15.1(1)平面直角坐标系
平面直角坐标系
游戏——“找找你的位置” A B C D 我们教室中，每个座位都可以精确地用行数和列数来表示。 如：坐在第 2列第 1行的同学，我们可以表示为 (2,1) 。6 x -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 首先，让我们一起来确定一下自己在教室中的位置。 现在，根据给出的位置，报到的同学迅速起立，看看大家 接着，叫到的同学起立，迅速报出你的位置，看看同学们 的反应如何？
y
纵轴 （记作y轴）
-6 -5 -4 -3 -2 -1 O -1 -2 -3 原点 -4 -5 -6
平面直角坐标系xOy
65432 1
1 2 3 4 5
x
横轴 （记作x轴）
“数形结合”
在平面直角坐标系xOy中，点P所对应的 有序实数对（a,b）叫做点P的坐标，记作P （a,b）,其中a叫做横坐标，b叫做纵坐标， 原点O的坐标是（0，0）。
在直角坐标平面内， (-1,2) 横坐标与纵坐标都是整 (-3,1) 数的点叫做格点；顶点 (-2,0) 都是格点的三角形叫做 格点三角形。如图，已 知格点A(-2,1)，请画一 个格点三角形，使A在 (-2,2) 它的内部且这个三角形 (-1,1) 的面积最小，并写出这 个三角形各个顶点的坐 (-3,0) 标。
思考1:坐标轴上的点坐标的特征? （1）x轴上的点纵坐标为0，即(x,0)； （2）y轴上的点横坐标为0, 即(0,y). 思考2:平面直角坐标系中,既在x轴 上又在y轴上的点是 .
例题:写出图中直角坐 标平面内各点的 坐标 解: A(3,3)； B(7,4); C(8,6); D(0, 2). E(4,0); 0 F(2, 0); 0 G(-4,0); 0 H(I(-2,-3); J(5,-2); 3,1);
15平面直角坐标系
15平面直角坐标系知识点一平面直角坐标系及点的坐标1.定义:在平面内两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系.其中水平的数轴称为x轴,竖直方向的数轴称为y轴或纵轴.两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点.注:(1)横轴取向右为正方向,纵轴取向上为正方向,一般情况下,横轴和纵轴的单位长度取一致;(2)建立平面直角坐标系,必须满足三个条件;a.两条数轴b.互相垂直c.公共原点请同学们在草稿纸上画一个平面直角坐标系.2.点的坐标:过平面内任一点M分别作x轴、y轴的垂线段,设垂足所在位置对应的数分别为x、y,则x叫做点M的横坐标、y叫做点M的纵坐标,有序数对(x,y)叫做点M的坐标.3.4数轴上点的坐标特征：①位于x轴上的点坐标是0，即（x，）②位于y轴上的点坐标是0，即（，y）5、与坐标轴平行的直线上点的坐标的特征：①与x轴平行的直线上的点，坐标相同②与y轴平行的直线上的点，坐标相同例题1：已知P(a+2,b-3)、Q(2,3)两点.(1)若点P在x轴上,则b= ;(2)若点P在y轴上,则a= ;(3)若点P在第二象限,则a ,b ;(4)若点P到x轴的距离为2,则b= ;(5)若PQ∥x轴,则a ，b .解(1)由x轴上点的纵坐标为零,得b-3=0,故b=3.(2)由y轴上点的横坐标为零,得a+2=0,故a=-2.(3)由第二象限内点的坐标的符号特证a+2<0,b-3>0,故a<-2,b>3.(4)由已知得|b-3|=2,即b-3=±2,∴b=5或b=1.(5)由PQ∥x轴,得b-3=3. 又∵P、Q不重合,∴a+2≠2,b=6,a≠0 【反馈总结】知识点二.象限及平面内点的坐标特征 拓展延伸 拓展延伸 (1)点M(a,b)在象限的角平分线上 在一、三象限角平分线上时,a=b,即横、纵坐标相等在二、四象限角平分线上时,a=-b ,即横、纵坐标互为相反数(2)两点连线与坐标轴平行 MN ∥x 轴时,M 、N 两点纵坐标相等MN ∥y 轴时,M 、N 两点横坐标相等(3)点M(a,b)到x 轴的距离为|b|,到y 轴的距离为|a|例题21.、已知点A(3a+5,a -3)在二、四象限的角平分线上，则a= 。
数学平面直角坐标系的知识点
