中考数学开放探索性专题测试题

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中考总复习开放探索性专题测试数学卷二试题

2021年中考总复习开放探究性专题测试数学卷二一、填空〔每一小题5分，一共50分〕1. 观察：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256… 通过观察用你所发现的规律写出21995的未位数是。

2. 瑞士中学老师巴尔米成功地从光谱数据59、1216、2125、3236…中得到巴尔米公式，从而翻开了光谱微妙的大门，请你按这种规律写出第七个数。

3. 以下是一个有规律排列的数表：第1列第2列第3列第4列…第n 例…第1行： 1121 31 41 …n 1 …第2行： 12 22 32 42 …n 2…第3行： 13 23 33 43 …n3…上面数表中第9行，第7列的数是 4. 观察下面一列数： 1 -2 3 -45 -67 -89 -10 11 -12 13 -14 15 -16 …… ……按上述规律排下去，那么第10行从左边数第9个数是。

5. 将正奇数如下表排列：按表中的排列规那么，数 2021应排在第行第列。

6. n 〔n ≥2〕个点P 1、P 2、P 3…P n 在同一平面内，且其中没有任何三点在同一直线上，设Sn 表示过这n 个点中的任意2个点所作的所有直线的条数，显然S 2=1，S 3=3，S 4=6，S 5=10…，由此推断S n = 。

7. 如图，摆第1个“小屋子〞要5枚棋子，摆第二个要11枚棋子，摆第3个要17枚棋子，那么摆第30个“小屋子〞要枚棋子。

8. 用同样大小的黑、白两种颜色的棋子摆设如以下图所示的正方形图案，那么第n 个图案需要用白色棋子枚〔用含有n 的代数式表示〕。

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ● ● ○ ○ ● ● ● ○ ○ ● ○ ○ ● ● ○ ○ ● ● ● ○ ○ ○ ○ ○ ○ ● ● ● ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○9. 在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点，观察图中每一个正方形〔实线〕四条边上的整点的个数，请你猜想由里向外第10个正方形〔实线〕四条边上的整点个数一共有个。

专题12探索性问题(第02期)-2021年中考数学试题分项版解析汇编(东三省专版)(原卷版)

一、选择题1.(2015·黑龙江牡丹江）（3分）在△ABC 中，AB=12，AC=13，cos ∠B=，则BC 边长为（）.A ． 7B ． 8C ． 8或17D ． 7或172.（2015·辽宁本溪）（3分）在△ABC 中，AB =6cm ，AC =5cm ，点D 、E 分别在AB 、AC 上．若△ADE 与△ABC 相似，且ΔADE BCED :S S 四边形=1：8，则AD = cm ．二、填空题1．(2015·辽宁抚顺）（3分）如图，过原点O 的直线AB 与反比例函数k y x=（0k >）的图象交于A 、B 两点，点B 坐标为（﹣2，m ），过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，OA 的垂直平分线DE 交OC 于点D ，交AB 于点E ．若△ACD 的周长为5，则k 的值为．3.(2015·黑龙江牡丹江）（3分）如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，AO=CO ，请添加一个条件（只添一个即可），使四边形ABCD 是平行四边形．4.(2015·吉林省）（3分）若关于x 的一元二次方程20x x m -+=有两个不相等的实数根，则m 的值可能是（写出一个即可）．5.（2015·辽宁本溪）（3分）如图，已知矩形ABCD 的边长分别为a ，b ，连接其对边中点，得到四个矩形，顺次连接矩形AEFG 各边中点，得到菱形I 1；连接矩形FMCH 对边中点，又得到四个矩形，顺次连接矩形FNPQ 各边中点，得到菱形I 2；…如此操作下去，得到菱形I n ，则I n 的面积是．三、解答题1．(2015·辽宁朝阳）（6分）如图，在△ABC 中，点D 是BC 的中点，点E 、F 分别是线段AD 及其延长线上，且DE =DF ，给出下列条件：①BE ⊥EC ；②BF ∥EC ；③AB =AC ，从中选择一个条件使四边形BECF 是菱形，并给出证明，你选择的条件是（只填写序号）．[探究发现]小聪同学利用图形变换，将△CAD 绕点C 逆时针旋转90°得到△CBH ，连接EH ，由已知条件易得∠EBH =90°，∠ECH =∠ECB +∠BCH =∠ECB +∠ACD =45°．根据“边角边”，可证△CEH ≌ ，得EH =ED ．在Rt △HBE 中，由定理，可得BH 2+EB 2=EH 2，由BH =AD ，可得AD 、DE 、EB 之间的等量关系是．[实践运用]（1）如图（2），在正方形ABCD 中，△AEF 的顶点E 、F 分别在BC 、CD 边上，高AG 与正方形的边长相等，求∠EAF 的度数；（2）在（1）条件下，连接BD ，分别交AE 、AF 于点M 、N ，若BE =2，DF =3，BM =2，运用小聪同学探究的结论，求正方形的边长及MN 的长．3.(2015·辽宁朝阳）（12分）如图，已知经过点D （2，3-）的抛物线(1)(3)3m y x x =+-（m 为常数，且m ＞0）与x 轴交于点A 、B （点A 位于B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）填空：m 的值为，点A 的坐标为；（2）根据下列描述，用尺规完成作图（保留作图痕迹，不写作法）：连接AD ，在x 轴上方作射线AE ，使∠BAE =∠BAD ，过点D 作x 轴的垂线交射线AE 于点E ；（3）动点M 、N 分别在射线AB 、AE 上，求ME +MN 的最小值；（4）t 是过点A 平行于y 轴的直线，P 是抛物线上一点，过点P 作l 的垂线，垂足为点G ，请你探究：是否存在点P ，使以P 、G 、A 为顶点的三角形与△ABD 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．4.(2015·辽宁抚顺）（12分）在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，过点B 的直线MN ∥AC ，D 为BC 边上一点，连接AD ，作DE ⊥AD 交MN 于点E ，连接AE ．（1）如图①，当∠ABC =45°时，求证：AD =DE ；（2）如图②，当∠ABC =30°时，线段AD 与DE 有何数量关系？并请说明理由；（3）当∠ABC =α时，请直接写出线段AD 与DE 的数量关系．（用含α的三角函数表示）5.(2015·辽宁阜新）（12分）如图，点P 是正方形ABCD 内的一点，连接CP ，将线段CP 绕点C 顺时针旋转90°，得到线段CQ ，连接BP ，DQ ．（1）如图a ，求证：△BCP ≌△DCQ ；（2）如图，延长BP 交直线DQ 于点E ．①如图b ，求证：BE ⊥DQ ；②如图c ，若△BCP 为等边三角形，判断△DEP 的形状，并说明理由．6.(2015·辽宁阜新）（12分）如图，抛物线2y x bx c =-++交x 轴于点A （﹣3，0）和点B ，交y 轴于点C （0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P 在抛物线上，且ΔAOP ΔBOC 4S S =，求点P 的坐标；（3）如图b ，设点Q 是线段AC 上的一动点，作DQ ⊥x 轴，交抛物线于点D ，求线段DQ 长度的最大值．7.（2015·辽宁辽阳）（12分）菱形ABCD 中，两条对角线AC ，BD 相交于点O ，∠MON +∠BCD =180°，∠MON 绕点O 旋转，射线OM 交边BC 于点E ，射线ON 交边DC 于点F ，连接EF ．（1）如图1，当∠ABC =90°时，△OEF 的形状是；（2）如图2，当∠ABC =60°时，请判断△OEF 的形状，并说明理由；（3）在（1）的条件下，将∠MON 的顶点移到AO 的中点O ′处，∠MO ′N 绕点O ′旋转，仍满足∠MO ′N +∠BCD =180°，射线O ′M 交直线BC 于点E ，射线O ′N 交直线CD 于点F ，当BC =4，且ΔO'EF 98ABCD S S =四边形时，直接写出线段CE 的长．8.（2015·辽宁辽阳）（14分）如图1，平面直角坐标系中，直线334y x =-+与抛物线294y ax x c =++相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上，点B 在y 轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上存在一点M ，使△MAB 是以AB 为直角边的直角三角形，求点M 的坐标；（3）如图2，点E 为线段AB 上一点，BE =2，以BE 为腰作等腰Rt △BDE ，使它与△AOB 在直线AB 的同侧，∠BED =90°，△BDE 沿着BA 方向以每秒一个单位的速度运动，当点B 与A 重合时停止运动，设运动时间为t 秒，△BDE 与△AOB 重叠部分的面积为S ，直接写出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．9.(2015·辽宁盘锦）（14分）如图1，△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形，∠BAC =∠EAD =90°，点B 在线段AE 上，点C 在线段AD 上．（1）请直接写出线段BE 与线段CD 的关系：；①（1）中的结论是否成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；②当AC =12ED 时，探究在△ABC 旋转的过程中，是否存在这样的角α，使以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出角α的度数；若不存在，请说明理由．10.(2015·辽宁盘锦）（14分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =++交x 轴于A （﹣1，0）和B （5，0）两点，交y 轴于点C ，点D 是线段OB 上一动点，连接CD ，将线段CD 绕点D 顺时针旋转90°得到线段DE ，过点E 作直线l ⊥x 轴于H ，过点C 作CF ⊥l 于F ．（1）求抛物线解析式；（2）如图2，当点F 恰好在抛物线上时，求线段OD 的长；（3）在（2）的条件下：①连接DF ，求tan ∠FDE 的值；②试探究在直线l 上，是否存在点G ，使∠EDG =45°？若存在，请直接写出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．11.(2015·黑龙江牡丹江）（8分）已知四边形ABCD 是正方形，等腰直角△AEF 的直角顶点E 在直线BC 上（不与点B ，C 重合），FM ⊥AD ，交射线AD 于点M ．（1）当点E 在边BC 上，点M 在边AD 的延长线上时，如图①，求证：AB+BE=AM ；（提示：延长MF ，交边BC 的延长线于点H ．）（2）当点E 在边CB 的延长线上，点M 在边AD 上时，如图②；当点E 在边BC 的延长线上，点M 在边AD 上时，如图③．请分别写出线段AB ，BE ，AM 之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1），（2）的条件下，若BE=，∠AFM=15°，则AM= ．12.(2015·吉林省）（10分）如图①，一次函数y kx b =+的图象与二次函数2y x =的图象相交于A ，B 两点，点A ，B 的横坐标分别为m ，n （m ＜0，n ＞0）．（1）当m =﹣1，n =4时，k = ，b = ；（2）根据（1）中的结果，用含m ，n 的代数式分别表示k 与b ，并证明你的结论；（3）利用（2）中的结论，解答下列问题：如图②，直线AB与x轴，y轴分别交于点C，D，点A关于y轴的对称点为点E，连接AO，OE，ED．①当m=﹣3，n＞3时，求ΔACOAOEDSS四边形的值（用含n的代数式表示）；②当四边形AOED为菱形时，m与n满足的关系式为；当四边形AOED为正方形时，m= ，n= ．13.（2015·辽宁本溪）（12分）如图1，在△ABC中，AB=AC，射线BP从BA所在位置开始绕点B顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°）（1）当∠BAC=60°时，将BP旋转到图2位置，点D在射线BP上．若∠CDP=120°，则∠ACD∠ABD （填“＞”、“=”、“＜”），线段BD、CD与AD之间的数量关系是；（2）当∠BAC=120°时，将BP旋转到图3位置，点D在射线BP上，若∠CDP=60°，求证：BD﹣CD=3AD；（3）将图3中的BP继续旋转，当30°＜α＜180°时，点D是直线BP上一点（点P不在线段BD上），若∠CDP=120°，请直接写出线段BD、CD与AD之间的数量关系（不必证明）．14.（2015·辽宁本溪）（14分）如图，抛物线2y ax bx =+（0a ≠）经过点A （2，0），点B （3，3），BC ⊥x 轴于点C ，连接OB ，等腰直角三角形DEF 的斜边EF 在x 轴上，点E 的坐标为（﹣4，0），点F 与原点重合．（1）求抛物线的解析式并直接写出它的对称轴；（2）△DEF 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴正方向移动，运动时间为t 秒，当点D 落在BC 边上时停止运动，设△DEF 与△OBC 的重叠部分的面积为S ，求出S 关于t 的函数关系式；（3）点P 是抛物线对称轴上一点，当△ABP 时直角三角形时，请直接写出所有符合条件的点P 坐标．15.（2015·辽宁锦州）（10分）如图，△ABC 中，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE ，AD ，点F 在BA 的延长线上，且AF =12AB ，连接EF ，判断四边形ADEF 的形状，并加以证明．16.（2015·辽宁锦州）（10分）开学初，小明到文具批发部一次性购买某种笔记本，该文具批发部规定：这种笔记本售价y （元/本）与购买数量x （本）之间的函数关系如图所示．（1）图中线段AB 所表示的实际意义是；（2）请直接写出y 与x 之间的函数关系式；（3）已知该文具批发部这种笔记本的进价是3元/本，若小明购买此种笔记本超过10本但不超过20本，那么小明购买多少本时，该文具批发部在这次买卖中所获的利润W （元）最大？最大利润是多少？17.（2015·辽宁锦州）（12分）如图①，∠QPN 的顶点P 在正方形ABCD 两条对角线的交点处，∠QPN =α，将∠QPN 绕点P 旋转，旋转过程中∠QPN 的两边分别与正方形ABCD 的边AD 和CD 交于点E 和点F （点F 与点C ，D 不重合）．（1）如图①，当α=90°时，DE ，DF ，AD 之间满足的数量关系是；（2）如图②，将图①中的正方形ABCD 改为∠ADC =120°的菱形，其他条件不变，当α=60°时，（1）中的结论变为DE +DF =12AD ，请给出证明；（3）在（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN 的边PQ 与射线AD 交于点E ，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE ，DF ，AD 之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．18.（2015·辽宁锦州）（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax bx =++经过点A （﹣1，0）和点B （4，0），且与y 轴交于点C ，点D 的坐标为（2，0），点P （m ，n ）是该抛物线上的一个动点，连接CA ，CD ，PD ，PB ．（1）求该抛物线的解析式；（2）当△PDB 的面积等于△CAD 的面积时，求点P 的坐标；（3）当m＞0，n＞0时，过点P作直线PE⊥y轴于点E交直线BC于点F，过点F作FG⊥x轴于点G，连接EG，请直接写出随着点P的运动，线段EG的最小值．。

