【创新设计】高中数学(人教版选修2-1)配套练习：2.1曲线与方程(含答案解析)
人教课标版高中数学选修2-1基础训练：曲线与方程1
2.1 曲线与方程1.已知坐标满足方程F (x ，y )＝0的点都在曲线C 上，那么 ( ).A.曲线C 上的点的坐标都适合方程F (x ，y )＝0B.凡坐标不适合F (x ，y )＝0的点都不在C 上C.不在C 上的点的坐标必不适合F (x ，y )＝0D.不在C 上的点的坐标有些适合F (x ，y )＝0，有些不适合F (x ，y )＝02.下列选项中方程表示图中曲线的是 ( ).3.方程x 2＋xy ＝x 表示的曲线是 ( ).A.一个点B.一条直线C.两条直线D.一个点和一条直线4.点A (1，－2)在曲线x 2－2xy ＋ay ＋5＝0上，则a ＝________.5.方程y ＝x 2－2x ＋1所表示的曲线是________.6.方程(x ＋y －1)x 2＋y 2－4＝0表示什么曲线？7.方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是 ( ).A.两个点B.四个点C.两条直线D.四条直线8.下面四组方程表示同一条曲线的一组是 ( ).A.y 2＝x 与y ＝xB.y ＝lg x 2与y ＝2lg xC.y ＋1x －2＝1与lg (y ＋1)＝lg (x －2) D.x 2＋y 2＝1与|y |＝1－x 29.已知方程①x－y＝0；②x－y＝0；③x2－y2＝0；④xy＝1，其中能表示直角坐标系的第一、三象限的角平分线C的方程的序号是________.10.方程|x－1|＋|y－1|＝1所表示的图形是________.11.已知P(x0，y0)是曲线f(x，y)＝0和曲线g(x，y)＝0的交点，求证：点P在曲线f(x，y)＋λg(x，y)＝0(λ∈R)上.12.(创新拓展)已知曲线C的方程为x＝4－y2，说明曲线C是什么样的曲线，并求该曲线与y轴围成的图形的面积.参考答案1.解析 条件中“坐标满足方程F (x ，y )＝0的点都在曲线C 上”，只满足了曲线和方程概念的一个条件，并不满足“曲线C 上的所有点的坐标都是方程F (x ，y )＝0的解”，所以A 是错误的，也就是说有可能存在曲线C 上某个点，它的坐标不是方程F (x ，y )＝0的解，因此B 是错误的.由条件知C 是正确的.答案 C2. 解析 对于A ，x 2＋y 2＝1表示一个整圆；对于B ，x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )＝0，表示两条相交直线；对于D ，由lg x ＋lg y ＝0知x >0，y >0.答案 C3. 解析 由x 2＋xy ＝x ，得x (x ＋y －1)＝0，即x ＝0或x ＋y －1＝0.由此知方程x 2＋xy ＝x 表示两条直线.故选C.答案 C4. 解析 由题意可知点(1，－2)是方程x 2－2xy ＋ay ＋5＝0的一组解，即1＋4－2a ＋5＝0，解得a ＝5.答案 55. 解析 y ＝（x －1）2＝|x －1|.答案 以(1，0)为端点的两条射线6. 解 由(x ＋y －1)x 2＋y 2－4＝0可得⎩⎨⎧x ＋y －1＝0，x 2＋y 2－4≥0，或x 2＋y 2－4＝0，即⎩⎨⎧x ＋y －1＝0，x 2＋y 2≥4，或x 2＋y 2＝4， 由圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝12＝22<2得 直线与圆相交，所以⎩⎨⎧x ＋y －1＝0，x 2＋y 2≥4，表示直线x ＋y －1＝0在圆x 2＋y 2＝4上和外面的部分，x 2＋y 2＝4表示圆心在坐标原点，半径为2的圆.所以原方程表示圆心在坐标原点，半径为2的圆和斜率为－1，纵截距为1的直线在圆x 2＋y 2＝4的外面的部分，如图所示.7. 解析 由已知⎩⎨⎧x 2－4＝0，y 2－4＝0，∴⎩⎨⎧x ＝±2，y ＝±2即⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2，或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－2或⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝2，或⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝－2.选B. 答案 B8. 解析 主要考虑x 与y 的范围.答案 D9. 解析 ①是正确的；②不正确，如点(－1，－1)在第三象限的角平分线上，但其坐标不满足方程x －y ＝0；③不正确.如点(－1，1)满足方程x 2－y 2＝0，但它不在曲线C 上；④不正确.如点(0，0)在曲线C 上，但其坐标不满足方程x y ＝1.答案 ①10. 解析 当x ≥1，y ≥1时，原方程为x ＋y ＝3；当x ≥1，y <1时，原方程为x －y ＝1；当x <1，y ≥1时，原方程为－x ＋y ＝1；当x <1，y <1时，原方程为x ＋y ＝1.画出方程对应的图形，如图所示为正方形.答案 正方形11. 证明 ∵P 是曲线f (x ，y )＝0和曲线g (x ，y )＝0的交点，∴P 在曲线f (x ，y )＝0上，即f (x 0，y 0)＝0，且P 在曲线g (x ，y )＝0上，即g (x 0，y 0)＝0，∴f (x 0，y 0)＋λg (x 0，y 0)＝0＋λ·0＝0，∴点P 在曲线f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0(λ∈R )上.12. 解 由x ＝4－y 2，得x 2＋y 2＝4.又x ≥0，∴方程x ＝4－y 2表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，从而该曲线C与y轴围成的图形是半圆，其面积S＝12π·4＝2π.所以所求图形的面积为2π.。
中国人民大学附属中学高二数学人教A版选修2-1：2.1曲线与方程练习 课件(共22张ppt)
10．已知点M到点F(0，1)和直线l：y=－1 的距离相等，求点M的轨迹方程。 1 2 y x 4 11．画出到两坐标轴距离之差等于1的点的
轨迹图形。
y 1 x 1 -1 O -1 1 1 O -1 x -1 -1 y y 1 x O 1 -1 -1 O 1 y 1 x
-1
（A）
（B）
（C）
（ D）
| x| 7．方程 y 2 表示的曲线是（ B ） x
（A）
（B）
（C）
（ D）
8．已知△ABC的顶点B(0，0)，C(5，0)， AB边上的中线长|CD|=3，则顶点A的轨迹 方程为 x2+y2－20x+64=0 (y≠0)。 9．已知A(－1，0)，B(2，4)，△ABC的面 积为10，求动点C的轨迹方程。 4x－3y－16=0或4x－3y+24=0
5．曲线y=|x|与y=kx+1的交点情况是（ A ）
（A）最多有两个交点 （B）有两个交点
（C）仅有一个交点
（D）没有交点
6．方程|x|+|y|=1表示的曲线是（ D ）
y 1 x 1 -1 1 O -1 O -1 x 1 -1 -1 y y 1 x 1 -1 y 1 x 1
-1
O
O -1
（A）
（D）一个点和一条直线
3．“f(x0，y0)=0”是“点P(x0，y0)在曲线
f(x，y)=0上”的（B ） （A）充分不必要条件
（B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
4．若曲线C1的方程f1(x，y)=0，曲线C2的方 程f2(x，y)=0，若C1与C2有且仅有P1，P2两 个公共点，则曲线C：f1(x，y)+λf2(x，y)=0 与C2的公共点有（ C ） （A）只有点P1一个 （B）只有点P2一个 （C）只有点P1，P2两个 （D）除了点P1，P2两个公共点外，还有 其它公共点
高中数学(人教A版选修2-1)课件：2-1 曲线与方程
栏目 导引
第一章 由方程研究曲线 XXX
三角函数
下列方程分别表示什么曲线： (1)(x＋y－1) x－1＝0； (2)2x2＋y2－4x＋2y＋3＝0； (3)(x－2)2＋ y2－4＝0.
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第一章
三角函数
【精彩点拨】 (1)方程(x＋y－1) x－1 ＝0中“x＋y－1”与“ x－1 ”两 式相乘为0可作怎样的等价变形？ (2)在研究形如Ax2＋By2＋Cx＋Dy＋E＝0的方程时常采用什么方法？ (3)由两个非负数的和为零，我们会想到什么？
【答案】 x2＋y2＝4(x≠±2)
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第一章
三角函数
[小组合作型]
对曲线的方程和方程的曲线的定 义的理解
分析下列曲线上的点与相应方程的关系： (1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系； (2)到两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系； (3)第二、四象限角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系. 【导学号：37792038】
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第一章
三角函数
[再练一题] 1.已知方程x2＋(y－1)2＝10. (1)判断点P(1，－2)，Q( 2，3)是否在此方程表示的曲线上；
m (2)若点M 2 ，－m在此方程表示的曲线上，求实数m的值.
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第一章
三角函数
【解】 (1)因为12＋(－2－1)2＝10，( 2)2＋(3－1)2＝6≠10， 所以点P(1，－2)在方－1)2＝10表示的曲线上.
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第一章
三角函数
1.分析此类问题要严格按照曲线的方程与方程的曲线的定义. 2.定义中有两个条件，这两个条件必须同时满足，缺一不可.条件(1)保证了 曲线上所有的点都适合条件f(x，y)＝0；条件(2)保证了适合条件的所有点都在 曲线上，前者是说这样的轨迹具有纯粹性，后者是说轨迹具有完备性.两个条件 同时成立说明曲线上符合条件的点既不多也不少，才能保证曲线与方程间的相 互转化.
