2020年安徽省安庆市高考数学二模试卷(理科)(有答案解析)
第1页，共18页 2020年安徽省安庆市高考数学二模试卷（理科） 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. 2. 已知i为虚数单位，复数z满足，则下列判断正确的是 A. z的虚部为i B. C. D. 3. 设p：，q：，则p是q成立的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 函数的大致图象是
A. B.
C. D. 5. 等比数列的前n项和为若，，则 A. B. C. 32 D. 40
6. 改革开放40多年来，城乡居民生活从解决温饱的物质需求为主逐渐转变到更多元化的精神追求，消费结构明显优化．如图给出了年部分年份我国农村居民人均生活消费支出与恩格尔系数恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重统计图．对所列年份进行分析，则下列结论错误的是 第2页，共18页
A. 农村居民人均生活消费支出呈增长趋势
B. 农村居民人均食品支出总额呈增长趋势
C. 2011年至2015年农村居民人均生活消费支出增长最快
D. 2015年至2017年农村居民人均生活消费支出总额增长比率大于人均食品支出总额增长比率
7. 已知矩形ABCD，，E，F分别为AB，CD的中点，将四边形AEFD沿EF折起，使，则过A，B，C，D，E，F六点的球的表面积为
A. B. C. D. 8. 已知函数的最小正周期为，若将其图象沿x轴向右平移个单位，所得图象关于对称，则实数m的最小值为
A. B. C. D. 9. 今年年是闰年．如图所示是判断包括2000，但不包括年中哪些年份是闰年的程序框图，那么由框图可知，在年中年份是闰年的个数是
A. 241 B. 242 C. 243 D. 244
10. 已知抛物线C：的焦点为F，准线与x轴交于点K，过点K作圆
的切线，切点分别为A，若，则p的值为 A. 1 B. C. 2 D. 3 第3页，共18页
11. 棱长为1的正方体中，P，Q分别为，BC的中点，现有下列结论：；平面；
平面；四面体的体积等于其中正确的是 A. B. C. D.
12. 函数恰有两个零点，，且则所在区间为 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知向量，，与的夹角为，则______． 14. 等差数列中，，是其前n项和，则使取最大值的n的值为______． 15. 鞋匠刀形是一种特殊的图形，古希腊数学家阿基米德发现该图形有许多优美的性质．如图，若点C为线段AB的三等分点且，分别以线段AB，AC，BC为直径且在AB同侧作半圆，则这三个半圆周所围成的图形称为鞋匠刀形即图中阴影部分现等可能地从以AB为直径的半圆内任取一点，则该点落在鞋匠刀形内的概率为______．
16. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，一条渐近线方程记为，直线l：与双曲线C在第一象限内交于点P，若，则双曲线C的离心率为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． Ⅰ求角B的大小； Ⅱ若的周长等于15，面积等于，求a，b，c的值． 第4页，共18页
18. 如图，在四面体ABCD中，E是线段AD的中点，，，． Ⅰ证明：； Ⅱ求平面BEC与平面DEC所成锐二面角的余弦值．
19. 某小区为了加强对“新型冠状病毒”的防控，确保居民在小区封闭期间生活不受影响，小区超市采取有力措施保障居民正常生活的物资供应．为做好日常生活必需的甲类物资的供应，超市对社区居民户每天对甲类物资的购买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图如图． 从小区超市某天购买甲类物资的居民户中任意选取5户． 若将频率视为概率，求至少有两户购买量在单位：的概率是多少？ 若抽取的5户中购买量在单位：的户数为2户，从5户中选出3户进行生活情况调查，记3户中需求量在单位：的户数为，求的分布列和期望； 将某户某天购买甲类物资的量与平均购买量比较，当超出平均购买量不少于时，则将该居民户称为“迫切需求户”，若从小区某天购买甲类物资的居民户中随机抽取10户，且抽到k户为“迫切需求户”的可能性最大，试求k的值． 第5页，共18页
20. 已知椭圆的离心率为，F是E的右焦点，过点F的直线交E于点和点当直线AB与x轴垂直时，． Ⅰ求椭圆E的方程； Ⅱ设直线l：交x轴于点G，过点B作x轴的平行线交直线l于点求证：直线AC过线段FG的中点．
21. 已知函数． Ⅰ讨论的单调性； Ⅱ当时，对任意的，，且，都有，求实数m的取值范围．
22. 在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为为参数． Ⅰ求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
Ⅱ若直线l与曲线C交于A，B两点，，且，求的值． 第6页，共18页
23. 已知，，且． Ⅰ若对于任意的正数a，b，不等式恒成立，求实数x的取值范围；
Ⅱ证明：． 第7页，共18页 -------- 答案与解析 --------
1.答案：A
解析：解：集合， ， ． 故选：A． 求出集合A，B，由此能求出． 考查集合的表示方法和集合交集的运算，同时也考查一元一次不等式、一元二次不等式解集的计算方法． 2.答案：C
解析：解：， 其虚部为1，A错； ，B错；
，C正确； ，D错误． 故选：C． 先整理已知的复数，再根据复数的概念、运算及其性质即可判断结论． 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的概念、运算及其性质，共轭复数的概念，是基础题． 3.答案：A
解析：解：p：，：，则． 所以p是q成立的充分不必要条件． 故选：A． 利用对数函数、指数函数的性质分别化简p，q，即可判断出关系． 本题考查对数函数、指数函数的性质，简单的逻辑用语．考查考生的计算能力，属于基础题． 4.答案：A
解析：解：函数的定义域为，且为偶函数，排除选项C，D； 当时，，排除B， 故选：A． 利用函数的定义域及周期性可排除CD，利用时，可排除B，由此得出正确选项． 本题考查函数的概念、奇偶性，考查考生对函数图象的分析及计算能力，属于基础题． 5.答案：B 第8页，共18页
解析：解：设公比为q，，，，， 又，，解得，，，． 故选：B． 由题设条件求出等比数列的首项与公比，然后求出结果，选出正确选项． 本题考查等比数列的概念、通项公式与前n项和公式等基础知识，属于基础题． 6.答案：D
解析：解：从图中可以看出，农村居民人均生活消费支出呈增长趋势，故A正确； 根据“农村居民人均食品支出总额农村居民人均生活消费支出恩格尔系数”，计算可得农村居民人均食品支出总额呈增长趋势，故B正确； 年 份 1983 1987 1991 1995 1999 2003 2007 2011 2015 2017 农村居民人均生活消费支出 212 283 492 736 895 942 2016 3408 7486 9050
恩格尔系数 67 61 61 56 52 50 52 49 42 43 农村居民人均食品支出总额 471
农村居民人均生活消费支出比较上一统计数据的增长量 71 209 244 159 47 1074 1392 4078 1564
2011年至2015年农村居民人均生活消费支出增长4078元，为最快；故C正确；
2015年到2017年农村居民人均生活消费支出增长比率为，人均食品支出总
额增长比率为， 故D错误． 故选：D． 根据图表数据进行判断，求增长速度，增长率，进行判断． 本题考查统计图的应用，考查学生“读图识图”的能力和从统计图中提取数据的能力，属于中档题． 7.答案：D
解析：解：折起的如图所示，其中，分别为正方形AEFD和BCFE的中心， O为过A，B，C，D，E，F六点的球的球心，G为EF中点，
则，分别垂直于这两个平面，且， 所以，
而，
所以， 所以球的表面积为． 故选：D． 根据已知条件画出示意图，求出球的半径即可求解结论． 第9页，共18页
本题主要考查了直棱柱和球的相关概念，考查了考生逻辑推理能力、运算求解能力以及分析问题和解决问题的能力． 8.答案：B
解析：解：，由其最小正周期为，，所以， 将其图象沿x轴向右平移个单位，所得图象对应函数为，
因为其图象关于对称，则有，
，解得， 由，实数m的最小值为． 故选：B． 先利用降幂公式将函数式化简为的形式，然后利用图象变换的规律求出变换后的解析式，最后利用函数的最值的性质求出m的值． 本题考查考生对正弦型三角函数的图象与性质对称性、周期性、单调性的掌握情况．考查考生对三角函数三种表征零点、对称轴、单调性的理解与转换．考查考生对三角函数的数形结合思想、基于三角函数的逻辑推理能力及运算求解能力． 9.答案：C
解析：解：根据框图可知，判断是闰年的条件是年份能被4整除但不能被100整除，或者能被400整除． 由，得，所以在年中，年份能被4整除个数是250． 同理可得，在年中，年份能被100、400整除个数分别是10和3，所以闰年的个数为， 故选：C． 根据流程图的，判断其意义，进行判断． 本题考查考生对程序框图基本逻辑结构的理解和掌握，考查算法的含义和算法思想，属于基础题． 10.答案：C
解析：解：连接FA，因为F就是圆的圆心， 所以，且． 又，所以，那么， 所以是等边三角形，所以．
又，所以． 故选：C． 连接FA，通过F是圆的圆心，结合图形，，通过求解是等边三角形，推出结果． 考查抛物线的标准方程、焦点、准线以及圆有关的概念，考查数形结合的思维方法和考生对数量关
