2014-2015年江苏省常州市武进区高三(上)期中数学试卷及参考答案(文科)
2014-2015年江苏省南通一中高三(上)期中数学试卷及参考答案(理科)
2014-2015学年江苏省南通一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）i是虚数单位，=．2．（5分）设集合M={x|1＜x＜3}，N={x|x2﹣2x＜0}，则M∩N=．3．（5分）已知平面向量=（2，﹣1），向量=（1，1），向量=（﹣5，1）．若（+k）∥，则实数k的值为．4．（5分）已知S n是数列{a n}的前n项和，且有S n=n2+1，则数列{a n}的通项a n=．5．（5分）函数y=log3（x2﹣2x）的单调减区间是．6．（5分）设等差数列{a n}的公差d不为零，a1=9d．若a k是a1与a2k的等比中项，则k=．7．（5分）已知=．8．（5分）要得到y=sin x的图象，只须将函数y=sin（）的图象向左最少平移个单位．9．（5分）设命题p：ax2+2ax+1＞0的解集是实数集R；命题q：0＜a＜1，则p 是q的．（填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”）10．（5分）已知函数f（x）满足：x≥4，则f（x）=；当x＜4时f（x）=f （x+1），则f（2+log23）=．11．（5分）在四边形ABCD中，==（1，1），，则四边形ABCD的面积是．12．（5分）给出下列四个命题，其中正确的命题有．（填所有正确的序号）（1）命题“∀x∈R，cosx＞0”的否定是“∃x∈R，cosx≤0”；（2）若f（x）=ax2+2x+1只有一个零点，则a=1；（3）命题“若x≥2且y≥3，则x+y≥5”的否命题为“若x＜2且y＜3，则x+y＜5”；（4）对于任意实数x，有f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=g（x），且当x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则当x＜0时，f′（x）＞g′（x）；（5）在△ABC中，“A＞45°”是“sinA＞”的充要条件．13．（5分）在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=1，A=120°，E，F分别是边AB，AC上的点，且=m，=n，其中m，n∈（0，1）．若EF，BC的中点分别为M，N，且m+4n=1，则||的最小值为14．（5分）设S n为数列{a n}的前n项之和，若不等式n2a n2+4S n2≥λn2a12对任何等差数列{a n}及任何正整数n恒成立，则λ的最大值为．二、解答题：本大题共10小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知向量=（，1），向量=（sin2x，cos2x），函数f（x）=•．（1）求函数f（x）的表达式，并作出函数y=f（x）在一个周期内的简图（用五点法列表描点）；（2）求函数y=f（x）的周期，并写单调区间．16．（14分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA （Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围．17．（14分）某旅游景点预计2014年1月份起前x个月的旅游人数的和p（x）（单位：万人）与x的关系近似满足p（x）=x（x+1）•（39﹣2x），（x∈N+，x ≤12）已知第x月的人均消费额q（x）（单位：元）与x的近似关系是q（x）=（1）写出2014年第x月的旅游人数f（x）（单位：万人）与x的函数关系式；（2）试问2014年哪个月的旅游消费总额最大，最大旅游消费额为多少万元？18．（16分）已知奇函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，当x∈[﹣1，0）时，f（x）=﹣．（1）求函数f（x）在[0，1]上的值域；（2）若x∈（0，1]，f2（x）﹣f（x）+1的最小值为﹣2，求实数λ的值．19．（16分）已知函数f（x）=ax2+bx的图象过点（﹣n，0），且在（0，f（0））处的切线的斜率为n，（n为正整数）（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若数列{a n}满足：，，令，求数列{b n}的通项公式；（III）对于（Ⅱ）中的数列{a n}，令，求数列{c n}的前n项的和S n．20．（16分）设函数f（x）=xsinx（x∈R）．（Ⅰ）证明f（x+2kπ）﹣f（x）=2kπsinx，其中为k为整数；（Ⅱ）设x0为f（x）的一个极值点，证明[f（x0）]2=；（Ⅲ）设f（x）在（0，+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排列a1，a2，…，a n，…，证明＜a n+1﹣a n＜π（n=1，2，…）．21．（10分）已知函数f（x）=ln（2x﹣e），点P（e，f（e））为函数的图象上一点．（1）求导函数f′（x）的解析式；（2））求f（x）=ln（2x﹣e）在点P（e，f（e））处的切线的方程．22．（10分）已知圆C的极坐标方程为ρ=2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，若直线l：kx+y+3=0与圆C相切．求（1）圆C的直角坐标方程；（2）实数k的值．23．（10分）（理）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1=4，D是棱AA1的中点．如图所示．（1）求证：DC1⊥平面BCD；（2）求二面角A﹣BD﹣C的大小．24．（10分）设数列{a n}的前n项和为S n，且方程x2﹣a n x﹣a n=0有一根为S n﹣1，n=1，2，3，…．（1）求a1，a2；（2）猜想数列{S n}的通项公式，并给出严格的证明．2014-2015学年江苏省南通一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）i是虚数单位，=﹣1．【解答】解：=．故答案为：﹣1．2．（5分）设集合M={x|1＜x＜3}，N={x|x2﹣2x＜0}，则M∩N={x|1＜x＜2} ．【解答】解：∵集合M{x|1＜x＜3}，N={x|x2﹣2x＜0}={x|0＜x＜2}，∴M∩N={1＜x＜2}．故答案为：{x|1＜x＜2}．3．（5分）已知平面向量=（2，﹣1），向量=（1，1），向量=（﹣5，1）．若（+k）∥，则实数k的值为．【解答】解：∵，∴，又，且（+k）∥，∴1×（2+k）+5（﹣1+k）=0，解得：k=．故答案为：．4．（5分）已知S n是数列{a n}的前n项和，且有S n=n2+1，则数列{a n}的通项a n=．【解答】解：a1=S1=1+1=2，a n=S n﹣S n﹣1=（n2+1）﹣[（n﹣1）2+1]=2n﹣1，当n=1时，2n﹣1=1≠a1，∴．答案：．5．（5分）函数y=log3（x2﹣2x）的单调减区间是（﹣∞，0）．【解答】解：由题意可得函数f（x）的定义域是x＞2或x＜0，令u（x）=x2﹣2x的减区间为（﹣∞，1）∴函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，0）故答案：（﹣∞，0）6．（5分）设等差数列{a n}的公差d不为零，a1=9d．若a k是a1与a2k的等比中项，则k=4．【解答】解：因为a k是a1与a2k的等比中项，则a k2=a1a2k，[9d+（k﹣1）d]2=9d•[9d+（2k﹣1）d]，又d≠0，则k2﹣2k﹣8=0，k=4或k=﹣2（舍去）．故答案为：4．7．（5分）已知=﹣．【解答】解：∵cos（π﹣α）=﹣cosα=﹣∴cosα=∴sinα=±=±∵α∈（﹣，0）∴sinαα=﹣∴tanα=﹣tan2α==﹣故答案为﹣．8．（5分）要得到y=sin x的图象，只须将函数y=sin（）的图象向左最少平移个单位．【解答】解：将函数y=sin（）的图象向左最少平移单位，可得y=sin[（x+）﹣]=sin x的图象，故答案为：．9．（5分）设命题p：ax2+2ax+1＞0的解集是实数集R；命题q：0＜a＜1，则p 是q的必要不充分条件．（填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”）【解答】解：命题p：ax2+2ax+1＞0的解集是实数集R⇔a=0或⇔a=0或⇔a=0或0＜a＜4⇔0≤a＜4命题q：0＜a＜1．故p是q的必要不充分条件．答案为：必要不充分条件10．（5分）已知函数f（x）满足：x≥4，则f（x）=；当x＜4时f（x）=f（x+1），则f（2+log23）=．【解答】解：∵2+log23＜4，∴f（2+log23）=f（3+log23）=f（log224）==故应填11．（5分）在四边形ABCD中，==（1，1），，则四边形ABCD的面积是．【解答】解：由题，可知平行四边形ABCD的角平分线BD平分∠ABC，四边形ABCD是菱形，其边长为，且对角线BD等于边长的倍，所以cos∠BAD==﹣，故sin∠BAD=，S ABCD=（）2×=．故答案为：．12．（5分）给出下列四个命题，其中正确的命题有（1）．（填所有正确的序号）（1）命题“∀x∈R，cosx＞0”的否定是“∃x∈R，cosx≤0”；（2）若f（x）=ax2+2x+1只有一个零点，则a=1；（3）命题“若x≥2且y≥3，则x+y≥5”的否命题为“若x＜2且y＜3，则x+y＜5”；（4）对于任意实数x，有f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=g（x），且当x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则当x＜0时，f′（x）＞g′（x）；（5）在△ABC中，“A＞45°”是“sinA＞”的充要条件．【解答】解：对于（1），命题“∀x∈R，cosx＞0”的否定是“∃x∈R，cosx≤0”，正确；对于（2），当a=0时函数f（x）=ax2+2x+1也只有一个零点，命题（2）错误；对于（3），命题“若x≥2且y≥3，则x+y≥5”的否命题为“若x＜2或y＜3，则x+y ＜5”，命题（3）错误；对于（4），对于任意实数x，有f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=g（x），说明f（x），g（x）均为偶函数，又当x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则当x＜0时，f′（x）＜0，g′（x）＜0，命题（4）错误；对于（5），在△ABC中，A＞45°不一定得到sinA＞，如A=150°，sinA=，∴“A ＞45°”不是“sinA＞”的充要条件，命题（5）错误．故答案为：（1）．13．（5分）在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=1，A=120°，E，F分别是边AB，AC上的点，且=m，=n，其中m，n∈（0，1）．若EF，BC的中点分别为M，N，且m+4n=1，则||的最小值为【解答】解：连接AM、AN，∵等腰三角形ABC中，AB=AC=1，A=120°，∴=||•||cos120°=﹣∵AM是△AEF的中线，∴=（）=（+）同理，可得=（+），由此可得=﹣=（1﹣m）+（1﹣n）∴=[（1﹣m）+（1﹣n）]2=（1﹣m）2+（1﹣m）（1﹣n）•+（1﹣n）2=（1﹣m）2﹣（1﹣m）（1﹣n）+（1﹣n）2，∵m+4n=1，可得1﹣m=4n∴代入上式得=×（4n）2﹣×4n（1﹣n）+（1﹣n）2=n2﹣n+∵m，n∈（0，1），∴当n=时，的最小值为，此时的最小值为．故答案为：14．（5分）设S n为数列{a n}的前n项之和，若不等式n2a n2+4S n2≥λn2a12对任何等差数列{a n}及任何正整数n恒成立，则λ的最大值为．【解答】解：∵不等式n2a n2+4S n2≥λn2a12对任何等差数列{a n}及任何正整数n恒成立，，∴+，当a1≠0时，化为+1=，当=﹣时，上式等号成立．∴．故答案为：．二、解答题：本大题共10小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知向量=（，1），向量=（sin2x，cos2x），函数f（x）=•．（1）求函数f（x）的表达式，并作出函数y=f（x）在一个周期内的简图（用五点法列表描点）；（2）求函数y=f（x）的周期，并写单调区间．【解答】解：（1）由于向量=（，1），向量=（sin2x，cos2x），函数f（x）=•．则有f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），函数的周期为T==π，先用“五点法”作出一个周期的图象，列表：描点得整个图象，如右．（2）函数y=f（x）的周期为π，由2k≤2x+≤2k，解得k≤x≤k；由2k≤2x+≤2k，解得k≤x≤k，则单调增区间[k，k]（k为整数）；单调减区间[k，k]（k为整数）．16．（14分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA （Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由△ABC为锐角三角形得．（Ⅱ）===．由△ABC为锐角三角形知，0＜A＜，0＜﹣A＜，∴＜A＜，，所以．由此有＜，所以，cosA+sinC的取值范围为（，）．17．（14分）某旅游景点预计2014年1月份起前x个月的旅游人数的和p（x）（单位：万人）与x的关系近似满足p（x）=x（x+1）•（39﹣2x），（x∈N+，x ≤12）已知第x月的人均消费额q（x）（单位：元）与x的近似关系是q（x）=（1）写出2014年第x月的旅游人数f（x）（单位：万人）与x的函数关系式；（2）试问2014年哪个月的旅游消费总额最大，最大旅游消费额为多少万元？【解答】解：（1）当x=1时，f（1）=p（1）=37，当2≤x≤12，且x∈N*时，f（x）=P（x）﹣P（x﹣1）=﹣3x2+40x．验证：x=1时，37符合f（x））=﹣3x2+40x∴f（x））=﹣3x2+40x（x∈N*，且1≤x≤12））（2）第x月旅游消费总额为g（x）=f（x）•q（x）==当1≤x≤6，且x∈N+时，g′（x）=18x2﹣370x+1400，令g′（x）=0，解得x=5，x=140（舍去）∴当1≤x＜5时，g′（x）＞0，当5＜x≤6时，g′（x）＜0，∴当x=5时，g（x）max=g（5）=3125（万元）当7≤x≤12，且x∈N*时，g（x）=﹣48x+640是减函数，∴当x=7时，g（x）max=g（7）=304（万元），综上，2013年第5月份的旅游消费总额最大，最大月旅游消费总额为3125万元．18．（16分）已知奇函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，当x∈[﹣1，0）时，f（x）=﹣．（1）求函数f（x）在[0，1]上的值域；（2）若x∈（0，1]，f2（x）﹣f（x）+1的最小值为﹣2，求实数λ的值．【解答】解：（1）设x∈（0，1]，则﹣x∈[﹣1，0）时，所以f（﹣x）=﹣=﹣2x．又因为f（x）为奇函数，所以有f（﹣x）=﹣f（x），所以当x∈（0，1]时，f（x）=﹣f（﹣x）=2x，所以f（x）∈（1，2]，又f（0）=0．所以，当x∈[0，1]时函数f（x）的值域为（1，2]∪{0}．（2）由（1）知当x∈（0，1]时，f（x）∈（1，2]，所以f（x）∈（，1]．令t=f（x），则＜t≤1，g（t）=f2（x）﹣f（x）+1=t2﹣λt+1=+1﹣，①当≤，即λ≤1时，g（t）＞g（），无最小值，②当＜≤1，即1＜λ≤2时，g（t）min=g（）=1﹣=﹣2，解得λ=±2（舍去）．③当＞1，即λ＞2时，g（t）min=g（1）=﹣2，解得λ=4，综上所述，λ=4．19．（16分）已知函数f（x）=ax2+bx的图象过点（﹣n，0），且在（0，f（0））处的切线的斜率为n，（n为正整数）（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若数列{a n}满足：，，令，求数列{b n}的通项公式；（III）对于（Ⅱ）中的数列{a n}，令，求数列{c n}的前n项的和S n．【解答】解：（I）由已知f（﹣n）=a（﹣n）2+b（﹣n）=0，f′（0）=b=n解得a=1，b=n，所以f（x）=x2+nx（3分）；（Ⅱ）由可得，（4分），即b n=2b n+1所以数列{b n}是首项为，公比q=2的等比数列，（6分）∴b n=4•2n﹣1=2n+1（8分）；（Ⅲ）由（Ⅱ）知C n=n•2n+1﹣n（9分）∵S n=1•22+2•23+…+n•2n+1﹣（1+2+3+…+n）2S n=1•23+2•24+…+（n﹣1）•2n+1+n•2n+2﹣2（1+2+3+…+n）（10分）∴﹣S n=（22+23+…+2n+1）﹣n•2n+2+（1+2+3+…+n）=﹣n•2n+2+，∴S n=（n﹣1）•2n+2+4﹣（12分）20．（16分）设函数f（x）=xsinx（x∈R）．（Ⅰ）证明f（x+2kπ）﹣f（x）=2kπsinx，其中为k为整数；（Ⅱ）设x0为f（x）的一个极值点，证明[f（x0）]2=；（Ⅲ）设f（x）在（0，+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排列a1，a2，…，a n，…，证明＜a n+1﹣a n＜π（n=1，2，…）．【解答】解：（Ⅰ）证明：由函数f（x）的定义，对任意整数k，有f（x+2kπ）﹣f（x）=（x+2kπ）sin（x+2kπ）﹣xsinx=（x+2kπ）sinx﹣xsinx=2kπsinx．（Ⅱ）证明：函数f（x）在定义域R上可导，f'（x）=sinx+xcosx①令f'（x）=0，得sinx+xcosx=0．显然，对于满足上述方程的x有cosx≠0，上述方程化简为x=﹣tanx．此方程一定有解．f（x）的极值点x0一定满足tanx0=﹣x0．由sin2x==，得sin2x0=．因此，[f（x0）]2=x02sin2x0=．（Ⅲ）证明：设x0＞0是f'（x）=0的任意正实数根，即x0=﹣tanx0，则存在一个非负整数k，使x0∈（+kπ，π+kπ），即x0在第二或第四象限内．由①式，f'（x）=cosx（tanx+x）在第二或第四象限中的符号可列表如下：所以满足f'（x）=0的正根x0都为f（x）的极值点．由题设条件，a1，a2，a n，为方程x=﹣tanx的全部正实数根且满足a1＜a2＜＜a n ＜，﹣a n=﹣（tana n+1﹣tana n）=﹣（1+tana n+1•tana n）tan（a n+1那么对于n=1，2，a n+1﹣a n）．②＜π+nπ，由于+（n﹣1）π＜a n＜π+（n﹣1）π，+nπ＜a n+1则＜a n﹣a n＜，+1由于tana n+1•tana n＞0，由②式知tan（a n+1﹣a n）＜0．由此可知a n+1﹣a n必在第二象限，即a n+1﹣a n＜π．综上，＜a n+1﹣a n＜π．21．（10分）已知函数f（x）=ln（2x﹣e），点P（e，f（e））为函数的图象上一点．（1）求导函数f′（x）的解析式；（2））求f（x）=ln（2x﹣e）在点P（e，f（e））处的切线的方程．【解答】解：（1）∵f（x）=ln（2x﹣e），∴f′（x）==…（4分）（2）∵f（e）=1，f′（e）=，∴切线的方程为y﹣1=（x﹣e），即2x﹣ey﹣e=0 …（10分）22．（10分）已知圆C的极坐标方程为ρ=2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，若直线l：kx+y+3=0与圆C相切．求（1）圆C的直角坐标方程；（2）实数k的值．【解答】解：（1）由题意得，圆C的极坐标方程为ρ=2，则ρ2=4，所以圆C的直角坐标方程是：x2+y2=4…（5分）（2）因为直线l：kx+y+3=0与圆C相切，所以，解得k=…（10分）23．（10分）（理）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1=4，D是棱AA1的中点．如图所示．（1）求证：DC1⊥平面BCD；（2）求二面角A﹣BD﹣C的大小．【解答】（理）（1）证明：按如图所示建立空间直角坐标系．由题意知C（0，0，0）、A（2，0，0）、B（0，2，0）、D（2，0，2）、A1（2，0，4）、C1（0，0，4）．∴=（﹣2，0，2），，．∵=0，．∴DC1⊥DC，DC1⊥DB．又∵DC∩DB=D，∴DC1⊥平面BDC．（2）解：设是平面ABD的法向量．则，又，，∴，取y=1，得=（1，1，0）．由（1）知，=（﹣2，0，2）是平面DBC的一个法向量，记与的夹角为θ，则cosθ==﹣，结合三棱柱可知，二面角A﹣BD﹣C是锐角，∴所求二面角A﹣BD﹣C的大小是．24．（10分）设数列{a n}的前n项和为S n，且方程x2﹣a n x﹣a n=0有一根为S n﹣1，n=1，2，3，…．（1）求a1，a2；（2）猜想数列{S n}的通项公式，并给出严格的证明．【解答】解：（1）当n=1时，x2﹣a1x﹣a1=0有一根为S1﹣1=a1﹣1，于是（a1﹣1）2﹣a1（a1﹣1）﹣a1=0，解得a1=．当n=2时，x2﹣a2x﹣a2=0有一根为S2﹣1=a2﹣，于是（a2﹣）2﹣a2（a2﹣）﹣a2=0，解得a2=．（2）由题设（S n﹣1）2﹣a n（S n﹣1）﹣a n=0，S n2﹣2S n+1﹣a n S n=0．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，S n﹣2S n+1=0．①代入上式得S n﹣1由（1）得S1=a1=，S2=a1+a2=+=．由①可得S3=．由此猜想S n=，n=1，2，3，．下面用数学归纳法证明这个结论．（i）n=1时已知结论成立．（ii）假设n=k时结论成立，即S k=，当n=k+1时，由①得S k+1=，即S k+1=，故n=k+1时结论也成立．综上，由（i）、（ii）可知S n=对所有正整数n都成立．。
