《材料力学》第四章 扭转
材料力学-扭转
扭转角（ 扭转角（ϕ）：任意两截面绕轴线相对转动的角度。又称为角 位移。通常用ϕ表示。ϕB − A表示B截面相对A截面转过的角度。 剪应变（ 剪应变（γ）： 剪应变又叫角应变或切应变，它是两个相互垂直方 向上的微小线段在变形后夹角的改变量（以弧度表示， 角度减小时为正） O ϕ B m
A m
γ
第二节 杆受扭时的内力计算
四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
实心圆截面： 实心圆截面：
2
I p = ∫ ρ d A = ∫ ρ (2 πρ d ρ )
2
ρ
d O
dρ
A
d 2 0
= 2 π(
ρ
4
d /2
4
)
0
πd = 32
4
d A = 2 πρ d ρ
πd 3 Wp = = d / 2 16 Ip
空心圆截面： 空心圆截面：
T T = ρ max = IP IP T = WP
ρ max
Ip—截面的极惯性矩， 截面的极惯性矩，单位： 单位：m 4 , mm 4 Ip 3 3 WP —抗扭截面模量， WP = 抗扭截面模量，单位：m , mm .
ρ max
整个圆轴上——等直杆： 等直杆： τ max
Tmax = WP
三、公式的使用条件： 公式的使用条件： 1、等直的圆轴， 等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。 弹性范围内工作。
Tmax Wp
πD 3 实心, 16 T max W = 2）设计截面尺寸: 设计截面尺寸:WP ≥ 3 P [τ ] πD (1 − α 4 ) 空心. 16 ≤ ⇒ m 3）确定外荷载: 确定外荷载: Tmax WP ⋅ [τ ]
≤
材料力学扭转
例二 计算例一中所示轴的扭矩，并作扭矩图。
MB MC
MA
MD
解：已知
D
B
C
A
M A 1592N m M B M C 477.5N m M D 637N m
作扭矩图如左图示。
T
955N· m 477.5N· m
+
637N· m
§3.3 薄壁圆筒的扭转 纯剪切
m
1
m
R0
δ<<R0
m2
m1
m3
B
l AB A
l AC
C
第一种解法
解： 假设A截面不动
j BA
jCA
T AB l AB GI p TCB l CB
GI p
955 300 10 3 704 1012 9 (80 10 ) 32 637 500 10 3 704 1012 9 (80 10 ) 32 4 BA
例：已知一直径d=50mm的钢制圆轴在扭转
角为 6°时，轴内最大剪应力等于90MPa， G=80GPa。求该轴长度。
解：
(1) 9 得： 6 80 10 0 . 05 ( 2) I jG p 180 l 6 max Wpt 90 10 2
2.33 m
Tl T j （ 1 ） max Wt GI p
同样强度下，空心轴使用材料仅为实心轴的三分之一，故空心轴
较实心轴合理。
§3.5 圆轴扭转时的变形 刚度条件
计算目的：刚度计算、为解超静定问题作准备。
T 相对扭转角： j dj dx 0 GI p l
l
j
Tl GI p
材料力学扭转应力知识点总结
材料力学扭转应力知识点总结材料力学扭转应力是指在材料受到外力作用时，产生的沿材料截面方向的剪切应力。
本文将总结材料力学扭转应力的相关概念、公式以及与其相关的知识点。
一、材料力学扭转应力的定义及公式推导材料力学扭转应力是指作用于材料截面的切应力，即使材料在受扭转载荷时只沿材料轴向发生变形，但由于材料的剪切模量存在，扭转载荷能够引起沿截面呈现出一定程度的剪切应力。
设材料受到的扭转力矩为T，截面积为A，材料在截面上的剪切应力为τ，则材料力学扭转应力可以表示为：τ = T / A其中，τ表示扭转应力，T表示扭转力矩，A表示截面积。
二、材料力学扭转应力与材料性质的关系1. 临界剪切应力：临界剪切应力是指材料在一定条件下开始发生塑性变形的最小剪切应力。
临界剪切应力可以用来衡量材料的塑性变形特性。
2. 杨氏模量与剪切模量：剪切模量G是衡量材料抵抗剪切形变能力的指标，而杨氏模量E是衡量材料抵抗拉伸形变能力的指标。
二者的关系可以表示为：E = 2G(1 + μ)其中，E表示杨氏模量，G表示剪切模量，μ表示泊松比。
