04扭转

知：当
d R , max 2

max
d T T T 2 (令 Wt I d Wt I I 2
d ) 2
max
T Wt
Wt — 抗扭截面系数（抗扭截面模量），
几何量，单位：[长度]3。
对于实心圆截面： 对于空心圆截面：
Wt I R D3 16 Wt I R D3 (1 4 ) 16
d G G dx
d G dx
3. 静力学关系：
dA
T A dA d A G dA dx d G A 2 dA dx
2
O
令
I A dA
2
I p 称为横截面对圆心的极惯性矩。
d T GI dx
n1=n2= 120r/min
z1 36 n3＝n1 ＝120 r/min＝360r/min z3 12
2、计算各轴的扭矩 3
M e1 T1 9549 M e2 14 1114 Nm 120 7 T2 9549 557 Nm 120 7 185.7 Nm 360


D2
16 716.2 0.046m=46mm 4 6 π 1- 40 10


0.5, d2 23mm
确定实心轴与空心轴的重量之比 实心轴 空心轴
d1=45 mm
2 1
D2＝46 mm
3 2
d2＝23 mm
长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：
A1 d 1 45 10 2 ＝ 1.28 2 3 2 A2 D2 1 46 10 1 0.5
´ b d
dx
t
上式称为切应力互等定理。 该定理表明：在相互垂直的两个平面上，切应力必然 成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其 方向则共同指向或共同背离该交线。
纯剪切
各个截面上只有切应
力没有正应力的情况称为
纯剪切
三、切应变 剪切胡克定律
G 在切应力的作用下， τ 单元体的直角将发生微小 的改变，这个改变量 称 G — 剪切弹性模量(GN/m2) 为切应变。 各向同性材料， 三个弹性常数之间的 当切应力不超过材料的 剪切比例极限时，切应变 关系： 与切应力τ成正比，这个关 E G 系称为剪切胡克定律。
校核强度： max
①
T max Wt
[ ]
3 实： D 16 3 Wt D（ 4 空： 1 ） 16
②
设计截面尺寸：
Wt
T max [ ]
③
计算许可载荷： Tmax Wt [ Nhomakorabea] [] 称为许用切应力。
例1 由无缝钢管制成的汽车传动轴，外径D=90mm、壁厚
M
M e2 ②求扭矩（扭矩按正方向设） 1
x
Me3 2
Me1 3 n
Me4
0 , T1 M e 2 0
1
T1 M e 2 4.78kN m A
B
2
C
3
D
T2 M e 2 M e 3 0 , T2 M e 2 M e3 (4.78 4.78) 9.56kN m M e 4 T3 0 , T3 M e 4 6.37kN m
A0：平均半径所作圆的面积。


二、切应力互等定理
①无正应力
a
dy

´
dx
②横截面上各点处，
只产生垂直于半径的均匀 分布的切应力 ，沿周向 大小不变，方向与该截面 的扭矩方向一致。

´ b

c
d
微小单元体
m
z
0
a c z ´

( t dy)dx ( t dx)dy dy 故
2.扭矩和扭矩图 用截面法研究横 截面上的内力
T = Me
扭矩正负规定
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为正(+),反之为负(-)
扭矩图：表示各横截面上扭矩沿杆件轴线变化的图线。
目 的
①扭矩变化规律； ②|T|max值及其截面位置 强度计算 （危险截面）。
[例1]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入
三、圆轴扭转破坏现象
低碳钢试件： 沿横截面断开。
铸铁试件： 沿与轴线约成45的 螺旋面断开。
四、圆轴扭转时的强度计算
max
Tmax Wt
1. 等截面圆轴：
2. 阶梯形圆轴：
max
Tmax [ ] Wt
max
Tmax ( )max [ ] Wt
强度计算三方面：
代入物理关系式
d T dx GI p d G dx
T Ip
T Ip
4.
—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。
公式讨论：
① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等截面
圆轴。
② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
—该点到圆心的距离。 Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。

（2） 强度校核
max
T 1500 6 51 10 Pa 9 Wt 29400 10 51MPa [ ] 60MPa
满足强度要求
例2 如把上例中的传动轴改为实心轴，要求它与原来的 空心轴强度相同，试确定其直径。并比较实心轴和空心 轴的重量。
解：当实心轴和空心轴的最大应力同为[]时，两轴的许
结果说明横截面上没有正应力
采用截面法将圆筒截开，横截面上分布有与截面平行的
切应力。由于壁很薄，可以假设切应力沿壁厚均匀分布。
A dA r0 T r0 AdA r0 2 r0 t T T T 2 2 r0 t 2 A0 t
2(1 )
§3.4 圆轴扭转时的应力
26
圆轴扭转的平面假设： 圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍 保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线；
且相邻两截面间的距离不变。
①变形几何关系
等直圆轴横截面应力
②物理关系
③静力关系
一、等直圆轴扭转实验观察： 1. 横截面变形后仍为平面； 2. 轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍为平行。
P 7.5 M e T 9549 9549 716.2N m n 100
实心轴
T 16T max1 3 40MPa Wt1 πd1
16 716.2 d1 0.045m=45mm 6 π 40 10
3
空心轴
3
max2
T 16T 40MPa 3 4 Wt 2 πD2 1
I A dA
2
单位：[长度]4
③
尽管由等直实心圆轴推出，但同样适用于等直空心圆轴，
也近似适用于截面沿轴线变化缓慢的小锥度圆轴。
对于实心圆截面：
I p A dA
2
d
2 d
2
D 2 0

O
D

D
4
32
对于空心圆截面：
d
I p A dA
可扭矩分别为
T1 Wt [ ]
T2

16
D13 [ ]

16
D (1 )[ ]
3 4

16
(90)3 (1 0.9444 )[ ]
若两轴强度相等，则T1=T2 ，于是有
D13 (90)3 (1 0.9444 )
D1 53.1mm 0.0531m
实心轴和空心轴横截面面积为
2

d O D
2 d
2
D 2 d 2


32 D 4 4 (1 ) 32
(D4 d 4 )
d ( ) D
④
应力分布
（实心圆截面）
（空心圆截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。
⑤
由
确定最大剪应力：
T Ip
M e3 T3 9549
第三章
扭转
1
§3.1 扭转的概念和实例 §3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 §3.3 纯剪切 §3.4 圆轴扭转时的应力 §3.5 圆轴扭转时的变形
§3.1 扭转的概念和实例
3
汽车传动轴
汽车方向盘
扭转受力特点 及变形特点:
杆件受到大小相等,方向相反且作用平 面垂直于杆件轴线的力偶作用, 杆件的横截 面绕轴线产生相对转动。 受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横 截面大都是圆形的。 所以本章主要介绍圆轴扭转。
例题4
已知：输入功率P1＝14kW,P2= P3=P1/2，
n1=n2=120r/min, z1=36,z3=12;d1=70mm, d 2=50mm, d3=35mm.[]=30MPa。
求:各轴横截面上的最大切应力；并校核各轴强度。
3
解：1、计算各轴的功率与转速
P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 kW
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
7
1.外力偶矩
直接计算
按输入功率和转速计算
已知：P — 功率，千瓦（kW）
n — 转速，转/分（rpm）
求：力偶矩Me
电机每秒输入功： 外力偶作功完成：
W P 1000(N m)
n W M e 2 60
P M e 9549 (N m) n