2015-2016年江苏省常州市溧阳六中高三(上)期中数学试卷及参考答案
4． （5 分）过点 P（1，0）且与直线 2x+y﹣5=0 平行的直线的方程为 5． （5 分）已知 ， 是夹角为 60°的两个单位向量，则| + |=
6． （5 分）若曲线 f（x）=2lnx﹣ 在 x=1 处的切线的斜率为 3，则实数 m 的值 为 ． ． ．
7． （5 分）已知 2x+3y=6，则 4x+8y 的最小值为
4． （5 分） 过点 P （1， 0） 且与直线 2x+y﹣5=0 平行的直线的方程为
2x+y﹣2=0
．
【解答】解：设与直线直线 2x+y﹣5=0 平行的直线方程为 2x+y+b=0， 因为平行线经过点 P（1，0） ，所以 2+0+b=0，b=﹣2， 所求直线方程为 2x+y﹣2=0．
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x 8． （5 分） 函数 （ f x） = （x+1） e﹣（ e 为自然对数的底数） 的单调减区间为
9． （5 分）若实数 x，y 满足条件
则 z=5x+4y 的最大值为
．
10． （5 分）用半径为 r 的半圆形纸片可以卷成一个高为 为 ．
的圆锥筒，则 r 的值
11． （5 分）已知函数 f（x）=3sin（2x﹣ 偶函数，则 a 的值为 ．
2015-2016 学年江苏省常州市溧阳六中高三（上）期中数学试卷
一、填空题： （本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分） 1． （5 分）设全集 U=R，集合 A={x|1≤x≤3}，则∁ UA= 2． （5 分）函数 f（x）=ln（2﹣x）的定义域是 ． ．
3． （5 分） 已知 m， n 为实数， 若关于 x 的不等式 x2+mx+n＜0 的解集为 （﹣1， 3） ， 则 m+n 的值为 ． ． ．
2024-2025学年江苏省常州市高三上学期期中数学试题及答案
常州市2024—2025学年第一学期高三期中质量调研数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干冷后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}26,3,1,0,2,3|A x x B =<=--，则A B = （ ）A ．{}1,0- B ．{}0,2 C ．{}3,1,0-- D ．{}1,0,2-2．已知a ，b ∈R ，则“a b e =”是“ln a b =”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．已知复数z 满足22i 10z z --=，则z z -= （ ）A ．2i -B ．2iC ．0D ．24．有甲、乙等5名同学咨询数学史知识竞赛分数．教师说：甲不是5人中分数最高的，乙不是5人中分数最低的，而且5人的分数互不相同．则这5名同学的可能排名有（ ）A ．42种B ．72种C ．78种D ．120种5．已知,αβ是两个不同的平面，a ，b 是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线l α⊥的是（ ）A ．,l αββ⊥∥B ．,l a a α⊥∥C ．,l a a α⊥∥D ．,,,l a l b a b αα⊥⊥⊂⊂6．已知函数()co ()s 0f x x ωω=>的最小正周期为T ．若2π4πT <<，且曲线()y f x =关于点3π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，中心对称，则()πf =（ ）A ．12B ．12-C ．D ．T ．已知(),0,παβ∈，且()cos ααβ=+=，则cos β=（ ）A B ． C D ．8．已知函数()()log 2a f x ax =-（0a >，且1a ≠）．[]1,2x ∃∈，使得()1f x ≥成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．(]2,11,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．(]1,2D ．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知平面内两个单位向量,a b 的夹角为θ，则下列结论正确的有（）A ．()()a b a b +⊥- B ．a b + 的取值范围为[]0,2C ．若a b -= ，则π3θ=D ．a 在b 上的投影向量为a b10．甲、乙两选手进行象棋比赛，有3局2胜制、5局3胜制两种方案．设每局比赛甲获胜的概率为()01p p <<，且每局比赛的结果互不影响，则下列结论正确的有（ ）A ．若采用3局2胜制，则甲获胜的概率是()232p p -B ．若采用5局3胜制，则甲以3：1获胜的概率是()351p p -C ．若0.6p =，甲在5局3胜制中比在3局2胜制中获胜的概率大D ．若0.6p =，采用5局3胜制，在甲获胜的条件下比赛局数的数学期望是311．已知函数()()()()2f x x a x b a b =--<，2为()f x 的极大值点，则下列结论正确的有（ ）A ．2a =B ．若4为函数()f x 的极小值点，则4b =C ．若()f x 在2,3b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭内有最小值，则b 的取值范围是8,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭D ．若()40f x +=有三个互不相等的实数解，则b 的取值范围是()5,+∞三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知正数x ，y 满足24xy x y =+，则xy 的最小值为__________．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()cos ,sin P αα，将线段OP 绕原点O 按顺时针方向旋转π2至线段OP '．若1cos 3α=，则点P '的纵坐标为__________．14．已知一个母线长为1，底面半径为r 的圆锥形密闭容器（容器壁厚度忽略不计），能够被整体放入该容器的球的体积最大时，r =________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）某研究性学习小组为研究两个变量x 和y 之间的关系，测量了对应的五组数据如下表：x23456y 47121314（1）求y 关于x 的经验回归方程；（2）请估计 3.5x =时，对应的y 值．附：在经验回归方程ˆˆˆy a bx =+中，()1221ˆˆˆ,n i i i n i i x y nxy b ay bx xn x ==-==--∑∑，其中y x 为样本平均值．16．（15分）在锐角ABC △中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知1cos 24sin sin sin A A B C -=．（1）求11tan tan B C+点的值；（2）若2a =，求ABC △的面积．17．（15分）某校由5名教师组成校本课程讲师团，其中2人有校本课程开设经验，3人没有校本课程开设经验．先从这5名教师中随机抽选2名教师开设校本课程，该期校本课程结束后，再从这5名教师中随机抽选2名教师开设下一期校本课程．（1）在第一次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数记为X ，求X 的分布列和数学期望；（2）求“在第二次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是1”的概率．18．（17分）已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x <时，()()2x f x e x =+．（1）求()f x 的解析式；（2）求曲线()yf x =在2x =处的切线方程；（3）若12,x x ∀∈R ，都有()()12f x f x m -≤，求实数m 的最小值．19．（17分）如图，在四棱柱1111A B C D ABCD -中，已知1CD ⊥底面ABCD ，,,222AB CDAB AD AB AD CD ⊥===∥，1AA =E 是线段1BD 上的动点．（1）求证：11BC ∥平面1B C D ；（2）求直线AB 与1BB 所成角的余弦值的最大值；（3）在线段1BD 上是否存在与B 不重合的点E ，使得二面角B AE C --的正弦值为BE 的长；若不存在，请说明理由．。
江苏省各市县2014届高三上学期期中试题分类汇编：数列
江苏省各市县2014届高三上学期期中试题分类汇编数列一、填空题1、（常州市武进区2014届高三上学期期中考）已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若34a =，则5S 的值为＿＿＿＿＿＿．答案：32、（淮安、宿迁市2014届高三11月诊断）已知数列{}n a 的前n 项和(1)n n S n =-⋅，若对任意正整数n ，1()()0n n a p a p +--＜恒成立，则实数p 的取值范围是＿＿＿＿＿＿.答案：(13)-，3、（淮安、宿迁市2014届高三11月诊断）已知等比数列{}n a 中，11a =，94a =，函数()()()()1292f x x x a x a x a =---+，则曲线()x f y =在点(0,(0))f 的切线的斜率为＿＿＿＿＿＿. 答案：24、（苏州市2014届高三上学期期中）公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且41016a a =，则10a = ＿＿＿＿＿＿． 答案：325、（无锡市2014届高三上学期期中）记等差数列的前n 项和为n S ，11120,0S S ><，则n S 最大的n 是＿＿＿＿＿＿。
答案：66、（徐州市2014届高三上学期期中）设等比数列{}n a 满足公比**,n q N a N ∈∈，且{}n a 中的任意两项之积也是该数列中的一项，若1112a =，则q 的所有可能取值的集合为＿＿＿＿＿＿ 。
答案：{2，32，92，272，812}7、（徐州市2014届高三上学期期中）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知263,11a a ==，则7S =＿＿＿＿＿＿。
答案：498、（盐城市2014届高三上学期期中）在等比数列{}n a 中，22a =，516a =，则10a = ＿＿＿＿＿＿ .答案：5129、（扬州市2014届高三上学期期中） 答案：10、（常州市武进区2014届高三上学期期中考）已知正项等比数列{}n a 满足： 6542a a a =+，若存在两项m a ，n a 使得12m n a a a =，则14m n+的最小值为＿＿＿＿＿＿ ． 答案：9411、（苏州市2014届高三上学期期中）正项数列{an}满足a1 = 1，a2 = 2，又{1+n n a a }是以21为公比的等比数列，则使得不等式1221111++++n a a a ＞2013成立的最小整数n 为＿＿＿＿＿＿． 答案：612、（盐城市2014届高三上学期期中）在数列{}n a 中，10a =，111111n na a +-=--，设11n n a b n+-=，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，则99S =＿＿＿＿＿＿ . 答案：910二、解答题1、（常州市武进区2014届高三上学期期中考）各项均为正数的等比数列{}n a ，11a =，2416a a =，单调增数列{}n b 的前n 项和为n S ，12b =，且()2*632n n n S b b n N =++∈．⑴ 求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； ⑵ 令()*nn nb c n N a =∈，求使得1n c >的所有n 的值，并说明理由； ⑶ 证明{}n a 中任意三项不可能构成等差数列．解：（1）∵2a 4a =244116a q q ==，2q =4，∵0n a >，∴q=2， ∴12-=n n a ……………………………………2分 ∴b3=4a ＝8. ∵263n n n S b b =++2 ① 当n≥2时，211163n n n S b b ---=++2 ②①-②得2211633n n n n n b b b b b --=-+-即111()()3()n n n n n n b b b b b b ---+-=+ 12b =，单调增数列{}n b ，0n b ∴>，∴1n n b b --=3，∴}{n b 是公差为3的等差数列．…………………………4分 由12b =得，()1131n b b n d n =+-=-． …………………………6分 （2）∵31n b n =-，∴n n n b c a =＝1312n n --， ∴1c =2>1，2c =52＞1，3c =2>1，4118c =>1，578c =<1，…………………………8分 下面证明当n≥5时，1n c <． 事实上，当n≥5时，11323122n n n n n n c c +-+--=-＝432n n-＜0 即1n n c c +<，∵578c =<1 ∴当n≥5时，1<n C ，…………………………10分 故满足条件1n c >的所有n 的值为1，2，3，4．…………………………11分(3)假设}{n a 中存在三项p ，q ，r (p<q<r ，p ，q ，R ∈N*)使ap ， aq ， ar 构成等差数列， ∴ 2aq=ap+ar ，即22q —1=2p —1+2r —1．∴2q —p+1=1+2r —p ．…………………………13分 因左边为偶数，右边为奇数，矛盾．∴假设不成立，故不存在任意三项能构成等差数列．…………………………16分2、（海安县2014届高三上学期期中）设数列{}n a 满足*132()n n n a a n N +=+∈且a1，a2 ，a3 成等差数列．（1）求a1的值；（2）求证：数列{}2nn a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式．（1）21321323234210a a a a a a a =+⎧⎪=+⎨⎪+=+⎩解得：1a ＝1（2）11123223323222n n n n n n n n n nn n n a a a a a a +++++++⋅===+++ 数列{}2nn a +是以123a +=为首项，3为公比的等比数列2n n a +＝3×3n-1 32n n n a =-3、（淮安、宿迁市2014届高三11月诊断）已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和1(1)(2)2n n n S a a =-+，*n ∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1(1)n n n n b a a +=-，求数列{}n b 的前2n 项的和2n T ．解：（1）当1n =时，1121(1)(2)2S a a =-+，即11a =-或12a =，因为10a >，所以12a = ………………………………2分 当2n ≥时，1(1)(2)2n n n S a a =-+，1111(1)(2)2n n n S a a ---=-+，两式相减得：11()(1)0n n n n a a a a --+--=， ………………………………6分 又因为0n a ＞，所以10n n a a -+＞，所以11n n a a --=，所以1n a n =+； ………………………8分 （2）212233445562321212221n n n n n n n T a a a a a a a a a a a a a a a a ---+=-+-+-++-+2422()n a a a =+++…， ……………………11分 又242n a a a ，，，…是首项为3，公差为2的等差数列， 所以2242(321)22n n n a a a n n +++++==+…，故2224n T n n =+． ………………14分4、（苏州市2014届高三上学期期中）已知各项均为整数的数列{}n a 满足31a =-，74a =，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列． (I)求数列{}n a 的通项公式；(II)求出所有的正整数m ，使得1212m m m m m m a a a a a a ++++++=．解：(I) 设数列前6项的公差为d ，则512a d =-+，613a d =-+(d 为整数) 又5a ，6a ，7a 成等比数列，所以2(31)4(21)d d -=-，即291450d d -+=，得1d =. ………………………………4 分 当6n ≤ 时，4n a n =-，………………………………………………6 分 所以51a =，62a =，数列从第5 项起构成的等比数列的公比为2， 所以，当5n ≥时，52n n a -=.故54,(4)2,(5)n n n n a n --≤⎧=⎨≥⎩…………………………………………8分 (II)由(I)知，数列{}n a 为：－3，－2，－1，0，1，2，4，8，16，… 当1m =时等式成立，即3216(3)(2)(1)---=-=-⨯-⨯-；当3m =时等式成立，即1010(1)01-++==-⨯⨯；……………………………………10分 当24m =或时等式不成立；………………………………………12分 当m ≥5 时，535122(21)72m m m m m a a a --++++=-=⨯，312122m m m m a a a -++=若1212m m m m m m a a a a a a ++++++=，则5312722m m --⨯=，所以2727m -=……………14分5m ≥，2728m -∴≥，从而方程2727m -=无解所以1212m m m m m m a a a a a a ++++++≠ . 故所求1m =或3m =．……………………………………16分5、（无锡市2014届高三上学期期中）已知等比数列{}n a 的公比1q >，前n 项和为3123,7,3,3,4n S S a a a =++成等差数列，数列{}n b 的前n 项和为,6(31)2n n n T T n b =++，其中*n N ∈。