三、材料力学扭转应力的影响因素1. 材料的性质：不同材料的剪切模量不同，因此材料的扭转应力也会不同。
某些材料具有较高的剪切模量，能够承受较大的扭转应力，而某些材料的剪切模量较低，其扭转应力相对较小。
2. 截面形状：截面形状对扭转应力有一定影响。
通常情况下，截面形状越大，扭转应力越小；截面形状越小，扭转应力越大。
3. 外力作用位置：外力作用位置对扭转应力也有一定影响。
通常情况下，外力作用位置越远离截面中心，扭转应力越小；外力作用位置越接近截面中心，扭转应力越大。
四、常见的材料力学扭转应力应用场景1. 扭转杆件：扭转杆件是最常见的扭转应力应用场景之一。
例如汽车发动机的曲轴，飞机发动机的转子等都是承受扭转应力的杆件。
2. 扭转弹簧：扭转弹簧是利用材料力学扭转应力的特性设计的机械零件。
它能够通过受到扭转载荷而产生恢复力，广泛应用于各种机械装置中。
材料力学实验报告扭转实验
材料力学实验报告扭转实验一、实验目的1、测定低碳钢和铸铁在扭转时的力学性能，包括扭转屈服极限、扭转强度极限等。
2、观察低碳钢和铸铁在扭转过程中的变形现象，分析其破坏形式和原因。
3、熟悉扭转试验机的工作原理和操作方法。
二、实验设备1、扭转试验机2、游标卡尺三、实验原理在扭转实验中，材料受到扭矩的作用，产生扭转变形。
扭矩与扭转角之间的关系可以通过试验机测量得到。
对于圆形截面的试件，其扭转时的应力分布为：表面最大切应力：＄＼tau_{max} ＝＼frac{T}｛W_p}＄其中，＄T$为扭矩，＄W_p$为抗扭截面系数，对于实心圆截面，＄W_p ＝＼frac{＼pi d^3}｛16}＄，＄d$为试件的直径。
当材料达到屈服极限时，对应的扭矩为屈服扭矩$T_s$；当材料断裂时，对应的扭矩为极限扭矩$T_b$。
四、实验材料本次实验采用低碳钢和铸铁两种材料的圆柱形试件，其尺寸如下：低碳钢试件：直径$d_1 ＝ 10mm$，标距$L_1 ＝ 100mm$铸铁试件：直径$d_2 ＝ 10mm$，标距$L_2 ＝ 100mm$五、实验步骤1、测量试件的直径，在不同位置测量多次，取平均值。
2、安装试件，确保其中心线与试验机的轴线重合。
3、启动试验机，缓慢加载，观察扭矩和扭转角的变化。
4、当低碳钢试件出现屈服现象时，记录屈服扭矩$T_s$。
5、继续加载，直至试件断裂，记录极限扭矩$T_b$。
6、取下试件，观察其破坏形式。
六、实验结果及分析1、低碳钢试件屈服扭矩$T_s ＝ 45 N·m$极限扭矩$T_b ＝ 68 N·m$计算屈服应力：＄＼tau_s ＝＼frac{T_s}｛W_p} ＝＼frac{45×16}｛＼pi×10^3} ≈ 226 MPa$计算强度极限：＄＼tau_b ＝＼frac{T_b}｛W_p} ＝＼frac{68×16}｛＼pi×10^3} ≈ 358 MPa$低碳钢试件在扭转过程中，首先发生屈服，表现为沿横截面产生明显的塑性变形，形成屈服线。
中国民航大学 2024 年研究生招生考试大纲 804材料力学
材料力学 804一、参考教材：《材料力学I、II》，第四版，高等教育出版社，单辉祖编著。
二、课程内容的基本要求：第一章：绪论第二章：轴向拉压应力第三章：轴向拉压变形第四章：扭转第五章：弯曲内力第六章：弯曲应力第七章：弯曲变形第八章：应力分析和强度理论第九章：组合变形第十章：压杆稳定第十一章：能量方法第十二章：动载荷第十三章：应力分析的实验方法三、应该掌握的内容和重点内容第一章绪论材料力学的任务、基本概念，变形体的基本假设，杆件变形的基本形式。
第二章轴向拉压应力1、轴向拉（压）的概念、内力、截面法、轴力的计算和轴力图的画法。
2、轴向拉（压）杆件横截面及斜截面上的应力计算；许用应力；强度条件及应用。
3、材料在拉伸、压缩时的机械性能。
4、剪切面、挤压面的概念及其判定；剪应力和挤压的公式及其计算。
重点：1、轴力及轴力图的画法。
2、拉（压）应力及强度计算。
3、材料的主要性能。
第三章轴向拉压变形1、轴向拉（压）杆件的变形，纵向变形、弹性模量、抗拉刚度、横向变形、泊松比等概念；虎克定律及其应用。
2、桁架节点位移计算。
3、简单静不定问题的计算。
重点：1、轴向拉（压）变形计算。
2、静不定问题的分析和计算。
第四章扭转1、外力扭矩的计算，扭矩、扭矩图。
2、圆轴扭转时横截面上的应力分布和计算；强度条件及其应用。
3、圆轴扭转时变形和刚度计算；材料的扭转破坏实验。
