3.3匈牙利算法
匈牙利算法
匈牙利算法本文讲述的是匈牙利算法，即图论中寻找最大匹配的算法，暂不考虑加权的最大匹配（用KM 算法实现），文章整体结构如下：1.基础概念介绍2.算法的实现一. 部分基础概念的介绍概念点1. 图G的一个匹配是由一组没有公共端点的不是圈的边构成的集合。
这里，我们用一个图来表示下匹配的概念：如图所示，其中的三条边即该图的一个匹配；所以，匹配的两个重点：1. 匹配是边的集合；2. 在该集合中，任意两条边不能有共同的顶点。
那么，我们自然而然就会有一个想法，一个图会有多少匹配？有没有最大的匹配（即边最多的匹配呢）？我们顺着这个思路，继续往下走。
概念点2. 完美匹配：考虑部集为X={x1 ,x2, ...}和Y={y1, y2, ...}的二部图，一个完美匹配就是定义从X-Y的一个双射，依次为x1, x2, ... xn找到配对的顶点，最后能够得到 n！个完美匹配。
这里有一个概念，有点陌生，即什么是二部图，这个其实很好理解，给定两组顶点，但是组内的任意两个顶点间没有边相连，只有两个集合之间存在边，即组1内的点可以和组2内的点相连，这样构建出来的图就叫做二部图（更好理解就是n个男人，n个女人，在不考虑同性恋的情况下，组成配偶）。
这样是不是简单多了？既然说到了双双组成配偶，那我们干的就是月老做的活了，古话说得好，宁拆一座庙，不毁一桩婚，如果真的给出n个帅气的男孩，n个漂亮的女孩，他们之间互相有好感，但一个男孩可以对多个女孩有感觉，一个女孩也可能觉得多个男孩看起来都不错，在这种情况下，我们怎么让他们都能成双成对呢？将这个问题抽象出来，互有好感就是一条条无向边（单相思我们先不考虑），而男孩和女孩就是一个个节点，我们构建出这么一个图，而完美匹配就是让所有看对眼的男孩和女孩都能够在一起。
完美匹配是最好的情况，也是我们想要的情况。
当然，有些情况下我们做不到完美匹配，只能尽可能实现最多的配对，这个就叫做最大匹配。
可以看出来，完美匹配一定是最大匹配，而最大匹配不一定是完美匹配。
匈牙利算法离散数学
匈牙利算法离散数学
匈牙利算法是一种用于解决二分图最大匹配问题的算法，属于离散数学中图论的内容。
在二分图中，顶点集被分为左右两个部分，边连接两个部分的顶点。
最大匹配问题就是要找到一种最大的匹配方案，使得尽可能多的顶点能够被匹配。
匈牙利算法的基本思想是通过寻找增广路径来不断增加匹配的顶点数。
增广路径是指从左边的未匹配顶点出发，交替经过未匹配边和已匹配边，最终到达右边的未匹配顶点的路径。
通过不断寻找增广路径，并将路径上的边进行匹配和取消匹配，最终可以得到一个最大匹配。
具体实现时，匈牙利算法采用了深度优先搜索的方式来寻找增广路径。
首先从左边的每个未匹配顶点出发，依次进行深度优先搜索，尝试与右边的未匹配顶点进行匹配。
如果找到了增广路径，则将路径上的边进行匹配和取消匹配，继续寻找下一个增广路径。
如果无法找到增广路径，则返回当前匹配的顶点数，即为最大匹配数。
匈牙利算法的时间复杂度为O(VE)，其中V是顶点数，E是边数。
通
过优化算法，如路径压缩和交替路径优化，可以进一步提高算法的效率。
匈牙利算法在实际应用中有广泛的应用，比如在求解任务分配问题、
婚姻匹配问题等方面都可以使用。
其应用领域还包括网络流问题、图像处理、人工智能等。
总之，匈牙利算法是离散数学中图论领域一个重要的算法，用于解决二分图最大匹配问题。
其基本思想是通过寻找增广路径来不断增加匹配的顶点数，从而得到一个最大匹配。
通过优化算法，可以提高算法的效率。
该算法在实际应用中有广泛的应用。
匈牙利算法步骤和公式
匈牙利算法是一种求解指派问题的算法，其步骤如下：对指派问题的系数矩阵进行变换，使每行每列至少有一个元素为“0”。
具体做法是让系数矩阵的每行元素去减去该行的最小元素，再让系数矩阵的每列元素减去该列的最小元素。
从第一行开始，若该行只有一个零元素，就对这个零元素加括号，对加括号的零元素所在的列画一条线覆盖该列。
若该行没有零元素或者有两个以上零元素（已划去的不算在内），则转下一行，依次进行到最后一行。
从第一列开始，若该列只有一个零元素。
就对这个零元素加括号（同样不、考虑已划去的零元素）。
再对加括号的零元素所在行画一条直线覆盖该列。
若该列没有零元素或有两个以上零元素，则转下一列，依次进行到最后一列为止。
重复上述步骤（1）和（2）可能出现3种情况：（5）按定理进行如下变换：①从矩阵未被直线覆盖的数字中找出一个最小的k；②当矩阵中的第i行有直线覆盖时，令；无直线覆盖时。
匈牙利算法
对于标准的指派问题,匈牙利算法的一般步骤可以表述如下:
①变换系数矩阵。
先对各行元素分别减去本行中的最小元素,再对各列元素分别减去本列中最小元素。
这样系数矩阵中每行及每列至少有一个零元素,同时不出现负元素。
Q个,则己得
