圆的方程习题精讲,附有详细答案

其中 －4
求证：不论 为何值，所给圆必经过两个定点。
证明：把所给方程写为：
这是经过以下两个圆的交点的圆系的方程：
所以，不论 为何值，所给圆必经过这两个圆的两个交点
轴对称
轴对称是解析几何的一个重要内容，利用它不仅可以解决点、线、曲线等关于直线的对称问题，而且还可以解决诸如最值、光线反射、角平分线等问题，并且常得到意想不到的效果。本文将以数例来谈谈它的应用。
点评：一般通过线心距 与圆半径 相等和待定系数法，或切线垂直于经过切点的半径来处理切线问题.
四、弦长问题
例4 (06天津卷理)设直线 与圆 相交于 两点，且弦 的长为 ，则 .
解由已知圆 ，即得圆心 和半径 .
∵线心距 ，且 ，∴ ，即 ，解得 .
点评：一般在线心距 、弦长 的一半和圆半径 所组成的直角三角形中处理弦长问题： .
∵圆上至少有三个不同的点到直线l:ax+by=0的距离为2 ，
∴圆心到直线的距离小于或等于 .
即 ，亦即 .故
∴15°
故所求角的范围为[15°，75°].
【点评】解析1采用几何法来处理直线与圆的位置关系问题，而解析2是通过代数的方法来处理.
（4）圆与圆的位置关系——由心心距和半径长确定
【例4】已知两圆 和 ，求：
即x2+y2+4x的最大值为7+2 ，最小值为
习题精选精讲圆标准方程
已知圆心 和半径 ，即得圆的标准方程 ；已知圆的标准方程 ，即得圆心 和半径 ，进而可解得与圆有关的任何问题.
一、求圆的方程
例1 (06重庆卷文)以点 为圆心且与直线 相切的圆的方程为( )
(A) (B)
(C) (D)
解已知圆心为 ，且由题意知线心距等于圆半径，即 ，∴所求的圆方程为 ，故选(C).
为何值所给圆必经过这两个圆的两个交点轴对称轴对称是解析几何的一个重要内容利用它不仅可以解决点线曲线等关于直线的对称问题而且还可以解决诸如最值光线反射角平分线等问题并且常得到意想不到的效果
圆的方程习题精选精讲
（1）标准方程——请看圆心和半径
从圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2=r2（r>0）中，我们能看见它的图形特征：圆心即定点（a，b），半径即定长r.a，b确定了圆的位置，r确定了圆的大小.
当A到l的距离d= 时，圆上恰有三个点到l的距离为2 ；
当d< 时，圆上有四点到直线l的距离为2 ；
当d> 时，圆上有两点到l的距离为2 .
如右图，当d=AC= 时，OA=2 ， AOC=30°，
∴ COx=15°.
在另一极端位置l′时，其倾斜角为75°.
∴所求角的范围为[15°，75°]
【解析2】圆 的圆心为（2，2），半径为3 .
∴Q分PA的比为 .
∴
又因 ＝１，且y0>0，∴ .
∴Q的轨迹方程为 .
【法二】设∠AOP=α，α∈(0，π)，则P(cosα，sinα)，∠AOQ= ，则OQ直线方程为y=x·tan =kx①
kPA＝ ∴直线PA方程为y= (x－3)②
由Q满足①②且k=tan .由②得y= .消去k有y= ∴x2+y2－ ，由图知y>0.
八、综合问题
例8 (06湖南卷理)若圆 上至少有三个不同的点到直线 的距离为 ，则直线 的倾斜角的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
解已知圆化为 ，即得圆心 和半径 .
∵圆上至少有三个不同的点到直线 的距离为 ，∴ ，即 ，由直线 的斜率 代入得 ，解得 ，又 ， ，∴直线 的倾斜角的取值范围是 ，故选(B).
故所求Q点轨迹方程为x2＋y2－ x=0(y>0).
【点评】上述两种方程为求轨迹的基本方法：相关点及参数法.
（2）待定系数法——把方程（组）带进几何
当已知动点的轨迹是所学过的曲线方程时，则可设出含有待定系数的方程，再根据动点满足的条件，确定待定系数，从而求得动点的轨迹方程.其基本思路是：先定性，再定型，最后定量.
（3）几何法——与向量或三角沟通
直线被圆截得的弦长计算，运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦半径及半径构成直角三角形计算，此公式是
半径2=弦心距2+半弦长2.
【例7】在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，－3）为△OAB的直角顶点.已知|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于零.
（1）求向量 的坐标；（2）求圆 关于直线OB对称的圆的方程；
判断直线与圆的位置关系有两种方法：
①几何法：利用圆心到直线的距离d与半径r的大小判断
②代数法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，利用判别式“Δ”进行判断：
【例3】若圆 上至少有三个不同的点到直线l:ax+by=0的距离为2 ,求直线l的倾斜角的取值范围.
【解析1】圆（x-2）2+（y-2）2=18的圆心为A（2，2），半径为r= .