4、扭转静不定问题的计算。
重点：1、圆轴扭转应力和强度计算。
2、圆轴扭转变形和刚度计算。
3、简单扭转静不定的计算。
第五章弯曲内力1、平面弯曲、剪力、弯矩的概念。
2、剪力方程、弯矩方程的列法；剪力图与弯矩图的画法。
3、利用微分关系画剪力图和弯矩图。
重点：剪力图与弯矩图的画法。
第六章弯曲应力1、纯弯曲的概念和平面假设；平面图形的几何性质。
2、弯曲正应力公式及应用；弯曲剪应力计算。
3、弯曲强度计算；提高梁的强度的主要措施。
重点：弯曲正应力分析与强度计算。
第七章弯曲变形1、挠度、转角及其关系；挠曲线微分方程式；积分法、叠加法求梁的变形。
材料力学扭转
第三章
扭
转
d
对于空心圆截面：
2 d
2
D 2 d 2
d O D
4 4 (D d )
32
d D 4 4 4 (1 ) 0.1D (1 ) ( ) D 32
4
材料力学
④ 应力分布
第三章
扭
转
（实心截面）
结构轻便，应用广泛。
（空心截面）
d t G dx
材料力学
3. 静力学关系：
第三章
扭
转
dA
T A dA t d A G dA dx
2
O
d 2 G A dA dx d T GI p dx
代入物理关系式
令
I p A dA
2
d T dx GI p T d 得： t t G Ip dx
材料力学
第三章
扭
转
材料力学
例题 3-4
第三章
扭
转
图示阶梯状圆轴，AB段直径d1=120 mm，BC段 直径d2=100 mm。扭转力偶矩MA =22 kN· m，MB =36 kN· m，MC =14 kN· m，材料的许用切应力[t ]80 MPa。试校核该轴的强度。
材料力学
例题 3-4
解：1. 绘扭矩图
MB MC MA MD
解：计算外力偶矩
B C A D
PA M A 9550 1592N m n PB M B M C 9550 477.5N m n PD M D 9550 637N m n
材料力学
第三章
扭
转
材料力学-扭转-计算公式及例题上课讲义
已知 G MPa
8.00E+04
已知 G MPa
8.00E+04
21.23
求 IP m4 2.51E-07
求 IP m4 2.36E-06
例：如图装有四个皮带轮的一根实心圆轴的计算简图。已知 T1=1.5KN·m，T2=3 T3=9KN·m，T4=4.5KN·m；各轮的间距为L1=0.8m，L2=1.0m，L3=1.2m；材料的[τ] [θ]=0.3°/m，G=8×104MPa。试求：（1）设计轴的直径D；（2）若轴的直径D0=105mm 全轴的相对角φD-A。
已知
G
MPa 8.00E+04
已知 L2 m
已知
AB段Mn（1-1 剖面）
K N·m 4.5 已知 L3 m
已知 BC段Mn（2-2剖面）
K N·m -4.5
数值
0.8
1
1.2
实心轴 数据状态 代号 单位 数值 数据状态 代号 单位 数值 数据状态 代号 单位 数值
已知 d mm 799
已知 WP m3
求求cd段mn22剖面db段mn33剖面knmknm062143切面为正已知mpa60已知mpa60求已知max单位不要错mm1772求已知max单位不要错mm0432t23knm料的80mpa直径d0105mm试计算求求ab段mn11剖面bc段mn22剖面knmknm450450切面为正d103mm已知求cd段mn33剖面ip4knmm15119e05求cd段mn33剖面nm150求求求bacbdc021602700108强度计算序号名称代号单位maxmnmaxwp横截面上的最大扭1矩2抗扭截面模量3材料许用切应力刚度条件序号名称1单位长度上的最大扭转角2极惯性矩3横截面上的最大扭矩4剪切弹性模量5许用单位扭转角mnmaxwp代号maxipmnmaxgnm3mpa单位m4mnmpam序号名称代号1外力偶矩t2功率nk3转速n序号名称代号圆轴扭转时的强度条件1横截面上的最大扭矩mnmax2抗扭截面模量wp3材料许用切应力强度计算序号名称代号横截面上的最大扭矩2抗扭截面模量3材料许用切应力变形计算mnmaxwp序号名称代号1扭转角2极惯性矩ip3横截面上的扭矩mn4剪切弹性模量g5杆件长度l刚度条件序号名称代号1单位长度上的最大扭转角max2极惯性矩ip3横截面上的最大扭矩mnmax4剪切弹性模量g5许用单位扭转角序号名称代号1极惯性矩ip2抗扭截面模量wp3dd实心轴数据状态已知求代号dip单位数值数据状态代号单位数值数据状态代号单位数值mm799已知wp3m01994已知p4m014m400e02求ip4m100e01求wp3m199e01求da0162mn180maxmaxgip单位nmkwrmin公式t9550nk序号名称代号单位n单位度条件nm3mpa单位公式mnmaxmaxwpmnmaxmaxwp1极惯性矩ipm42抗扭截面模量wpm33ddr0d02平均半径d0
