2018-2019学年江西省上饶市高二下学期期末数学(文)试题参考答案
上饶市2018-2019学年度下学期期末考试
高二（文）数学参考答案
二、填空题：13.x y 3=
14. 32 15. -1 16.
316π
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共70分） 17．（本大题满分10分）
解：（1）2()23'=+-f x x x ……1分 令()0f x '=,得123,1=-=x x ……2分
当(,3)∈-∞-x 时,()0f x '>，当(3,1)∈-x 时,()0f x '<，
当(1,)∈+∞x 时()0f x '>，
所以单调递增区间是(,3)-∞-、(1,)+∞，单调递减区间是(3,1)-.……5分
（2）()3324=
-f (3)13-=f ,7(1)3f = ()3
88
4=
f ……9分 所以最小值是7(1)3f =，最大值是()388
4=f ，
……10分
18. （本大题满分12分）
解：（1）θθρcos 2sin 2+=，即：θρθρρcos 2sin 22+=，……4分
所以曲线C 直角坐标方程为02222=--+y x y x ……6分 （2）解法一：
将⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=t
y t x 54531代入0222
2=--+y x y x ，得：
01582=--t t ，……8分 5
8
21=+t t ，121-=t t ，……10分
5
41
24)(212
2121=-+=-=t t t t t t AB ……12分
解法二：直线l 的直角坐标方程：0434=-+y x ，……8分 圆心()1,1到直线l 的距离5
3=d ，……10分 所以弦长5
41
2=
AB 。
……12分
19. （本大题满分12分）
解析:（1）令()⎪⎩
⎪
⎨⎧>-≤<--≤+-=-++=2,1221,31,1221x x x x x x x x f .……2分
()0f x >等价于⎩⎨⎧>+--≤7121x x 或⎩⎨⎧>≤<-7321x 或⎩⎨⎧>->7
122
x x ，……5分
解得x<-3或∅或x>4，∴不等式()0f x >的解集为()()+∞⋃-∞-,43,.……6分 （2）由题意知，21-++≤x x m 在R 上恒成立， 又()()32121=--+≥-++x x x x ，……10分 ∴3≤m ，即m 的取值范围是]3,∞-（.……12分
20. （本大题满分12分） 解（1）由22222,143
3,21c b a b
a a c +==+=……2分，
解得1,3,2===c b a ……4分
椭圆方程为13
422=+y x ……5分
（2）解法一：由题意知直线AB 有斜率，),(),,(2211y x B y x A ，设方程为()1+=x k y ，
联立椭圆方程1342
2=+y x 得，()
01248432222=-+++k x k x k ，……7分
14382
2
21-=+-=+k k x x
解得：23
432±
==k k ，……9分
432121±
==⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=k
k t ,)43,21-(±E ，……11分
4
39
2=
∴EF ……12分
解法二：
）（）（0,1
,0,1-21F F 设),(),,(2211y x B y x A
1342121=+y x ，13
42
222=+y
x ，两式相减得2121212143y y x x x x y y ++⋅-=--，……7分，
即t t K AB 8321-43=⋅-=，又t K K EF AB 21==，t t 283=∴，4
3
±=t ，……10分
)43,21-(±E ，4
39
2=
∴EF ……12分 21. （本大题满分12分）
解：(1)由题意，抛物线上任一点P 到直线1-=x 的距离等于P 到焦
点F 距离，所以直线1-=x 是准线，2,12
=∴-=-p p
……3分，
抛物线E 方程x y 42
=……5分（答案正确给5分）
(2)设),(11y x A ，),(22y x B ，),(33y x C ，
焦点)0,1(F 是ABC ∆重心，0,3321321=++=++∴y y y x x x ……6分
又点)4
1)(1,(>m m M 是AB 中点，
2,22121=+=+∴y y m x x ，2,2-333-==∴y m x ……8分
)2-,2-3(m C 在抛物线上，
()42-34=∴m ，1=∴m ，2)2,1(21=+-∴x x C ，……10分
FC FB FA 2-+∴222
221⨯-+++=
x p
x p 4)(21-++=x x p 04-22=+=， 即FC FB FA 2=+……12分
22. （本大题满分12分）
解 （1）)0(1)(22>-=-='x x
a
x x a x x f ……2分
①0≤a 时，0)(>'x f ，)(x f ∴增区间为()∞+，0……4分 ②0>a 时，0)(,0;0)(,<'<<>'>x f a x x f a x ，
)(x f ∴减区间为()a ，0，增区间为()∞+，
a ……6分
（2）问题等价于证明：0ln 3<+-a x x x 令)1(ln )(3>+-=x a x x x x g ，，……7分
)1(31ln )()(2>-+='=x x x x g x h ，……8分
2
1161,()60x x h x x x x
-'>∴=-=<，)(x h 在()∞+，1为减函数，……9分
02)1()(<-=<h x h ，)(x g 在()∞+，1为减函数，……10分01)1()(≤-=<∴a g x g ， 即0)(<x g ，2)(x x f <∴……12分。
2018-2019学年江西省上饶市高二下学期期末数学(文)试题(解析版)
2018-2019学年江西省上饶市高二下学期期末数学（文）试题一、单选题1．不等式23x +>的解集是( ) A ．{|5x x <-或}1x > B ．{}|51x x -<< C ．{|1x x <-或}5x > D ．{}|15x x -<<【答案】A【解析】不等式|2|3x +>即为23x +>或23x +<-，化简计算可得所求解集． 【详解】不等式|2|3x +>即为23x +>或23x +<-， 即有1x >或5x <-，可得解集为{|5x x <-或1}x >． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．2．在直角坐标系xoy 中，点()1,1A -.以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为( )A ．4π⎫⎪⎭B ．34π⎫⎪⎭C ．4π⎛⎫⎪⎝⎭D ．34π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由在直角坐标系xOy 中，点(1,1)A -，利用直角坐标与极坐标的互化公式能求出点A 的极坐标． 【详解】Q 在直角坐标系xOy 中，点(1,1)A -．ρ∴=1tan 11θ==--，且θ在第二象限，34πθ∴=， ∴点A 的极坐标为，3)4π．故选：B ． 【点睛】本题考查点的极坐标的求法，考查直角坐标与极坐标的互化公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．命题“若220x y +=，则0x =且0y =”的否命题是( ) A ．若220x y +≠，则0x =且0y = B ．若220x y +=，则0x ≠或0y ≠ C ．若220x y +≠，则0x ≠且0y ≠ D ．若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠【答案】D【解析】直接利用否命题的定义，写出否定命题即可． 【详解】命题“220x y +=，则0x y ==”的否定命题为：若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠．故选：D ． 【点睛】本题考查否命题的定义，注意命题的否定与否命题的区别，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是基础题．4．曲线6cos 10sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的焦点坐标是( )A ．()0,6±B ．()6,0±C ．()0,8±D ．()8,0±【答案】C【解析】根据题意，消参数θ得椭圆的普通方程，再由椭圆焦点的求法，计算可得答案． 【详解】根据题意，曲线6cos (10sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），消去参数θ得椭圆22136100x y +=，其焦点在y 轴上，10a ∴=，6b =，则8c =． 得焦点坐标是(0,8)±． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的转化及椭圆的焦点的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是基础题．5．命题“任意一个椭圆的离心率小于1”的否定形式，正确的是( ) A ．任意一个椭圆的离心率大于1 B ．任意一个椭圆的离心率不小于1 C ．存在一个椭圆的离心率大于1 D ．存在一个椭圆的离心率不小于1【答案】D【解析】根据全称命题的否定是一个特称命题即可得到结论． 【详解】命题为全称命题，则命题的否定为：存在一个椭圆的离心率不小于1， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，比较基础．6．命题p ：函数1()(0)f x x x x=+>最小值是2；命题q ：若1ab >，则a b >.下列说法正确的是( ) A ．p 或q 为真 B ．p 且q 为真 C ．p 或q 为假 D ．非p 为真【答案】A【解析】求出函数()f x 的最小值判定p 的真假；举例说明命题q 为假，再由复合命题的真假判断得答案． 【详解】由0x >时，得12x x +=…（当且仅当1x x =，即1x =时取等号）， ∴命题p 为真命题；当4a =-，2b =-，满足1ab>，但a b <，故命题q 是假命题． p ∴或q 为真；p 且q 为假；非p 为假．故选：A ． 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查不等式的性质，考查复合命题的真假判断，是基础题．7．设双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，命题p ：双曲线E 离心率e =q ：双曲线E 的渐近线互相垂直，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】求得双曲线的渐近线方程，运用离心率的公式和两直线垂直的条件，结合充分必要条件的定义即可得到所求结论． 【详解】双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，离心率为c e a =，由e =c =，即有22222c a a b ==+，可得a b =，即得渐近线方程为y x =±，可得两渐近线垂直；若两渐近线垂直，可得a b =，可得e =即有p 是q 的充要条件， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查双曲线的方程和性质，充分必要条件的判断，考查运算能力，属于基础题． 8．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2()ln f x xf e x '=+，则(e)f '=( ) A ．1e - B ．1- C ．1e -- D ．e -【答案】C【解析】由题，先求得导函数()f x '，再带入x e =即可求得答案. 【详解】因为()2()ln f x xf e x '=+，所以1()2()f x f e x''=+，所以(e)2(1e e)f f ''=+，解得()f e '=1e --，故选C ．【点睛】利用导数公式和导数的运算法则求函数的导数是高考考查的基础内容，直接考查的较少，常体现在导数应用中．本题注意对(e)f '的正确理解，在求导时作为常数，才能得出正确的结果．9．已知双曲线2221(0)4x y a a -=>与圆221x y +=没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1,)+∞B ．()1,5C ．D ．)+∞【答案】C【解析】由双曲线和圆的对称性可得1a >，运用双曲线的离心率公式，可得所求范围． 【详解】由双曲线和圆的对称性可得1a >，则c e a ===，故选：C ． 【点睛】本题考查双曲线和圆的方程和性质，考查运算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．10．已知点P 是抛物线24y x =上的一个动点，则点P 到点()0,2的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A ．2B C ．3 D ．92【答案】B【解析】先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得||||||d PF PA AF =+…，再求出||AF 的值即可． 【详解】由题得：如图，抛物线的焦点为F ，(0,2)A ．F 在准线上的射影A ''Q 抛物线24y x =，(1,0)F ∴，依抛物线的定义知P 到该抛物线准线的距离为：||||PA PF ''=， 则点P 到点(0,2)A 的距离与P 到该抛物线准线的距离之和||||||d PF PA AF =+…故选：B ．【点睛】本题考查抛物线的定义，考查求距离和，解题的关键是点P 到点(0,2)的距离与到抛物线准线的距离之和转化为点P 到点(0,2)的距离与P 到焦点F 的距离之和． 