt) y (x ,t)
y(x,t)A cots(2 x0)
2(utx)0
可见波速就是相位传播的速度
10
左行波的波函数：
y
p点运动传到 O 点需用
u
p
x
时间：
t
x
Ox
u
也即p点的相位超前于O点相位： x 2x
所以 p点的运动方程，
u
也就是左行波的波方程：
y(x,t)Acos(t[u x)0]
第六章 振动和波
§6 波的基本概念
§7 平面简谐波的波函数 一、行波方程：右行波和左行波 二、 波的能量，能流密度 *三、行波动力学方程（不要求仅供参考）
作业： 6-13， 6-14， 6-15， 6-16（旧版） 6-20，6-21，6-24，6-26（新版）
1
球面波 平面波
在各向同性均 匀介质中波线 与波阵面垂直.
u
质量为 m 的媒质其动能为：
W k1 2m y t 21 2V2 A 2si2 [ n (tu x)]
以棒内传播纵波为例讨论弹性势能：
x
xx
y
yy
16
单位体积媒质中弹性势能等于弹性模量与应变 平方乘积的一半。
应变= yx Au si( n t x [u )]
wp1 2YA 22u2si2[n (txu)]
y(x ,t)A co s t [0 ()2 x]
2/T u/T
也即p点的相位落后于O点相位：2 x
O
y
u
x
这就是右行波的波方程。
px
定义 k为角波数
k2 T2 u T
2 2 ； Tuu 因此下述几式等价
T
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因此下述几式等价：
y(x,t)Acos([tx)]
u
y(x,t)Ac ost [ 2 x]
已知O点振动表达式： yA cots(0)
y表示各质点在y方向上的
位移，A是振幅，是角频
率或叫圆频率， 0为O点在
y
u
px
零时刻的相位。
O点运动传到 p点需用 t
相位落后
x u
，所以
x Ox
u p点的运动方程：
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相位落后
x u
，所以 p点的运动方程：
y(x,t)A cos (t[u x)0]
y3104co4st(米 ）
(1)求以A点为坐标原点ห้องสมุดไป่ตู้波动表达式。
(2)求以距A点5米处的B点为坐标原点的波函数。
(3)求B、C两点的相位差。
8米 C
5米 x
B
A
u
y3104co4s(tx)米 ( ）
u
xx'5
o
x
u
y3104co4s(tx'5)
u
o'
x'
14
y3104co4s(tx'5) u2m 0/s