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2024年安庆市高三模拟考试（二模）数学试题（答案在最后）命题：安庆市高考命题研究课题组考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1.设集合{}213A x x =-≤，集合101x B x x ⎧⎫+=>⎨⎬-⎩⎭，则A B = （）A.(1,2]B.[1,2]C.(1,1)- D.(1,2)-【答案】A 【解析】【分析】计算出集合A 、B 后借助交集定义即可得.【详解】由213x -≤，可得12x -≤≤，故{}12A x x =-≤≤，由101x x +>-，可得()()110x x +->，即1x >或1x <-，故{1B x x =>或}1x <-，则{}12A B x x ⋂=<≤.故选：A.2.已知复数2z =，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（）A.14B.1C.2D.4【答案】B 【解析】【分析】首先分析题意，对给定复数化简，再利用共轭复数知识求解即可.【详解】221=+i 422z -+-，而1i 22z =--，可得1113(+i)(1222244z z ⋅=---=+=.故选：B.3.设F 是椭圆22:1259x y C +=的一个焦点，过椭圆C 中心的直线交椭圆于P ，Q 两点，则PQF △的周长的最小值为（）A.12B.14C.16D.18【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆的定义求出10PF QF +=，再由min 26PQ b ==，即可求解.【详解】由椭圆的对称性可知P ，Q 两点关于原点对称，设椭圆的另一个焦点为1F ，则四边形1PFQF 为平行四边形，由椭圆定义可知：11420PF PF QF QF a +++==，又1PF QF =，1PF QF =，所以10PF QF +=，又PQ 过原点，所以min 26PQ b ==，所以PQF △的周长的最小值为：10616+=.故选：C4.在一次学科核心素养能力测试活动中，随机抽取了100名同学的成绩（评分满分为100分），将所有数据按[40,50]，(50,60]，(60,70]，(70,80]，(80,90]，(90,100]进行分组，整理得到频率分布直方图如图所示，则估计这次调查数据的第64百分位数为（）A.80B.78C.76D.74【答案】B 【解析】【分析】借助百分位数的定义计算即可得.【详解】由0.005100.015100.020100.4⨯+⨯+⨯=，0.005100.015100.020100.030100.7⨯+⨯+⨯+⨯=，故这次调查数据的第64百分位数位于(70,80]之间，设这次调查数据的第64百分位数为x ，则有700.640.4100.70.4x --=-，解得78x =.故选：B .5.设{}n a 是公比不为1的无穷正项等比数列，则“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0n ，对任意的正整数0n n >，1n a <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由等比数列基本量的计算以及正项等比数列的单调性、充要条件的定义即可得解.【详解】{}n a 是公比不为1的无穷正项等比数列，所以()*0,N n a n >∈，一方面：“{}n a 为递减数列”，等价于101n na q a +<=<，要使得()111,0nn a a q a =<>，只需11nq a <，即1lg lg n q a <-，从而1lg lg a n q>-，所以取10lg max 1,1lg n q a ⎧⎫⎡⎤=-+⎨⎬⎢⎣⎦⎩⎭，其中[]x 是指不超过x 的最大整数，则当0n n >时，有1n a <，另一方面：我们假设1q >，且“存在正整数0n ，对任意的正整数0n n >，1n a <”，则当n 越来越大时，同理可得()111,0nn a a q a =>>，但这与“存在正整数0n ，对任意的正整数0n n >，1n a <”矛盾，综上所述，“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0n ，对任意的正整数0n n >，1n a <”的充要条件.故选：C.6.已知点(1,0)P，(C ，O 是坐标原点，点B 满足1BC = ，则OP 与PB夹角的最大值为（）A.56π B.23π C.2π D.3π【答案】A 【解析】【分析】根据题意，求得点B的轨迹是以C 为圆心，半径1r =的圆，结合直线与圆相切，求得切线的倾斜角，即可求解.【详解】设点(,)B x y，可得()BC x y =--，因为1BC =，可得22(1x y +-=，即点B的轨迹是以C 为圆心，半径1r =的圆，如图所示，设过点P 与圆C 相切的直线PB 的方程为(1)y k x =-，即kx y k 0--=，1=，解得3k =-，设切线的倾斜角为(0π)αα≤<，则tan 3α=-，可得5π6α=，即OP 与PB 夹角的最大值为5π6.故选：A.7.已知函数2()2cos sin 21(0)f x x x ωωω=+->的图象关于点π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，且()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上没有最小值，则ω的值为（）A.12B.32C.52D.72【答案】B 【解析】【分析】先化简解析式，根据对称性可得12,2k k ω=-∈Z ，再结合最小值点即可求解.【详解】2π()2cos sin 21cos 2sin 224f x x x x x x ωωωωω⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，因为()f x 的图象关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以πππ0424f ω⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故πππ,24k k ω+=∈Z ，即12,2k k ω=-∈Z ，当ππ22π42x k ω+=-+，即3ππ,8k x k ωω=-+∈Z 时，函数()f x 取得最小值，因为()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上没有最小值，所以5ππ83ω≥，即158ω≤，由115228k ω=-≤解得1918k ≤，故1k =，得32ω=.故选：B8.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，122AB AD AA ==，点E 是棱AB 上任意一点（端点除外），则（）A.不存在点E ，使得1EC D E⊥B.空间中与三条直线11A D ，EC ，1BB 都相交的直线有且只有1条C.过点E 与平面1D AE 和平面DAEC 所成角都等于π8的直线有且只有1条D.过点E 与三条棱AB ，AD ，1AA 所成的角都相等的直线有且只有4条【答案】D 【解析】【分析】当E 为AB 的中点时判断A ；作图判断B ；利用角平分面的特征判断C ；建立空间直角坐标系，分析判断D.【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，122AB AD AA ==，对于A ，当E 为AB 的中点时，连接DE ，则45AED BEC ∠=∠= ，即有EC DE ⊥，而1DD ⊥平面ABCD ，EC ⊂平面ABCD ，则1EC DD ⊥，又11,,DE DD D DE DD ⋂=⊂平面1DD E ，因此EC ⊥平面1DD E ，而1D E ⊂平面1DD E ，则1EC D E ⊥，A 错误；对于B ，连接11,BD B D ，设BD EC K ⋂=，111////BB CC DD ，则平面11BDD B 与直线EC 交于K ，点K 在线段BD 上，不含端点，则直线1D K 与直线1BB 相交，同理直线1A E 与直线1BB 相交,因此直线1D K 、1A E 分别与三条直线11A D ，EC ，1BB 都相交，B 错误；对于C ，AB ⊥平面11ADD A ，而1AD ⊂平面11ADD A ，则1AB AD ⊥，又AB AD ⊥，于是1DAD ∠是二面角1D AE D --的平面角，且1π4DAD ∠=，显然1DAD ∠的平分线与平面1D AE 和平面DAEC 所成角都等于π8，过点E 与此直线平行的直线符合要求，这样的直线只有1条；半平面1D AE 与半平面DAEC 的反向延长面所成二面角的角平分面与平面1D AE 和平面DAEC 所成角都等于3π8，在此角平分面内过点E 与平面1D AE 和平面DAEC 所成角都等于π8的直线有2条，因此过点E 与平面1D AE 和平面DAEC 所成角都等于π8的直线有3条，C 错误；对于D ，建立如图所示的空间直角坐标系，直线1,,AB AD AA 的方向向量分别为(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)，设过点E 的直线l 方向向量为(,,)a x y z =，由直线l 分别与直线1,,AB AD AA 所成角都相等，==||||||x y z ==，不妨令||1x =，有(1,1,1)a =r 或(1,1,1)a =- 或(1,1,1)a =- 或(1,1,1)a =- ，显然使得||||||1x y z ===成立的向量a有8个，其余4个分别与上述4个向量共线，所以过点E 与三条棱AB ，AD ，1AA 所成的角都相等的直线有且只有4条，D 正确.故选：D【点睛】关键点睛：建立空间直角坐标系，利用线线夹角的求法是求解选项D 的关键.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知定义在R 上的函数()f x ，满足对任意的实数x ，y ，均有()()()1f x y f x f y +=+-，且当0x >时，()1f x <，则（）A.(0)1f = B.(1)(1)1f f +-=C.函数()f x 为减函数 D.函数()y f x =的图象关于点()0,1对称【答案】ACD 【解析】【分析】对A ：借助赋值法令0x y ==计算即可得；对B ：借助赋值法令1x =，1y =-计算即可得；对C ：结合函数单调性的定义及赋值法令0y >计算即可得；对D ：结合函数对称性及赋值法令y x =-计算即可得.【详解】对A ：令0x y ==，则有()()()0001f f f =+-，故(0)1f =，故A 正确；对B ：令1x =，1y =-，则有()()()0111f f f =+--，故()()112f f +-=，故B 错误；对C ：令0y >，则有()()()1f x y f x f y +-=-，其中x y x +>，()10f y -<，令1x x y =+，2x x =，即有对1x ∀、2x ∈R ，当12x x >时，12())0(f x f x -<恒成立，即函数()f x 为减函数，故C 正确；对D ：令y x =-，则有()()()1f x x f x f x -=+--，又(0)1f =，故()()2f x f x +-=，故函数()y f x =的图象关于点()0,1对称，故D 正确.故选：ACD.10.抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为(0,1)F ，经过点F 且倾斜角为α的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，分别过点A 、点B 作抛物线C 的切线，两切线相交于点E ，则（）A.