②在变换后的系数矩阵中确定独立零元素。
若独立零元素有e
Q个,则作能覆盖所有零元素的最少直线数目的直出最优解；若独立零元素少于e
线集合,进行③。
③继续变换系数矩阵。
在未被直线覆盖的元素中找出一个最小元素。
对未被直线覆盖的元素所在行(或列)中各元素都减去这一最小元素。
这样,在未被直线覆盖的元素中势必会出现零元素,但同时却又使己被直线覆盖的元素中出现负元素。
为了消除负元素,只要对它们所在列(或行)中各元素都加上这一最小元素(可以看作减去这一最小元素的相反数)即可,重复②。
匈牙利算法
匈牙利算法(Edmonds算法)步聚：(1)首先用（*）标记X中所有的非M顶点，然后交替进行步骤（2），（3）。
(2)选取一个刚标记（用（*）或在步骤（3）中用（y i）标记）过的X中顶点，例如顶点x，如果x i与y为同一非匹配边的两端点，且在本步骤中y尚未被标记过,则用（x i）i去标记Y中顶点y。
重复步骤(2)，直至对刚标记过的X中顶点全部完成一遍上述过程。
(3)选取一个刚标记（在步骤(2)中用(x i)标记）过的Y中结点，例如y i，如果y i与x为同一匹配边的两端点，且在本步骤中x尚未被标记过，则用(y i)去标记X中结点x。
重复步骤(3)，直至对刚标记过的Y中结点全部完成一遍上述过程。
(2),(3)交替执行，直到下述情况之一出现为止：(I)标记到一个Y中顶点y，它不是M顶点。
这时从y出发循标记回溯，直到（*）标记的X中顶点x，我们求得一条交替链。
设其长度为2k+1，显然其中k条是匹配边，k+1条是非匹配边。
(II)步骤(2)或(3)找不到可标记结点，而又不是情况(I)。
(4)当(2),(3)步骤中断于情况(I)，则将交替链中非匹配边改为匹配边，原匹配边改为非匹配边(从而得到一个比原匹配多一条边的新匹配)，回到步骤(1)，同时消除一切现有标记。
(5)对一切可能,(2)和(3)步骤均中断于情况(II),或步骤(1)无可标记结点,算法终止(算法找不到交替链).以上算法说穿了，就是从二分图中找出一条路径来，让路径的起点和终点都是还没有匹配过的点，并且路径经过的连线是一条没被匹配、一条已经匹配过交替出现。
找到这样的路径后，显然路径里没被匹配的连线比已经匹配了的连线多一条，于是修改匹配图，把路径里所有匹配过的连线去掉匹配关系，把没有匹配的连线变成匹配的，这样匹配数就比原来多1个。
不断执行上述操作，直到找不到这样的路径为止。
下面给出此算法的一个例子：（1）置M = 空，对x1-x6标记（*）。
（2）找到交替链（x1, y1）（由标记（x1），（*）回溯得），置M = {(x1, y1)}。
匈牙利算法和数据关联的关系
匈牙利算法和数据关联的关系匈牙利算法是一种用于解决二分图最大匹配问题的常见算法，它的核心思想是通过增广路径来找到完美匹配。
在解决最大匹配问题时，数据关联起着至关重要的作用。
本文将从匈牙利算法的原理、步骤以及与数据关联的关系三个方面进行阐述。
一、匈牙利算法的原理匈牙利算法是基于增广路径的思想，通过扩展原有的匹配，不断增加匹配的边，直到无法继续增广为止。
算法的核心思想是通过找到增广路径，来使匹配数增加。
增广路径是指一条起点和终点不在匹配中的交替出现的路径。
具体步骤如下：1.从一个未匹配的顶点开始，如果找到增广路径，就让该路径中的边成为匹配边；2.如果无法找到增广路径，则认为当前的匹配是最大匹配。
二、匈牙利算法的步骤1. 初始化：首先给每个顶点一个默认的匹配标记（例如-1），表示该顶点尚未匹配。
同时初始化一个数组match[]，用以存储匹配结果。
2.DFS遍历：对每个未匹配的顶点进行深度优先，如果找到增广路径，则将该路径上交替的边进行匹配，同时将其它与该路径相关的边解除匹配。
3.增广路径的寻找：通过DFS遍历，找到一条由未匹配顶点和匹配顶点交替组成的路径，该路径的起点和终点均不在当前的匹配边中。
如果能找到增广路径，则按该路径进行匹配，否则认为当前的匹配是最大匹配。
匈牙利算法中的数据关联主要体现在对图的建模和路径的信息存储上。
在匈牙利算法中，二分图通常用二维数组进行表示，一维代表顶点的标号，二维代表边是否相连。
通过这种方式，可以将图的结构和顶点之间的关系具体地表示出来。
在匈牙利算法的实现中，一般会使用一个匹配数组match[]来存储当前匹配的结果。
这个数组的下标代表顶点的标号，存储的值代表该顶点的匹配对象。
通过这种数据关联的方式，可以方便地查找一些顶点的匹配对象，同时也可以更新匹配关系。
匈牙利算法还可以通过路径的信息进行数据关联。
在寻找增广路径的过程中，除了更新匹配关系外，还需要记录路径信息，例如通过一个代表路径的数组path[]来存储当前路径的信息，这样可以很方便地获取路径上交替出现的边，从而进行匹配操作。
匈牙利算法