中考数学试题汇编专题12探索性问题含解析

专题12 探索性问题一、选择题1．（2020年贵州省黔东南州第10题）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和（a+b ）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算（a+b ）20的展开式中第三项的系数为（） A ．2020 B ．2020 C ．191 D ．190 【答案】D 【解析】考点：完全平方公式2. （2020年内蒙古通辽市第10题）如图，点P 在直线AB 上方，且ο90=∠APB ，AB PC ⊥于C ，若线段6=AB ，x AC =，y S PAB =∆，则y 与x 的函数关系图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D考点：动点问题的函数图象3．（2020年四川省内江市第12题）如图，过点A （2，0）作直线l ：33y x的垂线，垂足为点A 1，过点A 1作A 1A 2⊥x 轴，垂足为点A 2，过点A 2作A 2A 3⊥l ，垂足为点A 3，…，这样依次下去，得到一组线段：AA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，则线段A 2020A 2107的长为（）A ．20153()2 B ．20163()2 C ．20173()2 D ．20183()2【答案】B ．考点：一次函数图象上点的坐标特征；规律型；综合题．4．（2020年山东省日照市第10题）如图，∠BAC=60°，点O从A点出发，以2m/s的速度沿∠BAC的角平分线向右运动，在运动过程中，以O为圆心的圆始终保持与∠BAC的两边相切，设⊙O的面积为S（cm2），则⊙O的面积S与圆心O运动的时间t（s）的函数图象大致为（）A．B．C．D．【答案】D．试题分析：∵∠BAC=60°，AO是∠BAC的角平分线，∴∠BAO=30°，设⊙O的半径为r，AB是⊙O的切线，∵AO=2t，∴r=t，∴S=πt2，∴S是圆心O运动的时间t的二次函数，∵π＞0，∴抛物线的开口向上，故选D．考点：动点问题的函数图象．5．（2020年山东省日照市第11题）观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为（）A ．23B ．75C ．77D ．139 【答案】B ．考点：规律型：数字的变化类．6. （2020年湖南省岳阳市第7题）观察下列等式：122=，224=，328=，4216=，5232=，6264=，⋅⋅⋅，根据这个规律，则1234201722222++++⋅⋅⋅+的末尾数字是A ．0B ．2 C.4 D ．6 【答案】B ．【解析】试题解析：∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，…， ∴2020÷4=506…1，∵（2+4+8+6）×506+2=10122， ∴21+22+23+24+…+22020的末位数字是2，故选B ．考点：尾数特征．二、填空题1．（2020年贵州省毕节地区第20题）观察下列运算过程：计算：1+2+22+…+210．解：设S=1+2+22+…+210，① ①×2得2S=2+22+23+…+211，② ②﹣①得 S=211﹣1．所以，1+2+22+…+210=211﹣1运用上面的计算方法计算：1+3+32+…+32020= ．【答案】2018312- .考点：规律型：数字的变化类．2．（2020年贵州省黔东南州第16题）把多块大小不同的30°直角三角板如图所示，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板AOB的一条直角边与y轴重合且点A的坐标为（0，1），∠ABO=30°；第二块三角板的斜边BB1与第一块三角板的斜边AB垂直且交y轴于点B1；第三块三角板的斜边B1B2与第二块三角板的斜边BB1垂直且交x轴于点B2；第四块三角板的斜边B2B3与第三块三角板的斜边B1B2C垂直且交y轴于点B3；…按此规律继续下去，则点B2020的坐标为．【答案】（0，﹣2017 3（））【解析】考点：规律型：点的坐标3. （2020年湖北省荆州市第14题）观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有______个点. 【答案】135【解析】试题分析：仔细观察图形：第一个图形有3=3×1=3个点，第二个图形有3+6=3×（1+2）=9个点；第三个图形有3+6+9=3×（1+2+3）=18个点；…第n个图形有3+6+9+…+3n=3×（1+2+3+…+n）=3(1)2n n+个点；当n=9时，39102⨯⨯=135个点，故答案为：135．考点：规律型：图形的变化类4. （2020年山东省威海市第16题）某广场用同一种如图所示的地砖拼图案.第一次拼成形如图1所示的图案，第二次拼成形如图2所示的图案，第三次拼成形如图3的图案，第四次拼成形如图4的图案……按照只有的规律进行下去，第n次拼成的图案用地砖块.【答案】2n2+2n考点：规律题目5. （2020年山东省潍坊市第17题）如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…按照此规律，第n 个图中正方形和等边三角形的个数之和为个.【答案】9n+3考点：规律型：图形的变化类6. （2020年湖南省郴州市第16题）已知12345357911,,,,,25101726a a a a a =-==-==-L ，则8a = ．【答案】1765. 【解析】试题分析：由题意给出的5个数可知：a n =221(1)1nn n +-+ ,所以当n=8时，a 8=1765. 考点：数字规律问题.7．（2020年四川省内江市第26题）观察下列等式：第一个等式：122211132222121a ==-+⨯+⨯++；第二个等式：2222232111322(2)2121a ==-+⨯+⨯++；第三个等式：3332342111322(2)2121a ==-+⨯+⨯++；第四个等式：4442452111322(2)2121a ==-+⨯+⨯++；按上述规律，回答下列问题：（1）请写出第六个等式：a 6= = ；（2）用含n 的代数式表示第n 个等式：a n = = ；（3）a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6= （得出最简结果）；（4）计算：a 1+a 2+…+a n ．【答案】（1）666221322(2)+⨯+⨯，67112121-++；（2）221322(2)n n n +⨯+⨯，1112121n n +-++；（3）1443；（4）11223(21)n n ++-+．【解析】考点：规律型：数字的变化类；综合题．三、解答题1. （2020年湖北省荆州市第20题）（本题满分8分）如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C,得到△DCE.（1）求证：△ACD≌△EDC;（2）请探究△BDE的形状，并说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）△BDE是等腰三角形【解析】考点：1、矩形的性质；2、全等三角形的判定与性质；3、平移的性质2. （2020年山东省威海市第24题）如图，四边形ABCD 为一个矩形纸片，3=AB ，2=BC ，动点P 自D 点出发沿DC 方向运动至C 点后停止.ADP ∆以直线AP 为轴翻折，点D 落到点1D 的位置.设x DP =，P AD 1∆与原纸片重叠部分的面积为y .（1）当x 为何值时，直线1AD 过点C ？（2）当x 为何值时，直线1AD 过BC 的中点E ？（3）求出y 与x 的函数关系式.【答案】（1）当x=2134-时，直线AD 1过点C （2）当x=2102-时，直线AD 1过BC 的中点E （3）当0＜x ≤2时，y=x ；当2＜x ≤3时，y=242x x+【解析】试题解析：（1）如图1，∵由题意得：△ADP≌△AD1P，∴AD=AD1=2，PD=PD1=x，∠D=∠AD1P=90°，∵直线AD1过C，∴PD1⊥AC，在Rt△ABC中，AC=232+3=13，CD1=13﹣2，在Rt△PCD1中，PC2=PD12+CD12，即（3﹣x）2=x2+（13﹣2）2，解得：x=21343-，∴当x=2134-时，直线AD1过点C；（2）如图2，（3）如图3，当0＜x≤2时，y=x，如图4，综合上述，当0＜x≤2时，y=x；当2＜x≤3时，y=242xx+．考点：1、勾股定理，2、折叠的性质，3、矩形的性质，4、分类推理思想3. （2020年辽宁省沈阳市第24题）四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在的直线上，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG（点D，点F在直线CE的同侧），连接BF（1）如图1，当点E与点A重合时，请直接．．写出BF的长；（2）如图2，当点E在线段AD上时，1AE=①求点F到AD的距离②求BF的长（3）若310BF=，请直接．．写出此时AE的长【答案】5①点F到AD的距离为3；②74；41AE=1.【解析】试题解析：(1)BF=45;(2) 如图，①过点F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，∵四边形CEFG是正方形即点F到AD的距离为3.②延长FH交BC的延长线于点K，∴∠DHK=∠HDC=∠DCK =90°，∴四边形CDHK为矩形，∴HK=CD=4,∴FK=FH+HK=3+4=7∵ECD FEH∆≅∆∴EH=CD=AD=4∴AE=DH=CK=1∴BK=BC+CK=4+1=5,在Rt △BFK 中，BF=22227574FK BK +=+=(3)AE=2+41或AE=1. 考点：四边形综合题.4. （2020年湖南省岳阳市第23题）（本题满分10分）问题背景：已知DF ∠E 的顶点D 在C ∆AB 的边AB 所在直线上（不与A ，B 重合）．D E 交C A 所在直线于点M ，DF 交C B 所在直线于点N ．记D ∆A M 的面积为1S ，D ∆BN 的面积为2S ．（1）初步尝试：如图①，当C ∆AB 是等边三角形，6AB =，DF ∠E =∠A ，且D //C E B ，D 2A =时，则12S S ⋅= ；（2）类比探究：在（1）的条件下，先将点D 沿AB 平移，使D 4A =，再将DF ∠E 绕点D 旋转至如图②所示位置，求12S S ⋅的值；（3）延伸拓展：当C ∆AB 是等腰三角形时，设DF α∠B =∠A =∠E =．（I ）如图③，当点D 在线段AB 上运动时，设D a A =，D b B =，求12S S ⋅的表达式（结果用a ，b 和α的三角函数表示）．（II ）如图④，当点D 在BA 的延长线上运动时，设D a A =，D b B =，直接写出12S S ⋅的表达式，不必写出解答过程．【答案】(1)12;(2)12；（3）14（ab ）2sin 2α．14（ab ）2sin 2α．（2）如图2中，设AM=x，BN=y．∵∠MDB=∠MDN+∠NDB=∠A+∠AMD，∠MDN=∠A，∴∠AMD=∠NDB，∵∠A=∠B，∴△AMD∽△BDN，∴AM AD BD BN=，∴42xy=，∴xy=8，∵S1=12•AD•AM•sin60°=3x，S2=12DB•sin60°=3y，∴S1•S2=3x•32y=32xy=12．同法可证△AMD∽△BDN，可得xy=ab，∵S1=12•AD•AM•sinα=12axsinα，S2=12DB•BN•sinα=12bysinα，∴S1•S2=14（ab）2sin2α．考点：几何变换综合题．2019-2020学年中考数学模拟试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若二元一次方程组3,354x y x y +=⎧⎨-=⎩的解为,,x a y b =⎧⎨=⎩则-a b 的值为（） A ．1 B ．3 C ．14- D ．742．如图，在ABC V 中，90ACB ∠=︒，分别以点A 和点C 为圆心，以大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接CD .若34B ∠=︒，则BDC ∠的度数是（）A ．68︒B ．112︒C ．124︒D ．146︒3．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c ＜0；②a ﹣b+c ＞1；③abc ＞0；④4a ﹣2b+c ＜0；⑤c ﹣a ＞1，其中所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．①③④C ．①②③⑤D ．①②③④⑤4．一个几何体的三视图如图所示，该几何体是( )A ．直三棱柱B ．长方体C ．圆锥D ．立方体5．如图所示的几何体的主视图正确的是（）A ．B ．C ．D ．6．点P （1，﹣2）关于y 轴对称的点的坐标是（）A ．（1，2）B ．（﹣1，2）C ．（﹣1，﹣2）D ．（﹣2，1）7．计算(ab 2)3的结果是( )A ．ab 5B ．ab 6C ．a 3b 5D ．a 3b 68．已知直线y=ax+b(a≠0)经过第一，二，四象限，那么直线y=bx-a 一定不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．已知A 、B 两地之间铁路长为450千米，动车比火车每小时多行驶50千米，从A 市到B 市乘动车比乘火车少用40分钟，设动车速度为每小时x 千米，则可列方程为（）A ．4504504050x x -=-B ．4504504050x x -=-C ．4504502503x x -=+D ．4504502503x x -=- 10．某工程队开挖一条480米的隧道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x 米，那么求x 时所列方程正确的是（）A ．480480420x x-=- B ．480480204x x -=+ C ．480480420x x -=+ D ．480480204x x -=- 11．已知(AC BC)ABC ∆<，用尺规作图的方法在BC 上确定一点P ，使PA PC BC +=，则符合要求的作图痕迹是（）A ．B ．C ．D ．12．下列关于x 的方程中一定没有实数根的是（）A ．210x x --=B ．24690x x -+=C ．2x x =-D ．220x mx --=二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．在ABC V 中，A ∠：B ∠：C ∠=1：2：3，CD AB ⊥于点D ，若AB 10=，则BD =______ 14．如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，∠DBC=15°，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，则∠A 的度数是．15．如图，点A 的坐标是（2，0），△ABO 是等边三角形，点B 在第一象限，若反比例函数k y x=的图象经过点B ，则k 的值是_____．16．设△ABC 的面积为1，如图①，将边BC 、AC 分别2等分，BE 1、AD 1相交于点O ，△AOB 的面积记为S 1；如图②将边BC 、AC 分别3等分，BE 1、AD 1相交于点O ，△AOB 的面积记为S 2；…，依此类推，则S n 可表示为________．（用含n 的代数式表示，其中n 为正整数）17．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=5，点E 在DC 上，将矩形ABCD 沿AE 折叠，点D 恰好落在BC边上的点F处，那么cos∠EFC的值是．18．从5张上面分别写着“加”“油”“向”“未”“来”这5个字的卡片（大小、形状完全相同）中随机抽取一张，则这张卡片上面恰好写着“加”字的概率是__________．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）为进一步深化基教育课程改革，构建符合素质教育要求的学校课程体系，某学校自主开发了A 书法、B阅读，C足球，D器乐四门校本选修课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等．学生小红计划选修两门课程，请写出所有可能的选法；若学生小明和小刚各计划送修一门课程，则他们两人恰好选修同一门课程的概率为多少？20．（6分）为响应“植树造林、造福后人”的号召，某班组织部分同学义务植树180棵，由于同学们的积极参与，实际参加的人数比原计划增加了50%，结果每人比原计划少栽了2棵，问实际有多少人参加了这次植树活动？21．（6分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BA＝BC，BD平分∠ABC．求证：四边形ABCD是菱形；过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于点E，若BC＝5，BD＝8，求四边形ABED的周长．22．（8分）如图，在Rt△ABC中，CD，CE分别是斜边AB上的高，中线，BC＝a，AC＝b．若a＝3，b＝4，求DE的长；直接写出：CD＝（用含a，b的代数式表示）；若b＝3，tan∠DCE=13，求a的值．23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD．过点D 作DE⊥AC，垂足为点E．求证：DE是⊙O的切线；当⊙O半径为3，CE＝2时，求BD长．24．（10分）已知，如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P 处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：坡顶A到地面PO的距离；古塔BC的高度（结果精确到1米）．25．（10分）如图，直线y1=﹣x+4，y2=34x+b都与双曲线y=kx交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点．求y与x之间的函数关系式；直接写出当x＞0时，不等式34x+b＞kx的解集；若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标．26．（12分）如图，点A是直线AM与⊙O的交点，点B在⊙O上，BD⊥AM，垂足为D，BD与⊙O交于点C，OC平分∠AOB，∠B＝60°．求证：AM是⊙O的切线；若⊙O的半径为4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．27．（12分）在锐角△ABC中，边BC长为18，高AD长为12如图，矩形EFCH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K，求EFAK的值；设EH＝x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．