江苏常州高级中学2024届高三上学期期初检测数学试卷及参考答案
江苏省常州高级中学2024届高三第一学期期初检测数学试卷 2023.09一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．A．1BC ．2D ． 2．已知全集U =R ，集合{||1|1}Ax x =−<，{|1B x x =<或4}x ≥，则() U A B = （▲） A ．{|12}x x <<B ．{|04}x x <<C ．{|12}x x <≤D ． {|04}x x <≤3．在空间直角坐标系O xyz −中，已知异面直线1l ，2l 的方向向量分别为(1,1,2)=−−a ，(1,1,2)=b ，则1l ，2l 所成角的余弦值为（▲）A ．23B C ．23−D ．A ．2a <−B ．2a −≤C ．62a −<<−D ．62a −−≤≤5．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（▲）A ．若⊥m n ，//αn ，则α⊥mB ．若//βm ，βα⊥，则α⊥mC ．若⊥m n ，β⊥n ，βα⊥，则α⊥mD ．若β⊥m ，β⊥n ，α⊥n ，则α⊥m6．设0a >，已知2()n ax x+的展开式中只有第5项的二项式系数最大，且展开式中所有项的系数和为256，则2221(2)ax x++中2x 的系数为（▲） A ．0 B ．2C ．4D ． 87．已知在直角三角形ABC 中，1CA CB ==，以斜边AB 的中点O 为圆心，AB 为直径，在点C 的另一侧作半圆弧AB ，M 为半圆弧上的动点，则CA CM ⋅的取值范围为（▲）A ．B ．[]0,1C ．30,2D ．8．将一个半径为6的球削成一个体积最大的圆锥，则该圆锥的内切球的半径为（▲）A1+B．1) C．1) D．1)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．已知一组样本数据1x ，2x ， ，n x 为不全相等的n 个正数，其中4n ≥，若由211,2),,(kk y x k n =−=⋅⋅⋅生成一组新的数据1y ，2y ， ，n y ，则这组新数据与原数据的（▲）可能相等． A ．极差B ．平均数C ．中位数D ．标准差10． 若正实数a ，b 满足1a b +=，则下列结论正确的有（▲）A ．14ab ≤B ．114a b+≥ CD ．2212a b +≥12．已知函数及其导函数的定义域均为R ，若函数，1(2)2y x f x =−+都为偶函数，令()()g x f x ′=，则下列结论正确的有（▲）A ．()f x 的图象关于1x =对称B ．()g x 的图象关于点1(2,)2对称 C ．(1)1g = D ．1001()2475k g k ==∑三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数31log ,0,()1,0,3x x x f x x −>= ≤则函数()(())1h x f f x =−的所有零点构成的集合为 ▲ ．14．某校在新学期开设了“遇见GGB ”，“数学与生活”，“微积分初步”，“无限的世界”和“数学阅读与写作”5门数学类校本课程.小明和小华两位同学商量每人选报2门校本课程.若两人所选的课程至多有一门相同，且小明一定选报“遇见GGB ”课程，则两位同学不同的选课方案有 ▲ 种.（用数字作答）15．设随机变量~(,)X B n p ，记(1)k kn k k n p C p p −=−，0,1,2,,k n =⋅⋅⋅.在研究k p 的最大值时，某学习小组发现并证明了如下正确结论：若(1)n p +为正整数，当(1)kn p =+时，1k k p p −=，此时这两项概率均为最大值；若(1)n p +不为正整数，则当且仅当k 取(1)n p +的整数部分时，k p 取最大值.某同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数.当投掷到第20次时，记录到此时点数1出现4次，若继续再进行80次投掷试验，则在这100次投掷试验中，点数1总共出现的次数为 ▲ 的概率最大． 16．在平面直角坐标系xOy 中，若过点P 且同时与曲线e x y =，曲线2ln y x =+都相切的直线有两条，则点P 的坐标为 ▲ ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分10分） 已知函数2()log (4)x f x x a =−+（a ∈R 且0a ≥）．已知函数20．（本题满分12分）2()ln (21)f x ax x a x =−+−，其中a ∈R ． （1）讨论()f x 的单调性；（2）设0a >，若不等式e()02f x +≥对(0,)x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围．21．（本题满分12分）某校为了增强学生的安全意识，组织学生参加安全知识答题竞赛，每位参赛学生可答题若干次，答题赋分方法如下：第一次答题，答对得2分，答错得1分；从第二次答题开22．（本题满分12分）参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．C 2．B 3．A 4．D 5．D 6．C 7．A 8． D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．BC 10． ABD 11．ACD 12．ABD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．{0,27} 14．36 15．17 16．1e (,)e 1e 1四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：（1）因为函数()f x 为奇函数，所以()()0f x f x 对定义域内每一个元素x 恒成立．即22o ()()log (4)l g (4)x x a x a x f x f x222log [(4)(4)]log [1(44)]0x x x x a a a a ，则21(44)1x x a a ，即440x x a a ． ……………………4分又因为0a ≥，所以440x x a ，故0a ． ……………………5分（2）因为 22log 4x x f x a ，所以2222()log log 414x x x xf x a a ． 由214()()log 14x x a f x f x a ≤，得到14024xx a a≤， ……………………6分又0a ≥，故只需要14242x x a a ≤，即(42)241x x a ≤对任意1(,1]2x 恒成立．因为1(,1]2x ，所以420x ，故243242412x x xa ≤对任意的1(,1]2x 恒成立． ……………………8分因为3242x y在1(,1]2为减函数，所以min 232427x，故72a ≤． 综上所述，072a ≤≤． ……………………10分 18．解：（1）在ABC △中，60A ，2AB ，4AC ，(01)AE AC，222BE AE ABAC AB222221684AC AC AB AB ． ……………………3分因为01 ，所以当14时，则2BE取最小值3， 当1 时，则2BE取最大值12，则223||12BE BE ≤，因此||BE 的取值范围为； …………………6分（2）因为(||||AB ACAD AB AC且2AB ，4AC ，所以42AD AB AC ． 又AE AC，所以24AD AB AE． 因为B ，E ，D 三点共线，所以124，即11124 ． …………………9分因此，111134222≥，当且仅当14 即12时等号成立， 故1的最小值为32． …………………12分 19．解：（1）由题设，BCD △为等边三角形，则AB =2BD =4， 又四边形ABCD 为梯形，AB //DC ，则60ABD ， 在ABD △中，4,2AB BD ，所以2222cos AD AB BD AB BD ABD ，即22242242cos6012AD ，则AD ， …………………1分 所以222AD BD AB ，即AD ⊥BD ， …………………2分 面PBD ⊥面ABCD ，面PBD ∩面ABCD =BD ，AD 面ABCD ，则AD ⊥面PBD ，又PB 面PBD ，故PB ⊥AD ． …………………4分 （2）若O 为BD 中点，PB =PD ，则PO ⊥BD ，面PBD ⊥面ABCD ，面PBD ∩面ABCD =BD ，PO 面PBD ，则PO ⊥面ABCD ， 连接OC ，则OC ⊥BD ，且OC 面ABCD ，故PO OC ，综上，PO ，BD ，OC 两两垂直，以O 为原点，,,OB OC OP为x ，y ，z 轴正方向的空间直角坐标系． …………………6分所以 1,A ， 1,0,0B，C ， 1,0,0D ，由三棱锥P BCD，则13BCD S OP ，即112232 3OP ． …………………7分 则 0,0,3P，则3F，所以1,,23BF， 2,0,0DB，BC ， 1,0,3BP，若 ,,m x y z是面BDF 的一个法向量，则20320m BF x y z mDB x，取6y，则z，则 0,6,m ．…………9分 若 111,,n x y z是面PBC 的一个法向量，则1111300n BP x z n BC x ，取11z，则113,x y，则n ，…………11分所以5cos ,13m n m n m n， 则锐二面角D BF C 的余弦值为513. …………………12分20．解：（1）因为2()ln (21)f x ax x a x ，0x ，所以1(21)(1)()221ax x f x ax a x x． ……………………2分 当0a ≤时，()0f x 恒成立，则()f x 在(0,) 上单调递减； …………………3分 当0a 时，由()0f x ，得102x a ，由()0f x ，得12x a， 则()f x 在1(0,)2a 上单调递减，在1(,)2a上单调递增， 综上，当0a ≤时，()f x 的单调减区间为(0,) ，无单调增区间； 当0a 时，()f x 的单调减区间为1(0,2a ，单调增区间为1(,)2a． ………… 5分 （2）当0a 时，由（1）可知()f x 在1(0,)2a 上单调递减，在1(,)2a上单调递增， 故()f x 的最小值为211111()(ln (21)ln(2)122224f a a a a a a a a．……6分 因为不等式e ()02f x ≥对(0,)x 恒成立，所以1eln(2)1042a a ≥． ……8分设1e ()ln 122g x x x，则211()02g x x x恒成立，故()g x 在(0,) 上单调递增． 因为1(0e g ，所以1e ln(2)1042a a≥即1(2)()e g a g ≥，故12e a ≥，即12ea ≥． 综上，a 的取值范围是1[,)2e． ……………………12分 21．解：（1）学生甲前三次答题得分之和为4分的概率，即为学生甲前三次答题中仅只答对一次的概率，设“学生甲前三次答题得分之和为4分”为事件A ，所以123222()C (1339P A . ……………………2分 （2）（i ）学生甲第1次答题得2分、1分的概率分别为21,33， 所以 112125333E X . ……………………3分甲第2次答题得4分、2分、1分的概率分别为22121,,33333，所以 22212123333339421E X . ……………………4分甲第3次答题得8分、4分、2分、1分的概率分别为22222233333311,331,,3 ，所以 3111781222222101333333334322E X.……………………5分 （ii ）由（i ）知， 213143E X E X ， 323143E X E X ，当2i ≥时，甲第1i 次答题所得分数1i X 的期望为 1i E X ，则第i 次答对题所得分数12()i E X ，答错题所得分数为1，其概率分别为21,33，于是甲第i 次答题所得分数i X 的期望为112141213333i i i E X E X E X ，即 *141,N ,233i i E X E X i i ≥. ……………………7分（iii ）由（i ）知 153E X ，由（ii ）知 *141,N ,233i i E X E X i i ≥，因此 11[1]43i i E X E X ，即数列 1i E X 以83为首项，43为公比的等比数列，则 184331i i E X ，即 1432i E X i. ……………………10分由 i E X 10，得211043i，整理得41132i，而561111,224433， 22．解：（1）当2a 时， 因此i ≥6，所以i 的最小值是6. ……………………12分1ln 2f x x x x， f x 的定义域为 0, ． 因此， 22222111121()2x x x x f x x x x x． ……………………2分 令()0f x ，解得01x ，令()0f x ，解得1x ，所以 f x 在 0,1上单调递增，在1, 上单调递减，故 max 3f x ． ……………………4分（2）因为 1ln f x x ax x ，则 222111(0)ax x f x a x x x x ，当1a 时，则 0f x ，故()f x 在(0,) 上单调递增，又(1)10f a，1ln 02f a ，且()f x 图象不间断，所以存在唯一的0x，使 00f x ． ……………………6分 因为1()ln (1)(0)g x x x a x x x，则21()ln g x x a x ，令 21()ln 0h x x a x x，则312()0h x x x ，所以()h x 在(0,) 上单调递增，即()g x 在(0,) 上单调递增．又(1)10g a，1ln 02g a ，且()g x 图象不间断，所以存在m，使()0g m ，则当0x m 时，()0g m ；当x >m 时，()0g m ； 所以()g x 在(0,)m 单调递减，在(,)m 上单调递增，所以m 为()g x 的极小值点，故1x m ． ……………………8分 由()0g m 可得1211ln 0x a x，故1211ln a x x ， 所以 11111ln f x x ax x1111121111ln (ln )(1)ln x x x x x x x ，又1x，所以 1111ln 0f x x x ， 又因为 00f x ，且()f x 在(0,) 上单调递增，所以01x x . …………………12分。
2015-2016年江苏省常州市武进区高二(上)期中数学试卷和答案
2015-2016学年江苏省常州市武进区高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直接写在相应的位置上）1．（5分）命题“∃x∈R，使x2+x+1＜0”的否定是．2．（5分）“x＞1”是“x2＞x”的条件．3．（5分）已知函数f（x）=2f′（1）lnx﹣x，则f（x）的解析式为f（x）=．4．（5分）顶点在原点且以双曲线的左准线为准线的抛物线方程是．5．（5分）若命题”∃x∈R，使x2+（2a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为．6．（5分）已知双曲线的一个焦点坐标为，则其渐近线方程为．7．（5分）已知双曲线的离心率为，则m=．8．（5分）椭圆上的点M到焦点F1的距离是2，N是MF1的中点，则ON=．9．（5分）已知函数f（x）=（ax2+x）﹣xlnx在[1，+∞）上单调递增，则实数a 的取值范围是．10．（5分）已知P是椭圆上一点，P与两焦点的连线互相垂直，且P到两焦点的距离分别为，则椭圆的方程为．11．（5分）函数f（x）=+xlnx﹣2x的单调递减区间为．12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（2）=1，且对于任意的x∈R，都有，则不等式的解集为．13．（5分）在函数f（x）=alnx+（x+1）2（x＞0）的图象上任取两个不同的点P（x1，y1）、Q（x2，y2）（x1＞x2），总能使得f（x1）﹣f（x2）＞4（x1﹣x2），则实数a的取值范围为．14．（5分）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知p：x2﹣8x﹣20≤0；q：1﹣m2≤x≤1+m2．（Ⅰ）若p是q的必要条件，求m的取值范围；（Ⅱ）若￢p是￢q的必要不充分条件，求m的取值范围．16．（14分）已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点是F（﹣1，0）．（1）求椭圆的标准方程；（2）设Q是椭圆上的一点，过点F、Q的直线l与y轴交于点M，且=2，求直线l的斜率．17．（14分）已知椭圆，设右焦点为F1，离心率为e．（1）若椭圆过点，，求椭圆的标准方程；（2）若椭圆的焦距为4，设A、B为椭圆上关于原点对称的两点，且A、B在圆O：x2+y2=4上，设直线AB的斜率为k，若，求e的取值范围．18．（16分）已知函数f（x）=ax3+bx+c的图象过点（0，﹣16），且在x=1处的切线方程是y=4x﹣18．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）若直线为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标；（3）若函数g（x）=x3+x2﹣lnx，记F（x）=f（x）﹣g（x），求函数y=F（x）在区间上的最大值和最小值．19．（16分）椭圆的一个焦点F1（﹣2，0），右准线方程x=8．（1）求椭圆的标准方程；（2）若M为右准线上的一点，A为椭圆C的左顶点，连接AM交椭圆于点P，求的取值范围；（3）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点Q是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AQ交l于点M．设直线OM的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，求证：k1k2为定值．20．（16分）已知函数且x≠1）．（1）当a=0时，求函数f（x）的极小值；（2）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；（3）若∃x∈[e，e2]，使f（x）≤成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年江苏省常州市武进区高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直接写在相应的位置上）1．（5分）命题“∃x∈R，使x2+x+1＜0”的否定是∀x∈R，x2+x+1≥0．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x∈R，使x2+x+1＜0”的否定是：∀x∈R，x2+x+1≥0．故答案为：∀x∈R，x2+x+1≥02．（5分）“x＞1”是“x2＞x”的充分不必要条件．【解答】解：∵x2＞x，∴x＞1或x＜0，∴x＞1⇒x2＞x，∴x＞1是x2＞x充分不必要，故答案为充分不必要．3．（5分）已知函数f（x）=2f′（1）lnx﹣x，则f（x）的解析式为f（x）=2lnx ﹣x．