陈省身的微积分讲义chapter VI
八年级数学上册 5.2 为什么要证明 智者风采 国际数学大师陈省身素材 (新版)青岛版
智者风采：国际数学大师陈省身陈省身是国际著名数学家，微分几何大师。
1930年毕业于南开大学数学系，1934毕业于清华大学研究生院。
同年公费到德国汉堡大学师从布拉施克教授，1936年获博士学位。
后到法国巴黎师从著名数学家嘉当。
回国后任教于清华大学和西南联大。
1943年到普林斯顿研究院研究数学，获得国际声誉。
1948年，陈省身创建中央研究院数学研究所，并任所长代理主持一切工作，培养出吴文俊、廖山涛等著名数学家。
1949年开始长期旅美，担任芝加哥大学、加利福尼亚大学伯克利分校教授。
1962年任美国数学会副会长。
1981年任美国数学科学研究所第一任所长。
陈省身是中国科学院外籍院士，美国科学院院士，英国皇家学会外籍会员，俄罗斯科学院、意大利林琴科学院、法兰西学院等学院的外籍院士。
1984年，陈省身任南开大学数学研究所所长。
2000年他回天津定居，为中国成为世界数学大国作出了巨大的贡献。
1984年，陈省身获得数学界的最高奖——沃尔夫奖，证书上写道：“此奖授予陈省身，因为他在整体微分几何上的卓越成就，其影响遍及整个数学。
”向世界数学中心进军在南开大学林荫道的深处，有一座以“宁园”命名的小楼，这就是陈省身在南开大学的寓所。
2000年，陈省身回国定居，这里就成了他永久的居所。
十七年前，陈省身在母校南开大学建立了数学研究所，这是他一生在中国和美国创建的第三个数学研究所。
作为世界微分几何的领袖，他的影响遍及20世纪的整个数学，他的数学历程与20世纪世界数学的历程密切相关。
在晚年，他又为中国数学的发展倾注了大量心血。
1993年，他最早向江泽民主席提出建议，在中国开一次国际数学家大会。
2002年8月20日，国际数学家大会在中国的北京举行，陈省身被推拥为大会名誉主席。
曾涛：陈先生您好，今天到您的家里来拜访您，非常高兴。
陈省身：谢谢，我也很高兴。
曾涛：我看过您写的一篇文章，您在文中说，您最美好的时光，都是在天津度过的。
陈省身：对，我的少年和青年时代主要是在天津。
数学大师的风采_记陈省身先生讲授_微积分及其应用_
专稿数学大师的风采Ξ—记陈省身先生讲授《微积分及其应用》白承铭 (南开数学研究所 天津 300071)2001年10月11日下午,南开数学研究所大讲演厅内座无虚席,世界著名数学家陈省身先生要给大家来上基础课了.4时整,我们尊敬的陈先生不顾已经九十高龄,坐着轮椅准时来到讲演厅,开始给大家讲授《微积分及其应用》的第一讲.这次活动是在陈先生本人倡导下,由南开大学、天津大学“刘徽应用数学中心”举办的《应用数学》系列课程的第一门课程,并由陈先生亲自主讲.陈先生要给大学本科生上基础课的消息传开后,不仅在南开大学和天津大学,而且在整个天津地区的高校都产生了很大的震动,许多学校的学生甚至很多教师纷纷要求听课.但是由于演讲厅条件所限,所以只能采取限制名额的办法,最终听众是以南开大学和天津大学两校的大二,大三学生为主,并有少量天津市其他高校的学生和青年教师.即使这样,每次仍然有很多没有报上名的学生站在过道和走廊里听陈先生的演讲,大家的热情可见一斑.同时,陈先生的报告也吸引了很多教师参加,甚至还有在南开大学访问的外籍学者,如美国B row n 大学的Bw uno H arris 教授就一次不落地听完了全部演讲.陈先生曾经计划讲《微积分及其应用》八次,但是期间因身体不适住院两周,到11月30日的最后一次(12月初已经先期安排了其他课程),共讲了六次.陈先生在住院期间仍然念念不忘他的课程和学生,他一出院,就赶快备课并准时出现在讲台上,他的这种敬业精神使所有人都非常感动,并且也给年轻人树立了良好的榜样.大师给学生们上基础课,不仅仅为学生们带去了对基础知识更为深刻的理解,更为我们的大学教育带来了新鲜风气,教师们也从中学到如何真正地为人师表.微积分课程本身作为大学生基础课并不是很难,难的是如何看待微积分里众多的命题和定理,以及为什么要有它们.想弄懂这些,就必须站在一定的高度来观察分析,这不仅要对微积分本身有很深的理解,还需要对更深一步的知识有很好的把握,陈先生就是这样的一位数学老师.陈先生讲得深入浅出,引人入胜,他用非常简洁的语言,形象的说明给大家讲授了微积分学的基本定理以及在微分几何上的应用.同时他那严谨却不枯燥、风趣中又一丝不苟的讲课风格,更告诉我们数学大师是如何授课的.听过陈先生课的人,都领悟到他在谈笑风生之间已经将深奥的数学知识中精辟的传授给了大家.所有人都感到获益匪浅,这可以从听课的学生们交上来的读书报告中清楚地看出来.有学生说:“大师就是大师,讲得就是好”,“很通俗,很好懂”.为了使更多的人能够了解陈先生演讲的内容,我作为陈先生的助教,根据陈先生演讲录音进行了整理,在下面简要地作一介绍.由于本人水平有限,错误在所难免,仅供大家参考.陈先生认为“微积分的范围很广”,因为时间关系,这个课程“只能讲个大概,尤其是介绍整个的有一些意义的问题”.“应该提一提微积分整个的影响或者是在哪些方面向前发展了.可以说,微积分向前发展大概有两个最重要的方面:一个是在几何的应用”,另一个是复数.陈先生着重讲的是微积分学的基本定理以及在微分几何上的应用.他的演讲主要包括“微分和积分”(1讲),“指数与对数函数”(1讲),2 高等数学研究STUD IES I N COLL EGE M A TH E M A T I CS V o l 15,N o 14D ec .,2002Ξ收稿日期:2002—07—11.“曲线论”(1讲)和“曲面论与Gau ss-Bonnet公式”(3讲).以下介绍的第一讲“微分和积分”,是陈先生演讲的记录稿.微分与积分( )微积分的起源:牛顿与莱布尼兹讲到微积分,最要紧的两个人是牛顿(Issac N ew ton,1642—1727)跟莱布尼兹(Go ttp ied L eibn iz,1646—1716),微积分就是他们发现的.关于牛顿,有兴趣的是他做这个工作是在学生的时候,也许比你们的岁数还要小,那个时候,也就是17世纪那个时候,欧洲瘟疫很厉害,欧洲死了很多人.