D【解析】【分析】先解方程组求出74x y -=，再将,,x a y b =⎧⎨=⎩代入式中，可得解. 【详解】解：3,354,x y x y +=⎧⎨-=⎩①② +①②，得447x y -=，所以74x y -=，因为,,x a y b =⎧⎨=⎩ 所以74x y a b -=-=. 故选D.【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是观察两方程的系数，从而求出a-b 的值，本题属于基础题型．2．B【解析】【分析】根据题意可知DE 是AC 的垂直平分线，CD=DA ．即可得到∠DCE=∠A ，而∠A 和∠B 互余可求出∠A ，由三角形外角性质即可求出∠CDA 的度数.【详解】解：∵DE 是AC 的垂直平分线，∴DA=DC ，∴∠DCE=∠A ，∵∠ACB=90°，∠B=34°，∴∠A=56°，∴∠CDA=∠DCE+∠A=112°，故选B ．【点睛】本题考查作图-基本作图、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，三角形有关角的性质等知识，解题的关键是熟练运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．3．C【解析】【分析】根据二次函数的性质逐项分析可得解.【详解】解：由函数图象可得各系数的关系：a ＜0，b ＜0，c ＞0，则①当x=1时，y=a+b+c ＜0，正确；②当x=-1时，y=a-b+c ＞1，正确；③abc ＞0，正确；④对称轴x=-1，则x=-2和x=0时取值相同，则4a-2b+c=1＞0，错误；⑤对称轴x=-2b a=-1，b=2a ，又x=-1时，y=a-b+c ＞1，代入b=2a ，则c-a ＞1，正确．故所有正确结论的序号是①②③⑤．故选C4．A【解析】【分析】根据三视图的形状可判断几何体的形状．【详解】观察三视图可知，该几何体是直三棱柱．故选A ．本题考查了几何体的三视图和结构特征，根据三视图的形状可判断几何体的形状是关键．5．D【解析】【分析】主视图是从前向后看，即可得图像.【详解】主视图是一个矩形和一个三角形构成.故选D.6．C【解析】关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，由此可得P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（﹣1，﹣2），故选C．【点睛】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标，正确地记住关于坐标轴对称的点的坐标特征是关键.关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数.7．D【解析】试题分析：根据积的乘方的性质进行计算，然后直接选取答案即可．试题解析：（ab2）3=a3•（b2）3=a3b1．故选D．考点：幂的乘方与积的乘方．8．D【解析】【分析】根据直线y=ax+b（a≠0）经过第一，二，四象限，可以判断a、b的正负，从而可以判断直线y=bx-a经过哪几个象限，不经过哪个象限，本题得以解决．【详解】∵直线y=ax+b（a≠0）经过第一，二，四象限，∴a＜0，b＞0，∴直线y=bx-a经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故选D．【点睛】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．9．D【解析】解：设动车速度为每小时x千米，则可列方程为：45050x﹣450x=23．故选D．【解析】【分析】本题的关键描述语是：“提前1天完成任务”；等量关系为：原计划用时−实际用时＝1．【详解】解：原计划用时为：480x，实际用时为：48020x+．所列方程为：480480420x x-=+，故选C．【点睛】本题考查列分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．11．D【解析】试题分析：D选项中作的是AB的中垂线，∴PA=PB，∵PB+PC=BC，∴PA+PC=BC．故选D．考点：作图—复杂作图．12．B【解析】【分析】根据根的判别式的概念,求出△的正负即可解题.【详解】解: A. x2-x-1=0,△=1+4=5>0,∴原方程有两个不相等的实数根,B. 24x6x90-+=, △=36-144=-108<0,∴原方程没有实数根,C. 2x x=-, 2x x0+=, △=1>0,∴原方程有两个不相等的实数根,D. 2x mx20--=, △=m2+8>0,∴原方程有两个不相等的实数根,故选B.【点睛】本题考查了根的判别式,属于简单题,熟悉根的判别式的概念是解题关键.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．2.1【解析】【分析】先求出△ABC是∠A等于30°的直角三角形，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求解．解：根据题意，设∠A、∠B、∠C为k、2k、3k，则k+2k+3k=180°，解得k=30°，2k=60°，3k=90°，∵AB=10，∴BC=12AB=1，∵CD⊥AB，∴∠BCD=∠A=30°，∴BD=12BC=2.1．故答案为2.1．【点睛】本题主要考查含30度角的直角三角形的性质和三角形内角和定理，掌握30°角所对的直角边等于斜边的一半、求出△ABC是直角三角形是解本题的关键．14．50°．【解析】【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD=BD，根据等边对等角可得∠A=∠ABD，然后表示出∠ABC，再根据等腰三角形两底角相等可得∠C=∠ABC，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可：【详解】∵MN是AB的垂直平分线，∴AD="BD." ∴∠A=∠ABD.∵∠DBC=15°，∴∠ABC=∠A+15°.∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=∠A+15°.∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°，解得∠A=50°．故答案为50°．15【解析】【分析】已知△ABO是等边三角形，通过作高BC，利用等边三角形的性质可以求出OB和OC的长度；由于Rt△OBC中一条直角边和一条斜边的长度已知，根据勾股定理还可求出BC的长度，进而确定点B的坐标；将点B的坐标代入反比例函数的解析式kyx=中，即可求出k的值.【详解】过点B作BC垂直OA于C，∵点A的坐标是（2，0），∴AO=2，∵△ABO是等边三角形，∴OC=1，BC=3，∴点B的坐标是()1,3,把()1,3代入kyx=，得3k=．故答案为3．【点睛】考查待定系数法确定反比例函数的解析式，只需求出反比例函数图象上一点的坐标；16．12n1+【解析】试题解析：如图，连接D1E1，设AD1、BE1交于点M，∵AE1：AC=1：（n+1），∴S△ABE1：S△ABC=1：（n+1），∴S△ABE1=11n+，∵1111AB BM nD E ME n+==，∴1121BM n BE n +=+， ∴S △ABM ：S △ABE1=（n+1）：（2n+1），∴S △ABM ：11n +=（n+1）：（2n+1）， ∴S n =121n +．故答案为121n +． 17．.【解析】试题分析：根据翻转变换的性质得到∠AFE=∠D=90°，AF=AD=5，根据矩形的性质得到∠EFC=∠BAF ，根据余弦的概念计算即可．由翻转变换的性质可知，∠AFE=∠D=90°，AF=AD=5，∴∠EFC+∠AFB=90°，∵∠B=90°，∴∠BAF+∠AFB=90°，∴∠EFC=∠BAF ，cos ∠BAF==，∴cos ∠EFC=，故答案为：．考点：轴对称的性质，矩形的性质，余弦的概念.18．【解析】【分析】根据概率的公式进行计算即可.【详解】从5张上面分别写着“加”“油”“向”“未”“来”这5个字的卡片中随机抽取一张，则这张卡片上面恰好写着“加”字的概率是. 故答案为：.【点睛】考查概率的计算，明确概率的意义是解题的关键，概率等于所求情况数与总情况数的比.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）答案见解析；（2）14 【解析】分析：（1）直接列举出所有可能的结果即可.（2）画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出他们两人恰好选修同一门课程的结果数，然后根据概率公式求解．详解：（1）学生小红计划选修两门课程，她所有可能的选法有：A书法、B阅读；A书法、C足球；A书法、D器乐；B阅读，C足球；B阅读，D器乐；C足球，D器乐.共有6种等可能的结果数；（2）画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中他们两人恰好选修同一门课程的结果数为4，所以他们两人恰好选修同一门课程的概率41. 164 ==点睛：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．20．45人【解析】【详解】解：设原计划有x人参加了这次植树活动依题意得：18018021.5x x=+解得x=30人经检验x=30是原方程式的根实际参加了这次植树活动1.5x=45人答实际有45人参加了这次植树活动．21．（1）详见解析；（2）1.【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ADB＝∠CBD，根据角平分线定义得到∠ABD＝∠CBD，等量代换得到∠ADB＝∠ABD，根据等腰三角形的判定定理得到AD＝AB，根据菱形的判定即可得到结论；（2）由垂直的定义得到∠BDE＝90°，等量代换得到∠CDE＝∠E，根据等腰三角形的判定得到CD＝CE ＝BC，根据勾股定理得到DE22BE BD-＝6，于是得到结论．【详解】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD，∴AD＝AB，∵BA＝BC，∴AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵BA＝BC，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵DE⊥BD，∴∠BDE＝90°，∴∠DBC+∠E＝∠BDC+∠CDE＝90°，∵CB＝CD，∴∠DBC＝∠BDC，∴∠CDE＝∠E，∴CD＝CE＝BC，∴BE＝2BC＝10，∵BD＝8，∴DE22BE BD-＝6，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝BC＝5，∴四边形ABED的周长＝AD+AB+BE+DE＝1．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线定义，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．22．（1）710；（2）2222a ba b++；（3101.【解析】【分析】（1）求出BE ，BD 即可解决问题．（2）利用勾股定理，面积法求高CD 即可．（3）根据CD ＝3DE ，构建方程即可解决问题．【详解】解：（1）在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝91°，a ＝3，b ＝4， ∴2235,cos 5BC AB a b B AC ∴=+===． ∵CD ，CE 是斜边AB 上的高，中线，∴∠BDC ＝91°，15BE AB 22==． ∴在Rt △BCD 中， 39cos 355BD BC B =⋅=⨯= 5972510DE BE BD ∴=-=-=（2）在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝91°，BC ＝a ，AC ＝b ， 2222AB BC AC a b ∴=+=+ABC 11S AB CD AC BC 22=⋅=⋅V Q 222222AC BC ab a b CD AB a b a b⋅+∴===++2222a b a b ++．（3）在Rt △BCD 中，22222cos BD BC B a a b a b =⋅==++∴222222222122DE BE BD a b a b a b=-=+=++，又1tan 3DE DCE CD ∠==， ∴CD ＝3DE 22222232a b a b =++．∵b ＝3， ∴2a ＝9﹣a 2，即a 2+2a ﹣9＝1．由求根公式得110a =-（负值舍去），即所求a 101．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．23．（1）证明见解析；（2）BD＝23．【解析】【分析】（1）连接OD，AB为⊙0的直径得∠ADB=90°，由AB=AC，根据等腰三角形性质得AD平分BC，即DB=DC，则OD为△ABC的中位线，所以OD∥AC，而DE⊥AC，则OD⊥DE，然后根据切线的判定方法即可得到结论；（2）由∠B=∠C，∠CED=∠BDA=90°，得出△DEC∽△ADB，得出CE CDBD AB=，从而求得BD•CD=AB•CE，由BD=CD，即可求得BD2=AB•CE，然后代入数据即可得到结果．【详解】（1）证明：连接OD，如图，∵AB为⊙0的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴AD平分BC，即DB＝DC，∵OA＝OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙0的切线；（2）∵∠B＝∠C，∠CED＝∠BDA＝90°，∴△DEC∽△ADB，∴CE CD BD AB=，∴BD•CD＝AB•CE，∵BD＝CD，∴BD2＝AB•CE，∵⊙O半径为3，CE＝2，∴BD＝62⨯＝23．【点睛】本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质．24．(1)坡顶A到地面PQ的距离为10米；()2移动信号发射塔BC的高度约为19米．【解析】【分析】延长BC交OP于H.在Rt△APD中解直角三角形求出AD＝10.PD＝24.由题意BH＝PH.设BC＝x.则x+10＝24+DH.推出AC＝DH＝x﹣14.在Rt△ABC中.根据tan76°＝BCAC,构建方程求出x即可.【详解】延长BC交OP于H．∵斜坡AP的坡度为1：2.4,∴512 ADPD=,设AD＝5k,则PD＝12k,由勾股定理,得AP＝13k, ∴13k＝26,解得k＝2,∴AD＝10,∵BC⊥AC,AC∥PO,∴BH⊥PO,∴四边形ADHC是矩形,CH＝AD＝10,AC＝DH, ∵∠BPD＝45°,∴PH＝BH,设BC＝x,则x+10＝24+DH,∴AC＝DH＝x﹣14,在Rt△ABC中,tan76°＝BCAC,即14xx-≈4.1．解得：x≈18.7,经检验x≈18.7是原方程的解．答：古塔BC的高度约为18.7米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形,用到的知识点是勾股定理,锐角三角函数,坡角与坡角等,解决本题的关键是作出辅助线,构造直角三角形．25．（1）3yx；（2）x＞1；（3）P（﹣54，0）或（94，0）【解析】分析：（1）求得A（1，3），把A（1，3）代入双曲线y=kx，可得y与x之间的函数关系式；（2）依据A（1，3），可得当x＞0时，不等式34x+b＞kx的解集为x＞1；（3）分两种情况进行讨论，AP把△ABC的面积分成1：3两部分，则CP=14BC=74，或BP=14BC=74，即可得到OP=3﹣74=54，或OP=4﹣74=94，进而得出点P的坐标．详解：（1）把A（1，m）代入y1=﹣x+4，可得m=﹣1+4=3，∴A（1，3），把A（1，3）代入双曲线y=kx，可得k=1×3=3，∴y与x之间的函数关系式为：y=3x；（2）∵A（1，3），∴当x＞0时，不等式34x+b＞kx的解集为：x＞1；（3）y1=﹣x+4，令y=0，则x=4，∴点B的坐标为（4，0），把A（1，3）代入y2=34x+b，可得3=34+b，∴b=94，∴y2=34x+94，令y2=0，则x=﹣3，即C（﹣3，0），∴BC=7，∵AP把△ABC的面积分成1：3两部分，∴CP=14BC=74，或BP=14BC=74∴OP=3﹣74=54，或OP=4﹣74=94，∴P（﹣54，0）或（94，0）．点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．26． (1)见解析；（2）83π【解析】【分析】（1）根据题意，可得△BOC 的等边三角形，进而可得∠BCO ＝∠BOC ，根据角平分线的性质，可证得BD ∥OA ，根据∠BDM ＝90°，进而得到∠OAM ＝90°，即可得证；（2）连接AC ，利用△AOC 是等边三角形，求得∠OAC ＝60°，可得∠CAD ＝30°，在直角三角形中，求出CD 、AD 的长，则S 阴影＝S 梯形OADC ﹣S 扇形OAC 即可得解．【详解】（1）证明：∵∠B ＝60°，OB ＝OC ，∴△BOC 是等边三角形，∴∠1＝∠3＝60°，∵OC 平分∠AOB ，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴OA ∥BD ，∵∠BDM ＝90°，∴∠OAM ＝90°，又OA 为⊙O 的半径，∴AM 是⊙O 的切线（2）解：连接AC ，∵∠3＝60°，OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形，∴∠OAC ＝60°，∴∠CAD ＝30°，∵OC ＝AC ＝4，∴CD ＝2，∴AD ＝，∴S 阴影＝S 梯形OADC ﹣S 扇形OAC ＝12×（4+2）×260483603g ππ．【点睛】本题主要考查切线的性质与判定、扇形的面积等，解题关键在于用整体减去部分的方法计算．27．（1）32；（2）1．【解析】【分析】（1）根据相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比进行计算即可；（2）根据EH＝KD＝x，得出AK＝12﹣x，EF＝32（12﹣x），再根据S＝32x（12﹣x）＝﹣32（x﹣6）2+1，可得当x＝6时，S有最大值为1．【详解】解：（1）∵△AEF∽△ABC，∴EF AK BC AD=，∵边BC长为18，高AD长为12，∴EF BCAK AD=＝32；（2）∵EH＝KD＝x，∴AK＝12﹣x，EF＝32（12﹣x），∴S＝32x（12﹣x）＝﹣32（x﹣6）2+1.当x＝6时，S有最大值为1．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标．。

