最新高三数学总复习讲义——向量汇总
2010高三数学总复习讲义——向量
2010高三数学总复习讲义——向量
知识清单
一、向量的有关概念
1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有
向线段的长度).
2.向量的表示方法:
⑴字母表示法:如?Skip Record If...?等.
⑵几何表示法:用一条有向线段表示向量.如?Skip Record If...?,?Skip Record If...?等.
⑶坐标表示法:在平面直角坐标系中,设向量?Skip Record If...?的起点O为在坐标原点,终点A坐标为?Skip Record If...?,则?Skip Record If...?称为?Skip Record If...?的坐标,记为?Skip Record If...?=?Skip Record If...?.
注:向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具.
3.相等向量:长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量
?Skip Record If...?与?Skip Record If...?相等,记为?Skip Record If...?.
注:向量不能比较大小,因为方向没有大小.
4.零向量:长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个,其方向是任意的.
5.单位向量:长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个,每一个方向都有一个单位向量.
6.共线向量:方向相同或相反的非零向量,叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定:?Skip Record If...?与任一向量共线.
注:共线向量又称为平行向量.
7.相反向量: 长度相等且方向相反的向量.
二、向量的运算
(一)运算定义
①向量的加减法，②实数与向量的乘积，③两个向量的数量积,这些运算的定义都是“自然的”，它们都有明显的物理学的意义及几何意义.
其中向量的加减法运算结果仍是向量，两个向量数量积运算结果是数量。研究这些运算,发现它们有很好地运算性质,这些运算性质为我们用向量研究问题奠定了基础,向量确实
是一个好工具.特别是向量可以用坐标表示,且可以用坐标来运算,向量运算问题可以完全坐
标化.
乘积Record If...?
λ∈R
λy)
两个向量的数量积?Skip Record If...??Skip Record If...?记?Skip Record If...?
则?Skip Record If...?·?Skip
Record If...?=x1x2+y1y2
加法：①?Skip Record If...?(交换律); ②?Skip Record If...?(结合律)
实数与向量的乘积：①?Skip Record If...?; ②?Skip Record If...?;③?Skip Record If...?
两个向量的数量积: ①?Skip Record If...?·?Skip Record If...?=?Skip Record If...?·?Skip Record If...?; ②(λ?Skip Record If...?)·?Skip Record If...?=?Skip Record If...?·(λ?Skip Record If...?)=λ(?Skip Record If...?·?Skip Record If...?);③(?Skip Record If...?+?Skip Record If...?)·?Skip Record If...?=?Skip Record If...?·?Skip Record If...?+?Skip Record If...?·?Skip Record If...?注：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，
例如(?Skip Record If...?±?Skip Record If...?)2=?Skip Record If...?
(三)运算性质及重要结论
⑴平面向量基本定理:如果?Skip Record If...?是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这个平面内任一向量?Skip Record If...?,有且只有一对实数?Skip Record If...?,使
?Skip Record If...?，称?Skip Record If...?为?Skip Record If...?的线性组合。
①其中?Skip Record If...?叫做表示这一平面内所有向量的基底;
②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量?Skip Record If...?的方向分解为两个向量的和,并且这种分解是唯一的.
这说明如果?Skip Record If...?且?Skip Record If...?,那么?Skip Record If...?.
③当基底?Skip Record If...?是两个互相垂直的单位向量时,就建立了平面直角坐标系,因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.
向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，
即若A(x，y)，则?Skip Record If...?=（x,y）；当向量起点不在原点时，向量?Skip Record If...?坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A（x1,y1），B（x2,y2），则?Skip Record If...?=(x2-x1,y2-y1)
⑵两个向量平行的充要条件
符号语言：?Skip Record If...?
坐标语言为：设非零向量?Skip Record If...?,则?Skip Record If...?∥?Skip Record If...??Skip Record If...?(x1,y1)=λ(x2,y2)，
即?Skip Record If...?,或x1y2-x2y1=0, 在这里,实数λ是唯一存在的,当?Skip Record If...?与?Skip Record If...?同向时,λ>0；当?Skip Record If...?与?Skip Record If...?异向时,λ<0。|λ|=?Skip Record If...?,λ的大小由?Skip Record If...?及?Skip Record If...?的大小确定。因此,当?Skip Record If...?,?Skip Record If...?确定时，λ的符号与大小就确定了.这就是实数乘向量中λ的几何意义。
⑶两个向量垂直的充要条件
符号语言：?Skip Record If...??Skip Record If...?
坐标语言：设非零向量?Skip Record If...?，则?Skip Record If...??Skip Record If...?⑷两个向量数量积的重要性质：
①?Skip Record If...?即?Skip Record If...?(求线段的长度);
②?Skip Record If...??Skip Record If...?(垂直的判断);
③?Skip Record If...? (求角度)。
以上结论可以(从向量角度)有效地分析有关垂直、长度、角度等问题,由此可以看到向量知识的重要价值.
注:①两向量?Skip Record If...?,?Skip Record If...?的数量积运算结果是一个数?Skip Record If...?(其中?Skip Record If...?),这个数的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦有关.
②?Skip Record If...?叫做向量?Skip Record If...?在?Skip Record If...?方向上的投影（如图）. 数量积的几何意义是数量积?Skip Record If...?等于?Skip Record If...?的模与?Skip Record If...?在?Skip Record If...?方向上的投影的积.
③如果?Skip Record If...?,?Skip Record If...?,则?Skip Record If...?=?Skip Record If...?,
∴?Skip Record If...?,这就是平面内两点间的距离公式.
课前预习
1．在?Skip Record If...?中，?Skip Record If...?（）
?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?
2.平面内三点?Skip Record If...?,若?Skip Record If...?∥?Skip Record If...?，则x
的值为()
(A)-5 (B)-1 (C)1 (D)5
3.设?Skip Record If...?，?Skip Record If...?， ?Skip Record If...?是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：
①(?Skip Record If...?·?Skip Record If...?)?Skip Record If...?(?Skip Record
If...?·?Skip Record If...?)?Skip Record If...?=0 ②|?Skip Record If...?|-|?Skip Record If...?|<|?Skip Record If...??Skip Record If...?|
③(?Skip Record If...?·?Skip Record If...?)?Skip Record If...?(?Skip Record
If...?·?Skip Record If...?)?Skip Record If...?不与?Skip Record If...?垂直④(3?Skip Record If...?+2?Skip Record If...?)·(3?Skip Record If...?2?Skip Record
If...?)=9|?Skip Record If...?|2- 4?Skip Record If...?|2中，
真命题是( )(A)①② (B)②③ (C)③④ (D)②④
4. △OAB中,?Skip Record If...?=?Skip Record If...?,?Skip Record If...?=?Skip Record If...?,?Skip Record If...?=?Skip Record If...?,若?Skip Record If...?=?Skip Record If...?，t∈R，则点P在( )
(A)∠AOB平分线所在直线上 (B)线段AB中垂线上
(C)AB边所在直线上 (D)AB边的中线上
5. 正方形?Skip Record If...?对角线交点为M，坐标原点O不在正方形内部，且?Skip Record If...?=（0，3），?Skip Record If...?=（4，0），则?Skip Record If...?=( )
(A)（?Skip Record If...?） (B)（?Skip Record If...?） (C)（7，4） (D)（?Skip Record If...?）
6.已知?Skip Record If...?,则实数x=_______.