材料力学扭转实验报告
材料力学扭转实验报告1. 实验目的。
本实验旨在通过材料力学扭转实验，探究材料在受力情况下的扭转性能，了解材料的力学特性和扭转变形规律，为工程应用提供理论依据。
2. 实验原理。
材料在受到扭转力矩作用下，会产生扭转变形。
根据弹性力学理论，扭转角度与扭转力矩成正比，而与材料长度和材料性质有关。
材料的扭转刚度可用扭转角度与扭转力矩的比值来表示，即扭转角度和扭转力矩的比值为材料的剪切模量G。
3. 实验装置。
本实验采用材料力学扭转实验机进行测试，实验机由电机、扭转传感器、数据采集系统等部分组成。
在实验中，通过控制电机输出的扭转力矩和测量相应的扭转角度，可以得到材料的扭转刚度和剪切模量等参数。
4. 实验步骤。
（1）将待测试的材料样品装入扭转实验机夹具中，保证样品的两端固定。
（2）设置实验机的扭转力矩和扭转角度采集参数。
（3）启动实验机，施加不同的扭转力矩，记录相应的扭转角度。
（4）根据实验数据计算材料的扭转刚度和剪切模量。
5. 实验结果与分析。
通过实验数据处理和分析，得到了材料在不同扭转力矩下的扭转角度数据。
根据实验结果，可以绘制出材料的扭转曲线，进一步分析材料的扭转特性和力学性能。
6. 结论。
通过本次材料力学扭转实验，得到了材料的扭转刚度和剪切模量等重要参数，为了解材料的力学性能提供了重要参考。
同时，实验结果也为工程应用提供了理论基础，具有一定的实用价值。
7. 实验心得。
本次实验通过操作实验装置、处理实验数据等环节，对材料力学扭转实验有了更加深入的认识，增强了对材料力学知识的理解和应用能力。
综上所述，本次材料力学扭转实验取得了一定的成果，为深入研究材料的力学性能和工程应用提供了重要参考，具有一定的理论和实用价值。
材料力学扭转实验报告
材料力学扭转实验报告一、实验目的。
本实验旨在通过材料力学扭转实验，探究材料在扭转加载下的力学性能，了解材料在扭转过程中的变形规律，为工程应用提供参考依据。
二、实验原理。
材料在扭转加载下的应力和应变关系可由以下公式描述：\[ τ = \frac{T \cdot r}{J} \]\[ γ = \frac{θ \cdot r}{L} \]式中，τ为剪应力，T为扭矩，r为半径，J为极化面积惯性矩，γ为剪应变，θ为扭转角度，L为长度。
三、实验装置。
本实验采用扭转试验机进行扭转实验，实验装置包括扭转试验机、扭转夹具、力传感器、位移传感器等。
四、实验步骤。
1. 将试样装入扭转夹具中，并固定好。
2. 调整扭转试验机，使其处于工作状态。
3. 开始施加扭转力，记录下扭转角度和扭矩的变化。
4. 持续施加扭转力，直至试样发生破坏或达到设定的扭转角度。
五、实验数据处理。
1. 根据实验记录的扭转角度和扭矩数据，绘制扭转曲线。
2. 通过扭转曲线，计算出试样的剪应力-剪应变曲线。
3. 分析试样在扭转加载下的力学性能，如极限剪应力、屈服剪应力等。
六、实验结果与分析。
通过对实验数据的处理和分析，得到了试样在扭转加载下的力学性能参数。
根据实验结果，可以得出试样的扭转强度、剪切模量等力学性能指标，为材料的工程应用提供了重要参考。
七、实验结论。
本实验通过材料力学扭转实验，深入了解了材料在扭转加载下的力学性能，得到了试样的力学性能参数，为工程设计和材料选用提供了重要参考。
八、实验总结。
本实验通过扭转实验，深化了对材料力学的理解，掌握了材料在扭转加载下的力学性能特点，为工程实践提供了重要的理论支持。
通过本次实验，我深刻认识到了材料力学扭转实验在工程领域的重要性，也加深了对材料力学理论的理解和应用。
希望今后能够继续深入学习和探索材料力学领域，为工程实践和科学研究做出更多贡献。
材料力学第四章
一、 传动轴如图19-5（a ）所示。
主动轮A 输入功率kW N A 75.36=，从动轮D C B 、、输出功率分别为kW N kW N N D C B 7.14,11===，轴的转速为n =300r/min 。