他在英国剑桥大学,因为瘟疫的关系,学校放假了,他就回家在家里做关于微积分的这些工作.莱布尼兹是一个各方面都非常优秀的人,数学是他的兴趣的一部分,他的兴趣到宗教、法律各方面都有.他们两人之间有点争论,是因为争论谁是微积分的发现者.这个争论是不幸的,也没有什么意义.实质上是莱布尼兹头一个发表关于微积分论文的人,他的论文在1684年发表.牛顿做这个工作早于莱布尼兹.而莱布尼兹发表论文早于牛顿,牛顿有了这个工作后没有发表什么任何的东西.而莱布尼兹不但发表了这些东西,同时还引用了一些符号,也许我们现在还在用.那么后来两个人有一个争论,大概都是跟数学没有关系的人在那里造成的情况,这不是一个什么有意思的事情.( )微积分基本定理微积分是数学里头很重要的方面,至于什么是微积分呢?我想微分的发现跟笛卡儿发现坐标非常有关系,因为笛卡儿发现坐标之后,数学主要的目的就是研究函数,研究两组数的关系,有种种的关系.我们知道,函数有种种,有线性的,非线性的,三角函数等种种函数,那么要怎样地研究函数的性质?我们都知道,函数可以用曲线来表示,如y=f(x)这条曲线.在这条曲线的每点,如果它是可以微分的话,那么它在每点有个切线.微分就是把这个曲线用它的切线来研究它的性质.所以也等于说它是把函数线性化,线性化之后,可以加、减、乘除,可以计算,因此可以得到数出来.数学要是能够得到数出来,总是很要紧的.所以微分大概是说用曲线的切线来研究曲线的性质.积分来得早了,因为积分实际上大致讲起来,它是要计算面积.那么假使平面上有一个区域,由曲线来做为边界,它的面积有多大,圆周的面积有多大,这里的问题是积分的开始,也是积分重要的目的.因此,实际上,积分的发展在微分之前.积分当时也没有一定的定义,积分就是有个极限的观念.曲线所围成的区域一般想法子用直线来逼近,使得逼近的曲线趋于你的边界的时候,就有个极限,就是这个区域的面积.所以,总而言之,积分的发展在微分之前,中间这两个问题好象没有关系,但是其实这关系非常的密切.积分差不多是微分的反运算.比方说,假使你求这条直线跟两条垂线所成区域的面积,这两条垂线,一个是s=a,一个是s=x,你要去算这个区域的面积,是个定积分∫x a f(x)d x,(读作f(x)定积分从a→x).这是当年莱布尼兹的符号,这个积分的符号记成这样,因为积分总是代表一个和,∫代表和(sum).假设面积一边由s=a的直线作边界,另一边是任意的x,你把x这条直线移动的话,就得到一个x的函数,这个函数,我叫它A(x),就是我图上的面积(图从略),是个积分,所以它是一个数目,与x有关,所以是x的函数.这个函数跟曲线方程y=f(x)这个函数有密切关系.为什么有密切的关系呢?很简单地看看,假如求A(x)=∫x a f(x)d x的微分,求它的微分嘛,就是说,求s=x,x+∆x所围成的这个小区域的面积.现在如果你拿∆x除的话,我想很容易看出来了,这个极限就是f(x).所以很容易看出来A(x)这个函数的微分就是f(x),因此dA(x) d x =f(x).(1.1)3第5卷第4期 白承铭:数学大师的风采 这就是微分同积分的基本的关系.这个关系说A(x)是一个积分,求它的微分时候,就得f(x).这个一般地,叫做微积分的基本定理.我从前在南开念微积分的时候,始终不懂为什么这是一个微积分的基本定理,因为一般地把这个关系式写成∫f(x)d x b a=∫b a f(x)d x(1.2)形状.左边积分是个不定积分(indefin ite in tegral),不定积分是个函数,左式是函数在b的值减去函数在a的值,等于这个定积分(defin ite in tegral).所以从这个关系知道要求积分的话,只需要求一个函数,它的微分是已知的,就是f(x),即微分是已知的.所以这样微分跟积分连起来了.互相的,积分等于微分的反运算,有了f(x),要找一个函数,它的微分等于f(x),是个反运算.因此微、积分有密切的关系.( )多元微积分上面讲的是一个变数的微积分.下面要讲高维的,多变数的.多变数的话,有新的现象,是什么样的呢?我想对于多变数的,我们先不看别的,先看两个变数的情形,x跟y,那么我们知道这个时候微分的观念的推广是偏微分,等于x跟y分开求微分.积分的观念推广是重积分.二重积分(doub le in tegral)是在2维的情形,在高维的情形是多重的.先看2维,2维的情形就有了区域,我们叫它∃,那么它的边界叫它Χ.所以积分的一个自然推广是一个2重积分,普通积分把x分成小段,然后取小段再乘上这个函数,求一个和.在2重积分的时候,方法也是把区域分成小块,然后取每一小块的面积,在其上函数值乘上它的面积,然后求它的和.很不得了的,假使函数好的话,无论你如何圈你的区域,极限是一样的,所以这极限就是2重积分I=∫∫f(x,y)d x d y.(1.3) 在2维的时候,甚至高维的时候,一个重要的现象是,我们现在有2个变数x,y,换变数怎么样?所以我现在换变数,换变数当然是在微积分里是很重要的一个办法,因为很多的问题是看你的变数是否选择得当,有时换变数,问题就立刻简单化了,就可以解决了.现在我换变数:x=x(x′,y′)y=y(x′,y′)(1.4)其中,(x′,y′)是另外一组坐标.我们发现一个事实,在高维的时候,微分的乘法,我们写成d x∧dy,这是一个乘法,怎么乘呢?d x∧dy在微积分上是最微妙的观点.什么叫微分?什么是d x?这个是困扰了数学家几百年的事.怎么样定微分的定义跟究竟什么是d x,这个很麻烦,可以做到很满意,不过把它讲清楚需要有一定的时间.所以我马马虎虎说有一个d x.在d x,dy这种微分之间要建立乘法∧.什么叫d x∧dy?这个问题更复杂了,你如果d x,dy本身是什么都不清楚,乘了以后是什么东西更是一个很微妙困难的问题.在这方面有一个大的进步,就是引进外代数和外微分.假定d x∧dy 这个乘法是反对称,d x∧d y=-d y∧d x(1.5)这个问题就清楚简单了.因为乘法如果是反对称的话,当然d x∧d x=0.事实上,因为d x∧d x=-d x∧d x,所以d x∧d x=0.