7.已知?Skip Record If...?则?Skip Record If...?_____, ?Skip Record
If...?______,?Skip Record If...?与?Skip Record If...?的夹角的余弦值是_____. 8．在△?Skip Record If...?中,?Skip Record If...?, ?Skip Record If...?,若?Skip Record If...?,则?Skip Record If...?= ▲ .；
9. 已知?Skip Record If...?的三个顶点分别为?Skip Record If...?求?Skip Record If...?的大小.
10. 已知△ABC中，A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），BC边上的高为AD，求点D和向量?Skip Record If...?坐标。
11.在△OAB的边OA、OB上分别取点M、N，使|?Skip Record If...?|∶|?Skip Record If...?|=1∶3，|?Skip Record If...?|∶|?Skip Record If...?|=1∶4，设线段AN 与BM交于点P，记?Skip Record If...?= ?Skip Record If...?，?Skip Record If...?=?Skip Record If...?，用 ?Skip Record If...?，?Skip Record If...?表示向量
?Skip Record If...?.
典型例题
一、平面向量的实际背景与基本概念
EG1.如图1，设O
是正六边形的中心，分别写出图中与?Skip Record If...?、?Skip Record If...?、?Skip Record If...?相等的向量。
变式1：如图1，设O 是正六边形的中心，分别写出
图中与?Skip Record If...?、?Skip Record If...?共线的向量。 解： 变式
2：如图2，设O 是正六边形的中心，分别写出图中与的模相等的向量以及方向相同的向量。 解： 二、平面向量的线性运算 EG2.如图，在平行四边形ABCD 中，?Skip Record If...?a ，?Skip Record
If...?b ，
你能用a ，b 表示向量 ?Skip Record If...?，?Skip Record If...?吗？
变式1：如图，在五边形ABCDE 中，?Skip Record If...?a ，?Skip Record
If...?b ，
?Skip Record If...?c ，?Skip Record If...?d ，试用a ，b ， c ， d 表示向量?Skip Record If...?和?Skip Record If...?.
变式2：如图，在平行四边形ABCD 中，若，?Skip Record If...?Record If...?b
则下列各表述是正确的为（ ） D
E C
A B B A
C O F
D E 图1
D E
图2
A．?Skip Record If...? B．?Skip Record If...?
C．?Skip Record If...?a + b D．?Skip Record If...?(a +b)
变式3：已知?Skip Record If...?=a，?Skip Record If...?=b, ?Skip Record
If...?=c,?Skip Record If...?=d, 且四边形ABCD为平行四边形，则（）
A. a+b+c+d=0
B. a－b+c－d=0
C. a+b－c－d=0
D. a－b－c+d=0
变式4：在四边形ABCD中，若?Skip Record If...?，则此四边形是()
A．平行四边形B．菱形C．梯形D．矩形
变式5：已知a、b是非零向量，则|a|=|b|是(a+b)与(a－b)垂直的
（
）
A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
变式6：在四边形ABCD中，?Skip Record If...?=a+2b，?Skip Record If...?=－4a －b，?Skip Record If...?=－5a－3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD为（）
A.平行四边形
B.矩形
C.梯形
D.菱形
变式7：已知菱形ABCD，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则?Skip Record If...?等（）
A.λ(?Skip Record If...?+?Skip Record If...?),λ∈(0,1)
B.λ(?Skip Record If...?+?Skip Record If...?),λ∈(0,?Skip Record If...?)
C.λ(?Skip Record If...?－?Skip Record If...?),λ∈(0,1)
D.λ(?Skip Record If...?),λ∈(0,?Skip Record If...?) 变式8：已知D 、E 、F 分别是△ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点，且?Skip Record
If...?=?Skip Record If...?，?Skip Record If...?=?Skip Record
If ...?，
?Skip Record If...?=?Skip Record If...?,则下列各式：①?Skip Record
If...?=?Skip Record If...??Skip Record If...?－?Ski p Record
If...??Skip Record If...? ②?Skip Record If...?=?Skip Record
If...? +?Skip Record If...??Skip Record If...? ③?Skip Record
If...?=－?Skip Record If...??Skip Record If...? +?Skip Record
If...??Skip Record If...?
④?Skip Record If...?+?Skip Record If...?+?Skip Record If...?=?Skip
Record If...?其中正确的等式的个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4 EG3．如图，已知任意两个非零向量a 、b ，试作?Skip Record If...?a + b ，?Skip Record If...?a + 2b ， ?Skip Record If...?a + 3b ，你能判断A 、B 、C 三点之间的位置关系吗？为什么？
变式1：已知?Skip Record If...?a + 2b ，?Skip Record If...?2a + 4b ，?Skip Record If...?3a + 6b
(其中a 、b 是两个任意非零向量) ，证明：A 、B 、C 三点共线．
证明：∵?Skip Record If...?a + 2b ，?Skip Record If...?2a + 4b ，
b
a
∴ ?Skip Record If...?所以，A、B、C三点共线．
变式2：已知点A、B、C在同一直线上，并且?Skip Record If...?a + b，?Skip Record If...?a + 2b，?Skip Record If...?a + 3b (其中a 、b是两个任意非零向量) ，试求m、n之间的关系．
EG4.已知四边形ABCD，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：?Skip Record If...?
变式1：已知任意四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F，
求证：?Skip Record If...?.
三、平面向量的基本定理及坐标表示
EG4.已知a = (4，2)，b = (6，y)，且a // b，求y ．
变式1：与向量a = (12，5) 平行的单位向量为（）
A．?Skip Record If...? B．?Skip Record If...?
C．?Skip Record If...?或?Skip Record If...? D．?Skip Record If...?或
?Skip Record If...?
变式2：已知a?Skip Record If...?，b?Skip Record If...?，当a+2b与2a－b共线时，?Skip Record If...?值为（）
A．1 B．2 C．?Skip Record If...? D．?Skip Record If...?
变式3：已知A(0,3) 、B(2,0) 、C(－1,3) 与?Skip Record If...?方向相反的单位向量是( )
A ．(0,1)
B ．(0,－1)
C ． (－1,1)
D ．(1,－1)
变式4：已知a = (1，0)，b = (2，1) ．试问：当k 为何实数时， k a －b 与a +3b
平行, 平行时它们是同向还是反向？
EG5.设点P 是线段?Skip Record If...?上的一点，?Skip Record If...?、?Skip
Record If...?的坐标分别为?Skip Record If...?，?Skip Record If...?．
(1) 当点P 是线段?Skip Record If...?上的中点时，求点P 的坐标；
(2) 当点P 是线段?Skip Record If...?的一个三等分点时，求P 的坐标
变式1：已知两点?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，则P 点坐标是 （ ）
A ．?Skip Record If...?
B ．?Skip Record If...?
C ．?Skip Record If...?
D ．?Skip Record If...?
变式2：如图，设点P 、Q 是线段AB 的三等分点，若?Skip
Record If...?＝a ，
?Skip Record If...?＝b ，则?Skip Record If...?＝ ，?Skip
Record If...?＝ (用a 、b 表示)
四、平面向量的数量积
EG6.已知|a |＝6，|b | ＝4且a 与b 的夹角为?Skip Record If...?，求 (a +
2b)·(a?Skip Record If...?b ) ．
变式1：已知?Skip Record If...?那么?Skip Record If...?与?Skip Record If...?夹角为
A、?Skip Record If...?