试画出轴的扭矩图。
解 （1）计算外力偶矩：由于给出功率以kW 为单位，根据（19-1）式：117030075.3695509550=⨯==n N M A A (N ·m )3513001195509550=⨯===n N M M B C B (N ·m )4683007.1495509550=⨯==n N M D D (N ·m )（2）计算扭矩：由图知，外力偶矩的作用位置将轴分为三段：AD CA BC 、、。
现分别在各段中任取一横截面，也就是用截面法，根据平衡条件计算其扭矩。
BC 段：以1n M 表示截面Ⅰ－Ⅰ上的扭矩，并任意地把1n M 的方向假设为图19-5（b ）所示。
根据平衡条件0=∑x m 得：01=+B n M M3511-=-=B n M M (N ·m )结果的负号说明实际扭矩的方向与所设的相反，应为负扭矩。
BC 段内各截面上的扭矩不变，均为351N ·m 。
所以这一段内扭矩图为一水平线。
同理，在CA 段内：M n Ⅱ＋0=+B C M MⅡn M = －B C M M -= －702(N ·m ) AD 段：0=D n M M －Ⅲ468==D n M M Ⅲ(N ·m )根据所得数据，即可画出扭矩图[图19－5（e ）]。
由扭矩图可知，最大扭矩发生在CA 段内，且702max =n M N ·m二、 如图19-15所示汽车传动轴AB ，由45号钢无缝钢管制成，该轴的外径D =90mm ，壁厚t =2.5mm ，工作时的最大扭矩M n ＝1.5kN·m ，材料的许用剪应力][τ＝60MPa 。
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第四章 扭转§4—1 工程实例、概念一、工程实例1、螺丝刀杆工作时受扭。
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
3、机器中的传动轴工作时受扭。
4、钻井中的钻杆工作时受扭。
二、扭转的概念受力特点：杆两端作用着大小相等方向相反的力偶，且作用面垂直杆的轴线。
变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。
轴：主要发生扭转变形的杆。
§4—2 外力偶矩、扭矩一、外力：m （外力偶矩）1、已知：功率 P 千瓦(KW ），转速 n 转／分(r ／min ； rpm)。
外力偶矩：m)(N 9549⋅=nPm 2、已知：功率 P 马力(Ps)，转速 n 转／分(r ／min ；rpm)。
外力偶矩：m)(N 7024⋅=nPm 二、内力：T （扭矩） 1、内力的大小：（截面法）mT m T mx==-=∑002、内力的符号规定：以变形为依据，按右手螺旋法则判断。
（右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向背离所在截面则扭矩规定为正值，反之为负值。
）3、注意的问题：（1）、截开面上设正值的扭矩方向；（2）、在采用截面法之前不能将外力简化或平移。
4、内力图（扭矩图）：表示构件各横截面扭矩沿轴线变化的图形。
作法：同轴力图：§4—3 薄壁圆筒的扭转 一、薄壁圆筒横截面上的应力(壁厚0101r t ≤,0r ：为平均半径） 实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式。
1、实验：2、变形规律：圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度。
纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
3、切应变（角应变、剪应变）：直角角度的改变量。
4、定性分析横截面上的应力(1) 00=∴=σε ；（2）00≠∴≠τγ因为同一圆周上切应变相同，所以同一圆周上切应力大小相等。
⑶ 因为壁厚远小于直径，所以可以认为切应力沿壁厚均匀分布,而且方向垂直于其半径方向。
5、切应力的计算公式：dA →τdA →（τdA ）r 0 ；dA=（r 0d α）t ；πταττπ2.2020200t r td r r dA T A===⎰⎰tr T202πτ=二、剪切虎克定律在弹性范围内切应力与切应变成正比关系。