匈牙利算法匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名。
匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，它是部图匹配最常见的算法，该算法的核心就是寻找增广路径，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。
在介绍匈牙利算法之前还是先提一下几个概念，下面M是G的一个匹配。
M-交错路:p是G的一条通路，如果p中的边为属于M中的边与不属于M但属于G中的边交替出现，则称p是一条M-交错路。
如:路径(X3,Y2,X1,Y4)，(Y1,X2,Y3)。
M-饱和点:对于v∈V(G)，如果v与M中的某条边关联，则称v 是M-饱和点，否则称v是非M-饱和点。
如X1，X2，Y1，Y2都属于M-饱和点，而其它点都属于非M-饱和点。
M-可增广路:p是一条M-交错路，如果p的起点和终点都是非M-饱和点，则称p为M-可增广路。
如(X3,Y2,X1,Y4)。
(不要和流网络中的增广路径弄混了)求最大匹配的一种显而易见的算法是:先找出全部匹配，然后保留匹配数最多的。
但是这个算法的时间复杂度为边数的指数级函数。
因此，需要寻求一种更加高效的算法。
下面介绍用增广路求最大匹配的方法(称作匈牙利算法，匈牙利数学家Edmonds于1965年提出)。
增广路的定义(也称增广轨或交错轨):若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属于M的边和不属于M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径。
由增广路的定义可以推出下述三个结论:1-P的路径个数必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M。
2-将M和P进行取反操作可以得到一个更大的匹配M'。
3-M为G的最大匹配当且仅当不存在M的增广路径。
算法轮廓:⑴置M为空⑵找出一条增广路径P，通过异或操作获得更大的匹配M'代替M⑶重复⑵操作直到找不出增广路径为止折叠。
匈牙利算法详解
匈牙利算法详解
匈牙利算法是一种解决二分图最大匹配问题的经典算法，也叫做增广路算法。
它的基本思想是从左侧一端开始，依次匹配左侧点，直到无法添加匹配为止。
在匹配过程中，每次都通过BFS 寻找增广路径，即可以让已有的匹配变得更优或添加新的匹配。
增广路的长度必须为奇数，因为必须从未匹配的左侧点开始，交替经过已匹配的右侧点和未匹配的左侧点，最后再到达未匹配的右侧点。
当没有找到增广路径时，匹配结束。
匈牙利算法的具体实现可以使用DFS 或BFS，这里以BFS 为例。
算法步骤如下：
1. 从左侧一个未匹配的点开始，依次找增广路径。
如果找到，就将路径上的匹配状态翻转（即已匹配变未匹配，未匹配变已匹配），并继续找增广路径；如果找不到，就说明已经完成匹配。
2. 使用BFS 寻找增广路径。
从左侧的某个未匹配点开始，依次搜索路径中未匹配的右侧点。
如果找到右侧未匹配点，则说明找到了增广路径；否则，将已搜过的左侧点打上标记，以免重复搜索。
如果找到增广路径，就将路径的左侧和右侧点的匹配状态翻转。
3. 重复步骤1 和2，直到找不到增广路径为止。
匈牙利算法的时间复杂度为O(VE)，其中V 和E 分别为二分图中的左侧点数和右侧点数。
实际运行效率很高，可以处理百万级别的数据。
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然后划去所在的列的其他0元素， 记作Ø。
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从只有一个0元素的列开始， 给这个0元素加圈，记
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然后划去所在的行的其他0元素， 记作Ø。
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若还有没有划圈的0元素，且同行 （或列）的0元素至少有二个，从剩有 0元素最少的行（或列）开始，比较这 行各0元素所在列中0元素的数目，选 择0元素少的那列的0元素加圈，然后 划掉同行同列的其他0元素，可反复进 行，直到所有的0元素都被圈出和划掉 为止。 若元素的数目m等于矩阵阶数n， 那么这分配问题的最优解已得到。若 m<n，则转下一步。
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第三步：作最少的直线覆盖所有的0元素， 以确定该系数矩阵中能找到最多的独立 元素数。
对没有的行，打；
对已打行中所有含0元素的列打；
