数列-6.3 等比数列及其前n项和(教案)

175响水二中高三数学（理）一轮复习教案 第六编 数列 主备人 张灵芝 总第28期§6.3 等比数列及其前n 项和基础自测1.（2008·海南、宁夏理，4）设等比数列{a n }的公比q =2,前n 项和为S n ,则24a S = . 答案215 2.等比数列{a n }中,a 3=7,前3项之和S 3=21，则公比q 的值为 . 答案 1或-21 3.如果-1,a ,b ,c ,-9成等比数列,那么b = ,ac = . 答案 -3 94.在等比数列{a n }中，已知a 1a 3a 11=8，则a 2a 8= . 答案 45.（2008·浙江理，6）已知{a n }是等比数列,a 2=2,a 5=41,则a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1= . 答案332(1-4-n) 例题精讲例1 已知{a n }为等比数列，a 3=2，a 2+a 4=320，求{a n }的通项公式. 解 方法一 设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠0， a 2=q a 3=q 2，a 4=a 3q =2q ，∴q2+2q =320.解得q 1=31，q 2=3.①当q =31时，a 1=18，∴a n =18×(31)n -1=1318-n =2×33-n .②当q =3时，a 1=92，∴a n =92×3n -1=2×3n -3.∴a n =2×33-n 或a n =2×3n -3. 方法二 由a 3=2,得a 2a 4=4，又a 2+a 4=320，则a 2，a 4为方程x 2-320x +4=0的两根，解得⎪⎩⎪⎨⎧==63242a a 或⎪⎩⎪⎨⎧==32642a a .①当a 2=32时,q =3,a n =a 3·q n -3=2×3n -3.②当a 2=6时，q =31,a n =2×33-n ∴a n =2×3n -3或a n =2×33-n .例2、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意n ∈N *有a n +S n =n .（1）设b n =a n -1,求证：数列{b n }是等比数列；（2）设c 1=a 1且c n =a n -a n -1 (n ≥2)，求{c n }的通项公式.176（1）证明 由a 1+S 1=1及a 1=S 1得a 1=21.又由a n +S n =n 及a n +1+S n +1=n +1得a n +1-a n +a n +1=1,∴2a n +1=a n +1. ∴2(a n +1-1)=a n -1,即2b n +1=b n .∴数列{b n }是以b 1=a 1-1=-21为首项， 21为公比的等比数列. （2）解 方法一 由（1）知2a n +1=a n +1.∴2a n =a n -1+1 (n ≥2),∴2a n +1-2a n =a n -a n -1,∴2c n +1=c n (n ≥2). 又c 1=a 1=21,a 2+a 1+a 2=2,∴a 2=43.∴c 2=43-21=41,即c 2=21c 1. ∴数列{c n }是首项为21，公比为21的等比数列∴c n =21·(21)n -1=(21)n . 方法二 由（1）b n =(-21)·(21)n -1=-(21)n .∴a n =-(21)n +1，∴c n =-(21)n+1-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛--1211n=121-⎪⎭⎫⎝⎛n -n ⎪⎭⎫ ⎝⎛21=121-⎪⎭⎫ ⎝⎛n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-211=n ⎪⎭⎫⎝⎛21（n ≥2），又c 1=a 1=21也适合上式，∴c n =n⎪⎭⎫ ⎝⎛21 例3 在等比数列{a n }中，a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=8且11a +21a +31a +41a +51a =2,求a 3. 解 方法一 设公比为q ,显然q ≠1,∵{a n }是等比数列，∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1也是等比数列，公比为q 1.由已知条件得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=--=--211)11(181)1(151q q a q q a ,解得a 21q 4=4,∴a 23=（a 1q 2）2=4，∴a 3=±2.方法二 由已知得：=++++5432111111a a a a a 5151a a a a ++4242a a a a ++233a a =2354321a a a a a a ++++=238a =2. ∴a 23=4.∴a 3=±2.例4 某林场有荒山3 250亩，每年春季在荒山上植树造林，第一年植树100亩，计划每年比上一年多植树50亩（全部成活）（1）问需要几年，可将此山全部绿化完？（2）已知新种树苗每亩的木材量是2立方米，树木每年自然增长率为10%，设荒山全部绿化后的年底的木材总量为S .求S 约为多少万立方米？（精确到0.1）解 （1）每年植树的亩数构成一个以a 1=100，d =50的等差数列，其和即为荒山的总亩数.177设需要n 年可将此山全部绿化，则S n =a 1n +2n(n -1)d =100n +2)1(-n n ×50=3 250.