11．已知直线1y x =-与曲线x y e a =+有公共点，则实数a 的取值范围为( ) A ．(,1]-∞- B ．[1,)-+∞ C ．(,2]-∞- D ．[2,)-+∞【答案】C【解析】由题意可得1x a x e +=-有解，设()xg x x e =-，求得导数和单调性、极值和最值，可得a 的范围． 【详解】直线1y x =-与曲线xy e a =+有公共点，即为1x x a e -=+，可得1x a x e +=-有解，设()xg x x e =-，()1x g x e '=-，当0x >时，()0g x '<，即()g x 递减；当0x <时，()0g x '>，即()g x 递增，可得()g x 在0x =处取得极大值，且为最大值1-， 则11a +-…，即2a -…． 故选：C ． 【点睛】本题考查函数方程的转化思想，考查利用导数求函数的单调性、极值和最值，考查运算能力．12．已知定义在R 上的函数()f x 导函数为()f x '，()()0f x f x '+<且()11f =，则不等式1()1x ef x -⋅>的解集是( )A ．(,1)-∞B ．(1,)+∞C ．(,)e +∞D ．(0,1)【答案】A【解析】根据题意，令1()()x g x e f x -=，对其求导可得1()[()()]x g x e f x f x -'='+，结合函数的导数与单调性的关系分析可得函数()g x 在R 上为减函数，进而分析可得1()1x e f x ->，得()g x g >（1），结合函数的单调性，分析可得答案．【详解】根据题意，令1()()x g x e f x -=，其导数111()()()[()()]x x x g x e f x e f x e f x f x ---'=+'='+，又由对于任意实数x 有()()0f x f x '+<，则有1()[()()]0x g x e f x f x -'='+<， 即函数()g x 在R 上为减函数，又由f （1）1=，则g （1）0e f =（1）1=， 则1()1x e f x -> ， 得()g x g >（1），又由函数()g x 在R 上为减函数，则有1x <， 即不等式()1xe f x >的解集为(,1)-∞；故选：A ． 【点睛】本题考查函数的导数与单调性的关系，涉及函数单调性的应用，关键是构造函数1()()x g x e f x -=，并利用导数分析其单调性．二、填空题13．若极点与原点重合，极轴与x 轴非负半轴重合，则极坐标方程：()3πθρ=∈R 化为直角坐标方程是________.【答案】y =【解析】由题得tan yxθ=，计算可得所求直角坐标方程． 【详解】 由题得tan y xθ=， 所以由极坐标方程()3θρπ=∈R 可得tan y x θ=⋅，即为y =．故答案为：y =． 【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查化简运算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．14．已知直线l 过点()0,4P 且与曲线E ：244x ty t =⎧⎨=⎩（t 为参数）交于点()11,A x y ，()22,B x y ，则2212x x +的最小值是________.【答案】32【解析】由已知可设直线l 方程为4y kx =+，由曲线E 化简可得抛物线方程，联立直线l 和抛物线方程消去y ，根据韦达定理求得12x x ，再利用不等式性质可求答案． 【详解】由直线l 过点(0,4)P ，可设直线l 方程为4y kx =+， 由曲线24:(4x t E t y t =⎧⎨=⎩为参数），消去参数t 可得抛物线方程为214y x =， 联立2144y x y kx ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，化简得24160x kx --=， 1216x x ∴=-．2212122||32x x x x ∴+=…．（当且仅当124x x ==时等号成立）．2212x x ∴+的最小值是32．故答案为：32． 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，考查基本不等式的应用，考查学生的计算能力． 15．设曲线()1*N n y xn +=∈在点()1,1处的切线与x 轴交点的横坐标为nx ，则20191201922019320192018log log log log x x x x ++++L L 的值为________.【答案】1-【解析】求得函数的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程，可令0y =，求得n x ，再由对数的运算性质可得所求值． 【详解】1(*)n y x n N +=∈的导数为(1)n y n x '=+，在点(1,1)处的切线方程为1(1)(1)y n x -=+-， 可令0y =，可得1n nx n =+， 可得20191201922019320192018log log log log x x x x +++⋯⋯+2019122018201920191220181log ()log ()log 12320192019x x x =⋯=⋅⋅⋅==-L ．故答案为：1-． 【点睛】本题主要考查导数的运用，考查切线方程的求法，考查对数运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．16．椭圆22196x y +=右焦点为F ，弦AB 垂直长轴，当ABF V 的周长最大时，三角形外接圆面积为________. 【答案】163π【解析】不妨设0(A x ，0)y ，且点A 在x 轴上方，03cos x α=，0y α=，求出ABF ∆的周长666sin()αααθ=+-=++，求出周长最大时得cos 3α=-．再求出|BF|和A 的值，由正弦定理可得三角形外接圆的半径，即可得解． 【详解】不妨设0(A x ，0)y ，且点A 在x 轴上方，03cos x α=，0y α=，由题得3a =，b ，c =由题得22||||(3cos 3)(6sin )=2(33cos )AF BF ααα==-+- 则ABF ∆的周长||||||626sin 23cos l AF BF AB αα=++=+-66sin()αθ=++．当且仅当26sin 23cos 6αα-=时，ABF ∆的周长最大．由2226sin 23cos 6,1sin cos αααα⎧-=⎪⎨+=⎪⎩得3cos 3α=-． (3A ∴-，2)，(3B -，2)-，此时AB 过左焦点，在ABF ∆中，22||2(23)4AF =+=． 所以233sin A ==， 由正弦定理可得2sin 33BF R A ===，所以三角形外接圆面积为2163S R ππ==， 故答案为：163π．【点睛】本题主要考查了椭圆的性质，考查三角形外接圆的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．三、解答题 17．已知函数321()343f x x x x =+-+. （1）求()f x 的单调区间；（2）若[]4,4x ∈-，求()f x 的最大值与最小值.【答案】（1）()f x 单调递增区间是(,3)-∞-、(1,)+∞，单调递减区间是(3,1)-；（2）()f x 最小值是73，最大值是883. 【解析】（1）求出函数的导数，求出极值点，然后通过导函数的符号，判断函数的单调性求出单调区间．（2）借助（1）直接求解函数的极值、端点值比较即可．【详解】（1）2()23f x x x '=+-令()0f x '=，得13x =-，21x =当(,3)x ∈-∞-时，()0f x '>，故()f x 在(,3)-∞-上为增函数；当(3,1)x ∈-时，()0f x '<，故()f x 在(3,1)-上为减函数；当(1,)x ∈+∞时()0f x '>，故()f x 在(1,)+∞上为增函数．．所以单调递增区间是(,3)-∞-、(1,)+∞，单调递减区间是(3,1)-．（2）由（1）可知()f x 在3x =-处取得极大值(3)13f -=，()f x 在1x =处取得极小值f （1）73=． 327(4)33f -=>，f （4）88133=>． [4x ∈-，4]时，()f x 的最大值与最小值分别为883、73． 所以最小值是7(1)3f =，最大值是88(4)3f =. 【点睛】 本题主要考查函数的单调性、最值以及导函数的应用，考查转化思想以及计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．18．已知直线l 参数方程为31545x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 极坐标方程为2sin 2cos ρθθ=+.（1）求曲线C 的平面直角坐标方程；（2）若l 与曲线C 交于AB 两点，求弦AB 长度.【答案】（1）22220x y x y +--=；（2）5. 【解析】（1）把2sin 2cos ρθθ=+两边同时乘以ρ，再由极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C 的直角坐标方程；（2）消去参数t ，可化直线l 的参数方程普通方程，求出圆的圆心与半径，求出圆心到直线的距离，再由垂径定理求弦AB 长度．【详解】（1）2sin 2cos ρθθ=+，即：22sin 2cos ρρθρθ=+，所以曲线C 直角坐标方程为22220x y x y +--=. （2）由直线l 参数方程为315(45x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），消去参数可得4340x y +-=， ∴直线l 的方程为4340x y +-=，∴圆心(1,1)到直线l的距离为35d ==，所求弦长AB =． 【点睛】本题考查直线的参数方程圆的极坐标方程与普通方程的互化，直线与圆的位置关系的综合应用，考查计算能力，是中档题．19．已知函数()|1||2|f x x x =++-.（1）求不等式()0f x >的解集；（2）若对于任意x ∈R ，不等式()f x m ≥恒成立，求m 的取值范围.【答案】（1）(,3)(4,)-∞-⋃+∞；（2）(,3]-∞.【解析】（1）运用绝对值的意义，讨论x 的范围，去绝对值，解不等式，求并集可得所求解集；（2）由题意可得()m f x …的最小值，运用绝对值不等式的性质可得()f x 的最小值，即可得到所求范围．【详解】（1）()7f x >即为|1||2|7x x ++->，当2x …时，127x x ++->，解得4x >； 当12x -<<时，127x x ++->，解得x ∈∅；当1x -…时，127x x --+->，解得3x <-，综上可得()7f x >的解集为(-∞，3)(4-⋃，)+∞；（2）对于任意x ∈R ，不等式()f x m …恒成立， 可得()m f x …的最小值，由()|1||2||(1)(2)|3f x x x x x =++-+--=…，当且仅当(1)(2)0x x +-…，()f x 取得最小值3，则3m …．【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和性质，考查绝对值三角不等式以及不等式恒成立问题解法，考查运算能力，属于中档题．20．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>离心率为12，P ⎭是椭圆上一点. （1）求椭圆方程；（2）1F ，2F 是椭圆左右焦点，过焦点1F 的弦AB 中点为1,2E t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求线段2EF 长.【答案】（1）22143x y +=；（2）4. 【解析】（1）可得12c a =，2234b a =解得24a =，23b =即可；（2）设(,)M x y ，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，利用中点坐标公式求得AB k ．即可求得点E 坐标．再利用距离公式即可．【详解】（1）Q 离心率为12，P 是椭圆上一点． ∴12c a =，∴2234b a = 又223314a b+=．24a ∴=，23b = ∴椭圆方程：22143x y +=； （2）设:(1)AB y k x =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则联立椭圆与直线AB 方程 去y ，得2222(34)84120k x k x k +++-=， 由△2222(8)4(34)(412)0k k k =-+->22122831344k x x k k -+==-⇒=+． 则1(2E -，)2k2||EF ∴=【点睛】本题主要考查椭圆的性质和直线与椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题．21．已知抛物线E ：22(0)y px p =>上任意一点P 到直线2x =-的距离比到焦点F 距离大1.（1）求抛物线E 方程；（2）若A ，B ，C 是抛物线上不同的三点，点1(,1)4M m m ⎛⎫>⎪⎝⎭是AB 中点，且焦点F 是ABC V 重心，求证：||||2||FA FB FC +=.【答案】（1）24y x =；（2）证明见解析.【解析】（1）由题意可得P 到直线1x =-的距离与到焦点F 距离相等，由抛物线的定义可得p 的值，可得抛物线的方程；（2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，运用三角形的重心坐标，可得C 的坐标，再由抛物线的定义，即可得证．【详解】（1）抛物线2:2(0)E y px p =>上任意一点P 到直线2x =-的距离比到焦点F 距离大1．