2020年高中数学人教A版选修2-1 圆锥曲线与方程 2.1.1、2.1.2 Word版含答案
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．曲线x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0与x 轴的交点坐标是( ) A ．(4，0)和(－1，0) B ．(4，0)和(－2，0) C ．(4，0)和(1，0)D ．(4，0)和(2，0)【解析】 在曲线x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0中，令y ＝0，则x 2－3x －4＝0，∴x ＝－1或x ＝4.∴交点坐标为(－1，0)和(4，0)． 【答案】 A2．方程(x 2－4)(y 2－4)＝0表示的图形是( ) A ．两条直线 B ．四条直线 C ．两个点D ．四个点【解析】 由(x 2－4)(y 2－4)＝0得(x ＋2)(x －2)(y ＋2)·(y －2)＝0，所以x ＋2＝0或x －2＝0或y ＋2＝0或y －2＝0，表示四条直线．【答案】 B3．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1，2)与动点P (x ，y )满足OP→·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是( ) A ．x ＋y ＝4 B ．2x ＋y ＝4 C ．x ＋2y ＝4D ．x ＋2y ＝1【解析】 由OP →＝(x ，y )，OA →＝(1，2)得OP →·OA →＝(x ，y )·(1，2)＝x ＋2y ＝4，则x ＋2y ＝4即为所求的轨迹方程，故选C.【答案】 C4．方程(2x －y ＋2)·x 2＋y 2－1＝0表示的曲线是( ) A ．一个点与一条直线 B ．两个点C ．两条射线或一个圆D ．两个点或一条直线或一个圆【解析】 原方程等价于x 2＋y 2－1＝0，即x 2＋y 2＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，x 2＋y 2－1≥0，故选C. 【答案】 C5．已知方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a ＞0)所确定的两条曲线有两个交点，则a 的取值范围是( )A ．a ＞1B ．0＜a ＜1C ．0＜a ＜1或a ＞1D ．a ∈∅【答案】 A 二、填空题6．“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是“方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程”的________条件．【解析】 “方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程 ”⇒“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”，反之不成立．【答案】 必要不充分 7．方程x －3·(x ＋y ＋1)＝0表示的几何图形是________________．【解析】 由方程得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x －3≥0，或x －3＝0，即x ＋y ＋1＝0(x ≥3)或x ＝3. 【答案】 一条射线和一条直线8．(2016·广东省华南师大附中月考)已知定点F (1，0)，动点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上，且PM →·PF →＝0，延长MP 到点N ，使得|PM →|＝|PN→|，则点N 的轨迹方程是________. 【导学号：18490037】 【解析】 由于|PM→|＝|PN →|，则P 为MN 的中点．设N (x ，y )，则M (－x ，0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，由PM →·PF →＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－y 2＝0，所以(－x )·1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2＝0，则y 2＝4x ，即点N 的轨迹方程是y 2＝4x .【答案】 y 2＝4x 三、解答题9．如图2-1-1，圆O 1与圆O 2的半径都是1，|O 1O 2|＝4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM ，PN (M ，N 分别为切点)，使得|PM |＝2|PN |，试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程．图2-1-1【解】 以O 1O 2的中点为原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，得O1(－2，0)，O2(2，0)．连结PO1，O1M，PO2，O2N.由已知|PM|＝2|PN|，得|PM|2＝2|PN|2，又在Rt△PO1M中，|PM|2＝|PO1|2－|MO1|2，在Rt△PO2N中，|PN|2＝|PO2|2－|NO2|2，即得|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1)．设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，化简得(x－6)2＋y2＝33.因此所求动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.10．△ABC的三边长分别为|AC|＝3，|BC|＝4，|AB|＝5，点P是△ABC 内切圆上一点，求|P A|2＋|PB|2＋|PC|2的最小值与最大值．【解】因为|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，所以∠ACB＝90°.以C为原点O，CB，CA所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，由于|AC|＝3，|BC|＝4，得C(0，0)，A(0，3)，B(4，0)．设△ABC内切圆的圆心为(r，r)，由△ABC 的面积＝12×3×4＝32r ＋2r ＋52r ， 得r ＝1，于是内切圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1⇒x 2＋y 2＝2x ＋2y －1， 由(x －1)2≤1⇒0≤x ≤2.设P (x ，y )，那么|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＝x 2＋(y －3)2＋(x －4)2＋y 2＋x 2＋y 2＝3(x 2＋y 2)－8x －6y ＋25＝3(2x ＋2y －1)－8x －6y ＋25＝22－2x ，所以当x ＝0时，|P A |2＋|PB |2＋|PC |2取最大值为22， 当x ＝2时取最小值为18.[能力提升]1．到点A (0，0)，B (－3，4)的距离之和为5的轨迹方程是( ) A ．y ＝－43x (－3≤x ≤0) B ．y ＝－43x (0≤x ≤4) C ．y ＝－43x (－3≤x ≤4) D ．y ＝－43x (0≤x ≤5)【解析】 注意到|AB |＝5，则满足到点A (0，0)，B (－3，4)的距离之和为5的点必在线段AB 上，因此，方程为y ＝－43x (－3≤x ≤0)，故选A.【答案】 A2．(2016·河南省实验中学月考)已知动点P 到定点(1，0)和定直线x＝3的距离之和为4，则点P的轨迹方程为()A．y2＝4xB．y2＝－12(x－4)C．y2＝4x(x≥3)或y2＝－12(x－4)(x<3)D．y2＝4x(x≤3)或y2＝－12(x－4)(x>3)【解析】设P(x，y)，由题意得（x－1）2＋y2＋|x－3|＝4.若x≤3，则y2＝4x；若x>3，则y2＝－12(x－4)，故选D.【答案】 D3．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|P A|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于________．【解析】设动点P(x，y)，依题意|P A|＝2|PB|，∴（x＋2）2＋y2＝2（x－1）2＋y2，化简得(x－2)2＋y2＝4，方程表示半径为2的圆，因此图形的面积S＝π·22＝4π.【答案】4π4．过点P(2，4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程.【导学号：18490038】【解】法一设点M的坐标为(x，y)，∵M 为线段AB 的中点，∴A 点的坐标为(2x ，0)，B 点的坐标为(0，2y )． ∵l 1⊥l 2，且l 1，l 2过点P (2，4)， ∴P A ⊥PB ，即k P A ·k PB ＝－1， 而k P A ＝4－02－2x ＝21－x (x ≠1)，k PB ＝4－2y 2－0＝2－y 1，∴21－x·2－y 1＝－1(x ≠1)， 整理得x ＋2y －5＝0(x ≠1)．∵当x ＝1时，A ，B 的坐标分别为(2，0)，(0，4)， ∴线段AB 的中点坐标是(1，2)，它满足方程x ＋2y －5＝0. 综上所述，点M 的轨迹方程是x ＋2y －5＝0.法二 设点M 的坐标为(x ，y )，则A ，B 两点的坐标分别是(2x ，0)，(0，2y )，连结PM .∵l 1⊥l 2，∴2|PM |＝|AB |.而|PM |＝（x －2）2＋（y －4）2， |AB |＝（2x ）2＋（2y ）2，∴2（x －2）2＋（y －4）2＝4x 2＋4y 2，化简得x ＋2y －5＝0，即为所求的点M 的轨迹方程......................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。
高中数学(人教实验A版选修2-1)2.1曲线与方程同步练测.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2.1 曲线与方程同步练测建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（每小题8分，共32分）1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的曲线是( )A．一条直线和一条双曲线B．两条双曲线C．两个点D．以上答案都不对2．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是( )A．2x＋y＋1＝0B．2x－y－5＝0C．2x－y－1＝0D．2x－y＋5＝03．若命题“曲线上的点的坐标都是方程的解”是正确的，下列命题正确的是（）A．方程的曲线是B．坐标满足的点均在曲线上C．曲线是方程的轨迹D．表示的曲线不一定是曲线4.已知是圆上的两点,且||=6,若以为直径的圆恰好经过点(1,-1),则圆心的轨迹方程是( )A.B.C.D.二、填空题（每小题8分，共24分）5．已知两定点A(-2，0)，B(1，0)，若动点P满足｜PA｜＝2｜PB｜，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于__________.6．若方程与所表示的两条曲线的交点在方程的曲线上，则的值是__________.7．两个定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，则点M的轨迹是 .三、解答题(共44分)8.（22分）如图所示，过点P(2,4)作互相垂直的直线l1，l2.若l1交x轴于A，l2交y轴于B，求线段AB中点M的轨迹方程．9.（22分）已知△的两个顶点的坐标分别是（-5，0）、（5，0），边所在直线的斜率之积为求顶点的轨迹方程一、选择题1.C 解析：(x －y)2＋(xy －1)2＝0⇔0,10,x y xy -=⎧⎨-=⎩ 故1,=1,x y =⎧⎨⎩或1,1.x y =-⎧⎨=-⎩因此是两个点. 2.D 解析：设点Q(x ，y)，则点P 为(－2－x ,4－y)，代入2x －y ＋3＝0得2x －y ＋5＝0.3.D 解析：由于不能判断以方程的解为坐标的点是否都在曲线上，故方程的曲线不一定是故也不能推出曲线是方程的轨迹，从而得到A ，B ，C 均不正确，故选 D ．4.A 解析：因为以为直径的圆恰好经过点(1,-1),∴ ,故△为直角三角形,又为斜边中点,∴ ,故点的轨迹是以(1,-1)为圆心,3为半径的圆,其方程为.二、填空题5. 4π 解析：设P (x ，y )为轨迹上任一点，由｜P A ｜＝2｜PB ｜得=4即∴所求面积为4π.6. ±3 解析：联立方程，组成方程组 解得∵ 方程与所表示的两条曲线的交点在方程+=9的曲线上，∴ 0+=9，∴ =±3.7．以两定点的中点为圆心，以2为半径的圆解析：设两定点分别为A 、B ，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中点为坐标原点建立直角坐标系，则 A (-3，0)，B (3，0)，设M (x ，y )，则=26，即=4.三、解答题8. 解：设点M 的坐标为(x ，y)，∵ M 是线段AB 的中点，A 点的坐标为(2x,0)，B 点的坐标为(0,2y)．∴ PA →＝(2x －2，－4)，PB →＝(－2,2y －4)．由已知PA →·PB →＝0，∴－2(2x －2)－4(2y －4)＝0，即x ＋2y －5＝0.∴ 线段AB 中点M 的轨迹方程为x ＋2y －5＝0.9. 解：设则 = ＝（≠±5）．由•=• ，化简可得+＝1，所以动点的轨迹方程为+＝1（≠±5）。
人教A版高中数学选修2-1配套课件：2-1曲线与方程
命题方向3 ⇨求曲线的方程
已知圆 C：x2＋(y－3)2＝9，过原点作圆 C 的弦 OP，求 OP 中点 Q 的轨迹方程. 导学号 21324365
