最新第7讲.竞赛123班.教师版

精品文档 精品文档 被世人誉为数学王子的德国数学家高斯曾经说过“如果说数学是科学的皇后,那么数论是数学皇后的皇冠。” 大家熟知的“费马大定理”，“哥德巴赫猜想”就是这个皇冠上璀璨的明珠。有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。 1. 回顾数论知识体系； 2. 精讲数论经典范例。

【例1】 加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成6个零件,第二道工序每名工人每小时可完成10个零件,第三道工序每名工人每小时可完成15个零件.要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多少名工人?

【分析】为了使生产均衡,则每道工序每小时生产的零件个数应相等,设第一、二、三道工序上分别有A、B、C个工人,有61015ABCk,那么k的最小值为6,10,15的最小公倍数,即6,10,1530。所以5A,3B，2C，则三道工序最少共需要53210名工人．

【例2】 甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少?

【分析】对90分解质因数:902335。 因为5|126,所以5|甲,即甲中不含因数5,于是乙必含因数5。 因为2|105,所以2|乙,即乙中不含因数2,于是甲必含2。 因为9|105,所以9|乙,即乙最多含有一个因数3，甲必含9。 综上所述，甲为18的倍数，所以只能是18。 注：两个数的最小公倍数含有两数的所有质因子,并且这些质因数的个数为两数中此质因数的最大值．如322357a,32235711b，则A、B的最小公倍数含有质因子2,3,5,7,11,并且它们的个数为a、b中含有此质因子较多的那个数的个数.即依次含有3

个,3个,2个,1个,1个,即332[,]235711ab。

专题回顾 教学目标 数论综合 第七讲 精品文档 精品文档 枚举法（也称为穷举法）是把讨论的对象分成若干种情况（分类），然后对各种情况逐一讨论，最终解决整个问题。运用枚举法有时要进行恰当的分类，分类的原则是不重不漏。正确的分类有助于暴露问题的本质，降低问题的难度。数论中最常用的分类方法有按模的余数分类，按奇偶性分类及按数值的大小分类等。

【例3】 求这样的三位数，它除以11所得的余数等于它的三个数字的平方和。 【分析】三位数只有900个，可用枚举法解决，枚举时可先估计有关量的范围，以缩小讨论范围，减少计算量。设这个三位数的百位、十位、个位的数字分别为x，y，z。由于任何数除以11所

得余数都不大于10，所以222xyz10。 从而13x，03y，03z。所求三位数必在以下数中： 100101102103110111112120121122130200201202211212220221300301310 不难验证只有100，101两个数符合要求。

【例4】 写出12个都是合数的连续自然数。 【分析】（法一）在寻找质数的过程中，我们可以看出100以内最多可以写出7个连续的合数：90，91，92，93，94，95，96。我们把筛选法继续运用下去，把考查的范围扩大一些就行了。用筛选法可以求得在113与127之间共有13个都是合数的连续自然数：114，115，116，117，118，119，120，121，122，123，124，125，126。 （法二）如果设这12个数分别是a，1a，2a，，11a，如果2a能被2到13中任意一个数整除，那么a，1a，2a，，11a，能分别被2、3、4,,13整除，所以，只要取13!a即可得到符合条件的12个数。 （法三）上面的方法虽然巧妙，但是计算13!非常困难，所以应该选取折中的方法，设这12个数分别是5a，4a，，4a，5a，6a。所以只要使a能被2到6的所有整数整除，并且保证1a和1a都是合数即可，通过试验可得到120a即是符合条件的值。

枚举法 经典精讲 精品文档 精品文档 【例5】 如图，有三张卡片，在它们上面分别写着"1"，"2"，"3"。从中抽出一张、两张、三张，按任意次序排起来，可以得到不同的一位数、两位数、三位数。请将其中的素数都写出来。（素数即质数）

【分析】 因为这三个数字的和为6，能被3整除，所以用这三个数字任意排成的三位数都能被3整除，所以不可能是素数。再看两张卡片的情形。因为123，根据同样的道理，用1，2组成的两位数也能被3整除，因此也不是素数。这样剩下要讨论的两位数只有13，31，23，32这四个了。其中13，31，23都是素数。最后一位数素数只有2，3。