数学平面直角坐标系的知识点数学平面直角坐标系的知识点漫长的学习生涯中，是不是听到知识点，就立刻清醒了？知识点也不一定都是文字，数学的知识点除了定义，同样重要的公式也可以理解为知识点。
想要一份整理好的知识点吗？下面是店铺精心整理的数学平面直角坐标系的知识点，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。
数学平面直角坐标系的知识点11.平面直角坐标系：（1）在平面内两条有公共点并且互相垂直的数轴就构成了平面直角坐标系，通常把其中水平的一条数轴叫横轴或轴，取向右的方向为正方向；铅直的数轴叫纵轴或轴，取向上的方向为正方向；两数轴的交点叫做坐标原点。
（2）建立了直角坐标系的平面叫坐标平面．x轴和y轴把坐标平面分成四个部分，称为四个象限，按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限说明：两条坐标轴不属于任何一个象限。
2.点的坐标：对于平面直角坐标系内任意一点P，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足在x轴，y轴对应的数a,b分别叫做点P的横坐标，纵坐标，有序数对（a，b）叫做P的坐标。
3.点与有序实数对的关系：坐标平面内的点可以用有序实数对来表示，反过来每一个有序实数对应着坐标平面内的一个点，即坐标平面内的点和有序实数对是一一对应的关系。
数学平面直角坐标系的知识点2一、平面解析几何的基本思想和主要问题平面解析几何是用代数的方法研究几何问题的一门数学学科，其基本思想就是用代数的方法研究几何问题。
例如，用直线的方程可以研究直线的性质，用两条直线的方程可以研究这两条直线的位置关系等。
平面解析几何研究的问题主要有两类：一是根据已知条件，求出表示平面曲线的方程;二是通过方程，研究平面曲线的性质。
二、直线坐标系和直角坐标系直线坐标系，也就是数轴，它有三个要素：原点、度量单位和方向。
如果让一个实数与数轴上坐标为的点对应，那么就可以在实数集与数轴上的点集之间建立一一对应关系。
点与实数对应，则称点的`坐标为，记作，如点坐标为，则记作;点坐标为，则记为。
平面直角坐标系
02
点在平面直角坐标系中的表示
点在平面直角坐标系中的表示方法
直角坐标法
在平面内选定一个原点O和x、y轴，对于平面内的任意一点P ，通过原点O作一直角与x轴正方向夹角为α，再作一直角与y 轴正方向夹角为β，两直角的交点即为点P的坐标。
极坐标法
以原点O为极点，x轴正方向为极轴，建立极坐标系。对于平 面内的任意一点P，通过原点O作一直线与极轴夹角为θ，再 作一直线与极轴夹角为α，两直线的交点即为点P的极坐标。
点的坐标与位置关系
点的横坐标
表示点在x轴上的投影距离 。
点的纵坐标
表示点在y轴上的投影距离 。
点的位置关系
通过比较点的坐标值，可 以确定点在平面直角坐标 系中的位置关系，如平行 、垂直、相交等。
点在平面直角坐标系中的变换
平移变换
将点沿着x轴或y轴方向移动一定的距离，点的坐 标值会相应地增加或减少。
几何图形的性质研究
利用平面直角坐标系，可以研究几何图形的性质和特点，例如对称性、中心对 称等。
04
平面直角坐标系与极坐标系的 关系
极坐标系的基本概念
1 2
极坐标系
在平面内，以一个固定点为极点，一个固定射线 为极轴，用来研究点的位置的一种坐标系。
极坐标表示
在极坐标系中，一个点的位置由一个实数r和一 个角度θ来确定，记作(r, θ)。
旋转变换
将点绕原点旋转一定的角度，点的坐标值会发生 变化。
缩放变换
将点在x轴或y轴方向上放大或缩小一定的倍数， 点的坐标值会相应地增加或减少。
03
平面直角坐标系的应用
解析几何问题
直线方程的求解
通过平面直角坐标系，可以确定 直线上任意两点的坐标，从而求 出直线的方程。
x横轴y纵轴平面直角坐标系xOy特征
2 1
X
3
2 1 O -1 -2 -3 -1 -2
（B）
X
（A）
3 2 1
Y
3 Y 2 1
X
-3 -2 -1 1 2 3 -1 O -2 -3
（C）
-3 -2 -1
-1 -2 -3 0 （D）
O1 2 3
X
例１、 写出平面直角坐标系中的Ａ、Ｂ、Ｃ、D、 E 各点的坐标.
