一元二次方程根的判别式、根与系数关系(PPT)4-4
解一元二次方程——一元二次方程的根的判别式
2
当 − 4 < 0 时，方程没有实数根.
课后作业
1 利用判别式判断下列方程的根的情况.
3
2
2
1 2 − 3 − = 0，
2
3 − 4 2 + 9 = 0，
2
9
2
2 16 − 24 + = 0，
2
2
4 3 + 10 = 2 + 8.
2 在不解方程的情况下，判断关于 的一元二次方程
3 + 2 = − 2 2 − 1 +
2
4 + 2 2�� + 6 = 0.
9
；
2
3 + 2 = − 2 2 − 1 +
9
；
2
2
解： 化方程为 4 − 12 + 9 = 0.
= 4， = −12， = 9.
2
= − 4
2
= (−12) − 4 × 4 × 9
+ = 0.
移项，得
2
=−
.
2
+
=−
.
配方，得
2
+
+
2
+
2
2
2
=− +
2
− 4
=
.
2
4
2
,
2
2
+
2
2
− 4
=
.
新教材高中数学第二章等式与不等式212一元二次方程的解集及其根与系数的关系课件
【解析】因为关于 x 的一元二次方程 x2－(2m＋3)x＋m2＝0 有两个不相等的实数根， 所以 Δ＝[－(2m＋3)]2－4m2＝12m＋9＞0，所以 m＞－43 .因为 x1＋x2＝2m＋3，x1·x2 ＝m2. 又因为 x1＋x2＝m2，所以 2m＋3＝m2，解得：m＝－1 或 m＝3.因为 m＞－34 ，所以 m＝3.
＝
b a
c
；x1x2＝ a
．
思考 利用一元二次方程根与系数的关系解题时，需要注意什么条件？ 提示：先把方程化为ax2＋bx＋c＝0的形式，然后验证，是否满足a≠0，Δ＝b2－ 4ac≥0这两个条件，同时满足这两个条件才能用根与系数的关系解题．
【基础小测】
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
思考
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式
x＝－b±
b2－4ac 2a
适合用于所有的一
元二次方程吗？
提示：一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式只适合于方程有根时使用，即： 当根的判别式 Δ＝b2－4ac≥0 时适用．
2．一元二次方程根与系数的关系
若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1，x2，则有x1＋x2
利用根与系数的关系求代数式值的三个步骤 (1)算：计算出两根的和与积． (2)变：将所求的代数式表示成两根的和与积的形式． (3)代：代入求值．
1．下列方程中，无实数根的方程是( )
A．x2＋1＝0
B．x2＋x＝0
C．x2＋x－1＝0 D．x2＝0
【解析】选 A.A.因为 Δ＝－4×1×1＝－4＜0，
【补偿训练】 用配方法求方程 3x2－6x＋4＝0 的解集． 【解析】移项，得 3x2－6x＝－4. 二次项系数化为 1，得 x2－2x＝－43 . 配方，得 x2－2x＋12＝－43 ＋12，(x－1)2＝－13 . 因为实数的平方不会是负数，所以 x 取任何实数时，(x－1)2 都是非负数，上式都不 成立，即原方程的解集为∅.
