2014-2015厦门高二下理科数学市质检
2014-2015福建省厦门市高三(上)质量检查(含答案)
厦门市2014-2015学年第一学期高三年级质量检测数学（理科）试卷注意事项：1.本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷内填写学校、班级、学号、姓名；2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：V Sh =柱.其中S 为底面面积，h 为高．第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的. 1．设集合{}|20A x x =+>，|B x y ⎧==⎨⎩,则A B = A ．{|2}x x >- B ． {|3}x x < C ．{|32}x x x ><-或 D ． {|23}x x -<< 2. 已知命题:p 0x R ∃∈，01sin 2x ≥，则p ⌝是 A ．1,sin 2x R x ∀∈≤B ．1,sin 2x R x ∀∈< C ．001,sin 2x R x ∃∈≤D ．001,sin 2x R x ∃∈< 3.已知向量()1a m,= ,()22b m ,= ,+0a b λ= 则m =A. 0B. 2C. 0或2D. 0-2或 4.曲线23y x =与直线1,2x x ==及x 轴所围成的封闭图形的面积是 A. 1 B.3 C. 7 D. 85.函数()sin y x x x R =+∈的图象的一条对称轴经过点A. ⎪⎭⎫⎝⎛-0,6π B. ⎪⎭⎫⎝⎛0,6π C. 03,π⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. ⎪⎭⎫⎝⎛0,3π 6. 已知,l m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列说法正确的是 A ．若,//l m αα⊥，则l m ⊥ B. 若,l m m α⊥⊂，则l α⊥ C ．若//,l m m α⊂，则//l α D ．若//,//l m αα，则l // m 7.等差数列{}n a 中，3a 和9a 是方程2160x x c -+=(64)c <的两实根， 则该数列前11项和11S =A ．58B ．88C ．143D ．1768.在直角坐标系中，函数()1 sinf x xx=-A9 . 椭圆2:13Ea+=的右焦点为F B两点.若△FAB周长的最大值是8，则m的值为A. 0B.1C.D. 210. 设函数[]35211*()(1),(0,1,)3!5!(21)!nnnx x xf x x x n Nn--=-+-+-∈∈-，则A.23()sin()f x x f x≤≤ B.32()sin()f x x f x≤≤C. 23sin()()x f x f x≤≤ D.23()()sinf x f x x≤≤第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题分必做题和选做题．（一）必做题：共4小题，每小题4分，满分16分．11.已知sin2cosαα=,则tan4πα⎛⎫+=⎪⎝⎭.12.三棱柱的三视图如图所示，则该棱柱的体积等于_____.13. 已知双曲线()2222:10,0x yC a ba b-=>>的渐近线与圆22(5)9x y-+=相切，则双曲线C的离心率为.14.已知数列{}n a中，13a=，()130nn na ab b++=>，*n N∈.①当1b =时，712S =； ②存在R λ∈,数列{}nn a bλ-成等比数列；③当()1b ,∈+∞时，数列{}2n a 是递增数列； ④当()01b ,∈时， 数列{}n a 是递增数列.以上命题为真命题的是 （写出所有真命题对应的序号）.（二）选做题：本题设有三个选考题，请考生任选2题作答，并在答题卡的相应位置填写答案．．．．．．．．．．．．．．，如果多做，则按所做的前两题计分，满分8分． 15. （1）（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵2111A -⎛⎫=⎪⎝⎭，且103xA y -⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则x y +=___________. （2）（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l 的极坐标方程为cos 1ρθ=，圆C 的参数方程为:22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），则圆心C 到直线的距离等于_____________(3)（选修4-5：不等式选讲）已知,x y R +∈且22x y +=的最大值等于_____．三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （本小题12分） 已知函数()sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的图象经过点（0，12）,且相邻两条对称轴间的距离为2π. (Ⅰ)求函数()f x 的解析式及其单调递增区间；(Ⅱ)在∆ABC 中，a,b,c 分别是角A ，B ，C 的对边，若1cos 22A f A ()-=， 且1,3bc b c =+=，求a 的值. 17. （本小题12分）如图，菱形ABCD 的边长为2，对角线交于点O, DE ⊥平面ABCD .(Ⅰ)求证：AC ⊥ BE ；(Ⅱ)若120o ADC ∠=，2DE =，BE 上一点F 满足//OF DE求直线AF 与平面BCE 所成角的正弦值.A18. （本小题12分）已知梯形OABC 中，21OA OC AB ===,OC //AB ，3π=∠AOC ,设OA OM λ=,μ=()00,λμ>>, ()12OG OM ON =+,如图： (Ⅰ)当1124,λμ==时，点O,G,B 是否共线，请说明理由； (Ⅱ) 若OMN ∆,求OG 的最小值.19. （本小题13分）营养学家建议：高中生每天的蛋白质摄入量控制在[60，90]（单位：克），脂肪的摄入量控制在[18，27]（单位：克）.某学校食堂提供的伙食以食物A 和食物B 为主， 1千克食物A 含蛋白质60克，含脂肪9克，售价20元； 1千克食物B 含蛋白质30克，含脂肪27克，售价15元.(Ⅰ)如果某学生只吃食物A ，他的伙食是否符合营养学家的建议，并说明理由；(Ⅱ) 根据营养学家的建议，同时使得花费最低，学生每天需要同时吃食物A 和食物B 各多少千克.20. （本小题13分）已知抛物线E :x y 42=,点(),0F a ，直线:,l x a =-，0a >，且a 为常数. (Ⅰ) 当1a =时，P 为直线l 上的点,R 是线段PF 与y 轴的交点.若点Q 满足:,RQ FP PQ l ⊥⊥,判断点Q 是否在抛物线E 上，并说明理由；(Ⅱ)过点F 的直线交抛物线E 于A,B 两点, 直线OA ,OB 分别与直线x a =-交于M ,N 两点.，求证：以MN 为直径的圆恒过定点并求定点的坐标.21. （本小题14分）设函数()*()ln 1,2,1n f x ax x n N n a =--∈≥> .（Ⅰ）当2a =，2n =时，求函数()f x 的极值； （Ⅱ）若函数()f x 存在两个零点12x ,x .(i)求a 的取值范围； (ii)求证：2212n x x e->（e 为自然对数的底数）.厦门市2014-2015学年第一学期高三年级质量检测（理科）试题参考答案及评分标准二、填空题：三、解答题： 16．（本小题满分12分）本题主要考查三角函数的对称性、周期性与单调性，两角和与差的正弦公式及余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想与数形结合思想． 解：（Ⅰ）由()f x 的图象过点（0，12），得1sin 2ϕ= 又02πϕ<<，6πϕ∴=……………………………………………………………….………1分由相邻两条对称轴间的距离为2π，知()f x 的周期T=π…………………………………….2分 则2ππω=，2ω∴=……………………………………………………………………………3分()sin(2)6f x x π∴=+…………………………………………………………………………4分令222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，………………………………………………..….5分得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈()f x ∴的递增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈…………………………………………..….6分（Ⅱ）由1cos 22A f A ()-=，可得1sin()cos 62A A π+-=11cos cos 22A A A +-=11cos 22A A -=…………………………..…7分 化简得，1sin()62A π-=………………………………………………………………………8分50,666A A ππππ<<∴-<-<……………………………………………………….……9分66A ππ∴-=，即3A π=………………………………………………………….………….10分又bc =1，b+c=3，据余弦定理可得22222cos ()36a b c bc A b c bc =+-=+-= …………………………………………….11分a ∴=…………………………………………………………………………………..…..12分17．（本小题满分12分）本题考查空间线面位置关系以及利用空间向量这一工具解决立体几何中有关长度、角度、垂直、平行问题的能力.考查了空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查了转化与化归思想以及方程思想的应用能力. (Ⅰ)证明：,DE ABCD AC ABCD ⊥⊂平面平面， DE AC ∴⊥ …………….……..…….1分四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，……………………………………………………..2分 又DEBD D =，E AC BD ∴⊥平面 ，……………………………………………..…… 4分BE BDE ⊂平面，∴AC BE ⊥ …………………5分（Ⅱ）（解法一）,//DE ABCD OF DE ⊥平面 ，O F A B C D ∴⊥平面，以O 为原点，以,,OA OB OF 分别为x y z 轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示：………………………………………….