当16AB =时，π3α=B.AOB 面积的最大值为2C.点E 在一条定直线上D.设直线EF 倾斜角为β，αβ-为定值【答案】CD 【解析】【分析】由焦点为(0,1)F 可得抛物线方程，联立直线与曲线方程，可得关于x 的一元二次方程，即可得与x 有关韦达定理，对A ：利用韦达定理与弦长公式计算即可得；对B ：利用韦达定理与弦长公式及面积公式计算即可得；对C ：借助导数的几何意义可得AE l 与BE l 的方程，即可得点E 坐标，即可得解；对D ：由tan tan 1αβ⋅=-，故可得2παβ-=.【详解】由抛物线的焦点为(0,1)F ，故2p =，即2:4C x y =，由题意可知，直线l 斜率存在，设():1tan AB l y kx k α=+=，()11,A x y ，()22,B x y ，联立241x y y kx ⎧=⎨=+⎩，有2440x kx --=，216160k ∆=+>，124x x k +=，124x x =-，对A：()241AB k ===+，当16AB =时，即有()24116k +=，故k =，即tan α=，即π3α=或2π3α=，故A 错误；对B：()2114122AOB S d AB k =⨯=+= ，故2AOB S ≥ ，故B 错误；对C ：由()11,A x y ，2:4C x y =，即24x y =，有2x y '=，故()111:2AE x l y x x y =-+，又2114x y =，故211:24AE x x l y x =-，同理可得222:24BE x x l y x =-，设点(),E m n ，则有2112222424x x n m x xn m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，有22121212242x x x x m x x -+=⨯=-，21121122244x x x x x x n +=⨯-=，由124x x k +=，124x x =-，故2m k =，1n =-，故点E 在一条定直线上且该直线为1y =-，故C 正确；对D ：由()2,1E k -，(0,1)F ，则111tan 2k kβ+==--，故有1tan tan 1k k αβ⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪⎝⎭，即π2αβ-=，故αβ-为定值且该定值为π2，故D 正确.故选：CD.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.11.满足12a =，21a =，()*21n n n a a a n ++=+∈N 的数列{}na 称为卢卡斯数列，则（）A.存在非零实数t ，使得{}()*1n n a ta n ++∈N 为等差数列B.存在非零实数t ，使得{}()*1n n a ta n ++∈N 为等比数列C.()*243n n n a a a n ++=+∈ND.()20242023113ii i a a =-=-∑【答案】BCD 【解析】【分析】对A 、B ：借助等差数列与等比数列定义计算即可得；对C ：借助21n n n a a a ++=+代入即可得；对D ：由()*21n n n a a a n ++=+∈N ，得到()()()2121111n n nn n n a a a ++++-=--+-，从而将()202411ii i a =-∑展开后借助该式裂项相消即可得.【详解】对A ：若数列{}()*1n n a ta n ++∈N为等差数列，则有211n n n n ad ta a ta +++-+=-，即()211n n n a t a ta d ++=-++，由()*21n n n a a a n ++=+∈N，故有()111n n n n a a t a ta d +++=-++恒成立，即有1110t t d -=⎧⎪=⎨⎪=⎩，无解，故不存在这样的实数t ，故A 错误；对B ：若数列{}()*1n n a ta n ++∈N为等比数列，则有211n n n na q ta a ta ++++=+，即()21n n n a q t a qta ++=-+，由()*21n n n a a a n ++=+∈N，故有()11n n n n a a q t a qta +++=-+恒成立，即有11q t qt -=⎧⎨=⎩，即210t t +-=，解得12t -±=，此时21110a ta +=-=≠，故存在非零实数t ，使得{}()*1n n a ta n ++∈N 为等比数列，故B 正确；对C ：由()*21n n n a a a n ++=+∈N，则32214223n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++++++++=++=+++=，即有()*243n n n a a a n ++=+∈N，故C 正确；对D ：由()*21n n n a a a n ++=+∈N ，故()()()()()222121111111n n n n nn n n n n a a a a a +++++++-=-+-=--+-，故()()()()()20242320241232024111111ii i a a a a a =-=-+-+-+-=∑ ()()()()()()()()()()2232432023202221324320232022121111111111a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⨯+-⨯+--+-+--+-+--+-++--+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()202312023202321113a a a ⎡⎤=-++---=-⎣⎦，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：D 选项中关键点在于由()*21n n n a a a n ++=+∈N，得到()()()2121111n n nn n n a a a ++++-=--+-，从而将()202411ii i a =-∑展开后可借助该式裂项相消.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.在二项式10的展开式中，常数项为__________．【答案】210【解析】【分析】借助二项式展开式的通项公式计算即可得.【详解】对10，有10151536211010C C kkk k k k T x x x ---+⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令5506k -=，则6k =，则有655671010C C 210T x -===.故答案为：210.13.已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为M ，底面直径2AB =．圆锥的内切球和外接球的球心重合于一点O ，则该圆锥的全面积为__________．【答案】3π【解析】【分析】画出圆锥的截面PAB ，由圆锥的内切球和外接球的球心重合于一点O ，可得PAB 为等边三角形，借助圆锥的表面积公式计算即可得.【详解】画出圆锥的轴截面如图所示，由O 为圆锥的内切球球心，则有BO 为PBA ∠的角平分线，由O 为圆锥的外接球球心，则OB OP =，故PBO OPB ∠=∠，故APB PBA ∠=∠，又PA PB =，故PAB 为等边三角形，故PM =，2PB =，则22πππ1π123πS r rl =+=⨯+⨯⨯=全.故答案为：3π.14.剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的中国民间艺术．其传承赓续的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣，具有认知、教化、表意、抒情、娱乐、交往等多重社会价值．现有如图所示剪纸图案，其花纹中就隐含方程为222333(0)x y a a +=>的曲线C （称为星形线），则曲线C 的内切圆半径为__________；以曲线C 上点(,)(0)m n mn ≠为切点的直线被坐标轴截得的线段长等于__________．【答案】①.2a②.a【解析】【分析】由曲线C 的方程可得，该曲线关于x 轴、原点对称，故只需研究第一象限即可，求出第一象限上的点到曲线C 的最短距离即可得其内切圆半径；当0x >，0y >时，曲线可为函数322233y a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，结合导数的几何意义可得曲线上的点()00,x y 的切线方程，即可得该直线被坐标轴截得的线段长.【详解】设点(),P x y 在曲线222333(0)x y a a +=>上，则(),x y -、(),x y -、(),x y --亦在曲线222333(0)x y a a +=>上，故曲线222333(0)x y a a +=>关于x 轴、y 轴、原点对称，故只需研究第一象限内部分，当0x >，0y >时，由(),P x y 曲线222333(0)x y a a +=>上，故有222333x y a +=，即有2211331x y a a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，则可设13cos x a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，13sin y a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即3cos x a α=，3sin y a α=，则OP ======，由π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则(]2sin 20,1α∈，则min2a OP ==，即曲线C 的内切圆半径为2a ；当0x >，0y >时，222333(0)x y a a +=>可化为322233y a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11221122223333333223y a x x x a x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-='-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则曲线上的点()00,x y 的切线方程为：()3122122223333300y a x xa x x x -⎛⎫⎛⎫--=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令0x =，则有()13122222233333000y xa x x a x -⎛⎫⎛⎫=---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11222222222122333333333300a x x a x a a x a y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令0y =，则有1222133333000x x a x x a x ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，则AB a ====.