人教版同步教参数学九年级-一元二次方程：根的判别式和根与系数的关系
一元二次方程第2节 根的判别式和根与系数的关系【知识梳理】1、一元二次方程根的判别式关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，用配方法可得222442a ac b a b x -=+）（ac b 42-=∆称为根的判别式0＞∆，则方程有两个不相等的实数根 0＜∆，则方程没有实数根0=∆，则方程有两个相等的实数根反过来也成立。
2、一元二次方程根与系数的关系如果21,x x 是方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根， 则acx x a b x x =-=+2121 【诊断自测】1．一元二次方程的两个根x 1、x 2和系数a 、b 、c 的关系：。
2．若方程3x 2−4x −4=0的两个实数根分别为x 1，x 2，则x 1+x 2=（ ） A ．−4B ．3C ．−43D ．433．已知x 1、x 2是一元二次方程x 2−4x+1=0的两个根，则x 1•x 2等于（ ） A ．−4B ．−1C ．1D ．44．已知x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6−2x 的两根，则x 1−x 1x 2+x 2的值是（ ）A ．B ．83C ．−83D 【考点突破】类型一：根的判别式常见题型1、已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）已知方程的一个根为x=0，求代数式（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5的值（要求先化简再求值）．答案：见解析。
解析：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．∴△=（2m+1）2﹣4m（m+1）=1＞0，∴方程总有两个不相等的实数根；（2）∵x=0是此方程的一个根，∴把x=0代入方程中得到m（m+1）=0，∴m=0或m=﹣1，∵（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5=4m2﹣4m+1+9﹣m2+7m﹣5=3m2+3m+5，把m=0代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=5；把m=﹣1代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=3×1﹣3+5=5．例2、已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0（1）求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC的一边长a=4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．答案：见解析解析：对于等腰三角形，需要讨论a是腰还是底边。
第十四讲 一元二次方程之判别式
第十四讲一元二次方程—根的判别式与根系关系（1）【新知讲解】1、一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax 2 +bx+c=0 (a ≠0）是否有实根，完全取决于b 2 - 4ac的值的符号，我们就把 b 2 - 4ac 叫做一元二次方程ax 2 +bx+c=0的根的判别式，通常用“△”来表示，即：△= b 2 - 4ac注意：（1）根的判别式是指△=b 2 - 4ac，而不是△（2）使用判别式之前一定要先把方程变为一元二次方程的一般形式.2、一元二次方程的根的情况与判别式“△”的关系。
（1）判别式定理：△>0方程有两个不相等的实数根；△=0方程有两个相等的实数根；△<0方程没有实数根；△≥0方程有两个实数根。
（2）判别式定理的逆定理：方程有两个不相等的实数根△ > 0；方程有两个相等的实数根△ = 0；方程没有实数根△ < 0；方程有两个实数根△≥ 0；【例题解析】一、不解方程，判断方程根的情况。
例1：不解方程判断下列一元二次方程根的情况：（1）3x 2 -3x+1=0 (2) 2x 2 +1=(3) ax 2 +bx=0(a≠0) (4) (x-1) 2 -7x=0思路点拨：按照“一求二判”的思路来完成。
“一求”是指第一步求方程中“△”的值，“二判”是指第二步判断△的符号从而确定方程根的情况。
变式议练：1、下列方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）A. 3x 2 -2x-2=0B. 3y 2 -222、已知方程mx 2 - mx+2=0有两个不相等的实数根，则m的取值是________。
3已知方程（5+11m)x2+(2-11m)x+3(m-1)=0有两个相等的实数根，则m=______。
4、已知方程2a(1-x)=b(1-x 2 )有两个相等的实数根, 则a与b的关系是_____。
5、关于x的一元二次方程（x-a)(x-b-a)=1（a、b均为实数）（）A. 无实数根B. 有两个相等的实数根C. 有两个不相等的实数根D. 有两个相等或不相等的实数根6、方程（2a-1)x 2 -8x+6=0没有实数根，则a的最小整数值是______。
一元二次方程课件ppt
（5）如果右边为非负数，直接开平方法 求出方程的解，如果右边是负数，一元二 次方程无解。
心动 不如行动
例1: 用配方法解方程
x26x70
解: 移项得：x26x7
配方得：x26x32732
即(x3)2 16
开平方得： x34
∴原方程的解为：x11, x27
范例研讨运用新知
x12;x21.
学习是件很愉快的事
淘金者
❖ 你能用分解因式法解下列方程吗？
1 .x2-4=0; 解：1.(x+2)(x-2)=0,
2.(x+1)2-25=0. 2.[(x+1)+5][(x+1)-5]=0,
∴x+2=0,或x-2=0. ∴x1=-2, x2=2.