…6分依题意可得(0,1,0),((0,1,2),(0,0,1)A B C E F -，(AF =，(1,0)BC =-，(0,1,1)BF =-, …………………………………7分设平面BCE 的法向量为(,,)n x y z =，则0n BC n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0,0y y z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩………………8分取(1,3,n =- ,……………………………………………………………………...……9分则2cos ,7||||AF n AF n AF n ⋅-<>===, ………………………………………….…11分 设直线AF 和平面BCE 所成的角为θ，则21sin |cos ,|AF n θ=<>=12分 (Ⅱ)（解法二）,//DE ABCD OF DE ⊥平面，OF ABCD ∴⊥平面，..6分由题意可得 112O F D E ==，AO OC ==1BO OD ==，..……7分xABE CE ==……………………………………….……8分2AF ==，212BCE S BC ∆==………………………………………………….…9分 连接AE ，设点A 到平面BCE 的距离为d ,A BCE E ABC V V --=，即1111(1)23332BCE ABC S d S DE ∆∆⋅=⋅=⨯⨯⨯ ,解得7d = ，………….…11分 所以直线AF 和平面BCE 所成的角为θ，则sin d AF θ==. ………………..……12分 18．（本小题满分12分）本题考查平面向量基本定理、几何性质、模与数量积的运算，以及基本不等式等知识的综合应用，考查运算求解能力和推理论证能力，考查数形结合、转化与化归等数学思想方法.解法一：(Ⅰ)当11,24λμ== 时，12OB OA AB OA OC =+=+………………………….…..2分 （或：依题意2,//OC AB OC AB =12OB OC OA ∴=+ )111111()()()222442OG OM ON OA OC OA OC =+=+=+..3 4O B O G ∴=…………………………………………….……...4分//OB OG ∴……………………………………………………..5分 ,,O G B ∴三点共线 …………………………………………..6分 (Ⅱ) 1sin 23OMN S OM ON π∆=⋅==， 14λμ∴= ………………………………8分 ()()1122OG OM ON OA OC λμ=+=+ ()22222124OG OA OC OC OA λμλμ=++⋅…………………………..……………………..9分 ()2222112cos 434πλμλμλμλμ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭……………………………………10分33416λμ≥=……………………………………….…...11分当且仅当21==μλ时取等号，∴OG 的最小值是43 …………………………….…….12分 解法二：如图，以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系…………….…..1分(Ⅰ)15(0,0),(1,0),((,24O A C B ………………….………….…2分54OB ⎛∴= ⎝⎭()()111111151,0,,222448221616OG OM ON OA OC ⎛⎫⎛⎛⎫=+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭…………3分 4OB OG ∴=……..………………………………………………………………………………4分 //OB OG ∴……………………………………………………………………………………….5分 ,,O G B ∴三点共线 …………………………………………………………………………….6分(Ⅱ) 1sin 23416OMN S OM ON π∆=⋅==， 14λμ∴= …………………….……….8分()12,0,24M N G λμλμμμ⎛⎫⎛⎫+∴ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………………….…….……9分=()22222144λμμλμλμ⎫+⎛⎫+=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭……………………………….…..……10分 33416λμ≥= …………………………………………….…11分当且仅当21==μλ时取等号，∴OG 的最小值是43…………………………..………12分19．（本小题满分13分）本题主要考查二元一次不等式（组）的区域表示，线性规划问题等相关概念，考查学生应用线性规划思想解决实际生活问题的能力以及数据处理能力，同时考查了数形结合、转化与化归等数学思想方法.解：(Ⅰ) 如果学生只吃食物A ，则当蛋白质摄入量在[60，90]（单位：克）时，则食物A 的重量在[1，1.5] （单位：千克），其相应的脂肪摄入量在[9，13.5] （单位：克），不符合营养学家的建议；……………………….2分 当脂肪摄入量在[9，27] （单位：克）时，则食物A 的重量在[2，3] （单位：千克），相应的 蛋白质摄入量在[120，180] （单位：克），不符合营养学家的建议. ………………………….4分 (Ⅱ)设学生每天吃x 千克食物A ，y 千克食物B ，则有⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤≤+≤0,0272791890306060y x y x y x 即⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤≤+≤0,0332322y x y x y x ，分作出其相应的可行域，如图阴影部分所示…....8分 每天的伙食费为2015z x y =+……..………….9分由⎩⎨⎧=+=+2322y x y x 解得42(,)55M作直线0:20150l x y +=，平移0l 过点M 时，z 有最小值………………………………………………………………………………………..10分所以min 4220152255z =⨯+⨯=………………………………………………….………….…12分所以学生每天吃0.8千克食物A ，0.4千克食物B ，既能符合营养学家的标准又花费最少.………………………………………………………13分20．（本小题满分13分）本题主要考查抛物线的定义和几何性质、直线的方程、圆的方程等基本知识.本题通过用代数方法研究圆锥曲线的性质,考查学生运算求解能力以及应用解析几何知识解决问题的能力.考查数形结合思想与方程思想等数学思想.(Ⅰ)解法一:由已知1=a ,可得(1,0)F 为焦点,:1l x =-为准线1分因为O 点为FC 的中点且O R ∥PC,所以R 点为线段PF 的中点.又因为R Q ⊥PF,所以QR 为PF 的垂直平分线,可知PQ=QF. ………4分根据抛物线定义,Q 点在抛物线E :x y 42=上,如图所示. ………5分解法二:由已知1=a ,可得(1,0)F 为焦点,:1l x =-为准线 设P 点坐标为(0,1y -),则直线PF 的方程为)1(210--=x y y ……………………….……….2分 R 点坐标(0,021y ),直线RQ 的方程为00212y x y y +=…………………………….…………..3分 又直线PQ 的方程为0y y =.故Q 点坐标为),41(020y y ………………………………………….4分 把Q 点代入x y 42=,满足方程,即Q 点在抛物线E :x y 42=上………………………….……5分 (Ⅱ)解法一: 由图形的对称性可知定点在x 轴上,设定点坐标K )0,(m .①当直线AB 的斜率不存在时,设直线AB 的方程为a x =,求得)2,(a a A ,)2,(a a B -)2,(),2,(a a N a a M ---,显然以MN 为直径的圆恒过定点(0,2a a -),(0,2a a --).………………………..………6分 ②当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为)(a x k y -=,代入x y 42= 得0)42(22222=++-k a x ak x k .设)2,(11x x A )2,(22x x B -由韦达定理得2212221,42a x x kak x x =+=+………….……7分 又求得212,2x K x K OB OA -==.故直线OA 的方程:x x y 12=,直线OB 的方程:x x y 22-= ………………………………8分得到)2,(),2,(12x a a N x a a M ---………………………………………………………………..9分由于圆恒过定点K )0,(m ,根据圆的性质可知090=∠MKN .即0KM KN ⋅=, …………………………………………………..………………………….10分 求得),2,(2x a m a ---=)2,(1x a m a --=代入上式得…………………..………11分04)(2122=-+x x a m a ,⇒04)(2=-+a m a ,a a m -±=⇒2.故以MN 为直径的圆恒过定点(0,2a a -),(0,2a a --).……………………….………13分 解法二: 由图形的对称性可知定点在x 轴上,设定点坐标K )0,(m .设直线AB 的方程为a ty x +=(0≠t ),代入x y 42=得0442=--a ty y .设),4(121y y A ,),4(221y y B 由韦达定理得a y y t y y 4,42121-==+.…………………………7分 又求得214,4y K y K OB OA ==.故直线OA 的方程:x y y 14=,直线OB 的方程:x y y 24= …………………….………………8分 得到)4,(),4,(21y aa N y a a M ----…………………………………………………………….……9分 由于圆恒过定点K )0,(m ,根据圆的性质可知090=∠MKN .即0KM KN ⋅=,………………………………………………………………………….……….10分 求得),4,(1y a m a ---=)4,(2y am a ---=.代入上式得………………………………11分016)(2122=++y y a m a ⇒04)(2=-+a m a ,a a m -±=⇒2.