解此方程，得n =10（年）. （2）第一年种植的树在第10年后的木材量为2a 1（1+0.1）10，第二年种植的树在第10年后的木材量为2a 2（1+0.1）9，……，第10年种植的树在年底的木材量为2a 10(1+0.1),第10年后的木材量依次构成数列{b n }，则其和为T =b 1+b 2+…+b 10=200×1.110+300×1.19+…+1 100×1.1≈1.0（万立方米）. 答 需要10年可将此山全部绿化，10年后木材总量约为1.0万立方米.巩固练习1.已知等比数列{a n }中，a 3=23,S 3=421,求a 1. 解 当q =1时，a 1=a 2=a 3=23,满足S 3=421,当q ≠1时，依题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=21411233121q )q (a q a , 解得q 2=41,a 1=6.综上可得：a 1=23或a 1=6. 2.设数列{a n }是等差数列，a 5=6.（1）当a 3=3时，请在数列{a n }中找一项a m ,使得a 3,a 5,a m 成等比数列；（2）当a 3=2时，若自然数n 1,n 2,…,n t ,… （t ∈N *）满足5＜n 1＜n 2＜…＜n t ＜…使得a 3,a 5,1n a ,2n a ,…,t n a ,…是等比数列，求数列{n t }的通项公式. 解 （1）设{a n }的公差为d ,则由a 5=a 3+2d ,得d =236-=23,由a m a 3=a 25,即3⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-+23)3(3m =62，解得m =9.即a 3,a 5,a 9成等比数列. （2）∵a 3=2，a 5=6，∴d =235a a -=2，∴当n ≥5时，a n =a 5+(n -5)d =2n -4, 又a 3,a 5, 1n a ,2n a ,…,t n a ,…成等比数列，则q =35a a =26=3,t n a =a 5·3t ,t =1,2,3,…. 又a n t =2n t -4,∴2n t -4=a 5·3t =6·3t ,∴2n t =2·3t+1+4.即n t =3t+1+2,t =1,2,3,…. 3.（1）在等比数列{a n }中，a 1+a 2=324，a 3+a 4=36，求a 5+a 6的值；178（2）在等比数列{a n }中，已知a 3a 4a 5=8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值.解 （1）由等比数列的性质知,a 1+a 2,a 3+a 4,a 5+a 6也成等比数列，则(a 3+a 4)2=(a 1+a 2)(a 5+a 6).∴a 5+a 6=4.（2）∵a 3a 5=a 24，∴a 3a 4a 5=a 34=8，∴a 4=2，又∵a 2a 6=a 3a 5=a 24，∴a 2a 3a 4a 5a 6=a 54=32.4.为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2006年底，将当地沙漠绿化了40%，从2007年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲（被绿化的部分叫绿洲），同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？（可参考数据lg2=0.3，最后结果精确到整数）. 解 设该地区总面积为1，2006年底绿化面积为a 1=52，经过n 年后绿洲面积为a n +1，设2006年底沙漠面积为b 1，经过n 年后沙漠面积为b n +1，则a 1+b 1=1，a n +b n =1.依题意a n +1由两部分组成：一部分是原有绿洲a n 减去被侵蚀的部分8%·a n 的剩余面积92%·a n ，另一部分是新绿化的12%·b n ，所以a n +1=92%·a n +12%(1-a n )=54a n +253,即a n +1-53=54(a n -53),∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧-53n a 是以-51为首项，54为公比的等比数列，则a n +1=53-51⎪⎭⎫ ⎝⎛54n ,∵a n +1＞50%,∴53-51⎪⎭⎫ ⎝⎛54n ＞21, ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛54n ﹤21,n ＞log 5421=2lg 312lg -=3.则当n ≥4时，不等式⎪⎭⎫⎝⎛54n ﹤21恒成立，所以至少需要4年才能使绿化面积超过50%.回顾总结知识 方法 思想课后作业一、填空题1.（2008·福建理）设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1=1，a 5=16，则数列{a n }的前7项的和为 . 答案 1272.若数列{a n }的前n 项和S n =3n -a ，数列{a n }为等比数列，则实数a 的值是 . 答案 11793.设a 1,a 2,a 3,a 4成等比数列，其公比为2，432122a a a a ++的值为 .答案41 4.等比数列{a n }前n 项的积为T n ,若a 3a 6a 18是一个确定的常数，那么数列T 10，T 13，T 17，T 25中也是常数的项是 . 