[ 思路分析] 关键是寻找 Q 点满足的几何条件，可以考虑圆的几何性质，如 CQ⊥OP，还可考虑 Q 是 OP 的中点．
[ 规范解答] 解法一：(直接法)如图，因为 Q 是 OP 的中点， 所以∠OQC＝90° . 设 Q(x，y)，由题意，得 |OQ|2＋|QC|2＝|OC|2， 即 x2＋y2＋[x2＋(y－3)2] ＝9， 32 9 所以 x ＋(y－2) ＝4(去掉原点)．
x＝0 ⇔ y＝±1
2 2 2 2
x＝0 ＝0⇔ 2 2 x ＋y －1＝0
表示点(0,1)、(0，－1)．
• 『规律总结』 判断方程表示什么曲线， 必要时要对方程适当变形，变形过程中一 定要注意与原方程等价，既不能扩大也不 能缩小变量的取值范围．
〔跟踪练习 2〕 导学号 21324364 已知方程 x2＋(y－1)2＝10. (1)判断点 P(1，－2)、Q( 2，3)是否在此方程表示的曲线上； m (2)若点 M( 2 ，－m)在此方程表城关区校级月考)已知直线：y＝kx－k＋1 与曲线 C：x2＋2y2＝m 有 公共点，则 m 的取值范围是 导学号 21324358 ( A．m≥3 B．m≤3
A
) D．m<3
C．m>3
4．已知两定点 A(－2,0)，B(1,0)，如果动点 P 满足|PA|＝}，则点 P 的轨迹所 围成的图形的面积等于 导学号 21324359 ( A．π B．4π
C
)
A．曲线 l 的方程是 F(x，y)＝0 B．方程 F(x，y)＝0 的曲线是 l C．坐标不满足方程 F(x，y)＝0 的点不在曲线 l 上 D．坐标满足方程 F(x，y)＝0 的点在曲线 l 上
(完整word版)高中数学选修2-1课后习题答案[人教版]
高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]高中数学选修2-1 课后习题答案第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系练习（ P4）1、略 .2、（1）真；（2）假；（3）真；（4）真.3、（1）若一个三角形是等腰三角形，则这个三角形两边上的中线相等. 这是真命题 .（2）若一个函数是偶函数，则这个函数的图象对于y 轴对称.这是真命题.（3）若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行. 这是假命题 .练习（ P6）1、抗命题：若一个整数能被 5 整除，则这个整数的末位数字是0. 这是假命题 .否命题：若一个整数的末位数字不是0，则这个整数不可以被5整除 . 这是假命题 .逆否命题：若一个整数不可以被5 整除，则这个整数的末位数字不是0. 这是真命题 .2、抗命题：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等. 这是真命题 .否命题：若一个三角形有两条边不相等，这个三角形有两个角也不相等. 这是真命题 .逆否命题：若一个三角形有两个角不相等，则这个三角形有两条边也不相等.这是真命题 .3、抗命题：图象对于原点对称的函数是奇函数. 这是真命题 .否命题：不是奇函数的函数的图象不对于原点对称. 这是真命题 .逆否命题：图象不对于原点对称的函数不是奇函数. 这是真命题 .练习（ P8）证明：若 a b 1，则a2b22a 4b3( a b)( a b) 2( a b) 2b3a b 2 2b3a b 10所以，原命题的逆否命题是真命题，进而原命题也是真命题.习题 1.1 A组（P8）1、（1）是；（2）是；（3）不是；（4）不是.2、（1）抗命题：若两个整数 a 与b的和a b 是偶数，则a,b都是偶数.这是假命题.否命题：若两个整数a,b 不都是偶数，则 a b 不是偶数.这是假命题.逆否命题：若两个整数 a 与b的和a b 不是偶数，则a, b不都是偶数.这是真命题.（2）抗命题：若方程 x2 x m 0 有实数根，则m 0. 这是假命题 . 否命题：若 m 0 ，则方程x2x m 0没有实数根.这是假命题.逆否命题：若方程x2x m 0 没有实数根，则m 0 .这是真命题.3、（1）命题能够改写成：若一个点在线段的垂直均分线上，则这个点到线段的两个端点的距离相等 .抗命题：若一个点到线段的两个端点的距离相等，则这个点在线段的垂直均分线上.这是真命题 .否命题：若一个点到不在线段的垂直均分线上，则这个点到线段的两个端点的距离不相等 .这是真命题.逆否命题：若一个点到线段的两个端点的距离不相等，则这个点不在线段的垂直均分线上 .这是真命题.（ 2）命题能够改写成：若一个四边形是矩形，则四边形的对角线相等.抗命题：若四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形. 这是假命题 .否命题：若一个四边形不是矩形，则四边形的对角线不相等. 这是假命题 .逆否命题：若四边形的对角线不相等，则这个四边形不是矩形. 这是真命题 .4、证明：假如一个三角形的两边所对的角相等，依据等腰三角形的判断定理，这个三角形是等腰三角形，且这两条边是等腰三角形，也就是说这两条边相等. 这就证了然原命题的逆否命题，表示原命题的逆否命题为真命题. 所以，原命题也是真命题.习题 1.1 B组（P8）证明：要证的命题能够改写成“若p ，则 q ”的形式：若圆的两条弦不是直径，则它们不能相互均分 .此命题的逆否命题是：若圆的两条订交弦相互均分，则这两条订交弦是圆的两条直径.能够先证明此逆否命题：设AB,CD 是e O的两条相互均分的订交弦，交点是 E ，若 E 和圆心 O 重合，则AB,CD是经过圆心 O 的弦，AB,CD是两条直径.若 E 和圆心 O 不重合，连结AO, BO,CO 和DO，则OE是等腰AOB ， COD 的底边上中线，所以，OE AB ，OE CD .AB 和 CD 都经过点 E ，且与 OE 垂直，这是不行能的.所以， E 和 O 必定重合.即 AB 和 CD 是圆的两条直径 .原命题的逆否命题得证，由互为逆否命题的相同真假性，知原命题是真命题.1.2充足条件与必需条件练习（ P10）1、（1）；（2）；（3）；（4）.2、（1）.3（ 1） .4、（1）真；（2）真；（ 3）假；（ 4）真 .练习（ P12）1、（1）原命题和它的抗命题都是真命题，p 是 q 的充要条件；（2）原命题和它的抗命题都是真命题，p 是 q 的充要条件；（3）原命题是假命题，抗命题是真命题，p 是 q 的必需条件.2、（1）p是q的必需条件；（2）p是q的充足条件；（ 3）p是q的充要条件；（4）p是q的充要条件.习题 1.2 A组（P12）1、略 .2、（ 1）假；（2）真；（3）真.3、（1）充足条件，或充足不用要条件；（2）充要条件；（3）既不是充足条件，也不是必需条件；（4）充足条件，或充足不用要条件.4、充要条件是 a2b2r 2 .习题 1.2 B组（P13）1、（1）充足条件；（2）必需条件；（3）充要条件.2、证明：（ 1）充足性：假如 a2b2c2ab ac bc ，那么 a2b2c2ab ac bc 0 .所以 (a b)2(a c)2(b c)20所以， a b 0 ， a c 0 ， b c0 .即 a b c ，所以，ABC 是等边三角形.（2）必需性：假如ABC是等边三角形，那么 a b c所以 (a b)2 (a c)2 (b c)2 0所以 a 所以 a 2b2c2ab ac bc 0 2b2c2ab ac bc1.3简单的逻辑联络词练习（ P18）1、（1）真；（2）假 .2、（1）真；（2）假 .3、（1）225，真命题；（ 2）3 不是方程 x290的根，假命题；（ 3）( 1)21，真命题.习题 1.3 A组（ P18）1、（1） 4{2,3}或 2 {2,3}，真命题；（2） 4{2,3}且 2 {2,3} ，假命题；（3）2 是偶数或 3 不是素数，真命题；（ 4） 2 是偶数且 3 不是素数，假命题 .2、（1）真命题；（ 2）真命题；（3）假命题 .3、（1） 2 不是有理数，真命题；（ 2）5 是 15 的约数，真命题；（3）2 3 ，假命题；（4）8715 ，真命题；（5）空集不是任何会合的真子集，真命题.习题 1.3 B组（ P18）（1）真命题 . 因为p为真命题，q为真命题，所以p q为真命题；（2）真命题 . 因为p为真命题，q为真命题，所以p q为真命题；（3）假命题 . 因为p为假命题，q为假命题，所以p q为假命题；（4）假命题 . 因为p为假命题，q为假命题，所以p q为假命题 .1.4全称量词与存在量词练习（ P23）1、（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题 .2、（1）真命题；（2）真命题；（3）真命题 .练习（ P26）1、（1） n0Z, n0Q ；（2）存在一个素数，它不是奇数；（ 3）存在一个指数函数，它不是单一函数 .2、（1）全部三角形都不是直角三角形；（2）每个梯形都不是等腰梯形；（3）全部实数的绝对值都是正数 .习题 1.4 A 组（ P26）1、（1）真命题；（2）真命题；（3）真命题；（4）假命题 .2、（1）真命题；（2）真命题；（3）真命题 .3、（1） x0N , x03x02；（2）存在一个能够被 5 整除的整数，末位数字不是0；（3） x R, x2x 10 ；（4）全部四边形的对角线不相互垂直 .习题 1.4 B组（ P27）（1）假命题 . 存在一条直线，它在y轴上没有截距；（2）假命题 . 存在一个二次函数，它的图象与 x 轴不订交；（3）假命题 . 每个三角形的内角和不小于180；（4）真命题 . 每个四边形都有外接圆 .第一章复习参照题 A 组（ P30）1、原命题能够写为：若一个三角形是等边三角形，则此三角形的三个内角相等.抗命题：若一个三角形的三个内角相等，则此三角形是等边三角形. 是真命题；否命题：若一个三角形不是等边三角形，则此三角形的三个内角不全相等. 是真命题；逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，则此三角形不是等边三角形. 是真命题 .2、略 .3、（ 1）假；（2）假；（3）假；（4）假.4、（1）真；（2）真；（3）假；（4）真；（5）真.5、（1） n N ,n20 ；（2）P { P P 在圆x2y2r 2上 } ，OP r (O 为圆心)；（3）( x, y) {( x, y) x, y 是整数}，2x 4y 3；（ 4）x0{ x x 是无理数}， x03{ q q 是有理数} .6、（1）32，真命题；（2）5 4 ，假命题；（ 3） x0R, x0 0 ，真命题；（4）存在一个正方形，它不是平行四边形，假命题.第一章复习参照题 B 组（ P31）1、（1）p q；（2） ( p) (q) ，或 ( p q) .2、（1）Rt ABC，C90 ，A, B, C 的对边分别是 a, b, c ，则 c2a2b2；（2）ABC ，A,B,a b cC 的对边分别是 a, b,c ，则.sin A sin B sin C第二章 圆锥曲线与方程2.1曲线与方程练习（ P37）1、是 . 简单求出等腰三角形 ABC 的 BC 上的中 AO 所在直 的方程是x 0 .2、 a32 ,b 18 .25253、解： 点 A, M 的坐 分 (t,0)， ( x, y) .（1）当 t 2 ，直 CA 斜率2 02kCAt2 t2所以， k CB1 t 2k CA2由直 的点斜式方程，得直CB 的方程y 2t2( x 2) .2令 x 0 ，得 y 4 t ，即点 B 的坐 (0,4 t ) .因为点 M 是 段 AB 的中点，由中点坐 公式得 xt, y4 t .t4 t ，22由 x得 t 2x ，代入 y 22 得 y42x，即 x y 20 ⋯⋯①2（ 2）当 t 2 ，可得点 A, B 的坐 分 (2,0) ， (0,2)此 点 M 的坐 (1,1) ，它仍旧合适方程①由（ 1）（ 2）可知，方程①是点M 的 迹方程，它表示一条直.习题 2.1 A 组（ P37）1、解：点 A(1, 2) 、 C (3,10) 在方程 x 2xy 2 y1 0 表示的曲 上；点 B(2, 3) 不在此曲 上2、解：当 c0 ， 迹方程 xc 1；当 c 0 ， 迹 整个坐 平面 .23、以两定点所在直 x ， 段 AB 垂直均分 y ，成立直角坐 系，得点M 的迹方程 x 2y 2 4 .4、解法一： x 2y 2 6x 50 的 心 C ， 点 C 的坐 是 (3,0) .由 意，得 CM AB ， 有 k CM k AB1 .高中数学选修 2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]yy1 (x 3, x 0)所以，3 xx化简得 x 2y 23x 0 (x 3, x 0)当 x 3 时， y 0 ，点 (3,0) 合适题意；当 x 0 时， y 0 ，点 (0,0) 不合题意 .解方程组x 2 y 23x 0， 得 x5, y2 5x 2y 26x 5 033所以，点 M 的轨迹方程是 x2y 23x 0 ，5x3.3解法二：注意到OCM 是直角三角形，利用勾股定理，得 x 2 y 2(x 3)2y 2 9 ，即 x 2y 2 3x0 . 其余同解法一 .习题 2.1 B 组（ P37）1、解：由题意，设经过点P 的直线 l 的方程为xy 1.a b因为直线 l 经过点 P(3,4) ，所以341所以， ab 4a 3bab由已知点 M 的坐标为 (a,b) ，所以点 M 的轨迹方程为 xy4x 3 y 0 .2、解：如图，设动圆圆心M 的坐标为 (x, y) .y因为动圆截直线 3xy0 和 3x y 0 所得弦分别为BAB ， CD ，所以， AB8 ， CD 4 . 过点 M 分别CMFE作直线 3x y0 和 3x y0 的垂线，垂足分别为E ，DF ，则 AE4 ， CF2 . A3xy， MF3x yME1010 .Ox连结 MA ， MC ，因为 MAMC ，（第 2 题）2ME 2CF 2MF 2 则有， AE(3 x y) 2(3 x y) 210 .所以， 1610410，化简得， xy所以，动圆圆心的轨迹方程是 xy 10 .高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]2.2椭圆练习（ P42）1、 14. 