∴x+6=0,或x-4=0. ∴x1=-6, x2=4.
a，b，c满足什么条件时，方程的两根互
为相反数？
解：一元二次方程 a2 xb xc0a0的解为：
x 1 b 2 b a 2 4 a,x c 2 b 2 b a 2 4 ac
x1x2
b b24acb b24ac
2a
2a
b b 2a 2a
b0
❖用“因式分
解法”解一元 二次方程
回顾与复习 1
1.我们已经学过了几种解一元二次方程
1.x2 7;
2.3y2y1.4
解:1.一元二次方程解: 2.一元二次方程
x2 70
3y2 y 14 0
的两个根 x1 是7,x2 7. x27(x7)x (7).
的3两y2个y根1 是y1 4 3 (2y, y22)y (73 . 7).
3
一元二次方程的根的判别式
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一元二次方程判别式
• • • • 做练习：不解方程试判断下列方程的根的情况 2 （1）3x -7x+2=0 （2）9x2 +6x+1=0 2 （3）2x -（2+√2）x+3+√2=0 例2：关于x的方程2x2 +mx-2=2x-m，当m为何值时方程 有两个相等的根？并求出它的根 解；原方程可以整理成；2x +（m-2）x+m-2=0 a=2, b=m-2, c=-2+m ，b-4ac=（m-2）-4×2（-2+m） 据题意有m -12m+20=0∴m1=2， m2 =10 当m=2时，x1 =x2 =0；当m=10时x1=x2 =-2
一元二次方程判别式
• 猜一猜：对于一般ax +bx+c=0 （a≠0）的根与b -4ac的 符号有会么关系？ 因为ax2 +bx+c=0（a≠0）的求根公式是 2 -b ± √b -4ac x= 2a 2 故对于方程ax +bx+c=0 （a≠0）有下列关系： 当b -4ac≥0时，方程有两个不相等的根 2 2 -b+√b -4ac -b-√b -4ac x2= x1= 2a 2a b 2 当b-4ac=0时，方程有两个相等的根x1=x2 = 2a 2 2 当b - 4ac＜0时，方程没有实数根.
2
2
一元二次方程判别式
• 二、例1，不解下列方程判别下列方程的根的情况 1 2 2 2 • （1）3x -4x+7=0 （2） x +x+1=0 （3）2x- √6x-1=0 4 1 解：a= 4 ，b=1， 解：a=2 解：a=3， c=1 b=√6，c=-1 2 b=-4，c=7， b -4ac 2 2 1 b -4ac b -4ac =1-4× 4 ×1=0， =6-4×2×（-1） 所以原方程有两 =16-4×3×7 ＜0 个相等的实数根 =14＞0，所以原 所以原方程没有实 方程有两个不相 数根 等的根
一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系
同学 们 应 注 意教 科书 中 反过
来 也 成立 这 句话 即 逆命题 也 成 立
二 典 型 例题 判定方程 根 的 情况
、
例
犷
十
已 知 方程 犷
一
一
没 有 实 数根
,
其中
是 实数
试 判 定方 程
司
,
有 无 实数 根
分析 由 已 知 可根 据 一 元二 次方 程 的 根 的 判 别式证 之
解 因 为方 程 犷
乙
一 一 一 、 一 ,
无实数 根 所 以
,
,
一
即
,
一
因为 么
二
’ 一
二 十
,
一
。
所 以方 程
犷
二
有 两 个 不 相 等 的实 根
所 得 的 结论 即
,
说 明 上 述证 明 中 判 定 山 谏 逊 是 美德 的 色彩
。
用 到了 山
一
,
这种 条
井兴提 奥格启斯
工 盆 一 忿 缀 火 王 口 目 琶 若 。 望 盆 名 留 留 目 鉴
,
直线 过 点
经 过 一 二 三 象 限 且 与反 比 例 函 数
犷二
一
二
一
‘
只有 一
个公 共 点 求直 线解 析式
解 设直线 解 析式为
,
概
占则 版 护一
十
,
十
一
二
一
,
所以 瓶
十
旅
十
二
因为 只 有 一 个 公 共点 所 以 乙
人二
直线
二 解得 人
十
过
,
一元二次方程判别式及根与系数的关系讲义
的值.