专题12探索性问题(第01期)-2022年中考数学试题分项版解析汇编(浙江专版)(原卷版)

1．(2021·杭州市第22题12分)如图，在△ABC中(BC>AC)，∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E(1)、假设13ADDB，AE=2，求EC的长2.(2021·湖州市第16题4分)正方形ABC1D1的边长为1，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3(如下图)，以此类推…，假设A1C1=2，且点A，D2，D3，…，D10都在同一直线上，那么正方形A9C9C10D10的边长是__________________________3. (2021·湖州市第23题10分)问题背景：在△ABC中，AB边上的动点D由A向B运动(与A，B不重合)，点E与点D同时出发，由点C沿BC的延长线方向运动(E不与C重合)，连结DE交AC于点F，点H 是线段AF上一点(1)初步尝试：如图1，假设△ABC是等边三角形，DH⊥AC，且点D，E的运动速度相等，求证：HF=AH+CF 小王同学发现可以由以下两种思路解决此问题：思路一：过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证GH=AH，再证GF=CF，从而证得结论成立.思路二：过点E作EM⊥AC，交AC的延长线于点M，先证CM=A H，再证H F=MF，从而证得结论成立. 请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程(如用两种方法作答，那么以第一种方法评分)(3)延伸拓展：如图3，假设在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，记BCAC=m，且点D、E的运动速度相等，试用含m的代数式表示ACHF(直接写出结果，不必写解答过程).4.〔2021·丽水市第23题10分〕如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，F为BE上的一点，连结CF并延长交AB于点M，MN⊥CM交射线AD于点N。

〔1〕当F为BE中点时，求证：AM=CE；5.(2021·台州市第10题 4分)某班有20位同学参加围棋、象棋比赛，甲说：“只参加一项的人数大于14人。

17.中考数学专题“探索规律型”相关的探索性问题数学母题题源系列(解析版)

专题03 中考中与“探索规律型”相关的探索性问题【母题来源一】【2019•武汉】观察等式：2+22=23-2；2+22+23=24-2；2+22+23+24=25-2…已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100．若250=a，用含a的式子表示这组数的和是A．2a2–2a B．2a2–2a–2C．2a2–a D．2a2+a【答案】C【解析】∵2+22=23-2；2+22+23=24-2；2+22+23+24=25-2…∴2+22+23+…+2n=2n+1-2，∴250+251+252+…+299+2100=（2+22+23+…+2100）-（2+22+23+…+249）=（2101-2）-（250-2）=2101-250，∵250=a，∴2101=（250）2·2=2a2，∴原式=2a2-a．故选C．【名师点睛】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出规律：2+22+23+…+2n=2n+1-2．【母题来源二】【2019•枣庄】如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为10，符合此要求的只有，故选D ．【名师点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是得出原图形中各行、各列中点数之和为10．【母题来源三】【2019•济宁】已知有理数a ≠1，我们把11a -称为a 的差倒数，如：2的差倒数是1112=--，-1的差倒数是()11112=--．如果a 1=-2，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数……依此类推，那么a 1+a 2+…+a 100的值是 A ．-7.5 B ．7.5 C ．5.5 D ．-5.5【答案】A 【解析】∵a 1=–2，∴a 2()11123==--，a 3131213==-，412312a ==--，……∴这个数列以-2，13，32依次循环，且-2131326++=-，∵100÷3=33…1，∴a 1+a 2+…+a 100=33×（16-）-2152=-=-7.5，故选A ．【名师点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．【母题来源四】【2019•雅安】如图，在平面直角坐标系中，直线l 1：y 3=x +1与直线l 2：y =交于点A 1，过A 1作x 轴的垂线，垂足为B 1，过B 1作l 2的平行线交l 1于A 2，过A 2作x 轴的垂线，垂足为B 2，过B 2作l 2的平行线交l 1于A 3，过A 3作x 轴的垂线，垂足为B 3…按此规律，则点A n 的纵坐标为A ．（32）n B ．（12）n +1 C ．（32）n -112+D ．312n -【答案】A【解析】联立直线l 1与直线l 2的表达式并解得：x =y 32=，故A 132），则点B 10），则直线B 1A 2的表达式为：y =+b ，将点B 1坐标代入上式并解得：直线B 1A 2的表达式为：y 332=-，将表达式y 3与直线l 1的表达式联立并解得：x =，y 94=，即点A 2的纵坐标为94，同理可得A 3的纵坐标为278， …按此规律，则点A n 的纵坐标为（32）n ，故选A ．【名师点睛】本题考查了两直线的交点，要求利用图象求解各问题，要认真体会点的坐标，一次函数与一元一次方程组之间的内在联系．【母题来源五】【2019•广元】如图，过点A 0（0，1）作y 轴的垂线交直线l ：y 3=于点A 1，过点A 1作直线l 的垂线，交y 轴于点A 2，过点A 2作y 轴的垂线交直线l 于点A 3，…，这样依次下去，得到△A 0A 1A 2，△A 2A 3A 4，△A 4A 546，…，其面积分别记为S 1，S 2，S 3，…，则S 100为A．（2）100B ．（100 C ．4199 D ．2395【答案】D【解析】∵点A 0的坐标是（0，1），∴OA 0=1， ∵点A 1在直线y =上，∴OA 1=2，A 0A1= ∴OA 2=4，∴OA 3=8，∴OA 4=16，得出OA n =2n ， ∴A n A n +1=2n∴OA 198=2198，A 198A 199=2198， ∵S 112=（4-1= ∵A 2A 1∥A 200A 199，∴△A 0A 1A 2∽△A 198A 199A 200，∴1001S S =1982， ∴S =2396=2395，故选D ．【名师点睛】本题主要考查了如何根据一次函数的解析式和点的坐标求线段的长度，以及如何根据线段的长度求出点的坐标，解题时要注意相关知识的综合应用．【母题来源六】【2019•淄博】如图，△OA 1B 1，△A 1A 2B 2，△A 2A 3B 3，…是分别以A 1，A 2，A 3，…为直角顶点，一条直角边在x 轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C 1（x 1，y 1），C 2（x 2，y 2），C 3（x 3，y 3），…均在反比例函数y 4x=（x >0）的图象上．则y 1+y 2+…+y 10的值为A ．B ．6C ．D ．【答案】A【解析】过C 1、C 2、C 3…分别作x 轴的垂线，垂足分别为D 1、D 2、D 3…其斜边的中点C 1在反比例函数y 4x=，∴C （2，2）即y 1=2，∴OD 1=D 1A 1=2，设A 1D 2=a ，则C 2D 2=a 此时C 2（4+a ，a ），代入y 4x=得：a （4+a ）=4，解得：a 2=，即：y 22=，同理：y 3=y 4=∴y 1+y 2+…+y 10=22+++=…A ．【名师点睛】考查反比例函数的图象和性质、反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质等知识，通过计算有一定的规律，推断出一般性的结论，得出答案．【母题来源七】【2019•大庆】归纳“T”字形，用棋子摆成的“T”字形如图所示，按照图①，图②，图③的规律摆下去，摆成第n个“T”字形需要的棋子个数为__________．【答案】3n+2【解析】由图可得，图①中棋子的个数为：3+2=5，图②中棋子的个数为：5+3=8，图③中棋子的个数为：7+4=11，……则第n个“T”字形需要的棋子个数为：（2n+1）+（n+1）=3n+2，故答案为：3n+2．【名师点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中棋子的变化规律，利用数形结合的思想解答．【母题来源八】【2019•天水】观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有__________个〇．【答案】6058【解析】由图可得，第1个图象中〇的个数为：1+3×1=4，第2个图象中〇的个数为：1+3×2=7，第3个图象中〇的个数为：1+3×3=10，第4个图象中〇的个数为：1+3×4=13，……∴第2019个图形中共有：1+3×2019=1+6057=6058个〇，故答案为：6058．【名师点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现图形中〇的变化规律，利用数形结合的思想解答．【母题来源九】【2019•甘肃】如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n=__________．【答案】1010【解析】根据题意分析可得：第1幅图中有1个．第2幅图中有2×2–1=3个．第3幅图中有2×3–1=5个．第4幅图中有2×4–1=7个．…可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．故第n幅图中共有（2n–1）个．当图中有2019个菱形时，2n–1=2019，n=1010，故答案为：1010．【名师点睛】本题考查规律型中的图形变化问题，难度适中，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律．【母题来源十】【2019•衡阳】在平面直角坐标系中，抛物线y=x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2019的坐标为__________．【答案】（–1010，10102）【解析】∵A 点坐标为（1，1）， ∴直线OA 为y =x ，A 1（–1，1）， ∵A 1A 2∥OA ， ∴直线A 1A 2为y =x +2，解22y x y x =+⎧⎨=⎩得11x y =-⎧⎨=⎩或24x y =⎧⎨=⎩， ∴A 2（2，4）， ∴A 3（–2，4）， ∵A 3A 4∥OA ， ∴直线A 3A 4为y =x +6，解26y x y x =+⎧⎨=⎩得24x y =-⎧⎨=⎩或39x y =⎧⎨=⎩， ∴A 4（3，9）， ∴A 5（–3，9） …，∴A 2019（–1010，10102），故答案为：（–1010，10102）．【名师点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．【母题来源十一】【2019•北京】小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下： ①将诗词分成4组，第i 组有x i 首，i =1，2，3，4；②对于第i 组诗词，第i 天背诵第一遍，第（i +1）天背诵第二遍，第（i +3）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，i =1，2，3，4；第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第1组 x 1 x 1 x 1 第2组 x 2 x 2 x 2 第3组第4组x 4x 4x 4③每天最多背诵14首，最少背诵4首．解答下列问题：（1）填入x3补全上表；（2）若x1=4，x2=3，x3=4，则x4的所有可能取值为__________；（3）7天后，小云背诵的诗词最多为__________首．【解析】（1）第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第1组x1x1x1第2组x2x2x2第3组x3x3x3第4组x4x4x4（2）∵每天最多背诵14首，最少背诵4首，∴x1≥4，x3≥4，x4≥4，∴x1+x3≥8①，∵x1+x3+x4≤14②，把①代入②得，x4≤6，∴4≤x4≤6，∴x4的所有可能取值为4，5，6，故答案为：4，5，6．（3）∵每天最多背诵14首，最少背诵4首，∴由第2天，第3天，第4天，第5天得，x1+x2≤14①，x2+x3≤14②，x1+x3+x4=14③，x2+x4≤14④，①+②+④–③得，3x2≤28，∴x2283≤，∴x1+x2+x3+x4283≤+14703=，∴x1+x2+x3+x4≤2313，∴7天后，小云背诵的诗词最多为23首，故答案为：23．【名师点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键．【母题来源十二】【2019•安徽】观察以下等式：第1个等式：211111=+，第2个等式：211326=+，第3个等式：2115315=+，第4个等式：2117428=+，第5个等式：2119545=+，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：21111666=+；（2）写出你猜想的第n 个等式：()2112121n n n n =+--（用含n 的等式表示），并证明．【解析】（1）第6个等式为：21111666=+，故答案为：21111666=+．（2）()2112121n n n n =+--．证明：∵右边()()112112212121n n n n n n n -+=+===---左边．∴等式成立，故答案为：()2112121n n n n =+--．【名师点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出()2112121n n n n =+--的规律，并熟练加以运用．【命题意图】这类试题主要考查探索规律在中考中的应用，包括图形类的规律、数字类的规律、图表的规律、一次函数、反比例函数和二次函数中有关点的坐标规律的探索等．【方法总结】根据一系列数式关系或一组相关图形的变化规律，从中总结其所反映的规律．其中，以图形为载体的数字规律最为常见．猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行观察对比，仿照数式规律的方法猜想得到最终结论． 1．解数字或数式规律探索题的方法第一步：标序号；第二步：找规律，分别比较各部分与序号数（1，2，3，4，…，n ）之间的关系，把其蕴含的规律用含序号数的式子表示出来；第三步：根据找出的规律表示出第n 个数式． 2．几何图形中的规律探究题图形规律问题主要是观察图形的组成、拆分等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的式子描述图形的变化所反映的规律． 3．点的坐标变化规律探究题图形在直角坐标系中的变化而引起点的坐标的变化，解决此类型题应先分析图形的变化规律，求出一些点的坐标，再结合点在直角坐标系中的位置变化找出坐标的变化规律，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论．1．【安徽省池州市贵池区三级教研网络中片2019届中考数学二模试卷】已知：1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52，…，根据前面各式的规律可猜测：101+103+105+…+199= A ．7500 B ．10000 C ．12500 D ．2500【答案】A【解析】101+103+105+107+…+195+197+199 =221199199()()22++- =1002-502， =10000-2500， =7500，故选A ．【名师点睛】本题考查了规律型–––数字类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．2．【2019年福建省南平市六校联考中考数学模拟试卷（4月份）】已知一列数：a 1=1，a 2=3，a 3=6，a 4=10，…则122017111a a a +++=A ．20162017 B ．40322017 C ．20172018D ．40342018【答案】D【解析】∵a 1=1，a 2=3，a 3=6，a 4=10，…∴122017111a a a +++1121320172018=+++⨯ 111112[(1)()()]22320172018=-+-+-12(1)2018=-201722018=⨯40342018=．故选D ．【名师点睛】本题考查了规律型的数字变化类，解题的关键是找到拆项的方法． 3．【2019年广西贺州市昭平县中考数学一模试卷】若x 是不等于1的实数，我们把11x-称为x 的差倒数，如2的差倒数是11x -=-1，-1的差倒数为11(1)--=12，现已知x 1=13，x 2是x 1的差倒数，x 3是x 2的差倒数，x 4是x 3的差倒数，…，依此类推，则x 2019的值为 A ．-13B ．-2C ．3D ．4【答案】B【解析】根据差倒数的定义可得出：x 1=13，x 2=1113-=32，x 3=1312-=-2，x 4=11(2)--=13，… 由此发现该组数每3个一循环．∵2019÷3=673，∴x2019=x3=-2．故选B．【名师点睛】本题考查了数字的变化以及求倒数，解题的关键是发现“该组数每3个一循环”这个规律．本题属于基础题，难度不大，根据差倒数的定义式列出前4个数据即可找出规律得以解决．4．【云南省昆明市五华区2019届九年级中考数学二模试卷】仔细观察下列数字排列规律，则a=A．206 B．216C．226 D．236【答案】C【解析】观察发现：2=1×2-0；10=3×4-2；26=5×6-4；50=7×8-6…a=15×16-14=226，故选C．【名师点睛】考查了数字的变化类问题，解题的关键是找到各个图形中数字规律，难度不大．5．【重庆市巴蜀中学2019年初三第二次模拟考试数学试题】如图，将一些形状相同的小五角星按图中所规放，据此规律，第10个图形中五角星的个数为A．120 B．121C．99 D．100【答案】A【解析】第1个图形中小五角星的个数为3；第2个图形中小五角星的个数为8；第3个图形中小五角星的个数为15；第4个图形中小五角星的个数为24；则知第n个图形中小五角星的个数为n（n+1）+n．故第10个图形中小五角星的个数为10×11+10=120个，故选A．【名师点睛】本题主要考查图形规律探究，解决本题的关键是要从已知的特殊个体推理得出一般规律．6．【2019年山东省日照市中考数学二模试卷】如图，过点A1（1，0）作x轴的垂线，交直线y=2x于点B；点A2与点O关于直线A1B1对称；过点A2（2，0）作x轴的垂线，交直线y=2x于点B2；点A3与点O关于直线A2B2对称；过点A3作x轴的垂线，交直线y=2x于点B3；按B3此规律作下去，则点B n的坐标为A．（2n，2n-1）B．（2n，2n+1）C．（2n+1，2n）D．（2n-1，2n）【答案】D【解析】由题意可得，B1（1，2），B2（2，4），B3（4，8），B4（8，16）…∴点B n的坐标为（2n-1，2n），故选D．【名师点睛】此题重点考查学生对一次函数的拓展应用，找出其中的规律是解题的关键．7．【天津市河西区2019年中考二模数学试卷】如图，第一个图形是用3根一样长度的木棍拼接而成的等边三角形ABC，第二个图形是用5根同样木棍拼接成的；那么按图中所示的规律，在第n个图形中，需要这样的木棍的根数为__________．n【答案】21【解析】第1个图形有2+1=3根，第2个图形有1+2+2=5根，第3个图形有1+2+2+2=7根…第n 个图形有2n +1根，故答案为：2n +1．【名师点睛】本题考查了图形的变化类问题，仔细观察图形发现图形的变化规律是解答本题的关键． 8．【江苏省徐州市2019届九年级第二次模拟考试数学试题】如图所示，将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定规律摆成下列图形．第1幅图形中“•”的个数为1a ，第2幅图形中“•”的个数为2a ，第3幅图形中“•”的个数为3a ，…，以此类推，则123101111a a a a ++++的值为__________．【答案】175264【解析】a 1=3=1×3，a 2=8=2×4，a 3=15=3×5，a 4=24=4×6，…，a n =n （n +2）， ∴12310111111111324351012a a a a +++⋯+=++++⨯⨯⨯⨯ (111111)133591124461012=+++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯…… 11111(1)()2112212=-+- 175264=，故答案为：175264．【名师点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律解决问题． 9．【2019年贵州省黔南州中考数学一模试卷】已知函数1()(1)=+f x x x ，其中f （a ）表示当x =a 时对应的函数值，如1(1)12f =⨯，11(2)()23(1)f f a a a ==⨯+，，则f （1）+（2）+f （3）+f （2019）=__________．【答案】20192020【解析】∵1(1)12f =⨯，11(2),()23(1)f f a a a ==⨯+， ∴f （1）+f （2）+f （3）+f （2019）=112⨯+123⨯+…+120192020⨯=1-12+12-13+…+12019-12020=1-1 2020=2019 2020．故答案为：2019 2020．【名师点睛】此题主要考查代数式的求值，解题的关键是发现规律，进行简便求解．10．【2019年安徽省淮北市濉溪县中考数学二模试卷】观察下列式子：0×2+1=12①；1×3+1=22②；2×4+1=32③；3×5+1=42④；…（1）第⑤个式子__________，第⑩个式子__________；（2）请用含n（n为正整数）的式子表示上述的规律，并证明．【解析】（1）第⑤个式子为4×6+1=52，第⑩个式子9×11+1=102，故答案为：4×6+1=52，9×11+1=102．（2）第n个式子为（n-1）（n+1）+1=n2，证明：左边=n2-1+1=n2，右边=n2，∴左边=右边，即（n-1）（n+1）+1=n2．【名师点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出（n-1）（n+1）+1=n2的规律，并熟练加以运用．。