提示：依据椭圆的定义，PF1PF220 ，因为 PF1 6 ，所以 PF22、（1）x2y2 1 ；（2） y2x21；（3） x2y21，或 y2x2 1616361636163、解：由已知，a 5， b 4 ，所以 c a2b2 3 .（1）AF1B 的周长AF1AF2BF1BF2.由椭圆的定义，得 AF1AF22a， BF1BF22a .所以， AF1B 的周长4a20.（2）假如AB不垂直于 x 轴， AF1B 的周长不变化 .这是因为①②两式仍旧成立，AF1 B 的周长20，这是定值 .4、解：设点M的坐标为 ( x, y) ，由已知，得直线 AM 的斜率y(x1)kAM；x1直线 BM 的斜率y(x1) ；kBMx1由题意，得kAM2，所以y2y( x1, y0) kBM x 1x1化简，得 x3( y0)所以，点 M 的轨迹是直线 x 3 ，并去掉点( 3,0) .练习（ P48）yB2 1、以点 B2（或 B1）为圆心，以线段 OA2（或 OA1）为半径画圆，圆与 x 轴的两个交点分别为F1 , F2 .A 1F1O点 F1 , F2就是椭圆的两个焦点 .B 1这是因为，在 Rt B2OF2中，OB2 b ， B2 F2OA2 a ，（第 1 题）所以， OF2 c .相同有 OF1 c .2、（1）焦点坐标为(8,0) ， (8,0) ；14.1.F2 A 2x（2）焦点坐标为 (0,2) ， (0, 2) .3、（1）x2y 21；（2） y2x2 1 . 363225164、（1）x2y21（2） x2y 21，或 y2x2 1. 9410064100645、（1）椭圆 9x2y236 的离心率是22 ，椭圆 x2y2 1 的离心率是 1 ，316122因为221 ，所以，椭圆x2y2 1 更圆，椭圆 9x2y236 更扁；321612（2）椭圆 x29 y236 的离心率是22 ，椭圆 x2y2 1 的离心率是10 ，36105因为2210 ，所以，椭圆x2y2 1 更圆，椭圆 x29 y 236 更扁 . 356106、（1）(3,8（2） (0,2) ；（ 3）(487082 ) ；,) .7、. 537377习题 2.2 A组（ P49）1、解：由点 M (x, y) 知足的关系式x2( y3)2x2( y3)210 以及椭圆的定义得，点 M 的轨迹是以F1(0,3) ， F2 (0,3) 为焦点，长轴长为10 的椭圆 .它的方程是y2x21. 25162、（1）x2y 21；（ 2）y2x2 1 ；（3） x2y21，或 y2x2 1. 3632259494049403、（1）不等式2x 2 ， 4 y 4 表示的地区的公共部分；（2）不等式25x25 ，10y10表示的地区的公共部分 .图略 . 334、（1）长轴长2a8 ，短轴长 2b 4 ，离心率e 3 ，2焦点坐标分别是 (23,0)， (23,0)，极点坐标分别为 (4,0)， (4,0)， (0,2) ， (0,2) ；（2）长轴长2a18 ，短轴长 2b 6 ，离心率e 2 2 ，3焦点坐标分别是 (0, 62)，(0,62)，极点坐标分别为 (0, 9) ，(0,9) ， (3,0) ， (3,0) .5、（1）x2y2 1 ；（2） x2y21，或 y2x2 1 ；859819（3） x2y21，或 y 2x2 1 .2592596、解：由已知，椭圆的焦距F1F2 2 .因为PF1F2的面积等于1，所以，1F1F2y P1，解得y P1. 2代入椭圆的方程，得x211，解得 x15 .P54215l所以，点 P 的坐标是(1)，共有 4个 .,2QA 7、解：如图，连结 QA .由已知，得 QA QP .O所以， QO QA QO QP OP r .又因为点 A 在圆内，所以 OA OP（第 7 题）依据椭圆的定义，点 Q 的轨迹是以 O, A 为焦点， r 为长轴长的椭圆 .8、解：设这组平行线的方程为y 3 x m .2把 y 3 x m 代入椭圆方程x2y2 1 ，得 9x26mx2m218 0 .249这个方程根的鉴别式36m236(2 m 218)（ 1）由0 ，得 3 2 m 3 2 .当这组直线在 y 轴上的截距的取值范围是( 32,32) 时，直线与椭圆订交 .（ 2）设直线与椭圆订交获得线段AB ，并设线段 AB 的中点为M (x, y) .则 x x1x2m .23因为点 M 在直线y 3 x m 上，与 x m联立，消去 m ，得 3x 2 y0 .23这说明点 M 的轨迹是这条直线被椭圆截下的弦（不包含端点），这些弦的中点在一条直线上 .x2y29、3.5252 2.8752 1 .10、地球到太阳的最大距离 1.5288 108 km，最下距离 1.4712108 km.习题 2.2 B 组（ P50）1、解：点M的坐 ( x, y) ，点P的坐 ( x0 , y0 ) ，x x0， y 3 y0 .所以 x0x ， y0 2 y⋯⋯① . 23因点 P(x0, y0 ) 在上，所以 x02y02 4 ⋯⋯② .将①代入②，得点 M 的迹方程x2 4 y24，即 x2y21949所以，点 M 的迹是一个与例 2 对比可，也能够看作是由沿某个方向或拉伸获得.2、解法一：心P(x, y) ，半径R，两已知的心分O1, O2 .分将两已知的方程x2y26x 50 ， x2y 26x 910配方，得 (x 3)2y2 4 ，( x3) 2y2100当 e P 与e O1：( x3)2y2 4 外切，有O1P R2⋯⋯①当 e P 与e O2：( x3)2y2100 内切，有O2P10R ⋯⋯②①②两式的两分相加，得O1P O2 P12即， ( x 3)2y2(x 3)2y212⋯⋯③化方程③ .先移，再两分平方，并整理，得 2 (x 3)2y212x ⋯⋯④将④两分平方，并整理，得3x2 4 y2 108 0 ⋯⋯⑤将常数移至方程的右，两分除以108，得x2y2 1 ⋯⋯⑥3627由方程⑥可知，心的迹是，它的和短分12， 6 3 .解法二：同解法一，得方程( x 3)2y2( x 3)2y 212⋯⋯①由方程①可知，心P(x, y) 到点 O1 ( 3,0) 和点 O2 (3,0)距离的和是常数12，所以点 P 的 迹方程是焦点 (3,0) 、 (3,0) ， 等于 12 的 .而且 个 的中心与坐 原点重合，焦点在 x 上，于是可求出它的 准方程.因2c 6 ， 2a 12 ，所以 c3 ， a 6所以 b 2 36 927 .于是， 心的 迹方程x 2y2361.273、解： d 是点 M 到直 x8 的距离，依据 意，所求 迹就是会合PMF 1 M2d( x2)2y 2 1由此得x28将上式两 平方，并化 ，得3x24 y248 ，即x 2y 2 11612所以，点 M 的 迹是 、短 分8， 4 3 的 .4、解：如 ，由已知，得E(0, 3) ， F (4,0) ， G (0,3) ， H (4,0) .DyGLC因 R,S,T 是 段 OF 的四均分点，R'MR , S ,T 是 段 CF 的四均分点，S' 所以， R(1,0), S(2,0), T (3,0) ；HN T'O RSTF xR (4, 9 ), S (4, 3),T (4, 3) .424直 ER 的方程是 y 3x 3 ；直 GR 的方程是 y3.AEBx 31632 , y 45 .（第 4 题）立 两个方程，解得x17 17所以，点 L 的坐 是 (32 ,45) .17 17同 ，点 M 的坐 是 (16 , 9) ，点 N 的坐 是 ( 96 ,21) .5 525 25由作 可 ，能够 的方程x 2y 21 (m 0, n 0) ⋯⋯①nm 22把点 L, M 的坐 代入方程①，并解方程 ，得11，11m 22232.4 n高中数学选修 2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]所以经过点 L, M 的椭圆方程为x 2y 21 .16 9把点 N 的坐标代入x 2y 2 ，得 1( 96 ) 2 1 ( 21)2 1，169 16 259 25所以，点 N 在x 2y 2 1 上 . 169所以，点 L, M , N 都在椭圆x 2y 2 1 上.1692.3双曲线练习（ P55）1、（1）x 2y 21 .（2） x 2y21.16 93（3）解法一：因为双曲线的焦点在y 轴上y 2x 21 ( a 0,b0)所以，可设它的标准方程为2b 2a将点 (2, 5) 代入方程，得254 1 ，即 a 2b 24a 2 25b 2 0a 2b 2又 a 2b 236解方程组a 2b 2 4a 2 25b 2 0a2b 236令 m a 2,nmn 4m 25n 0 b 2，代入方程组，得n 36m m 20 m 45 解得16，或9nn第二组不合题意，舍去，得a 2 20,b 2 16y 2x 2所求双曲线的标准方程为 120 16解法二：依据双曲线的定义，有 2a4 (5 6)24 (5 6)2 4 5 .所以， a 2 5高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]又 c6，所以 b23620 16由已知，双曲线的焦点在y2x2y 轴上，所以所求双曲线的标准方程为 1 .20162、提示：依据椭圆中a2b2c2和双曲线中 a2b2c2的关系式分别求出椭圆、双曲线的焦点坐标 .3、由 (2 m)( m 1) 0 ，解得m 2 ，或 m1练习（ P61）1、（1）实轴长 2a8 2 ，虚轴长2b 4 ；极点坐标为(4 2,0),(42,0)；焦点坐标为 (6,0),(6,0)；离心率 e3 2 .4（2）实轴长2a 6 ，虚轴长 2b18 ；极点坐标为(3,0),(3,0) ；焦点坐标为 (310,0),(310,0) ；离心率 e10 .（3）实轴长2a 4 ，虚轴长 2b 4 ；极点坐标为(0,2),(0,2)；焦点坐标为 (0,22),(0,22) ；离心率 e 2 .（4）实轴长2a10，虚轴长2b14；极点坐标为(0,5),(0,5) ；焦点坐标为 (0,74),(0,74) ；离心率 e74 .52、（1）x2y 2 1 ；（2） y2x2 1.3、 x2y21169362835 4、 x2y2 1 ，渐近线方程为y x .18185、（1） (6,2),( 14,2) ；（ 2） (25,3) 334习题 2.3 A组（ P61）y2x21 . 因为a 8，由双曲线定义可知，点P 到两焦点距1、把方程化为标准方程，得1664离的差的绝对值等于16. 所以点P到另一焦点的距离是17.2、（1）x2y2 1 .（2） x2y2120162575高中数学选修 2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]3、（1）焦点坐标为 F 1 ( 5,0), F 2 (5,0) ，离心率 e5 ；3 （2）焦点坐标为 F 1 (0, 5), F 2 (0,5) ，离心率 e5 ；44、（1）x 2y 21.（ 2） y2x 2 1 2516916（3）解：因为 ec2 ，所以 c 22a 2 ，所以 b 2c 2 a 22a 2 a 2a 2 .a设双曲线的标准方程为x 2 y 21 ，或 y 2x 2 1.a 2 a 2a 2a 2将 ( 5,3) 代入上边的两个方程，得25 9 1 ，或 925 1 .a 2a 2 a 2a 2解得 a 216 （后一个方程无解） .所以，所求的双曲线方程为x 2 y 21 .16 165、解：连结 QA ，由已知，得 QA QP .所以， QA QO QP QO OP r .又因为点 A 在圆外，所以 OA OP .依据双曲线的定义，点Q 的轨迹是以 O, A 为焦点， r 为实轴长的双曲线 .6、 x 2 y 2 1 .8 8习题 2.3 B组（ P62）1、 x 2y 2116 92、解：由声速及 A, B 两处听到爆炸声的时间差，可知A, B 两处与爆炸点的距离的差，所以爆炸点应位于以 A, B 为焦点的双曲线上 .使 A, B 两点在 x 轴上，而且原点 O 与线段 AB 的中点重合，成立直角坐标系 xOy .设爆炸点 P 的坐标为 ( x, y) ，则 PA PB 340 3 1020 .即 2a 1020 ， a 510.又 AB1400，所以 2c 1400 ， c 700 ， b 2 c 2 a 2229900 .所以，所求双曲 的方程x 2y22601001.2299003、 x 2y 2 1a 2b 24、解： 点 A( x 1 , y 1) ， B( x 2 , y 2 ) 在双曲 上，且 段 AB 的中点 M ( x, y) .点 P 的直 l 的方程 y 1 k ( x 1) ，即 y kx 1 k把 ykx1 k 代入双曲 的方程x 2y 2 1得2(2 k 2 )x 2 2k(1 k )x (1 k 2 ) 20 （ 2k 2 0 ） ⋯⋯①所以， xx 1x 2 k(1 k)22 k2由 意，得k (1k) 1，解得 k 2 .2k 2当 k2 ，方程①成 2x 2 4x 30 .根的判 式16 24 8 0 ，方程①没有 数解 .所以，不可以作一条直 l 与双曲 交于 A, B 两点，且点 P 是 段 AB 的中点 .2.4 抛物线练习（ P67）1、（1） y 212x ；（ 2） y 2x ；（3） y 24x, y 2 4x, x 2 4 y, x 24y .2、（1）焦点坐 F (5,0) ，准 方程 x5 ； （ 2）焦点坐 F (0, 1) ，准 方程 y1 ；88 （3）焦点坐 F (5 ,0) ，准 方程 x 5； （ 4）焦点坐 F (0, 2)，准 方程 y2 ；p .883、（1） a ， a（ 2） (6,6 2) ， (6, 6 2)2提示：由抛物 的 准方程求出准 方程. 由抛物 的定 ，点M 到准 的距离等于9，所以 x 39 ， x 6， y 6 2 .yy 2= 4x练习（P72）y 2= 2x1、（1） y216 x ； （ 2） x220 y ；y 2=x52 1=（3） y 216 x ；（ 4） x 232 y .yx22、 形 右， x 的系数越大，抛物 的张口越大 .Ox3、解：过点 M (2,0) 且斜率为 1 的直线 l 的方程为 yx 2与抛物线的方程 y24x 联立y x 2y24x解得x 142 3 x 24 2 3，y 1 2 2 3y 2 2 2 3设 A(x 1, y 1 ) ， B(x 2 , y 2 ) ，则 AB( x 2 x 1) 2( y 2 y 1 )2( 4 3) 2( 4 3) 2 4 6 .4、解：设直线 AB 的方程为 xa ( a 0) .