【解答】解：∵f（x）=2f′（1）lnx﹣x，∴f′（x）=2f′（1）﹣1，令x=1，∴f′（1）=2f′（1）﹣1，∴f′（1）=1，∴f（x）=2lnx﹣x，故答案为：2lnx﹣x．4．（5分）顶点在原点且以双曲线的左准线为准线的抛物线方程是y2=6x．【解答】解：由双曲线的左准线为x=﹣，设顶点在原点且以双曲线的左准线为准线的抛物线方程为y2=2px（p＞0），则=，所以抛物线方程是y2=6x．故答案为：y2=6x．5．（5分）若命题”∃x∈R，使x2+（2a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为．【解答】解：若命题”∃x∈R，使x2+（2a﹣1）x+1＜0”是假命题，则函数f（x）=x2+（2a﹣1）x+1的最小值大于等于0，即≥0，解得：a∈6．（5分）已知双曲线的一个焦点坐标为，则其渐近线方程为y=±．【解答】解：由双曲线的一个焦点坐标为，得b=，c=，∴a+2=3，a=1，则其渐近线方程为y=±，即y=±，故答案为y=±．7．（5分）已知双曲线的离心率为，则m=8．【解答】解：∵双曲线，∴a2=4，b2=m∴c2=4+m∵双曲线的离心率为，∴==3∴m=8．故答案为：8．8．（5分）椭圆上的点M到焦点F1的距离是2，N是MF1的中点，则ON=4．【解答】解：∵椭圆的长轴长为2×5=10，∴|MF2|=10﹣2=8，ON是△MF1F2的中位线，∴|ON|=|MF2|=4，故答案为：4．9．（5分）已知函数f（x）=（ax2+x）﹣xlnx在[1，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是．【解答】解：求导函数可得：f′（x）=2ax﹣lnx∵函数f（x）=（ax2+x）﹣xlnx在[1，+∞）上单调递增，∴f′（x）=2ax﹣lnx≥0在[1，+∞）上恒成立∴2a≥令g（x）=（x＞0），则令g′（x）＞0，可得0＜x＜e；令g′（x）＜0，可得x＞e；∴函数在（0，e）上单调增，在（e，+∞）上单调减∴x=e时，函数取得最大值∴2a≥∴故答案为：．10．（5分）已知P是椭圆上一点，P与两焦点的连线互相垂直，且P到两焦点的距离分别为，则椭圆的方程为．【解答】解：设|PF1|=2，|PF2|=4，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=6，可得a=3，由勾股定理可得，|PF1|2+|PF2|2=|F2F1|2，即为20+80=4c2，解得c=5，由b2=a2﹣c2，可得b=2．即有椭圆的方程为．故答案为：．11．（5分）函数f（x）=+xlnx﹣2x的单调递减区间为（0，1）．【解答】解：函数的导数为f′（x）=x+1+lnx﹣2=x+lnx﹣1，令g（x）=x+lnx﹣1（x＞0），g′（x）=1+＞0，即g（x）在x＞0递增，由g（1）=0，可得f′（x）=0的解为x=1；由f′（x）＜0，解得0＜x＜1．故答案为：（0，1）．12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（2）=1，且对于任意的x∈R，都有，则不等式的解集为（﹣，）．【解答】解：对于任意的x∈R，都有，可设F（x）=f（x）﹣x，由F′（x）=f′（x）﹣＜0，可得F（x）在R上递减，不等式即为f（x2）﹣＞，由f（2）=1，可得f（2）﹣=，即有F（x2）＞F（2），由F（x）在R上递减，可得x2＜2，解得﹣＜x＜．故答案为：（﹣，）．13．（5分）在函数f（x）=alnx+（x+1）2（x＞0）的图象上任取两个不同的点P （x1，y1）、Q（x2，y2）（x1＞x2），总能使得f（x1）﹣f（x2）＞4（x1﹣x2），则实数a的取值范围为（，+∞）．【解答】解：；∵x1＞x2；∴x1﹣x2＞0；∴由f（x1）﹣f（x2）＞4（x1﹣x2）得，；∴；∴a＞﹣2x2+2x恒成立；；∴；∴实数a的取值范围为（）．故答案为：．14．（5分）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（，）∪（，1）．【解答】解：①当点P与短轴的顶点重合时，△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2=F1P，∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F1F2P，此时a﹣c＜2c，解得a＜3c，所以离心率e＞；当e=时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠；同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e＞且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P；这样，总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e∈（，）∪（，1）故答案为：（，）∪（，1）二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知p：x2﹣8x﹣20≤0；q：1﹣m2≤x≤1+m2．（Ⅰ）若p是q的必要条件，求m的取值范围；（Ⅱ）若￢p是￢q的必要不充分条件，求m的取值范围．【解答】解：由x2﹣8x﹣20≤0得﹣2≤x≤10，即p：﹣2≤x≤10，由x2+2x+1﹣m2≤0得[x+（1﹣m）][x+（1+m）]≤0，q：1﹣m2≤x≤1+m2．（Ⅰ）若p是q的必要条件，则，即，即m2≤3，解得≤m≤，即m的取值范围是[，]．（Ⅱ）∵￢p是￢q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件．即，即m2≥9，解得m≥3或m≤﹣3．即m的取值范围是m≥3或m≤﹣3．16．（14分）已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点是F（﹣1，0）．（1）求椭圆的标准方程；（2）设Q是椭圆上的一点，过点F、Q的直线l与y轴交于点M，且=2，求直线l的斜率．【解答】解：（1）由题意：，所以椭圆方程为；（2）设Q（x0，y0），F（﹣1，0），设l：y=k（x+1），M（0，k），因为=2，即有（x0，y0﹣k）=2（﹣1﹣x0，﹣y0），得，所以，代入椭圆方程可得，．17．（14分）已知椭圆，设右焦点为F1，离心率为e．（1）若椭圆过点，，求椭圆的标准方程；（2）若椭圆的焦距为4，设A、B为椭圆上关于原点对称的两点，且A、B在圆O：x2+y2=4上，设直线AB的斜率为k，若，求e的取值范围．【解答】解：（1）因为，设，椭圆方程为：，因为椭圆过点，代入椭圆方程，得：，所以，椭圆方程为；（2）设直线AB的方程为：y=kx，由，即为，，若b=2，c=2，则a2=8，不合题意，所以，所以，又c=2，，，所以，所以，又e∈（0，1），所以．18．（16分）已知函数f（x）=ax3+bx+c的图象过点（0，﹣16），且在x=1处的切线方程是y=4x﹣18．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）若直线为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标；（3）若函数g（x）=x3+x2﹣lnx，记F（x）=f（x）﹣g（x），求函数y=F（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：（1）由题意：c=﹣16，∵f′（x）=3ax2+b，切线过（1，﹣14），∴，∴f（x）=x3+x﹣16；（2）设切点，∵f′（x）=3x2+1，∴，则切线方程：，∵切线过原点，∴，即切点坐标为（﹣2，﹣26）．∴切线方程为y+26=13（x+2），整理得y=13x；（3），则，解得：x＜1，∴F（x）在[，1]上为增函数，在[1，3]上为减函数，则F（x）的极大值为F（1）=﹣16，，F（3）=﹣9+3+ln3﹣16=﹣6+ln3﹣16＜﹣6+2﹣16=﹣20，则．∴F（x）max=F（1）=0，F（x）min=F（3）=﹣22+ln3．19．（16分）椭圆的一个焦点F1（﹣2，0），右准线方程x=8．（1）求椭圆的标准方程；（2）若M为右准线上的一点，A为椭圆C的左顶点，连接AM交椭圆于点P，求的取值范围；（3）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点Q是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AQ交l于点M．设直线OM的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，求证：k1k2为定值．【解答】解：（1）由题意：，所以：椭圆方程为；（2）由题意：A（﹣4，0），P（x0，y0），﹣4＜x0≤4，且，∴；（3）证明：设Q（x0，y0），则，则AQ方程为：y0x﹣（4+x0）y+4y0=0，令x=4得：，则，，，则．20．（16分）已知函数且x≠1）．（1）当a=0时，求函数f（x）的极小值；（2）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；（3）若∃x∈[e，e2]，使f（x）≤成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=0时，…（1分）x＞e则f（x）在（0，e）为减函数，在（e，+∞）为增函数，…（3分）所以f（x）=f（e）=e…（4分）极小值（2）∵函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，∴在（1，+∞）上恒成立…（5分）∴，令lnx=t（t＞0）…（6分），令则﹣a≤g（t）min…（7分）∴，则…（8分）所以a的最小值为…（9分）（2）方法一、∵∃x∈[e，e2]，使f（x）≤成立，∴…（10分）1°，由（1）知f（x）在[e，e2]为减函数，∴，∴…（11分）2°当，，∵…（12分）①当﹣a≥0，即a≤0f'（x）≥0在[e，e2]上恒成立，则f（x）在[e，e2]为增函数，∴f（x）min=f（e）=e﹣ae≤则（不合题意）…（13分）②当，则，∴，∴（不合题意）…（15分）综上所述：…（16分）方法二、由题意：等价于…（10分）∴，x∈[e，e2]…（11分）令则…（12分）∵e≤x≤e2⇒1≤lnx≤2⇒1≤ln2x≤44e≤4x≤4e2⇒﹣4e2≤4x≤﹣4e，∴1﹣4e2≤ln2x﹣4x≤4﹣4e＜0，∴φ'（x）＜0⇒φ（x）在[e，e2]上为减函数，…（14分）∴…（15分）∴…（16分）。
2014-2015年山东省潍坊市高三(上)期中数学试卷及参考答案(文科)
2014-2015学年山东省潍坊市高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={x|x=2k﹣1，k∈Z}，B={x|≤0}，则A∩B=（）A．[﹣1，3]B．{﹣1，3}C．{﹣1，1}D．{﹣1，1，3}2．（5分）若a、b、c为实数，则下列命题正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2C．若a＜b，则＞D．若a＞b＞0，则＞3．（5分）“直线x=2kπ（k∈Z）”是“函数f（x）=2sin（x+）图象的对称轴”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设等差数列{a n}的前n项为S n，已知a1=﹣11，a3+a7=﹣6，当S n取最小值时，n=（）A．5 B．6 C．7 D．85．（5分）若函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1）的大致图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的大致图象为（）A．B．C．D．6．（5分）△ABC中，∠C=90°，CA=CB=2，点M在边AB上，且满足=3，则•=（）A．B．1 C．2 D．7．（5分）若实数x，y满足不等式组，则目标函数z=x﹣2y的最大值是（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）已知函数f（x）=，若f（a）﹣f（﹣a）≤2f（1），则a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．[﹣1，1]D．[﹣2，2]9．（5分）已知函数f（x）=sin2x+cos2x﹣m在[0，]上有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．[1，2） C．（﹣1，2]D．[1，2]10．（5分）设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＜0，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，已知f（x）=x5﹣mx4﹣x2在区间（﹣1，2）上为“凸函数”，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．[﹣4，+∞）C．[，+∞）D．[﹣4，]二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=a n+，则{a n}的通项公式a n=．12．（5分）已知向量，满足||=1，||=3，|2﹣|=，则与的夹角为．13．（5分）已知函数f（x）=，则f（6）=．14．（5分）某中学举行升旗仪式，如图所示，在坡度为15°的看台上，从正对旗杆的一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离AB=10m，则旗杆CD的高度为m．15．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）满足：f（x+2）=f（x）+f（1），且当x∈[0，1]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：①f（1）=0；②直线x=﹣2为函数y=f（x）图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[4，5]是单调递递增；④若方程f（x）=m在[﹣3，﹣1]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣4．以上命题正确的是．（请把所有正确命题的序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（12分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，AC=AD=DE=2AB，且F是CD 的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE．17．（12分）已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），函数f（x）=•．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f（A）=，a=，S=，求b+c的值．△ABC18．（12分）已知命题p：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0，对∀x∈R恒成立；命题q：关于x的方程x2+（a﹣1）x+1=0的一个根在（0，1）上，另一个根在（1，2）上，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．19．（12分）已知S n是等比数列{a n}的前n项和，a1＞0，S1，S2，S3成等差数列，16是a2和a8的等比中项．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等差数列{b n}中，b1=1，前9项和等于27，令c n=2a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．20．（13分）某化工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂厂家的生产成本有以下三个方面：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的平均费用是每单位（x+﹣30）元（试剂的总产量为x单位，50≤x≤200）．（Ⅰ）把生产每单位试剂的成本表示为x的函数关系P（x），并求出P（x）的最小值；（Ⅱ）如果产品全部卖出，据测算销售额Q（x）（元）关于产量x（单位）的函数关系为Q（x）=1240x﹣x3，试问：当产量为多少时生产这批试剂的利润最高？21．（14分）已知函数f（x）=e x﹣1﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈（0，2]时，讨论函数F（x）=f（x）﹣xlnx零点的个数；（Ⅲ）若g（x）=ln（e x﹣1）﹣lnx，当a=1时，求证：f[g（x）]＜f（x）．2014-2015学年山东省潍坊市高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={x|x=2k﹣1，k∈Z}，B={x|≤0}，则A∩B=（）A．[﹣1，3]B．{﹣1，3}C．{﹣1，1}D．{﹣1，1，3}【解答】解：由B中不等式变形得：（x+1）（x﹣3）≤0，且x﹣3≠0，解得：﹣1≤x＜3，即B=[﹣1，3），∵A为奇数集合，∴A∩B={﹣1，1}，故选：C．2．（5分）若a、b、c为实数，则下列命题正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2C．若a＜b，则＞D．若a＞b＞0，则＞【解答】解：A．c=0时不成立；B．∵a＜b＜0，∴a2＞ab＞b2，正确；C．取a=﹣1，b=﹣2时，=﹣1，=﹣，则＞不成立；D．若a＞b＞0，则＜，因此不正确．故选：B．3．（5分）“直线x=2kπ（k∈Z）”是“函数f（x）=2sin（x+）图象的对称轴”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：f（x）=2sin（x+）=2cosx，其图象对称轴是x=kπ，k∈Z，“直线x=2kπ（k∈Z）”是“函数f（x）=2sin（x+）图象的对称轴”的充分不必要条件，故选：A．4．（5分）设等差数列{a n}的前n项为S n，已知a1=﹣11，a3+a7=﹣6，当S n取最小值时，n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：由等差数列的性质得，2a5=a3+a7=﹣6，则a5=﹣3，又a1=﹣11，所以d==2，所以a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣13，S n==n2﹣12n，所以当n=6时，S n取最小值，故选：B．5．（5分）若函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1）的大致图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的大致图象为（）A．B．C．D．【解答】解：由图象可知0＜a＜1且0＜f（0）＜1，即即解②得log a1＜log a b＜log a a，∵0＜a＜1∴由对数函数的单调性可知a＜b＜1，结合①可得a，b满足的关系为0＜a＜b＜1，由指数函数的图象和性质可知，g（x）=a x+b的图象是单调递减的，且一定在x 轴上方．故选：B．6．（5分）△ABC中，∠C=90°，CA=CB=2，点M在边AB上，且满足=3，则•=（）A．B．1 C．2 D．【解答】解：由题意得AB=2，△ABC是等腰直角三角形，•=（）•=0+=×=1．故选：B．7．