可得P 到直线1x =-的距离与到焦点F 距离相等， 可得12p =，即2p =，抛物线E 方程为24y x =； （2）证明：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，由(1,0)F 为ABC ∆的重心，可得12313x x x ++=，12303y y y ++=， 由(,1)M m 为AB 的中点，可得122y y +=，即有32y =-，31x =，则122x x +=，由抛物线的定义可得12||||2224FA FB x x +=++=+=，3||12FC x =+=，可得||||2||FA FB FC +=．【点睛】本题主要考查抛物线的定义、方程和性质，考查三角形的重心坐标，考查方程思想和运算能力，属于中档题．22．已知函数()ln a f x x x=+. （1）求()f x 在定义域内单调区间；（2）若1a ≤，1x >，求证：()2f x x <. 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）21()a f x x x '=-，(0)x >．对a 分类讨论即可得出单调性；（2）要证明2()f x x <．只需证明21lnx x x +<．令21()g x lnx x x =+-．(1)x >．根据函数的单调性证明即可．【详解】221(1)()a x a f x x x x-'=-=，(0)x >． 0a …时，()0f x '>，∴函数()f x 在(0,)+∞上单调递增．0a >时，令()0f x '=，可得x a =，可得：函数()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增．（2）1a Q …，∴1a x x …，即1()f x lnx x+… 要证明2()f x x <． 只需证明21lnx x x +<． 令21()g x lnx x x=+-．(1)x >． 3221121()20x x g x x x x x -+-''=--=< ()g x ∴在(1,)+∞单调递减，而g （1）0=，()0g x ∴<，即21lnx x x+<． 2()f x x ∴<．【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想和转化思想，是一道综合题．。
2019学年江西省高二(下)期末数学试卷(文科)【含答案及解析】
2019学年江西省高二（下）期末数学试卷（文科）【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知集合P= { 2，3，4，5，6 } ，Q= { 3，5，7 } ，若M=P∩Q，则M的子集个数为（）A．5 B．4 C．3 D．22. 已知函数f（x）= ，则f（f（﹣1））=（）A．4 B．2 C．1 D．﹣23. 复平面内，复数z=（i + 2）（i 2 + i），则复数z对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4. 在2016年3月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如表所示：p5. ly:宋体; font-size:10.5pt">价格x 9.2 9.3 10 10.5 11 销售量y 11 10 8 6 5 由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是：=﹣2.2x + a，那么a的值为（）A．﹣24 B．29.2 C．30 D．406. 函数y= 的值域是（）A． [ 0，+ ∞） B． C． D．7. 数列 { a n } 的前n项和为S n ，若a n = ，则S 100 等于（）A． B． C．2 D．8. 函数f（x）=lnx﹣零点所在的大致区间为（）A．（2，3） B．（1，2） C． D．（e，+ ∞）9. （2015•石家庄校级模拟）有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁10. a=log 2 3.5，，，则（）A．c ＜ b ＜ a B．a ＜ c ＜ b C．b ＜ a ＜ c D．b ＜ c ＜ a11. （2005•湖北）函数y=e |lnx| ﹣ | x﹣1 | 的图象大致是（）A． B． C． D．12. 已知直线l：y=k（x + 2）与抛物线C：y 2 =8x相交于A、B两点，且A、B两点在抛物线C准线上的射影分别是M、N，若 | AM | =2 | BN | ，则k的值是（）A． B． C．2 D．13. 已知函数f（x）= （b ∈ R）．若存在x ∈[ ] ，使得f （x）＞﹣x•f'（x），则实数b的取值范围是（）A． B． C． D．（﹣∞，3）二、填空题14. 命题p：∀ x ∈ R，2x 2 + 1 ＜ 0，则该命题的否定是．15. 在平面直角坐标系中，点M在曲线C：y=x 3 ﹣2x上，已知曲线C在点M处的切线的斜率为1，则点M的坐标为．16. 若两个正实数x，y满足 =1，且不等式x + ＜ m 2 ﹣3m有解，则实数m 的取值范围是．17. 某医院用甲、乙两种原材料为手术后病人配制营养餐，甲种原料每克含蛋白质5个单位和维生素C 10个单位，售价2元；乙种原料每克含蛋白质6个单位和维生素C 20个单位，售价3元；若病人每餐至少需蛋白质50个单位、维生素C 140个单位，在满足营养要求的情况下最省的费用为___________ ．三、解答题18. 在△ ABC的内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知，（1）求B；（2）若b=2，△ ABC的周长为2 + 2，求△ ABC的面积．19. 已知数列 { a n } 的前n项和s n 满足S n =2n 2 ﹣13n（n ∈ N * ）．（1）求通项公式a n ；（2）令c n = ，求数列 { c n } 的前n项和T n ．20. 北京某高校在2016年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表所示．p21. ly:宋体; font-size:10.5pt">组号分组频数频率第1组 [ 160，165） 5 0.050 第2组 [ 165，170） n 0.350 第3组 [ 170，175） 30 p 第4组 [ 175，180） 20 0.200 第5组 [ 180，185 ] 10 0.100 合计 100 1.000 （1）求频率分布表中n，p的值，并补充完整相应的频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第4、5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，则第4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定从6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至多有1名学生被甲考官面试的概率．22. 设双曲线 =1的两个焦点分别为F 1 ，F 2 ，离心率为．（1）求此双曲线的渐近线l 1 、l 2 的方程；（2）若A、B分别为l 1 、l 2 上的点，且2 | AB | =5 | F 1 F 2 | ，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．23. 已知函数f（x）=x + ，g（x）=x + lnx．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若存在x 1 ∈[ 1，e ] ，x 2 ∈[ e，e 2 ] ，使得f（x 1 ）≥ g（x 2 ）成立，求a的取值范围．24. 已知曲线C的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A，B的极坐标分别为A（2，π），B（2，）．（1）求直线AB的极坐标方程；（2）设M为曲线C上的点，求点M到直线AB距离的最大值．25. 已知函数f（x）= | x﹣2 | ，g（x）=﹣ | x + 3 |+ m．（1）当m=7时，解关于x的不等式f（x）﹣g（x）＞ 0；（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】。
江西省上饶中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学(文)试题 Word版含解析
上饶中学2019-2020学年度高二下学期期末考试数学试卷（文科）时间：120分钟 分值：150分一、单选题（共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合{}2,0,1M =-，{}0,1,3N =，则M N ⋃=（ ） A. {}0,1B. {}2,1,3-C.2,0,1D.{}2,0,1,3-【答案】D 【解析】 【分析】直接根据集合的并集运算，即可得到本题答案.【详解】因为{}2,0,1M =-，{}0,1,3N =，由集合的并集运算，得M N ⋃={}2,0,1,3-. 故选：D【点睛】本题主要考查集合的并集运算，属基础题.2.若,,a b c ∈R ，且a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A. a c b c +>+ B. ac bc >C.11a b< D. 22a b >【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质及特值法可得答案．【详解】对于A ，∵a b >，∴a c b c +>+，正确； 对于B ，当0c ≤时，显然不成立，错误； 对于C ，当0b 0a ＞，＜时，显然不成立，错误； 对于D ，当1,2a b ==-时，显然不成立，错误． 故选A【点睛】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3.已知x ∈R ，则“2x >”是“||2x >”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义，结合“2x >”与“||2x >”的关系，即可得出结论. 【详解】当2x >时，则||2x >成立， 而当||2x >时，如3x =-，则2x >不成立， 所以“2x >”是“||2x >”的充分不必要条件. 故选：A.【点睛】本题考查充分不必要条件的判定，属于容易题. 4.设0.23ln 0.2,3,0.2 ===a b c ，则,,a b c 的大小关系（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D.c b a <<【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性可得0a <，再由指数函数的单调性可得1,01b a ><<，即可得出结论. 【详解】0.2030ln0.2ln10,331,00.20.21a b c =<==>=<=<= ， 所以a c b <<. 故选：B【点睛】本题考查对数、指数幂的大小关系，利用函数的单调性是解题的关键，注意与特殊数的对比，属于容易题.5.函数()3||2e=x x f x 的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、单调性以及一些特殊值结合排除法进行判断即可.【详解】解：由33||||2()2()()e ex x x x f x f x ---==-=-，可知()f x 为奇函数， 所以图象关于原点对称，排除A ，B ；令()0f x =，可知0x =，可知图象与x 轴只有一个交点，排除C . 故选：D ．【点睛】本题考查根据解析式选择图象，其关键是根据函数的性质以及特殊值选择，通常用排除法，属于基础题.6.已知,,a b c ∈R ，若2()f x ax bx c =++，满足()(4)2(0)=<-f f f ，则（ ）A. 0,0<+=a a bB. 0,0>+=a a bC. 0,20a a b <+=D. 0,20a a b >+=【答案】C 【解析】 【分析】由()(4)2(0)=<-f f f ，得到函数2()f x ax bx c =++图象开口向下，且以1x =为对称轴，即可求解.【详解】由()(4)2(0)=<-f f f ，根据二次函数的性质， 可得函数2()f x ax bx c =++图象开口向下，且以1x =为对称轴， 即0,12ba a<-=，解得0,20a a b <+=. 故选：C.【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练掌握二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力. 7.若1sin cos 2αα-=，则1tan tan αα+=（ ） A.34 B.43C. 38D. 83【答案】D 【解析】 【分析】 由1sin cos 2αα-=，求得3sin cos 8αα=，又由11tan tan sin cos αααα+=，代入即可求解.【详解】因为1sin cos 2αα-=，所以21(sin cos )12sin cos 4αααα-=-=， 解得3sin cos 8αα=， 又由221sin cos sin cos 18tan tan cos sin sin cos sin cos 3αααααααααααα++=+===.故选：D.【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式的化简、求值，其中解答中熟记三角函数的基本关系式是解答的关键，着重考查运算与求解能力.8.已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，且()f x 在[)0,+∞上单调递减，则不等式()()21f x f x >-的解集为（ ）A. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D. ()1,+∞【答案】B 【解析】 【分析】根据()y f x =是偶函数及在[)0,+∞的单调性，根据()()21f x f x >-，可转化为21x x <-，化简整理，即可得结果.【详解】因为()()21f x f x >-，所以()()21fx f x =-，所以21x x <-，即22(21)x x <-，解得1x >或13x <， 故选：B.【点睛】本题考查函数单调性、奇偶性的综合应用，不等式的解法，难点在于根据偶函数的性质()()f x f x =，将函数值的大小关系，转化为自变量的大小关系，考查分析计算的能力，属中档题.9.若函数()2ln f x x ax x =-+有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A. a <-B. a >C. 0a <<D. ((),22,∈-∞-+∞a【答案】B 【解析】 【分析】求得导数()221,0x ax f x x x-+'=>，设()221,0g x x ax x =-+>，结合函数极值点的概念，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，函数()2ln f x x ax x =-+，则()21212,0x ax f x x a x x x-+'=-+=>，设()221,0g x x ax x =-+>，要使得函数()2ln f x x ax x =-+有两个不同的极值点，则满足2()40a ∆=-->，且对称轴04a>，解得22a >. 故选：B.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的极值点及其应用，其中解答中熟记导数与函数的极值点的关系是解答的关键，着重考查推理与运算能力.10.函数()()sin f x A x =+ωϕ其中0,2πϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭A 的图象如下图所示，为了得到()f x 图象，则只需将()sin 2g x x =的图象（ ）A. 向右平移6π个长度单位 B. 向左平移6π个长度单位 C. 向右平移12π个长度单位D. 向左平移12π个长度单位【答案】B 【解析】 【分析】根据图像分别求出,A ω，再根据图像过点(,0)3π，结合ϕ的范围，求出ϕ的值，即可得()f x 的解析式，根据平移变换的规则即可得答案. 【详解】根据图像可得A =1，74()123T πππ=⨯-=，所以22T πω==，所以()sin(2)f x x ϕ=+， 又图像过点(,0)3π，所以2sin()03πϕ+=，解得()221,3k k Z πϕπ=+-∈因为2πϕ<，所以3πϕ=所以()sin(2)sin[2()]36f x x x ππ=+=+， 所以只需将()sin 2g x x =的图像向左平移6π个长度单位即可得到()f x 的图像. 故选：B.【点睛】本题考查根据图像求正弦型函数的解析式、图像的平移变换，关键点在于根据特殊点及范围，求出ϕ的值，考查分析化简的能力，属基础题.11.若,a b ∈R ，满足0ab >且223a b +=，则33a b b a+的最小值为（ ）C. 3D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简得到339=2a b ab b a ab+-，利用基本不等式，求得302ab <≤，设()92f x x x =-，利用单调性求得函数的最小值，即可求解.【详解】因为223a b +=，则33442222222()2929=2a b a b a b a b a b ab b a ab ab ab ab++--+===-又由222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立，即23ab ≤，所以302ab <≤， 设()932,(0,]2f x x x x =-∈，可得函数()f x 在3(0,]2上单调递减， 所以()3()32f x f ≥=，即当302ab <≤时，923ab ab-≥， 所以33a b b a+的最小值为3.故选：C.【点睛】本题主要考查了基本不等式，以及函数的单调性的综合应用，其中解答中熟记基本不等式，以及合理利用函数的单调性是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12.已知函数()21,1ln ,1x x f x x x x⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，若关于x 的方程()()()21220+--=⎡⎤⎣⎦f x m f x m 有4个不同的实数解，则实数m 的取值范围是（ ） A. 11,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 11,32⎛⎫⎪⎝⎭eC. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】令()()()21220+--=⎡⎤⎣⎦f x m f x m ，得()2f x m =或()1f x =-，将问题等价转化为直线2y m =和直线1y =-与函数()y f x =的图象共有4个交点，数形结合可得出实数m 的取值范围.【详解】令()()()21220+--=⎡⎤⎣⎦f x m f x m ，即()()210f x m f x -⋅+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，得()2f x m =或()1f x =-，则直线2y m =和直线1y =-与函数()y f x =的图象共有4个交点. 当1x ≥时，()ln x f x x =，()21ln xf x x -'=，令()0f x '=，得x e =. 当1x e ≤<时，()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增； 当x e >时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减. 函数()y f x =的极大值为()1f e e =，且当1x >时，()ln 0x f x x=>，如下图所示：由于关于x 的方程()()()21220+--=⎡⎤⎣⎦f x m f x m 有4个不同的实数解， 由图象可知，直线1y =-与函数()y f x =的图象只有一个交点， 所以，直线2y m =与函数()y f x =的图象有3个交点，所以102m e <<，解得102m e<<. 因此，实数m 的取值范围是10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数的取值范围，一般转化为两函数图象的交点个数来处理，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分 13.命题:(0,)p x ∃∈+∞，使得sin 0x >的否定为______． 【答案】(0,)x ∀∈+∞，使得sin 0x ≤ 【解析】 【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解. 【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得：命题(0,)x ∃∈+∞，使得sin 0x >的否定为“(0,)x ∀∈+∞，使得sin 0x ≤”.故答案为：(0,)x ∀∈+∞，使得sin 0x ≤【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与存在性命题的关系是解答的关键，属于基础题.14.函数()2()lg 23f x x x =--的定义域为_________． 【答案】()(),13,-∞-+∞【解析】 【分析】根据对数真数大于0，建立x 的不等量关系，求解即可. 【详解】函数()2()lg 23f x x x =--有意义， 需2230x x -->，解得3x >或1x <-，所以函数()2()lg 23f x x x =--的定义域为()(),13,-∞-+∞.故答案为：()(),13,-∞-+∞.【点睛】本题考查对数函数的定义域以及一元二次不等式的求解，考查数学计算能力，属于基础题. 15.已知4sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且263ππα<<，则sin α的值为_____.. 【解析】 【分析】根据α的范围及4sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可求得cos()3πα+的值，再根据sin sin[()]33ππαα=+-，利用两角差的正弦公式展开即可得结果.【详解】因为263ππα<<，所以23ππαπ<+<，又4sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以3cos()35πα+==-，所以sin sin[()]sin()cos cos()sin 333333ππππππαααα=+-=+-+413()525=⨯--=【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式的应用，易错点在于根据α的范围，判断cos()3πα+的正负，属基础题.16.已知函数()31=4f x x 图像上有动点()11,A x y ，函数()2g x x =-图像上有动点()22,B x y .若A B 、两点同时从纵坐标=0y 的初始位置出发，沿着各自函数图像向右上方运动至A B 、两点的纵坐标值再次相等，且始终满足212x x -=，则在此运动过程中A B 、两点的距离AB 的取值范围是______．【答案】2⎡⎢⎣⎦【解析】 【分析】根据题意求出A B 、从初始位置出发至A B 、两点的纵坐标值再次相等时对应的1x 的取值，进而求得1x 的取值范围，用两点距离公式表示AB ，进而表示成关于1x 的函数，用导数的观点求AB 的取值范围即可.【详解】解：因为动点()11,A x y 在函数()31=4f x x 图像上，动点()22,B x y 在函数函数()2g x x =-图像上，所以311221,24y x y x ==-. 由题知：10x ≥，22x ≥，212x x =+.由当A B 、两点同时从纵坐标=0y 的初始位置出发，沿着各自函数图像向右上方运动至A B 、两点的纵坐标值再次相等时，得312124x x =-，所以31114x x =，解得10x =或12x =±. 所以，当A B 、两点同时从纵坐标=0y 的初始位置出发，沿着各自函数图像向右上方运动至A B、两点的纵坐标值再次相等时12x =.102x ∴≤≤，AB ∴==[]10,2x =∈设[]21,0,4x t t =∈，则[]0,4AB t =∈. 设()[]2321111,0,44162g t t t t t t t ⎛⎫=-=-+∈ ⎪⎝⎭，则()23116g t t t ='-+，由0g t 得4t =或43t =. 40,3t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦时，()0g t '>，g t 单调递增；4,43t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0g t '<，g t 单调递减； 34t ∴=时，()max 43g t g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时maxAB ====0t =时，()()min 00g t g ==，此时，min 2AB ===.AB ⎡∴∈⎢⎣⎦.故答案为：0,9⎡⎢⎣⎦.【点睛】本题主要考查用导数求最值，考查学生用导数解决问题的能力，属于中档题. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.已知集合2{|log 0}=>A x x ，2{|30}B x x x =-< ，全集U =R ，求： （1）AB ；（2）()U C A B ．【答案】（1）()1,3；（2）(),3-∞. 【解析】 【分析】根据对数函数的性质和一元二次不等式的解法，求得集合,A B ，再集合集合的交集、并集和补集的运算，即可求解. 【详解】（1）由集合2{|log 0}{|1}(1,)A x x x x =>=>=+∞，2{|30}{|13}(1,3)B x x x x x =-<=<<=， 根据集合交集的运算，可得()=1,3AB ；（2）由（1）知，集合(1,)A =+∞，(1,3)B =，又由全集U =R ， 所以(]=,1-∞U C A ，所以()()=,3-∞U C A B ．【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，以及对数函数的性质和一元二次不等式的求解，着重考查运算与求解能力.18.设函数()1+2=+-f x x x .（1）求不等式()5f x >的解集；（2）若x R ∀∈，2(4)+≥-f x t t 恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）()(),23,x ∈-∞-+∞；（2）(][),13,∈-∞+∞t . 【解析】 【分析】（1）利用绝对值的性质把函数的解析式化成分段函数解析式形式，然后分类讨论求解即可；（2）问题转化为：()2min 4f x t t ≥-+，由（1）求出函数()f x 的最小值，最后根据一元二次不等式的解法进行求解即可.【详解】（1）()2+11312212x x f x x x x -<-⎧⎪=-≤<⎨⎪-≥⎩，，，， 当1x <-时，2+15->x ，2x <-，∴2x <-；当12x -≤<时，35>，∴x 无解；当2x ≥时，215x ->，3x >，∴3x >； 综上：()(),23,x ∈-∞-+∞；（2）当1x <-时，()(1)3f x f ≥-=； 当12x -≤<时，()3f x =； 当2x ≥时，()(2)3f x f ≥=，所以()min 3=f x ，若x R ∀∈，()24+≥-f x t t 恒成立，只需()2min 4f x t t ≥-+ 24301t t t ∴-+≥⇒≤或3t ≥，综上：(][),13,∈-∞+∞t .