将 x a 代入抛物线方程 y 2 4x ，得 y 24a ，即 y 2 a .因为AB 2 y 2 2 a 4 a 4 3 ， 所以， a3所以，直线 AB 的方程为 x3 .习题 2.4 A 组（ P73）1、（1）焦点坐标 F (0, 1) ，准线方程 y1 ；22（2）焦点坐标 F (0,3) ，准线方程 y3 ；1616（3）焦点坐标 F ( 1 ,0) ，准线方程 x1 ；8 8 （4）焦点坐标 F ( 3 ,0) ，准线方程 x3 .222、（1） y 28x ；（ 2） (4,4 2) ，或 (4, 42)3、解：由抛物线的方程 y 2 2 px ( p0) ，得它的准线方程为 xp .2依据抛物线的定义，由 MF 2 p ，可知，点 M 的准线的距离为 2 p .设点 M 的坐标为 ( x, y) ，则xp 2 p ，解得 x3p .3 p 代入 y 222将 x2 px 中，得 y3 p .2所以，点 M 的坐标为 (3 p,3 p) ， (3 p,3 p) .224、（1） y 2 24 x ， y 2 24x ；（2） x 212 y （图略）5、解：因为xFM 60 ，所以线段 FM 所在直线的斜率 k tan 603 .所以，直线 FM 的方程为 y3( x 1)高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]与抛物 y 24xy3( x1)L L 1立，得y 24xL L 2将 1 代入 2 得， 3x210 x 3 0 ，解得， x 11， x 233把 x 11， x 23 分 代入①得y 12 3， y 2 2 333由第 5 知 (1 ,2 3) 不合 意，所以点 M 的坐 (3,2 3).33所以， FM(3 1)2 (2 3 0) 246、 明：将 y x2 代入 y 22x 中，得 ( x2) 2 2x ，化 得 x 2 6x 4 0 ，解得 x35y 3 5 2 15因 k OB1 5， k OA 1 535 35所以 k OB k OA1 5 1 5 153535 915所以 OAOB7、 条抛物 的方程是x217.5 yy8、解：成立如 所示的直角坐 系，Ox拱 抛物 的方程 x 2 2 py ，2l因 拱 离水面 2 m ，水面 4 m所以222 p( 2) ， p 1所以，抛物 方程 x 2 2y4⋯⋯①（第 8 题）水面降落 1 m ， y 3 ，代入①式，得 x 22 ( 3) ， x6 .水面 26 m.习题 2.2 B 组（ P74）1、解： 垂 段的中点坐( x, y) ，抛物 上相 点的坐(x 1, y 1 ) .依据 意， x 1x ， y 1 2 y ，代入 y 122 px 1 ，得 迹方程 y21px .2由方程可知，轨迹为极点在原点、焦点坐标为( p,0) 的抛物线 .82、解：设这个等边三角形 OAB 的极点 A, B 在抛物线上，且坐标分别为( x 1 , y 1 ) ， (x 2 , y 2 ) ，则 y 12 2 px 1 ， y 22 2 px 2 .又 OAOB ，所以 x 12 y 12 x 22 y 22即 x 12 x 22 2 px 1 2 px 2 0， (x 12 x 22 ) 2 p( x 1 x 2 ) 0所以， ( x 1 x 2 )( x 1 x 2 2 p)因为 x 1 0, x 2 0,2 p 0 ，所以 x 1 x 2由此可得 y 1y 2 ，即线段 AB 对于 x 轴对称 .因为 x 轴垂直于 AB ，且AOx 30 ，所以y 1tan303 .x 13因为 x 1y 12 ，所以 y 1 2 3p ，所以 AB2 y 14 3 p .2 p3、解：设点 M 的坐标为 ( x, y)由已知，得 直线 AM 的斜率 k AMy ( x1) .x 1直线 BM 的斜率 k BMy ( x 1) .x 1由题意，得 k AMkBM2 ，所以，yy2( x1) ，化简，得 x 2( y 1)(x1)x 1 x 1第二章复习参照题 A 组（ P80）1、解：如图，成立直角坐标系， 使点 A, B, F 2 在 x 轴上， F 2 为椭圆的右焦点 （记 F 1 为左焦点） .因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为x 2 y 2.a2b 21(a b0)y则 a c OAOF 2 F 2 A 6371 439 6810，a c OBOF 2F 2B 6371 2384 8755 ，解得 a 7782.5 ， c 8755BF 1OF 2A x所以 ba 2c 2(a c)( ac)8755 6810用计算器算得 b 7722所以， 星的 道方程是x 2y 2 1.77832772222R r 1 r 2a cR r 1 a 22、解：由 意，得，解此方程 ，得a c Rr 2r 1r 2c2所以 星 道的离心率ecr 2 r 1 .a2R r 1r 23、（1） D ； （ 2） B .4、（1）当0 ，方程表示 .（2）当 090 ，方程化成 x 2y 2 1. 方程表示焦点在 y 上的 .1cos（3）当 90 ， x 21，即 x 1，方程表示平行于 y 的两条直 .（4）当 90180 ，因 cos0，所以 x 2y 2 cos1 表示双曲 ，其焦点在 x上. 而当180 ，方程表示等 双曲 .5、解：将 ykx 1代入方程 x 2y 2 4得 x 2k 2 x 2 2kx 1 4 0即 (1 k 2 ) x 2 2kx 5 0 ⋯⋯①4k 2 20(1k 2 ) 20 16k 2令0 ，解得 k5，或 k522因0 ，方程①无解，即直 与双曲 没有公共点，所以， k 的取 范 k5，或 k5226、提示： 抛物 方程y 2 2 px ， 点 B 的坐 ( p, p) ，点 C 的坐 ( p, p)2 2点 P 的坐 ( x, y) ， 点 Q 的坐 ( x,0) .因 ， PQy2px ， BC 2 p ， OQ x .所以， PQ 2BC OQ ，即 PQ 是 BC 和 OQ 的比率中 .7、解： 等 三角形的此外两个 点分 是A, B ，此中点 A 在 x 上方 .高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]3 p直 FA 的方程 y( x)32与 y 22 px 立，消去 x ，得 y 2 23 py p 2解方程，得 y 1 ( 3 2) p ， y 2 ( 3 2) p把 y 1( 3 2) p 代入 y3( xp ) ，得 x 1(72 3) p .322把 y 2( 3 2) p 代入 y3(xp) ，得 x 2(72 3) p .322所以， 足条件的点 A 有两个 A 1((72 3) p,(3 2) p) ， A 2 ((72 3) p,(3 2) p) .22依据 形的 称性，可得 足条件的点B 也有两个B 1(( 72 3) p, (3 2) p) ，2 7( 32) p)B 2 ((2 3) p,2所以，等 三角形的 是A 1B 12( 32) p ，或许 A 2 B 22(23) p .8、解： 直 l 的方程 y 2xm .把 y2x m 代入双曲 的方程 2x 23y 2 6 0 ，得 10x 2 12mx 3m 26 0 .x 1 x 26m， x 1x 23m 2 6⋯⋯①510由已知，得(1 4)[( x 1 x 2 ) 2 4x 1x 2 ] 16⋯⋯②210把①代入②，解得m3210 所以，直 l 的方程 y2x39、解： 点A 的坐 (x 1, y 1 ) ，点B 的坐 ( x 2 , y 2 ) ，点 M 的坐 (x, y) .并 点 M 的直 l 的方程 y1 k (x 2) ，即 ykx 1 2k .22y把 y kx 1 2k 代入双曲 的方程x1 ，得(2 k 2 )x 2 2k (12k )x(1 2k)2 20 (2 k 2 0) . ⋯⋯①高中数学选修 2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]x 1 x 2 k (1 2k)所以， x22 k 2由题意，得k(12k) 2 ，解得 k42 k 2当 k4 时，方程①成为 14 x 2 56x 51根的鉴别式56 256 51 2800 ，方程①有实数解 .所以，直线 l 的方程为 y4x 7 .10、解：设点 C 的坐标为 (x, y) .由已知，得 直线 AC 的斜率 k ACy (x5)x 5直线 BC 的斜率kBCy 5 ( x 5)x 由题意，得 k AC k BCm . 所以， y y m( x5)5 x 5x化简得，x 2y 2 1(x 5)2525m当 m 0 时，点 C 的轨迹是椭圆 (m 1) ，或许圆 ( m 1) ，并除掉两点 ( 5,0),(5,0) ；当 m 0 时，点 C 的轨迹是双曲线，并除掉两点( 5,0),(5,0) ；11、解：设抛物线 y 2 4x 上的点 P 的坐标为 ( x, y) ，则 y 24x .点 P 到直线 yx 3 的距离 dx y 3y 2 4y 12 ( y 2)2824 24 2.当 y 2时， d 的最小值是2 .此时 x1，点 P 的坐标是 (1,2) .12、解：如图，在地道的横断面上，以拱y顶为原点、拱高所在直线为y 轴Ox（向上），成立直角坐标系 .抛物线设地道顶部所在抛物线的方程6 mE为 x 22 py因为点 C (4, 4) 在抛物线上DC所以 422 p( 4) 2 mFA3 m3 m2 p 4B解得高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]x 24 y .EFh 0.5. F (3, h 5.5)把点 F 的坐 代入方程 x 24y ，解得 h3.25 .答： 通 地道的限制高度3.2 m.第二章复习参照题 B 组（ P81）1、SPF 1F 224 3 .2、解：由 意，得 PF 1x .把 xc 代入 方程，解得yb 2 . 所以，点 P 的坐 是 ( c, b 2)aa直 OP 的斜率 k 1b 2 .直 AB 的斜率 k 2b .aca由 意，得b 2b，所以， bc ， a2c .aca由已知及 F 1A a c ，得 ac 105所以 (1 2) c 105 ，解得 c5所以， a10 ， b5所以， 的方程x 2y 2 1.1053、解： 点 A 的坐 (x 1, y 1 ) ，点 B 的坐 ( x 2 , y 2 ) .由 OA OB ，得 x 1x 2y 1y 2 0 .由已知，得直 AB 的方程 y2x 5 .有 y 1 y 25( y 1 y 2 ) 25 0 ⋯⋯①由 y2x 5 与 y 22px 消去 x ，得 y 2py 5 p0 ⋯⋯②y 1y 2p ， y 1 y 25 p ⋯⋯③把③代入①，解得p54高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]当 p5时，方程②成为 4 y 25y 25 0 ，明显此方程有实数根 .所以， p5444、解：如图，以连结 F 1 , F 2 的直线为 x 轴，线段 F 1 F 2 的中点为原点，成立直角坐标系 .对于抛物线，有p1763 529 2292 ，2所以， p4584 ， 2 p 9168 .对于双曲线，有c a 2080c a 529解此方程组，得 a 775.5， c 1304.5所以， b 2 c 2 a 2 1100320 .（第 4 题）所以，所求双曲线的方程是x 2y 2 601400.31 ( x 775.5) .1100320因为抛物线的极点横坐标是 (1763 a)(1763 775.5)987.5所以，所求抛物线的方程是y 2 9168( x987.5)答：抛物线的方程为 y 29168( x 987.5) ，双曲线的方程是x 2y 21 ( x 775.5) .601400.311003205、解：设点 M 的坐标为 ( x, y)由已知，得 直线 AM 的斜率 k AMy ( x 1)x 1直线 BM 的斜率 k BMy ( x 1)x1由题意，得 kAMk2 ，所以y y 2( x1)，化简，得 xy x 2 1(x1)BMx1 x 1所以，点 M 轨迹方程是 xy x 21(x1) .6、解：（1）当 m 1时，方程表示 x 轴；（ 2）当m3 时，方程表示 y 轴；（3）当 m1,m 3 时，把方程写成x 2 y23 mm 1.1①当 1 m 3, m 2 时，方程表示椭圆；② m 2 时，方程表示圆；③当 m 1，或 m3时，方程表示双曲线 .7、以 AB 为直径的圆与抛物线的准线 l 相切 .高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]垂线，垂足分别为 D , E .由抛物线的定义，得AD AF ， BE BF .所以， AB AF BF AD BE .设 AB 的中点为 M ，且过点 M 作抛物线y22px ( p0) 的准线l的垂线，垂足为C .明显 MC ∥x轴，所以， MC 是直角梯形 ADEB 的中位线.于是， MC 1( AD BE )1AB .所以，点 C 在以 AB 为直径的圆上.22又 MC l ，所以，以 AB 为直径的圆与抛物线的准线l 相切.近似地，能够证明：对于椭圆，以经过焦点的弦为直径的圆与相应的准线相离；对于双曲线，以经过焦点的弦为直径的圆与相应的准线订交.高中数学选修 2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算练习（ P86）1、略 .2、略 .uuuur uuuruuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur 3、 A C ABAD AA ， BD AB AD AA ， DB AA AB AD .