在反对称的乘法之下,把d x∧dy看成变数,因为乘法是反对称的,d x2 =0,所以就没有高次的东西了.这样得到的代数叫做外代数.这个代数很妙的.有一个立刻的结论:换变数公式为d x∧d y=5(x,y)5(x′,y′)d x′∧d y′(1.6)假使我们的微分用的是偏微分,所以(下转第8页)数问题的需要,更重要的是它的几何背景的需要.(5)加强几何变换和变换群理论的教学.空间的变换的概念在射影几何学中体现得最显著.射影几何学应该说起源于绘画和建筑学中的透视学,是人类在观察世界时把3维的物体用平面图形表示的经验和规律的总结.这里面蕴涵着图形的变换理论.后来,欧拉首先注意到仿射变换的意义.克莱因在1872年提出了著名的“爱尔兰根纲领”.他认为每一种几何都由一种变换群所刻画,每一种几何学要做的实际上就是寻求图形在该变换群的作用下保持不变的性质,一个几何的子几何是在原变换群的子群作用下的不变量.例如:射影几何学(射影变换群)→仿射几何学(仿射变换群)→欧氏几何学(刚体运动群).在这里,箭头所指的是前者的子几何.虽然并不是所有的几何学都能够纳入克莱因的分类方案之中,例如现代的代数几何学和微分几何学,但是克莱因的观点给大部分几何学提供了一个系统的分类方法,而且提示了许多可供研究的问题.尤其是在当代,李群的理论已经广泛地用于几何学和物理学乃至工程科学的研究.许多几何空间的结构都容许一定的变换群的作用,它们的变换理论是重要的研究课题,这些问题的提出与克莱因的思想有关.群及其子群的结构和分类是代数学中的问题,而几何学中的变换群为抽象的群论提供了重要的例证,并且为群论的抽象研究提出不少课题.另外,几何变换理论与日常生活、生产、科研都有密切的关系.因此,在学几何的时候,必须把几何变换理论作为重要的内容之一.(未完,待续)(上接第4页) d x=5x5x′d x′+5x5y′d y′,d y=5y5x′d x′+5y5y′d y′(1.7)现在用外乘法一乘,d x′∧d x′=d y′∧d y′=0.而d x′∧d y′因为乘法是反对称的,所以是刚好乘以x=x(x′,y′),y=y(x′,y′)的雅可比5(x,y)5(x′,y′),这个符号是雅可比,是四个偏微分所成的行列式,所以d x∧d y=5(x,y)5(x′,y′)d x′∧d y′(1.8)这个刚巧是我们重积分换变数的一个关系.我们知道重积分要是换变数的话,它应该乘上雅可比.所以这个结论就是,对重积分的In tegral,即积分下的式子,把积分号丢掉,In tegral是一个微分多项式,乘法是反对称的.所以假使多重积分有3维,4维到n维的空间,多重积分的In tegral可看成是外代数的多项式,那么换变数就自然对了.这里头有一点微妙的地方,因为通常,你要证明换变数的公式的时候,假定雅可比是正的,不然的话,乘上雅可比的绝对值,使它是正的.这个是高维几何微妙的东西,就是空间有个向(O rietai on),你转的时候,有2个相反转的方向.转的时候,假使改了方向的话,雅可比是负值,因此我们一个结论是多重积分的In tegral应该是一个外代数多项式,是dx,dy的多项式,乘法是反对称,这样换变数完全可以对的,当然我只做了2维的例子.高维是很明显的,同样的.外乘法是妙得很呐,是不会有高次的,所以比较简单,平方一下,就是0.(未完,待续)本刊加入“万方数据—数字化期刊群”和“中文科技期刊数据库”的声明我刊现已入网“万方数据——数字化期刊群”和“中文科技期刊数据库”,凡向本刊投稿并录用的稿件文章,将一律由编辑部统一纳入“万方数据—数字化期刊群”和“中文科技期刊数据库”,进入因特网提供信息服务。
陈省身微积分讲义第三讲
de1 = ke2 ds de2 = ke1 + ωe3 ds de3 = ωe2 ds
(3.7)
IR$04. 'DuiR!yB($04{, { MGk R0{. y$k = 0 SDM4{3Y\{u, R4. § c{RóG{0, $§k = 0. Rk = 0 {, R = 0, R4ê. 04. $04{R$,
1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1
6
LR, y RL{. h{$, M4 °, °úRRy(x), Rè. °,IRM4 {$`j, M4ó8E°bê$°. M4RU {, hl3°, 3. ó3°, yR3°{, #l{#4R {. ó3, #4R{. I, $RSD°3 °{, $R3{, y{L, $\E{M4 5. y(y, dx) èR0, IyE{e (s)ó$5. y$ó\ E{M4\5. bRyRc0S, IE{° nó{M4RE{15, RyyRc$, Ry{ 0M4. F°M4wγ, y{5, y $c\5, Ri§{$u. Iγ0M4$§5h , óER$0{M4, óER$0{±(L) 5{M4. ¤R§y2π , u. 0M4γRe (s), wQ. e (s) R8EM4{$°nó, R #4{0Só\E{M4, 0M4wAγ, E{\ 5. $, 0M45hê, Bá, u. $2π {, RCroftonB
3 3 3 3 dx ds 3
(e3 ,
3
èI. ye R$jIèIRe x {è$j. y $R$M4, Rω = 0RDCM4RM4. 'Du, ,I iRyM4{GR0. IMGG`jY\{ u. i$ic{M4Rkω0, bRj. ó <o, ,IyM4RZ4. RY\{èI{~ó §{cf. yw{$§{RDNA. DNAR0Z4, RvZ4, R:%T. ó, {M4suê. y$, M4Xó§{~, RL' §wM4{ukGDNA{u, Iji§ê. M4 {ukGt{u, Ró°b, 0(DNA#ê, {u5ê. I#, ju5{u 5, X5RóDNA{ùó0R: {, L'Aêi{B. %óü${§ u{, h${B, wAWhiteB. WhiteR{${, ABRpDX{$B. íi, B5 {${B. %ó!B.