【点睛】本题考查了解绝对值不等式的方法，考查了已知不等式恒成立求参数取值范围问题，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力.19.已知函数()()2sin cos =∈f x x x x x R .（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若方程()=f x a ，a R ∈在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦只有一个根，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）{}1⎡∈⎢⎣⎭a .【解析】 【分析】（1）由二倍角的正弦、降幂公式和辅助角公式将()f x 化简为正弦型函数，利用正弦函数的递增区间整体代换，即可得出结论；（2）根据()f x 的解析式，由x 的范围求出整体角的范围，转化为sin y x =在该范围图象与y a =只有一个交点即可.【详解】（1）()2sin cos f x x x x =1sin 22sin 222232x x x π⎛⎫=++=++⎪⎝⎭，解不等式()222232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得()51212k x k k Z ππππ-≤≤+∈. 因此，函数()y f x =的单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦； （2）()3sin 23π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭f x x ，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 由题意可得设42=,333πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦x t 方程()3+=f x a 可以化为：sin =t a ， 即sin y t =，4,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的图像与y a =的图像有且只有一个交点， 根据图像得{}33,1⎡⎫∈-⎪⎢⎪⎣⎭a .【点睛】本题考查三角恒等变换化简函数式、正弦函数的图象和性质，整体代换是解题的关键，考查数形结合思想和计算求解能力，属于中档题.20.在平面直角坐标系xOy 中，直线的参数方程为222212x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线极坐标方程为4cos +2sin ρθθ=，直线与曲线交于、两点.（1）求直线的普通方程以及曲线的直角坐标方程；（2）若直线上有定点()2,1A -，求AM AN +的值.【答案】（1）直线：10x y +-=；曲线：()()22215x y -+-=；（2）【解析】 【分析】 （1）将2,122=-=-+x y t 两式相加，消去参数t ，即可得到本题答案；在方程4cos +2sin ρθθ=两边同时乘以ρ，再利用222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩转化为直角坐标方程即可；（2）把直线的参数方程：2212x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），代入曲线的直角坐标方程，利用参数t 的几何意义求解，即可得到本题答案.【详解】（1）将2,122=-=-+x y 两式相加， 可得直线的普通方程为：10x y +-=，由题，得24cos +2sin ρρθρθ=，则224+2+=x y x y ， 所以直角坐标方程为：()()22215x y -+-=；（2）把直线的参数方程：21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）代入曲线方程化简得：210t --= ，设对应的参数分别为1t ，2t ，因为()2,1A -在曲线内，所以12,t t 异号，由韦达定理，得12121t t t t ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩所以12||||||+=-=AM AN t t .【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，以及直线的参数方程t 的几何意义，属于中档题.21.新冠肺炎疫情造成医用防护服紧缺，当地政府决定为防护服生产企业A 公司扩大生产提供[]0(0),1x x ∈（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A 公司在收到政府x （万元）补贴后，防护服产量将增加到12(6)4t k x =⋅-+（万件），其中k 为工厂工人的复工率[]0.)1(5,k ∈，A 公司生产t 万件防护服还需投入成本()20850x t ++（万元）. （1）将A 公司生产防护服的利润y （万元）表示为补贴x （万元）的函数；（2）对任意的[]0,10x ∈（万元），当复工率k 达到多少时，A 公司才能不产生亏损？（精确到0.01）【答案】（1）3601807204ky k x x =---+；（2）0.58k ≥. 【解析】 【分析】（1）根据题意，由利润等于收入减去成本，即可列出函数关系； （2）根据（1）的结果，由题意，只需36018072004ky k x x =---≥+在[]0,10x ∈上恒成立，即()()72041802x x k x ++≥+在[]0,10x ∈上恒成立，根据函数单调性，求出()()72042x x x +++的最大值，即可得出结果.【详解】（1）因为A 公司生产t 万件防护服还需投入成本()20850x t ++，政府以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，且提供x （万元）的专项补贴， 所以，A 公司生产防护服的利润121280(6)20850(6)44y x k x k x x ⎡⎤=+--++-⎢⎥++⎣⎦3601807204kk x x =---+； （2）为使A 公司不产生亏损，只需利润36018072004ky k x x =---≥+在[]0,10x ∈上恒成立；即()()72041802x x k x ++≥+在[]0,10x ∈上恒成立；因为()()()()()2272047220212748801272202222x x x x x x x x x x x ++++++++===+++++++，令2t x =+，因为[]0,10x ∈，所以[]2,12t ∈，记()12720g t t t=++， 任取12212t t ≤<≤， 则()()()()2112121212121212127207207t t g t g t t t t t t t t t -⎛⎫⎛⎫-=++-++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1212127t t t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭因为120t t -<，124144t t <<，所以12121234t t <=，即121270t t ->， 所以()12121270t t t t ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，即()()12g t g t <， 所以函数()12720g t t t=++[]2,12t ∈上单调递增；因此()()max 12105g t g ==，即()()72042x x x +++的最大值为105；所以只需180105k ≥，即0.58k ≥.【点睛】本题主要考查函数模型的应用，熟记函数的单调性，会根据单调性求函数最值是解题的关键，属于常考题型.22.设函数()()()10xf x e a x a =--≠.（1）当1a =求函数()f x 的单调区间和极值；（2）若存在,m n R ∈满足m ne e a m n-=-，证明：2ln m n a +<成立. 【答案】（1）当0a <时，()f x 在R 上单调递增没有极值；当0a >时，()f x 在()ln ,a +∞上单调递增，()f x 在(),ln a -∞上单调递减，极小值为2ln a a -；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由1a =时，求得导数()1xf x e =-'，结合导数的符号，求得函数()f x 的单调性，进而求解极值；（2）由m ne e a m n-=-，得到()()f m f n =，由于()f x 的极小值点为ln x a =，可设ln m a n >>，设()()(2ln )F x f x f a x =--，根据函数的单调性求出()(2ln )f n f a m >-，即可求解.【详解】（1）由1a =时，函数()1x f x e x =-+，则()1xf x e =-'，令()0f x '<，解得0x <；令()0f x '>，解得0x >；所以函数()f x 在(),0-∞上单调递减；()f x 在()0,∞+上单调递增； 当0x =时，函数()f x 有极小值，极小值为()02f =，无极大值. （2）由m ne e a m n-=-，可得m n e am e an -=-，从而得()()f m f n =， 由()(1)x f x e a x =--，则()xf x e a '=-，由（1）知，当0a <时，()0f x '>从而得()f x 在R 上单调递增没有极值，不符合题意； 当0a >时，()0f x '=，可得ln x a =；可得()0f x '>得ln x a >，()0f x '<得ln x a <，所以函数()f x 在()ln ,a +∞上单调增，()f x 在(),ln a -∞上单调减， 可设ln m a n >>设2ln ()()(2ln )(1)(2ln 1)a xxF x f x f a x e a x ea a x -⎡⎤=--=------⎣⎦2ln 22ln a xx e eax a a -=--+222ln xx a e ax a a e=--+2()220xx a F x e a a e '=+-≥=，仅当ln x a =时取得“=” 所以()F x 在()ln ,a +∞为单调递增函数且(ln )0F a =当ln m a >，时有()()(2ln )0F m f m f a m =-->，即()(2ln )f m f a m >- 又由()()f m f n =，所以()(2ln )f n f a m >-又由(1)知()f x 在(),ln a -∞上单调递减，且()2ln ,ln a m a -∈-∞，(),ln n a ∈-∞ 所以2ln n a m <-从而得证2ln m n a +<成立.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。
江西上饶市高二下学期期末考试数学(文)试题(PDF版)答
上饶市2014—2015学年第二学期期末测试高二数学（文科）试卷答案及评分标准一、选择题：共12小题，每小题5分，满分60分．BADCC DDAAB AC二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13.108 14. 15. 16.三、解答题：共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 解：（1）设等比数列的公比为，由已知得212512,32a q a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 又，故 （5分）（2）由（1）知()()1*212,n n b n n N -=-⨯∈ 则()12113252212n n T n -=+⨯+⨯++-⨯， ()()12312123252232212,n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+-⨯+-⨯两式相减得()()2112222212n n n T n --=++++--⨯()232 3.n n T n ∴=-⨯+ （10分）18. （1）由题意得2cos cos cos ,a B b C c B -=由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos ,A B B C C B -= （2分） 即2sin cos sin cos sin cos ,A B B C C B =+所以()2sin cos sin sin ,A B B C A =+= 又1sin 0,cos 2A B ≠=所以. （6分） （2）由得，，又由正弦定理得. （8分）所以3sin A =12sin 0=236A A A ππ=<<,又，所以. （10分）向量在方向上的投影为1cos 323BC B =⨯=. （12分） 19. 18. 解：(1)由15)07.006.002.001.0(=⨯++++a得 ………………………………………4分(2) ∵∴第3，4组分别抽取的人数为3人与2人 …………………6分 设第3组的3名学生为，，，第4组的2名学生为，，则从5名学生中抽两名学生有：12131112(,),(,),(,),(,),A A A A A B A B 232122(,),(,),(,),A A AB A B共10种可能． …………………………………………8分 其中第4组恰有一名学生入选的结果有：11122122(,),(,),(,),(,),A B A B A B A B 共6种可能， …10分所以第4组恰有一名学生接受综合素质测试的概率为．