即曲线C 上点(,)(0)m n mn ≠为切点的直线被坐标轴截得的线段长等于a .故答案为：2a；a .【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助曲线的对称性，得出只需研究第一象限部分，若点(),P x y 曲线222333(0)x y a a +=>上，可设13cos x a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，13sin y a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而计算出点P 到曲线的最短距离即可得曲线C 的内切圆半径，当0x >，0y >时，曲线可为函数322233y a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，结合导数的几何意义可得曲线上的点()00,x y 的切线方程，即可计算得该直线被坐标轴截得的线段长.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在平面凸四边形ABCD 中，2sin tan tan cos BADABD ADB ABD∠∠+∠=∠.（1）求ADB ∠；（2）若4AD BD ==，6ACB BDC π∠=∠=，求CD .【答案】（1）3π（2）4【解析】【分析】（1）借助三角恒等变换将所给式子化简计算即可得；（2）结合题意，借助正弦定理与余弦定理计算即可得.【小问1详解】由已知得：sin sin 2sin cos cos cos ABD ADB BADABD ADB ABD∠∠∠+=∠∠∠，故sin cos cos sin 2sin cos cos cos ABD ADB ABD ADB BADABD ADB ABD∠∠+∠∠∠=∠∠∠，所以sin()2sin cos cos cos ABD ADB BADABD ADB ABD∠+∠∠=∠∠∠．因为()()sin sin πsin 0ABD ADB BAD BAD ∠+∠=-∠=∠≠，故1cos 2ADB ∠=，由三角形内角范围知π3ADB ∠=；【小问2详解】由4AD BD ==，π3ADB ∠=，故ABD △为边长为4的等边三角形，在ABC 中，π6ACB ∠=，由正弦定理得sin sin BC AB BAC ACB=∠∠，故sin 8sin sin AB BACBC BAC ACB∠==∠∠，由于πBAC BCA ABD CBD ∠+∠+∠+∠=，所以π2BAC CBD ∠+∠=，故8cos BC CBD =∠，在BCD △中，由余弦定理得2222cos CD BD BC BD BC CBD =+-⨯⨯∠，即22248cos 16CD BC BC CBD =+-⨯⨯∠=，得4CD =.16.已知函数()2ln ()mf x x x m x=-+∈R ．（1）当3m =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）若不等式()0f x ≤对任意的[1,)x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）递增区间为(0,3)，递减区间为(3,)+∞（2）(,1]-∞【解析】【分析】（1）求出导函数后借助导函数的正负即可得原函数的单调性；（2）可借助(1)0f ≤，得到1m £，在1m £的情况下，借助1()2ln 2ln m f x x x x x x x=-+≤-+，从而构造函数1()2ln g x x x x=-+，结合该函数的单调性及最值即可得解；亦可通过参变分离，得到22ln m x x x ≤-对任意的[1,)x ∈+∞恒成立，通过研究2()2ln h x x x x =-得解.【小问1详解】当3m =-时，3()2ln f x x x x=--，其定义域为(0,)+∞，()()2222312323()1x x x x f x x x x x--+-++='=-+=，令()0f x '=，得3x =（=1x -舍去），当03x <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当3x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减．所以函数()f x 的单调递增区间为(0,3)，单调递减区间为(3,)+∞；【小问2详解】方法1：由条件可知(1)0f ≤，于是10m -≤，解得1m £．当1m £时，1()2ln 2ln m f x x x x x x x=-+≤-+，构造函数1()2ln g x x x x=-+，1x ≥，()222121()10x g x x x x-=---'=≤，所以函数()g x 在[1,)+∞上单调递减，于是()(1)0g x g ≤=，因此实数m 的取值范围是(,1]-∞．方法2：由条件可知22ln m x x x ≤-对任意的[1,)x ∈+∞恒成立，令2()2ln h x x x x =-，1x ≥，只需min [()]m h x ≤即可．()()()22ln 12ln 1h x x x x x =-+=--'，令()ln 1x x x μ=--，则()10x x xμ-'=≥，所以函数()h x '在[1,)+∞上单调递增，于是()()10h x h ''≥=，所以函数()h x 在[1,)+∞上单调递增，所以()()min 11h x h ⎡⎤==⎣⎦，于是1m £，因此实数m 的取值范围是(,1]-∞．17.如图，将边长为2的菱形ABDC 沿其对角线BC 对折，使得点A 、D 分别位于边长为2的等边PBC 所在平面的两侧，且PA PD =．设E 是PA 的中点．（1）证明：平面PBC ⊥平面ABC ；（2）求平面EBD 与平面ABC 夹角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）217【解析】【分析】（1）取BC 的中点O ，根据题意，分别证得OP BC ⊥和OP OA ⊥，利用线面垂直的判定定理，证得OP ⊥平面ABC ，进而证得平面PBC⊥平面ABC ．（2）以O 为原点，建立空间直角坐标系，根据题意，分别求得平面ABC 和EBD 得到法向量(0,0,1)m =和()3,2n =，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：取BC 的中点O ，连接OA 、OP ，如图所示．因为四边形ABDC 是边长为2的菱形，PBC 是边长为2的等边三角形，所以ABC 也是边长为2的等边三角形，在等边PBC 中，O 是BC 的中点，可得OP BC ⊥且3OA OP ==又因为6PA =222PA OA OP =+，所以OP OA ⊥，因为⋂=OA BC O ，且,OA BC ⊂平面ABC ，所以OP ⊥平面ABC ；又因为OP ⊂平面PBC ，故平面PBC ⊥平面ABC ．【小问2详解】解：由（1）知，OP BC ⊥，OP OA ⊥．因为O 是等边ABC 的BC 边中点，可得OA BC ⊥．所以，以O 为原点，分别以,,OA OB OP 所在直线为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则3,0,0),,(0,1,0)(0,1,0)3),A B C -，可得33,0,22E ⎛⎫⎪⎪⎝⎭，因为DBC △是边长为2的等边三角形，故OD OP PD ===，所以60POD ∠=︒，且OD BC ⊥，又因为OP BC ⊥，OD OP O ⋂=，故BC ⊥平面DOP ，则D 在平面xOz 内，可得3,0,22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以,1,22BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，3,1,22BD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面ABC 的法向量为(,,)m a b c = ，显然可令(0,0,1)m =；设平面EBD 的法向量为(,,)n x y z =，则0223022n BE x y z n BE x y z ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=--+=⎪⎩，令2z =，则0x =，y =()2n =，所以cos ,7m mm n m n ⋅===，设平面EBD 与平面ABC 的夹角为θ，则sin 7θ==，故平面EBD 与平面ABC 的夹角的正弦值为217．18.树人高中拟组织学生到某航天基地开展天宫模拟飞行器体验活动，该项活动对学生身体体能指标和航天知识素养有明确要求．学校所有3000名学生参加了遴选活动，遴选活动分以下两个环节，当两个环节均测试合格可以参加体验活动．第一环节：对学生身体体能指标进行测试，当测试值12.2ξ≥时体能指标合格；第二环节：对身体体能指标符合要求的学生进行航天知识素养测试，测试方案为对A ，B 两类试题依次作答，均测试合格才能符合遴选要求．每类试题均在题库中随机产生，有两次测试机会，在任一类试题测试中，若第一次测试合格，不再进行第二次测试．若第一次测试不合格，则进行第二次测试，若第二次测试合格，则该类试题测试合格，若第二次测试不合格，则该类试题测试不合格，测试结束．经过统计，该校学生身体体能指标ξ服从正态分布(9,2.56)N ．参考数值：()0.6827P X μσμσ-<<+=，(22)0.9545P X μσμσ-<<+=，(33)0.9973P X μσμσ-<<+=．（1）请估计树人高中遴选学生符合身体体能指标的人数（结果取整数）；（2）学生小华通过身体体能指标遴选，进入航天知识素养测试，作答A 类试题，每次测试合格的概率为13，作答B 类试题，每次测试合格的概率为14，且每次测试相互独立．