微积分讲解ppt课件
多元函数的表示 方法
多元函数可用记号 f(x1,x2,…,xn)或z=f(x,y) 表示。
多元函数的定义 域
使多元函数有意义的自 变量组合(x1,x2,…,xn) 的集合。
多元函数的值域
多元函数所有值的集合 。
偏导数与全微分
偏导数的定义
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时，相应地函数有增量 f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)。如果Δz与Δx之比当Δx→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对 x的偏导数。
齐次方程法
通过变量替换，将齐次方程转化为可分离变 量的形式
一阶线性微分方程法
利用积分因子，将方程转化为可积分的形式
二阶常微分方程解法
可降阶的二阶微分方程
通过变量替换或分组，将方程降为一阶微分方 程求解
二阶线性微分方程法
利用特征根的性质，求解二阶线性常系数齐次 和非齐次微分方程
常系数线性微分方程组法
在经济学中的应用
边际分析
通过求导计算边际成本、边际收益等，为企业的决策 提供依据。
弹性分析
研究价格、需求等经济变量之间的相对变化关系，微 积分可用于计算弹性系数。
最优化问题
在资源有限的情况下，通过微积分求解最大化或最小 化某一经济指标的问题。
在工程学中的应用
结构力学
分析建筑、桥梁等结构的受力情况和稳定性，微积分可用 于求解复杂的力学方程。
通过消元法或特征根法，求解常系数线性微分方程组
05
多元函数微积分
多元函数的基本概念
多元函数的定义
设D为一个非空的n元有 序数组的集合，f为某一 确定的对应规则。若对 于每一个有序数组 (x1,x2,…,xn)∈D，通过 对应规则f，都有唯一确 定的实数y与之对应， 则称对应规则f为定义在 D上的n元函数。
高中数学A版三 当代几何大师—陈省身优秀课件
当时，华罗庚是清华数学系最引人注目的， 陈省身和他时常往来，上同样的课，那是一 段很愉快的学生生活.
3.留学欧洲
1934年，陈省身毕业于清华大学研究院， 同年，得到汉堡大学的奖学金，赴布拉希 克所在的汉堡大学数学系留学 .在布拉希克 研究室他完成了博士论文，研究的是嘉当 方法在微分几何中的应用 .
7.落叶归根
陈先生晚年情系故园，在南开大学创 建了数学研究所并任所长.1994年当选为首 批中国科学院外籍院士.路甬祥说，陈省身 先生的不幸逝世是国际和我国科技界的重 大损失，也使我们失去了一位尊敬的师长. 陈省身先生献身科学、追求真理的精神和 在科学上的功绩将永垂青史 .
陈省身的数学：
陈省身的人生：
4. 抗日烽火
1937年，陈省身受聘于清华大学.抗日
战争爆发，他随大学迁至昆明，1938年为
西南联合大学教授 .
在抗日战争烽火的岁月里，陈省身身心 无旁骛，只争朝夕努力工作，继续发表论文. 于此同时，陈省身开始蜚声内外. 但对于自 己的工作却深感不满.
1943年为美国普林斯顿高级研究院研
究员.此外还是芝加哥大学、伯克利加州
大学终身教授等，是美国国家数学研究所、
南开大学数学研究所的创始所长.
陈省身的数学工作范围极广，包括微分 几何、拓扑学、微分方程、代数、几何、李
群和几何学等多方面.他是创立现代微分几何
学的大师.
5. 定居美国
1946年，陈省身回到国内并承担 了中央研究院数学研究所的准备工作.并 由此培养了一批新的拓扑学的人才.
难点
学习陈省身的这种精神.
内容解析
陈省身（1911年10月28 日－2004年12月3日），生于 浙江嘉兴秀水县，汉族，美 籍华人，国际数学大师、著 名教育家、中国科学院外籍 院士，20世纪世界级的几何 学家.
曲线论_陈省身先生_微积分及其应用_之第三讲
专 稿 曲线论———陈省身先生《微积分及其应用》之第三讲(2001110126)编者按 本刊总第94,95期刊出了白承铭同志“数学大师的风采———记陈省身先生讲授《微积分及其应用》”一文的最初部分:对这次系列演讲的简介,以及陈先生演讲的第一讲。
应读者要求,总第96期刊出了第二讲。
本期继续刊出第三讲。
讲稿由白承铭、宋敏、云保奇、赵志根等同志记录整理,未经陈先生寓目。
刊出时只作了个别文字性处理。
(Ⅰ)平面曲线我想这几次跟大家讲一点微积分在几何上的应用。
这是非常要紧的发展。
那么,从最简单的情况开始,我们就讲平面上的曲线。
假设平面上有一条曲线X (t )=(x 1(t ),x 2(t )),用微积分的话呢,就是这条曲线有条切线。
切线有个切矢量。
对于切矢量,我们取这个矢量是单位矢量,它的长度是1,也就是取为单位切矢量。
于是我们知道假使把坐标x 表示成弧长s 的函数的话,这就表示这个单位切矢量就是x 对s的微分dx ds ,即单位切矢量为e 1=(dx 1ds ,dx 2ds),(e 1,e 1)=1,s 是弧长。
那么怎么样研究这条切线呢?很简单,那就是有了一个单位矢量之后,并假设如果平面是定向的,即有一个转动的方向,那么它就有一个单位法向量,也就是跟它垂直的那个单位矢量。
现在,我叫e 1是单位切矢量,e 2是单位法矢量。
于是要得到这条切线的性质,第一件事情就是把e 1这个函数对于s 再求微分。
那么再求微分之后,当然这是一个新的矢量。
因为e 1是一个单位矢量,所以(e 1,e 1)=1。
那么把它微分一下子,我们就得到de 1ds 同e 1垂直,所以它一定在法线的方向。
因此,我们就有de 1dx等于单位法矢量e 2的倍数。
这个倍数是弧长的一个函数,我们叫k (s )。
这个倍数满足de 1ds=ke 2, e 2是单位法矢量, (e 1,e 2)=0。
k 这个函数一般叫做曲率,是这条曲线在这个平面里头最要紧的一个性质,是弧长的一个函数。
微积分五讲
微积分五讲龚 昇目 录前言一、 回顾中学数学1． 百年前的讲演2． 算术与代数3． 几何与三角4．三点启示二、 微积分的三个组成部分1．微积分的主要矛盾2．一元微积分的三个组成部分3．多元微积分的三个组成部分三、 微积分中的各种矛盾1．微积分与积分的公式及定理的对应2．三个初等函数3．其它一些矛盾四、 微积分的三个发展阶段1．微积分的前驱工作2．微积分的创立3．微积分的严格化与外微分形式的建立五、 微积分严格化之后1．微积分的深化与拓展2．复数域上的微积分3．流形上的微积分前 言2002年三、四月之间，根据陈省身教授的嘱咐，我在天津作了微积分的系统讲演，共16学时。