答：第4组中恰有一名学生接受综合素质测试的概率为 ……12分20. （本题满分12分）（Ⅰ）证明：取的中点,连接,因为分别为棱的中点，所以∥,∥,B BB BC O EO FO ==1, ,平面,平面,所以平面∥平面，……………………4分又平面,所以∥平面. …………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知异面直线与所成角,所以,…8分因为三棱柱为直三棱柱，所以平面,所以平面, , ,3,222=-==∴FO EF EO EF , 由, 平面,…………10分所以11113C BCD B CDC CDC V V BC S --∆==⋅1121323=⨯⨯⨯=. ……………………12分 21. 解 （1)有，函数在上递增 …………………..2分有，函数在上递减 …………………..3分在处取得最小值，最小值为 …………………..5分(2) ()223f x x mx ≥-+-即，又22ln 3x x x m x⋅++∴≤ …………………..6分 令()22ln 3x x x h x x⋅++= ()()()222222ln 3'2ln 3'23'x x x x x x x x x x h x x x ⋅++⋅-⋅++⋅+-== ……….8分 令，解得或（舍）当时，，函数在上递减当时，，函数在上递增 …………….10分即的最大值4 ………………….12分22.（Ⅰ）由椭圆定义知P 的轨迹为：以为焦点的椭圆 ………… 2分易知， 32221=+=PF PF a …………… ３分…………… ４分∴ 动点P 的轨迹方程为：………………………5分（Ⅱ）假设存在这样的值，由得()09123122=+++kx x k∴()()03136-12k 22>+=∆k ①……………… 6分设， ，则⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=+2212213193112k x x k k x x ②………… ８分 而4)(2)2)(2(212122121+++=++=⋅x x k x x k kx kx y y ………………９分 要使以为直径的圆过点E （-1，0），当且仅当时，则，即0)1)(1(2121=+++x x y y ∴05))(1(2)1(21212=+++++x x k x x k ③ 将②式代入③整理得：()()053112123191222=++-++++k k k k k 解得 经验证使①成立综上可知，存在，使得以为直径的圆过点E ……………… 12分。
2018-2019学年江西省上饶市高二下学期期末数学(理)试题(解析版)
2018-2019学年江西省上饶市高二下学期期末数学（理）试题一、单选题 1．复数1i1i-=+z ，则z ＝（ ）A ．0B ．12C ．1 D【答案】C【解析】根据复数的除法运算，先化简复数，再由复数模的计算公式，即可求出结果. 【详解】因为21i (1i)21i (1i)(1i)2---====-++-iz i ， 所以1z =. 故选C 【点睛】本题主要考查复数的除法，以及复数的模，熟记公式即可，属于基础题型. 2．已知命题2:,230∀∈+-<p x R x x ，则命题p 的否定p ⌝为（ ）A ．2000,230∃∈+-≥x R x x B ．2,230x R x x ∀∈+-≥ C ．2000,230∃∈+-<x R x xD ．2,230∀∈+-<x R x x【答案】A【解析】根据全称命题的否定为特称命题，即可直接得出结果. 【详解】因为命题2:,230∀∈+-<p x R x x ，所以命题p 的否定p ⌝为：2000,230∃∈+-≥x R x x故选A 【点睛】本题主要考查含有一个量词的命题的否定，只需改写量词与结论即可，属于常考题型. 3．空间直角坐标系中，点关于点的对称点的坐标是A ．(－10,2,8)B ．(－10,2,－8)C ．(5,2,－8)D ．(－10,3,－8)【答案】B【解析】直接利用中点坐标公式求解即可.【详解】 设点关于点的对称点的坐标是,根据中点坐标公式可得，解得，所以点关于点的对称点的坐标是(－10,2,－8)，故选B.【点睛】本题主要考查中点坐标公式的应用，意在考查对基本公式的掌握与应用，属于基础题. 4．函数()1x f x e =+在点(0,(0))f 处的切线方程为（ ） A ．1y x =- B ．2y x =+ C ．21y x =- D ．22y x =+【答案】B【解析】求函数的导数，利用导数的几何意义求出切线斜率，进行求解即可. 【详解】函数的导数'()xf x e =，则函数在点(0,(0))f 处的切线斜率0'(0)1k f e ===，因为0(0)12f e =+=， 所以切点坐标为为(0,2)， 则切线方程为2y x =+， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关函数图象在某点处的切线方程的求解问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目.5．△ABC 的两个顶点为A （-4,0），B （4,0），△ABC 周长为18，则C 点轨迹为（ ）A ．221259x y +=（y≠0）B ．221259y x +=（y≠0）C ．221169x y +=（y≠0）D ．221169y x +=（y≠0）【答案】A【解析】试题分析：由坐标可知，由周长可知，由椭圆的定义可知，点在焦点为，半长轴为的椭圆上运动，由焦点以及半长轴可求得半短轴，则椭圆方程为，当点在横轴上时，点共线，不能构成三角形，所以，所以点的轨迹方程为221259x y +=（），故正确选项为A ．【考点】椭圆的概念．【易错点睛】本题主要考察椭圆的概念：到两定点距离之和等于定值的动点的轨迹．有已知条件可得到椭圆的半长轴以及焦点坐标，但是，要注意一点，题中要求三点构成三角形，也就是说这三点是不能共线的，即点不能在横轴上，所以在轨迹方程中要去掉纵坐标为的点． 6．计算：22(22)-+=⎰x dx （ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣8D ．8【答案】D【解析】根据微积分基本定理，可直接求出结果. 【详解】()()()2222222(22)224248x dx xx--+=+=+--=⎰.故选D 【点睛】本题主要考查定积分，熟记微积分基本定理即可，属于常考题型.7．观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝( ) A ．192 B ．202 C ．212 D ．222 【答案】C【解析】∵所给等式左边的底数依次分别为1，2；1，2，3；1，2，3，4； 右边的底数依次分别为3，6，10，（注意：这里336+=， 6410+=）， ∴由底数内在规律可知：第五个等式左边的底数为1，2，3，4，5，6， 右边的底数为105621++=，又左边为立方和，右边为平方的形式， 故有333333212345621+++++=，故选C.点睛：本题考查了，所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理．它与演绎推理的思维进程不同．归纳推理的思维进程是从个别到一般，而演绎推理的思维进程不是从个别到一般，是一个必然地得出的思维进程．解答此类的方法是从特殊的前几个式子进行分析找出规律．观察前几个式子的变化规律，发现每一个等式左边为立方和，右边为平方的形式，且左边的底数在增加，右边的底数也在增加．从中找规律性即可. 8．已知点F 是抛物线24x y =的焦点，点P 为抛物线上的任意一点，(1,2)M 为平面上点，则PM PF +的最小值为（ ）A ．3B ．2C ．4D ．【答案】A【解析】作PN 垂直准线于点N ，根据抛物线的定义，得到+=+PM PF PM PN ，当,,P M N 三点共线时，PM PF +的值最小，进而可得出结果. 【详解】如图，作PN 垂直准线于点N ，由题意可得+=+≥PM PF PM PN MN ， 显然，当,,P M N 三点共线时，PM PF +的值最小； 因为(1,2)M ，(0,1)F ，准线1y =-，所以当,,P M N 三点共线时，(1,1)-N ，所以3MN =. 故选A【点睛】本题主要考查抛物线上任一点到两定点距离的和的最值问题，熟记抛物线的定义与性质即可，属于常考题型. 9．若函数2()ln =++af x x x x在1x =处取得极小值，则()f x 的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】先对函数求导，根据题意，得到3a =，再用导数的方法研究函数单调性，进而可求出结果. 【详解】因为2()ln =++af x x x x， 所以21()2'=-+a f x x x x ，又函数2()ln =++a f x x x x在1x =处取得极小值，所以(1)210'=-+=f a ，所以3a =，因此332222231232(1)(1)(223)(1)()2+--+-++-'=-+===x x x x x x x f x x x x x x x， 由()0f x '>得1x >；由()0f x '<得01x <<，所以函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增； 所以min ()(1)134==+=f x f ； 故选B 【点睛】本题主要考查导数的应用，根据导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.10．在三棱锥P ABC -中，2AB BC ==，AC =PB ⊥面ABC ，M ，N ，Q分别为AC ，PB ，AB 的中点，MN =，则异面直线PQ 与MN 所成角的余弦值为（ ）A B ．5C ．35D ．45【答案】B【解析】由题意可知AB BC ⊥，以B 为原点，BC ，BA ，BP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标法求角即可. 【详解】∵2,AB BC AC === ∴AB BC ⊥，以B 为原点，BC ，BA ，BP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，∴()()()()()B 0,0,0C 2,0,0,0,2,0,110,Q 0,1,0A M ，，，， 设()P 002x ，，，则()N 00x ，，，∵MN =，=x 1= ∴()()0,12,11,1PQ MN =-=--，，∴cos 5PQ MN PQ MN PQMN===，∴异面直线PQ 与MN 故选：B 【点睛】本题考查了异面直线所成角的余弦值求法问题，也考查了推理论证能力和运算求解能力，是中档题．11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，以线段12F F 为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P ，若直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b E x y 相切，则双曲线的渐近线方程是（ ）A ．y x=± B ．2y x =±C ．y = D ．y =【答案】B【解析】先设直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b E x y 相切于点M ，根据题意，得到1//EM PF ，再由22114F E F F =，根据勾股定理求出2b a =，从而可得渐近线方程. 【详解】设直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b E x y 相切于点M ，因为12PF F ∆是以圆O 的直径12F F 为斜边的圆内接三角形，所以1290F PF ∠=， 又因为圆E 与直线2PF 的切点为M ，所以1//EM PF ，又22114F E F F =，所以144b PF b =⋅=， 因此22PF a b =+，因此有222(2)4b a b c ++=，所以2b a =，因此渐近线的方程为2y x =±. 故选B 【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型. 12．已知函数()2ln(22)=-+f x x x ，22()4--=+x a a x g x e e ，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x 使得00()()3+=f x g x ，则实数a 的值为（ ） A ．ln 2- B ．ln 2C ．1ln2--D ．1ln2-+【答案】C【解析】先对函数()f x 求导，用导数的方法求最小值，再由基本不等式求出()g x 的最小值，结合题中条件，列出方程，即可求出结果. 【详解】由()2ln(22)=-+f x x x 得121()211x f x x x +'=-=++， 由()0f x '>得12x >-；由()0f x '<得112x -<<-；因此，函数()f x 在11,2⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递减；在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；所以min 1()()12f x f =-=-；又22()44x a a x g x e e --=+≥=， 当且仅当224x a a x e e --=，即1(ln 2)2x a =+时，等号成立， 故()()3f x g x +≥（当且仅当()f x 与()g x 同时取最小值时，等号成立） 因为存在实数0x 使得00()()3+=f x g x ， 所以11(ln 2)22a +=-，解得1ln 2a =--. 故选C 【点睛】本题主要考查导数的应用，以及由基本不等式求最小值，熟记利用导数求函数最值的方法，以及熟记基本不等式即可，属于常考题型.