（5分）若实数x，y满足不等式组，则目标函数z=x﹣2y的最大值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x﹣2y为，由图可知，当直线过C（2，）时，直线在y轴上的截距直线，z最大．∴．故选：A．8．（5分）已知函数f（x）=，若f（a）﹣f（﹣a）≤2f（1），则a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．[﹣1，1]D．[﹣2，2]【解答】解：∵f（1）=﹣3，∴f（a）﹣f（﹣a）≤﹣6，a≥0时，﹣a2﹣2a﹣[（﹣a）2+2a]≤﹣6，整理得：a2+2a﹣3≥0，解得：a≥1，a＜0时，a2﹣2a﹣[﹣（﹣a）2+2a]≤﹣6，整理得：a2﹣2a+3≤0，无解，故选：A．9．（5分）已知函数f（x）=sin2x+cos2x﹣m在[0，]上有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．[1，2） C．（﹣1，2]D．[1，2]【解答】解：由题意可得函数g（x）=2sin（2x+）与直线y=m在[0，]上两个交点．由于x∈[0，]，故2x+∈[，]，故g（x）∈[﹣1，2]．令2x+=t，则t∈[，]，函数y=h（t）=2sint 与直线y=m在[，]上有两个交点，如图：要使的两个函数图形有两个交点必须使得1≤m＜2，故选：B．10．（5分）设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＜0，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，已知f（x）=x5﹣mx4﹣x2在区间（﹣1，2）上为“凸函数”，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．[﹣4，+∞）C．[，+∞）D．[﹣4，]【解答】解：∵f（x）=x5﹣mx4﹣x2，∴f′（x）=x4﹣mx3﹣3x，∴f″（x）=x3﹣mx2﹣3（3分）若f（x）为区间（﹣1，3）上的“凸函数”，则有f″（x）=x3﹣mx2﹣3＜0在区间（﹣1，2）上恒成立，当x=0时，f″（0）=﹣3＜0，恒成立，当x≠0时，mx2＞x3﹣3，即m＞x﹣，设g（x）=x﹣，则g′（x）=1+=当x∈（0，2），g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，当x=2时，函数g（2）=2﹣=当x∈（﹣1，0），g（x）＜0，故函数g（x）在（﹣1，2）的最大值为g（2）=，故m≥，故实数m的取值范围为[，+∞]故选：C．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=a n+，则{a n}的通项公式a n=．【解答】解：已知数列{a n}的前n项和S n=a n+，①根据递推关系式：（n≥2）②所以：①﹣②得：整理得：数列{a n}是以a1为首项，公比为的等比数列．当n=1时，解得：a1=1所以：=故答案为：12．（5分）已知向量，满足||=1，||=3，|2﹣|=，则与的夹角为．【解答】解：设与的夹角为θ，则由题意可得4﹣4+=10，即4﹣4×1×3×cosθ+18=10，求得cosθ=，再结合θ∈[0，π），可得θ=，故答案为：．13．（5分）已知函数f（x）=，则f（6）=1．【解答】解：函数f（x）=，则f（6）=f（5）=f（4）==1．故答案为：1．14．（5分）某中学举行升旗仪式，如图所示，在坡度为15°的看台上，从正对旗杆的一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离AB=10m，则旗杆CD的高度为30m．【解答】解：如图所示，依题意可知∠PCB=45°，∠PBC=180°﹣60°﹣15°=105°∴∠CPB=180°﹣45°﹣105°=30°由正弦定理可知BP=•sin∠BCP=20米∴在Rt△BOP中，OP=PB•sin∠PBO=20×=30米即旗杆的高度为30米故答案为：30．15．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）满足：f（x+2）=f（x）+f（1），且当x∈[0，1]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：①f（1）=0；②直线x=﹣2为函数y=f（x）图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[4，5]是单调递递增；④若方程f（x）=m在[﹣3，﹣1]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣4．以上命题正确的是①②④．（请把所有正确命题的序号都填上）【解答】解：对于①，∵f（x+2）=f（x）+f（1），∴f（﹣1+2）=f（﹣1）+f（1），∴f（﹣1）=0，又f（x）为偶函数，∴f（﹣1）=f（1）=0，故①正确；且当x∈[0，1]时，y=f（x）单调递减，对于②，由①知f（1）=0，∴f（x+2）=f（x），∴y=f（x）为周期为2的偶函数，∴f（﹣2﹣x）=f（2+x）=f（﹣2+x），∴y=f（x）关于x=﹣2对称，故②正确；对于③，∵f（x+2）=f（x），∴y=f（x）为周期为2的函数，又x∈[0，1]时，y=f（x）单调递减，∴函数y=f（x）在[4，5]是单调递减函数，故③错误；对于④，∵偶函数y=f（x）在区间[0，1]上单调递减，∴y=f（x）在区间[﹣1，0]上单调递增，又y=f（x）为周期为2的函数，∴y=f（x）在区间[﹣3，﹣2]上单调递增，在区间[﹣2，﹣1]上单调递减，又y=f（x）关于x=﹣2对称，∴当方程f（x）=m在[﹣3，﹣1]上的两根为x1，x2时，x1+x2=﹣4，故④正确．综上所述，①②④正确．故答案为：①②④．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（12分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，AC=AD=DE=2AB，且F是CD 的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE．【解答】证明：（Ⅰ）取EC中点G，连BG，GF．∵F是CD的中点，∴FG∥DE，且FG=DE．又∵AB∥DE，且AB=DE．∴四边形ABGF为平行四边形．∴AF∥BG．又BG⊂平面BCE，AF⊄平面BCE．∴AF∥平面BCE．（Ⅱ）∵AB⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF．∵AB∥DE，∴AF⊥DE．又∵AC=AD，∴AF⊥CD．∵BG∥AF，∴BG⊥DE，BG⊥CD．∵CD∩DE=D，∴BG⊥平面CDE．∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE．17．（12分）已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），函数f（x）=•．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f（A）=，a=，S=，求b+c的值．△ABC【解答】解：（1）∵=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），∴f（x）=•=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+，令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，得到﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，则f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；（2）由f（A）=，得到sin（2A+）+=，即sin（2A+）=，∴2A+=，即A=，=，∵a=，S△ABC∴由三角形面积公式得：bcsinA=，即bc=2，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即3=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣6，即（b+c）2=9，解得：b+c=3．18．（12分）已知命题p：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0，对∀x∈R恒成立；命题q：关于x的方程x2+（a﹣1）x+1=0的一个根在（0，1）上，另一个根在（1，2）上，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：由命题p知，函数（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4的最大值小于0；a=2时，﹣4＜0，∴符合题意；a≠2时，则a需满足：，解得﹣2＜a＜2；∴命题p：﹣2＜a≤2；根据命题q，设f（x）=x2+（a﹣1）x+1，所以：，解得；∴命题q：；若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假：p真q假时，，∴；p假q真时，，∴a∈∅；∴实数a的取值范围为．19．（12分）已知S n是等比数列{a n}的前n项和，a1＞0，S1，S2，S3成等差数列，16是a2和a8的等比中项．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等差数列{b n}中，b1=1，前9项和等于27，令c n=2a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，已知S n是等比数列{a n}的前n项和，a1＞0，S4，S2，S3成等差数列，则：2S2=S3+S4解得：q=﹣2或1（舍去）由于：16是a2和a8的等比中项解得：a1=1所以：（Ⅱ）等差数列{b n}中，设公差为d，b1=1，前9项和等于27．则：解得：d=所以：令c n=2a n b n==（n+1）（﹣2）n﹣1T n=c1+c2+…+c n﹣1+c n=2•（﹣2）0+3•（﹣2）1+…+（n+1）（﹣2）n﹣1①﹣2T n=2•（﹣2）1+3•（﹣2）2+…+（n+1）（﹣2）n②①﹣②得：3]﹣（n+1）（﹣2）n解得：20．（13分）某化工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂厂家的生产成本有以下三个方面：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的平均费用是每单位（x+﹣30）元（试剂的总产量为x单位，50≤x≤200）．（Ⅰ）把生产每单位试剂的成本表示为x的函数关系P（x），并求出P（x）的最小值；（Ⅱ）如果产品全部卖出，据测算销售额Q（x）（元）关于产量x（单位）的函数关系为Q（x）=1240x﹣x3，试问：当产量为多少时生产这批试剂的利润最高？【解答】解：（Ⅰ）P（x）=[50x+7500+20x+x（x+﹣30）]÷x=x++40，∵50≤x≤200，∴x=90时，P（x）的最小值为220元；（Ⅱ）生产这批试剂的利润L（x）=1240x﹣x3﹣（x2+40x+8100），∴L′（x）=1200﹣x2﹣2x=﹣（x+120）（x﹣100），∴50≤x＜100时，L′（x）＞0，100＜x≤200时，L′（x）＜0，∴x=100时，函数取得极大值，也是最大值，即产量为100单位时生产这批试剂的利润最高．21．（14分）已知函数f（x）=e x﹣1﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈（0，2]时，讨论函数F（x）=f（x）﹣xlnx零点的个数；（Ⅲ）若g（x）=ln（e x﹣1）﹣lnx，当a=1时，求证：f[g（x）]＜f（x）．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为（﹣∞，+∞），a=1时，f′（x）=（e x﹣x﹣1）′′=e x ﹣1．由f′（x）＜0，得e x﹣1＜0，e x＜1，∴x＜0，所以函数的单调减区间为（﹣∞，0），单调增区间是（0，+∞）．（Ⅱ）函数F（x）=f（x）﹣xlnx的定义域为（0，+∞），由F（x）=0，得a=﹣lnx（x＞0），令h（x）=﹣lnx（x＞0），则h′（x）=，由于x＞0，e x﹣1＞0，可知当x＞1，h′（x）＞0；当0＜x＜1时，h′（x）＜0，故函数h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，2]上单调递增，故h（x）≥h（1）=e﹣1．又h（2）=当a=1时，对∀x＞0，有f（x）＞f（lna）=0，即e x﹣1＞x，即＞1，当e﹣1＜a＜＜e﹣1时，函数F（x）有两个不同的零点；当a=e﹣1或a=时，函数F（x）有且仅有一个零点；当a＜e﹣1或a＞时，函数F（x）没有零点．（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当a=1时f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（0）=0；∴对x＞0时，有f（x）＞0，则e x﹣1＞x；故对任意x＞0，g（x）=ln（e x﹣1）﹣lnx＞0；所以，要证f[g（x）]＜f（x），只需证：∀x＞0，g（x）＜x；只需证：∀x＞0，ln（e x﹣1）﹣lnx＜x；即证：ln（e x﹣1）＜lnx+lne x；即证：∀x＞0xe x＞e x﹣1；所以，只要证：∀x＞0xe x﹣e x+1＞0；令H（x）=xe x﹣e x+1，则H′（x）=xe x＞0；故函数H（x）在（0，+∞）上单调递增；∴H（x）＞H（0）=0；∴对∀x＞0，xe x﹣e x+1＞0成立，即g（x）＜x，∴f[g（x）]＜f（x）．。
江苏省常州市2024-2025学年高三第一(上)学期期中质量调研考试数学试卷+答案
常州市2024—2025学年第一学期高三期中质量调研数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干冷后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}26,3,1,0,2,3|A x x B =<=--，则A B = （）A ．{}1,0-B ．{}0,2C ．{}3,1,0--D ．{}1,0,2-2．已知a ，b ∈R ，则“e a b =”是“ln a b =”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．已知复数z 满足22i 10z z --=，则z z -=（）A ．2i-B ．2iC ．0D ．24．有甲、乙等5名同学咨询数学史知识竞赛分数.教师说：甲不是5人中分数最高的，乙不是5人中分数最低的，而且5人的分数互不相同.则这5名同学的可能排名有（）A ．42种B ．72种C ．78种D ．120种5．已知,αβ是两个不同的平面，a ，b 是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线l α⊥的是（）A ．,//l αββ⊥B ．,//l a a α⊥C ．//,l a a α⊥D ．,,,l a l b a b αα⊥⊥⊂⊂6．已知函数()co ()s 0f x x ωω=>的最小正周期为T .若2π4πT <<，且曲线()y f x =关于点3π04⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则()πf =（）A ．12B ．12-C D ．7．已知(),0,παβ∈，且()2cos 10ααβ=+=，则cos β=（）A 1010B ．1010C ．50D ．91050-8．已知函数()()log 2a f x ax =-（0a >，且1a ≠）.[]1,2x ∃∈，使得()1f x ≥成立，则实数a 的取值范围是（）A ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．(]2,11,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．(]1,2D ．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知平面内两个单位向量,a b的夹角为θ，则下列结论正确的有（）A ．()()a b a b +⊥- B ．a b +的取值范围为[]0,2C ．若a b -= π3θ=D ．a在b 上的投影向量为a b10．甲、乙两选手进行象棋比赛，有3局2胜制、5局3胜制两种方案.设每局比赛甲获胜的概率为()01p p <<，且每局比赛的结果互不影响，则下列结论正确的有（）A ．若采用3局2胜制，则甲获胜的概率是()232p p -B ．若采用5局3胜制，则甲以3：1获胜的概率是()351p p -C ．若0.6p =，甲在5局3胜制中比在3局2胜制中获胜的概率大D ．若0.6p =，采用5局3胜制，在甲获胜的条件下比赛局数的数学期望是311．已知函数()()()()2f x x a x b a b =--<，2为()f x 的极大值点，则下列结论正确的有（）A ．2a =B ．若4为函数()f x 的极小值点，则4b =C ．若()f x 在2,3b b ⎛⎫⎪⎝⎭内有最小值，则b 的取值范围是8,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．若()40f x +=有三个互不相等的实数解，则b 的取值范围是()5,+∞三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知正数,x y 满足24xy x y =+，则xy 的最小值为.13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()cos ,sin P αα，将线段OP 绕原点O 按顺时针方向旋转π2至线段OP '.若1cos 3α=，则点P '的纵坐标为.14．已知一个母线长为1，底面半径为r 的圆锥形密闭容器（容器壁厚度忽略不计），能够被整体放入该容器的球的体积最大时，r =.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．某研究性学习小组为研究两个变量x 和y 之间的关系，测量了对应的五组数据如下表：x23456y47121314(1)求y 关于x 的经验回归方程；(2)请估计 3.5x =时，对应的y 值.附：在经验回归方程ˆˆˆya bx =+中，1221ˆˆˆ,niii nii x ynx y b ay bx xnx==-⋅==--∑∑，其中y x 为样本平均值.16．在锐角ABC V 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知1cos 24sin sin sin A A B C -=.(1)求11tan tan B C+的值；(2)若2a =，求ABC V 的面积.17．某校由5名教师组成校本课程讲师团，其中2人有校本课程开设经验，3人没有校本课程开设经验.先从这5名教师中随机抽选2名教师开设校本课程，该期校本课程结束后，再从这5名教师中随机抽选2名教师开设下一期校本课程.(1)在第一次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数记为X ，求X 的分布列和数学期望；(2)求“在第二次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是1”的概率.18．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x <时，()()e 2xf x x =+.