2003年四月，我在丘成桐教授创办的浙江大学数学科学研究中心工作期间，又作了微积分的系统讲演，共10学时。
这二次系统讲演，听众是大学生和一些大学教师，这本小书就是根据这二次系统讲演的讲稿及录像，整理而成的。
这是一本科普书籍，因之，不求句句话都十分严格，而求通俗易懂。
这本小书也实际上阐述了我对微积分这门学科及大学微积分这门课程的看法，其中有一些看法也许是新的，这当然是我个人的浅见，未必正确，说出来供正在学习或已经学过微积分的大学生及教微积分的教师们参考，并希望得到你们的批评。
我要感谢陈省身教授，他对我的多次有关数学，尤其是微积分的谈话，使我深受教育，得益匪浅。
我也要感谢南开大学刘徽数学研究中心及浙江大学数学科学研究中心，尤其是南开大学的葛墨林教授，浙江大学的许洪伟教授，尹永成教授，他们为我作这二次系统演讲及写作这本小书给予了极大的关心、帮助与支持。
我还要感谢沈可美小姐为精心打印本书所付出的辛勤劳动。
龚 昇二00三年五月于杭州灵峰山庄一、 回顾中学数学1．百年前的讲演20世纪已经过去，这是一个伟大的世纪。
在这个世纪，数学得到了前所未有的迅猛发展。
在这个世纪即将来临时，1900年8月5日，法国数学家希尔伯特（David Hilbert 1862-1943）在巴黎第二次国际数学家大会上作了题为“数学问题”的著名讲演【1】。
曲面论_三_Gauss_Bonnet公式__省略_其应用_之第六讲_2001年1
专 稿曲面论(三):Gauss -Bo nnet 公式(续)陈省身《微积分及其应用》之第六讲(2001年11月23日)编者按 本刊自总第94期刊出陈省身先生系列讲座《微积分及其应用》的首讲之后,曾引起读者极大兴趣,纷纷表示获益良多1应广大读者的强烈要发,本刊在总第95、96、99、102、105各期先后续载了陈先生的系列讲座1本期刊出最后一讲1此稿由白承铭、宋敏、云保奇、赵志根等同志记录整理,刊出时只作个别文字处理1大师仙逝,在本刊刊出的系列讲稿,已成绝响,特别是最后两讲已不能再呈先生寓目,我们不胜悲切,并表深深怀念1(Ⅰ)微积分在复变函数论中应用简介我还应该再讲两次1这两次我有个计划:预备讲一点复变函数论,因为在数学中,很要紧的一件事实,同时在数学史上也是非常要紧的一件事情,就是有复数1这个复数使得数学简单,复函数有许多漂亮,有意思的性质,因此,这使得这些函数在应用上特别有用处1所以,我预备讲一讲,比如说,复变函数有一个很重要的性质:任意的代数方程在复变函数之中一定有解1这是一个不得了的事情,因为不管你怎么样写一个方程,你要是允许解是复数的话,它一定有解1例如,x 2+1=0,那么它有个解就是-1,所以-1就这么样子有用处1不但如此,复数在很多方面跟实数一样,可以加减,有类似的性质,所以,它可以运算1同时它包含了许多材料是实数不能包含的1我想我的课在进行过程中一定会有个空挡,在空挡的时候,我想找两次讲复变函数1我预备讲:一个是我刚才讲的代数的基本定理,就是说任意的代数的方程在复数域中一定有解1这个是很难证明的,需要数学上新的观念1比方说,伟大数学家如Euler ,他想法子证明,但没有能成功1我想Gauss 是我们近代最伟大的数学家,他很年轻的时候就有一个证明,也就是复数需要一些几何的性质,不完全是代数的问题1我预备下次讲复数的时候证明这个定理;同时,复变函数最主要的一个定理是Picard 定理,就是说,假使对于一个复变函数,取它的函数值在复平面里头所取的位置,它把整个复平面都盖住了,其中也许可以去掉一点,两点1这是不得了的,就是说,函数如果是一个全纯函数的话,它分布得非常之均匀,可以说差不多把平面都盖住了1有意思的一件事情是这个定理是复变函数高峰的定理,可以利用我们现在要讲的Gauss -Bonnet 公式来证明1这说明看起来没有关系的一些方法跟观念,结果是有关系的1这是数学上非常要紧,有意思的问题1(Ⅱ)关于学习的自动性这个课快结束了,你们得写个报告,最好是自动地来写1你能够自己找到一个问题,这是更要紧的1我想你们都是大学生,大学生受高等教育最后的一段,以后到社会上去,即使在学校,在学术单位里头,最要紧的一定要自动1不要是等老师叫你做什么,你再做什么,这个最坏1要自动,要自己能找问题,要自己能够答复自己找的问题1那么,当然你找的问题不一定合适,你暂时也不一定能够得到答案1不过,你中间经过一些弯路,经过一些错误,可以使得你的学问真正进步,而使得你真正进步的就是要经过这样的手续,所以我鼓励大家要自动1多讲一点,你们甚至要能够组织一个团体,互相报告找问题,或者请校内校外老师,同学来做报告,这是很有好处的,自己要把数学想一想,或者对任意的学问,你自己有个思想,觉得有个什么样的活动,对于你,对于这个学问的知识可以增加,同时你对学问的能力也可以增加1所以这是很值2高等数学研究STUDIES IN COLL EGE MA T H EMA TICS 2005,8(4)得注意的一件事情,希望你们考虑一下这个可能性1(Ⅲ)Gauss -Bonnet 公式的证明上次,G auss -Bonnet 公式我没有证明全,所以我先把证明说全了1我上次讲的G auss -Bonnet 公式就是:假使在空间里头有一个曲面,它是一个整个的曲面,并且假使这个曲面是定向的,即它的法线有一定的方向1于是,G auss 曲率K 就是曲面上的一个函数,我可以把这个函数对于曲面上的面积度量求积分,这个积分是一个2重积分,它等于一个常数(2π)乘以曲面的Euler 示性数1即 ∫∫K d A =2πχ(M )Euler 示性数就是把曲面切成小块之后,适于一点自然的条件,把它切完之后,其顶点个数减边的个数,再加面的个数,结果就叫做这个曲面的Euler 示性数1当曲面是球面的话,它的Euler 示性数为2,如果它是个环面,它的Euler 示性数是01你们可以试一试,就能得到这个1如果曲面是个定向曲面,这是它的唯一的拓扑不变式1一般讲起来,假使球上加几个环,环的个数就跟Euler 示性数有个关系:这环的个数普通叫曲面的亏格(genus ),这是曲面最重要的拓扑不变式1有意思的是,这曲面的性质,曲面上头函数的性质跟亏格有密切的关系,所以亏格是拓扑不变式,它影响到曲面的几何性质和解析性质,有非常之重要的影响1所以整个这些关系是很深奥的,相当深奥的1因此,也是非常要紧,非常有意思的1我上次证明Gauss -Bonnet 公式,最要紧的公式就是 d ω12=-ω13∧ω23=-K ω1∧ω2.