B、?Skip Record If...?
C、?Skip Record If...?
D、?Skip Record If...?
变式2：已知向量a和b的夹角为60°，| a | ＝ 3，| b | ＝ 4，则（2a–b）·a等于（A）15 （B）12 （C）6
（D）3
变式3：在△ABC中，已知|?Skip Record If...?|=4，|?Skip Record
If...?|=1，S
△ABC=?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?·?Skip Record If...?等于（）
A.－2
B.2
C.±2
D.±4
变式4：设向量?Skip Record If...?与向量?Skip Record If...?的夹角为钝角，求实数t的取值范围.
EG7.已知|a|＝3，|b| ＝4且a与b不共线，k为何实数时，向量a + k b 与a?Skip Record If...?b互相垂直？
变式1：已知a⊥b，|a|＝2，|b| ＝3，且向量3a + 2b与k a?Skip Record If...?b互相垂直，则k的值为（）
A．?Skip Record If...? B．?Skip Record If...? C．?Skip Record If...?D．1
变式2：已知|a|＝1，|b| ＝?Skip Record If...?且（a－b）⊥a，则a与b夹角的大小为．
EG8.已知a = (4，2)，求与向量a 垂直的单位向量的坐标．
变式1：若i = (1,0), j =(0,1)，则与2i+3j垂直的向量是 ( )
A．3i+2j B．－2i+3j C．－3i+2j D．2i－3j
变式2：已知向量?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，若?Skip Record If...?与?Skip Record If...?垂直，则实数?Skip Record If...?=（）
A．1 B．－1 C．0 D．2
变式3：若非零向量?Skip Record If...?互相垂直，则下列各式中一定成立的是（）
A．?Skip Record If...?B．?Skip Record If...?
C．?Skip Record If...?D．?Skip Record If...?
变式4：已知向量a＝（3，－4），b＝（2，x），c＝（2，y）且a∥b，a?Skip Record If...?c．求|b－c|的值．
EG9.已知A (1，2)，B (2，3)，C (?Skip Record If...?，5)，试判断?Skip Record If...?的形状，并给出证明．
变式1：?Skip Record If...?是?Skip Record If...?所在的平面内的一点，且满足
?Skip Record If...?，则
?Skip Record If...?一定为（）
A．正三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．斜三角形
变式2：已知A、B、C三点不共线，O是△ABC内的一点，若?Skip Record If...?＋?Skip Record If...?＋?Skip Record If...?＝0，则O是△ABC的（）A．重心 B．垂心C．内心
D．外心
变式3：已知?Skip Record If...?，则△ABC 一定是
（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 变式4：四边形?Skip Record If...?中，?Skip Record If...?
（1）若?Skip Record If...?，试求?Skip Record If...?与?Skip Record If...?满足的关系式；
（2）满足（1）的同时又有?Skip Record If...?，求?Skip Record If...?的值及四边形?Skip Record If...?的面积。
五、平面向量应用举例
EG10.题目意图：用平面向量的方法证明平面几何命题：平行四边形两条对角线的平方和等于其两条邻边的平方和的两倍
变式1：如图，矩形ABCD 内接于半径为r 的圆O ，点P 是圆周上任意一点，
求证：PA 2+PB 2+PC 2+PD 2=8r 2.
变式2：已知△ABC 中，?Skip Record If...?，若?Skip Record If...?，求证：△
ABC 为正三角形.
变式3：已知平行四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任意一点，求证?Skip Record If...?.
变式4：四边形ABCD 的边AD 和BC 的中点分别为E 、F ，
?Skip Record If...?
求证：?Skip Record If...?
实战训练
1.（08全国一3）在?Skip Record If...?中，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?．若点?Skip Record If...?满足?Skip Record If...?，则
?Skip Record If...?
A．?Skip Record If...?B．?Skip Record If...?C．?Skip Record If...?D．?Skip Record If...?
2.（08安徽卷3）．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若?Skip Record If...?，?Skip Record If...?,则?Skip Record If...?（）A．（－2，－4）B．（－3，－5）C．（3，5）D．（2，4）
3.（08湖北卷1）设?Skip Record If...?,?Skip Record If...?,?Skip Record If...?则?Skip Record If...?C
A.?Skip Record If...?
B.?Skip Record If...?
C.?Skip Record If...?
D.?Skip Record If...?
4.（08湖南卷7）设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且
?Skip Record If...??Skip Record If...??Skip Record If...?则?Skip Record If...?与?Skip Record If...?( )
A.反向平行
B.同向平行
C.互相垂直
D.既不平行也不垂直
5.（08陕西卷15）关于平面向量?Skip Record If...?．有下列三个命题：
①若?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?．②若?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?．
③非零向量?Skip Record If...?和?Skip Record If...?满足?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?与?Skip Record If...?的夹角为?Skip Record If...?．
其中真命题的序号为．（写出所有真命题的序号）
6.（08广东卷8）在平行四边形?Skip Record If...?中，?Skip Record If...?与?Skip Record If...?交于点?Skip Record If...?是线段?Skip Record If...?的中点，?Skip Record If...?的延长线与?Skip Record If...?交于点?Skip Record If...?．若?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?（）
A．?Skip Record If...?B．?Skip Record If...?
C．?Skip Record If...?D．?Skip Record If...?
7.（08浙江卷9）已知?Skip Record If...?，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量?Skip Record If...?满足?Skip Record If...?,则?Skip Record If...?的最大值是
（A）1 （B）2 （C）?Skip Record If...?
（D）?Skip Record If...?
8.（08辽宁卷5）已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?（）
A．?Skip Record If...?B．?Skip Record If...?C．?Skip Record If...?D．?Skip Record If...?
9.（08海南卷8）平面向量?Skip Record If...?，?Skip Record If...?共线的充要条件是（）
A. ?Skip Record If...?，?Skip Record If...?方向相同
B. ?Skip Record If...?，?Skip Record If...?两向量中至少有一个为零向量
C. ?Skip Record If...?，?Skip Record If...?
D. 存在不全为零的实数?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?
10.（08上海卷5）若向量?Skip Record If...?，?Skip Record If...?满足
?Skip Record If...?且?Skip Record If...?与?Skip Record If...?的夹角为?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?．
11.（08全国二13）设向量?Skip Record If...?，若向量?Skip Record If...?与向量?Skip Record If...?共线，则?Skip Record If...?．
12.（08北京卷10）已知向量?Skip Record If...?与?Skip Record If...?的夹角为?Skip Record If...?，且?Skip Record If...?，那么?Skip Record If...?的值为．
13.（08天津卷14）已知平面向量?Skip Record If...?，?Skip Record If...?．若?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?_____________．14.（08江苏卷5）?Skip Record If...?，?Skip Record If...?的夹角为
?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?则?Skip Record If...?▲．
15.（08江西卷13）直角坐标平面上三点?Skip Record If...?，若?Skip Record If...?为线段?Skip Record If...?的三等分点，则?Skip Record If...?= ．
16．（08海南卷13）已知向量?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?且?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?=
_____
17（08福建卷17）已知向量m=(sin A,cos A),n=?Skip Record If...?，m·n＝1，且A 为锐角.