①在解答A 类试题第一次测试合格的条件下，求测试共进行3次的概率．②若解答A 、B 两类试题测试合格的类数为X ，求X 的分布列和数学期望．【答案】（1）68（2）①34；②分布列见解析，115()144E X =.【解析】【分析】（1）首先分析题意，利用正态分布的性质求解即可.（2）进行分类讨论，求解出分布列，再求出期望即可.【小问1详解】10.9545(12.2)(2)0.022752P P ξξμσ-≥=≥+==．所以符合该项指标的学生人数为：30000.0227568.2568⨯=≈人．【小问2详解】①记1A 表示解答A 类试题第一次测试合格，1B ，2B 分别表示解答B 类试题第一次和第二次测试合格，测试共进行3次记为事件M ，则()113P A =，()()()1121213113313443444P A M P AB B P AB B =+=⨯⨯+⨯⨯=．()()()()()112112111134().143P A B B P A B B P A M P M A P A P A +====∣②设X 的取值为0，1，2，224(0)339P x ==⨯=，13321335(1)344334416P x ==⨯⨯+⨯⨯⨯=，35(2)1(0)(1)144P x P x P x ==-=-==，所以X 的分布列为X12P4951635144数学期望4535115()012916144144E X =⨯+⨯+⨯=．19.取整函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其定义如下：设x ∈R ，不超过x 的最大整数称为x 的整数部分，记作[]x ，函数[]y x =称为取整函数．另外也称[]x 是x 的整数部分，称{}[]x x x =-为x 的小数部分．（1）直接写出[]ln π和34⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的值；（2）设a ，*b ∈N ，证明：a a a b b b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，且01a b b b ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭，并求在b 的倍数中不大于a 的正整数的个数；（3）对于任意一个大于1的整数a ，a 能唯一写为1212k aaak a p p p =⨯⨯⨯ ，其中i p 为质数，i a 为整数，且对任意的i j <，i j p p <，i ，{1,2,3,,}j k ∈⋯，称该式为a 的标准分解式，例如100的标准分解式为2210025=⨯．证明：在!n 的标准分解式中，质因数i p （i p n ≤，1n >，*n ∈N ）的指数231i r r i i i i n n n n a p p p p ∞=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++=⎢⎥⎢⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑ ．【答案】（1）1，0.25（2）证明见解析，a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个（3）证明见解析【解析】【分析】（1）结合定义计算即可得；（2）由题意可得a a ab b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，等式两边同时乘b ，即可得证a a a b b b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，由a ，b 都为整数，结合定义可证得0a b b b ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，即可得证01a b b b ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭，假设b ，2b ，…，nb 都小于等于a ，可得a a nb a b b b b ⎡⎤⎧⎫≤=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，即有a a n b b ⎡⎤⎧⎫≤+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，又01a b ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，即可得a n b ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦，即可得解；（3）利用（2）中结论可得i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为2i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，3i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为3i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，依次进行下去，可得123r i r i i i i n n n n a p p p p ∞=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++=∑⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即得证.【小问1详解】由e π2e <<，故12ln π<<，故[]1ln π=，()3333110.2544444⎧⎫⎡⎤-=---=---==⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦；【小问2详解】因为a a a b b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，等式两边同时乘b ，得a a a b b b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，因为a ，b 都为整数，所以a a b a b b b⎧⎫⎡⎤=-⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦也为整数，又01a b ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，所以0a b b b ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，所以01a b b b ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭，即得证，假设b ，2b ，…，nb 都小于等于a ，*n ∈N ，因为a a a b b b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，所以a a nb a b b b b ⎡⎤⎧⎫≤=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，所以a a n b b⎡⎤⎧⎫≤+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，因为01a b ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，所以a n b ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦，所以b 的倍数中不大于a 的正整数的个数为a b⎡⎤⎢⎥⎣⎦个；【小问3详解】!123n n =⨯⨯⨯⨯ ，将2，3，…，n 每一个数都分解为质因数的乘积．对于质因数i p ，利用（2）中结论，i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，记为1n ，将这些数都提取i p 出来，此时p 的倍数中还有可以提取出i p 的数，注意到2i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为2i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，记为2n ，将这些数提取i p 出来；同理，3i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为3i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，记为3n ，依此这样进行下去，则质因数i p的指数112323ri ri i i in n n na n n np p p p∞=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++=+++=∑⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即得证．。
安徽省2020年高考数学二模试卷(理科)(I)卷