(1)求()f x 的解析式；(2)求曲线()y f x =在2x =处的切线方程；(3)若12,x x ∀∈R ，都有()()12f x f x m -≤，求实数m 的最小值.19．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知1CD ⊥底面ABCD ，//AB CD ，AB AD ⊥，222AB AD CD ===，1AA =E 是线段1BD 上的动点.(1)求证：11//B C 平面1BCD ；(2)求直线AE 与1BB 所成角的余弦值的最大值；(3)在线段1BD 上是否存在与B 不重合的点E ，使得二面角B AE C --若存在，求线段BE 的长；若不存在，请说明理由.1．D【分析】解不等式化简集合A ，再利用交集的定义求解即得.【详解】依题意，{|A x x =<<，而{}3,1,0,2,3B =--，所以{}1,0,2A B =- .故选：D 2．A【分析】根据指数式和对数式以及充分、必要条件等知识来确定正确答案.【详解】根据指数式和对数式的互化公式可知e ln a b a b =⇔=，所以“e a b =”是“ln a b =”的充要条件.故选：A 3．B【分析】设i,,z a b a b ∈=+R ，代入已知条件，求得,a b ，进而求得z z -.【详解】设i,,z a b a b ∈=+R ，则()()2i 2i i 10a b a b +-+-=，()222121i 0a b b a b -+-+-=，所以()()221010a b a b ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩，解得0,1a b ==，所以i,i,2i z z z z ==--=.故选：B 4．C【分析】先计算55A ，然后减去不符合题意的情况，由此求得正确答案.【详解】不符合题意的情况是：甲是最高分或乙是最低分，所以这5名同学的可能排名有54435443A A A A 78--+=种.故选：C 5．C【分析】根据直线、平面的位置关系的判断可得结果.【详解】对于A ，,//l αββ⊥，则l 与α相交、平行或l α⊂，故A 错误；对于B ，,//l a a α⊥，则l 与α相交、平行或l α⊂，故B 错误；对于C ，//,l a a α⊥，由线面垂直的性质知l α⊥，故C 正确；对于D ，,,,l a l b a b αα⊥⊥⊂⊂，则l 与α相交、平行或l α⊂，故D 错误.故选：C.6．B【分析】根据余弦函数的周期公式以及对称中心，建立方程，可得答案.【详解】由()cos f x x ω=，则2πT ω=，由2π4πT <<，则2π2π4πω<<，解得112ω<<，由()cos f x x ω=，则当()ππZ 2x k k ω=+∈时，函数()f x 取得对称中心，由题意可得()3πππZ 42k k ω=+∈，化简可得()24Z 33k k ω=+∈，当0k =时，21,132ω⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，显然当0k ≠时，241,132k ω+⎛⎫=∉ ⎪⎝⎭，所以()2cos 3f x x =，则()2π1πcos32f ==-.故选：B.7．B【分析】根据同角三角函数的平方式，求得已知角的正弦值和余弦值，结合余弦的差角公式，可得答案.【详解】由()0,πα∈，则sin 5α=，223cos 2cos sin 5ααα=-=-，4sin 22sin cos 5ααα==，由π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，易知π2,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解得ππ,42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由()0,πβ∈，π3π,42αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，且()sin 0αβ+>，则π,π4αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，可得()cos 10αβ+==±，所以()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+-=+++7221010=±⨯当cos 050β=>时，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 50β=，此时()cos 010αβ+=>，则ππ,42αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由2244cos 2cos sin 125βββ=-=-，117sin 22sin cos 125βββ==，则π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，易知π2,π2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解得ππ,42β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，此时ππ,42αβ⎛⎫+∉ ⎪⎝⎭cos 50β≠；当cos 0β=<时，π,π2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin β==，此时()cos 0αβ+=<，则π,π2αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由224cos 2cos sin 5βββ=-=-，3sin 22sin cos 5βββ==，则π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，易知π2,π2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解得ππ,42β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 10β=-；故选：B.8．A【分析】根据复合函数的单调性以及函数的最值进行分析，从而确定正确答案.【详解】2y ax =-在[]1,2单调递减，2x ∴=时，220a ->,即1a <,另外，0<<1时，log a y t =单调递减，()f x ∴在[]1,2单调递增，()()()max 22log 221,22,.3a f x f a a a a ∴==-≥∴-≤∴≥综上所述，a 的取值范围是2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：A 9．AB【分析】根据向量垂直、模、夹角、投影向量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，由于()()220a b a b a b +⋅-=-= ，所以()()a b a b +⊥-，所以A 选项正确.B 选项，a b +==，[][][]cos 1,1,22cos 0,40,2θθ∈-+∈∈，所以B 选项正确.C 选项，a b -=解得1cos ,0π2θθ=-≤≤，所以2π3θ=，所以C 选项错误.D 选项，a在b 上的投影向量为()cos a b b b b bθ⋅⋅= ，所以D 选项错误.故选：AB 10．AC【分析】对于选项A:采用3局2胜制，甲获胜分为一二局甲胜，一三局甲胜，二三局甲胜三种情况分别计算求和即可；对于选项B:采用5局3胜制，要让甲以3：1获胜，则前三局中甲胜两局，第四局甲胜；对于选项C:分别计算5局3胜制与3局2胜制甲胜的概率，比较即可；对于选项D:在甲获胜的条件下比赛局数3,4,5X =，借助条件概率分别计算进而求出期望即可判断.【详解】对于选项A:若采用3局2胜制，甲获胜分为一二局甲胜，一三局甲胜，二三局甲胜三种情况，则最终甲胜的概率为()2221(1)(1)32P p p p p p p p p =+-+-=-，故选项A 正确；对于选项B:若采用5局3胜制，要让甲以3：1获胜，则前三局甲胜两局，最后一局甲胜，则甲以3：1获胜的概率是22323C (1)3(1)P p p p p p =-=-，故选项B 错误；对于选项C:因为0.6p =，结合选项A 可知，若采用3局2胜制，最终甲胜的概率为()()221320.6320.60.648P p p =-=-⨯=，若采用5局3胜制，甲获胜的比分为3:0,3:1,3:2三种情况，所以甲在5局3胜制中甲获胜的概率是3222223340.6+C 0.6(10.6)0.6C 0.6(10.6)0.60.68256P =⨯⨯-⨯+⨯⨯-⨯=因为0.682560.648>，所以甲在5局3胜制中比在3局2胜制中获胜的概率大，故选项C 正确；对于选项D:因为0.6p =，且采用5局3胜制，甲获胜的概率为30.68256P =在甲获胜的条件下比赛局数3,4,5X =由条件概率公式可知：()330.60.21630.68256P X P ===;()2233C 0.6(10.6)0.60.259240.68256P X P ⨯⨯-⨯===;()22243C 0.6(10.6)0.60.2073650.68256P X P ⨯⨯-⨯===;所以在甲获胜的条件下比赛局数的数学期望是()0.2160.25920.2073634540.682560.682560.68256E X =⨯+⨯+⨯≈,故选项D 错误.故选：AC.11．AD【分析】先求得()f x '，然后根据函数的极值、最值、方程的解等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】对于A ，()f x '=()()()()()2222x a x b x a x a x b x a --+-=--+-，()()32x a x a b =---，()0f x '=，则x a =或23a b +，而a b <，则23a ba +<，令()0f x '>，得x a <或23x a b<+；令()0f x '<，得23a b a x +<<；()f x 在(),a -∞单调递增，2,3a b a +⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，2,3a b +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，()f x \的极大值点为a ，2a ∴=，A 对.对于B ，若4为极小值点，则2243b+=，则5b =，B 错.对于C ()f x 在2,3b b ⎛⎫⎪⎝⎭内有最小值，则()f x 在223b +处取得最小值223b f +⎛⎫ ⎪⎝⎭，()()()22f x x x b =--，22233b b f f +⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即223222222222433333b b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝-⎭⎝++-⎛⎫--⎭-- ⎪⎝⎭，()()2332b b b ≤--，83b ∴≥，故C 错误.对于D ()4f x =-有三个互不相等的实数解，()20f =，则32443b -⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，故5b >，故D 正确；故选：AD【点睛】关键点睛：导数的准确求解与符号分析：通过求导并分析导数的符号变化，是判断函数单调性和极值点的关键步骤.确保每一步的符号处理准确，是得出正确答案的基础.条件验证的完整性：对于多项选择题，通过完整地验证每个选项的条件，可以确保答案的准确性.尤其是涉及极值点和方程解的条件时，要特别注意每个条件的符号和数量判断.12．4【分析】利用基本不等式来求得正确答案.【详解】依题意，24xy x y =+≥=，当且仅当44x y ==时等号成立.)22,4xy xy ≥≥≥≥，所以xy 的最小值为4.故答案为：413．13-【分析】根据任意角三角函数的定义，结合诱导公式，可得答案.【详解】由题意可知，终边为OP 的角为α，则终边为OP '的角为π2α-，点P '的纵坐标为π1sin cos 23αα⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭.故答案为：13-.14．12-【分析】通过求圆锥轴截面的内切圆的方法，结合导数来求得正确答案.【详解】如图所示，圆锥的轴截面是PAB ，设PAB 内切圆的半径为R ，也即圆锥内切球的半径为R ，则()11211222r r R ⨯=⨯++⋅，解得11r R r==+设()()()()()()()2232322310,11r r r r r r r f r r f r r r -+---='>=++()()22212211r r r r r r r r ⎛- +-⎝⎭⎝⎭=-⋅=-⋅++()221r r r r ⎛+ ⎝⎭⎝⎭=-⋅+,所以()f r 在10,2⎛- ⎝⎭上()()0,f rf r '>单调递增，在区间1,2∞⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭上()()0,f r f r '<单调递减，所以当r =()f r 取得极大值也即是最大值，所以当r =.【点睛】关键点睛：几何模型的准确构造：通过构造圆锥轴截面并确定内切球的半径，是解题的关键.几何模型的正确设定为后续的导数求解提供了基础.导数与单调性的结合应用：在求解极值问题时，利用导数分析函数的单调性，是找到最大值的有效方法.通过对函数的求导，并结合单调区间的判断，可以确保解的准确性.15．(1) 2.60.4y x =-(2)8.7【分析】（1）根据回归方程的求法求得正确答案.（2）利用回归方程求得预测值.【详解】（1）23456471213144,1055x y ++++++++====，1222222221ˆ243741251361454102345654n ii i ni i x y nx y b x nx==-⋅⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯==++++-⨯-∑∑26 2.610==， 10 2.640.4a=-⨯=-，所以回归方程为 2.60.4y x =-.（2） 3.5x =时， 2.6 3.50.48.7y =⨯-=.16．(1)2(2)1【分析】（1）根据二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式以及同角三角函数商的关系求解即可；（2）利用正弦定理以及三角形面积公式求解即可.【详解】（1）由1cos 24sin sin sin A A B C -=，得22sin 4sin sin sin A A B C =，即sin 2sin sin A B C =，∴()sin 2sin sin B C B C +=，∴sin cos cos sin 2sin sin B C B C B C +=，ABC V 为锐角三角形，∴cos 0B ≠，cos 0C ≠，∴sin cos cos sin 2sin sin cos cos cos cos B C B C B C B C B C+=，整理得tan tan 2tan tan B C B C +=，即tan tan 2tan tan B C B C +=，∴112tan tan B C+=；（2）由（1）知sin 2sin sin A B C =，根据正弦定理得2sin a b C =，2a =，∴sin 1b C =，∴11sin 21122ABC S ab C ==⨯⨯= .17．(1)分布列见解析，数学期望为45(2)35【分析】（1）根据超几何分布的知识求得分布列并求得数学期望.（2）利用全概率公式来求得正确答案.【详解】（1）X 的可能取值为0,1,2，()()()021120232323222555C C C C C C 36310,1,2C 10C 105C 10P X P X P X ==========，所以随机变量X 的分布列为X012P 31035110其数学期望为()3314012105105E X =⨯+⨯+⨯=.（2）用B 表示事件“在第二次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是1”，用()0,1,2i A i =表示事件“第一次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是i ”，012,,A A A 两两互斥，20i i A ==Ω∑，由(1)知()()()012331,,10510P A P A P A ===，由全概率公式得，()()()20|i i i P B P A P B A ==∑111111233241222555C C C C C C 331310C 5C 5C 5=⨯+⨯+⨯=，所以在第二次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是1的概率为35.18．(1)()()e 2,00,02,0ex x x x f x x x x ⎧⎪+<⎪==⎨⎪-⎪>⎩(2)2212e e y x =-(3)4【分析】（1）根据函数的奇偶性求得()f x 的解析式.（2）根据切点和斜率求得切线方程.（3）先求得()f x 的值域，由此求得m 的最小值.【详解】（1）依题意，函数()f x 是定义域为的奇函数，所以()00f =，当>0时，()()()2e 2e x xx f x f x x --=--=--+=，所以()()e 2,00,02,0ex x x x f x x x x ⎧⎪+<⎪==⎨⎪-⎪>⎩.（2）>0时，()f x '=()2e e 23e e x x x xx x ---=，()212e f '=，切点()2,0，()f x ∴在=2处的切线方程为()212e y x =-2212e ex =-.（3）当=0时，()00f =.当0x <时，()f x '=()e 3x x +，所以，当3x <-时，′<0，函数()f x 单调递减，且()0f x <.当30x -<<时，′>0，函数()f x 单调递增，且当()0, 2.x f x →→所以，当3x =-时，函数()f x 取得最小值3e --，所以，当0x <时，()f x 的取值范围是)3e ,2.-⎡-⎣因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数，所以，当>0时，()()0,x f x f x -<=--，可得()f x 的取值范围是(32,e .-⎤-⎦所以函数()f x 的值域为()2,2-.由题12,x x ∀∈R ，都有()()12,f x f x m -≤其中()()12f x f x -的取值范围是[)0,4，所以实数m 的最小值为4.【点睛】思路点睛：利用函数性质求解析式：首先根据奇函数的性质和已知条件，确定函数的解析式，这一步奠定了后续求解的基础.利用导数求切线方程：通过求导得到函数在特定点的斜率，从而求得曲线的切线方程.单调性与值域的结合：通过分析函数的单调性，确定其值域，从而找到实数m 的最小值.19．(1)证明见解析(2)215(3)存在，BE =【分析】（1）根据四棱柱的几何性质，结合线面判定定理，可得答案；（2）根据直线与其斜交平面内的直线的交角的取值范围，求得平面与直线的夹角，结合法向量与线面距，可得答案；（3）求得组成二面角的两平面的法向量，结合夹角的向量公式，建立方程，可得答案.【详解】（1）在四棱柱1111ABCD A B C D -中，易知11//B C BC ，因为11B C ⊄平面1BCD ，⊂BC 平面1BCD ，所以11//B C 平面1BCD .（2）取AB 中点F ，连接CF ，在梯形ABCD 中，因为2AB CD =，//AB CD ，所以//AF CD ，AF CD =，则在AFCD 中，//AD CF ，由AD CD ⊥，则CD CF ⊥，易知1,,CD CF CD 两两垂直，分别以1,,CD CF CD 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =1DD =因为1CD ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以1CD CD ⊥，在1Rt CDD中，12CD ==，则()1,1,0A ，()1,1,0B -，()10,0,2D ，()10,1,2A ，取()2,0,0AB =- ，()11,1,2AD =-- ，()11,0,2AA =- ，设平面1ABD 的法向量为(),,n x y z = ，可得100n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，则2020x x y z -=⎧⎨--+=⎩，取1z =，则0,2x y ==，所以平面1ABD 的一个法向量()0,2,1n = ，设点1A 到平面1ABD的距离1255AA n d n ⋅== ，设直线1AA 与平面1ABD 的夹角为θ，则12sin 5d AA θ==，即cos θ=因为在四棱柱1111ABCD A B C D -中，11//AABB ，且AE ⊂平面1ABD ，所以当直线AE 与1BB 所成角为θ时，其余弦值取得最大值，即为5.（3）由题意作图如下：则()1,1,0A ，()1,1,0B -，()0,0,0C ，()10,0,2D ，取()1,1,0CA = ，()2,0,0AB =- ，()11,1,2BD =- ，因为1E BD ∈，所以1//BE BD ，则()1,,2BE BD λλλλ==- ，01λ<≤，()2,,2AE AB BE λλλ=+=-- ，设平面AEB 的法向量()1111,,m x y z = ，可得1100m AB m AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，则()111120220x x y z λλλ-=⎧⎨--+=⎩，令11z =，则1102x y =⎧⎨=⎩，所以平面AEB 的一个法向量()10,2,1m = ，设平面AEC 的法向量()2222,,m x y z = ，可得2200m CA m AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，则()222220220x y x y z λλλ+=⎧⎨--+=⎩，令21z λ=-+，则22x y λλ=⎧⎨=-⎩，所以平面AEC 的一个法向量()2,,1m λλλ=-- ，设二面角B AE C --的大小为α，则1212cos m m m m α⋅==⋅ 由二面角B AE C --cos α=55=，化简可得2320λλ-=，解得23λ=或0，由01λ<≤，则23λ=，故存在，122633BE BD == .。