练习（ P89）uuuruuuruuuur1、（1） AD ； （2） AG ；（3） MG .2、（1） x 1； （2） x y1； （3） x y1 .3、如图 .22A CPB QRSO（第 3 题）练习（ P92）1、 B .uuuur uuur uuuruuur2、解：因为 ACABADAA ，uuuur2uuur uuur uuur 所以 AC( AB AD AA )2uuur 2 uuur 2 uuur 2uuur uuur uuur uuur uuur uuurABADAA2( AB AD AB AA AD AA )uuuur 42 32 52 2 (0 10 7.5)8585所以 AC3、解：因为 AC所以 AC BD ， AC AB ，又知 BD AB .uuur uuur uuur uuur 0uuur uuur 0 .所以 AC BD 0 ， AC AB ，又知 BD AB uuur 2 uuur uuur CD CD CDuuur uuur uuuruuur uuuruuur(CA AB BD ) (CA ABBD )uuur 2 uuur 2uuur2CAAB BDa 2b 2c 2所以 CDa 2b 2c 2 .高中数学选修 2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]r r r r rr r r r r 1、向量 c 与 a b ， a b 必定组成空间的一个基底 . 不然 c 与 ab ， a b 共面，r r r2、共面于是 c 与 a ， b 共面，这与已知矛盾 .uuur uuuruuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur r r r 2、（1）解： OB OBBB OA AB BB OA OC OO a b c ；uuur uuur uuur uuur uuuur r rBA BABBOC OOc buuur uuur uuur uuur uuur uuuur r r rCA CA AA OA OC OO a bcuuur uuur uuuruuur1 uuur r 1 rr 1rr1r（2） OGOC CGOCCBb (ac)ab2 c .222练习（ P97）1、（1） ( 2,7,4) ； （2） ( 10,1,16)； （3） ( 18,12,30) ； （ 4）2.2、略 .3、解：分别以 DA ,DC , DD 1 所在的直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴，成立空间直角坐标系 .则 D (0,0,0) ， B 1 (1,1,1)， M (1,1,0) ， C(0,1,0) 2uuuur uuuur 1所以， DB 1 (1,1,1)， CM (1, ,0) .2uuuur uuuur 1 1uuuur uuuurDB 1 CM 015所以， cos2.DB 1, CMuuuur uuuur 1 15DB 1 CM31D'4C'习题 3.1 A 组（ P97）A'B' Muuuruuur uuur D GC1、解：如图，（1） ABBC AC ；uuur uuur uuuruuur uuur uuur uuuur uuuur（2） AB AD AAACAA AC CC AC ；A（第 1 题） Buuur uuur1 uuuur uuur uuuuruuuur（3）设点 M 是线段 CC 的中点，则 ABADCCACCMAM ；1 uuur 21 uuuur（4）设点 G 是线段 AC 的三均分点，则uuur uuuruuur ( AB AD AA ) AC AG .uuur uuuur uuuur uuur33向量 AC , AC , AM , AG 如下图 .2、 A .uuuur 2 uuur uuur uuur3、解： AC ( AB AD AA )2高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB AD AA 2( AB AD AB AA AD AA ) 52 32 722(5 3 1 5 72 3 7 2 )2 2298 56 2所以， AC13.3 .uuur uuuruuur uuur 1a2；4、（1） AB ACAB AC cos60uuur uuuruuur uuur21a 2；（2） AD DBAD DB cos120uuur uuur uuur uuur 2 uuur uuur1 a2 1 1（3） GF AC GF AC cos180 2 ( GF AC a) ；2 2 uuur uuur uuur uuur 1 a 2 uuur 1 uuur 1（4） EF BC EF BC cos60 4 ( EF 2 BD a) ； uuur uuur uuur uuur uuur uuur 21 2 1 1； （5） FG BA FG BA cos120 a ( FG2 AC a)4 2uuur uuur uuur uuur 1 uuur 1 uuur（6） GE GF(GCCB2 BA)CA21 uuuruuur1 uuur 1 uuur( DCCB2 BA)2 CA21 uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur4 DC CA 2 CB CA 4 BA CA1 uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur4 DC CA cos120 2 CB CA cos604 BA CA cos601 a 245、（1） 60 ； （2）略 .r rr6、向量 a 的横坐标不为 0，其余均为 0；向量 b 的纵坐标不为 0，其余均为 0；向量 c 的竖坐标不为 0，其余均为 0.7、（1）9； （2） (14, 3,3) .rr r r 0 ，即 82 3x0 ，解得 x10 . 8、解：因为 ab ，所以 a buuuruuur3(5,1, 10)9、解： AB ( 5, 1,10) ， BAuuuur1 uuur uuur1 9 2) ，设 AB 的中点为 M ， OM2(OAOB )( , ,uuur 2 2所以，点 M 的坐标为 (1 , 9 ,( 5)2( 1)21021262) ， AB2 210、解：以 DA , DC , DD 1 分别作为 x 轴、 y 轴、 z 轴成立空间直角坐标系 O xyz .高中数学选修 2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]则 C ,M , D 1 , N 的坐标分别为： C (0,1,0) ， M (1,0, 1D 1(0,0,1)1.) ， ， N (1,1, )uuuur1 uuuur 1 22CM (1, 1, ) ， D 1 N (1,1, )2 2uuuur 12 ( 1)2 ( 1) 2 uuuur 12 12 1)2所以 CM 3 ， D 1 N ( 32 2 2 2uuuur uuuur1 1 11cos CM , D 1N9 4 94因为异面直线 CM 和 D 1N 所成的角的范围是 [0,]2所以， CM 和 D 1 N 所成的角的余弦值为 1.31911、 ( , ,3)2 2习题 3.1 B组（ P99）1、证明：由已知可知， uuuruuur uuur uuurOA BC ， OB ACuuur uuuruuur uuuruuur uuur uuur uuur uuur uuur0 .∴ OA BC0 ， OB AC 0 ，所以 OA (OC OB ) 0 ， OB (OC OA)uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur∴ OA OC OA OB ， OB OC OB OA .uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 0 uuur uuur 0 .∴ OA OC OB OC 0 ， (OA OB) OC ， BA OC∴ OC AB .2、证明：∵点 E, F ,G , H 分别是 OA,OB, BC ,CA 的中点 . uuur1 uuuruuur1 uuuruuuruuur∴ EFAB ， HGAB ，所以 EFHG22∴四边形 EFGH 是平行四边形 .uuur uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur uuuruuur uuurEFEHABOC4 (OBOA) OC4(OB OCOA OC )2 2∵ OA OB ， CA CB （已知）， OC OC .∴ BOC ≌ AOC （ SSS ）∴ BOC AOCuuur uuur uuur uuur∴ OB OC OA OCuuur uuur ∴ EF EH 0uuur uuur ∴ EF EH∴ 平行四边形 □ EFGH 是矩形 .。
【金版学案】高二数学人教A版选修2-1同步训练：2.1.1 曲线的方程与方程的曲线 Word版含解析[ 高考]
2．1.1 曲线的方程与方程的曲线基础梳理1．曲线的方程，方程的曲线．在直角坐标系中，如果某曲线C (看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是________________．(2)以这个方程的解为坐标的点________________________________________________________________________．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．想一想：如果曲线C 的方程是f (x ，y )＝0，那么点P (x 0，y 0)在曲线C 上的充要条件是什么？2．曲线的方程、方程的曲线的判定．(1)判定曲线C 的方程是否为f (x ，y )＝0，需从两个方面进行：首先判定曲线C 上的点的坐标是否是________的解．其次判定方程f (x ，y )＝0的解是否都在________上．(2)已知两条曲线C 1和C 2的方程分别为F (x ，y )＝0，G (x ，y )＝0，则它们的交点可以由方程组⎩⎪⎨⎪⎧F （x ，y ）＝0，G （x ，y ）＝0的______来得到． 想一想：在平面直角坐标系中，平分一、三象限的直线与方程x －y ＝0有什么关系？基础梳理1．(1)这个方程的解 (2)都是曲线上的点想一想：若点P 在曲线上，则f (x 0，y 0)＝0；若f (x 0，y 0)＝0，则点P 在曲线C 上．∴点P (x 0，y 0)在曲线C 上的充要条件是f (x 0，y 0)＝0.2．(1)f (x ，y )＝0 曲线C (2)解想一想：直线上任一点M (x 0，y 0)，则x 0＝y 0，即点M (x 0，y 0)是方程x －y ＝0的解；如果(x 0，y 0)是x －y ＝0的解，那么以(x 0，y 0)为坐标的点都在直线上． 自测自评1．曲线C 的方程为y ＝x (1≤x ≤5)，则下列四点中在曲线C 上的是( ) A ．(0，0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，15 C ．(1，5) D ．(4，4)2．命题“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是真命题，下列命题中正确的是( )A ．方程f (x ，y )＝0的曲线是CB ．方程f (x ，y )＝0的曲线不一定是CC ．f (x ，y )＝0是曲线C 的方程D ．以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上3．如果方程ax 2＋by 2＝4的曲线过A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3两点，则a ＝________，b ＝________．自测自评1．D2．解析：“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”，但“以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点”不一定在曲线C 上，故A 、C 、D 都不正确，B 正确．答案：B3．解析：分别将A 、B 两点坐标代入方程得⎩⎨⎧4b ＝4，a 4＋3b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1. 答案：4 1基础巩固1．已知直线l ：x ＋y －5＝0及曲线C ：(x －3)2＋(y －2)2＝2，则点M (2，3)( )A ．在直线l 上，但不在曲线C 上B ．在直线l 上，也在曲线C 上C ．不在直线l 上，也不在曲线C 上D ．不在直线l 上，但在曲线C 上1．解析：将x ＝2，y ＝3代入直线l ：x ＋y －5＝0及曲线C ：(x －3)2＋(y －2)2＝2的方程均成立，故点M (2，3)在直线l 上，也在曲线C 上，故选B.答案：B2．(2014·石家庄高二检测)方程x2＋y2＝1(xy<0)的曲线形状是()2．解析：方程x2＋y2＝1(xy＜0)表示以原点为圆心，1为半径的圆在第二、四象限的部分．故选C.答案：C3．下面四组方程表示同一条曲线的一组是()A．y2＝x与y＝xB．y＝lg x2与y＝2lg xC.y＋1x－2＝1与lg(y＋1)＝lg(x－2)D．x2＋y2＝1与|y|＝1－x23．解析：主要考虑x，y的取值范围，选项A中y2＝x中y∈R，而y＝x中y≥0；选项B中y＝lg x2中x≠0，而y＝2lg x中x>0；选项C中y＋1x－2＝1中y∈R，x≠2，而lg(y＋1)＝lg(x－2)中y>－1，x>2，故只有D正确．答案：D4．曲线y＝|x|－1与x轴围成的图形的面积是________．4．解析：在y＝|x|－1中令x＝0得y＝－1，令y＝0得x＝±1，所以曲线y＝|x|－1与x轴围成的图形的面积为12×2×1＝1.答案：1能力提升5．(2014·安阳高二检测)曲线y ＝1－x 2和y ＝－x ＋2公共点的个数为( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个5．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－x 2，y ＝－x ＋2，得－x ＋2＝1－x 2，两边平方并整理得(2x －1)2＝0，所以x ＝22，这时y ＝22，故公共点只有一个(22，22)． 