故以MN 为直径的圆恒过定点(0,2a a -),(0,2a a --).………………..………….………13分解法三: 设直线AB 的方程为a ty x +=(0≠t ),代入x y 42=得0442=--a ty y .设),4(121y y A ,),4(222y y B 由韦达定理得a y y t y y 4,42121-==+.…………………..………6分又求得214,4y K y K OB OA ==. 故直线OA 的方程:x y y 14=,直线OB 的方程:x y y 24= ………………………….….………7分 得到)4,(),4,(21y a a N y a a M ----……………………………………………………….………8分 以MN 为直径的圆的圆心(a -,)22(21y a y a +-),半径|22|21y ay a r -=…………….……………9分 故圆的方程2212212)22()22()(y a y a y a y a y a x -=++++ 化简得016)(4)(212212122=+++++y y a y y y y a y a x ……………………………………………11分由韦达定理结论可得04)(422=-+++a y a x yt满足题目要求只须对于任意非零实数t 上式恒成立.解得⎩⎨⎧=--=02y a a x ,⎩⎨⎧=-=02y a a x .故以MN 为直径的圆恒过定点(0,2a a -),(0,2a a --).………………..……………….13分 21．（本小题满分14分）本题考查函数与导数的基础知识、导数的应用、方程的解及不等式证明等问题，考查运算求解能力，考查了分类与整合、化归与转化、函数与方程、有限与无限等数学思想． （Ⅰ）依题意得：由已知得()0x ,∈+∞，2,2n a ==，21144122()x x x f x x x⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭'∴== ………………………………………….……… 1分令 ()0f x '>，得12x >；令()0f x '<，得102x <<, …………………..………………… 2分则函数()f x 在102,⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在12,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，…………………………..… 3分11ln 222f ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭为函数()f x 的极小值,且无极大值..………………….………………..…4分（Ⅱ）(i)11()n f x nax x -'=-，1a >，令11()010n n f x nax nax x -'=-=⇒-=，设0x =，…………..………………..…… 5分函数()f x 在()00,x 上单调递减，在()0x ,+∞上单调递增，函数()f x 存在两个零点，∴函数的最小值0()0f x <，………………….…………….… 6分则()0111()1ln 1f x a na na n n=⋅-=+-， 即()11ln 10na n n +-<，111n a e n-∴<<，…………………………………………...……… 7分 又11n n na ee-+<<，111n nn e na +-⎛⎫> ⎪⎝⎭ ， 111+10nn n n n n f e a e n ++--⎛⎫⎛⎫+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ＝， (8)分011nx na=<，且1a >，()110f a ∴=->， 根据零点存在性定理可知()f x 在()00x ，和()0,x +∞各有一个零点………………………..…9分（ii ）解法一：不妨设1x >2x ,依题意得：1122ln 1...........ln 1..........n n ax x ax x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩①②，①-②得：()1212ln ln n na x x x x -=-，①+②得：()()1212ln 2nn a xx x x +=+，…………………………………………..……… 10分又1212ln ln n nx x a x x -=-，()()()12121212ln ln ln 2n nn nx x x x x x x x -+∴+=-，设121x t x =>，()12ln x x ∴=()1ln 21n n t t t +⋅--，……………………………… …………..… 11分 欲证2212n x x e ->，只要证：()122ln 2x x n >-，即证：()12ln 1n n t t t n+⋅>-，……………… 12分即证：21ln 1n n t t n t ->⋅+，设()()21ln 11n n t g t t t n t -=-⋅>+，()()()()()()2212221411220111nnnn n n n t t t ntg t t n t t t t t -+--'=-⋅==>+++， ()g t ∴ 在()1,+∞上递增，()()10g t g ∴>= ， ……………………………..…....… 13分21ln 1n n t t n t -∴>⋅+， ()12ln 1n n t t t n+∴⋅>- ，2212nx x e-∴> …………………………………………………..… 14分。
高二数学月考试题及答案-衡水中学2014-2015学年高二下学期一调考试(理)
2014——2015学年度下学期高二年级一调考试理科数学试卷第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知i 是虚数单位，m 和n 都是实数，且(1)7m i ni +=+，则m nim ni+=-（ ）A ．-1B ．1C ．-ID ．i2、复数Z 点Z 对应，12,Z Z 为两个给定的复数，12Z Z ≠，则12Z Z Z Z -=-决定的Z 的轨迹是（ ）A ．过12,Z Z 的直线B ．线段12,Z Z 的中垂线C ．双曲线的一支D ．以12,Z Z 为端点的圆3、设两个不同的直线,a b 的方向向量分别是12,e e ，平面α的法向量是n ，则下列推理①121//////e e b e n α⎫⎪⇒⎬⎪⎭；②12//////e n a b e n ⎫⎪⇒⎬⎪⎭；③1212////e e b b e eαα⎫⎪⊄⇒⎬⎪⊥⎭；④121////e e b e n α⎫⎪⇒⊥⎬⎪⎭； 其中正确的命题序号是（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④4、若24()b ax x+的展开式中3x 的系数为20，则22a b +的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45、222(2cos tan )2xx dx ππ-+=⎰（ ） A．2π+ BC ．2πD．π 6、已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数()x R ∈，如：[][][]1.32,0.80,3.43-=-==，定义{}[]x x x =-，求1232014{}{}{}{}2014201420142014++++=（ ） A ．2013 B ．20132C ．1007D ．20147、若不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3[2,]2-B ．3(2,]2- C ．[3,2]- D ．(3,1)- 8、将2n 个正整数21,2,3,n 填入n n ⨯方格中，使其每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形叫做n 阶幻方，记()f n 为n 阶幻方对角线的和，如图就是一个3阶幻方，可知()315f =，则()5f =（ ）A ．63B ．64C ．65D ．669、某班班会准备从含有甲乙丙的7名学生中选取4人发言，要求甲乙至少有一人参加，若甲乙同时参加市，丙不能参加，且甲乙两人的发言顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有（ ）A ．484种B ．552种C ．560种D ．612种10、某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小雷节目和1个相声类急忙的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）A ．72B ．120C ．144D ．16811、用a 代表红球，b 代表篮球，c 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个求的所有取法可由(1)(1)a b ++的展开式1a b ab +++表示出来，如：“1”表示一个球都不取，“a ”表示取出一个红球，而“ab ”则表示把红球和篮球都取出来，依次类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球，5个无区别的篮球，5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是（ ） A ．234555(1)(1)(1)a a a a a b c +++++++ B ．523455(1)(1)(1)a b b b b b c +++++++ C ．523455(1)(1)(1)a b b b b b c +++++++ D ．552345(1)(1)(1)a b c c c c c +++++++ 12、已知函数()y f x =对于任意的(,)22x ππ∈-满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式不成立的是（ ）A()()34f ππ< B()()34f ππ-<- C．(0)()4f π< D ．(0)2()3f f π<第Ⅱ卷二、填空题：本大题共/4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
2014-2015学年江苏省南通市启东中学高二下学期第二次质检数学(理)试卷 Word版含解析