（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求函数?Skip Record If...?的值域.
18.在?Skip Record If...?中，角A、B、C的对边分别为?Skip Record If...?，已知向量?Skip Record If...?
?Skip Record If...?且满足?Skip Record If...?，
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若?Skip Record If...?试判断?Skip Record If...?的形状。
19.已知向量?Skip Record If...?，若函数?Skip Record If...?的图象经过点?Skip Record If...?和?Skip Record If...?
（I）求?Skip Record If...?的值；
（II）求?Skip Record If...?的最小正周期，并求?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上的最小值；
（III）当?Skip Record If...?时，求?Skip Record If...?的值．
20.在?Skip Record If...?中， ?Skip Record If...?所对边分别为?Skip Record If...?.已知?Skip Record If...?
?Skip Record If...?,且?Skip Record If...?.
（Ⅰ）求?Skip Record If...?大小.
（Ⅱ）若?Skip Record If...?求?Skip Record If...?的面积S的大小.
21.已知向量?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，记?Skip Record If...?．
（1）求f(x)的解析式并指出它的定义域；
（2）若?Skip Record If...?，且?Skip Record If...?，求?Skip Record If...?．
22.已知向量?Skip Record If...?,?Skip Record If...?,?Skip Record If...?,设?Skip Record If...?.
(Ⅰ)求函数?Skip Record If...?的最小正周期.
(Ⅱ)若?Skip Record If...?,且?Skip Record If...?,求?Skip Record If...?的值.
23.（2007年陕西卷理17.）设函数f(x)=a-b,其中向量a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),x ∈R,且函数y=f(x)的图象经过点?Skip Record If...?，
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）求函数f(x)的最小值及此时x的值的集合.
24.(07年陕西卷文17）.设函数?Skip Record If...?.其中向量
?Skip Record If...?.
（Ⅰ）求实数?Skip Record If...?的值; （Ⅱ）求函数?Skip Record If...?的最小值.
最新高三数学专题复习资料函数与方程
第八节 函数与方程 1．函数f(x)＝ln(x ＋1)－2 x 的一个零点所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 2．若x 0是方程? ????12x ＝x 13的解，则x 0属于区间( ) A.? ????23，1 B.? ???? 12，23 C.? ????13，12 D.? ? ???0，13 3．(A.金华模拟)若函数f(x)＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m 的取值范围是( ) A.? ????－12，14 B.? ???? －14，12 C.? ????14，12 D.???? ??14，12 4．(A.舟山模拟)设函数f 1(x)＝log 2x －? ????12x ，f 2(x)＝log 12x －? ???? 12x 的零点分 别为x 1，x 2，则( ) A ．0 A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 7．函数f(x)＝?? ? x 2 ＋2x －3，x ≤0 －2＋ln x ，x>0 的零点个数为________． 8．(A.杭州模拟)已知函数f(x)＝??? x ，x ≤0， x 2 －x ，x>0， 若函数g(x)＝f(x)－m 有三个不同的零点，则实数m 的取值范围为__________． 9．(A.义乌模拟)已知函数f(x)＝ln x ＋3x －8的零点x 0∈[a ，b]，且b －a ＝1，a ，b ∈N *，则a ＋b ＝________. 10．设函数f(x)＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)． (1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f(x)的零点； (2)若对任意b ∈R ，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a 的取值范围． 11．已知函数f(x)＝－x 2 ＋2ex ＋m －1，g(x)＝x ＋e 2 x (x>0)． (1)若g(x)＝m 有实数根，求m 的取值范围； (2)确定m 的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根． 12．是否存在这样的实数a ，使函数f(x)＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上与x 轴有且只有一个交点．若存在，求出a 的范围，若不存在，说明理由． [冲击名校] 1．已知函数f(x)满足f(x)＋1＝ 1 f x ＋1 ，当x ∈[0,1]时，f(x)＝x ，若 在区间(－1,1]内，函数g(x)＝f(x)－mx －m 有两个零点，则实数m 的取值范围是( ) A.??????0，12 B.??????12，＋∞ C.??????0，13 D.? ? ???0，12 2．已知函数f(x)＝?? ? kx ＋1，x ≤0，ln x ，x>0，则下列关于函数y ＝f(f(x))＋1的 零点个数的判断正确的是( ) 空间向量 一、向量的基本概念与运算 1.定义：在空间内，把具有大小和方向的量叫空间向量，可用有向线段来表示．用同向且 等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． 2.零向量：起点与终点重合的向量叫做零向量，记为0或0． 3.书写：在手写向量时，在字母上方加上箭头，如a ，AB ． 4.模：表示向量a 的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作||a 5.方向：有向线段的方向表示向量的方向． 6.基线：有向线段所在的直线叫做向量的基线． 7.平行向量：如果空间中一些向量的基线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平 行向量．a 平行于b 记为a b ∥． 8.向量运算：与平面向量类似； 二、空间向量的基本定理 1.共线向量定理：对空间两个向量a ，b （0b ≠），a b ∥的充要条件是存在实数x ，使a xb =． 2.共面向量：通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量． 3.共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，则向量c 与向量a ，b 共面的充要条件是， 存在唯一的一对实数x ，y ，使c xa yb =+． 4.空间向量分解定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一 个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p xa yb zc =++．表达式xa yb zc ++，叫做向量a ，b ，c 的线性表示式或线性组合． 注：上述定理中，a ，b ，c 叫做空间的一个基底，记作{}a b c ， ，，其中a b c ，，都叫做基向量． 由此定理知，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 三、向量的数量积 1.两个向量的夹角 已知两个非零向量a b ，，在空间任取一点O ，作OA a =，OB b =，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作a b ??， ．通常规定0πa b ??≤，≤．在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且a b b a ??=??， ，．如果90a b ??=，°，则称a 与b 互相垂直，记作a b ⊥． 2.两个向量的数量积 已知空间两个向量a ，b ，定义它们的数量积（或内积）为：||||cos a b a b a b ?=??， 空间两个向量的数量积具有如下性质： 1）||cos a e a a e ?=??，；（2）0a b a b ??=； （3）2||a a a =?；（4）a b a b ?||≤||||． 空间两个向量的数量积满足如下运算律： 1）()()a b a b λλ?=?；（2）a b b a ?=?；（3）()a b c a c b c +?=?+?． 四、空间向量的直角坐标运算 前提：建立空间直角坐标系Oxyz ，分别沿x 轴，y 轴，z 轴的正方向引单位向量i j k ，，，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{}i j k ，，，这个基底叫做单位正交基底． 