我现在重复一遍1要研究曲面论的话,一定要研究曲面上的标架1假使取这个标架,使标架的3个单位矢量互相垂直,并且我们假定它是个右手系1那么,对于这样的标架,假使你知道第一个矢量之后,其它两个矢量就确定了1因为我们假定第三个是曲面的单位法矢量,那么第一个,第三个定了的话,第二个也就定了1事实上,我这是一个单位标架,同时是右手系(右手标架),这就完全定了1所以对于在一个点的所有这种标架,其单参数系(One parameter family )是根据了一个变数1曲面是2维的,再加上这点的标架有一个参数,所以曲面所有标架是一个3维的空间13维空间有x 这个顶点,定它在曲面的位置,它去掉两个维,然后再取一个切线方向,又有一个维,因为切线在切面里头可以转,所以又多了一维1这样子就得到所有标架系所成空间的3维的性质1有了标架系,有什么好处呢?因为有了矢量,你可以用公式来表示很多事情1矢量有分量,这分量就有数1我们搞数学最要紧的要有数1你要有数的话,描写是准确的,并且应用的时候你可以观察到的都是数1在某种意义下为什么微积分要紧?我想数学主要的目的是研究函数,研究两个系统的关系1现在这关系呢,函数不好搞了,所以微积分是把这个关系线性化,因此可以用代数1矢量可以加,拿个数目来乘,所以微积分主要的成就是把空间的理论,把函数的理论线性化,代数化1有了代数以后,你就可以算,所以就有用,因此也重要1那么有了标架所得到的解析的事实是什么呢?我把这个标架叫做xe 1e 2e 3, E =xe 1e 2e 3|M 定向,e 3是法矢量,e 1是切矢量,e 3是单位法矢量1x ,e 1,e 2,e 3都是矢量,它们的微分也是矢量1微分之后是一次微分式矢量值,因此,它们可以表为e 1,e 2,e 3的一个线性组合1把d x 表为线性组合,得到的系数叫做ω1,ω2:d x =ω1e 1+ω2e 2.ω1,ω2就是曲面的面积度量,是一个2次微分式,它当然可以用来做个重积分的积分函数(integral ),所以把它积分的话,就得到这个曲面的面积13第8卷第4期 陈省身:曲面论(三):Gauss -Bonnet 公式(续)4高等数学研究 2005年7月我讲的关于曲面的理论的这些结果,你在微分几何书上找不到1如果你不能完全接受,不能完全懂的话,没有关系1因为这些内容大概在普通微分几何中要讲一个月,而我讲一两次就把它讲完了1这也证明这个方法的优点1它的优点主要是我在研究3维空间的Euclid几何1Euclid几何最好是用正交标架,因为正交性在Euclid几何中不变,是有意义的1而一般微分几何书用到曲面论的时候,它不用正交标架,你要想别的法子1比如说,平面解析几何,你不用正交标架,你的两个坐标不垂直,甚至于它走的方向不是单位的方向,你去试试看就知道难多了,麻烦多了1不是不可能做,可以做到,就是麻烦多了1有意思的一件事情,当然我们都知道,坐标系统是法国的哲学家,数学家笛卡尔发现的1他头一次用坐标的时候不是正交标架,都是任意的标架1他用任意的标架拿来处理这种几何的问题1不知道是哪位先生放了个正交标架,以后你在书上看到的都是正交标架1所以,我的标架是xe1e2e3,这4个都是矢量1它们的微分也得到矢量值的一次微分,所以每一个可以表为e1,e2,e3的线性组合1由于我们是在一个3维的空间,那么这就是公式d x=ω1e1+ω2e2和公式d e i=ωij e j1这时候,因为是一次微分式,所以这种线性组合是e1,e2,e3的线性组合,它的系数是一次微分式,不再是函数了1以前如果是函数的话,它线性组合的系数是函数,现在,系数是一次微分式,这些一次微分式重要得很1因为它描写一个标架跟它临近标架的关系:它临近标架动一点点,跟原来相差多少?相差是一个微分,就是我们的ωi跟ωij1这几个微分式有简单的关系,最要紧的是ωij,你看它很麻烦,i,j从1到3,但是因为标架是正交的单位矢量,所以ωij对于i,j是反对称的1因此,你把ωij写成一个3×3方阵的话,它的对角线的元素都是0,并且对于对角线它是反对称的,所以只有3个真正要处理的一次微分式1你要用标架来研究几何的这种情况,在力学很自然1力学讲一个物体在那儿移动,那么它的位置就是时间的函数,因此,这标架是时间的函数1这种函数在力学上是一个变数的函数1因为在力学上,在动力学上,真正的变数是时间,只有一个1但是要研究几何的话,情况来得复杂,可能这个标架是跟多个变数有关,可以是多变数的函数1因此这之间就有些关系,这关系就是你求d(d e i)1我讲过,你用上d的话,d用两次是0,所以你把这个关系写出来的话,就得到dωij是一个式子,可以用其他的ω来表示,这式子是dωij=ωik∧ωkj1你得到这样一组方程,是有意义的1因为ωij是一次微分式,你把它微分的话是2次微分式,而在右边是两个一次微分式相乘,所以也是2次微分式,因此这组方程不荒谬1这组方程代表运动群整个的性质,看似复杂,其实非常简单,因为这些ωij是反对称的,所以如果i≠j的话,例如,如果i=1,j=2,那么k=31这是因为k要是等于1,于是有ω11=0,而要是k等于2,那么有ω22=01所以这组方程式看着复杂,右边只有一项1你还可以容易地得到一个特别情形,即dω12=ω13∧ω32=ω13∧ω231这个公式要紧极了1在此情形下有一个新的情况:你们念微积分的时候,一般只有一个空间,大概不是平面就是3维空间,可是我们现在有两个空间,一个是标架成的空间,是3维的;另一个是2维的曲面,所以我有一个2维曲面还有一个3维空间,这3维空间是个标架1因此如果一个标架,你取它原点的话,我们说它就投影到曲面上去了,这样子就有个投影1有个名词叫纤维丛,现在是圆周丛了1纤维是圆周,有一把圆周,而整个的圆周所成的空间就是原来的曲面,我们叫原来的曲面为底空间1拿同一个原点的所有单位切矢量就成纤维,于是构成纤维丛1它就象我们衣服似的,有一条一条的线1最简单的纤维丛是它的纤维是直线,那么它是直线丛1我试着把它比方成一把筷子,你有好多筷子,每一根筷子是条直线,那么有好多筷子,整个筷子成一个空间,这就是我们的纤维丛,这是直线的情况1我们现在做的情况是圆周丛1这是微积分里一个新的观念,就是说,你不是讨论一个空间,而是你在讨论两个空间,并且这两个空间之间有密切的关系1一个是圆周所成的空间,一个是我们的底空间,也就是原来的曲面1这两个空间之间有我所说的这个关系,这个关系有意思极了,重要极了,因为有关系d ω12=-K ω1∧ω21右边是曲面上的式子,这是因为K 是Gauss 曲率,ω1∧ω2是面积度量,所以右边是曲面上的性质1左边是一个东西的微分1ω12是在纤维丛E 里头的一次微分式,这个一次微分式的外微分等于右边的式子1这个说明Gauss 曲率只跟Riemann 度量有关,因为要是有了Riemann 度量就有ω12.