2014-2015学年江苏省南通市启东中学高二（下）第二次质检数学试卷（理科） 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．设集合A={﹣1，0，，3}，B={x|x2≥1}，则A∩B=． 2．某单位有职工52人，现将所有职工按l、2、3、…、52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是 ． 3．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为 ． 4．执行如图所示的流程图，则输出的k的值为 ． 5．若在区间（﹣1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，则直线ax﹣by=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1相交的概率为 ． 6．若|z﹣i|=1，则|z|最大值为 ． 7．已知数据x1，x2，…，xn的方差s2=4，则数据﹣3x1+5，﹣3x2+5，…，﹣3xn+5的标准差为 ． 8．用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是 ． 9．（x+1）（2x+1）（3x+1）…（10x+1）展开式中x的一次项系数为 ． 10．已知﹣=，则C8m=． 11．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字也许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 ． 12．已知的展开式中，各项系数的和与其二项式系数的和之比为64．则展开式中所有的有理项的项数为 ． 13．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为 ． 14．已知等比数列{an}的首项为，公比为﹣，其前n项和记为S，又设Bn={，，，…，}（n∈N*，n≥2），Bn的所有非空子集中的最小元素的和为T，则S+2T≥2014的最小正整数为 ． 二、计算题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 1）已知矩阵，其中a，b均为实数，若点A（3，﹣1）在矩阵M的变换作用下得到点B（3，5），求矩阵M的特征值． （2）在极坐标系中，设直线与曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0相交于A，B两点，求线段AB中点的极坐标． 16．设z是虚数，满足是实数，且﹣1＜ω＜2． （1）求|z|的值及z的实部的取值范围； （2）设．求证：u是纯虚数； （3）求ω﹣u2的最小值． 17．已知集合A={y|y2﹣（a2+a+1）y+a（a2+1）＞0}，B={y|y=x2﹣x+，0≤x≤3}． （1）若A∩B=?，求a的取值范围； （2）当a取使不等式x2+1≥ax恒成立的a的最小值时，求（?RA）∩B． 18．甲、乙、丙三位同学商量高考后外出旅游，甲提议去古都西安，乙提议去海上花园厦门，丙表示随意．最终，三人商定以抛硬币的方式决定结果．规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上，则甲得一分、乙得零分；若反面朝上，则乙得一分、甲得零分，先得4分者获胜．三人均执行胜者的提议．若记所需抛掷硬币的次数为X． （1）求X=6的概率； （2）求X的分布列和数学期望． 19．已知数列{bn}满足，． （1）求b2，b3，猜想数列{bn}的通项公式，并用数学归纳法证明； （2）设，，比较xx与yy的大小． 20．设函数， （1）①当m=2时，求f（4，y）的展开式中二项式系数最大的项； ②若，且a1=﹣12，求； （2）利用二项式定理求的值（n≥1，n∈N*）． 2014-2015学年江苏省南通市启东中学高二（下）第二次质检数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．设集合A={﹣1，0，，3}，B={x|x2≥1}，则A∩B={﹣1，3} ． 考点：交集及其运算． 专题：集合． 分析：求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可． 解答：解：由B中不等式解得：x≥1或x≤﹣1， ∴B={x|x≥1或x≤﹣1}， ∵A={﹣1，0，，3}， ∴A∩B={﹣1，3}， 故答案为：{﹣1，3} 点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2．某单位有职工52人，现将所有职工按l、2、3、…、52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是 19号 ． 考点：系统抽样方法． 专题：概率与统计． 分析：根据系统抽样的特征可知抽样是等距抽样的原则，构造一个等差数列，将四个职工的号码从小到大成等差数列，建立等式关系，解之即可． 解答：解：设样本中还有一个职工的编号是x号， 则用系统抽样抽出的四个职工的号码从小到大排列：6号、x号、32号、45号，它们构成等差数列， ∴6+45=x+32， x=6+45﹣32=19 因此，另一学生编号为19． 故答案为：19号． 点评：系统抽样过程中，每个个体被抽取的可能性是相等的，系统抽样的原则是等距，抓住这一原则构造等差数列，是我们常用的方法． 3．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为 ． 考点：古典概型及其概率计算公式． 专题：概率与统计． 分析：把所求的事件记为A，再根据题意列出所有的基本事件，找出事件A所包括的基本事件，代入古典概型的随机事件的概率公式求出答案． 解答：解：设事件A为：两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数， 则所有的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3） （2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）共9种， 则事件A包括： （1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（3，2）共5种， 即P（A）=， 故答案为：． 点评：本题考查了古典概型的随机事件的概率公式的应用，解题的关键是按一定的顺序列出所有的基本事件，做到不重不漏． 4．执行如图所示的流程图，则输出的k的值为 4 ． 考点：程序框图． 专题：算法和程序框图． 分析：按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，并判断每一次得到的结果是否满足判断框中的条件，直到满足条件，执行输出． 解答：解：当k=1，S=1时，进入循环，S=1，不满足退出循环的条件， k=2，S=2，不满足退出循环的条件， k=3，S=6，不满足退出循环的条件， k=4，S=15，满足退出循环的条件， 故输出的k的值为4． 故答案为：4 点评：本题主要考查了循环结构，在解决程序框图中的循环结构时，常采用模拟循环的方法，属于基础题． 5．若在区间（﹣1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，则直线ax﹣by=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1相交的概率为 ． 考点：等可能事件的概率；直线与圆的位置关系． 专题：计算题． 分析：本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是在区间（﹣1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，对应的面积是2×1，满足条件的事件是圆心（1，2）到直线的距离小于或等于半径，整理出结果，得到概率． 解答：解：由题意知本题是一个等可能事件的概率， 试验发生包含的事件是在区间（﹣1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b， 对应的面积是2×1=2， 满足条件的事件是圆心（1，2）到直线的距离小于或等于半径， 即， ∴4a≥3b， 在所有事件组成的集合中，满足3b≥4a有x轴左边，b＜1的部分， ∴要求的概率是=， 故答案为： 点评：本题考查等可能事件的概率，要求得概率等于符合条件的面积之比，注意满足条件的事件所满足的条．件在整理时，应用点到直线的距离公式，注意变形整理． 6．若|z﹣i|=1，则|z|最大值为 2 ． 考点：复数的代数表示法及其几何意义；复数求模． 专题：计算题． 分析：直接利用复数模的几何意义，结合图象求出|z|最大值． 解答：解：|z﹣i|=1，表示复数复平面内的点到（0，1）的距离为1的轨迹． 所以|z|最大值为2； 故答案为：2 点评：本题是基础题，考查复数的模的最值的求法，考查计算能力．常考题型． 7．已知数据x1，x2，…，xn的方差s2=4，则数据﹣3x1+5，﹣3x2+5，…，﹣3xn+5的标准差为 6 ． 考点：极差、方差与标准差． 专题：概率与统计． 分析：根据平均数和方差的公式的性质求解． 解答：解：设样本x1，x2，…，xn的平均数为，即=（x1+x2+…+xn ） 则样本3x1+5，3x2+5，…，3xn+5的平均数为=（3x1+5+3x2+5+…+3xn+5 ）=×3（x1+x2+…+xn ）+5=3 +5； 由方差的公式S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2] 可知：样本3x1+5，3x2+5，…，3xn+5的方差为样本x1，x2，…，xn的方差的32=9倍， 即9×4=36， 则3x1+5，3x2+5，…，3xn+5的标准差为=6． 故答案为：6． 点评：本题考查方差和标准差的计算公式及运用．根据数据平均数和方差之间的关系进行求解是解决本题的关键． 8．用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是 2k ． 考点：数学归纳法． 专题：计算题． 分析：观察不等式左侧的特点，分母数字逐渐增加1，末项为，然后判断n=k+1时增加的项数即可． 解答：解：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为； 由n=k，末项为到n=k+1，末项为，∴应增加的项数为2k． 故答案为2k． 点评：本题是基础题，考查数学归纳法证明问题的第二步，项数增加多少问题，注意表达式的形式特点，找出规律是关键． 9．（x+1）（2x+1）（3x+1）…（10x+1）展开式中x的一次项系数为 55 ． 