分析：已知方程，求兩根組成代數式的值。這裡主要說明解題格式，學生完成過程. （2）已知關於x的方程3x2-mx-2=0的兩根為x1 ，x2，且
1 x1 1 x2 3 ，求 ①m的值；②求x1 +x2 的值.
2 2
分析：第（1）題是已知方程，求兩根組成代數式的值，而第（2）題的第一問就反來了，也就是已 知代數式的值求方程。第②問，再進一步，已知代數式的值，求另一個代數式的值.但是，無論是哪 一個問題，所要用到的都是根與係數的關係. 小結 ： 1.求方程兩根所組成的代數式的值 ， 關鍵在於把所求代數式變形為兩根的和與兩根的積的形式.
(4)有兩個實根. 解：△=（4m+1）2-4×2×（2m2-1）=8m+9
9 8 9 8 9 8
（1）當△=8m+9=0，即m= （2）當△=8m+9＞0，即m＞-
時，方程有兩個相等的實根； 時，方程有兩個不等的實根；
（3）當△=8m+9＜0，即m＜ - 時，方程沒有實根. 三、典型問題二：不解方程，求方程兩根所組成的某些代數式的值 例2、 （1）已知關於x的方程3x2+6x-2=0的兩根為x1 ，x2，求
若存在，求出 m 的值；若不存在，請說明理由． 解：設方程的兩實根為 x1，x2 ， 則： x1 x2 2( m 2) ， x1 x2 m 2 ． 令 x1 x2 56 得： ( x1 x2 ) 2 x1 x2 4( m 2) 2 m 56 ．
2 2 2 2 2
即 m 2 8m 20 0 ．
m 10 或 m 2 ．
2 2 2 當 m 10 時， [2(10 2)] 4 10 16 400 0 ，
4一元二次方程根的判别式及根与系数的关系(讲+练)
21.2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.题型1：利用判别式判断一元二次方程根的情况1.下列方程有两个相等的实数根的是（ ）A ．x 2﹣2x+1＝0B ．x 2﹣3x+2＝0C ．x 2﹣2x+3＝0D ．x 2﹣9＝0)0(02≠=++a c bx ax ac b 42-)0(02≠=++a c bx ax ∆ac b 42-=∆2.已知：关于x的一元二次方程x2+kx﹣1=0，求证：方程有两个不相等的实数根．题型3：求一元二次方程两根的和与积3.若x1，x2是一元二次方程x2−5x+6=0的两个根，则x1+x2，x1x2的值分别是（）A．1和6B．5和-6C．-5和6D．5和6； ．题型4：已知一根求另一根或字母的值4.关于x 的方程x²＋mx ＋6＝0的一个根为－2，则另一个根是（ ）A ．－3B ．－6C ．3D ．6的一个根，求方程的另一个根及. 22x x +121(x x x =+2212x x x +1(x =22|x 2(|x x =题型5：利用根与系数的关系构造方程5.如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，那么这个一元二次方程是（）A．x2+3x+4=0B．x2+4x−3=0C．x2−4x+3=0D．x2+3x−4=0题型6：求涉根代数式的值6.若一元二次方程x2−2x=1的两个实数根分别为x1，x2，求(x1−1)(x2−1)的值.题型7：根与系数的关系与三角形综合7.一个三角形的两边为方程2x2−kx+8=0的两根，第三边长为4，则k的范围是（）题型8：根与系数中的新定义问题8.定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c=0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A．a=c B．a=b C．b=c D．a=b=c一、单选题1．已知关于x的一元二次方程2x2+mx﹣3＝0的一个根是﹣1，则另一个根是（）A．1B．﹣1C．32D．−32 2．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为2和﹣3，则（）A．b＝1，c＝﹣6B．b＝﹣1，c＝﹣6C．b＝5，c＝﹣6D．b＝﹣1，c＝63．