江苏省常州市武进区2016届高三上学期期中考试数学(文)试卷
2016届第一学期期中考试高三文科数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1．已知全集{}18U x x =-≤≤，{}213A x x x U =-<∈，，则U C A = ▲ ．2．复数11+2i(i 是虚数单位)的实部为 ▲ ．3．函数()f x =的定义域为 ▲ ．4．对任意非零实数,a b ，若a b ⊗的运算原理如右图程序框 图所示，则32⊗= ▲ ．5．若(3,4)AB =，A 点的坐标为()2,1--，则B 点的坐标 为 ▲ ．6．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下列四个命题：①若αβ∥，则l m ⊥；②若αβ⊥，则l m ∥；③若l m ∥，则αβ⊥；④若l m ⊥，则αβ∥.以上命题中，正确命题的序号是 ▲ ．7．等比数列{}n a 的前3项的和等于首项的3倍，则该等比数列的公比 为 ▲ ．8．如右图，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线VB 上，且1VC =，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是 ▲ ．9．已知长方体从同一顶点出发的三条棱长分别为a ，b ，c ，且a ，2b ， c，则b 的最大值为 ▲ ．10．设函数()cos sin f x a b x c x =++的图象过点()0,1和点,12π⎛⎫⎪⎝⎭，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2f x <，则实数a 的取值范围是 ▲ ．11．已知平面上三个向量OA ，OB ，OC ，满足1OA =，3OB =，2OC =，0OA OB ⋅=，则CA CB ⋅的最大值为 ▲ ．12．已知函数()=x f x e ，且函数()f x 与()g x 的图像关于点()1,2对称，若()()f x g x m≥+2015．11第4题图CABV第8题图恒成立，则m 的取值范围为 ▲ ．13．若数列{}n a 满足()1122n n n a a a n -++≥≥，则称数列{}n a 为凹数列．已知等差数列{}n b 的公差为d ，14b =，且数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是凹数列，则d 的取值范围为 ▲ ． 14．设()f x 是定义在R 上的偶函数，x R ∀∈，都有(2)(2)f x f x -=+，且当[0,2]x ∈时，()22xf x =-，若函数()()log (1)a g x f x x =-+()0,1a a >≠在区间()1,9-内恰有三个不同零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）已知向量(sin ,cos ),(cos ,cos )(0)m x x n x x ωωωωω==>，设函数()f x m n =⋅，且()f x 的最小正周期为π．⑴ 求()f x 的单调递增区间；⑵ 先将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，然后将图象向下平移1个单位，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =在区间上3[0,]4π上的取值范围．16．（本题满分14分）在如图所示的几何体中， 四边形ABCD 是正方形，EA ⊥面ABCD ，EF ∥AD ，且2AB =，AE =1EF =.⑴ 若AC 与BD 交于点O ，求证: EO ∥平面FCD ； ⑵ 求证：DE ⊥平面ABF .ABCDOEF已知函数x x x f ln )(=，x e ax x x g )3()(2-+-=（a 为实数）． ⑴ 求)(x f 在区间[](),10t t t +>上的最小值()h t ；⑵ 若对任意1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()2xg x e f x ≥成立，求实数a 的取值范围．18．（本题满分16分）如图，扇形AOB 是一个观光区的平面示意图，其中∠AOB 的圆心角为23π，半径OA 为1 km .为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A 到出口B 的观光道路，道路由弧AC 、线段CD 及线段BD 组成，其中D 点在线段OB 上(不包括端点)，且CD ∥AO .设AOC θ∠=.⑴ 用θ表示CD 的长度，并写出θ的取值范围； ⑵ 当θ为何值时，观光道路最长？B CDOθ已知函数kx x x x f ++-=221)(，且定义域为()0,2. ⑴ 求关于x 的方程()5f x kx =+在()0,2上的解；⑵ 若)(x f 是定义域()0,2上的单调函数，求实数k 的取值范围；⑶ 若关于x 的方程0)(=x f 在()0,2上有两个不同的解21,x x ，求k 的取值范围.20．（本题满分16分）已知非零数列{}n a 满足11a =，()*112n n n n a a a a n N ++=-∈.⑴ 求证：数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列；⑵若关于n 的不等式222121113111log 1log 1log 1nm n n n a a a +++<-⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭有解，求整数m 的最小值； ⑶ 在数列()111n n a ⎧⎫+--⎨⎬⎩⎭中，是否存在首项、第r 项、第s 项()16r s <<≤，使得这三项依次构成等差数列？若存在，求出所有的r 、s ；若不存在，请说明理由.高三文科数学参考答案及评分意见一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．[]2,8 2．153．(,3][1,)-∞-+∞ 4．2 5．()1,3 6．①③ 7．－2或18 9．2 10．(+ 11．2+ 12．(],24e -∞- 13．(,4]-∞ 14．11(,)(3,7)95二、解答题：（本大题共6道题，计90分） 15．（本小题满分14分） 解：⑴()211cos 2=sin cos cos sin 222xf x m n x x x x ωωωωω+⋅=⋅+=+1242x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， ………………………2分 又22T ππω==，1ω∴=， ………………………4分 22k π-+故()f x 的单调递增区间是[,],88k k k Z ππ-++∈ ，………………………7分⑵111())())4242f x x f x x ππ=++−−−−−−−→=++纵坐标不变横坐标伸长为原来的2倍……9分11())42g x x π−−−−−−→=+-向下平移个单位， ………………………11分 3[0,],[,]444x x ππππ∈∴+∈Q sin()[0,1]4x π∴+∈，111)[]4222x π+-∈--，()g x 的取值范围为11[]22-.…………14分 16．（本题满分14分）证明：⑴如图，取CD 中点G ，连OG ，FG ，在CAD ∆中，因为G O ,分别是CD CA ,的中点，∴∥OG AD ，且12OG AD =，……………………2分又由已知得，∥EF AD ，且12EF AD =， ∴OG EF =//，∴四边形OGFE 是平行四边形，∴FG EO //， ………………………5分又FCD EO 平面⊄，FCD FG 平面⊂，∴FCD EO 平面// ………7分 ⑵设EDAF M =，在四边形ADFE 中，EF EAEA AD=，90FEA EAD ∠=∠=︒，FEA EAD ∴∆∆，EAF ADE ∴∠=∠，90AMD ∴∠=︒，即DE AF ⊥，……………10分又EA ⊥面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，EA AB ∴⊥， 又AD AB ⊥，AB ∴⊥面EADF AB DE ∴⊥， ………………………12分 DE AF ⊥，ABAF A =，∴DE ⊥平面ABF . ………………………14分17．（本题满分14分）解：⑴()ln 1f x x '=+， ………1分①当et 1≥时，在区间(),1t t +上()f x 为增函数， 所以min ()()ln f x f t t t == ………3分 ②当10t e <<时，在区间1(,)t e上()f x 为减函数，在区间1,1t e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上()f x 为增函数，所以min 11()()f x f e e==- ………5分()11,01ln ,t e eh t t t t e ⎧-<<⎪⎪∴=⎨⎪≤⎪⎩； …………6分⑵由()()2xg x e f x ≥，可得：232ln x ax x x -+-≥223ln x x x ax =-+-，312ln ,,a x x x e x e ⎡⎤∴≥++∈⎢⎥⎣⎦， 设()312ln ,,h x x x x e x e ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，则()max a h x ≥，………………………8分 ()()()'2231321x x h x x x x+-=-+=， ∴当11x e≤<时，()'0h x <，()h x 单调递减；当1x e <≤时，()'0h x >，()h x 单调递增，()()max 1max ,h x h h e e ⎧⎫⎛⎫∴=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭， ………………………10分1132h e e e ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，()32h e e e =++，()1h h e e ⎛⎫∴> ⎪⎝⎭，()max 1132h x h e e e⎛⎫∴==+- ⎪⎝⎭， ………………………12分132a e e ∴≥+-，故实数a 的取值范围为132,e e ⎡⎫+-+∞⎪⎢⎣⎭. ………………………14分18．（本题满分16分）解：⑴解：(1) 在△OCD 中，由正弦定理，得sin sin sin CD OD COCOD DCO CDO==∠∠∠ (2)分又CD ∥AO ，CO ＝1，∠AOC θ=， 所以2cos3CD πθθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，OD θ=. ………………………4分因为OD ＜OB ，所以sin θ<，所以03πθ<<.所以cosCD θθ=+，θ的取值范围为0,3π⎛⎫⎪⎝⎭.………………………7分 ⑵设道路长度为()L θ，则()1cos cos 1L BD CD AC θθθθθθθθ=++=-+++=-++，0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ………………………9分()'1sinL θθθ=-)cos 1sin 6πθθθ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭， (11)分由()'0L θ=，得sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.又0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以6πθ=.当06θπ<<时， '0y >，∴函数在(0,)6π上单调递增，当63θππ<<时，'0y <，∴函数在(,)63ππ上单调递减 ，………………………14分所以当6πθ=时，()L θ达到最大值，观光道路最长．答：当6πθ=时，观光道路最长． ………………………16分19．（本题满分16分）解：⑴，kx x f =∴)(+3当10≤<x 时，2分 当21<<x 时，，原方程等价于：,22=x 此时该方程的解为 综上可知：方程kx x f =)(+3在（0，2………………4分]1,0(1)2,1(122{)(∈+∈-+=∴x kxx kx x x f ………………5分可得：若)(x f 是单调递增函数，则………………7分若)(x f 是单调递减函数，则 8-≤∴k 此时，综上可知：)(x f 是单调函数时k 的取值范围为),0(]8,(+∞⋃--∞.………9分 ⑶[解法一]：当10≤<x 时，1-=kx ，① 当21<<x 时，0122=-+kx x ，② 若k =0故0=k 不合题意 ……………11分 时，方程②中,082>+=∆k 故方程②中一根在()1,2内另一根不在()1,2内，设12)(2-+=kx x x g ，而又1-≤k ，故 ……………… 13分 （II ）当(]10,1k-∉时，即10k -<<或0k >时，方程②在()1,2有两个不同解，而1212x x =-<，则方程②必有负根，不合题意. ……………… 15分 综上，712k -<<-. ……………… 16分 法二、()0f x =，即 221x x kx -+=-，22221,1211,01x x x x x ⎧-≤<-+=⎨<<⎩， 故整理得，12,121,01x x xk x x⎧-≤<⎪⎪∴-=⎨⎪<<⎪⎩，分析函数的单调性及其取值情况易得解（用图像法做，必须画出草图，再用必要文字说明） 利用该分段函数的图像得712k -<<-. 20．（本题满分16分）解：⑴由112n n n n a a a a ++=-，得1121n n a a +=+，即111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，……………2分 所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为2的等比数列；………………………4分 ⑵由⑴可得，112n n a +=，故111312m n n n n+++<-+++，…………………5分 设()11112f n n n n n=++++++， 则()()1111110212212122f n f n n n n n n +-=+-=->+++++， 所以()f n 单调递增， ………………………8分 则()()min 112f n f ==，于是132m <-，即72m >， 故整数m 的最小值为4， ………………………10分 ⑶由上面得，121n n a =-，则设()()11121n n nnn b a =+--=--， 要使得1b ，r b ，s b 成等差数列，即12s r b b b +=，即()()1321221s r s r ++--=--，得()()1221213s rs r +-=----，…………………12分1s r ≥+， ()()12130s r ∴----≥，()()11111s rs r =+⎧⎪⎪∴-=⎨⎪-=-⎪⎩，故s 为偶数，r 为偶数， ………………………14分36s ≤<，4s ∴=，3r =或6s =，5r =. ………………………16分。
江苏省常州市武进区2015届高三上学期期中考试数学理试