考点：二项式定理的应用． 专题：计算题． 分析：展开式中x的一次项系数为每个括号中x的系数与其它括号中的常数项1相乘得到的结果，故x的一次项系数为 1+2+3+4+…+10，运算求得结果． 解答：解：（x+1）（2x+1）（3x+1）…（10x+1）展开式中x的一次项系数为每个括号中x的系数与其它括号中的常数项1相乘得到的结果， 故x的一次项系数为 1+2+3+4+…+10==55， 故答案为：55． 点评：本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题． 10．已知﹣=，则C8m=28 ． 考点：组合及组合数公式． 专题：计算题． 分析：根据组合数公式，将原方程化为﹣=×，进而可化简为m2﹣23m+42=0，解可得m 的值，将m的值代入C8m中，计算可得答案． 解答：解：根据组合数公式， 原方程可化为：﹣=×， 即1﹣=×； 化简可得m2﹣23m+42=0， 解可得m=2或m=21（不符合组合数的定义，舍去） 则m=2； ∴C8m=C82=28； 故答案为28． 点评：本题考查组合数公式，解题的关键在于牢记组合数公式． 11．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字也许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 11 ． 考点：计数原理的应用． 专题：应用题；排列组合． 分析：由题意知与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：一是与信息0110有两个对应位置上的数字相同，二是与信息0110有一个对应位置上的数字相同，三是与信息0110没有一个对应位置上的数字相同的，分别写出结果相加． 解答：解：由题意知与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类： 第一类：与信息0110有两个对应位置上的数字相同有C42=6（个） 第二类：与信息0110有一个对应位置上的数字相同的有C41=4个， 第三类：与信息0110没有一个对应位置上的数字相同的有C40=1， 由分类计数原理知与信息0110至多有两个对应位置数字相同的共有6+4+1=11个， 故答案为：11． 点评：本题是一个分类计数问题，这是经常出现的一个问题，解题时一定要分清做这件事需要分为几类，每一类包含几种方法，把几个步骤中数字相加得到结果． 12．已知的展开式中，各项系数的和与其二项式系数的和之比为64．则展开式中所有的有理项的项数为 3 ． 考点：二项式系数的性质． 专题：计算题；二项式定理． 分析：根据题意求出n的值，再由二项式展开式的通项公式求出展开式中所有的有理项是什么． 解答：解：的展开式中，各项系数的和与其二项式系数的和之比为64， 即=2n=64， 解得n=6； ∴二项式的展开式通项为 Tr+1=?x6﹣r?=3r； 当r=0时，6﹣r=6，是有理项， 当r=3时，6﹣r=2，是有理项， 当r=6时，6﹣r=﹣2，是有理项； ∴展开式中所有的有理项的项数为3． 故答案为：3． 点评：本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了逻辑推理与计算能力，是基础题目． 13．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为 ． 考点：相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式． 专题：概率与统计． 分析：解法一（利用对立事件的概率）：由于小球落入B袋情况简单易求，记小球落入B袋中的概率P（B），有P（A）+P（B）=1求P（A）， 解法二（直接法）：由于小球每次遇到障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时小球将落下A袋故有概率的乘法公式求解即可． 解答：解法一：记小球落入B袋中的概率P（B），则P（A）+P（B）=1， 由于小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入B袋， 所以有P（B）=（）3+（）3=， ∴P（A）=1﹣P（B）=； 解法二：由于小球每次遇到障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时小球将落下A袋． ∴P（A）=C31（）3+C32（）3=； 故答案为： 点评：本题考查利用相互独立事件的概率乘法公式求概率，属于概率中的基本题型． 14．已知等比数列{an}的首项为，公比为﹣，其前n项和记为S，又设Bn={，，，…，}（n∈N*，n≥2），Bn的所有非空子集中的最小元素的和为T，则S+2T≥2014的最小正整数为 45 ． 考点：等比数列的性质． 专题：综合题；等差数列与等比数列． 分析：求出等比数列{an}的前n项和S，Bn的所有非空子集中的最小元素的和为T，利用S+2T≥2014，即可求出最小正整数． 解答：解：∵等比数列{an}的首项为，公比为﹣，其前n项和记为S， ∴S=1﹣， 当n=2时，Bn的所有非空子集为：{，}，{}，{}，∴S==； 当n=3时，∴S=×4+×1+×2=4； 当n≥4时，当最小值为时，每个元素都有或无两种情况，共有n﹣1个元素，共有2n﹣1﹣1个非空子集， S1=；当最小值为，不含，含，共n﹣2个元素，有2n﹣2﹣1个非空子集，，… ∴T=S1+S2+S3+…+Sn=++…++2++=∵S+2T≥2014， ∴1﹣+n2﹣1≥2014 ∴n≥45． 故答案为：45． 点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要熟练掌握集合的子集的概念，注意分类讨论思想的灵活运用． 二、计算题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 1）已知矩阵，其中a，b均为实数，若点A（3，﹣1）在矩阵M的变换作用下得到点B（3，5），求矩阵M的特征值． （2）在极坐标系中，设直线与曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0相交于A，B两点，求线段AB中点的极坐标． 考点：简单曲线的极坐标方程；特征值与特征向量的计算． 专题：坐标系和参数方程． 分析：（1）由题意可得：=，化为，即可解得a，b．设矩阵M的特征值为λ，利用f（λ）==0，解出即可． （2）直线化为直角坐标方程：，利用即可把曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0化为直角坐标方程，把直线y=x代入上述方程可得：2x2﹣5x+2=0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB中点的M（x0，y0）．利用根与系数的关系、中点坐标公式即可得出． 解答：解：（1）由题意可得：=，∴，解得a=3，b=6． ∴M=， 设矩阵M的特征值为λ， 则f（λ）==0，化为（2﹣λ）（1﹣λ）﹣18=0， 化为λ2﹣3λ﹣16=0， 解得λ=． （2）直线化为直角坐标方程：， 曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0化为直角坐标方程：x2+y2﹣10x+4=0， 把直线y=x代入上述方程可得：2x2﹣5x+2=0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB中点的M（x0，y0）． ∴x1+x2=， ∴x0==，y0==． ∴线段AB中点的直角坐标， ∴=，tanθ=，可得θ=， 因此极坐标为． 点评：本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化、一元二次的根与系数的关系、中点坐标公式、矩阵的特征值及其变换，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 16．设z是虚数，满足是实数，且﹣1＜ω＜2． （1）求|z|的值及z的实部的取值范围； （2）设．求证：u是纯虚数； （3）求ω﹣u2的最小值． 考点：函数最值的应用；复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算． 专题：综合题． 分析：（1）设出复数z，写出ω的表示式，进行复数的运算，把ω整理成最简形式，根据所给的ω的范围，得到ω的虚部为0，实部属于这个范围，得到z的实部的范围． （2）根据设出的z，整理u的代数形式，进行复数的除法的运算，整理成最简形式，根据上一问做出的复数的模长是1，得到u是一个纯虚数． （3）=，再利用基本不等式即可求ω﹣u2的最小值． 解答：解：（1）由z是虚数，设z=a+bi（a，b∈R，b≠0）则 ∵ω∈R∴且b≠0得a2+b2=1即|z|=1 此时，ω=2a，∵﹣1＜ω＜2∴即z的实部的取值范围为．…（4分） （2）． ∵a2+b2=1 ∴u=又故u是纯虚数．…（8分） （3）=由知， 故当且仅当时ω﹣u2的最小值为1．…（14分）． 点评：本题考查复数的代数形式的运算，本题是一个运算量比较大的问题，题目的运算比较麻烦，解题时注意数字不要出错． 17．已知集合A={y|y2﹣（a2+a+1）y+a（a2+1）＞0}，B={y|y=x2﹣x+，0≤x≤3}． （1）若A∩B=?，求a的取值范围； （2）当a取使不等式x2+1≥ax恒成立的a的最小值时，求（?RA）∩B． 考点：交、并、补集的混合运算；交集及其运算． 专题：集合． 分析：（1）先解出集合中的一元二次不等式，然后根据A∩B=空集，说明集合A，B 没有共同的元素，从而求出实数a的范围； （2）由条件判断a=﹣2，求出CRA，即可求得（CRA）∩B． 解答：解：（1）∵y=x2﹣x+=（x﹣1）2+2， ∴y=x2﹣x+在[0，1]递减，在[1，3]上递增， 当x=1时，有最小值，即为2，当x=3时，有最大值，即为4， ∴2≤y≤4， ∴B=[2，4]， ∵A={y|y2﹣（a2+a+1）y+a（a2+1）＞0}═{y|（y﹣a）[y﹣（a2+1）]＞0}，又a2+1＞a ∴A={y＞a2+1或y＜a}， ∵A∩B=?， ∴a2+1≥4或a≤2， ∴≤a≤2或a≤﹣， （2）使不等式x2+1≥ax恒成立时，由判别式△=a2﹣4≤0，解得﹣2≤a≤2， 故当a取使不等式x2+1≥ax恒成立的最小值时，a=﹣2． 由（1）可得CRA={y|a≤y≤a2+1 }={y|﹣2≤y≤5}，B={y|2≤y≤4}． （CRA）∩B=B=[2，4]． 点评：本题主要考查两个集合的补集、交集、并集的定义和运算，二次函数的性质，属于基础题 18．