答案 T 175.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n =x ·3n -1-61，则x 的值为 . 答案21 6.已知等比数列{a n }中，a 1+a 2=30，a 3+a 4=120，则a 5+a 6= . 答案 4807.设数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =2)13(1-n a （对于所有n ≥1)，且a 4=54，则a 1的值是 . 答案 28.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4=1，S 8=17，则通项a n = . 答案151·2n -1或-51（-2）n -1二、解答题9.数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =31(a n -1). （1）求a 1,a 2; (2)证明：数列{a n }是等比数列；（3）求a n 及S n . （1）解 ∵a 1=S 1=31（a 1-1），∴a 1=-21.又a 1+a 2=S 2=31(a 2-1),∴a 2=41. (2)证明 ∵S n =31（a n -1），∴S n +1=31（a n +1-1），两式相减，得a n +1=31a n +1-31a n ,即a n +1=-21a n , ∴数列{a n }是首项为-21，公比为-21的等比数列. （3）解 由（2）得a n =-21·(-21)n -1=-(-21)n , S n =31⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-121n .10.数列{a n }中，a 1=2,a 2=3,且{a n a n +1}是以3为公比的等比数列，记b n =a 2n -1+a 2n (n ∈N *). (1)求a 3,a 4,a 5,a 6的值；（2）求证：{b n }是等比数列.180（1）解 ∵{a n a n +1}是公比为3的等比数列，∴a n a n +1=a 1a 2·3n -1=2·3n ，∴a 3=2232a ⋅=6，a 4=3332a ⋅=9，a 5=4432a ⋅=18，a 6=5532a ⋅=27.（2）证明 ∵{a n a n +1}是公比为3的等比数列，∴a n a n +1=3a n -1a n ，即a n +1=3a n -1， ∴a 1，a 3，a 5,…，a 2n -1，…与a 2,a 4,a 6，…，a 2n ，…都是公比为3的等比数列. ∴a 2n -1=2·3n -1,a 2n =3·3n -1，∴b n =a 2n -1+a 2n =5·3n -1.∴n n b b 1+=13535-⋅⋅n n=3，故{b n }是以5为首项，3为公比的等比数列.11.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且（3-m ）S n +2ma n =m +3 （n ∈N *），其中m 为常数，且m ≠-3,m ≠0. （1）求证：{a n }是等比数列；（2）若数列{a n }的公比q =f (m ),数列{b n }满足b 1=a 1,b n =23f (b n -1) (n ∈N ,n ≥2),求证：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1为等差数列，并求b n .证明 （1）由(3-m )S n +2ma n =m +3,得(3-m )S n +1+2ma n +1=m +3, 两式相减，得（3+m ）a n +1=2ma n ,m ≠-3,∴nn a a 1+=32+m m≠0 (n ≥1).∴{a n }是等比数列. （2）由(3-m )S 1+2ma 1=m +3,解出a 1=1,∴b 1=1. q =f (m )= 32+m m,n ∈N 且n ≥2时， b n =23f (b n -1)= 23·3211+--n n b b ， b n b n -1+3b n =3b n -1，推出n b 1-11-n b =31. ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1是以1为首项、31为公差的等差数列.∴nb 1=1+31-n =32+n .∴b n =23+n .12.（2008·四川文，21）设数列{a n }的前n 项和S n =2a n -2n .（1）求a 3，a 4；（2）证明：{a n +1-2a n }是等比数列；（3）求{a n }的通项公式.(1)解 因为a 1=S 1,2a 1=S 1+2,所以a 1=2,S 1=2.由2a n =S n +2n 知2a n +1=S n +1+2n +1=a n +1+S n +2n +1,得 a n +1=S n +2n +1. ①，所以a 2=S 1+22=2+22=6,S 2=8, a 3=S 2+23=8+23=16,S 3=24,a 4=S 3+24=40. (2)证明 由题设和①式知a n +1-2a n =(S n +2n +1)-(S n +2n )=2n +1-2n =2n ,所以{a n +1-2a n }是首项为2,公比为2的等比数列.(3)解a n=(a n-2a n-1)+2(a n-1-2a n-2)+…+2n-2(a2-2a1)+2n-1a1=(n+1)·2n-1.181。