答案：C6．方程x 2－xy ＝2x 的曲线是( )A ．一个点B ．一条直线C ．两条直线D ．一个点和一条直线6．解析：根据x 2－xy ＝2x 得x ＝0或x －y －2＝0，故表示两条直线．答案：C7．已知点A (a ，2)既是曲线y ＝mx 2上的点，也是直线x －y ＝0上的一点，则m ＝__________．7．解析：因为点A (a ，2)在直线x －y ＝0上，得a ＝2，即A (2，2)．又点A 在曲线y ＝mx 2上，所以2＝m ·22，得m ＝12. 答案：128．给出下列结论：①方程y x －2＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距为－2的直线； ②到x 轴距离为2的点的直线的方程为y ＝2；③方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示四个点．其中正确结论的序号是________．8．解析：①不正确．方程等价于y ＝x －2(x ≠2)，所以原方程表示斜率为1，在y 轴上的截距为－2的直线，但除去点(2，0)；到x 轴距离为2的点的直线的方程应是|y －0|＝2，即y ＝2或y ＝－2，故②不正确；对于③，原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，y 2－4＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±2，y ＝±2，所以方程表示四个点，所以③正确．答案：③9．方程1－|x |＝1－y 表示的曲线是什么图形？9．解析：原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧1－y ＝1－|x |，1－|x |≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝|x |，|x |≤1，所以它表示的图形是两条线段y ＝－x (－1≤x ≤0)和y ＝x (0≤x ≤1)，如图所示．10．证明圆心为坐标原点，半径等于10的圆的方程是x 2＋y 2＝100，并判断点M 1(8，－6)、M 2(－43，5)是否在这个圆上．10．证明：设M (x 0，y 0)是圆上任意一点，因为点M 到原点的距离等于10，所以x 20＋y 20＝10，也就是x 20＋y 20＝100，即(x 0，y 0)是方程的解．设(x 0，y 0)是方程x 2＋y 2＝100的解，那么x 20＋y 20＝100，两边开方取算术根，得x20＋y20＝10，即点M(x0，y0)到原点的距离等于10，点M(x0，y0)是这个圆上的点．综上可知，x2＋y2＝100是圆心为坐标原点，半径等于10的圆的方程．把点M1(8，－6)的坐标代入方程x2＋y2＝100，左右两边相等，(8，－6)是方程的解，所以点M1在这个圆上；把点M2(－43，5)的坐标代入方程x2＋y2＝100，左右两边不相等，(－43，5)不是方程的解，所以点M2不在这个圆上．。
10学年高中数学人教A版选修2-1同步练习：2.1 曲线与方程
2.1 曲线与方程1、已知0ab ≠,则方程0ax y b -+=和22bx ay ab +=所表示的曲线可能是( ) A. B. C. D.2、方程()()23412log 230x y x y --+-=⎡⎤⎣⎦表示的曲线经过点()()0,3,4,2A B -,()574,0,,34C D ⎛⎫- ⎪⎝⎭中的( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个3、已知点()()0,0,1,2O A -,动点P 满足3PA PO =,则点P 的轨迹方程是( )A.22882450x y x y ++--=B.22882450x y x y +---=C.22882450x y x y +++-=D.22882450x y x y +-+-= 4、若圆22210x y ax y +-++=和圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点(,)C a a -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程是( )A ．24480y x y -++=B ．22220y x y +-+=C ． 24480y x y +-+=D ． 2210y x y --+=5、已知圆22:(3)100C x y ++=和点)0,3(B ，P 是圆上一点，线段BP 的垂直平分线交CP 于M 点，则M 点的轨迹方程是( ) A. x y 62= B.1162522=+y x C.1162522=-y x D. 2522=+y x6、设定点(1,0)F ，动圆D 过点F 且与直线1-=x 相切.则动圆圆心D 的轨迹方程为（ ）A ．24x y =B ．22x y =C ．24y x =D ．22y x =7、在平面内两个定点的距离为6，点M 到这两个定点的距离的平方和为26，则点M 的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.线段8、已知(2,0),(2,0)M N -，||||4PM PN -=，则动点P 的轨迹是( )A.双曲线B.双曲线左边一支C.一条射线D.双曲线右边一支9、与圆221x y +=及228120x y x +-+=都外切的圆的圆心在( )A.一个圆上B.一个椭圆上C.双曲线的一支上D.一条抛物线上 10、已知两点(2,0),(2,0)A B -，点P 为平面内一动点，过点P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，且22PA PB PQ ⋅=，则动点P 的轨迹方程为( )A ．222x y +=B ．222y x -=C ．2221x y -=D ．2221x y -=11、已知圆()221:31C x y ++=和圆()222:39C x y -+=,动圆M 同时与圆1C 及圆2C 相外切,则动圆圆心M 的轨迹方程为__________.12、如图：在Rt ABC △中，90,4,3CAB AB AC ∠=︒==，一曲线E 过C 点，动点P 在曲线E 上运动，且PA PB -的值保持不变,若以AB 所在直线为x 坐标轴，且AB 方向为正方向，AB 的中垂线为y 坐标轴,则曲线E 的轨迹方程为___________.13、已知P 是椭圆2212x y +=上任一点，O 是坐标原点，则OP 中点的轨迹方程为___________.14、阿波罗尼斯是占希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在代表作《圆锥曲线论》一书中，其中阿波罗尼斯圆是研究成果之一.已知动点M 与两定点的距离之比为(0,1)λλλ>≠,那么点M 的轨迹就是关于点,A B 的阿波罗尼斯圆.我们据此来研究一个相关问题：已知圆22:9O x y +=和点(1,0)A -,点(3,1)B ,M 为圆O 上一动点，则3||+||MA MB 的最小值为__________.15、已知曲线C 上的动点,()P x y 满足到定点1(0,)A -的距离与到定点()0,1B 距离之比为.1.求曲线C 的方程；2.过点()2,1M 的直线l 与曲线C 交于两点M N 、，若4MN =，求直线l 的方程．答案以及解析1答案及解析：答案：C解析：由题中图象可知选C.2答案及解析：答案：C解析：3答案及解析：答案：A解析：设动点(),P x y ,则由3PA PO =,=,化简得22882450x y x y ++--=,故选A.4答案及解析：答案：C解析：圆22210x y ax y +-++=的圆心(,1)2a -，因为圆22210x y ax y +-++=与圆221x y +=关于直线 1y x =-对称，设圆心(,1)2a -和(0,0)的中点为1(,)42a -， 所以1(,)42a -满足直线1y x =-方程，解得2a =， 过点(2,2)C -的圆P 与y 轴相切，圆心P 的坐标为(,)x y||x =解得：24480y x y +-+=，所以圆心P 的轨迹方程是24480y x y +-+=，故答案为：C5答案及解析：答案：B解析：6答案及解析：答案：C解析：7答案及解析：答案：A解析：8答案及解析：答案：C解析：9答案及解析：答案：C解析：10答案及解析：答案：B解析：11答案及解析： 答案：221(1)8y x x -=≤- 解析：如图所示,设动圆M 与圆1C 及圆2C 分别外切于点A 和B ,根据两圆外切的充要条件,得11MC AC MA -=,22MC BC MB -=.∵MA MB =,∴1122MC AC MC BC -=-,∴2121312MC MC BC AC -=-=-=这表明动点M 与两定点2C 、1C ,的距离的差是常数2.根据双曲线的定义,动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与2C 的距离大,与1C 的距离小).这里1a =,3c =则28b =,设点M 的坐标为(),x y ,则其轨迹方程为221(1)8y x x -=≤-.12答案及解析：答案：221(0)3y x x -=< 解析：13答案及解析：答案：22241x y +=解析：14答案及解析：解析：令3||||MA MC =,则||1||3MA MC =,由题意可得圆229x y +=是关于点,A C 的阿波罗尼斯圆,且13λ=.设(,),(,)M x y C m n ,则2222()()9[(1)]x m y n x y -+-=++. 整理得222288(218)29x y m x ny m n ++++=+-,由题意得该方程等价于229x y +=,由对影响系数相等可得9,0m n =-=,即点C 的坐标为(9,0)-,∴3||||||||||MA MB MC MB BC +=+≥=,当M 在线段BC 与圆O 的交点处时取等号.15答案及解析：答案：1.由题意得PA=化简得22610x y y +-=+或228()3x y -+=2.当直线l 的斜率不存在时，:2l x =将2x =代入方程22610x y y +-=+得5y =或1y =，4MN ∴=，满足题意 当直线l 的斜率存在时，设:120l kx y k -+-=2d ==，解得0k =，此时:1l y =综上，满足题意的直线l 的方程为：2x =或1y =.解析：由Ruize收集整理。
2020秋高中数学人教A版选修2-1课时作业：2.1 曲线与方程
第二章 2.1请同学们认真完成练案[10]A 级 基础巩固一、选择题1．方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是( A ) A ．两个半圆 B ．两个圆 C ．抛物线D ．一个圆[解析] y ≥1时，(x －1)2＋(y －1)2＝1， y ≤－1时，(x －1)2＋(y ＋1)2＝1， ∴表示两曲线为两个半圆．故选A ．2．若方程x －2y －2k ＝0与2x －y －k ＝0所表示的两条曲线的交点在方程x 2＋y 2＝9的曲线上，则k ＝( A )A ．±3B ．0C ．±2D ．一切实数[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －2k ＝0，2x －y －k ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－k ，∴交点为(0，－k )， ∴k 2＝9，k ＝±3.故选A ．3．在直角坐标系中，方程|x |·y ＝1的曲线是( C )[解析] 由|x |·y ＝1知y >0，曲线位于x 轴上方，故选C ．4．命题“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是正确的，下列命题中正确的是( C )A ．方程f (x ，y )＝0的曲线是CB ．方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程 C ．方程f (x ，y )＝0的曲线不一定是CD ．以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上[解析] 不论方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程，还是曲线C 是方程f (x ，y )＝0的曲线，都必须同时满足两层含义：(1)曲线上的点的坐标都是方程的解；(2)以方程的解为坐标的点都在曲线上，所以A 、B 、D 错误．5．已知A (－2,0)、B (2,0)，△ABC 的面积为10，则顶点C 的轨迹是( D )A ．一个点B ．两个点C ．一条直线D ．两条直线[解析] 设顶点C 到边AB 的距离为d ，则12×4×d ＝10，∴d ＝5.∴顶点C 到x 轴的距离等于5.故顶点C 的轨迹是直线y ＝－5和y ＝5.6．动点在曲线x 2＋y 2＝1上移动时，它和定点B (3,0)连线的 中点P 的轨迹方程是( C ) A ．(x ＋3)2＋y 2＝4 B ．(x －3)2＋y 2＝1 C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D ．⎝⎛⎭⎫x ＋322＋y 2＝1 [解析] 设P 点为(x ，y )，曲线上对应点为(x 1，y 1)，则有x 1＋32＝x ，y 1＋02＝y .∴x 1＝2x －3，y 1＝2y .∵(x 1，y 1)在曲线x 2＋y 2＝1上，∴x 21＋y 21＝1，∴(2x －3)2＋(2y )2＝1即(2x －3)2＋4y 2＝1. 二、填空题7．方程y ＝x 2－2x ＋1所表示的图形是__两条射线x ＋y －1＝0(x ≤1)和x －y －1＝0(x ≥1)__.[解析] 原方程等价于y ＝|x －1|⇔x ＋y －1＝0(x ≤1)和x －y －1＝0(x ≥1)． 8．