ρττ≤ γτ∝ γτG = )1(2μ+=EG三、切应力互等定理在相互垂直的两个面上，切应力总是成对出现的，并且大小相等，方向同时指向或同时背离两个面的交线。
∑=0Y dydz dydz ττ= ∑=0X dxdz dxdz ττ'=' 0=∑ZMdy dxdz dx dydz )()(ττ'=∴ττ'=§4—4 圆轴扭转时的应力、强度计算一、圆轴扭转时横截面上的应力（超静定问题）几何关系：由实验通过变形规律→应变的变化规律 物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系→应力的计算公式。
一）、几何关系： 1、实验：2、变形规律：圆轴线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度。
纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
3、平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状、大小、间距不变，半径仍为直线。
4、定性分析横截面上的应力(1) 00=∴=σε ；（2）00≠∴≠τγ因为同一圆周上切应变相同，所以同一圆周上切应力大小相等，并且方向垂直于其半径方向。
5、切应变的变化规律：dxRd dx b b dx bb tg ϕγγ===≈11xdx G G x G G d d d tg 11ϕργγρρ⋅='='=≈dxd ϕργρ=∴ 二）物理关系：弹性范围内工作时 P ττ≤maxγτG =→ρργτG =→dxd G ϕρτρ= 方向垂直于半径。
应力分布：实心截面： 空心截面：三）静力关系：ρττρρdA dA dA A →→→A xGA xG A T A A A d d d d d d d 22ρϕϕρρτρ⎰=⎰=⋅⋅⎰= 令A I A p d 2ρ⎰=→xGI T p d d ϕ=→p GI T x = d d ϕ 代入物理关系式xGd d ϕρτρ= 得： pI T ρτρ⋅=——圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算式。
二、圆轴中τmax 的确定横截面上——pP PW TI TI T ===maxmax max ρρτ （I p —截面的极惯性矩，单位： m 4 mm 4；)(T p W W —抗扭截面模量，单位：m 3 mm 3 ） 整个圆轴上——等直杆：p W T max max =τ； 变直杆：max max )(pW T=τ 三、公式的使用条件：1、等直的圆轴 2、弹性范围内工作。
四、I p , W p 的确定 ： 1、实心圆截面——42032232122D d d dA I D AAP πρπρρπρρρ====⎰⎰⎰3max1612D D I I W PPp πρ=== 2、空心圆截面——)1(321)(321244442232αππρπρρ-=-===⎰⎰D d D d dA I D d AP )1(161243απ-==D DI W Pp ；D d =α五、圆轴扭转时斜截面上的应力低碳钢试件：沿横截面断开。
铸铁试件：沿与轴线约成450的螺旋线断开。
因此还需要研究斜截面上的应力。
方法：取单元体（单元体上的应力认为是均匀分布的） 设：ef 边的面积为 dA 则eb 边的面积为dAcos αbf 边的面积为dAsin αcos )sin (sin )cos (0=++⇒=∑ααταατσαdA dA dA Nsin )sin (cos )cos (0=+-⇒=∑ααταατταdA dA dA Tατσα2sin -=∴；αττα2cos =分析：1、σmax ：α=±45°。
│σmax │=τ（τα=0）。
45°斜截面！2、τmax ：α=00，│τmax │=τ（σα=0）。
横截面上！ 结论：如果材料的抗剪切能力差，构件就沿横截面发生破坏 （塑性材料）；如果材料的抗拉压能力差，构件就沿450斜截面发生破坏 （脆性材料）。
六、圆轴扭转时的强度计算 1、强度条件：[]ττ≤=pW T maxmax 2、强度计算：1）校核强度；][maxmax ττ≤=pW T 2）设计截面尺寸；][max τT W p ≥ （⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-）（空：实：433116 16 αππD D W p ）3）确定外荷载。