安徽省 2020 年高考数学二模试卷（理科）（I）卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题： (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 已知全集为 R，集合 A={x|x≥0}，B={x|x2﹣6x+8≤0}，则 A∩∁RB=（ ）A . {x|x≤0}B . {x|2≤x≤4}C . {x|0≤x＜2 或 x＞4}D . {x|0＜x≤2 或 x≥4}2. （2 分） (2017 高二下·西安期末) 复数 z= 于（ ）A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限3. （2 分） 定义在 R 上的偶函数 f(x)满足个内角，则与的大小关系是（ ）（m∈R，i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位 且在[-3，-2]上是减函数， 是锐角三角形的两A.B.C.D.与的大小关系不确定4. （2 分） (2017·息县模拟) 下列说法正确的是（ ）第 1 页 共 13 页A . 若 a∈R，则“ ＜1”是“a＞1”的必要不充分条件 B . “p∧q 为真命题”是“p∨q 为真命题”的必要不充分条件C . 若命题 p：“∀ x∈R，sinx+cosx≤ ”，则￢p 是真命题 D . 命题“∃ x0∈R，使得 x02+2x0+3＜0”的否定是“∀ x∈R，x2+2x+3＞0” 5. （2 分） 把长为 12 厘米的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个三角形的面积之和的最小 值为（ ）A. B.C.D. 6. （2 分） (2017·成都模拟) 高三某班 15 名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图 1，执行图 2 所示的 程序框图，若输入的 ai（i=1，2，…，15）分别为这 15 名学生的考试成绩，则输出的结果为（ ）A.6 B.7 C.8第 2 页 共 13 页D.97. （2 分） 在平行四边形 ABCD 中， 则三棱锥 A-BCD 的外接球的表面积为：（ ）A. B. C.,若将其沿 BD 折起，使平面 ABD 平面 BDCD. 8. （2 分） 已知命题 p、q，则“ 为真”是“ 为真”的（ ） A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 9. （2 分） 一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形， 则该几何体的外接球的体积为（ ）A. B. C. D. 10.（2 分）将 3 本相同的小说，2 本相同的诗集全部分给 4 名同学，每名同学至少 1 本，则不同的分法有（ ）第 3 页 共 13 页A . 24 种 B . 28 种 C . 32 种 D . 36 种11. （2 分） (2019 高一上·万载月考) 设，且，则 m 等于（ ）A. B . 10 C . 20 D . 100 12. （2 分） 已知 P1（x1 ， y1），P2（x2 ， y2），P3（x3 ， y3），P4（x4 ， y4）是抛物线 C：y2=8x 上 的点，F 是抛物线 C 上的焦点，若|PF1|+|PF2|+|PF3|+|PF4|=20，则 x1+x2+x3+x4 等于（ ） A.8 B . 10 C . 12 D . 16二、 填空題： (共 4 题；共 5 分)13. （1 分） (2017·九江模拟) 已知直线 y=k（x+ ）与曲线 y= 恰有两个不同交点，记 k 的所有可能取值构成集合 A；P（x，y）是椭圆上一动点，点 P1（x1 ， y1）与点 P 关于直线 y=x+l 对称，记的所有可能取值构成集合 B，若随机地从集合 A，B 中分别抽出一个元素 λ1 ，λ2 ，则 λ1＞λ2 的概率是________．14. （1 分） (2020 高一下·乌拉特前旗月考) 已知的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足，，则的外接圆的半径为________.第 4 页 共 13 页15. （2 分） (2018·浙江模拟) 若实数 ， 满足约束条件 值为________；最大值为________．则目标函数的最小16. （1 分） (2016 高三上·泰兴期中) 在△ABC 中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，则 cosC 的值为________．三、 解答题： (共 7 题；共 65 分)17. （10 分） (2018 高一下·枣庄期末) 在中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 为边 的中点，，（1） 求角 的大小；，.（2） 求的面积.18. （ 10 分 ） (2019 高 二 上 · 安 平 月 考 ) 如 图 ， 在 几 何 体，四边形为矩形，平面平面中，，.（1） 求证：平面⊥平面；（2） 点 在线段 的取值范围．上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求19. （10 分） (2020·江西模拟) 某厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱的定价为元，低于箱按原价销售，不低于箱则有以下两种优惠方案：①以箱为基准，每多 箱送 箱；②通过双方议价，买方能以优惠 成交的概率为 ，以优惠 成交的概率为 .（1） 甲、乙两单位都要在该厂购买箱这种零件，两单位都选择方案②，且各自达成的成交价格相互独立，求甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率；（2） 某单位需要这种零件箱，以购买总价的数学期望为决策依据，试问该单位选择哪种优惠方案更划第 5 页 共 13 页算？20. （5 分） (2018 高二上·辽宁期中) 已知椭圆，(Ⅰ)求出椭圆上的动点 到点的距离的最大值；(Ⅱ)若点 的长。
安徽省安庆市2024年高三下学期二模数学试卷及答案
2024年安庆市高三模拟考试（二模）数学试题命题：安庆市高考命题研究课题组考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1．设集合{}213A x x =-£，集合101x B x x ìü+=>íý-îþ，则A B =I （ ）A ．(1,2]B ．[1]2,C ．(1,1)-D ．(1,2)-2．已知复数z =，z 是z 的共轭复数，则z z ×=（ ）A ．14B ．1C ．2D ．43．设F 是椭圆22:1259x y C +=的一个焦点，过椭圆C 中心的直线交椭圆于P ，Q 两点，则PQF △的周长的最小值为（）A ．12B ．14C ．16D ．184．在一次学科核心素养能力测试活动中，随机抽取了100名同学的成绩（评分满分为100分），将所有数据按[40,50]，(50,60]，(60,70]，(70,80]，(80,90]，(90,100]进行分组，整理得到频率分布直方图如图所示，则估计这次调查数据的第64百分位数为（ ）A ．80B ．78C ．76D ．745．设{}n a 是公比不为1的无穷正项等比数列，则“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0n ，对任意的正整数0n n >，1n a <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知点(1,0)P ，(C ，O 是坐标原点，点B 满足1BC =uuu r ，则OP uuu r 与PB uuu r 夹角最大值为（ ）A ．56pB ．23pC ．2pD ．3p7．已知函数2()2cossin 21(0)f x x x w w w =+->的图象关于点,04p æöç÷èø对称，且()f x 在0,3p æöç÷èø上没有最小值，则w 的值为（）A ．12B ．32C ．52D ．728．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，122AB AD AA ==，点E 是棱AB 上任意一点（端点除外），则（ ）A ．不存在点E ，使得1EC D E^B ．空间中与三条直线11A D ，EC ，1BB 都相交的直线有且只有1条C ．过点E 与平面1D AE 和平面DAEC 所成角都等于8p的直线有且只有1条D ．过点E 与三条棱AB ，AD ，1AA 所成的角都相等的直线有且只有4条二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知定义在R 上的函数()f x ，满足对任意的实数x ，y ，均有()()()1f x y f x f y +=+-，且当0x >时，()1f x <，则（ ）A ．(0)1f =B ．(1)(1)1f f +-=C ．函数()f x 为减函数D ．函数()y f x =的图象关于点(0,1)对称10．抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为(0,1)F ，经过点F 且倾斜角为a 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两。
安徽省安庆市2020届 高三 数学 第二次模拟考试试题(详解)理(扫描版)
安徽省安庆市高三数学第二次模拟考试试题（详解）理（扫描版）2013年安庆市高三模拟考试（二模）D数学试题(理科) 参考答案及评分标准 一、选择题1．解析：31i i i==-+-，故选B 。
考点：复数的基本运算 2．解析：∵}10|{}ln 11|{≠>=+-==x x x x x y x A 且， }1|{}21|{≤=+-==y y x y y B ∴)1,0(=B A I ，故选D 。
考点：集合的含义与运算。
错误!未找到引用源。
3．解析：663624186=⇒=+⇒+=a d a a a ，∴42727)(4717==⨯+=a a a S ，故选B 。
考点：等差数的通项与求和。
4．解析：∵021=⋅PF PF ，∴21PF PF ⊥，∴102||||2||2121===+F F PO PF PF ， 故选D 。
考点：向量的运算与双曲线的性质。
5．解析：由题意得：)322sin(]3)(2sin[)(πϕπϕ++=++=x x x g则Z k k ∈+=+,232πππϕ，可得ϕ的最小正值为12π，故选A 。
6. 解析：∵若A 、B 、C 三点共线， ∴λ=即)(b y a b a x +=+λ11=⇒⎩⎨⎧==⇒xy y x λλ，故选B 。
考点：向量共线的充要条件与轨迹7．解析：由三视图知原几何体为四个面均为直角三形的三棱锥， 如右图所示。
则外接球球心为AD 的中点，故2=r ，∴外接球的体积是π328。
故选C 。
考点：三视图与几何体体积的计算。
8．解析：∵方程),(022R b a b ax x ∈=-++的两根分别错误!未找到引用源。
在区间]2,(--∞和),2[+∞上错误!未找到引用源。
，∴⎩⎨⎧≤++≤+-022022b a b a ，由线性规划知识得：22b a +错误!未找到引用源。
的最小值为4。
故选D 。
考点：二次方程的根的分布和简单的线性规划。
9．解析：将极坐标方程22sin cos =+θρθρ和1=ρ化为直角坐标系下的方程得：22=+y x 和122=+y x ，由数形结合易得：这两条切线的夹角的最大值为3π，故选B10．解析：设c bx ax x x f +++=23)(在区间)2,1(上的三个零点为1x 、2x 、3x ，则))()(()(321x x x x x x x f ---=，∴)2)(2)(2)(1)(1)(1()2()1(321321x x x x x x f f ------=⋅)]2)(1)][(2)(1)][(2)(1[(332211x x x x x x -------=641221221221233222211-=⎪⎭⎫⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--≥x x x x x x ∵1x 、2x 、3x 为三个零点，∴1x 、2x 、3x 互不相等，∴上式“=”不成立。