甲、乙、丙三位同学商量高考后外出旅游，甲提议去古都西安，乙提议去海上花园厦门，丙表示随意．最终，三人商定以抛硬币的方式决定结果．规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上，则甲得一分、乙得零分；若反面朝上，则乙得一分、甲得零分，先得4分者获胜．三人均执行胜者的提议．若记所需抛掷硬币的次数为X． （1）求X=6的概率； （2）求X的分布列和数学期望． 考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 专题：概率与统计． 分析：（1）根据概率公式，即可求X=6的概率； （2）由题意知X=4，5，6，7，分别求出对应的概率即可求X的分布列和数学期望． 解答：解：（1）抛掷硬币正面向上、反面向上的概率都为， 则P（X=6）=2×=． （2）X的分布列为： X 4 5 6 7 P 所以，EX=4×+5×+6×+7×=． 点评：本题主要考查离散型随机变量的分布列以及期望的计算，根据概率公式分别求出对应的概率是解决本题的关键． 19．已知数列{bn}满足，． （1）求b2，b3，猜想数列{bn}的通项公式，并用数学归纳法证明； （2）设，，比较xx与yy的大小． 考点：数学归纳法；数列的函数特性；归纳推理． 专题：证明题；点列、递归数列与数学归纳法． 分析：（1）由b1=，+bn﹣1=2（n≥2，n∈N*）可求b2，b3，从而可猜想数列{bn}的通项公式，用数学归纳法证明即可； （2）利用指数幂的运算性质可求得xx与yy，比较可知，二者相等． 解答：解：（1）∵b1=，+bn﹣1=2（n≥2，n∈N*）， ∴=2﹣b1=2﹣=， ∴b2=； 同理可求，b3=，于是猜想：bn=． 下面用数学归纳法证明： ①当n=1时，b1=，结论成立； ②假设n=k时，bk=， 则n=k+1时，∵+bk=2， ∴=2﹣=， ∴bk+1=， 即n=k+1时结论也成立； 综上所述，对任意n∈N*，bn=均成立． （2）∵x==，y==， ∴xx==， yy==， ∴xx=yy． 点评：本题考查归纳推理与数学归纳法，考查推理论证与综合运算能力，比较xx与yy 的大小是难点，属于难题． 20．设函数， （1）①当m=2时，求f（4，y）的展开式中二项式系数最大的项； ②若，且a1=﹣12，求； （2）利用二项式定理求的值（n≥1，n∈N*）． 考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质． 专题：综合题；二项式定理． 分析：（1）①m=2时，f（4，y）的展开式中二项式系数最大的项为第三项，求出即可； ②由二项式的展开式的通项公式，结合题意求出m的值，再计算的值； （2）根据题意，构造函数f（x）=（1﹣x）n，利用二项式定理展开并求导数， 两边再同乘x，求导数，利用特殊值x=1，即可求得结果． 解答：解：（1）①当m=2时，f（4，y）=的展开式中 共有5项，二项式系数最大的项为第三项， ∴T3=?12?=； ②f（6，y）=的通项公式为 Tr+1=（﹣1）r?=（﹣1）r26﹣r?m2r﹣6?， 且f（6，y）=a0++…+， ∴的系数为a1=﹣6×32×m﹣4=﹣12， 解得m=2； ∴f（6，y）=的通项公式为 Tr+1=（﹣1）r26﹣r?22r﹣6?， ∴ar=（﹣1）r26﹣r?22r﹣6=2r， ∴=2+22+23+…+26==27﹣1=127； （2）∵=﹣+22?﹣32?+42?+…+（﹣1）n?n2? ∴设f（x）=（1﹣x）n=Cn0﹣Cn1x+Cn2x2﹣Cn3x3+…+（﹣1）n?Cnnxn…①， ①式两边求导得： ﹣n（1﹣x）n﹣1=﹣Cn1+2Cn2x﹣3Cn3x2+…+（n﹣1）?（﹣1）n﹣1?Cnn﹣1xn﹣2+n?（﹣1）n?Cnnxn﹣1，…② ②的两边同乘x得： ﹣nx（1﹣x）n﹣1=﹣xCn1+2Cn2x2﹣3Cn3x3+…+（n﹣1）?（﹣1）n﹣1?Cnn﹣1xn﹣1+n?（﹣1）n?Cnnxn，…③， ③式两边求导得： ﹣n（1﹣x）n﹣1﹣n（n﹣1）x（1﹣x）n﹣2=﹣Cn1+22Cn2x﹣32Cn3x2+…+（n﹣1）2?（﹣1）n﹣1?Cnn﹣1xn﹣2 +n2?（﹣1）n?Cnnxn﹣1，…④， ④中令x=1，得﹣+22?﹣32?+42?+…+（﹣1）n?n2?=0． 点评：本题考查了二项式定理的展开式应用问题，也考查了函数的导数应用问题，考查了赋值法求值问题，是综合性题目．。
福建省南安第一中学2014_2015学年高二数学下学期期末考试试题理
南安一中2014～2015学年度下学期期末考高二数学（理科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}0,1,3A =，{}0,1,4B =，则()U C A B 为（ ）A ．{}0,1,2,4B ．{}0,1,3,4C ．{}2,4D ．{}4 2. 已知命题“错误！未找到引用源。
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C ．错误！未找到引用源。
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3．函数2(3),1()log ,1f x x f x x x +<⎧=⎨≥⎩，则)1(-f 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．若()f x 为R 上的奇函数，满足(3)()f x f x +=，当01x <≤时，()2x f x =，则(2015)f =（ ）A ．2B ．2-C ．12-D ．125．设{}|22M x x =-≤≤，{}|02N y y =≤≤，函数)(x f 的定义域为M ，值域为N ，则)(x f 的图象可以是图中的（ ）6．已知21()5a -=，135log b =，35log c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >>7．给出下列命题：①在区间(0,)+∞上，函数1y x -=，12y x =，3y x =都是增函数； ②若330log log m n <<，则1n m >>；③若函数()f x 是奇函数，则()f x 的图象关于原点对称； ④若函数()323x f x x =--，则方程()0f x =有2个实数根。
市第十五中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学试题及答案(理)
石家庄市第十五中学2014-2015学年高二下学期期中考试（数学理）试题一．选择题（本小题每题5分，共60分）1. 已知集合A ＝{x |x 2≤1}，B ＝{a }，若A ∪B ＝A ，则a 的取值范围是（ ） A ．[-1，1] B ． [1，+∞） C ．（-∞，-1] D ．（-∞，-1]∪[1，+∞）2.下列四组函数中，表示相等函数的是（ ） A. f (x )=x ，g(x )=(x )2 B. f (x )=2lg x ，g (x )= lgx 2C. f (x )=1－x 1+x ， g (x )=12－x3. 直线y －2=3（x +1）倾斜角是 （ ）A. 65π B. 32π C. 3π D. 6π4. 据算法语句（如下图）输出的结果是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 85.已知函数f (x )＝x6－log 2x ，在下列区间中，包含f (x )的零点的区间是（ ）A. (0,1)B. (1,2)C. (2,4)D. (4,+∞)6.a ，b ，c 表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题：（1）若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b ；（2）若b ⊂M ，a ∥b ，则a ∥M ；（3）若a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥b ；（4）若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b 。
其中正确命题的个数有 （ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个7. 若方程(x +1)2+(y －1)2=36，x 2+y 2－4x +2y +4=0，则两圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 内含 C. 外切 D. 内切8. 直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为 （ ）A. 22 B. 42 C. 2 D.49. 使不等式23x －1－2>0成立的x 的取值范围是（ ） A.（23，+∞） B.（32，+∞ ） C.（31，+∞） D. （－31，+∞） 10.设曲线y ＝x 2+1 在其任一点（x ，y ）处切线斜率为g (x )，则函数y ＝g (x )cosx 的部分图象可以为 （ ）A. B.C. D.11. 若函数y ＝a （x 3－x ）单调递减区间是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3333，－ ，则a 的取值范围是 （ ） A. a >0 B. －1<a <0 C. a >1 D. 0<a <1 12. 如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝x1(x >0）图象下方的区域（阴影部分），从D 内随机取一个点M ，则点M 取自E 内的概率为 （ ）A. ln 22B. 1ln 22- C. 22ln 1+ D.22ln 2-二、填空题（每题5分，共20分）13.五个数1，2，3，4，a 的平均数是3，则a ＝ ，这五个数的标准差是 . 14.已知()dx t x⎰+2123＝10，则常数t ＝.xyxy15.已知621⎪⎭⎫ ⎝⎛+ax x 的二项展开式中x 3的系数为25，则a ＝ .16.若函数y ＝log a (x +3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx +ny +1=0上，其中mn >0，则12m n+的最小值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分．（写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 设全集U ＝R ，集合A ＝{x |－1≤x<3}，B ＝{x|2x －4≥x －2}（1）求C U (A∩B)；（2）若集合C ＝{x|2x +a >0}，满足B ∪C ＝C ，求实数a 的取值范围。