一元二次方程x2－5x＋6＝0的两根分别是x1、x2，则x1＋x2等于() A．5B．6C．－5D．－64．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2=0的两个不相等的实数根α，β满足1α+1β=1，则m的值为（）A．﹣3B．1 C．﹣3 或1D．2 5．已知a、b满足a2﹣6a+2＝0，b2﹣6b+2＝0，则b a+a b＝（）A．﹣6B．2C．16D．16或2 6．已知x1、x2是一元二次方程x2﹣3x+2=0的两个实根，则x1+x2等于（）A．﹣3B．3C．﹣2D．2二、填空题7．二次项系数为2的一元二次方程的两个根分别是1 −√3和1 +√3，那么这个方程是．8．已知一元二次方程x2 －5x－1=0的两根为x1，x2，则x1+x2= ．9．已知方程x2+2x-1=0 的两根分别为x1，x2，则x1+x2=.10．已知一元二次方程x2﹣6x﹣5=0的两根为a、b，则1a+1b的值是．11．方程x2+2x−3=0的两根为x1、x2则x1⋅x2的值为.三、解答题12．已知方程关于x的一元二次方程3x2+5x-4k=0的一个根是-2，求k和方程另一个根a的值．13．已知方程2x2+3x-4=0的两实数根为x1、x2，不解方程求：（1）x12+x22的值；（2）(x1-2)(x2-2) 的值四、综合题14．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m+1=0有实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1x2+x1+x2=15，求m的值．15．已知关于x的一元二次方程x2−2x+k−1=0．（1）若此方程有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围；（2）已知x=3是此方程的一个根，求方程的另一个根及k的值．。
一元二次方程的根的判别式
一元二次方程判别式
• 例4：求证： • （1）关于x的方程x2 +kx+k2+1 =0没有实数根 • （2）关于x的方程（x+a)(x-a)-x=2(x-1)总有两个不相等 的根。 （1）证明：∵△=b2 -4ac=k2 -4（k2 +1）= -3k 2 -4无 论k为何实数k2≥0∴△＜0故原方程没有实数根。 （2）证明：整理原方程得 x2 -3x+2 -a 2 =0 ∵△=9-4×（2-a 2 ）=1+a2 无论a为何值a2 ≥0
程判别式
• 课堂练习; • 1、对于方程4(m+1)x2 +2(2m-1)x=1-m
• • • •
(m≠-1）
（1）方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围 （2）方程有两个相等的实数根，求m的取值范围 （3）方程没有实数根，求m的取值范围 2 2 2 2 2、已知a+c≠0，a +b =c 求证（a+c）x +2bx+c-a=0 总 有相等的实数根
一元二次方程判别式
小结：方程ax2+bx+c=0 （a≠0） 2 1、△=b -4ac叫一元二次方程的判别式 当△＞0时方程有两个不相等的实数根 当△=0时方程有两个相等的实数根 △＜0时方程无实数根 2、能灵活运用△讨论方程根的情况或知道根的情况， 能正确运用△具备的条件解出待定系数的值 • 3、能正确运用△的符号证明方程何时有不相等的实数 根，何时有相等的实数根，何时没有实数根的问题 • • • • • •
一元二次方程判别式
• 猜一猜：对于一般ax +bx+c=0 （a≠0）的根与b -4ac的 符号有会么关系？ 因为ax2 +bx+c=0（a≠0）的求根公式是 2 -b ± √b -4ac x= 2a 2 故对于方程ax +bx+c=0 （a≠0）有下列关系： 当b -4ac≥0时，方程有两个不相等的根 2 2 -b+√b -4ac -b-√b -4ac x2= x1= 2a 2a b 2 当b-4ac=0时，方程有两个相等的根x1=x2 = 2a 2 2 当b - 4ac＜0时，方程没有实数根.