安徽省安庆市2019-2020学年高考数学二模试卷含解析
安徽省安庆市2019-2020学年高考数学二模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()(N )k f x k x+=∈，ln 1()1x g x x +=-，若对任意的1c >，存在实数,a b 满足0a b c <<<，使得()()()g a f b g c ==，则k 的最大值是( ) A ．3 B ．2C ．4D ．5【答案】A 【解析】 【分析】根据条件将问题转化为ln 11x k x x+>-，对于1x >恒成立，然后构造函数ln 1()1x h x x x +=⋅-，然后求出()h x 的范围，进一步得到k 的最大值. 【详解】()(N )k f x k x+=∈Q ，ln 1()1x g x x +=-，对任意的1c >，存在实数,a b 满足0a b c <<<，使得()()()g a f b g c ==， ∴易得()()()g c f b f c =>，即ln 11c kc c+>-恒成立， ln 11x kx x+∴>-，对于1x >恒成立, 设ln 1()1x h x x x +=⋅-，则22ln ()(1)x x h x x --'=-， 令()2ln q x x x =--，1()10q x x'∴=->在1x >恒成立， (3)32ln30(4)42ln 40q q =--<=-->Q ，，故存在0(3,4)x ∈，使得()00q x =，即002ln x x -=， 当0(1,)x x ∈时，()0q x <，()h x 单调递减； 当0(,)x x ∈+∞时，()0q x >，()h x 单调递增.000min 00ln ()()1x x x h x h x x +∴==-,将002ln x x -=代入得：000min 000(2)()()1x x x h x h x x x -+∴===-，N k +∈Q ，且min 0()k h x x <=，3k ∴≤故选：A 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，零点存在定理和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属于难题. 2．若各项均为正数的等比数列{}n a 满足31232a a a =+，则公比q =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【解析】 【分析】由正项等比数列满足31232a a a =+，即211132a q a a q =+，又10a ≠，即2230q q --=，运算即可得解.【详解】解：因为31232a a a =+，所以211132a q a a q =+，又10a ≠，所以2230q q --=，又0q >，解得3q =. 故选：C. 【点睛】本题考查了等比数列基本量的求法，属基础题.3．已知ABC V 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且60A =︒，3b =，AD 为BC 边上的中线，若72AD =，则ABC V 的面积为（ ）A B ．C ．154D 【答案】B 【解析】 【分析】延长AD 到E ，使AD DE =，连接,BE CE ，则四边形ABEC 为平行四边形，根据余弦定理可求出5AB =，进而可得ABC V 的面积.【详解】解：延长AD 到E ，使AD DE =，连接,BE CE ，则四边形ABEC 为平行四边形， 则3BE AC ==，18060120ABE ∠=-=o o o ，27AE AD ==， 在ABE △中，2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅∠ 则2227323cos120AB AB =+-⨯⨯⨯o ，得5AB =，113153sin 60532224ABC S AB AC =⋅⋅=⨯⨯⨯=o V . 故选：B.【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查三角形面积公式的应用，其中根据中线作出平行四边形是关键，是中档题. 4．已知将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则ω的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．32【答案】B 【解析】 【分析】因为将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，可得()sin sin 33g x x x ππωϕωωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，结合已知，即可求得答案.【详解】Q 将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象∴()sin sin 33g x x x ππωϕωωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又Q ()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，∴由1242432k k ππωϕππππωωϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪-+=+⎪⎩()12,k k ∈Z ，得()123k k πωπ=-，()12,k k ∈Z ，即()123k k ω=-()12,k k ∈Z ， 又Q 06ω<<，∴3ω=.故选：B. 【点睛】本题主要考查了三角函数图象平移和根据图象对称求参数，解题关键是掌握三角函数图象平移的解法和正弦函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.5．已知x ，y 满足条件0020x y y x x y k ≥≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩，（k 为常数），若目标函数3z x y =+的最大值为9，则k =（ ）A ．16-B ．6-C ．274-D ．274【答案】B 【解析】 【分析】由目标函数3z x y =+的最大值为9，我们可以画出满足条件 件0,0(20x y y xk x y k ⎧⎪⎨⎪++⎩厖„„为常数）的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数k 的方程组，消参后即可得到k 的取值． 【详解】画出x ，y 满足的0,0(20x y y xk x y k ⎧⎪⎨⎪++⎩厖„„为常数）可行域如下图：由于目标函数3z x y =+的最大值为9， 可得直线0y =与直线93x y =+的交点(3,0)B ， 使目标函数3z x y =+取得最大值， 将3x =，0y =代入20x y k ++=得：6k =-．故选：B ． 【点睛】如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组)，代入另一条直线方程，消去x ，y 后，即可求出参数的值． 6．函数ln ||()xx x f x e=的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】利用特殊点的坐标代入，排除掉C ，D ；再由1()12f -<判断A 选项正确. 【详解】1.11.1ln |1.1|( 1.1)0f e --=<，排除掉C ，D ；1211ln 122()2f e---==12<=Q2，1()12f ∴-=<.故选：A ． 【点睛】本题考查了由函数解析式判断函数的大致图象问题，代入特殊点，采用排除法求解是解决这类问题的一种常用方法，属于中档题.7．记M 的最大值和最小值分别为max M 和min M ．若平面向量a r 、b r 、c r，满足()22a b a b c a b c ==⋅=⋅+-=r r r r r r r r，则（ ）A．maxa c-=r rB．maxa c+=r rC．min2a c-=r r D．min2a c+=r r 【答案】A 【解析】 【分析】设θ为a r 、b r 的夹角，根据题意求得3πθ=，然后建立平面直角坐标系，设()2,0a OA ==r u u u r，(b OB ==r u u u r ，(),c OC x y ==r u u u r，根据平面向量数量积的坐标运算得出点C 的轨迹方程，将a c -r r 和a c +r r转化为圆上的点到定点距离，利用数形结合思想可得出结果.【详解】由已知可得cos 2a b a b θ⋅=⋅=r r r r ，则1cos =2θ，0θπ≤≤Q ，3πθ∴=，建立平面直角坐标系，设()2,0a OA ==r u u u r，(b OB ==r u u u r ，(),c OC x y ==r u u u r，由()22c a b c ⋅+-=r r r r，可得()(),42322x y x y ⋅-=，即2242322x x y -+-=，化简得点C 的轨迹方程为()2233124x y ⎛-+-= ⎝⎭，则()222a c x y -=-+r r ，则a c -r r 转化为圆()223314x y ⎛-+-= ⎝⎭上的点与点()2,0的距离，22max333712a c ⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭∴-r r，22min 337312a c ⎛⎫-=+= ⎪ ⎪⎝-⎭r r ， ()222a c x y +=++r ra c +r r 转化为圆()223314x y ⎛-+-= ⎝⎭上的点与点()2,0-的距离， 22max3332393a c⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭∴+r r 22m 3339233im a c ⎛⎫-=+= ⎪⎪⎝⎭+ r r 故选：A. 【点睛】本题考查和向量与差向量模最值的求解，将向量坐标化，将问题转化为圆上的点到定点距离的最值问题是解答的关键，考查化归与转化思想与数形结合思想的应用，属于中等题.8．