【VIP专享】2014-2015高二数学第二次月考试题
乐东中学2014-2015学年第一学期高二数学第二次月考试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共120分考试时间120分钟 命题人：刘鸿鹄第I 卷（选择题 共48分）一、选择题（共12题，每题4分）1.命题“若a ∉A ，则b∈B”的逆命题是( ) A ．若a ∉A ，则b ∉B B ．若a∈A，则b ∉B C ．若b∈B，则a ∉A D ．若b ∉B ，则a ∉A 2．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出个球，摸出红球1的概率是，摸出白球的概率是，那么摸出黒球的概率是（ ）0.420.28A ． B ． C ． D ． 0.420.280.30.73.命题：“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是 ( )A.不存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0B.存在x 0∈R ，x －x ＋1≤03020C.存在x 0∈R ，x －x ＋1＞03020D.对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1＞04.取一根长度为5 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于2 m 的概率是.（） A. B. C. D.不确定1514135.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（ 22y px =22162x y +=p ）A ． B ． C ． D ．2-24-46、从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则恰好有一个红球的概率是（ ）A B C D 312132657．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A. B. C. D.453525158．两个事件对立是这两个事件互斥的（ ）A ．充分但不是必要条件B ．必要但不是充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件9．双曲线的的渐近线方程是（ ）191622=-y x A . B . C . D . 034=±y x 043=±y x 0169=±y x 0916=±y x 10．若点P 是抛物线上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛24y x =物线准线的距离之和的最小值为 ( )AB ． CD ．39211.已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭x 3圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ） B. 4 C.6 D.123312、函数f （x ）＝x|x+a|+b 是奇函数的充要条件是（ ）A.ab ＝0 B.a ＋b=0 C.a ＝b D.a 2＋b 2＝0乐东中学2014-2015学年第一学期高二数学第二次月考试题第Ⅱ卷（非选择题 共72分）命题人：刘鸿鹄二.填空题（每题4分，共16分）13．命题“若m>0，则方程x 2－x ＋m ＝0有实数根”的等价命题是______________________________________________.14.在一个边长为3 cm 的正方形内部画一个边长为2cm 的正方形，向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是_____________. 15．设p 、q 是两个命题，若p 是q 的充分不必要条件，则是的q ⌝p ⌝_________________条件.16、方程表示双曲线，则k 的取值范围是_____________________11122=-++k y k x ____三.解答题（共56分）17．（9分）求证：△ABC是等边三角形的充要条件是a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋ac ＋bc 。
泰安市2014-2015年高二下学期期末数学(理)试题及答案
试卷类型：A 泰安市2014—2015学年度下学期期末高二年级考试数学试题（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数=A.-1-iB.-1+iC.1-iD.-i2.设随机变量，若，则等于A.0.3B.0.4C.0.6D.0.73.设曲线在点(0，0)处的切线方程为，则的值为A.0B.1C.2D.34.设为实数，若复数，则5.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法得回归直线方程，表中有一个数据模糊不清，请你推断该数据的值为A.68B.68.2C.70D.756.从l，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”则P(B/A)等于7.在平面几何里有射影定理：设三角形ABC的两边AB上AC，D是A点在BC上的射影，则AB2=BD·BC。
拓展到空间，在四面体A-BCD中，CA⊥面ABD，点O是4在面BCD内的射影，且O在面BCD内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结论是A. S△ABC2=S△BOC·S△BDCB. S△ABD2=S△BOD·S△BDCC. S△ADC2=S△DOC·S△BDCD. S△DBC2=S△ABD·S△ABC8.若函数f(x)在定义域R内可导，，则的大小关系是9.某班组织文艺晚会，准备从4，B等6个节目中选出3个节目演出，要求：4，曰两个节目至少有一个选中，且A，B同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的种数为A.84B.80C.76D.7210.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f’(x)，且函数f(x)在x=-2处取得极小值，则函数y=xf’(x)的图像可能是二、填空题：本大题共5小趣，每小题5分，共25分.请把答案填在答题纸相应的位置.11.若复数z=l+i（i为虚数单位），是的共轭复数，则的虚部为▲ .12.抛掷一枚均匀硬币n(3≤n≤8)次，正面向上的次数服从二项分布，若则亭的方差D（）= ▲ .13.曲线y=x2-2x与直线x=-1，x=l以及z轴所围图形的面积为▲ ..14.将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放人3个不同的信封中。
厦门市海沧区新阳学校2014——2015学年第1学期_数学组第2次业务工作检查报告
厦门市海沧区新阳学校2014—2015学年第二学期数学组第三次常规检查小结检查人：但尔煌沈海财为了认真落实教学常规管理制度，全面提高学校的教学质量,根据教务处工作安排，于11月28日，对我校数学老师进行了第三次教学常规工作检查，现将检查情况总结如下：一、备课方面及教学进度：总体上看，老师们在备课方面都倾注了大量的时间来学习课标和钻研教材，课前都考虑到学生的情况，教案真实有效，注重因材施教。
大部分教案目标明确，重难点突出，课前准备充分，教学环节清楚，并有自己的反思。
其中大部分老师的教案详实、实用，针对性强；邱丰曹，叶锡荣，张红老师的教案充分体现了学生的主体性，教学环节的设计科学，教学反思详细，有一定的经验借鉴性，反思中融入了大量的思考，并且有一定的深度；教师能根据教材及所教班级实际，认真制定好学期教学计划，安排好教学进度。
教师能按规定备课，备课有超前意识；张红教师的备课书写字迹清晰端正，设计合理，过程详细，教学目标明确，重难点把握准确到位，体现教法、学法，教学过程清楚，作业设计格式统一二、作业情况（1）多数教师布置的作业量适度，批改及时有复批；均有按照学校的要求去做。
这点让我和主任都感到很欣慰。
（2）涉及练习册上的习题均有详尽的批改及时讲评。
（3）、每位教师都能对学生的作业进行全批全改、及时签上批改日期，采用等级制，部分教师对学生的作业还写上了激励性的评语。
少数教师的作业布置分量偏少，缺少精心设计，未能有效地达到巩固和提高的目的，数学知识学习的是思维的逻辑性和严密性，所以我们要老师在批改的时候要认真仔细不要在批改时出现大对号，或有漏改和错题没有及时改正的情况。
（4）个别数学老师根据学生差异采用分层次布置作业的做法，调动不同层次学生的学习积极性。
一部分数学老师课中适当加一些思考题。
（5）希望数学老师更加注重学生作业本上即时评语的运用。
将作业本开发为进行班级管理的又一阵地，成为家长、老师、学生情感沟通的桥梁。
【VIP专享】2014-2015高二数学第二次月考试题2