常州市武进区2015届高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1．已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥2}，则集合∁U（A∪B）={x|0＜x＜2}．考点：交、并、补集的混合运算．专题：函数的性质及应用．分析：本题可以先求根据集合A、B求出集合A∪B，再求出集合（A∪B），得到本题结论．解答：解：∵A={x|x≤0}，B={x|x≥2}，∴A∪B={x|x≤0或x≥2}，∴∁U（A∪B）={x|0＜x＜2}．故答案为：{x|0＜x＜2}．点评：本题考查了集合的并集运算和集合的交集，本题难度不大，属于基础题．2．函数y=sin xcos x的最小正周期是2．考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用二倍角的正弦公式可得函数f（x）=sinπx，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期性可得结论．解答：解：∵函数y=sin xcos x=sinπx，故函数的最小正周期是=2，故答案为：2．点评：本题主要考查二倍角的正弦公式、函数y=Asin（ωx+φ）的周期性，属于基础题．3．已知向量与共线，则实数x的值为1．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：根据向量平行的坐标表示，求出x的值即可．解答：解：∵向量与共线，∴2（3x﹣1）﹣4×1=0，解得x=1；∴实数x的值为1．故答案为：1．点评：本题考查了平面向量的坐标表示的应用问题，解题时应熟记公式，以便进行计算，是基础题．4．△ABC中，角A，B的对边分别为a，b，则“A＞B”是“a＞b”的充要条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：解三角形；简易逻辑．分析：运用三角形中的正弦定理推导，判断答案．解答：解：∵△ABC中，角A，B的对边分别为a，b，a＞b，∴根据正弦定理可得：2RsinA＞2RsinB，sinA＞sinB，∴A＞B又∵A＞B，∴sinA＞sinB，2RsinA＞2RsinB，即a＞b，∴根据充分必要条件的定义可以判断：“A＞B”是“a＞b”的充要条件，故答案为：充要点评：本题考查了解三角形，充分必要条件的定义，属于中档题．5．已知f（sinα+cosα）=sin2α，则的值为﹣．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：令sinα+cosα=t，可得sin2α=t2﹣1，﹣≤t≤．可得f（t）=t2﹣1，从而求得f（）的值．解答：解：令sinα+cosα=t，平方后化简可得sin2α=t2﹣1，再由﹣1≤sin2α≤1，可得﹣≤t≤．再由f（sinα+cosα）=sin2α，可得f（t）=t2﹣1，∴f（）=﹣1=﹣，故答案为：﹣．点评：本题主要考查用换元法求函数的解析式，注意换元中变量取值范围的变化，属于基础题．6．设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=3．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．解答：解：y=ax﹣ln（x+1）的导数，由在点（0，0）处的切线方程为y=2x，得，则a=3．故答案为：3．点评：本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视．7．若sin（﹣θ）=，则cos（+2θ）的值为﹣．考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：首先运用的诱导公式，再由二倍角的余弦公式：cos2α=2cos2α﹣1，即可得到．解答：解：由于sin（﹣θ）=，则cos（+θ）=sin（﹣θ）=，则有cos（+2θ）=cos2（+θ）=2cos2（+θ）﹣1=2×（）2﹣1=﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查诱导公式和二倍角的余弦公式及运用，考查运算能力，属于中档题．8．△ABC中，AB=AC，BC的边长为2，则的值为4．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据数量积的定义和三角函数判断求解．解答：解：在△ABC中，BC=2，AB=AC，设AB=AC=x，则2x＞2，x＞1，∴cosB==，所以=4xcosB=4x=4．故答案为4．点评：本题利用向量为载体，考察函数的单调性，余弦定理，三角形中的边角关系．9．若将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得图象对应的函数解析式为y=sin （2x+﹣2φ），再根据所得图象关于y轴对称可得﹣2φ=kπ+，k∈z，由此求得φ的最小正值．解答：解：将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象对应的函数解析式为y=sin[2（x﹣φ）+]=sin（2x+﹣2φ）关于y轴对称，则﹣2φ=kπ+，k∈z，即φ=﹣﹣，故φ的最小正值为，故答案为：．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于中档题．10．已知函数f（x）=，则f（）+f（）+f（）+…+f（）=15．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x）+f（1﹣x）=+=3，能求出f（）+f（）+f（）+…+f （）的值．解答：解：∵f（x）=，∴f（x）+f（1﹣x）=+=3，∴f（）+f（）+f（）+…+f（）=5×3=15．故答案为：15．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．11．函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（3）=0，且x＜0时，xf′（x）＜f（x），则不等式f（x）≥0的解集是{x|﹣3＜x＜0或x＞3}．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：本题可构造函数（x≠0），利用f′（x）相关不等式得到函数g（x）的单调性，由函数f（x）是的奇偶性得到函数g（x）的奇偶性和图象的对称性，由f（3）=0得到函数g（x）的图象过定点，再将不等式f（x）≥0转化为关于g（x）的不等式，根据g（x）的图象解不等式，得到本题结论．解答：解：记（x≠0），则．∵当x＜0时，xf′（x）＜f（x），∴当x＜0时，g′（x）＜0，∴函数g（x）在（﹣∞，0）上单调递减．∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴，∴函数g（x）是定义在R上的偶函数，∴函数g（x）的图象关于y轴对称，∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．∵f（3）=0，∴g（3）=，∴函数g（x）的图象过点（3，0）和（﹣3，0）．∵不等式f（x）≥0，∴xg（x）≥0，∴或，∴﹣3＜x＜0或x＞3．∴不等式f（x）≥0的解集是{x|﹣3＜x＜0或x＞3}．故答案为：{x|﹣3＜x＜0或x＞3}．点评：本题考查了函数的奇偶性、对称性、导数和单调性，本题难度不大，属于基础题．12．如图，△ABC中，延长CB到D，使BD=BC，当E点在线段AD上移动时，若，则t=λ﹣μ的最大值是3．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：共线，所以存在实数k使，根据向量的加法和减法以及B 是CD中点，可用表示为：，所以又可以用表示为：=，所以根据平面向量基本定理得：，λ﹣μ=3k≤3，所以最大值是3．解答：解：设==，0≤k≤1；又；∴；∴t=λ﹣μ=3k，0≤k≤1；∴k=1时t取最大值3．即t=λ﹣μ的最大值为3．故答案为：3．点评：考查共线向量基本定理，向量的加法、减法运算，以及平面向量基本定理．13．已知函数f（x）=|x2+x﹣2|，x∈R．若方程f（x）﹣a|x﹣2|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为（0，1）．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；数形结合；函数的性质及应用．分析：由y=f（x）﹣a|x﹣2|=0得f（x）=a|x﹣2|，显然x=2不是方程的根，则a=||，令x﹣2=t，则a=|t++5|有4个不相等的实根，画出y=|t++5|的图象，利用数形结合即可得到结论．解答：解：方程f（x）﹣a|x﹣2|=0，即为f（x）=a|x﹣2|，即有|x2+x﹣2|=a|x﹣2|，显然x=2不是方程的根，则a=||，令x﹣2=t，则a=|t++5|有4个不相等的实根，画出y=|t++5|的图象，如右图：在﹣4＜t＜﹣1时，t++5≤﹣2+5=1．则要使直线y=a和y=|t++5|的图象有四个交点，则a的范围是（0，1），故答案为：（0，1）．点评：本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，属于中档题．14．若函数f（x）=x2﹣e x﹣ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（﹣∞，2ln2）．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：根据题意可得a＜2x﹣e x有解，转化为g（x）=2x﹣e x，a＜g（x）max，利用导数求出最值即可．解答：解：∵函数f（x）=x2﹣e x﹣ax，∴f′（x）=2x﹣e x﹣a，∵函数f（x）=x2﹣e x﹣ax在R上存在单调递增区间，∴f′（x）=2x﹣e x﹣a＞0，即a＜2x﹣e x有解，令g′（x）=2﹣e x，g′（x）=2﹣e x=0，x=ln2，g′（x）=2﹣e x＞0，x＜ln2，g′（x）=2﹣e x＜0，x＞ln2∴当x=ln2时，g（x）max=2ln2﹣2，∴a＜2ln2﹣2即可．故答案为：（﹣∞，2ln2）点评：本题考察了导数在解决函数最值，单调性，不等式成立问题中的应用，属于难题．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB﹣bcosA=0．（1）求角A的大小；（2）若a=1，b=，求△ABC的面积．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，由sinB不为0求出tanA的值，即可确定出A的度数；（2）由余弦定理列出关系式，把a，b，cosA的值代入求出c的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．解答：解：（1）已知等式asinB﹣bcosA=0，利用正弦定理化简得：sinAsinB﹣sinBcosA=0，∵sinB≠0，∴tanA=，则A=30°；（2）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即1=3+c2﹣3c，解得：c=1或c=2，当c=1时，S△ABC=bcsinA=××1×=；当c=2时，S△ABC=bcsinA=××2×=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．16．（14分）已知函数f（x）=ax3﹣3x．（1）求函数f（x）单调区间；（2）若在区间[1，2]上，f（x）≥4恒成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．专题：导数的综合应用．分析：（1）a=0时，函数是减函数；a≠0时，由f（x）=ax3﹣3x（a≠0）⇒f′（x）=3ax2﹣3=3（ax2﹣1），分a＞0与a＜0讨论，通过f′（x）的符号即可求得函数f（x）的单调区间；（2）利用导数判断函数的单调性，从而得出函数在闭区间上的最小值，即得到参数的一个方程，从而求出参数．解答：解：（1）a=0时，f（x）=﹣3x，∴f（x）的单调减区间是R；当a≠0时，∵f（x）=ax3﹣3x，a≠0，∴f′（x）=3ax2﹣3=3（ax2﹣1），∴当a＞0时，由f′（x）＞0得：x＞或x＜﹣，由f′（x）＜0得：﹣当a＜0时，由f′（x）＞0得：，由f′（x）＜0得：x＜或x＞﹣；∴当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣），（，+∞）；函数f（x）的单调递减区间为（﹣，），）；当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（，﹣），函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，），（﹣，+∞）；（2）当a≤0时，由（1）可知，f（x）在区间[1，2]是减函数，由f（2）=4得，（不符合舍去），当a＞0时，f′（x）=3ax2﹣3=0的两根x=，①当，即a≥1时，f′（x）≥0在区间[1，2]恒成立，f（x）在区间[1，2]是增函数，由f （1）≥4得a≥7；②当，即时f′（x）≤0在区间[1，2]恒成立f（x）在区间[1，2]是减函数，f（2）≥4，a（不符合舍去）；③当1，即时，f（x）在区间[1，]是减函数，f（x）在区间[，2]是增函数；所以f（）≥4无解．综上，a≥7．点评：本题考查的是导数知识，重点是利用导数判断函数的单调性，难点是分类讨论．对学生的能力要求较高，属于难题．17．（14分）某实验室某一天的温度（单位：°C）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=9﹣t，t∈[0，24）．（1）求实验室这一天里，温度降低的时间段；（2）若要求实验室温度不高于10°C，则在哪段时间实验室需要降温？考点：两角和与差的正弦函数．专题：计算题；应用题；三角函数的求值．分析：（1）利用两角和差的正弦公式化简函数解析式为f（t）=9﹣2sin（），t∈[0，24），利用正弦函数的单调减区间，即可得到；（2）由题意可得，令f（t）≤10时，不需要降温，运用正弦函数的性质，解出t，再求补集即可得到．解答：解：（1）f（t）=9﹣t，t∈[0，24），则f（t）=9﹣2（）=9﹣2sin（），令2k2k，解得24k+2≤t≤24k+14，k为整数，由于t∈[0，24），则k=0，即得2≤t≤14．则有实验室这一天里，温度降低的时间段为[2，14]；（2）令f（t）≤10，则9﹣2sin（）≤10，即有sin（），则﹣，解得24k﹣6≤t≤24k+10，k为整数，由于t∈[0，24），则得到0≤t≤10或18≤t＜24，故在10＜t＜18，实验室需要降温．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，三角不等式的解法，属于中档题．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，，点，M满足，点P在线段BC上运动（包括端点），如图．（1）求∠OCM的余弦值；（2）是否存在实数λ，使，若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：（1）由题意求得、的坐标，再根据cos∠OCM=cos＜，＞=，运算求得结果．（2）设，其中1≤t≤5，由，得，可得（2t﹣3）λ=12．再根据t∈[1，）∪（，5]，求得实数λ的取值范围．解答：解：（1）由题意可得，，故cos∠OCM=cos＜，＞==．（2）设，其中1≤t≤5，，．若，则，即12﹣2λt+3λ=0，可得（2t﹣3）λ=12．若，则λ不存在，若，则，∵t∈[1，）∪（，5]，故．点评：本题主要考查用数量积表示两个两个向量的夹角，两个向量垂直的性质，属于中档题．19．（16分）已知函数f（x）=x2+（x﹣1）•|x﹣a|．（1）若a=﹣1，解方程f（x）=1；（2）若函数f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）在[2，3]上的最小值为6，求实数a的值．考点：利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；导数的综合应用．分析：（1）化方程f（x）=1可化为x2+（x﹣1）•|x+1|=0，即2x2﹣1=0（x≥﹣1）或1=0（x ＜﹣1），从而求解；（2）f（x）=x2+（x﹣1）•|x﹣a|=，则，从而求a；（3）讨论a的不同取值，从而确定实数a的值．解答：解：（1）若a=﹣1，则方程f（x）=1可化为x2+（x﹣1）•|x+1|=0，即2x2﹣1=0（x≥﹣1）或1=0（x＜﹣1），故x=或x=﹣；（2）f（x）=x2+（x﹣1）•|x﹣a|=，则若使函数f（x）在R上单调递增，则，则a≥1；（3）若a≥3，则f（x）=（a+1）x﹣a，x∈[2，3]，则函数f（x）在[2，3]上的最小值为6，可化为2（a+1）﹣a=6，则a=4；若1≤a＜3，则f（x）在[2，3]上单调递增，则2（a+1）﹣a=6，则a=4无解，若a＜1，＜1，则f（x）=x2+（x﹣1）•|x﹣a|在[2，3]上单调递增，则2•22﹣（1+a）2+a=6，解得，a=0．综上所述，a=0或a=4．点评：本题考查了函数导数的综合应用，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．20．（16分）已知函数f（x）=lnx﹣x+a有且只有一个零点，其中a＞0．（1）求a的值；（2）若对任意的x∈（1，+∞），有（x+1）f（x）+x2﹣2x+k＞0恒成立，求实数k的最小值；（3）设h（x）=f（x）+x﹣1，对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），证明：不等式恒成立．考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．专题：计算题；证明题；选作题；导数的综合应用．分析：（1）f′（x）=﹣1，则函数f（x）=lnx﹣x+a在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，由题意，f（x）的最大值等于0，从而解出a；（2）化简（x+1）f（x）+x2﹣2x+k＞0为k＞2x﹣xlnx﹣lnx﹣1，从而将恒成立问题转化为求函数g（x）=2x﹣xlnx﹣lnx﹣1在[1，+∞）上的最值问题；利用导数可得g′（x）=2﹣lnx﹣1﹣=，再令m（x）=x﹣xlnx﹣1并求导m′（x）=1﹣lnx﹣1=﹣lnx，从而判断g（x）在（1，+∞）上的单调性，最终求出函数g（x）=2x﹣xlnx﹣lnx﹣1在[1，+∞）上的最值问题，则k≥g（1）=2﹣0﹣0﹣1=1，从而求实数k的最小值；（3）化简h（x）=f（x）+x﹣1=lnx，则对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），恒成立可化为对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），＞0恒成立；不妨没x1＜x2，则上式可化为（x1+x2）（lnx1﹣lnx2）﹣2（x1﹣x2）＜0，从而令n（x）=（x1+x）（lnx1﹣lnx）﹣2（x1﹣x），进行二阶求导，判断n（x）在（x1，+∞）上的单调性，从而证明对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），不等式恒成立．解答：解：（1）f′（x）=﹣1，则函数f（x）=lnx﹣x+a在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，则若使函数f（x）=lnx﹣x+a有且只有一个零点，则0﹣1+a=0，解得，a=1；（2）（x+1）f（x）+x2﹣2x+k＞0可化为（x+1）（lnx﹣x+1）+x2﹣2x+k＞0，即k＞2x﹣xlnx﹣lnx﹣1对任意的x∈（1，+∞）恒成立，令g（x）=2x﹣xlnx﹣lnx﹣1，则g′（x）=2﹣lnx﹣1﹣=，令m（x）=x﹣xlnx﹣1，则m′（x）=1﹣lnx﹣1=﹣lnx，∵x∈（1，+∞），∴m′（x）=1﹣lnx﹣1=﹣lnx＜0，则m（x）=x﹣xlnx﹣1＜1﹣1ln1﹣1=0，则g′（x）＜0，则g（x）在（1，+∞）上是减函数，则k＞2x﹣xlnx﹣lnx﹣1对任意的x∈（1，+∞）恒成立可化为k≥g（1）=2﹣0﹣0﹣1=1，则k的最小值为1；（3）证明：由题意，h（x）=f（x）+x﹣1=lnx，则对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），恒成立可化为，对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），＞0恒成立；不妨没x1＜x2，则lnx1﹣lnx2＜0，则上式可化为（x1+x2）（lnx1﹣lnx2）﹣2（x1﹣x2）＜0，令n（x）=（x1+x）（lnx1﹣lnx）﹣2（x1﹣x），则n′（x）=（lnx1﹣lnx）﹣（x1+x）+2=lnx1﹣lnx﹣+1，n″（x）=﹣+=，∵则当x∈（x1，+∞）时，n″（x）＜0，则n′（x）在（x1，+∞）上是减函数，则n′（x）＜n′（x1）=0，则n（x）在（x1，+∞）上是减函数，则n（x）＜n（x1）=0，则（x1+x2）（lnx1﹣lnx2）﹣2（x1﹣x2）＜0，故对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），不等式恒成立．点评：本题考查了函数的零点的个数的判断，同时考查了恒成立问题的处理方法，判断单调性一般用导数，本题用到了二阶求导及分化求导以降低化简难度，属于难题．。