空间直角坐标系Oxyz ，也常说成空间直角坐标系[]O i j k ；， ，． 1.坐标 在空间直角坐标系中，已知任一向量a ，根据空间向量分解定理，存在唯一数组123()a a a ，，，使123a a i a j a k =++，1a i ，2a j ，3a k 分别叫做向量a 在i j k ，， 方向上的分量，有序实数组123()a a a ，，叫做向量a 在此直角坐标系中的坐标．上式可以简记作123()a a a a =，，． 若123()a a a a =， ，，123()b b b b =，，， 则：112233()a b a b a b a b +=+++， ，；112233()a b a b a b a b -=---，，； 空间向量及其运算 基础知识梳理 1.空间向量的有关概念 (1)空间向量：在空间中，具有________和________的量叫做空间向量. (2)相等向量：方向________且模________的向量. (3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相______________的向量. (4)共面向量：________________________________的向量. 2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理 对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是________________________. 推论 如图所示，点P 在l 上的充要条件是： OP →＝OA →＋t a ①其中a 叫直线l 的方向向量，t ∈R ，在l 上取AB →＝a ， 则①可化为OP →＝________或OP →＝(1－t )OA →＋tOB →. (2)共面向量定理的向量表达式：p ＝____________，其中x ，y ∈R ，a ， b 为不共线向量，推论的表达式为MP →＝xMA →＋yMB →或对空间任意一点 O ，有OP →＝____________或OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →，其中x ＋y ＋z ＝ ______. (3)空间向量基本定理 如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝____________，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底. 3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向 量a 与b 的夹角，记作____________，其范围是____________，若〈a ，b 〉＝π2 ，则称a 与b __________，记作a ⊥b . ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a ，b ，则____________叫做向量a ，b 的数量积，记作__________，即__________________. (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝____________；②交换律：a·b ＝__________； ③分配律：a·(b ＋c )＝__________. 4.空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a·b ＝________________. (2)共线与垂直的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a ∥b ?______________?____________，____________，______________， a ⊥b ?__________?________________________(a ，b 均为非零向量). (3)模、夹角和距离公式 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则|a |＝a·a ＝__________________， 二轮复习——解析几何 一．专题内容分析 解析几何：解析几何综合问题（椭圆或抛物线）及基本解答策略+圆锥曲线的定义和几何性质+直线与圆+极坐标、参数方程+线性规划 二．解答策略与核心方法、核心思想 圆锥曲线综合问题的解答策略： 核心量的选择： 常见的几何关系与几何特征的代数化： ①线段的中点：坐标公式 ②线段的长：弦长公式；解三角形 ③三角形面积： 2 1底×高，正弦定理面积公式 ④夹角：向量夹角；两角差正切；余弦定理；正弦定理面积公式 ⑤面积之比，线段之比：面积比转化为线段比，线段比转化为坐标差之比 ⑥三点共线：利用向量或相似转化为坐标差之比 ⑦垂直平分：两直线垂直的条件及中点坐标公式 ⑧点关于直线的对称，点关于点，直线关于直线对称 ⑨直线与圆的位置关系 ⑩等腰三角形，平行四边形，菱形，矩形，正方形，圆等图形的特征 代数运算：设参、消参 重视基本解题思路的归纳与整理但不要模式化，学会把不同类型的几何问题转化成代数形式． 三．典型例题分析 1.（海淀区2017.4）已知椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为A ，B ，且||4AB =，离心率为12 . （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设点(4,0)Q , 若点P 在直线4x =上，直线BP 形APQM 为梯形？若存在，求出点P 解法1：（Ⅰ）椭圆C 的方程为22 143 x y +=. （Ⅱ）假设存在点,P 使得四边形APQM 为梯形. 由题可知，显然,AM PQ 不平行，所以AP 与MQ AP MQ k k =. 设点0(4,)P y ，11(,)M x y ，06 AP y k =，114MQ y k x = -, ∴ 01164y y x =-① ∴直线PB 方程为0(2)2 y y x =-， 由点M 在直线PB 上，则0 11(2)2 y y x = -② ①②联立，0 101(2) 264y x y x -=-，显然00y ≠，可解得11x =. 又由点M 在椭圆上，211143y + =，所以132y =±，即3 (1,)2 M ±， 将其代入①，解得03y =±，∴(4,3)P ±. 解法2：（Ⅰ）椭圆C 的方程为22 143 x y +=. （Ⅱ）假设存在点,P 使得四边形APQM 为梯形. 由题可知，显然,AM PQ 不平行，所以AP 与MQ 平行, AP MQ k k =， 显然直线AP 斜率存在，设直线AP 方程为(2)y k x =+. 由(2)4y k x x =+??=? ，所以6y k =，所以(4,6)P k ，又(2,0)B ，所以632PB k k k ==. ∴直线PB 方程为3(2)y k x =-，由22 3(2) 34120 y k x x y =-?? +-=?，消y ， 得2222(121)484840k x k x k +-+-=. 考点三十七 直线及其方程 知识梳理 1．直线的倾斜角 (1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫作直线l 的倾斜角．当直线l 和x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)倾斜角的范围为[0°，180°)． 2．直线的斜率 (1)定义：当直线l 的倾斜角α≠π 2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率 通常用小写字母k 表示，即k ＝tan α. (2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1 . (3) 直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系 每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率，倾斜角是90°的直线斜率不存在．它们之间的关系如下： 3．直线方程的五种形式 4．过P 1(11222(1)若x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为x ＝x 1； (2)若x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为y ＝y 1； (3)若x 1＝x 2＝0，且y 1≠y 2时，直线即为y 轴，方程为x ＝0； (4)若x 1≠x 2，且y 1＝y 2＝0时，直线即为x 轴，方程为y ＝0. 5．线段的中点坐标公式 若点P 1、P 2的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则??? x ＝x 1＋x 2 2y ＝y 1 ＋y 2 2 ，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式． 典例剖析 题型一 直线的倾斜角和斜率 例1 已知两点A (－3，3)，B (3，－1)，则直线AB 的倾斜角等于__________． 答案 56π 解析 斜率k ＝ －1－33－(－3) ＝－3 3， 又∵θ∈[0，π)， ∴θ＝5 6 π. 变式训练 经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π 4，则y ＝__________． 答案 －3 解析 由2y ＋1－(－3)4－2＝2y ＋4 2＝y ＋2， 得y ＋2＝tan 3π 4＝－1.∴y ＝－3. 解题要点 求斜率的常见方法： 1．若已知倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率． 2．若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1 x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率． 