乐东中学2014-2015学年第一学期高二数学第二次月考试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共120分考试时间120分钟 命题人：刘鸿鹄第I 卷（选择题 共48分）一、选择题（共12题，每题4分）1.命题“若a ∉A ，则b∈B”的逆命题是( ) A ．若a ∉A ，则b ∉B B ．若a∈A，则b ∉B C ．若b∈B，则a ∉A D ．若b ∉B ，则a ∉A2．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出个球，摸出红球1的概率是，摸出白球的概率是，那么摸出黒球的概率是（ ）0.420.28A ． B ． C ． D ． 0.420.280.30.73、设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要非充分条件，则甲是丁的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要4. 取一根长度为5m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于2 m 的概率是.（） A. B. C. D.不确定1514135.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（ 22y px =22162x y +=p ）A ． B ． C ． D ．2-24-46、从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则恰好有一个红球的概率是（ ）A B C D 312132657.已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆x 3的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ） B.6 C.4 D.12338从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的必然事件是（ ）A.3个都是正品 B 至少有1个是次品 C 3个都是次品 D 至少有1个是正品9.在下列结论中，正确的是（ ）①为真是为真的充分不必要条件""q p ∧""q p ∨②为假是为真的充分不必要条件""q p ∧""q p ∨③为真是为假的必要不充分条件""q p ∨""p ⌝④为真是为假的必要不充分条件""p ⌝""q p ∧A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④10．若点P 是抛物线上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛24y x =物线准线的距离之和的最小值为 ( )AB ． CD ．39211．已知集合A {x |－1<x <5}，B ＝{x |>0}，在集合A 中任取一个元素x x －23－x ，则事件“x ∈A ∩B ”的概率是 ( )．A. B. C. D. 1615141312、函数f （x ）＝x|x+a|+b 是奇函数的充要条件是（ ）A.ab ＝0 B.a ＋b=0 C.a ＝b D.a 2＋b 2＝0乐东中学2014-2015学年第一学期高二数学第二次月考试题第Ⅱ卷（非选择题 共72分）命题人：刘鸿鹄二.填空题（每题4分，共16分）13．命题“若m>0，则方程x 2－x ＋m ＝0有实数根”的等价命题是______________________________________________.14.在一个边长为3 cm 的正方形内部画一个边长为2cm 的正方形，向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是_____________.15．设p 、q 是两个命题，若p 是q 的充分不必要条件，则是的 q ⌝p ⌝_________________条件.16、方程表示双曲线，则k 的取值范围是_____________________11122=-++k y k x ____三.解答题（共56分）17．（9分）求证：△ABC是等边三角形的充要条件是a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋ac ＋bc 。
福建省厦门外国语学校2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科)
福建省厦门外国语学校2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．（5分）命题∀x∈R，x2﹣x≥0的否定是（）A．∀x∈R，x2﹣x≥0 B．∃x∈R，x2﹣x≥0 C．∀x∈R，x2﹣x＜0 D．∃x∈R，x2﹣x＜02．（5分）下列有关命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．命题“在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆否命题为真命题C．命题“在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2＞c2，则C为锐角”为真命题D．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题3．（5分）设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1的直线ℓ与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，则|AB|的长为（）A．B．1C．D．4．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n．则“a1＞0”是“S3＞S2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足c=2acosB，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形6．（5分）若实数x，y满足，则x2+y2的最小值是（）A．B．5C．D．7．（5分）设等比数列{a n}的首项a1和公比q都是正数，且q≠1，则下列判断正确的是（）A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8＜a4+a5C．a1+a8=a4+a5D．a1+a8与a4+a5的大小关系不能确定8．（5分）关于曲线C：+=1，下列四个命题中，所有真命题的组合是（）①曲线C上的横、纵坐标的取值范围分别是﹣5≤x≤5，﹣4≤y≤4；②曲线C关于x轴、y轴都是对称的，还关于原点对称；③设P，Q是曲线C上的任意两点，则|PQ|≤10恒成立；④设M（﹣3，0），N（3，0），P是曲线C上任意的点，则|PM|+|PN|≤10恒成立．A．①②③④B．①②③C．①②④D．①②9．（5分）过椭圆=1（a＞b＞0）的右顶点A作斜率为﹣1的直线与椭圆的另一个交点为M，与y轴的交点为B，若|AM|=|MB|则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．1，3n0，50，40，50，4﹣1，1﹣1，1﹣1，，11，3n3n﹣1，3n1，331，3232，333n﹣1，3n3n﹣1，3n点评：充要条件要抓住“大能推小，小不能推大”规律去推导．19．（12分）在△ABC中，tanA=，tanB=．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若AB边的长为，求BC边的长．考点：两角和与差的正切函数；正弦定理的应用．专题：计算题．分析：（Ⅰ）利用三角形内角和可知tanC=﹣tan（A+B）然后利用正切的两角和公式求得tan（A+B）的值，进而求得tanC的值，则C的值可求．（Ⅱ）利用tanA的值求得sinA和cosA的关系式，进而利用二者的平方关系联立求得sinA，最后利用正弦定理求得BC的值．解答：解：（Ⅰ）∵C=π﹣（A+B），∴tanC=﹣tan（A+B）=﹣，又∵0＜C＜π，∴C=（Ⅱ）由且A∈（0，），得sinA=．∵，∴BC=AB•．点评：本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理知运算能力．20．（12分）一动圆恒过点A（﹣，0）且恒与定圆B：（x﹣）2+y2=12相切．（1）求动圆圆心C（2）的轨迹M（3）的方程；（2）过点p（0，2）的直线l与轨迹M交于不同的两点E、F，求•的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的关系；轨迹方程．分析：（1）依题意动圆与定圆相内切，可得|MA´|+|MA|=2＞2，利用椭圆定义，即可求出动圆圆心M的轨迹的方程；（2）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理即向量数量积公式，即可求•的取值范围．解答：解：（1）定圆B：（x﹣）2+y2=12的圆心为B（，0），依题意动圆与定圆相内切，∴|MB|+|MA|=2＞2，…（3分）∴点M的轨迹是以AB、A为焦点，2为长轴上的椭圆，∵a=，c=，∴b2=1．∴点M的轨迹方程为．…（5分）（2）解：设l的方程为x=k（y﹣2）代入，消去x得：（k2+3）y2﹣4k2y+4k2﹣3=0，由△＞0得16k4﹣（4k2﹣3）（k2+3）＞0，∴0≤k2＜1，…（7分）设E（x1，y1），F（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=，又=（x1，y1﹣2），=（x2，y2﹣2），∴•=x1x2+（y1﹣2）（y2﹣2）=k（y1﹣2）•k （y2﹣2）+（y1﹣2）（y2﹣2），=（1+k2）（﹣2×+4）=9（1﹣），…（10分）∵0≤k2＜1，∴3≤k2+3＜4，∴•∈1，44，16hslx3y3h上递增，故f（x）max=f（1）=f（2）=257．∴y max=．即DE为AB中线或AC中线时，DE最长．点评：本题主要考查了基本不等式．考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力．22．（14分）已知函数f（x）=x2﹣4，设曲线y=f（x）在点（x n，f（x n））处的切线与x轴的交点为（x n+1，0）（n∈N*），其中x1为正实数．（Ⅰ）用x n表示x n+1；（Ⅱ）若x1=4，记a n=lg，证明数列{a n}成等比数列，并求数列{x n}的通项公式；（Ⅲ）若x1=4，b n=x n﹣2，T n是数列{b n}的前n项和，证明T n＜3．考点：数列递推式；等比关系的确定；数列的求和；不等式的证明．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（Ⅰ）由题设条件知曲线y=f（x）在点（x n，f（x n））处的切线方程是y﹣（x n2﹣4）=2x n （x﹣x n）．由此可知x n2+4=2x n x n+1．所以．（Ⅱ）由，知，同理．故．由此入手能够导出．（Ⅲ）由题设知，所以，由此可知T n＜3（n∈N*）．解答：解：（Ⅰ）由题可得f′（x）=2x．所以曲线y=f（x）在点（x n，f（x n））处的切线方程是：y﹣f（x n）=f′（x n）（x﹣x n）．即y﹣（x n2﹣4）=2x n（x﹣x n）．令y=0，得﹣（x n2﹣4）=2x n（x n+1﹣x n）．即x n2+4=2x n x n+1．显然x n≠0，∴．（Ⅱ）由，知，同理，故．从而，即a n+1=2a n．所以，数列{a n}成等比数列．故．即．从而所以（Ⅲ）由（Ⅱ）知，∴∴当n=1时，显然T1=b1=2＜3．当n＞1时，∴T n=b1+b2+…+b n==．综上，T n＜3（n∈N*）．点评：本题综合考查数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决问题的能力．。