y
(-4,5) B
6 5 4 E (3,4)
横前纵后加括号， 中间不忘加逗号。
A
(4,3)
3 2 1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 O0 1 2 3 4 5 6 -1 D (2,-1) -2
-3 -4 (-3，-4) C -5 -6
x
例2、 写出平面直角坐标系中的Ｆ、Ｇ、Ｈ、I、 O 各点的坐标. y
6 5 4 3 2 (0,0) -6 -5 -4 -3 -2 -1O 0 1 2 -1 -2 G (-5,0) 1 I (0,2.5) (4,0)
15.1 平面直角坐标系
初一年级 蔡颖
纵轴
y 4
特征：两条数轴： ①互相垂直
平面直角坐系xOy
3
2 1
②原点重合
③通常取向右、向上为正方向 ④单位长度一般取相同的 x 1 2 3 4 5 原点 横轴
-4
-3
-2
-1
o
-1 -2 -3 -4
选择：下面四个图形中，是平面直角坐标系的是（ D ）
Y -3 -2 -1 1 O 2 3 Y
练习2：如图，这是某市部分简图，请建立适当的平面直角 坐标系，并分别写出各地的坐标。
y
（-4,3）
体育场 市场 （4,3） 宾馆 （2,2）
15.1 第3课时 点的轴对称与坐标变化 课件(共18张PPT) 沪科版数学八年级上册
预习导学
已知点 的关于x轴 对称点的
坐标
完成下表. A(－1，4)
A1(1，4)
B(－3，1) B1(3，1)
A2(－1，－4） B2(－3，－1）
C(－4，3) C1(4，3) C2(－4，－3）
合作探究
关于坐标轴轴对称的点的坐标
1.与点A(5，a)关于y轴对称的点的坐标是( A )
合作探究
1.如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴 对称变换，即第1次作原图形关于x轴对称，第2次作上一次变换 后的图形关于y轴对称，第3次作上一次变换后的图形关于x轴对 称，第4次作上一次变换后的图形关于y轴对称…，若原来点A的 坐标是(a，b)，则经过第2015次变换后所得的点A的对应点的坐 标是 (－a，b) .
A.(－5，a) B.(a，－5)
C.(a，5)
D.(－5，－a)
合作探究
【变式训练】在平面直角坐标系中，已知点A(2，－3)， B(－3，－2)，C(－5，6)，则点A，B，C关于x轴的对称点A'， B'，C'的坐标分别为 A'(2，3) ， B'(－3，2) ， C'(－5， －6) ，则A，B，C关于y轴的对称点A″，B″，C″的坐标分别 为 A″(－2，－3) ， B″(3，－2) ， C″(5，6) .
合作探究
解:(1)如图，△A1B1C1即为所求作的三角形；点B1的坐标 为(－2，－1).
(2)如图，△A2B2C2即为所求作的三角形；点C2的坐标为(1， 1).