3．若已知直线的一般式方程ax ＋by ＋c ＝0，一般根据公式k ＝－a b 求斜率． 题型二 直线方程的求解 例2 已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2，1)，C (－2,3)，求： (1)BC 边所在直线的方程； (2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 的方程． 解析 (1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2 －2－2， 即x ＋2y －4＝0. 第十三章空间向量 1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘． 2．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算． 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式． 理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直 第1课时 空间向量及其运算 空间向量是平面向量的推广．在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量．因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广． 本节知识点是： 1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积； (1) 向量：具有和的量． (2) 向量相等：方向且长度． (3) 向量加法法则：． (4) 向量减法法则：． (5) 数乘向量法则：． 2．线性运算律 (1) 加法交换律：a ＋b ＝． (2) 加法结合律：(a ＋b )＋c ＝． (3) 数乘分配律：λ(a ＋b )＝． 3．共线向量 (1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相或． (2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a ∥b 等价于存在实数λ，使． 基础过关 知识网络 考纲导读 高考导航 空间向量 定义、加法、减法、数乘运算 数量积 坐标表示：夹角和距离公式 求距离 求空间角 证明平行与垂直 (3) 直线的向量参数方程：设直线l 过定点A 且平行于非零向量a ，则对于空间中任意一点O ，点P 在l 上等价于存在R t ∈，使． 4．共面向量 (1) 共面向量：平行于的向量． (2) 共面向量定理：两个向量a 、b 不共线，则向量P 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对(y x ,)，使P ． 共面向量定理的推论：． 5．空间向量基本定理 (1) 空间向量的基底：的三个向量． (2) 空间向量基本定理：如果a ，b ，c 三个向量不共面，那么对空间中任意一个向量p ，存在一个唯一的有序实数组z y x ,,，使． 空间向量基本定理的推论：设O ，A ，B ，C 是不共面的的四点，则对空间中任意一点P ，都存在唯一的有序实数组z y x ,,，使． 6．空间向量的数量积 (1) 空间向量的夹角：． (2) 空间向量的长度或模：． (3) 空间向量的数量积：已知空间中任意两个向量a 、b ，则a ·b ＝． 空间向量的数量积的常用结论： (a) cos 〈a 、b 〉＝； (b) ?a ?2＝； (c) a ⊥b ?． (4) 空间向量的数量积的运算律： (a ) 交换律a ·b ＝； (b ) 分配律a ·(b ＋c )＝． ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点F 是侧面CDD 1C 1的中心，若1AA y x ++=，求x －y 的值. 解：易求得0,2 1 =-∴==y x y x 变式训练1.在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为AC 与BD 的交点，若=11B A a ，=11D A b ， =A 1c ，则下列向量中与B 1相等的向量是 ( ) A ．-2 1a ＋2 1b ＋c B ．2 1a ＋2 1b ＋c C ．2 1a -2 1b ＋c D ．-2 1a -2 1b ＋c 解：A 例2.底面为正三角形的斜棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为AC 的中点， 求证：AB 1∥平面C 1BD. 证明：记,,,1c AA b AC a AB ===则 A B C D A 1 B 1 【例1】 设O 为坐标原点，(1,1)A ，若点B 满足2222101212x y x y x y ?+--+????≥≤≤≤≤， 则OA OB ?u u u v u u u v 的最小值为（ ） A ．2 B ．2 C ．3 D ．22+ 【例2】 已知变量,x y 满足120x y x y ????-? ≥≤≤，则x y +的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【例3】 不等式组0,10, 3260x x y x y ??--??--?≥≥≤所表示的平面区域的面积等于 ． 典例分析 线性规划 【例4】设变量,x y满足约束条件 3 1 x y x y + ? ? -- ? ≥ ≥ ，则目标函数2 z y x =+的最小值为（） A．1B．2C．3D．4 【例5】设变量,x y满足 0, 10 3260 y x y x y ? ? -- ? ?-- ? ≥ ≥ ≤ ，则该不等式组所表示的平面区域的面积等 于，z x y =+的最大值为． 【例6】目标函数2 z x y =+在约束条件 30 20 x y x y y +- ? ? - ? ? ? ≤ ≥ ≥ 下取得的最大值是________． 【例7】下面四个点中，在平面区域 4 y x y x <+ ? ? >- ? 内的点是（） A．(0,0)B．(0,2)C．(3,2) -D．(2,0) - 【例8】已知平面区域 1 ||1 (,)0,(,) 1 y x y x x y y M x y y x ?? + ? ?? -+ ? ?? ??? Ω== ?????? ? ?? ????? ? ?? ≤ ≤ ≥ ≥ ≤ ，向区域Ω内 随机投一点P，点P落在区域M内的概率为（） A．1 4 B． 1 3 C． 1 2 D． 2 3 【例9】若x，y满足约束条件 30 03 x y x y x + ? ? -+ ? ? ? ≥ ≥ ≤≤ ，则2 z x y =-的最大值为． 【例10】已知不等式组 y x y x x a ? ? - ? ? ? ≤ ≥ ≤ ，表示的平面区域的面积为4，点() , P x y在所给平面区 域内，则2 z x y =+的最大值为______． 高中数学空间向量之--平面法向量的求法及其应用 一、 平面的法向量 1、定义：如果α⊥→ a ，那么向量→ a 叫做平面α的法向量。平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法 方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或(,1,)n x z =，或( 1,,)n y z =]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b 。由n α⊥，得0n a ?=且0n b ?=，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。 方法二：任何一个z y x ,,的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是z y x ,,的一次方程。 0=+++D Cz By Ax )0,,(不同时为C B A ，称为平面的一般方程。其法向量),,(C B A n =→ ;若平面与3个坐 标轴的交点为),0,0(),0,,0(),0,0,(321c P b P a P ,如图所示,则平面方程为:1=++c z b y a x ,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。 方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积→ → ?b a 为一长度等于θsin ||||→ → b a ，（θ 为 ,两者交角，且πθ<<0），而与 , 皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由 的方向转为 的方向时，大拇指所指的方向规定为→→?b a 的方向,→ →→→?-=?a b b a 。 :),,,(),,,(222111则设z y x b z y x a ==→ → ??=?→ → 21y y b a ,2 1z z 21x x - ,21z z 21x x ???? 21y y （注：1、二阶行列式:c a M = cb ad d b -=；2、适合右手定则。 ） 例1、 已知，)1,2,1(),0,1,2(-==→ → b a ， 试求（1）：;→ → ?b a （2）：.→ →?a b Key: (1) )5,2,1(-=?→ → b a ;)5,2,1()2(-=?→ → a b 例2、如图1-1,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中， 求平面AEF 的一个法向量n 。 )2,2,1(:=?=→ →→AE AF n key 法向量 题型一：数学归纳法基础 【例1】已知n 为正偶数，用数学归纳法证明111 111112()234 1242n n n n -+-++ =+++-++L L 时，若已假设2(≥=k k n 为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证 （ ） A ．