专题12 探索性问题(第03期)-2021年中考数学试题分项版解析汇编(原卷版)

一、选择题1．（2021四川省绵阳市）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a 1，第2幅图形中“●”的个数为a 2，第3幅图形中“●”的个数为a 3，…，以此类推，则193211111a a a a ++++ 的值为（）A ．2120 B ．8461C ．840589D ．760421 2．（2021四川省达州市）如图，将矩形ABCD 绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转2021次．若AB =4，AD =3，则顶点A 在整个旋转过程中所经过的路径总长为（）A ．2021πB ．2034πC ．3024πD ．3026π3．（2021江苏省连云港市）如图所示，一动点从半径为2的⊙O 上的A 0点出发，沿着射线A 0O 方向运动到⊙O 上的点A 1处，再向左沿着与射线A 1O 夹角为60°的方向运动到⊙O 上的点A 2处；接着又从A 2点出发，沿着射线A 2O 方向运动到⊙O 上的点A 3处，再向左沿着与射线A 3O 夹角为60°的方向运动到⊙O 上的点A 4处；…按此规律运动到点A 2021处，则点A 2021与点A 0间的距离是（）A ．4B ．23C ．2D ．0 4．（2021重庆市B 卷）下列图象都是由相同大小的按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有4颗，第②个图形中一共有11颗，第③个图形中一共有21颗，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中的颗数为（）A ．116B ．144C ．145D ．150二、填空题5．（2021山东省济宁市）请写出一个过点（1，1），且与x 轴无交点的函数解析式：． 6．（2021山东省济宁市）如图，正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的边长为1，它的六条对角线又围成一个正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2，如此继续下去，则正六边形A 4B 4C 4D 4E 4F 4的面积是．三、解答题7．（2021四川省南充市）如图，在正方形ABCD 中，点E 、G 分别是边AD 、BC 的中点，AF =14AB ．（1）求证：EF ⊥AG ；（2）若点F 、G 分别在射线AB 、BC 上同时向右、向上运动，点G 运动速度是点F 运动速度的2倍，EF ⊥AG 是否成立（只写结果，不需说明理由）？（3）正方形ABCD 的边长为4，P 是正方形ABCD 内一点，当PAB OAB S S ∆∆=，求△PAB 周长的最小值．8．（2021四川省达州市）如图，在△ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过点O 作直线EF ∥BC 分别交∠ACB 、外角∠ACD 的平分线于点E 、F ．（1）若CE =8，CF =6，求OC 的长；（2）连接AE 、AF ．问：当点O 在边AC 上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？并说明理由．9．（2021四川省达州市）探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），可通过构造直角三角形利用图1得到结论：()()22122121PP x x y y =-+-他还利用图2证明了线段P 1P 2的中点P （x ，y ）P 的坐标公式：122x x x +=，122y y y +=．（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；运用：（2）①已知点M （2，﹣1），N （﹣3，5），则线段MN 长度为；②直接写出以点A （2，2），B （﹣2，0），C （3，﹣1），D 为顶点的平行四边形顶点D 的坐标：；拓展：（3）如图3，点P （2，n ）在函数43y x =（x ≥0）的图象OL 与x 轴正半轴夹角的平分线上，请在OL 、x 轴上分别找出点E 、F ，使△PEF 的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值．10．（2021山东省枣庄市）如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，点O 在AB 上，以点O 为圆心，OA 为半径的圆恰好经过点D ，分别交AC ，AB 于点E ，F ．（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BD=23，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．11．（2021山东省枣庄市）已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F 在线段CB的延长线上，连接EA，EC．（1）如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC；（2）如图2，若点P在线段AB的中点，连接AC，判断△ACE的形状，并说明理由；（3）如图3，若点P在线段AB上，连接AC，当EP平分∠AEC时，设AB=a，BP=b，求a：b及∠AEC 的度数．12．（2021山西省）如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，OD⊥AB，与AC交于点E，与过点C 的⊙O的切线交于点D．（1）若AC=4，BC=2，求OE的长．（2）试判断∠A与∠CDE的数量关系，并说明理由．13．（2021江苏省盐城市）如图，矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当∠ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由．14．（2021江苏省盐城市）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，⊙F与y轴相交于另一点G．（1）求证：BC是⊙F的切线；（2）若点A、D的坐标分别为A（0，﹣1），D（2，0），求⊙F的半径；（3）试探究线段AG、AD、CD三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．15．（2021江苏省盐城市）（探索发现】如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=60°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为．【拓展应用】如图②，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为．（用含a，h的代数式表示）【灵活应用】如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE ，AB =32，BC =40，AE =20，CD =16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B 为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．【实际应用】如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD ，经测量AB =50cm ，BC =108cm ，CD =60cm ，且tan B =tan C =43，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M 、N 在边BC 上且面积最大的矩形PQMN ，求该矩形的面积． 16．（2021江苏省连云港市）如图，已知等腰三角形ABC 中，AB =AC ，点D 、E 分别在边AB ．AC 上，且AD =AE ，连接BE 、CD ，交于点F ．（1）判断∠ABE 与∠ACD 的数量关系，并说明理由；（2）求证：过点A 、F 的直线垂直平分线段BC ．17．（2021江苏省连云港市）问题呈现：如图1，点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上，AE =DG ，求证：2ABCD EFGH S S 矩形四边形．（S表示面积）实验探究：某数学实验小组发现：若图1中AH ≠BF ，点G 在CD 上移动时，上述结论会发生变化，分别过点E 、G 作BC 边的平行线，再分别过点F 、H 作AB 边的平行线，四条平行线分别相交于点A 1、B 1、C 1、D 1，得到矩形A 1B 1C 1D 1．如图2，当AH ＞BF 时，若将点G 向点C 靠近（DG ＞AE ），经过探索，发现：2S四边形EFGH =S矩形ABCD +S．如图3，当AH ＞BF 时，若将点G 向点D 靠近（DG ＜AE ），请探索S 四边形EFGH 、S 矩形ABCD 与S 之间的数量关系，并说明理由．迁移应用：请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：（1）如图4，点E 、F 、G 、H 分别是面积为25的正方形ABCD 各边上的点，已知AH ＞BF ，AE ＞DG ，S 四边形EFGH=11，HF 29，求EG 的长．（2）如图5，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =5，点E 、H 分别在边AB 、AD 上，BE =1，DH =2，点F 、G 分别是边BC、CD上的动点，且FG=10，连接EF、HG，请直接写出四边形EFGH面积的最大值．18．（2021湖北省襄阳市）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是中线，AC=BC，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E，F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N．（1）如图1，若CE=CF，求证：DE=DF；（2）如图2，在∠EDF绕点D旋转的过程中：①探究三条线段AB，CE，CF之间的数量关系，并说明理由；②若CE=4，CF=2，求DN的长．。

中考复习数学专题一开放探索问题检测(附答案)

中考复习数学专题一开放探索问题检测（附答案）〔30分钟 50分〕一、选择题(每题5分，共15分)1.(2021·莆田中考)等腰三角形的两条边长区分为3，6，那么它的周长为( )(A)15 (B)12(C)12或15 (D)不能确定2.如图，直线y=x+2与双曲线m 3y x -=在第二象限有两个交点，那么m 的取值范围在数轴上表示为( )3.(2021·宁波中考)如图，用邻边长区分为a ，b(a ﹤b)的矩形硬纸板裁出以a 为直径的两个半圆，再裁出与矩形的较长边、两个半圆均相切的两个小圆.把半圆作为圆锥形圣诞帽的正面，小圆恰恰能作为底面，从而做成两个圣诞帽(拼接处资料疏忽不计)，那么a 与b 满足的关系式是( )(A)b 3a = (B)51b a 2+=(C)5b a 2=(D)b 2a =二、填空题(每题5分，共10分)4.x 2+x-1=0，那么代数式2x 3+4x 2+3的值为________________________.5.(2021·潜江中考)ABCD 的周长为28，自顶点A 作AE ⊥CD 于点E ，AF ⊥CB 于点F.假定AE=3，AF=4，那么CE-CF=_______________.三、解答题(共25分)6.(12分)(2021·黄冈中考)新星小学门口有不时线马路，为方便先生过马路，交警在门口设有一定宽度的斑马线，斑马线的宽度为 4 米，为平安起见，规则车头距斑马线后端的水平距离不得低于2 米，现有一旅游车在路口遇红灯刹车停下，汽车里司机与斑马线前后两端的视角区分为∠FAE ＝15° 和∠FAD=30° .司机距车头的水平距离为0.8 米，试问该旅游车停车能否契合上述平安规范(E,D,C,B 四点在平行于斑马线的同不时线上)?【探求创新】7.(13分)(2021·河北中考)如图1和图2,在△ABC 中,AB=13,BC=14,cos ∠ABC=513. 探求如图1,AH ⊥BC 于点H,那么AH=________,AC=________,△ABC 的面积S △ABC =__________.拓展如图2,点D 在AC 上(可与点A,C 重合),区分过点A,C 作直线BD 的垂线,垂足为E,F,设BD=x,AE=m,CF=n.(当点D 与点A 重合时,我们以为S △ABD =0)(1)用含x,m 或n 的代数式表示S △ABD 及S △CBD ;(2)求(m+n)与x 的函数关系式,并求(m+n)的最大值和最小值;(3)对给定的一个x 值,有时只能确定独一的点D,指出这样的x 的取值范围.发现请你确定一条直线,使得A,B,C三点到这条直线的距离之和最小(不用写出进程),并写出这个最小值.答案解析1.【解析】选A.由题意可知：当6是腰时，三角形的周长是15；当3是腰时，3+3=6，不能组成三角形.2.【解析】选B.由题意可得m-3<0，故m<3；由直线y=x+2与双曲线m3yx-=在第二象限有两个交点，可得m3x2x-+=，即x2+2x-(m-3)=0，即Δ=4+4(m-3)>0，所以m>2.综上，可得2<m<3，应选B.3.【解析】选D.如图，设小圆半径为r，由题意得112r2(a)22π=⋅π，解得1 r a.4 =在Rt△O1O2H中，O1O2=13r a a24+=，O1H=12b，211O H a r a.24=-=又O1O22=O1H2+O2H2,所以222311(a)(b)(a)424=+，解得b2a.=应选D.4.【解析】把x2+x看成一个全体，得x2+x=1，所以2x3+4x2+3=2x3+2x2+2x2+3= 2x(x2+x)+2x2+3=2x+2x2+3=2(x2+x)+3=2+3=5.答案：55.【解析】(1)当E，F区分在线段CD和CB上时，如下图：设BC=x，DC=y，那么依据题意可得：x y14 4x3y+=⎧⎨=⎩，，解得x6y8=⎧⎨=⎩，，即BC=6，DC=8，依据勾股定理可知2222DE6333BF8443 =-==-=，，所以CE-CF= ()() 8336432 3. ---=+(2)当E，F区分在CD，CB的延伸线上时，如下图：同理可得CE-CF=2-3.答案：2323 +-或6.【解析】由题意得：∠FAE=15°，∠FAD=30°, ∴∠EAD=15°.∵FA∥BE, ∴∠AED=15°,即AD=DE=4米.在Rt△ADB中，∠ADB=∠FAD=30°,∴BD=AD·cos30°42=⨯=3.464米,DC=BD-BC=3.464-0.8=2.664米＞2米, ∴该车停车契合上述平安规范.7.【解析】探求12 15 84拓展(1)由三角形面积公式,得ABD CBD11S mx,S nx.22==(2)由(1)得CBDABD2S2Sm,n,x x==∴m+n=CBDABD2S2S168.x x x+=由于AC边上的高为ABC2S28456, 15155⨯==∴x的取值范围是565≤x≤14.∵(m+n)随x的增大而减小,∴当x=565时,(m+n)的最大值为15;当x=14时,(m+n)的最小值为12.(3)x的取值范围是x=565或13<x≤14.发现AC所在的直线,最小值为56 5.【高手支招】解压轴题时遇到困难的缘由及应对战略缘由：在解压轴题时遇到的困难能够来自多方面，如基础知识和基本技艺完善、解题阅历缺失或训练水平不够、自决计缺乏等，详细表现能够是〝不知从何处下手，不知向何方行进〞. 应对战略：在求解中考数学压轴题时，要注重一些数学思想方法的灵敏运用.数学思想方法是解好压轴题的重要工具，也是保证压轴题能求解的〝对而全、全而美〞的重要前提.针对近年全国各地中考数学压轴题的特点，在学习中要狠抓基础知识的落实，由于基础知识是〝不变量〞，而所谓的考试〝热点〞只是与标题的方式有关.有效地解答中考压轴题的关键是要以不变应万变.加大综合题的训练力度，增强解题方法的训练，增强数学思想方法的浸透，注重〝基本形式〞的积聚与变化。