【拓展】a、b和c都是两位数，a、b的个位分别是7和5，c的十位是1,如果它们满足等式2005abc，则______abc。

【分析】既然a和b的个位分别是7与5，ab的个位是5，可知2005cab的个位一定是0，而且。已知c的十位是1，所以10c.1995ab，既然a、b的个位分别是7与5，可知57a，35b，所以573510102abc。

【例6】 求一个四位数，它的前两位数字及后两位数字分别相同，而该数本身等于一个整数的平方． 【分析】设所求的四位数为xaabb，则10001001011100xaabbab，其中09a，09b。可见平方数x被11整除，从而x被211整除．因此，数10099abaab能被11

整除，于是ab能被11整除．但018ab，以11ab．于是21191xa，由此可知91a是某个自然数的平方．对1a，2，，9逐一检验，易知仅7a时，91a为平方数，故所求的四位数是2774488。

【前铺】一个两位数，其十位与个位上的数字交换以后，所得的两位数比原来小27，则满足条件的两位数共有______个。 【分析】原两位数为10ab，则交换个位与十位以后，新两位数为10ba，两者之差为1010927abbaab，即3ab，a、b为一位自然数，即96，85，74，63，

对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。这些常用的形式有： 1. 十进制表示形式：1010101010nnnnNaaa； 2. 二进制表示形式：1010222nnnnNaaa； 3. 带余形式：abqr；（奇数可以表示为21n，偶数表示为2n，其中n为整数） 4. 标准分解式：1212kaaakppp； 5. 2的乘方与奇数之积式：2mnt；（其中t为奇数）。 6. 最大公约数与系数之积式：1mdm，1ndn，其中,mnd，11,1mn。

代数表示法 精品文档

精品文档 52，41满足条件。

【例7】 求一个最大的完全平方数，在划掉它的最后两位数后，仍得到一个完全平方（假定划掉的两个数字中的一个非零）。

【分析】设 2n满足条件，令22100nab，其中0100b。于是100n，即101na。因此22100201bnaa，由此得201100a，所以4a。 经验算，仅当4a时，41n满

足条件。若41n则2222404240100n。因此，满足条件的最大的完全平方数为2411681。

【例8】 从自然数1，2，3，，1000中，最多可取出多少个数使得所取出的数中任意三个数之和能被18整除？

【分析】设a，b，c，d是所取出的数中的任意4个数，则18abcm，18abdn，其中m，n是自然数。于是18cdmn。上式说明所取出的数中任意2个数之差是18的倍数，即

所取出的每个数除以18所得的余数均相同。设这个余数为r，则118aar，118bbr，

118ccr，其中1a，1b，1c是整数。于是111183abcabcr。因为18|abc，所以18|3r，即6|r，推知0r，6，12。因为1000551810，所以，从1，2，…，1000

中可取6，24，42，，996共56个数，它们中的任意3个数之和能被18整除。

【例9】 如果2ab被5除余数为2，3ab被5除所得的余数为3，求证：ab能被5整除。（a、b都是自然数）

【分析】（法一）设252abk，354abl， 解方程组252353abkabl得到1058731557lkaklb，所以151057lkab能被5整除。 （法二）由题目条件2332abab能被5整除，即38ab能被5整除，继而得到33ab

能被5整除，所以ab能被5整除。

【前铺】如果23ab是5的倍数,证明：23ba也是5的倍数。（a、b都是自然数） 【分析】（法一）55ab是5的倍数，所以552332ababab是5的倍数。

（法二）设235abk，那么532kba，则53155232322kbkbbab，是5的倍数。

【前铺】如果3ab是7的倍数，求证2ba也是7的倍数。（a、b都是自然数） 【分析】（法一）3ab是7的倍数，所以62ab也是7的倍数，所以627aba也是2ba也是7的倍数。 （法二）设37abk，那么73kba，所以7723bkba也是7的倍数。 【拓展】如果abc是5的倍数，234abc也是5的倍数，求证ac是5的倍数。（a、b、c都是自然数）