二、填空题13．函数 ()23=---f x x x 的最大值为_______. 【答案】1【解析】先将函数解析式写出分段函数的形式，根据函数单调性，即可得出结果. 【详解】因为1,3()2325,231,2x f x x x x x x ≥⎧⎪=---=-≤<⎨⎪-<⎩；易得：当且仅当3x ≥时，取最大值1. 故答案为1 【点睛】本题主要考查函数的最值问题，根据函数单调性求解即可，属于常考题型. 14．函数()ln f x x x =-的单调递增区间是 ． 【答案】()1,+∞【解析】试题分析：因为1()101f x x x'=->⇒>，所以单调递增区间是()1,+∞ 【考点】导数应用15．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=，12AB AC AA ===，点G ，E ，D 分别是棱11A B ，1CC ，AC 的中点，点F 是棱AB 上的点．若GD EF 1⋅=-，则线段DF 的长度为______．【解析】根据题意，以A 点为坐标原点，以1,,AB AC AA 分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，设出点F 坐标，根据题意，列出方程，求出点F 坐标，进而可求出结果. 【详解】因为在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=，因此，以A 点为坐标原点，以1,,AB AC AA 分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，因为12AB AC AA ===，点G ，E ，D 分别是棱11A B ，1CC ，AC 的中点，所以(1,0,2)G ，(0,2,1)E ，(0,1,0)D ，则(1,1,2)GD =--，又点F 是棱AB 上的点，所以设(,0,0)F a ， 则(,2,1)EF a =--，因为1GD EF ⋅=-，所以221a --+=-，因此1a =.所以(1,0,0)F ，因此DF ==【点睛】本题主要考查空间中两点间的距离，灵活运用空间向量法求解即可，属于常考题型. 16．已知,A B 是过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线与抛物线的交点，O 是坐标原点，且满足3AB FB =，OAB S ∆=，则AB 的值为________. 【答案】92【解析】先由题意得到直线AB 的斜率存在，不妨设直线AB 的斜率0k >，过点,A B 作抛物线的准线的垂线，垂足分别为,C D ，过点B 作BE AC ⊥于点E ，根据题中条件求出抛物线方程，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理与题中条件，求出交点横坐标，再由弦长公式，即可求出结果. 【详解】由题意，易知直线AB 的斜率存在，则由抛物线的对称性，不妨设直线AB 的斜率0k >， 过点,A B 作抛物线的准线的垂线，垂足分别为,C D ，过点B 作BE AC ⊥于点E ， 则由3AB FB =，可得2AF FB =，即2AF FB =，则2AC BD =， 所以点E 为AC 的中点，则13AE AB =，所以BE ==，则12OAB OAF OBF S S S BE OF p AB ∆∆∆=+=⋅=⋅=， 解得2p =，则直线AB 的方程为(1)y k x =-，由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩得()2222220k x k x k -++=， 则22241A B A Bk x x k x x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩， 由2AF FB =，得12(1)A B x x -=-，即32A B x x =-，结合0k >，解得212A B x x k ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩，则922A B AB x x =++=.故答案为92【点睛】本题主要考查抛物线中的弦长问题，熟记抛物线的性质，以及直线与抛物线位置关系即可，属于常考题型.三、解答题17．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于两点，，求.【答案】（1）x+y-1=0, ；（2）.【解析】（1）由直线的参数方程，消去参数，即可得到普通方程；根据极坐标与直角坐标的转化公式，可将化为直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，再设两点对应的参数为，根据韦达定理，即可求出结果.【详解】（1）直线的普通方程为由，得，则，故曲线的直角坐标方程为.（2）将,代人，得，设两点对应的参数为，则，故.【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型. 18．设函数()1f x x x a =++-． （1）当1a =时，解不等式()4f x ≤；（2）若关于x 的不等式()1f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）[]22-,；（2）0a ≥或2a ≤﹣【解析】（1）根据题意得到114x x ++-≤，分1x ≤-，11x -<<，1x ≥三种情况讨论，即可得出结果；（2）先由关于x 的不等式()1f x ≥恒成立，得到11x x a ++-≥恒成立，结合绝对值不等式的性质，即可求出结果. 【详解】（1）当1a =时，()4f x ≤即为114x x ++-≤， 当1x ≤-时，114x x ---+≤，解得21x -≤≤-； 当11x -<<时，114x x ++-≤，可得11x -<<； 当1x ≥时，114x x ++-≤，解得12x ≤≤，综上，原不等式的解集为[]22-,； （2）关于x 的不等式()1f x ≥恒成立， 即为11x x a ++-≥恒成立，由111x x a x x a a ++-≥+-+=+， 可得11a +≥， 解得：0a ≥或2a ≤﹣. 【点睛】本题主要考查含绝对值不等式，通常需要用到分类讨论的思想，灵活运用分类讨论的思想处理，熟记绝对值不等式的性质即可，属于常考题型. 19．若函数3()4f x ax bx =-+,当2x =时,函数()f x 有极值为43-. (1)求函数()f x 的解析式；(2)若()f x k =有3个解,求实数k 的取值范围.【答案】（1）31()443f x x x =-+；（2）42833k -<<. 【解析】（1）求出函数的导数，利用函数在某个点取得极值的条件，得到方程组，求得,a b 的值，从而得到函数的解析式；（2）利用函数的单调性以及极值，通过()f x k =有三个不等的实数解，求得k 的取值范围. 【详解】（1）因为()34f x ax bx =-+，所以2'()3f x ax b =-，由2x =时，函数()f x 有极值43-， 得()()20423f f ⎧=⎪⎨=-'⎪⎩，即12048243a b a b -=⎧⎪⎨-+=-⎪⎩，解得134a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 所以()31443f x x x =-+； （2）由（1）知()31443f x x x =-+，所以2'()4(2)(2)f x x x x =-=+-，所以函数()f x 在(,2)-∞-上是增函数，在(2,2)-上是减函数，在(2,)+∞上是增函数，当2x =-时，()f x 有极大值283； 当2x =时，()f x 有极小值43-，因为关于x 的方程()f x k =有三个不等实根， 所以函数()y f x =的图象与直线y k =有三个交点， 则k 的取值范围是42833k -<<. 【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有函数在极值点处的导数为0，利用条件求函数解析式，利用导数研究函数的单调性与极值，将方程根的个数转化为图象交点的个数来解决，属于中档题目.20．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形， π3DAB ∠=，侧面ADP ∆为等腰直角三角形，PA PD =，点E 为棱AD 的中点．（1）求证：面PEB ⊥面ABCD ；（2）若2AB PB ==，求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2【解析】（1）根据线面垂直的判定定理，先证明AD ⊥面PEB ，再由面面垂直的判定定理，即可证明结论成立；（2）先由题中数据，得到PE EB ⊥；再以E 为坐标原点，分别以EA ，EB ，EP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，求出两向量夹角的余弦值，进而可得出结果. 【详解】（1）证明：∵PA PD =，E 为棱AD 的中点，∴PE AD ⊥， 又∵ABCD 为菱形且π3DAB ∠=，∴EB AD ⊥， ∵PE EB E ⋂=，∴AD ⊥面PEB ， ∵AD ⊂面ABCD ，∴面PEB ⊥面ABCD ； （2）解：∵2AB =，π3DAB ∠=，∴BE =，1PE =， 又2PB =，∴222PE EB PB +=，则PE EB ⊥．以E 为坐标原点，分别以EA ，EB ，EP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系． 则(1,0,0)A，B ，(0,0,1)P，(C -，(1,BA =，(0,BP =，(2,CP =．设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =．由3020n BP z n CP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1y =，得(0,1,3)n =． 设直线AB 与平面PBC 所成角为θ．所以3sincos ,BA n BA n BA nθ⋅====【点睛】本题主要考查证明面面垂直，以及求线面角的正弦值，熟记线面垂直、面面垂直的判定定理，以及空间向量的方法求线面角即可，属于常考题型.21．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12,2F F 分别是它的左、右焦点，122F F =.（1）求椭圆E 的方程；（2）过椭圆E 的上顶点A 作斜率为12,k k 的两条直线AB ，AC ，两直线分别与椭圆交于B ，C 两点，当12k k 1=-时，直线BC 是否过定点？若是求出该定点，若不是请说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】（1）由题意2c e a ==，1222F F c ==，结合ab c ，，的关系即可求解。
2019-2020学年江西省上饶中学2018级高二下学期期末考试数学(理)试卷及答案
2019-2020学年江西省上饶中学2018级高二下学期期末考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(含答案)时间：120分钟 分值：150分一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分,每小题只有一个选项正确）1．已知全集U ={1,2,3,4,5,6},集合A ={2,3,5},集合B ={1,3,4,6},则A ∩（∁U B ）=（）A ．{3}B ．{2,5}C ．{1,4,6}D ．{2,3,5}2．复数31iz i +=-（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ）A ．1-B ．4C ．2D ．2i3．抛物线y 2=−4x 的准线方程是（ ）A ．1x =-B ．1x =C ．2x =-D ．2x =4．命题“若220x y +=,则0x y ==”的逆否命题是（ ）A ．若0x y ==,则220x y +=B ．若220x y +≠,则x ,y 不都为0C ．若x ,y 都不为0,则220x y +≠D ．若x ,y 不都为0,则220x y +≠5．椭圆221x my +=的焦点在y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m 的值为（ ）A ．14 B ．12 C ．2 D ．46．若直线l 的参数方程为2334x t y t=-+⎧⎨=-⎩（t 为参数）,则直线l 的倾斜角的余弦值为（ ） A ．45- B ．35 C ．−35 D ．457．若不等式14x x m -++≤的解集非空,则实数m 的取值范围是（ ）A ．[]5,3--B ．[]5,3-C ．[]3,5-D ．[]3,58．设l 是直线,α,β是两个不同的平面,下列叙述正确的是（ ）A ．若//l α,l β//,则//αβB ．若αβ⊥,//l α,则l β⊥C ．若αβ⊥,l α⊥,则l β⊥D ．若//l α,l β⊥,则αβ⊥9．在极坐标系中,已知圆C 的方程为2cos 4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则圆心C 的极坐标可以为（ ） A ．2,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．32,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ． 31,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭10．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如右图所示,则这个棱柱的体积为 ( )A ．3B ．6C ．27√3D ．36311．已知直线()():20l y k x k =+>与抛物线28C y x =：相交于A 、B 两点,F 为焦点且。