08中考数学复习探索性问题专题

08中考数学复习探索性问题专题中考百分百——备战2008中考专题(探索性问题专题)一、知识网络梳理探索是人类认识客观世界过程中最生动、最活跃的思维活动，探索性问题存在于一切学科领域之中，在数学中则更为普遍．初中数学中的“探索发现”型试题是指命题中缺少一定的题设或未给出明确的结论，需要经过推断、补充并加以证明的命题，它不像传统的解答题或证明题，在条件和结论给出的情景中只需进行由因导果或由果导因的工作，从而定格于“条件——演绎——结论”这样一个封闭的模式之中，而是必须利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理，或由条件去探索不明确的结论；或由结论去探索未给予的条件；或去探索存在的各种可能性以及发现所形成的客观规律．通常情景中的“探索发现”型问题可以分为如下类型：1．条件探索型——结论明确，而需探索发现使结论成立的条件的题目．2．结论探索型——给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结3．4．以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．二、知识运用举例（一）、条件探索型例1．（2007呼和浩特市）在四边形ABCD 中，顺次连接四边中点E F G H ，，，，构成一个新的四边形，请你对四边形ABCD 填加一个条件，使四边形EFGH成为一个菱形．这个条件是 __ ．解：AC BD 或四边形ABCD 是等腰梯形（符合要求的其它答案也可以）例2．（2007荆门市）将两块全等的含30°角的A BD EFGH C三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为1．（1）四边形ABCD 是平行四边形吗？说出你的结论和理由：________________________．（2）如图2，将Rt △BCD 沿射线BD 方向平移到Rt △B 1C 1D 1的位置，四边形ABC 1D 1是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_________________________________________．（3）在Rt △BCD 沿射线BD 方向平移的过程中，当点B 的移动距离为______时，四边形ABC 1D 1为矩形，其理由是图CADB 图CADB 图D 1C 1B 1CADB 图30︒30︒B DAC_____________________________________；当点B的移动距离为______时，四边形ABC1D1为菱形，其理由是_______________________________．(图3、图4用于探究)解：（1）是，此时AD BC，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（2）是，在平移过程中，始终保持AB C 1D1，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（3）3，此时∠ABC1＝90°，有一个角是直角的平行四边形是矩形．3D与点B1重合，AC1⊥BD1，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．例3．（2006广东）如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，BC∥OA，OA＝7，AB＝4，∠COA＝60°，点P为x轴上的—个动点，点P不与点0、点A重合．连结CP，过点P作PD交AB于点D．（1）求点B的坐标；（2）当点P运动什么位置时，△OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标；（3）当点P 运动什么位置时，使得∠CPD ＝∠OAB ，且AB BD ＝85，求这时点P 的坐标． [解析]（1）；过C 作CD ⊥OA 于A ，BE ⊥OA 于E则△OCD ≌△ABE ，四边形CDEB 为矩形 ∴OD ＝AE ，CD ＝BE ∵OC ＝AB ＝4，∠COA ＝60° ∴CD ＝23，OD ＝2 ∴CB ＝DE ＝3 ∴OE ＝OD ＋DE ＝5 ∵BE ＝CD ＝23 ∴B （5，23）（2）∵∠COA ＝60°，△OCP 为等腰三角形 ∴△OCP 是等边三角形 ∴OP ＝OC ＝4 ∴P （4，0）即P 运动到（4，0）时，△OCP 为等腰三角形（3）∵∠CPD ＝∠OAB ＝∠COP ＝60°∴∠OPC ＋∠DPA ＝120° 又∵∠PDA ＋∠DPA ＝120° ∴∠OPC ＝∠PDA ∵∠OCP ＝∠A ＝60° ∴△COP ∽△PAD∴OP OCAD AP=∵58BD AB =，AB ＝4 ∴BD ＝52 ∴AD ＝32 即4372OP OP =-∴276OP OP-=得OP ＝1或6∴P 点坐标为（1，0）或（6，0）（二）、结论探索型例4．（2007云南省）已知：如图，四边形ABCD是矩形（AD ＞AB ），点E 在BC 上，且AE＝AD ，DF ⊥AE ，垂足为F ．请探求DF 与AB 有何数量关系？写出你所得到的结论并给予证明．解：经探求，结论是：DF ＝ AB ．FA D CE B证明如下：∵四边形ABCD 是矩形， ∴ ∠B＝90 ， AD ∥BC ，∴ ∠DAF＝∠AEB ．∵ DF ⊥AE ， ∴ ∠AFD ＝90，∵ AE ＝ AD ， ∴ △ABE ≌△DFA ．∴ AB ＝ DF ．例5．（2007北京市）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在ABC △中，点D E ，分别在AB AC ，上，设CD BE ，相交于点O ，若60A ∠=°，12DCB EBC A ∠=∠=∠．请你写出图中一个与A ∠相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；BO ADEC（3）在ABC △中，如果A ∠是不等于60°的锐角，点D E ，分别在AB AC ，上，且12DCB EBC A ∠=∠=∠．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．解：（1）回答正确的给1分（如平行四边形、等腰梯形等）．（2）答：与A ∠相等的角是BOD ∠（或COE ∠）．四边形DBCE 是等对边四边形．（3）答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE ．证法一：如图1，作CG BE ⊥于G 点，作BF CD ⊥交CD 延长线于F 点．因为12DCB EBC A ∠=∠=∠，BC 为公共边，所以BCF CBG △≌△．所以BF CG =．因为BDF ABE EBC DCB ∠=∠+∠+∠，BEC ABE A∠=∠+∠，所以BDF BEC ∠=∠．可证BDF CEG △≌△．所以BD CE =．所以四边形DBCE 是等边四边形．证法二：如图2，以C 为顶点作FCB DBC ∠=∠，CF 交BEBO ADECF图G于F 点．因为12DCB EBC A∠=∠=∠，BC 为公共边，所以BDC CFB △≌△．所以BD CF =，BDC CFB ∠=∠．所以ADC CFE ∠=∠．因为ADC DCB EBC ABE ∠=∠+∠+∠，FEC A ABE∠=∠+∠，所以ADC FEC ∠=∠．所以FEC CFE ∠=∠．所以CF CE =．所以BD CE =．所以四边形DBCE 是等边四边形．说明：当AB AC =时，BD CE =仍成立．只有此证法，只给1分．例6．（07山东滨州）如图1所示，在ABC △中，2AB AC ==，90A =∠，O 为BC 的中点，动点E 在BA 边上自由移动，动点F 在AC 边上自由移动．（1）点E F ，的移动过程中，OEF △是否能成为45EOF =∠的等腰三角形？若能，请指出OEF △为等BOADECF 图腰三角形时动点E F ，的位置．若不能，请说明理由．（2）当45EOF =∠时，设BE x =，CF y =，求y 与x 之间的函数解析式，写出x 的取值范围．（3）在满足（2）中的条件时，若以O 为圆心的圆与AB 相切（如图2），试探究直线EF 与O的位置关系，并证明你的结论．解：如图，（1）点E F ，移动的过程中，OEF △能成为45EOF ∠=°的等腰三角形．此时点E F ，的位置分别是： ①E 是BA 的中点，F 与A 重合．②BE CF ==E 与A 重合，F 是AC 的中点．（2）在OEB △和FOC △中，图1 图2B135EOB FOC ∠+∠=°，135EOB OEB ∠+∠=°，FOC OEB∠=∠∴．又B C ∠=∠∵，OEB FOC ∴△∽△．BE BOCO CF=∴．BE x=∵，CF y =，OB OC ===2(12)y x x=∴≤≤．（3）EF 与O相切．OEB FOC ∵△∽△，BE OECO OF =∴． BE OEBO OF=∴．即BE BO OE OF=．又45B EOF ∠=∠=∵°，BEO OEF ∴△∽△．BEO OEF∠=∠∴．∴点O 到AB 和EF 的距离相等． AB ∵与O相切，∴点O 到EF 的距离等于O的半径．EF∴与O相切．（三）、存在探索型存在性探索问题是指在某种题设条件下，判断具有某种性质的数学对象是否存在的一类问题.解题的策略与方法是：先假设数学对象存在，以此为条件进行运算或推理.若无矛盾，说明假设正确，由此得出符合条件的数学对象存在；否则，说明不存在．例7．(2006山东省威海市)抛物线y＝ax2＋bx ＋c (a≠0)过点A（1，－3），B（3，－3），C （－1，5），顶点为M点．⑴求该抛物线的解析式．⑵试判断抛物线上是否存在一点P，使∠POM＝90︒.若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标．解：⑴y＝x2-4x图2-2-33⑵易求得顶点M的坐标为(2，-4)．设抛物线上存在一点P，使OP⊥OM，其坐标为(a，a2-4a)．过P作PE⊥y轴，垂足为E；过M点作MF ⊥y轴，垂足为F，则∠POE ＋∠MOF ＝90︒，∠POE ＋∠EPO ＝90.∴∠EPO ＝∠FOM ．∵∠OEP ＝∠MFO ＝90︒，∴Rt △OEP ∽Rt △MFO ．∴OE ∶MF ＝EP ∶OF .即(a 2 -4a )∶2＝a ∶4.解得a 1 ＝0(舍去)，a 2 ＝29．故抛物线上存在一点P ，使∠POM ＝90︒，P点的坐标为(29，49)例8．(2006武汉市)已知：二次函数y ＝x 2 -(m ＋1)x ＋m 的图象交x 轴于A (x 1，0)、B (x 2，0)两点，交y 轴正半轴于点C ，且x 12 ＋x 22 ＝10．⑴求此二次函数的解析式；⑵是否存在过点D (0，-25)的直线与抛物线交于点M 、N ，与x 轴交于点E ，使得点M 、N 关于点E 对称？若存在，求直线MN 的解析式；若不存在，请说明理由．分析与解答 ⑴依题意，得x 1x 2＝m ，x 12 ＋x 22 ＝10，∵x 1 ＋x 2 ＝ m ＋1，∴(x 1 ＋x 2)2 -2x 1x 2 ＝10，∴(m ＋1)2 -2m ＝10，m ＝3或m ＝ -3，又∵点C 在y 轴的正半轴上，∴m ＝3． ∴所求抛物线的解析式为y ＝x 2 -4x ＋3． ⑵假设存在过点D (0，-25)的直线与抛物线交于M (x M ，y M )、N (x N ，y N )两点，与x 轴交于点E ，使得M 、N 两点关于点E 对称．∵M 、N 两点关于点E 对称，∴y M ＋y N ＝0. 设直线MN 的解析式为：y ＝kx -25．由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=.25-kx y 3x 4x y 2，得x 2 -(k ＋4)x ＋211＝0，∴x M ＋x N ＝4＋k ，∴y M ＋y N ＝k (x M ＋x N )-5＝0．∴k (k ＋4)-5＝0，∴k ＝1或k ＝ -5．当k ＝-5时，方程x 2 -(k ＋4)x ＋211＝0的判别式⊿＜0，∴k ＝1，∴直线MN 的解析式为y ＝x -25． ∴存在过点D (0，-25)的直线与抛物线交于M 、N 两点，与x 轴交于点E ，使得M 、N 两点关于点E 对称．例9．（2007乐山）如图（13），在矩形ABCD 中，4AB =，10AD =．直角尺的直角顶点P 在AD 上滑动时（点P 与A D ，不重合），一直角边经过点C ，另一直角边AB交于点E．我们知道，结论“Rt Rt AEP DPC △∽△”成立．（1）当30CPD =∠时，求AE 的长；（2）是否存在这样的点P ，使DPC △的周长等于AEP△周长的2倍？若存在，求出在，请说明理由．解（1）在Rt PCD △中，由tan CD CPD PD=∠，得44tan tan 30CD PD CPD ===∠10AP AD PD ∴=-=-由AEP DPC △∽△知AE APPD CD=，1012AP PDAE CD∴==．（2）假设存在满足条件的点P ，设DP x =，则10AP x =- 由AEP DPC △∽△知2CD AP=， 4210x∴=-，解得8x =，此时2AP =，4AE =符合题意．（四）、规律探索型规律探索问题是根据已知条件或所提供的若干个特例，通过观察、类比、归纳，提示和发图现题目所蕴含的本质规律与特征的一类探索性问题．例10．(2006湖南衡阳)观察算式：1＝12；1＋3＝4＝22；1＋3＋5＝9＝32；1＋3＋5＋7＝16＝42；1＋3＋5＋7＋9＝25＝52 ；……用代数式表示这个规律(n为正整数)：1＋3＋5＋7＋9＋＋(2n-1)＝______________________．分析与解答由以上各等式知，等式左端是从1开始的连续若干个奇数之和，右端是左端奇数个数的平方，由此易得1＋3＋5＋7＋…＋(2n-1)＝n2.填n2．例11 （2006吉林省）如图2－2－1，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第n个图案中白色瓷砖数为___________．图2-2-1分析与解答根据图形提供的信息探索规律，是近几年较流行的一种探索规律型问题.解决这类问题，首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加(或倍数)情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．第1个图案有白色瓷砖5(即2＋3⨯1)块；第2个图案有白色瓷砖8(即2＋3⨯2)块；第3个图案有白色瓷砖11(即2＋3⨯3)块. 由此可得，第n 个图案有白色瓷砖(2＋3n)块. 填3n＋2．例12．（2007资阳）设a1＝32－12，a2＝52－32，…，a n＝(2n＋1)2－(2n－1)2 (n为大于0的自然数)．（1）探究a n是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”. 试找出a1，a2，…，a n，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，a n为完全平方数(不必说明理由) ．解：（1）∵a n＝(2n＋1)2－(2n－1)2＝22n n n n n，4414418又n为非零的自然数，∴a n是8的倍数．这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数．说明：第一步用完全平方公式展开各1分，正确化简1分．（2）这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256．n为一个完全平方数的2倍时，a n为完全平方数．三、················知识巩固训练（题组训练）1．（2006年山东省）如图，△ABC中，D、E 分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD．（1）上述三个条件中，哪两个条件．．．．可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）；（2）选择第（1）小题中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形．2．（2006年随州市）如图，矩形ABCD中，M 是AD的中点．（1）求证：△ABM≌△DCM；（2）请你探索，当矩形ABCD中的一组邻边满足何种数量关系时，有BM⊥CM成立，说明你的理由．3．如图，在△ABC中，D为BC上一个动点（D 点与B、C不重合），且DE∥AC交AB•于点E，DF∥AB交AC于点F．（1）试探究，当AD满足什么条件时，四边形AEDF是菱形？并说明理由．（2）在（1）的条件下，△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？请说明理由．4．如图，AB是⊙O的直径，EF是⊙O的切线，切点是C．点D是EF上一个动点，连接AD．试探索点D运动到什么位置时，AC是∠BAD的平分线，请说明理由．5．（2006年成都市）已知：如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC•延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF．（1）求证：AF＝CE；（2）若AC＝EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．6．（2006年常德市）如图，P是等边三角形ABC 内的一点，连结PA、PB、PC，以BP•为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连结CQ．（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．（2）若PA：PB：PC＝3：4：5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．7．如图，AB是⊙O的直径，AD、BC、DC都是⊙O的切点，A、B、E分别是切点．（1）判定△COD的形状，并说明理由．（2）设AD＝a，BC＝b，⊙O的半径为r，试探究r与a，b之间满足的关系式，并说明理由．8．（2006年绵阳市）在正方形ABCD中，点P 是CD上一动点，连结PA，分别过点B、D 作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分别为E、F，如图①．（1）请探索BE、DF、EF这三条线段长度具有怎样的数量关系．若点P在DC•的延长线上（如图②），那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P在CD•的延长线上呢（如图③）？请分别直接写出结论；（2）请在（1）中的三个结论中选择一个加以证明．9．（2007云南省）已知：如图，抛物线2=++经y ax bx c过(1,0)B、(0,5)A、(5,0)C三点．（1）求抛物线的函数关系式；（2）若过点C的直线y kx b=+与抛物线相交于点E（4，m），请求出△CBE的面积S的值；（3）在抛物线上求一点P使得△ABP0为等腰三角形并写出P点的坐标；（4）除（3）中所求的P点外，在抛物线上是否还存在其它的点P使得△ABP为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点P（要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点P，请说明理由．Array10．（2007呼和浩特市）如图，在矩形ABCD中，AB =1AD =．点P 在AC 上，PQ BP ⊥，交CD 于Q ，PE CD ⊥，交于CD 于E ．点P 从A 点（不含A ）沿AC 方向移动，直到使点Q 与点C 重合．．为止．（1）设AP x =，PQE △的面积为S ．请写出S 关于x 的函数解析式，并确定x 的取值范围．（2）点P 在运动过程中，PQE △的面积是否有最大值，若有，请求出最大值及此时AP 的取值；若无，请说明理由．11．（2007成都市）在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2(0)y axbx c a =++≠的图象与x 轴交于A B，两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C，其BQED顶点的横坐标为1，且过点(23)，和(312)，．--（1）求此二次函数的表达式；（2）若直线:(0)l y kx k=≠与线段BC交于点D（不与点，重合），则是否存在这样的直线l，使得以B C△相似？