1+=k n 时等式成立 B ．2+=k n 时等式成立 C ．22+=k n 时等式成立 D ．)2(2+=k n 时等式成立 【例2】已知n 是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k （2≥k 且为偶数）时命 题为真，，则还需证明（ ） A.n=k+1时命题成立 B. n=k+2时命题成立 C. n=2k+2时命题成立 D. n=2（k+2）时命题成立 【例3】某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当 1+=k n 时命题也成立. 现已知当7=n 时该命题不成立，那么可推得 （ ） A ．当n=6时该命题不成立 B ．当n=6时该命题成立 C ．当n=8时该命题不成立 D ．当n=8时该命题成立 【例4】利用数学归纳法证明 “*),12(312)()2)(1(N n n n n n n n ∈-???????=+???++ ”时，从“k n =”变到“1+=k n ”时，左边应增乘的因式是 （ ） A 12+k B 112++k k C 1)22)(12(+++k k k D 1 3 2++k k 【例5】用数学归纳法证明),1(1112 2 *+∈≠--=++++N n a a a a a a n n Λ，在验证n=1时，典例分析 板块三.数学归纳法 左边计算所得的式子是（ ） A. 1 B.a +1 C.21a a ++ D. 421a a a +++ 【例6】用数学归纳法证明n n n n n 2)()2)(1(=+++Λ))(12(31*∈+????N n n Λ，从“k 到k+1”左端需乘的代数式是（ ） A.2k+1 B.)12(2+k C. 112++k k D.1 3 2++k k 【例7】用数学归纳法证明：1+ 21+3 1+)1,(,121 >∈<-+*n N n n n Λ时，在第二步证明 从n=k 到n=k+1成立时，左边增加的项数是（ ） A.k 2 B.12-k C.12-k D.12+k 【例8】设 )1()2()1()(-++++=n f f f n n f Λ，用数学归纳法证明 “)()1()2()1(n nf n f f f n =-++++Λ”时，第一步要证的等式是 【例9】用数学归纳法证明“)12(212)()2)(1(-????=+++n n n n n n ΛΛ”（+∈N n ） 时，从 “n k =到1n k =+”时，左边应增添的式子是__ __。 【例10】用数学归纳法证明不等式 24 13 12111> ++++++n n n n Λ的过程中，由k 推导到k+1时，不等式左边增加的式子是 【例11】是否存在常数c b a ,,是等式22222421(1)2(2)()n n n n n an bn c ?-+?-+???+?-=++对 一切)*N n ∈成立？证明你的结论。 题型二：证明整除问题 【例12】若存在正整数m ，使得)(93)72()(*∈+-=N n n n f n 能被m 整除，则m = 【例13】证明：)(,)3(1*∈+-N n x n 能被2+x 整除 【例14】已知数列{}n a 满足1201a a ==，，当*n ∈N 时，21n n n a a a ++=+． 考点48 基本不等式(讲解) 【思维导图】 【常见考法】 考法一：直接型 1．若，则取最大值时的值是 。 103x << ()13x x -x 2．已知正数a 、b 满足，则ab 的最大值为 。 23a b += 3的最大值为 。 )63a -≤≤ 考法二：换1型 1．已知实数，则的最小值为 。 0,0,31x y x y >>+=11x y + 2．已知,则的最小值是 。 0,0,1x y x y >>+=11x y + 3．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是______. 0x >0y >211x y +=222x y m m +>+m 考法三：配凑型 1．已知，则的最小值为 。 1x >41x x +- 2．已知，且 ，则的最小值为 。 1,1a b >>11111a b +=--4a b + 3．函数的最小值为 。 233(1)1 x x y x x ++=>-+ 4．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－，则2a ＋b ＋c 的最小值为 。 考法四：消元型 1．若正数满足，则的最小值是 。 ,x y 220x xy +-=3x y + 2．若正数满足，则的最小值为 。 ,a b 111a b +=1411a b +-- 3．若实数满足，则的最大值为 、 ,x y 0xy > 考法五：求参数 1．设、、都是正实数，且、满足，则使恒成立的的范围是。 a b c a b 191a b +=a b c +≥c 2．已知，，且，若不等式恒成立，则实数的范围是 。 0x >0y >280x y xy +-=a x y ≤+a 考法六： 综合运用 1．已知中，角，，的对边分别为，，，且，，成等比数列，则角ABC A B C a b c sin A sin B sin C 的取值范围为 。 B 2．已知正项等比数列满足：，若存在两项、，则的最{}n a 7652a a a =+m a n a 14a =14m n +小值为 。 3．已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则 ＋的最小值是 。 4b 1c 4．若直线过△的重心，且，，其中，，则的 MN ABC G AM mAB = AN nAC = 0m >0n >2m n +最小值是 。如何学好数学 一、利用向量处理平行与垂直问题 例1、 在直三棱柱111C B A ABC -中，090=∠ACB , 030=∠BAC ,M A A BC ,6,11==是1CC 得中点。求证：AM B A ⊥1 练习：棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，在棱DD 1上是否存在点P 使B 1D ⊥面P AC ？ 例2 如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点N M ,分别在对角线AE BD ,上，且AE AN BD BM 3 1,31==,求证：//MN 平面CDE 练习1、在正方体1111D C B A ABCD -中,E,F 分别是BB 1,,CD 中点，求证：D 1F ⊥平面ADE 2、如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABCD 中, ?=∠60ABC ， ,2,a PD PB a AC PA ====点E 在PD 上,且PE :ED = 2: 1.在棱PC 上是否存在一点 F, 使BF ∥平面AEC?证明你的结论. 二、利用空间向量求空间的角的问题 例1 在正方体1111D C B A ABCD -中,E 1，F 1分别在A 1B 1,,C 1D 1上，且E 1B 1=4 1A 1B 1，D 1F 1=4 1D 1C 1，求BE 1与DF 1所成的角的大小。 例2 在正方体1111D C B A ABCD -中, F 分别是BC 的中点，点E 在D 1C 1上,且 = 11E D 41 D 1C 1,试求直线 E 1 F 与平面D 1AC 例3 在正方体1111D C B A ABCD -中,求二面角1C BD A --的大小。 题型一：任意角与弧度制 【例1】 下列各对角中终边相同的角是（ ）。 A 2π和2()2Z k k ππ-+∈ B 3π-和22 3 C 79π-和119π D 203π和1229π 【例2】 若角α、β的终边相同，则αβ-的终边在 . A.x 轴的非负半轴上 B.y 轴的非负半轴上 C.x 轴的非正半轴上 D.y 轴的非正半轴上 【例3】 当角α与β的终边互为反向延长线，则αβ-的终边在 . A.x 轴的非负半轴上 B.y 轴的非负半轴上 C.x 轴的非正半轴上 D.y 轴的非正半轴上 【例4】 时钟经过一小时，时针转过了（ ）。 A 6 rad π B 6 rad π - C 12 rad π D 12 rad π - 【例5】 两个圆心角相同的扇形的面积之比为1:2，则两个扇形周长的比为（ ） A 1:2 B 1:4 C 1:2 D 1:8 典例分析 板块一.三角函数的基本概念 【例6】 下列命题中正确的命题是（ ） A 若两扇形面积的比是1:4，则两扇形弧长的比是1:2 B 若扇形的弧长一定，则面积存在最大值 C 若扇形的面积一定，则弧长存在最小 D 任意角的集合可以与实数集R 之间建立一种一一对应关系 【例7】 一个半径为R 的扇形，它的周长是4R ，则这个扇形所含弓形的面积是（ ） A. 21 (2sin1cos1)2R -? B 21 sin1cos12 R ? C 2 12 R D 2(1sin1cos1)R -? 【例8】 下列说法正确的有几个（ ） （1）锐角是第一象限的角；（2）第一象限的角都是锐角； （3）小于90o 的角是锐角；（4）090o o :的角是锐角。 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 【例9】 已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x 轴的正半轴上，则角855o 是第 （ ）象限角。 A 第一象限角 B 第二象限角 C 第三象限角 D 第四象限角 【例10】 下面四个命题中正确的是（ ） A.第一象限的角必是锐角 B.锐角必是第一象限的角 C.终边相同的角必相等 D.第二象限的角必大于第一象限的角 【例11】 已知角α的终边经过点(3P -，则与α终边相同的角的集合是 . A.2π2π3x x k k ?? =+∈???? Z ， B.5π2π6x x k k ?? =+∈???? Z ， C.5ππ6x x k k ?? =+∈???? Z ， D.2π2π3x x k k ?? =-∈???? Z ， 【例12】 若α是第四象限角，则180α-o 是（ ） A 第一象限角 B 第二象限角 C 第三象限角 D 第四象限角 【例13】 若α与β的终边互为反向延长线，则有（ ） 专题50 排列与组合 考纲导读： 考纲要求: 理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题; 理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题. 