再对打列中含0元素的行打；
重复上述两步，直到得不出新的打行 列为止。 对没有打行画横线，有打列画纵线， 就得到覆盖所有0元素的最少直线数。
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下面有二种分配方案：
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下面有二种分配方案：第一种
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最优解如下：Z=32
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分配问题结果如下：Z=32
J 19 24 16 20
G 20 27 15 24
R 28 20 18 19
（1）问应该如何分配工作，使所需总时间 最少？ （2）如果把上表中的数据看成创造效益的 数据，应如何指派，可使得总的效益最大？
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给只有一个0元素的列的0 元素加圈，记。
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然后划去所在的行的其他0元 素，记作Ø
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给最后一个0元素加圈， 记 。 Ø
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指派问题（分配问题） (Assignment Problem) 例5 有一份中文说明书，需翻译 成英、日、德、俄四种文字，分 别记作E、J、G、R，现有甲、 乙、丙、丁四人，他们将中文说 明书翻译成英、日、德、俄四种 文字所需时间如下，问应该如何 分配工作，使所需总时间最少？
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任务 人员 甲 乙
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从只有一个0元素的行（或列）开 始，给这个0元素加圈，记。
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任务 人员 甲 乙
E 2 10
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G 13 14
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匈牙利算法的步骤：
第一步：使分配问题的系数矩阵经 变换，在各行各列中都出现0元素： 从系数矩阵的每行元素减去该行的 最小元素。 再从所得系数矩阵的每列元素减去 该列的最小元素。 若某行已经有0元素，就不必再减了。
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如何安排讲座的日程，使不能出席的学生总数最少？
解：这是一个不平衡的的分配问题，需虚设一个 讲座，且Ci,5=0 , i=1,2,..,5 生态学 能源 一 二 三 四 五 50 40 60 30 10 40 30 20 30 20 运输 60 40 30 20 10 生物 工程 20 30 20 30 30
虚设 讲座
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最优安排为：
星期 讲座 一 生物工程 三 能源 四 运输 五 生态学
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指派问题（分配问题） (Assignment Problem) 练习： 安排4个人完成4项不同 的任务，每个人完成各项工作所 消耗的时间如下表，
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任务 人员 甲 乙 丙 丁
E 20 18 26 17
任务 人员 甲 乙
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例7：某学校为提高学生的学习兴趣和加强学术讨论的 气氛，决定举办生态学.能源.运输和生物工程四个学术 讲座。每个讲座每周下午举行一次，经调查，周一至 五不能出席某一讲座的学生人数如下： 生态学 一 二 三 四 五 50 40 60 30 10 能源 40 30 20 30 20 运输 60 40 30 20 10 生物工程 20 30 20 30 30