那么右边的式子只跟Riemann 度量有关,这是Gauss 当年很得意的一个结果1有这样一个关系,连Gauss 都觉得很不得了1Gauss -Bo nnet 公式就是要求右边这个式子的积分1我们现在有一个封闭的曲面,它是定向的,要求右边的积分,求出它的值来1当时我也有一种错误,以为右边这个式子既然是d 一个东西的话,在一个封闭曲面上的积分应该是01事实上,它应该等于ω12沿着这个曲面的边界的积分,如果曲面是封闭的,它没有边界,所以应该是01但这显然是错的1我们虽然有d ω12=-K ω1∧ω2,但这个关系不是在一个2维空间上,它是在E 这个3维空间上1所以我们只能够在3维空间利用Stokes 定理1而在3维空间的话,这个曲面就有边界了1你要把这个曲面升到3维空间去,怎么升呢?就是每点要给一个拿这点做原点的切矢量1换句话说,这就是所谓的矢量场1所以这个曲面需要有个矢量场,每点有个切矢量,而这个切矢量是E 里头的一个点,就把这个曲面升到E 里头去1假使有一个曲面,是不是一定有个矢量场?这不简单了1在局部的时候,当然很简单1你写下坐标,随便写些矢量,就有了1是不是能够在整个曲面给一个矢量场,这是几何里头所谓整体的问题,普通拓扑就搞这个问题1也就是说,局部显然可以写矢量的,你有局部坐标,你把坐标分量写下来,当然就有个矢量场,但是这个是局部的,不一定能扩充到整个曲面1我上次已经讲过,要能的话,必须允许这个矢量场有异点(singularity )1比方说,在下面几个图里有几个矢量场的例子(图略):最左边的例子,它的异点就在原点,经过这个原点,向所有方向画矢量1除了原点之外,就定了一个矢量场,但是原点是一个异点,它是所有水流出来的出发点,所以它是个异点1第二个,所有矢量都向原点走,原点还是一个异点,原点就变成一个沉下去的一个点,英文叫sink 1而左边的叫source 1当然也有象最右边的例子1从这些例子可以看出矢量场在异点有不同性质1如何描写它的不同的性质,就有一个叫做矢量场的指标(index )1假使有个孤立的异点,那么围着这个异点做个小圆圈,因为是孤立的异点,所以在小圆圈上的点的矢量是完全确定的1那么现在,在小圆圈的点绕着异点转多少圈呢?如果转一圈,并且是在正的方转一圈,它的指标是11如果向负的方向就是-11在上面例子中,无论sink 还是source ,指标都是11双曲线的现象指标为-11异点很复杂,因此指标可以取任何值1假使我把曲面升到纤维丛里头,升到圆周丛里头,并且允许有异点,那么这个上去的曲面就有边界,这个边界就相当于这些异点1所以根据公式d ω12=-K ω1∧ω2,我们关于Gauss 曲率的积分就等于异点的指标和1所以我们证明一个重要性质:不论你取任何一个矢量场,假使它只有有限个异点,我们这个积分是指标和,即是把每个异点的指标加起来就等于指标和1这里很要紧,因为这个积分是跟矢量场选择无关的1所以这证明了一个曲面假使有一个有有限个异点的矢量场,在异点的指标和矢量场的选择无关1它等于那个积分,而那个积分里没有矢量场,所以就得到这样一个结果1我再说一遍,现在有一个封闭的曲面,取一个矢量场,有有限个异点,它的指标和与矢量场的选择无关,这是因为它等于右边的积分,而右边积分根本没有矢量场1为什么这个数目等于Euler 示性数呢?现在既然它跟矢量场选择无关,你就任取一个矢量场,比方说,假使有个曲面,你把曲面分割了,分割成小块,每个小块是三角形1对于这三角形,每个边5第8卷第4期 陈省身:曲面论(三):Gauss -Bonnet 公式(续)取它的中点,三角形取它的重心,你就可以定一个矢量场1从顶点出去,然后到三角形的重心就进去1对于这样子定的矢量场很容易看出来,刚巧在边上的这种点的指标等于-11于是它在顶点的指标是1,在三角形重心的指标都是1,但是在边上每个点指标为-1,所以把这指标加起来的话,就等于顶点的个数加面的个数,再减边的个数,因此就是Euler示性数1这就证明了Causs-Bonnet公式1 (Ⅳ)Gauss-Bonnet公式的推广及应用Gauss-Bonnet公式真正有用的时候是曲面有边界1此时,它是顶点加顶点的外角再加边的测地曲率(geodesic curvat ure),再加曲面的Gauss曲率1下面是一般的Gauss-Bonnet公式 ∑(π-α)(点)+∑∫k g(s)d s(边)+∑∫∫K d A(面)=2πχ(M)1对于有边界的曲面,头一部分是边界顶点的点曲率,其次是边界的边的线曲率,然后整个的这个东西的面曲率,所以你有一个有边界的曲面,你就取边界的点曲率加边界的线曲率再加面曲率,是Euler示性数1证明是一样的1真正Gauss-Bonnet公式最有用的是有边界的情况1比方说,在一个Euclid平面,假使有一个三角形,这个三角形由直线所成1由于空间是Euclid空间,Gauss曲率=0;假使边都是直线,所以测地曲率也是01因此这个就是说∑(π2α)等于2π1这是因为要是三角形,Euler示性数是11右边要等于2π,所以这就说明三角形三角之和在Euclid平面上等于π1Gauss-Bonnet公式是三角形三角和公式在一般情形的推广1这个观念重要极了,它就是整个纤维丛的观念1我说,由这个纤维丛,Maxwell方程就是这个情况的推广1你到物理上应用的时候,你的空间是4维,是3维空间加1维时间,是4维的洛仑兹流形1那么要表示Maxwell方程的话,你要用一个圆周丛,实际上是一个复的直线丛1它有个曲率,我们的曲率是Gauss曲率乘以面积元素,而这个曲率是个2次微分式,把表示这个曲率是封闭的条件写出来就是Maxwell方程1所以,Maxwell方程的几何背景非常简单,就是因为世界是4维的空间,所以得从2维空间扩充到4维1那么这个曲率因为是一个2次微分式,还是反对称的,因此在4维空间里是一个4×4方阵: Fαβ= 0 E1 E2 E3-E10-B0B2-E2B00-B1-E3-B2B10 1这个方阵里头E1,E2,E3是Elect ric Potential,B0,B1,B2是Magnetic Potential,也就是电势跟磁势,这些都是方阵里头的函数1表示由这个方阵所表示的2次微分式是封闭的,即d这个式子的微分为0,就是Maxwell方程 d(Fαβd xα∧d xβ)=0.Gauss-Bo nnet公式在历史上曾有很多演变1我写的公式既不由于Gauss,也不由于Bonnet1事实上,Gauss仅由测地三角形做到三角形的情形1Bonnet也没有做拓扑的应用1Bonnet把三角形推广到任意曲线,他把任意曲线的测地曲率积分表为Gauss-Bonnet公式的积分1当年Bonnet是法国最要紧的几何学家,他在微分几何方面做了非常基本的贡献1我不管你们了解多少,我希望你们了解这一部分的数学非常要紧.Maxwell方程是它的特别情况,这个非常有用处1我有一篇文章在今年的《科学》上发表,题目叫《Gauss-Bonnet公式与Maxwell方程》,我讲的许多要点在这篇文章里头有16高等数学研究 2005年7月。
从欧几里得到微分几何——陈省身
从欧几里得到微分几何什么是几何学陈省身整理：林丽明▪几何原本▪球面几何与非欧几何▪坐标几何▪群的观念▪黎曼及克莱恩的几何学▪联络、矢量丛、规范场论▪亏格、结、圆周丛▪规范场论的基本方程式▪DNA 的基本公式几何原本在差不多一百年前，几何就是欧几里得。
他在公元前三百年左右写了一部大书，中文叫做《几何原本》。
从这本书我们可以看出：在当时的社会，几何并不被大家所注意，所以像欧几里得这样伟大的人，我们也不大知道他的生平。
大致说起来，他是属于公元前365～275年间的人物，这是大致算的时间，并不表示他活了90岁。
这本书是人类文化史上一部非常伟大、有意义的著作，它的主要结论有两个：一.勾股定理：有一直角三角形ABC，则长边的平方会等于其它两边的平方和。
由几何方面来说，如果我们在三边上各作一个正方形，那么两个小正方形的面积和就会等于大正方形的面积（见图一）。
图一c2=a2+b2二.三角形三内角之和等于180°，如果以弪(radian) 为单位，也可以说三角形三内角之和等于π这本书在当时受到重视，不单只是为了学几何，主要还要学一种逻辑推理的方法。
欧几里得用几个很明显的事实──公理，把几何的结论从公理用逻辑的方法推出。
而在他所列出的公理当中，较受争议的是平行公理。
平行公理原来是说：有两条直线被一直线所截，如果截角的和小于180°，那么这两条直线在充分延长后，必相交于一点。
（见图二）图二另一个简单的说法是：假使有一直线和线外一点，那么通过那个点就刚刚好只有一条直线和原来的直线平行。
平行者，就是这两条直线不相交（见图三）。
图三这个平行公理在所有公理之中是最不明显的，所以数学家或是对数学有兴趣的人便想从其它的公理去推得平行公理。
而这努力延持了两千年，后来证明这是不可能的，于是有了非欧几何学的发现，这在人类思想史上是非常特别、有意思的事实。
因此我感觉到这是西洋数学和中国数学不同的地方。
《九章算经》是中国古代最有名的数学书，一共九章，第九章谈的是所谓勾股，勾、股就是直角三角形中较短约两个边，一个叫做勾，另一个就叫做股，而最长的那个边便称为弦。
微积分讲义
《微积分》讲义第一章极限一、函数极限的概念：f＝A要点：⑴x 为变量；⑵A 为一常量。
二、函数极限存在的充分必要条件：f＝A f＝A，f＝A例：判定是否存在？三、极限的四则运算法则⑴＝f±g⑵＝f·g⑶＝……g≠0⑷k·f＝k· f四、例：⑴⑵⑶⑷五、两个重要极限⑴＝1 ＝1⑵＝e ＝e ………型理论依据：⑴两边夹法则：若f≤g≤h，且limf＝limh＝A，则：limg＝A⑵单调有界数列必有极限。
例题：⑴＝⑵＝⑶＝⑷＝⑸＝六、无穷小量及其比较1、无穷小量定义：在某个变化过程中趋向于零的变量。
2、无穷大量定义：在某个变化过程中绝对值无限增大的变量。
3、高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小。
4、定理：f＝A f＝A＋a （a＝0）七、函数的连续性1、定义：函数y＝f在点处连续……在点处给自变量x一改变量x：⑴x0时，y0。
即：y＝0⑵f＝f⑶左连续：f＝f右连续：f＝f2、函数y＝f在区间上连续。
3、连续函数的性质：⑴若函数f和g都有在点处连续，则：f±g、f·g、（g()≠0）在点处连续。
⑵若函数u＝j在点处连续，而函数y＝f在点＝j()处连续，则复合函数f(j(x)) 在点处连续。
例：＝＝＝4、函数的间断点：⑴可去间断点：f＝A，但f不存在。
⑵跳跃间断点：f＝A ，f＝B，但A≠B。
⑶无穷间断点：函数在此区间上没有定义。
5、闭区间上连续函数的性质：若函数f在闭区间上连续，则：⑴f在闭区间上必有最大值和最小值。
⑵若f与f异号，则方程f＝0 在内至少有一根。
例：证明方程式－4＋1＝0在区间内至少有一个根。
第二章一元函数微分学一、导数1、函数y＝f在点处导数的定义：x y＝f－f＝A f'＝A ……y'，，。
2、函数y＝f在区间上可导的定义：f'，y'，，。
3、基本初等函数的导数公式：⑴＝0⑵＝n·⑶＝，＝⑷＝·lnɑ，＝⑸＝cosx，＝－sinx＝x，＝－＝secx·tanx，＝－cscx·cotx⑹＝－＝－4、导数的运算：⑴、四则运算法则：＝±＝·g(x)＋f(x)·＝例：求下列函数的导数y＝2－5＋3x－7f(x)＝＋4cosx－siny＝⑵、复合函数的求导法则：yu，uv，vw，wx yx'＝''''例：y＝lntanxy＝lny＝arcsin⑶、隐函数的求导法则：把y看成是x的复合函数，即遇到含有y的式子，先对y求导，然后y再对x求导。