预习导学
上节课，我们知道要作一个图形关于一条直线对称后的图 形，应先做出对应点，再连线.那么，在平面直角坐标系中，如 何做一个图形关于坐标轴对称后的图形呢？
平面直角坐标系 课件
x y
xy((00)，) 的作用下，点P(x，y)对应P′(x′，y′)
称为平
面直角坐标系中的伸缩变换．
平面内有一固定线段AB，|AB|＝4，动点P满足 |PA|－|PB|＝3，O为AB中点，求|OP|的最小值．
解析：以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴建立平
面直角坐标系，如下图，∵|PA|-|PB|=3＜|AB|，则点P的轨迹
是以点A、B为焦点的双曲线的右支上．
由题意知2c＝4，∴c＝2.
由题意知 2a=3，∴a= 3 . 2
∴b2=c2-a2=4- 9 = 7 . 44
∴点
P
的轨迹方程为
x2 9
-
y2 7
=1
x
3 2
44 由图可知，点 P 为与 x 轴的右交点时，|OP|最小，
∴|OP|min=
3 2
.
把方程y＝sin x变为y′＝ 1sin 4x′的伸缩变换 2
25 9
4.两个定点距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和
为26，求点M的轨迹
.
答案：x2+y2=4
平面直角坐标系
1．数轴
它使直线上任一点P都可以由唯一的实数x确定．
2．平面直角坐标系
在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点， 并确定度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐 标系．它使平面上任一点P都可以由唯一的实数对(x，y)确 定．
3．定义
设P(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换
B.
x
y
2 x， 1y 3
C.
x 2， y 3y
D.
x 2x， y 3y
3．在同，
曲线 C 变为曲线 x′2+y′2=0，则曲线 C 的方程为( A )
平面直角坐标系
平面直角坐标系在数学中，平面直角坐标系是一种用于描述平面内点的坐标系统。
它由两条互相垂直的直线（通常是水平的x轴和垂直的y轴）形成，它们相交于一个点，称为原点。
本文将介绍平面直角坐标系的基本概念、坐标表示和使用方法。
一、基本概念平面直角坐标系由两个轴组成，通常称为x轴和y轴。
这两个轴的交点就是原点，用O表示。
x轴向右延伸正无穷远，用正数表示；x轴向左延伸负无穷远，用负数表示。
y轴向上延伸正无穷远，用正数表示；y轴向下延伸负无穷远，用负数表示。
二、坐标表示平面直角坐标系中，每个点都可以用一个有序数对(x,y)来表示，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。
x和y分别称为点的横坐标和纵坐标。
三、使用方法在平面直角坐标系中，可以进行一些简单的计算和几何分析。
1. 距离计算可以通过坐标计算两点之间的距离。
假设点A的坐标为(x1, y1)，点B的坐标为(x2, y2)，则点A和点B之间的距离d可以通过以下公式计算：d = sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)2. 点的位置关系可以比较两个点的坐标来判断它们的位置关系。
例如，如果点A的横坐标等于点B的横坐标并且点A的纵坐标小于点B的纵坐标，那么可以说点A在点B的上方。
3. 垂直和平行关系可以通过判断两个直线的斜率（或是特殊情况下的截距）来确定它们的关系。
如果两条直线的斜率相同，那么它们是平行的；如果两条直线的斜率的乘积为-1，那么它们是垂直的。
四、坐标系拓展除了普通的平面直角坐标系，还有其他类型的坐标系可以应用于不同的数学和物理问题。
例如，极坐标系以点到原点的距离和该点与正x 轴的角度来描述点的位置。
其他坐标系还包括球坐标系、柱坐标系等。
总结：平面直角坐标系是用于描述平面内点的坐标系统。
通过横坐标和纵坐标的数值，可以表示点在平面中的位置。
在平面直角坐标系中，可以进行距离计算、点的位置关系判断以及直线的垂直和平行关系确定。