若存在，求，，为顶点的三角形与BACB O D出该直线的函数表达式及点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上∠ACO坐标x的取值范围．p12（2007绵阳市）如图，已知抛物线y＝ax2 ＋bx－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为5．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E．（1）求m的值及抛物线的解析式；（2）设∠DBC＝α，∠CBE＝β，求sin （α－β）的值；（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．13（07日照）如图，直线EF将矩形纸片ABCD 分成面积相等的两部分，E、F分别与BC交于点E，与AD交于点F（E，F不与顶点重合），设AB＝a，AD＝b，BE＝x．(Ⅰ)求证：AF＝EC；(Ⅱ)用剪刀将纸片沿直线EF剪开后，再将纸片ABEF沿AB对称翻折，然后平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，直腰落在边DC的延长线上，拼接后，下方的梯形记作EE′B′C．（1）求出直线EE′分别经过原矩形的顶点A和顶点D时，所对应的x︰b的值；（2）在直线EE′经过原矩形的一个顶点的情形下，连接B E′，直线BE′与EF是否平行？你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，请你说明当a与b满足什么关系时，它们垂直？14．(2006江西省）如图2－2－2，用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案：……第1个第2个第3个图2-2-2⑴第4个图案中有白色纸片___________张；⑵第n个图案台有白色纸片___________张．15．(2006广西贺州市)观察图2－2－3中一列有规律的数，然后在“？”处填上一个合适的数，这个数是______________．16．(2006广西百色市)如图2－2－4，A 1A 2B 是直角三角形，且A 1A 2＝A 2B ＝a ，A 2A 3⊥A 1B ，垂足为A 3，A 3A 4⊥A 2B ，垂足为A 4，A 4A 5⊥A 3B ，垂足为A 5，……，A n ＋1A n ＋2⊥A n B ，垂足为A n ＋2，则线段A n ＋1A n ＋2(n 为自然数)的长为（）．（A ） n)2(a（B（C ）2a（D ）2na17．(2006江苏泰州市)如图2－2－5，每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵，根据图中提供的信息，用含n 的等式表示第n 个正方形点阵中的规律_______．图2-2-5 (2)11=2363+=26104+=2132+=A 2A 1A 3 A 4A 6A 5B图2-2-42415 830 35 48？图2-2-318．(2006浙江绍兴市)如图2－2－6，将边长为1的正方形OAPB 沿x 轴正方向连续翻转2 006次，点P 依次落在点P 1，P 2，P 3，P 4，…，P 2006的位置，则P 2006的横坐标x 2006＝_______________．19．（2007内江）如图（11），某小区有东西方向的街道3条，南北方向的街道4条，从位置A 出发沿街道行进到达位置B ，要求路程最短，研究共有多少种不同的走法．小东是这样想的：要使路程最短，就不能走“回头路”，只能分五步来完成，其中三步向右行进，两步数字“2”表示向上行进，那么“11221”与“11212”就表示两种符合要求的不同走法，请你思考后回答：符合要求的不同走法共有________种．图2-2-6B图A20．（2007内江）探索研究（1）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是________；根据此规律，如果na （n为正整数）表示这个数列的第n 项，那么18a =________，na =________；（2）如果欲求232013333+++++的值，可令232013333S =+++++……………………………………………………① 将①式两边同乘以3，得_______________________………………………………………………………② 由②减去①式，得S =____________________．（3）用由特殊到一般的方法知：若数列123na a a a ，，，，，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为q ，则na =________（用含1a q n ，，的代数式表示），如果这个常数1q ≠，那么123n a a a a ++++=________（用含1a q n ，，的代数式表示）．21．（07自贡）一个叫巴尔末的中学教师成功地从光谱数据59，1216，2125，3236，…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥秘的大门，请你按照这种规律，写出第n （n ≥1）个数据是___________．22．（2007德阳）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“ ”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为____________．23．（2007河南省）将图①所示的正六边形进))) ) )第17行进行分割得到图②，再将图②中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图③，再将图③中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割…，则第n 个图形中，共有________个正六边形．24．（2007安徽省）探索n ×n 的正方形钉子板上(n 是钉子板每边上的钉子数)，连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数：当n ＝2时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1与2，所以不同长度值的线段只有2种，图图图(第…若用S 表示不同长度值的线段种数，则S ＝2；当n ＝3时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1，2五种，比n ＝2时增加了3种，即S ＝2＋3＝5．(1) 观察图形，填写下表：(2) 写出(n －1)×(n －1)和n ×n 的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系；(用式子或语言表述均可) 【解】（3）对n ×n 的钉子板，写出用n 表示S 的代数式．【解】25．（07贵阳市）如图12，平面内有公共端点的六条射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，从射线OA 开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．（1）“17”在射线________（2 （3）“200726．（07无锡）图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为(1)1232n n n +++++=．图1 图2图3 图4如果图1中的圆圈共有12层，（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1234，，，，，则最底层最左边这个圆圈中的第2第1…… 第n数是；（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数23-，22-，21-，，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和．27．（07乐山）如图（15），在直角坐标系中，已知点0P 的坐标为(10)，，将线段0OP 按逆时针方向旋转45，再将其长度伸长为0OP 的2倍，得到线段1OP ；又将线段1OP 按逆时针方向旋转45，长度伸长为1OP的2倍，得到线段2OP ；如此下去，得到线段3OP ，4OP ，，n OP （n 为正整数）（1）求点6P 的坐标；（2）求56POP △的面积；（3）我们规定：把点()nnnP x y ，的横坐标nx 、纵坐标ny 标()nnxy ，称之为点nP 的“绝对坐标”．根据图中点nP 的分布规律，请你猜想点nP 的“绝对坐标”，并写出来．28．（07山东东营）根据以下10个乘积，回答问题：11×29； 12×28； 13×27； 14×26；5P15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．（1）试将以上各乘积分别写成一个“□2－○2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；（2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；（3）试由⑴、⑵猜测一个一般性的结论．（不要求证明）答案：1．答案不惟一，符合题意即可．2．（1）略（2）当AD＝2AB时，有BM•⊥CM成立．说明理由（略）3．（1）当AD平分∠BAC时，四边形AEDF 是菱形．理由（略）（2）在（1）的条件下，当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形．说明理由（略）4．当点D•运动到满足条件AD⊥EF时，AC平分∠BAD．证明（略）5．（1）证明△ADF≌△CDE即可（2）四边形AFCE是矩形．（证明略）6．（1）证明△BPA≌△BQC，AP＝CQ （2）△PQC是直角三角形，∵PA：PB：PC＝3：4：5，设PA＝3k，PB＝4k，PC＝5k，∵∠PBQ＝60°，BP＝BQ，∴△PBQ是等边三角形，∴PQ＝PB＝4k，在△PQC中，∵PQ2＋QC2＝（4k）2＋（3k）2＝25k2，PC2＝（5k）2＝25k2，∴PQ2＋QC2＝PC2，∴△PQC是Rt△．7．（1）△COD是直角三角形，连OE，由圆的切线的性质可证得：•△OAD ≌△OED ，△OEC ≌△OBC ，∴∠AOD ＝∠EOD ，∠EOC ＝∠BOC ，可证得∠DOC ＝90°，•所以△COD 是直角三角形．（2）r 与a 、b 之间满足的关系是r 2＝ab ．证明△OAD ∽△CBO ，得OA AD BC OB =，OA ·OB ＝AD ·BC 即r 2＝ab ． 8．解：（1）①BE ＝DF ＋EF ，②BE ＝DF －EF ，③EF ＝BE ＋DF ．（2）•证明略．9．解：（1）∵抛物线经过点(1,0)A 、(5,0)B ，∴(1)(5)y a x x =--．又∵抛物线经过点(0,5)C ， ∴55a =，1a =．∴抛物线的解析式为2(1)(5)65y x x x x =--=-+．（2）∵E 点在抛物线上，∴m ＝ 42–4×6＋5 ＝－3． ∵直线y ＝ kx ＋b 过点C （0， 5）、E （4， –3），∴5,4 3.b k b =⎧⎨+=-⎩解得k ＝－2，b ＝ 5．设直线y ＝－2x ＋5与x 轴的交点为D ，当y ＝0时，－2x ＋5＝0，解得x ＝52． ∴D 点的坐标为（52，0）． ∴S ＝S △BDC ＋ S △BDE＝1515(5)5+(5)32222⨯-⨯⨯-⨯ ＝10．（3）∵抛物线的顶点0(3,4)P -既在抛物线的对称轴上又在抛物线上，∴点0(3,4)P -为所求满足条件的点．（4）除0P 点外，在抛物线上还存在其它的点P使得△ABP 为等腰三角形．理由如下： ∵22024254AP BP ==+=>，∴分别以A 、B 为圆心半径长为4画圆，分别与抛物线交于点B 、1P 、2P 、3P 、A 、4P 、5P 、6P ，除去B 、A 两个点外，其余6个点为满足条件的点．（说明：只说出P 点个数但未简要说明理由的不给分）10．解：（1）解：过点P 作PF BC ⊥，垂足为F ．在矩形ABCD 中，PF AB ∥ PFC ABC ∴△∽△ FC PC PFBC AC AB ==∴ 又AP x =∵，1BC AD ==，AB = 又∵在Rt ABC △中，3AC ==3PC x =-313FC x -=∴ 33xFC -=∴3133x xBF BC FC -=-=-=∴又PE CD ⊥∵ 90PEC ∠=∴°又在四边形PFCE 中，90PFC BCD PEC ∠=∠=∠=°∴四边形PFCE 为矩形90FPE ∠=∴°又PQ BP ⊥∵ 90BPQ ∠=∴°FPE BPQ ∠=∠∴ EPQ QPF BPF FPQ ∠+∠=∠+∠∴ EPQ BPF ∠=∠∴ 又90PEQ BFP ∠=∠=° PEQ PFB ∴△∽△ EQ PEBF PF=∴ 又PE FC = EQ FCBF PF =∴ 又FC PFBC AB=FC BC PF AB =∴EQ BCBF AB=∴ BC BFEQ AB=·∴3x EQ ==∴113223x S EQ PE -==∴··27224S x x =+∴或23)72S xx =-+过点B 作BK AC ⊥，垂足为K ．在Rt ABC △中，由等积法可得1122AC BK AB BC =·· AC BK AB BC =∴··31BK ⨯=BK ∴由题意可得当Q 与C 重合时，P 与K 重合即AP AK =，由ABK ABC △∽△得AK AB BK BC =即2x = 83x =∴ x∴的取值范围是803x <≤（2）PQE △面积有最大值由（1）可得2S x =2372232x ⎫=--+⎪⎝⎭∴当32x =即32AP =时， S面积最大，即32S=最大11．解：（1）二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点(23)，和(312)--，，∴由1242393212.ba abc a b ⎧-=⎪⎪++=⎨⎪-+=-⎪⎩，，解得123.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，，∴此二次函数的表达式为223y x x =-++．（2）假设存在直线:(0)l y kx k =≠与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC △相似．在223y xx =-++中，令0y =，则由2230xx -++=，解得1213x x =-=， (10)(30)A B ∴-，，，．令0x =，得3y =．(03)C ∴，．设过点O 的直线l 交BC 于点D ，过点点E ．点B 的坐标为(30)，，点C 的坐标为(03)，为(10)-，．4345.AB OB OC OBC ∴===∠=，，BC ∴==．要使BOD BAC △∽△或BDO BAC △∽△，已有B B ∠=∠，则只需BD BO BC BA=， ① 或.BO BDBC BA= ②成立．若是①，则有344BO BC BD BA ⨯===．而45OBC BE DE ∠=∴=，．∴在Rt BDE△中，由勾股定理，得2222224BE DE BE BD ⎛⎫+=== ⎪ ⎪⎝⎭．解得 94BE DE ==（负值舍去）． 93344OE OB BE ∴=-=-=．∴点D 的坐标为3944⎛⎫⎪⎝⎭，．将点D 的坐标代入(0)y kx k =≠中，求得3k =．∴满足条件的直线l 的函数表达式为3y x =．［或求出直线AC 的函数表达式为33y x =+，则与直线AC 平行的直线l 的函数表达式为3y x =．此时易知BOD BAC△∽△，再求出直线BC 的函数表达式为3y x =-+．联立33y x y x ==-+，求得点D 的坐标为3944⎛⎫⎪⎝⎭，．］若是②，则有32BO BA BD BC===．而45OBC BE DE ∠=∴=，．∴在Rt BDE△中，由勾股定理，得222222BE DE BE BD +===．解得 2BE DE ==（负值舍去）．321OE OB BE ∴=-=-=．∴点D 的坐标为(12)，．将点D 的坐标代入(0)y kx k =≠中，求得2k =．∴满足条件的直线l 的函数表达式为2y x =． ∴存在直线:3l y x =或2y x =与线段BC 交于点D （不与点B C，重合），使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC△相似，且点D 的坐标分别为3944⎛⎫ ⎪⎝⎭，或(12)，．（3）设过点(03)(10)C E ，，，的直线3(0)y kx k =+≠与该二次函数的图象交于点P ．将点(10)E ，的坐标代入3y kx =+中，求得3k =-． ∴此直线的函数表达式为33y x =-+．设点P 的坐标为(33)x x -+，，并代入223y x x =-++，得250x x -=．解得1250xx ==，（不合题意，舍去）．512x y ∴==-，．∴点P 的坐标为(512)-，．此时，锐角PCO ACO ∠=∠．又二次函数的对称轴为1x =，∴点C 关于对称轴对称的点C '的坐标为(23)，． ∴当5px>时，锐角PCO ACO ∠<∠；当5px=时，锐角PCO ACO ∠=∠；当25px<<时，锐角PCO ACO ∠>∠．12．解：（1）由题意可知C （0，－3），12=-ab ，∴ 抛物线的解析式为y ＝ ax 2－2ax －3（a ＞0），过M 作MN ⊥y 轴于N ，连结CM ，则MN ＝ 1，5=CM ，∴ CN ＝ 2，于是m ＝－1．同理可求得B （3，0），∴ a ×32－2－2a ×3－3 ＝ 0，得 a ＝1，∴ 抛物线的解析式为y ＝ x 2－2x －3．（2）由（1）得 A （－1，0），E （1，－4），D （0，1）．xBEA O C 1x =PC '·∴ 在Rt △BCE 中，23=BC ，2=CE ， ∴313==OD OB ，3223==CE BC ，∴CEBCOD OB =，即CEODBC OB =，∴ Rt △BOD ∽Rt △BCE ，得 ∠CBE＝∠OBD ＝β，因此 sin （α－β）＝ sin （∠DBC －∠OBD ）＝ sin ∠OBC ＝22=BCCO ．（3）显然 Rt △COA ∽Rt △BCE ，此时点P 1（0，0）．过A 作AP 2⊥AC 交y 正半轴于P 2，由Rt △CAP 2 ∽Rt △BCE ，得)31,0(2P ．过C 作CP 3⊥AC 交x 正半轴于P 3，由Rt △P 3CA ∽Rt △BCE ，得P 3（9，0）．故在坐标轴上存在三个点P 1（0，0），P 2（0，1∕3），P 3（9，0），使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与BCE 相似．13．解：(Ⅰ)证明：∵AB ＝a ，AD ＝b ，BE ＝x ，S 梯形ABEF ＝ S 梯形CDFE ．∴21a (x ＋AF )＝21a (EC ＋b －AF )，∴2AF ＝EC ＋(b －x )．又∵EC ＝b －x ，∴2AF ＝2EC ，即AF ＝EC ； (Ⅱ)（1）当直线EE′经过原矩形的顶点D 时，如图（一）， ∵EC ∥E ′B ′，∴B E EC ''＝B D DC '．由EC ＝b －x ，E ′B ′＝EB ＝x ， DB ′＝DC ＋CB ′＝2a ，得aax x b 2=-，∴x ︰b ＝32；当直线E′E 经过原矩形的顶点A 时，如图（二），在梯形AE ′B ′D 中，∵EC ∥E ′B ′，点C 是DB ′的中点， ∴CE ＝21(AD ＋ E ′B ′)，即b －x ＝21（b ＋x ）， ∴x ︰b ＝31．（2）如图（一），当直线EE′ 经过原矩形的顶点D 时，BE ′∥EF ．证明：连接BF ． ∵FD ∥BE ， FD ＝BE ， ∴四边形FBED 是平行四边形， ∴FB ∥DE ， FB ＝DE ，又∵EC ∥E ′B ′，点C 是DB ′的中点， ∴DE ＝EE ′，∴FB ∥EE ′， FB ＝ EE ′， ∴四边形BE ′EF 是平行四边形 ∴BE ′∥EF ．如图（二），当直线EE′ 经过原矩形的顶点A时，显然BE ′与EF 不平行，设直线EF 与BE′交于点G .过点E ′作E ′M ⊥BC 于M ，则E ′M ＝a .． ∵x ︰b ＝31， ∴EM ＝31BC ＝31b ．若BE′与EF 垂直，则有∠GBE ＋∠BEG ＝90°，又∵∠BEG ＝∠FEC ＝∠MEE ′， ∠MEE ′＋∠ME ′E ＝90°， ∴∠GBE ＝∠ME ′E ．在Rt △BME ′中，tan ∠E ′BM＝ tan ∠GBE ＝BMM E '＝ba 32．在Rt △EME ′中，tan ∠ME ′E＝ME EM '＝a b 31， ∴ba 32＝ab 31．又∵a ＞0，b ＞0，=ba 32，∴当=b a32时，BE′与EF 垂直．。