点评：一般通过比较线心距 与圆半径 的大小来处理直线与圆的位置关系： 线圆相离； 线圆相切； 线圆相交.
三、切线问题
例3 (06重庆卷理)过坐标原点且与圆 相切的直线方程为( )
(A) 或 (B) 或
(C) 或 (D) 或
解化为标准方程 ,即得圆心 和半径 .
设过坐标原点的切线方程为 ，即 ，∴线心距 ，平方去分母得 ，解得 或 ，∴所求的切线方程为 或 ，故选(A).
确定一个圆需要三个条件，1个圆心相当2个条件，而半径只相当1个条件.
【例1】求过点A（5，2）和点B（3，-2），圆心在直线2x-y=3上的圆的方程.
【分析】点A和点B已知相当2个条件，圆心在已知直线上只相当1个条件.三个条件已知，圆的方程可定.
【解析】设圆心为（a，b）,则有
解得
即圆心为（2，1）.
（3）当 ，①不表示任何图形.
【例2】已知方程x2+y2-2(m+3)x+2·(1-4m2)·y+16m4+9=0表示一个圆.
(1)求实数m的取值范围；(2)求该圆半径r的取值范围；(3)求圆心的轨迹方程.
【解析】(1)方程表示圆的充要条件是D2+E2-4F>0，即：4(m+3)2+4(1-4m2)2-4(16m4+9)>0，解之得- <m<1.
【解析】∵
∴ =
设x2+y2+4x=k，即（x+2）2+y2=4+k，视为以K（-2，0）为圆心， 为半径.
(问题转化为求半径的取值范围)
∵x、y在圆 上运动，而点K（-2，0）在圆C外，
又两圆心距为
当圆K与圆C内切时 取最大值，最大值为 +1，此时k=（ +1）2-4=7+2 .
当圆K与圆C外切时 取最小值，此时有 +1= ，
（4）参数法——与函数或不等式接轨
当动点P（x,y）直接找不出坐标x,y之间的关系时，可设动点P（x,y）满足关于参数t的方程 （t是参数）③
则由方程组③消去参数t，即求得动点P(x,y)的普通方程：f(x,y)=0.
【例8】点P（x，y）在圆C：x2+y2-2x-2y+1=0上运动，点A（2，2），B（2，-2）是平面上两点，求 的最值.
由距离公式得半径r2=
因此所求圆的方程为 .
【点评】具备三个独立条件方能确定圆的三个参数值，即确定圆的方程.如果还有某个条件未能确定，则得到的是“圆系”（圆的集合）方程.当题设中有条件很隐晦时，可先按“显形条件”求出圆系方程，再让圆系方程满足隐晦条件而把圆方程最后确定.
（2）一般方程——看圆的代数式特征
当两圆外切时， 解得 .
(2)当两圆内切时，因定圆的半径 小于两圆圆心距离5，故只有
解得 又∵ ∴两圆公切线的斜率为 .
设所求公切线方程为
解得 易验证当 时，直线与后一圆相交.
故所求公切线方程为 ，即
（3）当m=45时，两圆公共弦所在直线方程为4x+3y-23=0.由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，不难求得公共弦的长为
【解析】（1）设 得
所以v－3>0,得v=8,故 ={6，8}.
（2）由 ={10，5}，得B（10，5），于是直线OB方程：
由条件可知圆的标准方程为：(x－3)2+y(y+1)2=10,得圆心（3，－1），半径为 .设圆心（3，－1）关于直线OB的对称点为（x,y）则
故所求圆的方程为(x－1)2+(y－3)2=10.
①
则关于α、β反解方程组①，得 ②
代入曲线方程f1（x,y）=0，即可求得动点P的轨迹方程C：f（x,y）=0.
【例5】已知点A(3，0)，点P在圆x２+y２=1的上半圆周上，∠AOP的平分线交PA于Q，求点Q的轨迹方程.
【法一】如图所示，设P(x0，y0)(y0>0)，Q(x，y).
∵OQ为∠AOP的平分线，∴ ，
（1）m取何值时两圆外切；（2）m取何值时两圆内切，此时内切线方程是什么？
（3）求m=45时两圆的公共弦长.
【分析】先将两圆方程变为标准方程，利用外切和内切的条件求m的值，特别是两圆内切时，还应分析两圆半径大小关系再准确求解.
【解析】(1)两圆的标准方程分别为：
圆心分别为M（1，3），N（5，6），半径分别为 和 .
【例6】求经过两圆x2＋y2＋6x－4=0和x2＋y2＋6y－28=0的交点，并且圆心在直线x－y－4=0上的圆的方程.
【法一】解方程组 得 或
∴两圆交点为(－1，3)，(－6，－2).
设所求圆方程为：x2＋y2＋dx＋ey＋f=0
∴所求圆方程为：x2＋y2－x＋7y－32=0 .
【法二】解方程组 得 或
如果把圆的标准方程称作圆方程的“几何式”，而圆的一般方程则可称作圆方程的“代数式”.