此外，还存在其他类型的坐标系，用于解决不同的数学和物理问题。
1平面直角坐标系课件(1)
• 2 画第二、四象限角平分线，在角平分线上、角平分线上方 和下方分别取两个点，写出这些点的坐标，你能发现什么规 律？
• 3．练习册15.1（1） • 4．堂堂练15.1（1）
谢
谢
15.1（1）平面直角坐标系
•数轴上的点和实数有怎样的关系？ •数轴上的点和实数是一一对应的关系． • 怎样建立平面上的点与实数之间的联系呢？
• 可以考虑用“数对”来表示平面内的点． • 在平面内取一点O，过点O画两条互相垂直的数轴，且 使它们以O为公共原点，这样就在平面内建立了一个直 角坐标系．
• 在x轴上方的点的纵坐标大于零， • 在x轴下方的点的纵坐标小于零， • 在x轴上的点的纵坐标等于零．
• 例题2 在直角坐标平面内，横 坐标和纵坐标都是整数的点叫 做格点，顶点都是格点的三角 形叫做格点三角形．如图，已
知格点A（－2，-81），请-6 画一 -4 个格点三角形，使点A在它的内
部，且这个三角形的面积最小， 并写出这个三角形各个顶点的 坐标．
• 水平放置，正方向向右，横轴， • 铅直放置，正方向向上，纵轴， • 如右图记作平面直角坐标系xOy， • 点O叫做坐标原点，简称原点， • x轴和y轴统称为坐标轴．
• 建立了直角坐标系的平面叫做直角坐标平面， 简称坐标平 面．这样，本来平面内的点都可以用有序实数对表示．
• 例题1 在直角坐标平面内取点A，写出表示点A的“数 对”．
A
-2
y4
3 2 1
O
-1 -2 -3
2Hale Waihona Puke 4x• 练习1 课本p125 第1题、第2题
• 练习2 如图，已知格点A
平面直角坐标系
平面直角坐标系平面直角坐标系是解析几何中常用的坐标系，用于描述平面上的点和其它几何图形。
本文将详细介绍平面直角坐标系的定义、性质及应用。
一、定义平面直角坐标系由两个互相垂直的数轴（x轴和y轴）构成。
x轴水平放置，从左到右逐渐增大；y轴垂直于x轴，从下往上逐渐增大。
两条轴的交点称为原点，记作O。
平面直角坐标系将平面上的点与有序的实数对（x，y）一一对应。
二、性质1. 坐标轴性质：x轴上的点坐标为(x, 0)，y轴上的点坐标为(0, y)。
2. 坐标线性质：对于坐标系内的一点P(x, y)，以x轴和y轴为边，可以得到4个区域，分别对应第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。
3. 距离计算公式：两点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)之间的距离d可以通过勾股定理求得：d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]。
三、应用平面直角坐标系在解析几何中有广泛的应用，常与方程、图形和向量等相关联。
1. 方程：通过坐标系可以解决一元和两元方程的问题。
对于一元方程，可以将其在坐标系中表示为一条直线，并求解其根；对于两元方程，可以表示为一条曲线，通过坐标系求解方程组的解。
2. 图形：通过坐标系，可以准确地表示和描述各种几何图形，如直线、抛物线、双曲线等。
在坐标系中，每个点都有唯一的坐标，因此可以使用坐标来确定图形上的点的位置。
3. 向量：向量是平面直角坐标系中的重要概念之一。
向量的起点可以任意选取，表示为一个有向线段，并通过坐标系表示其方向和大小。
向量可以进行加法、减法、数量积等运算，在物理学、工程学等领域有广泛的应用。
总结：平面直角坐标系是解析几何中最基本的坐标系之一，通过两个垂直的坐标轴构成。
它具有一些重要的性质，如坐标轴和坐标线的性质，以及距离计算公式。
平面直角坐标系在方程、图形和向量等方面有广泛的应用，能够准确地描述和解决各种几何问题。
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班级___________姓名___________学号___________
学习目标：
1． 在具体情景中理解有序实数对的意义，感受数学与生活的联系. 2． 理解平面直角坐标系的有关概念，并会正确地画出直角坐标系.