中考数学探索性训练题课标试题

中考数学探究题训练制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅…… 日期：2022年二月八日。

1、我们平常用的数是十进制数，如2639=2×103+6×102+3×101+9×100，表示十进制的数要用10个数码〔又叫数字〕：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9。

在电子数字计算机中用的是二进制，只要两个数码：0和1。

如二进制中101=1×22+0×21+1×20等于十进制的数5，10111=1×24+0×23＋1×22＋1×21＋1×20等于十进制中的数23，那么二进制中的1101等于十进制的数。

2、从1开场，将连续的奇数相加，和的情况有如下规律：1=1=12；1+3=4=22；1+3+5=9=32；1+3+5+7=16=42；1+3+5+7+9=25=52；…按此规律请你猜测从1开场，将前10个奇数〔即当最后一个奇数是19时〕，它们的和是。

3、小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：输入 (1)2345… 输出…2152 103 174 265…那么，当输入数据是8时，输出的数据是〔〕A 、618 B 、638 C 、658 D 、678 4、如下左图所示，摆第一个“小屋子〞要5枚棋子，摆第二个要11枚棋子，摆第三个要17枚棋子，那么摆第30个“小屋子〞要枚棋子.5、如下右图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子，观察图形的变化规律，写出第n 个小房子用了块石子。

(1)(2)(3)第4题6、如以下图是用棋子摆成的“上〞字：第一个“上〞字第二个“上〞字第三个“上〞字假如按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：〔1〕第四、第五个“上〞字分别需用和枚棋子；〔2〕第n个“上〞字需用枚棋子。

7、如图一串有黑有白，其排列有一定规律的珠子，被盒子遮住一局部，那么这串珠子被盒子遮住的局部有____颗.8、为确保信息平安，信息需加密传输，发送方由明文→密文〔加密〕，接收方由密文→明文〔解密〕，有一种密码，将英文26个小写字母a，b，c，…，z依次对应0，1，2，…，25这26个自然数〔见表格〕，当明文中的字母对应的序号为β时，将β+10除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文s对应密文c字母 a b c d e f g h i j k l m序号0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12字母n o p q r s t u v w x y z序号13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 按上述规定，将明文“maths〞译成密文后是〔〕A．wkdrc B．wkhtc C．eqdjc D．eqhjc9、下面是按照一定规律画出的一列“树型〞图：(1)(2)(3)(4)经观察可以发现：图〔2〕比图〔1〕多出2个“树枝〞，图〔3〕比图〔2〕多出5个“树枝〞，图〔4〕比图〔3〕多出10个“树枝〞，照此规律，图〔7〕比图〔6〕多出个“树枝〞。

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中考数学开放探索性专题测试题
（满分：100分；考试时间：100分钟）
一、填空题（每小题3分，共24分）
1. 在四边形ABCD 中，已知AB//CD ，请补充条件（写一个即可），使得四边形ABCD 为平行四边形；若ABCD 是平行四边形，请补充条件 (写一个即可)，使四边形ABCD 为菱形。

东
2
1E
D
B
A
（1）（2）（3）
3. 在△ABC 和△ADC 中，下列三个论断：①AB=AD ；②∠BAC ＝∠DAC ；③BC=DC 将其中的两个论断作为条件，另一个论断作为结论写出一个真命题是。

4. 如图2，已知∠1=∠2，若再增加一个条件就能使结论“AB ·DE=AD ·BC ”成立，则这个条件可以是。

5. 如图3，这是一个滚珠轴承的平面示意图，若该滚珠轴承的内、外圆周的半径分别为2和6，则在该轴承内最多能放颗半径均为2的滚珠。

6. 观察下列算式并填空：32-12=8×1，52-32=8×2。

①72-52=8× ；②92- 2=8×4;③
2-92=8×5；④132- 2=8×6， ……
通过观察归纳，写出反映这种规律的一般结论： _____________ （用文字语言表述）。

7. 用计算器探索：按一定规律排列的一组数：
1，2，-3，2，5，-6，7……，如果从1开始依次连续选取若干个数，使它们的和大于5，那么至少要选个数。

（1）若给机器人下了一个指令[4，60°]，则机器人应移
动到点；（2）请你给机器人下一个指令，使其移动到点（-5，5）。

二、选择题（每小题3分，共21分，每小题只有一个答案正确，请把正确答案的代号填入题后的括号内）。

9. 用两块完全重合的等腰直角三角形纸片拼成下列图形：①平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；②矩形；③正方形；④等边三角形；⑤等腰直角三角形，其中一定能拼成的图形是（）
A. ①②③
B. ②③⑤
C. ①③⑤
D. ①③④⑤
10. 在Rt △ABC 的直角边AC 上有一点P （点P 与点A 、C 不重合），过点P 作直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，则满足条件的直线共有（）
A. 4条
B. 3条
C. 2条
D. 1条
11. 若二次函数y=ax 2+c ，当x 取x 1，x 2(x 1≠x 2)时，函数值相等，那么当x 取x 1+x 2时，函数值是（）
A. a+c
B. a-c
C. –c
D. c
12. 圆内接四边形ABCD 中，由AB//DC 不一定能推出（）
A. AD=BC
B. AC=BD
C.ADC BCD
D. AD//BC
13. 在共有15人参加的“我爱祖国——争做五小公民”演讲比赛中，参赛选手成绩各不相等，因此选手要想知道自己是否进入前8名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的（）
A. 平均数
B. 众数
C. 中位数
D. 方差
14. 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则a 、b 、c 、a+b+c 这四个式子中，值为正数的有（）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
15. 如图4，⊙O 的直径为10cm ，弦AB 为6cm ，P 是弦AB 上一点，
若OP 的长为整数，则满足条件的点P 有（）
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
1
2
2
2
2
1
1
11
1
（4）（5）
三、解答题。

（共55分）
16.
（1）当梯形的个数为10个时，图形的周长是；（2）当梯形的个数为n 时，求图形的周长（用含n 的代数式表示），并求当图形的周长为80时，梯形的个数。

17. （6分）△ABC是等边三角形，找一点P使△PAB、△PAC、△PBC都是等腰三角形，请
分别在下列三个图形中画出点P的位置，并分别注明哪些线段相等。

B A
B
A
B
A
18. （7分）在平面直角坐标系中，已知点A（1，6），B（2，3），C（3，2）。

（1）在平面直角坐标系中描出点A、B、C；
（2）根据你学过的函数类型，推测这三个点会同时在哪种函数的图象上；
（3）求出（2）中你推测的函数图象的解析式，并说明该函数的图象一定过这三个点。

19. （8分）如图，点P在圆上，依据圆周角定理可知：∠BPC等于BmC度数的一半，分
别考察图（2）、（3）两种情形；当点P 在圆外（或圆内）时，BP 、CP （或它们的延长线）分别交圆于A 、D ，设BmC 的度数是x ，AnD 的度数是y ，试用x 、y 表示∠BPC 的大小，并说明你的结论。

(1)
m
C
B
P
n
(2)
m D C
B P
A
n (3)
m
D
C
B
P
A
20. (8分)已知：如图，在△ABC 中，AC=14，BC=62 ，∠ACB=45°，点O 在AC 边上移动，以O 为圆心作⊙O ，使⊙O 与AB 相切，切点为D ，⊙O 与AC 边交于E 、F 两点（点E 在点F 左边）。

设⊙O 的半径为r ，四边形BDOC 的面积为S 。

求：S 与r 的函数关系式。

F
E
D C
B
A
O
21. （8分）如图所示，AB 是⊙O 的直径，直线EF 与⊙O 相交于C 、D ，AE ⊥EF 于E ，BF ⊥EF 于F ，在线段EF 上是否存在点P ，使得以P 、A 、E 为顶点的三角形和以P 、B 、F 为
顶点的三角形相似？若不存在，说明理由；若存在，这样的点P 共有几个？并指出点P 在图形中的位置。

22. （12分）已知反比例函数y=
x
k
2和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过（a ，b ），(a+1，b+k)两点。

（1）求反比例函数的解析式；（2）如图，已知点A 在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求A 点坐标；
（3）利用（2）的结果，请问：在x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形？若存在，把符合条件的P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由。

答案
一、填空题
y
x A O
1. AB=CD 等 AB=BC 等。

2. 162。

3. ①② →③。

4.∠B=∠D 或者∠AED=∠C 等。

5. 6。

6. 3；7；11；11；两个连续奇数的平方差能被8整除（或是8的倍数）。

7. 7。

8. (-23，2)；[52，45°]
二、选择题
9. C ；10. B ；11. D ；12. D ；13. C ；14. A ；15. B 。

16. （1）32；（2）5+3（n-1）或2+3n ，n=26。

17.
PB=PC
AB=AC=AP PA=PC
BP=BC=BA PA=PB=PC
18. （1）略；
（2）反比例函数图象上；
（3）x
y 6=
19. 图②中，连结BD 可得∠BPC=∠BDC-∠ABD
=
)(2
1
2121y x y x -=- 图③中，连结BD ，可得∠BPC=∠BDC+∠ABD=)(2
1
2121y x y x +=+
20. 过B 作BH ⊥AC 于H ，可求得S=-423
22
+y
21. 连结AD 、BC 、AC 、BD 则△ACE △CBF ，△AED ∽△DFB ，由此可知满足条件的点P 有C 、D 两个。

22. （1）y=
x
1；
（2）A （1，1）；
（3）①当OA 为腰时，由OA=OP 得
P1=（2，0），P2（-2，0）（如图①） ②当OA=AP ，得P3（2，0）（如图②） ③当OA 为底时，得P4（1，0）（如图③）
故符合条件的点有4个，分别是（2，0），（-2，0），（2，0）（1，0）
(1)
(2)
A
A
4
P 3
2
1
(3)。