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是金属性，已知元素中金属性最强的是铯）的。 年月，中科院国家天文台科研人员为首的团队依托LAMOST发现一颗奇特天体，其锂元素含量约是同类天体 的倍，是人类已知锂元素丰度最高的恒星 [] 。 化学百科-brh 中文名 锂; 金属锂 英文名 Lithium 别 称 Lithium metal 分子量 . 4 CAS登录号 74 - - EINECS登 录号 -- 熔 点 oC 沸 点 4oC 水溶性 起反应 密 度 .4 安全性描述 保持容器干燥。出现意外或者感到不适立刻到医生那里寻求帮助。 危险性符号 F：易燃物质 C：腐蚀性物质 危险性描述 R4：会导致灼伤 危险品运输编号 UN4 发现人 阿尔费特逊 元素符号 Li 目录 发现历史 含量分布 理化性质 ? 物理性质 ? 化学性质
解：∵方程x²+2ax+1=0有两个不相等的实根 ∴Δ 1=4a²-4＞0 既a²＞1 方程②中a＞1 ∴ 2a²-1＞1≠0 既方程②为一元二次方程 Δ 2=4a²-4（2a-1）2=-4（4a-1）（a-1） ∵a²＞1 ∴a²-1＞0 ∴（4a²-1）＞0 2=-4（4a²-1）（a²-1）<0 ∴方程②无实根
上述命题的逆命题也正确
在当时还没有被占的元素周期表中第Ⅳ族格子中，即原子量比铋稍高的那个元素。这种元素比铋的电负性较大，但比碲的电正性较大。它的氧化物也应该具 有碱性，而不是酸性。这种物质预期的原子量约为。”在元素周期表中第Ⅳ族中原子量比铋稍高的正应当是钋。马克瓦尔德指出居里夫妇发现的钋是几种放 射性元素的混合物。 年马克瓦； https:///brands/jiaoyu 教育加盟品牌 ；尔德从吨的矿物中提取出毫克射碲的盐，用电解法从这盐溶液中 把射碲分离出来。这引起一场关于钋和射碲的真实性的辩论，明确钋和射碲是同一元素。钋的名称被保留下来。 [] 元素分布编辑 地壳内含有非常低浓度的 钋元素。在所有自然环境中，例如泥土、大气以至人体都可以找到极少量钋。天然的钋存在于所有铀矿石、钍矿石中。地壳中钋的平均丰度为×%。 [4-] 理 化性质编辑 物理性质 钋（Polonium）是一种化学元素，它的符号是Po，原子序数为4，它是呈银白色的金属。金属单质，外观与铅相似，质软。 [] 是极稀 有的放射性金属。溶于浓硫酸、硝酸、稀盐酸、王水和稀氢氧化钾溶液。 [] 已知道钋元素有个同位素，它们的质量数由 至，钋是当中显著的一个同位素， 具放射性特征，会释出放射性阿尔法粒子。其半衰期很短，只有天。 [] 锂（Li）是一种银白色的金属元素，质软，是密度最小的金属。用于原子反应堆、制 轻合金及电池等。锂和它的化合物并不像其他的碱金属那么典型，因为锂的电荷密度很大并且有稳定的氦型双电子层，使得锂容易极化其他的分子或离子， 自己本身却不容易受到极化。这一点就影响到它和它的化合物的稳定性。 由于电极电势最负，锂是已知元素（包括放射性元素）中金属活动性最强（注意不
一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式是一个比较重要的知识点，它的应用很广泛，既可以 用来判断一元二次方程根的情况，还是后续知识点的基础和准备。另一方面， 根的判别式也能独立形成综合题。
一元二次方程ax 2＋bx＋c＝0（a≠0）的判别式：△=b 2－4ac
△＞0方程有两个不相等的实数根． △=0方程有两个相等的实数根． △＜0方程没有实数根． △≥0方程有两个实数根．
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例4：求证关于x的方程x²-（m+2）x+2m-1=0有两个不相等的实根。
证明：△=[-（m+2）] 2-4（2m+1）=m2 -4m+8=（m-2）2 + 4 ∵不论m为何实数（m-2）2≥0 ∴（m-2）2+4一定是正数 既△＞0 ∴方程x²-（m+2）x+2m-1=0有两43;2ax+1=0 ①有两个不相等的实根。试判别方程 （2a 2-1）x²+2ax+2a 2-1=0 ②没有实根