考纲解读: 解排列组合应用题要依据先组后排、先分类后分步、优限等思想，具体的题型有单限、双限、捆绑、插空（相间）、等机率（除序）、挡板等.有直接法和间接法、占位模型法.另外,要注意“谁选谁的一类问题”. 排列数与组合数公式分别有两个,这些公式的应用也是命题的本原. 考点精析： 考点1、 排列数与组合数公式 此类题主要考查排列与组合的定义和排列数与组合数公式的应用，多为公式的变形证明和解方程、解不等式等. 【考例1】解方程组?????-=+=.1C 3111C ,2C C x n x n x n x n 解题思路：本题也可利用组合数公式的变形式，将C 1+x n ，C 1-x n 都用C x n 来表示，即 C 1+x n =1+-x x n C x n ，C 1-x n =1+-x n x C x n ，从而方程C 1+x n =311C 1-x n 可化为1 +-x x n C x n =311×1 +-x n x C x n ，约去C x n ，可得解. 正确答案：∵C x n =C x n n -=C x n 2，∴n －x =2x .∴n =3x . 又由C 1+x n =3 11C 1-x n 得)!1()!1(!--+x n x n =311·)!1()!1(!+--x n x n . ∴3（x －1）!（n －x +1）!=11（x +1）!（n －x －1）!. ∴3（n －x +1）（n －x ）=11（x +1）x . 将n =3x 代入得6（2x +1）=11（x +1）. ∴x =5，n =3x =15. 经检验，? ??==15,5n x 是原方程组的解. 回顾与反思：本题考查了组合组公式的性质及计算. 知识链接：组合数.从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号m n C 表示. 组合数公式： !m )1m n ()1n (n A A C m m m n m n +--== =)! m n (!m !n -. 并且规定1C o n =，则有1C C n n o n ==.组合数性质. m n C =m n n C -, m n 1m n m 1n C C C +=-+ . 【考例2】求下列各式中的n 值. （1）3412A 140A n n =+； （2）32213A 6A 2A n n n +=+； （3）3198A 4A -=n n . 、利用向量处理平行与垂直问题 例 1、 在直三棱柱 ABC A 1B 1C 1中， ACB 900 , BAC 300, BC 1,A 1A 6,M 练习：棱长为 a 的正方体 ABCD —A 1B 1C 1D 1中，在棱 DD 1上是否存在点 P 使B 1D ⊥ 面 PAC ？ 例 2 如图，已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在平面互相垂直，点 M ,N 分别在对 11 角线 BD, AE 上，且 BM BD,AN AE ,求证： MN //平面CDE 33 练习 1、在正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中,E,F 分别是 BB 1, ,CD 中点，求证： D 1F 平面 ADE 是 CC 1 得中点。求证： A 1 B AM y z A 1 D F 2 、 如 图 ， 在 底 面 是 菱 形 的 四 棱 锥 P —ABCD 中 , ABC 60 ， PA AC a,PB PD 2a,点 E 在PD 上,且 PE:ED= 2: 1.在棱 PC 上是否存在一点 F, 使 BF ∥平面 AEC? 证明你的结论 . ABCD A 1B 1C 1D 1中, F 分别是 BC 的中点，点 E 在 D 1C 1上,且 1 1 D 1C 1,试求直线 E 1 F 与平面 D 1AC 所成角的 大小 4 、利用空间向量求空间的角的问题 例 1 在正方体 D 1F 1= 1D 1C 1， 4 求 BE 1与 DF 1所成的角的大小。 例 2 在正方体 D 1 E 1 例 3 在正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中, 求二面角 A 1 BD ABCD A 1B 1C 1D 1 中,E 1，F 1 z y x C 1的大小。 2019年高考理科数学二轮复习精选讲义 共8个专题 目录 专题一集合、常用逻辑用语、算法、复数、推理与证明、不等 式 第一讲集合、常用逻辑用语 考点一集合的概念及运算 1．集合的运算性质及重要结论 (1)A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A． (2)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A． (3)A∩(?U A)＝?，A∪(?U A)＝U. (4)A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A． 2．集合运算中的常用方法 (1)数轴法：若已知的集合是不等式的解集，用数轴法求解． (2)图象法：若已知的集合是点集，用图象法求解． (3)Venn图法：若已知的集合是抽象集合，用Venn图法求解． [对点训练] 1．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为() A．9 B．8 C．5 D．4 [详细分析]由题意可知A＝{(－1,0)，(0,0)，(1,0)，(0，－1)，(0,1)，(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}，故集合A中共有9个元素，故选A． [答案] A 2．(2018·江西南昌二中第四次模拟)设全集U＝R，集合A＝{x|log2x≤2}，B＝{x|(x－3)(x＋1)≥0}，则(?U B)∩A＝() A．(－∞，－1] B．(－∞，－1]∪(0,3) C．[0,3) D．(0,3) [详细分析]集合A＝{x|log2x≤2}＝{x|0 高考数学复习题库空间向量及其运算 空间向量及其运算 一.选择题 1.若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基 底的一组向量是( ). A.{a，a＋b，a－b} B.{b，a＋b，a－b} C.{c，a＋b，a－b} D.{a＋b，a－b，a＋2b} 解析若c.a＋b.a－ b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则 a.b.c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾， 故c，a＋b，a－b可构成空间向量的一组基底. 答案 C 2.以下四个命题中正确的是( ). A.空间的任何一个向量都可 用其他三个向量表示 B.若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则 {a＋b，b＋c，c＋a}构成空间向量的另一组基底 C.△ABC为直角 三角形的充要条件是·＝0 D.任何三个不共线的向量都可构成空 间向量的一组基底解析若a＋b.b＋c.c＋a为共面向量，则a＋b ＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，(1－μ)a＝(λ－1)b＋(λ＋μ)c，λ， μ不可能同时为1，设μ≠1，则a＝b＋c，则a.b.c为共面向 量，此与{a，b，c}为空间向量基底矛盾. 答案 B 3.有下列命题：①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；②若 p与a，b共面，则p＝xa＋yb. ③若＝x＋y，则P，M，A.B共 面；④若P，M，A，B共面，则＝x＋y. 其中真命题的个数是( ). A.1 B.2 C.3 D.4 解析其中①③为正确命题. 答案 B 4. 如图，在底面ABCD为平行四边形的四棱柱ABCD－ A1B1C1D1中，M是AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c则下列向量中与相等的向量是( ) A.－a＋b＋c B.a＋b＋c C.a－b＋c D.－a－b＋c 解析＝＋＝＋＋＝－a＋b＋c. 答案 A 5.如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝ ∠AOC＝，则cos〈，〉的值为( ). A.0 B. C. D. 解析设＝a，＝b，＝c 由已知条件〈a，b〉＝〈a，c〉＝，且|b|＝ |c|，·＝a·(c－b)＝a·c－a·b ＝|a||c|－|a||b|＝0， ∴cos〈，〉＝0. 答案 A 6.如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是( ) A. B. C.1 D. 解析＝＋＋，∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1－＝3－，故||＝. 答案 D 7.下列命题中①若a∥b，b∥c，则a∥c；②不等式|a＋b|＜|a|＋|b|的充要条件是a与b不共线；③若非零向量c垂直于不共线的向量a和b，d＝λa＋μb(λ.μ∈R，且λμ≠0)，则c⊥d. 正确命题的个数是( ). A.0 B.1 C.2 D.3 解析只有命题③是正确命题. 答案 B 二.填空题 8.如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB.AC，M.N 分别为OA.BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，若＝x＋y＋z，高中数学：空间向量
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