m ][max⇒≤τp W T§4—5 圆轴扭转时的变形、刚度计算一、变形：（相对扭转角）dx GI Td GI T dx d dx d GI T PP P=→=→=ϕϕϕ ⎰=L PGI Tdxϕ——)(x T T = PGI TL=ϕ——T=常量 ∑=PGI TLϕ——T=常量,且分段。
单位：弧度（rad ）。
GIP ——抗扭刚度。
注意： “T ” 代入其“＋、－”号PGI T L==ϕθ m rad——单位长度的扭转角二、刚度条件：[]θθ≤=P GI T max max []θπθ≤⨯=0max max 180P GI T m 0 三、刚度计算：1、校核刚度；[] max θθ≤2、设计截面尺寸； ][maxθG TI p ≥3、确定外荷载。
m ] [ max⇒≤θp GI T[例] 功率为150 kW ，转速为15.4 转/秒的电动机转子轴如图所示，许用切应力 [τ ]=30 M Pa, 试校核其强度。
解：①求扭矩及扭矩图).(1055.160*4.15150954995493m N nP m T BC ⨯====②计算并校核切应力强度][MPa 2316701055.1161363max τππτ≤=⋅⨯===D T W T p[例] 已知：P ＝7.5kW,n=100r/min,许用切应力[τ]＝40MPa,空心圆轴的内外径之比α = 0.5。
求:：实心轴的直径d 1和空心轴的外径D 2。
解：d 1=45 mm D 2 =45 mm d 2 =0.5D 2=23 mm§4—6 等直圆杆的扭转超静定问题解扭转超静定问题的步骤：① 平衡方程；② 几何方程——变形协调方程；③ 补充方程：把物理方程（力与变形的关系）代入几何方程得； ④ 解由平衡方程和补充方程组成的方程组。
[例] 长为 L =2 m 的圆杆受均布力偶 m =20 Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为α =0.8 ，外径 D =0.0226 m ，G =80 GPa ，试求：固定端的反力偶。
解：①杆的受力图如图示，这是一次超静定问题。
平衡方程为：02=-+m m m B A②几何方程：0=BA ϕ ③ 力的补充方程：040220)(200=-=-==⎰⎰PA P A LP BA GI m dx GI x m dx GI x T ϕm N 20 ⋅=∴A m④ 由平衡方程得：m N 20⋅=B m另:此题可由对称性直接求得结果。
§4—7 非圆截面杆的扭转一、非圆截面杆与圆截面杆的区别圆杆扭转时——横截面保持为平面；非圆杆扭转时——横截面由平面变为曲面（发生翘曲）。
二、研究方法：弹性力学的方法研究 三、非圆截面杆扭转的分类：1、自由扭转（纯扭转）；2、约束扭转。
四、分析两种扭转：1、自由扭转：各横截面翘曲程度不受任何约束（可自由凹凸），任意两相邻截面翘曲程度相同。
受力特点：两端受外力偶作用。
变形特点:相邻两截面翘曲完全相同，纵向长度不变，所以纵向应变等于零。
应力特点：横截面上正应力等于零，切应力不等于零。
2、约束扭转：由于约束条件或受力限制，造成杆各横截面翘曲程度不同。
受力特点：两端受外力偶作用。
变形特点：相邻两截面翘曲不相同，纵向长度发生变化，所以纵向应变不等于零。
应力特点：横截面上正应力不等于零，切应力不等于零。
五、矩形截面杆的自由扭转：1、分布：2、应力计算：长边中点 2max hbT W T t ατ==（整个横截面上最大的切应力）。
短边中点 max 1γττ=3、变形：3hb G TL GI TL t βϕ==, tGI T=θ 对于狭长矩形（即：10≥b h ）；31≈≈βα 六、非圆截面杆扭转的有关规律：1、截面周边各点处切应力的方向与周边平行（相切）。
2、在凸角处的切应力等于零。
扭转变形小结一、扭转的概念受力特点：杆两端作用着大小相等方向相反的力偶，且作用面垂直杆的轴线。
变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。
二、外力：m （外力偶矩）m)(N 9549⋅=n Pm ——功率 P 千瓦，转速 n 转／分。