江西省上饶中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学(理)试题 (Word版含答案)
上饶中学2019-2020学年度高二下学期期末考试数学试卷（理科）时间：120分钟 分值：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项正确）1．已知全集U ={1,2,3,4,5,6}，集合A ={2,3,5}，集合B ={1,3,4,6}，则A ∩（∁U B ）=（ ）A ．{3}B ．{2,5}C ．{1,4,6}D ．{2,3,5} 2．复数31i z i+=-（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．1-B ．4C ．2D ．2i 3．抛物线y 2=−4x 的准线方程是（ ）A ．1x =-B ．1x =C ．2x =-D ．2x =4．命题“若220x y +=，则0x y ==”的逆否命题是（ ）A ．若0x y ==，则220x y +=B ．若220x y +≠，则x ，y 不都为0 C ．若x ，y 都不为0，则220x y +≠ D ．若x ，y 不都为0，则220x y +≠ 5．椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ ） A ．14 B ．12 C ．2 D ．46．若直线l 的参数方程为2334x t y t=-+⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线l 的倾斜角的余弦值为（ ） A ．45- B ．35 C ．−35 D ．457．若不等式14x x m -++≤的解集非空，则实数m 的取值范围是（ ）考试时间：2020年7月2-3日 座位号A ．[]5,3--B ．[]5,3-C ．[]3,5-D ．[]3,5 8．设l 是直线，α，β是两个不同的平面，下列叙述正确的是（ ）A ．若//l α，l β//，则//αβB ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥C ．若αβ⊥，l α⊥，则l β⊥D ．若//l α，l β⊥，则αβ⊥9．在极坐标系中，已知圆C 的方程为2cos 4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则圆心C 的极坐标可以为（ ） A ．2,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．32,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ． 31,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭10．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如右图所示，则这个棱柱的体积为 ( )A ．3B ．6C ．27√3D ．311．已知直线()():20l y k x k =+>与抛物线28C y x =：相交于A 、B 两点，F 为焦点且2AF BF =，则k 为（ ）A ．33B ．23C 3D ．2312．已知12F F ，是双曲线()222210x y C a b a b-=：＞0,＞的左右焦点，过1F 的直线与圆222x y a +=相切，切点T ，且交双曲线右支于点P ，若2F 1T ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =TP ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则双曲线C 的离心率为 （ ）A ．2B ．√13 C.√132 D ．√3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上） 13．∫(3x 2−x )dx =1−1 。
2018-2019学年江西省上饶市民校考试联盟高二下学期阶段测试(四)数学(文)试题答案
2018-2019学年度下学期五校民盟联考二高二数学（文）答案二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.14.充分不必要 1 16.{x|x≤－2或x≥3}．三、解答题（第17题10分，18、19、20题每题12分，第21、22题为选考题(一)，12分，第23、24题为选考题(二)，12分，共70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17.解：（1）∵，∴，求导数得，∴切线的斜率为，∴所求切线方程为y=2(x-1)，即2x-y-2=0．--------------------5分 （2）设与直线y=5x+3平行的切线的切点为，则切线的斜率为．又∵所求切线与直线y=5x+3平行，∴，解得，代入曲线方程得切点为或，∴所求切线方程为，即．--------------------10分18.解：设，.（1）联立得：.由韦达定理得：，.--------------------3分∴.--------------------6分（2）由直线过抛物线焦点且与抛物线有两个不同交点，故可设方程为：，联立得：，由韦达定理：，，--------------------8分 ∴.--------------------12分19.解：（Ⅰ）由题意得：，，∴， ，∴，又，∴，∴的方程为.--------------------5分 （Ⅱ）设的坐标为，的中点为，当的斜率存在时,则，的方程为.由题意知：，∴， 设，，∴，∴，∴，--------------------7分∴，∴，∴.--------------------9分当时，，∴， 当时，，∴.当的斜率不存在时，，∴.∴的纵坐标的取值集合为：.--------------------12分20.解：（Ⅰ）的导数为，可得切线的斜率为1，切点为，切线方程为，即；--------------------4分 （Ⅱ）若在上恒成立， 可得213ln 2k x x x <-+在上恒成立，令，则，，可得在上单调递增，则， 可得在上单调递增，则，则113,26k k ≤≤即．--------------------12分21．解：（1）由，得，∴--------------------5分（2）设的极角为，则，则，代入得，，代入得，∴．--------------------12分22．（1）当时，， 所以或或，解得或，因此不等式的解集的或-------------------6分（2），易知，由题意，知，0,a+22019a a ><且，解得11009a >，所以实数的取值范围是1(,)1009+∞-------------------12分 23.解:（1）曲线1C 的普通方程为：()22510x y -+=，即2210150x y x +-+=， 曲线2C 的直角坐标的方程为4cos ρθ=，可知2224cos ,40x y x ρρθ=∴+-=，两式相减可得52x =，可知直线的极坐标的方程为5cos 2ρθ=.-------------------5分（2）直线l 的直角坐标方程为：4x y +=，可知(0,4)M ，直线l的参数方程为3cos π4,34sin π44x t y t ⎧==⎪⎪⎨⎪=+=+⎪⎩代入2210150x y x +-+=可知2310t ++=，可知12t t +=-12MB MA t t +=+=分24解：（1），可得或或，解得，故的解集为-------------------5分（2）由，能成立，得能成立，即能成立，令，则能成立，由知，， 又，，实数m 的取值范围：-------------------12分。
江西省上饶市2018-2019学年高二上学期期末统考数学(理)试题(解析版)
上饶市2018-2019学年度第一学期期末教学质量测试高二数学（理科）试题卷第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意，不等式等价于，即可求解不等式的解集.【详解】由题意，不等式等价于，解得，即不等式的解集为，故选B.【点睛】本题主要考查了不等式的求解，其中熟记不等式的解法是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.2.若且，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】；；c=0时；因为所以，选D.3.古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2018石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为（）A. 222石B. 224石C. 230石D. 232石【答案】B【解析】【分析】由题意，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，即夹谷占有的概率，进而可计算这批米内夹谷的数量，得到答案.【详解】由题意，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，即夹谷占有的概率为，所以2018石米中夹谷约为石，故选B.【点睛】本题主要考查了概率的实际应用，其中解答中认真审题，得到抽样中这批米内夹谷所占的概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.4.甲、乙两人在相同的条件下投篮5轮，每轮甲、乙各投篮10次，投篮命中次数的情况如图所示（实线为甲的折线图，虚线为乙的折线图），则以下说法错误的是（）A. 甲投篮命中次数的众数比乙的小B. 甲投篮命中次数的平均数比乙的小C. 甲投篮命中次数的中位数比乙的大D. 甲投篮命中的成绩比乙的稳定【答案】B【解析】【分析】由折线图得到甲乙投篮5次命中次数的数据，再根据众数、中位数、平均数和方差，逐项判定，即可得到答案. 【详解】由折线图可知，甲投篮5轮，命中的次数分别为，乙投篮5轮，命中的次数分别为，则甲投篮命中次数的众数为，乙投篮命中的众数为7，所以A正确；甲投篮命中次数的平均数为，乙投篮命中的众数为，所以B不正确；甲投篮命中次数的中位数为，乙投篮命中的众数为，所以C正确；甲投篮命中次数的数据集中在平均数的左右，方差较小，乙投篮命中的次数数据比较分散，方差较大，所以甲的成绩更稳定一些，所以D正确，故选B.【点睛】本题主要考查了频率分布折线图的应用问题，其中解答中根据频率分布折线图得到甲乙投篮5轮命中次数的数据，再根据众数、中位数、平均数和方差进行判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5.的展开式中的系数为A. 10B. 20C. 40D. 80【答案】C【解析】分析：写出，然后可得结果详解：由题可得令,则所以故选C.点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题。
江西省上饶市2019～2020学年度高2021届高2018级高二上学期期末文科数学试题及参考答案
上饶市2019—2020学年度上学期期末教学质量测试高二数学（文科）参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，满分60分．二、填空题13、8 14、60 15、9 16、]()[∞+-∞-,31, 三、解答题17．（1）由题意，知1－a<0且－3和1是方程（1－a ）x 2－4x ＋6＝0的两根，∴10421631a a a⎧⎪-<⎪⎪=-⎨-⎪⎪=-⎪-⎩， 解得a ＝3．........5分（2）由（1）得不等式2x 2＋（2－a ）x －a>0即为2x 2－x －3>0， 解得x<－1或x>32．∴所求不等式的解集为3|12x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或．.......10分 18解：p ：对称轴122ax a =≤⇔≤.......3分 q ：由6a 2﹣a ＞1即21161032a a a a --⇒-＞＜或＞.......6分 由命题“p ∧q ”为假，且“￢p ”为假⇒p 真q 假即211113232a a a ≤⎧⎪⇒-≤≤⎨-≤≤⎪⎩.......12分 19. （1）令3只一等品灯泡分别为,,a b c ；2只二等品灯泡分别为,X Y .从中取出2只灯泡，所有的取法有20种，分别为：()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a X a Y b a b c b X b Y c a ，…，(),c X ，(),c Y ，(),X a ，(),X b ，(),X c ，(),X Y ，(),Y a ，,Y b ，(),Y c ，(),Y X第一次取到二等品，且第二次取到的是一等品取法有6种， 分别为()()()()()(),,,,,,,,,,,X a X b X c Y a Y b Y c ，故概率是632010=；……………………6分 （2）事件“至少有一次取到二等品”的对立事件是“取到的全是一等品”， “取到的全是一等品”包括了6种分别为()()()()()(),,,,,,,,,,,a b a c b a b c c a c b ， 故“至少有一次取到二等品”取法有14种,事件“至少有一次取到二等品”的概率是1472010=.……………………12分 20. （1）若03222>+++a ax x 在R x ∈上恒成立，则0)32(442<+-=∆a a ，所以有31<<-a ，所以实数a 的范围为（-1,3）；……………………6分 （2）方程01222=-+++b a ax x 的二根为2和3，根据韦达定理有⎪⎩⎪⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=-+=-122561252b a b a a ，所以25-=a ，12=b 。