3． 会确定直角坐标系平面内的点的坐标, 在活动中体会数形结合的数学思想
学习重点：能在平面直角坐标系中由点求坐标.
学习难点：理解平面直角坐标系中的点与有序实数对间的一一对应关系. 一、学前准备
1. 用数轴上的点来表示下列各数： 2,0,2
12,3
2.数轴上的点与 之间存在着一一对应关系
二、独立思考
1.平面内的点都可以用 来表示.
2.在平面内建立了一个直角坐标系，通常所画的两条数轴中，有一条是水平放置的，它的正方向向右，这条数轴叫做 ,另一条是铅直放置的，它的正方向向上，这条数轴叫做_____，如图，记作平面直角坐标系xoy ，点O 叫做________，x 轴和y 轴统称为______ ；
3.在平面直角坐标系xoy 中，点P 所对应的有序实数对(a,b)叫做点P 的_______，记作P （a,b ），其中a 叫做______，b 叫做________.
4.原点O 的坐标是(___,___).
预习疑难摘要:__________________________________________________________________
三、师生探究
1．试一试 若约定“列数在前，排数在后”，请在图中涂出下列座位的位置： （2,4），（4,2），（3,3），（5,6）
课题：
15.1(1)平面直角坐标系 课型： 新授 执笔：
金晶晶
审核：
沈小青
时间：
2012年5月
2.画一画在方格图中建立平面直角坐标系
3.请写出直角坐标平面内各点的坐标：
解：A__________，B___________，C_________，
D__________，E_______,F_______
4.思考：有序数对（2,4）和（4,2）在直角坐标平面内表示的_______(填是或不是)同一个点；在(a,b)中，a,b的顺序不能颠倒，当a≠b时，（a,b）与（b,a）表示_____（填相同或不同）的点.
今天的学习你有什么收获吗?
_____________________________________________.
还有什么疑惑呢?
______________________________________________.
四、自我检测
1、写出图中A、B、C、D、E、F各点的坐标：
解：A__________，B___________，C_________，
D__________，E_______,F_______
2、已知P(a,b).
（1）若点P在原点，则a_____,b_____；
（2）若点P在x轴上，则a_____,b_____；
（3）若点P在y轴上，则a______，b_________.
3、看图填空：
（1）写出右图中各点的坐标
A点的坐标是（），B点的坐标是（），
C点的坐标是（），D点的坐标是（），
E点的坐标是（），F点的坐标是（），
G点的坐标是（），H点的坐标是（）.
（2）写出右图中五角星的各个顶点在平面直角坐标系的坐
标.
A点的坐标是（），
B点的坐标是（），
C点的坐标是（），
D点的坐标是（），
E点的坐标是（）.
（3）写出右图中各点坐标.
A点的坐标是（），B点的坐标是（），
C点的坐标是（），D点的坐标是（），
E点的坐标是（），F点的坐标是（），
G点的坐标是（），H点的坐标是（），
K点的坐标是（），O点的坐标是（），
4、已知四边形ABCD各顶点的坐标分别是A（0，0），B（3，6），C（5，8），D（4，0）
请建立平面直角坐标系，并画出四边形ABCD。
★5、王霞和爸爸、妈妈到人民公园游玩，回到家后，她利用平面直角坐标系画出了公园的景区地图，如图所示。
可是她忘记了在图中标出原点和x 轴、y 轴。
只知道游乐园D 的坐标为（2，－2），你能帮她求出其他各景点的坐标吗？
★★6、如图为风筝的图案．
（1）若原点用字母O 表示，写出图中点A ，B ，C 的坐标． （2）试求（1）中风筝所覆盖的平面的面积．
自我评价:☆☆☆☆☆ 教师评价: 优____ 良____中____须努力____
F
E D C
B A 音乐台
湖心亭牡丹园
望春亭
游乐园
(2,-2)O
y
F
E
D
C
B
A
x。