给出下列结论： ①方程yx －2＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距为－2的直线； ②到x 轴距离为2的点的轨迹方程为y ＝－2； ③方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示四个点． 正确的结论的序号是__③__.[解析] 方程yx －2＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距为－2的直线且扣除点(2,0)，故①错；到x 轴距离为2的点的轨迹方程为y ＝－2或y ＝2，故②错；方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示点(－2,2)，(－2，－2)，(2，－2)，(2,2)，故③正确．三、解答题9．已知点P (x ，y )在圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上，求yx 的最大值和最小值．[解析] 圆x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0整理得(x －3)2＋(y －3)2＝4， 所以圆心为C (3,3)，半径r ＝2，设k ＝yx ，即kx －y ＝0(x ≠0)，则圆心到直线的距离d ≤r ，即|3k －3|1＋k 2≤2，整理得5k 2－18k ＋5≤0，解得9－2145≤k ≤9＋2145，故yx 的最大值是9＋2145，最小值为9－2145. 10．设△ABC 的两顶点分别是B (1,1)、C (3,6)，求第三个顶点A 的轨迹方程，使|AB |＝|BC |. [解析] 设A (x ，y )为轨迹上任一点，那么 (x －1)2＋(y －1)2＝(3－1)2＋(6－1)2， 整理，得(x －1)2＋(y －1)2＝29.因为A 点不在直线BC 上，虽然点C (3,6)及点C 关于点B 的对称点C ′(－1，－4)的坐标是这个方程的解，但不在已知曲线上，所以所求轨迹方程为(x －1)2＋(y －1)2＝29(去掉(3,6)和(－1，－4)两个点)．B 级 素养提升一、选择题1．“点M 在曲线y 2＝4x 上”是“点M 的坐标满足方程y ＝－2x ”的( B ) A ．充发不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件[解析] 当M 的坐标为(1,2)时，显然点M 在y 2＝4x 上，但不满足方程y ＝－2x ，故选B ． 2．方程4x 2－y 2＋6x －3y ＝0表示的图形是( C ) A ．直线2x －y ＝0 B ．直线2x ＋y ＋3＝0C ．直线2x －y ＝0或直线2x ＋y ＋3＝0D ．直线2x ＋y ＝0和直线2x －y ＋3＝0[解析] ∵4x 2－y 2＋6x －3y ＝(2x ＋y )(2x －y )＋3(2x －y )＝(2x －y )(2x ＋y ＋3)， ∴原方程表示两条直线2x －y ＝0和2x ＋y ＋3＝0.3．(多选题)设有一组圆C k ：(x －k )2＋(y －k )2＝4，(k ∈R )，下列命题正确的是( ABCD ) A ．不论k 如何变化，圆心C k 始终在一条直线上 B ．所有圆C k 均不经过点(3,0) C ．存在一条定直线始终与圆C k 相切D ．若k ∈⎝⎛⎭⎫22，322，则圆C k 上总存在两点到原点的距离为1[解析] 圆心在直线y ＝x 上，A 正确；若(3－k )2＋(0－k )2＝4，化简得2k 2－6k ＋5＝0，Δ＝36－40＝－4＜0，无解，B 正确； 对于C ，设与圆C k 相切的直线为y ＝x ＋b ，则|b |2＝2，解得b ＝±22，所以存在定直线y ＝x ±22始终与圆C k 相切，C 正确；圆C k 上总存在两点到原点的距离为1，问题转化为圆x 2＋y 2＝1与圆C k 有两个交点，则k ∈⎝⎛⎭⎫－322，－22∪⎝⎛⎭⎫22，322，D 正确． 二、填空题4．由动点P 向圆x 2＋y 2＝1引两条切线P A 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB ＝60°，则动点P 的轨迹方程为__x 2＋y 2＝4__.[解析] 设P (x ，y )，x 2＋y 2＝1的圆心为O ， ∵∠APB ＝60°，OP 平分∠APB ，∴∠OPB ＝30°， ∵|OB |＝1，∠OBP 为直角，∴|OP |＝2，∴x 2＋y 2＝4.5．若点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆的方程为__x 2＋y 2＝5__，该圆在点P 处的切线方程为__x ＋2y －5＝0__.[解析] 由题意，可知圆的半径为r ＝5，所以圆的方程为x 2＋y 2＝5；又P 为切点，连接OP ，得k OP ＝2－01－0＝2，则该圆在点P 处的切线方程的斜率为－12，所以所求切线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.三、解答题6．已知△ABC 的两个顶点坐标为A (－2,0)、B (0，－2)，第三个点C 在曲线y ＝3x 2－1上移动，求△ABC 重心的轨迹方程．(注：设△ABC 顶点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，则△ABC 重心坐标为G (x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33)．)[解析] 设C (x 1，y 1)，重心G (x ，y )，由重心坐标公式得3x ＝－2＋0＋x 1,3y ＝0－2＋y 1， 即x 1＝3x ＋2，y 1＝3y ＋2， ∵C (x 1，y 1)在曲线y ＝3x 2－1上， ∴3y ＋2＝3(3x ＋2)2－1. 化简得y ＝9x 2＋12x ＋3.故△ABC 的重心的轨迹方程为y ＝9x 2＋12x ＋3.7．已知两点P (－2,2)，Q (0,2)以及一条直线l ：y ＝x ，设长为2的线段AB 在直线l 上移动，求直线P A 和QB 的交点M 的轨迹方程．[解析] 设A (m ，m )，B (m ＋1，m ＋1)． 当m ≠－2且m ≠－1时，直线P A 和直线QB 的方程分别为y ＝m －2m ＋2(x ＋2)＋2和y ＝m －1m ＋1x ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝m －2m ＋2(x ＋2)＋2，y ＝m －1m ＋1x ＋2，得⎩⎨⎧x ＝m 2－m －2m，y ＝m 2－m ＋2m，∴x －y ＝－4m.消去m 得x 2－y 2＋2x －2y ＋8＝0.当m ＝－2时，直线P A 和直线QB 的方程分别为x ＝－2和y ＝3x ＋2， 其交点M 的坐标为(－2，－4)，满足方程x 2－y 2＋2x －2y ＋8＝0.当m＝－1时，直线P A和直线QB的方程分别为y＝－3x－4和x＝0. 其交点M的坐标为(0，－4)，满足方程x2－y2＋2x－2y＋8＝0.综上可知，点M的轨迹方程为x2－y2＋2x－2y＋8＝0.。
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第二章 圆锥曲线与方程
§2.1 曲线与方程
课时目标 1.结合实例，了解曲线与方程的对应关系.2.了解求曲线方程的步骤.3.会求简
单曲线的方程．
1．在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与
一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做______________；
这条曲线叫做________________．
2．如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，点P的坐标是(x0，y0)，则①点P在曲线C上⇔
____________；②点P不在曲线C上⇔____________.
3．求曲线方程的一般步骤
(1)建立适当的坐标系，用有序实数对________表示曲线上任意一点M的坐标；
(2)写出适合条件p的点M的集合P＝__________；
(3)用________表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；
(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式；
(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
一、选择题
1．方程x＋|y－1|＝0表示的曲线是( )
2．已知直线l的方程是f(x，y)＝0，点M(x0，y0)不在l上，则方程f(x，y)－f(x0，y0)
＝0表示的曲线是( )
A．直线l B．与l垂直的一条直线
C．与l平行的一条直线 D．与l平行的两条直线
3．下列各对方程中，表示相同曲线的一对方程是( )
A．y＝x与y2＝x
B．y＝x与xy＝1
C．y2－x2＝0与|y|＝|x|
D．y＝lg x2与y＝2lg x
4．已知点A(－2,0)，B(2,0)，C(0,3)，则△ABC底边AB的中线的方程是( )
A．x＝0 B．x＝0(0≤y≤3)
C．y＝0 D．y＝0(0≤x≤2)
5．在第四象限内，到原点的距离等于2的点的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝4
B．x2＋y2＝4 (x>0)
C．y＝－4－x2
D．y＝－4－x2 (0
A．曲线C的方程是F(x，y)＝0
B．方程F(x，y)＝0的曲线是C
C．坐标不满足方程F(x，y)＝0的点都不在曲线C上
D．坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上
题 号
1 2 3 4 5 6
答 案
二、填空题
7．若方程ax2＋by＝4的曲线经过点A(0,2)和B12，3，则a＝________，b＝________.
8．到直线4x＋3y－5＝0的距离为1的点的轨迹方程为
______________________________．
9．已知点O(0,0)，A(1，－2)，动点P满足|PA|＝3|PO|，则点P的轨迹方程是
________________．
三、解答题
10．已知平面上两个定点A，B之间的距离为2a，点M到A，B两点的距离之比为2∶1，
求动点M的轨迹方程．
11．动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3,0)连线的中点为P，求P点的轨迹
方程．
能力提升
12．若直线y＝x＋b与曲线y＝3－4x－x2有公共点，则b的取值范围是( )
A.[]－1，1＋22 B.[]1－22，1＋22
C.[]1－22，3 D.[]1－2，3
1．曲线C的方程是f(x，y)＝0要具备两个条件：①曲线C上的点的坐标都是方程f(x，
y)＝0的解；②以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．
2．求曲线的方程时，要将所求点的坐标设成(x，y)，所得方程会随坐标系的不同而不同．
3．方程化简过程中如果破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹
而遗漏的点．求轨迹时需要说明所表示的是什么曲线，求轨迹方程则不必说明．
第二章 圆锥曲线与方程
§2.1 曲线与方程
知识梳理
1．(2)曲线的方程 方程的曲线
2．①f(x0，y0)＝0 ②f(x0，y
0
)≠0
3．(1)(x，y) (2){M|p(M)} (3)坐标
作业设计
1．B [可以利用特殊值法来选出答案，如曲线过点(－1,0)，(－1,2)两点．]
2．C [方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示过点M(x0，y0)且和直线l平行的一条直线．故
选C.]
3．C [考虑x、y的范围．]
4．B [直接法求解，注意△ABC底边AB的中线是线段，而不是直线．]
5．D [注意所求轨迹在第四象限内．]
6．C [直接法：
原说法写成命题形式即“若点M(x，y)是曲线C上的点，则M点的坐标适合方程F(x，
y)＝0”，其逆否命题是“若M点的坐标不适合方程F(x，y)＝0，则M点不在曲线C上”，
此即说法C.
特值方法：作如图所示的曲线C，考查C与方程F(x，y)＝x2－1＝0的关系，显然A、
B、D中的说法都不正确．]
7．16－83 2
8．4x＋3y－10＝0和4x＋3y＝0
解析 设动点坐标为(x，y)，则|4x＋3y－5|5＝1，
即|4x＋3y－5|＝5.
∴所求轨迹方程为4x＋3y－10＝0和4x＋3y＝0.
9．8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0
10．解
以两个定点A，B所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐
标系(如图所示)．
由于|AB|＝2a，
则设A(－a,0)，B(a,0)，
动点M(x，y)．
因为|MA|∶|MB|＝2∶1，
所以(x＋a)2＋y2∶(x－a)2＋y2＝2∶1，
即(x＋a)2＋y2＝2(x－a)2＋y2，
化简得x－5a32＋y2＝169a2.
所以所求动点M的轨迹方程为
x－
5a
3
2＋y2＝169a2
.
11．解 设P(x，y)，M(x0，y0)，∵P为MB的中点，
∴ x＝x0＋32y＝y02，即 x0＝2x－3y0＝2y，
又∵M在曲线x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋4y2＝1.
∴点P的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.
12．C [曲线方程可化简为(x－2)2＋(y－3)2＝4 (1≤y≤3)，即表示圆心为(2,3)，半径为2
的半圆，依据数形结合，当直线y＝x＋b与此半圆相切时须满足圆心(2,3)到直线y＝x
＋b的距离等于2，解得b＝1＋22或b＝1－22，因为是下半圆故可得b＝1－22，
当直线过(0,3)时，解得b＝3，故1－22≤b≤3，所以C正确．]