已知向量a r 与a b +r r的夹角为60︒，1a =r ，3b =r ，则a b ⋅=r r ( )A ．3B ．0C ．0或32-D ．32-【答案】B 【解析】 【分析】由数量积的定义表示出向量a r 与a b +r r的夹角为60︒，再由22a a =r r ，22b b =r r 代入表达式中即可求出a b ⋅r r .【详解】由向量a r 与a b +r r的夹角为60︒，得()2cos 60a a b a a b a a b ⋅+=+⋅=+︒r r r r r r r r r，所以()222211222a ab aa ba a ab b +⋅=+=+⋅+r r r r r r r r r r r ， 又1a =r ，3b =r ，22a a =r r ，22b b =r r ，所以1111232a b a b +⋅=⨯⨯+⋅+r r r r ，解得0a b ⋅=r r.故选：B 【点睛】本题主要考查向量数量积的运算和向量的模长平方等于向量的平方，考查学生的计算能力，属于基础题. 9．在棱长均相等的正三棱柱111ABC A B C =中，D 为1BB 的中点，F 在1AC 上，且1DF AC ⊥，则下述结论：①1AC BC ⊥；②1AF FC =；③平面1DAC ⊥平面11ACC A ：④异面直线1AC 与CD 所成角为60︒其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】设出棱长，通过直线与直线的垂直判断直线与直线的平行，推出①的正误；判断F 是1AC 的中点推出②正的误；利用直线与平面垂直推出平面与平面垂直推出③正的误；建立空间直角坐标系求出异面直线1AC 与CD 所成角判断④的正误．【详解】解：不妨设棱长为：2，对于①连结1AB ，则1122AB AC ==1190AC B ∴∠≠︒即1AC 与11B C 不垂直，又11//BC B C ，∴①不正确；对于②，连结AD ，1DC ，在1ADC ∆中，15AD DC ==而1DF AC ⊥，F ∴是1AC 的中点，所以1AF FC =，∴②正确；对于③由②可知，在1ADC ∆中，3DF =，连结CF ，易知2CF =，而在Rt CBD ∆中，5CD =，222DF CF CD ∴+=，即DF CF ⊥，又1DF AC ⊥，DF ⊥∴面11ACC A ，∴平面1DAC ⊥平面11ACC A ，∴③正确； 以1A 为坐标原点，平面111A B C 上过1A 点垂直于11A C 的直线为x 轴，11A C 所在的直线为y 轴，1A A 所在的直线为z 轴，建立如图所示的直角坐标系；()10,0,0A ， ()13,1,0B ，()10,2,0C ， ()0,0,2A ， ()0,2,2C ， ()3,1,1D；()10,2,2AC =-u u u u r，()3,1,1CD =--u u u r ；异面直线1AC 与CD 所成角为θ，11cos 0||||AC CD AC CD θ==u u u u r u u u rg u u u ur u u u r ，故90θ=︒．④不正确． 故选：B ．【点睛】本题考查命题的真假的判断，棱锥的结构特征，直线与平面垂直，直线与直线的位置关系的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．10．已知六棱锥P ABCDEF -各顶点都在同一个球（记为球O ）的球面上，且底面ABCDEF 为正六边形，顶点P 在底面上的射影是正六边形ABCDEF 的中心G ，若6PA =2AB =O 的表面积为（ ） A ．163πB ．94π C ．6πD ．9π【答案】D 【解析】 【分析】由题意，得出六棱锥P ABCDEF -为正六棱锥，求得222PG PA AG =-=，再结合球的性质，求得球的半径32R=，利用表面积公式，即可求解.【详解】由题意，六棱锥P ABCDEF-底面ABCDEF为正六边形，顶点P在底面上的射影是正六边形ABCDEF 的中心G，可得此六棱锥为正六棱锥，又由2AB=，所以2AG=，在直角PAG∆中，因为6PA=，所以222PG PA AG=-=，设外接球的半径为R，在AOG∆中，可得222AO AG OG=+，即222(2)(2)R R=-+，解得32R=，所以外接球的表面积为249S Rππ==.故选:D.【点睛】本题主要考查了正棱锥的几何结构特征，以及外接球的表面积的计算，其中解答中熟记几何体的结构特征，熟练应用球的性质求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于中档试题.11．已知数列{}n a满足：11,a=13,21,n nnn na aaa a++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，则6a=( )A．16 B．25 C．28 D．33【答案】C【解析】【分析】依次递推求出6a得解.【详解】n=1时，2134a =+=， n=2时，32419a =⨯+=， n=3时，49312a =+=， n=4时，5212125a =⨯+=， n=5时，625328a =+=. 故选：C 【点睛】本题主要考查递推公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 12．已知i 是虚数单位，若z211i i=+-，则||z =（ ）A B ．2CD ．10【答案】C 【解析】 【分析】根据复数模的性质计算即可. 【详解】 因为z211i i=+-， 所以(1)(21)z i i =-+，|||1||21|z i i =-⋅+==，故选：C 【点睛】本题主要考查了复数模的定义及复数模的性质，属于容易题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年安徽省安庆市高三数学下册第二次模拟试卷2
第Ⅰ卷（共60分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（必考题和选考题两部分）．考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效．一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．）1. 若集合{}3,P x x x =<∈Ζ且,(){}30,Q x x x x =-≤∈Ν且,则P Q I 等于（ ）A ．{}0,1,2B ．{}1,2,3C ．{}1,2D ．{}0,1,2,3【答案】A考点：集合运算.2. 设i 是虚数单位,如果复数i 2i a +-的实部与虚部相等,那么实数a 的值为（ ） A ．13 B ．13- C ．3 D ．3- 【答案】C【解析】试题分析：∵i 21(2)i 2i 5a a a +-++=-,∴212a a -=+,3a =,故选C. 考点：复数的概念及运算.3. 设角A ,B ,C 是ABC ∆的三个内角,则“C B A <+”是“ABC ∆是钝角三角形”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：若 C B A <+,则.2π>C 若ABC ∆是钝角三角形,则C 不一定为钝角,C B A <+不一定成立,故选A.考点：充分条件与必要条件.4. 如图所示的算法框图中,e 是自然对数的底数,则输出的i 的值为（参考数值：ln 20167.609≈）（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【答案】C【解析】试题分析：∵609.72016ln ≈,∴8e 2016>∴ 8i =时,符合2016a ≥,∴ 输出的结果8i =,故选C.考点：程序框图.5. 数列{}n a 满足：11n n a a λ+=-（n *∈Ν,λ∈R 且0λ≠）,若数列{}1n a -是等比数列,则λ的值等于（ ）A ．1B ．1-C ．12D ．2 【答案】D考点：等比数列.6. 已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >,0ω>,π2ϕ<）的部分图象如图所示,则()f x 的递增区间为（ ）A ．π5π2π,2π1212k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,k ∈ΖB ．π5ππ,π1212k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,k ∈Ζ C ．π5π2π,2π66k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,k ∈Ζ D ．5,66k k ππππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,k ∈Ζ【答案】B考点：三角函数的图象与性质.7. 给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导函数,()f x ''是函数()f x '的导函数,若方程()0f x ''=有实数解0x ,则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”．已知函数()34sin cos f x x x x =+-的拐点是()()00,M x f x ,则点M （ ）A ．在直线3y x =-上B ．在直线3y x =上C ．在直线4y x =-上D ．在直线4y x =上【答案】B【解析】试题分析： ()34cos sin f x x x '=++,()4sin cos 0f x x x ''=-+=,004sin cos 0x x -=,所以003)(x x f =,故00(())M x f x ，在直线x y 3=上.故选B.考点：直线方程；导数应用.8. 已知向量AB u u u r 、AC u u u r 、AD u u u r 满足AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r ,2AB =u u u r ,1AD =u u u r ,E 、F 分别是线段BC 、CD 的中点．若54DE BF ⋅=-u u u r u u u r ,则向量AB u u u r 与向量AD u u u r 的夹角为（ ） A ．π3 B ．2π3 C ．π6 D ．5π6【答案】A考点：向量的线性运算与向量的数量积.9. 如果点(),x y P 在平面区域22021020x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩上,则()221x y ++的最大值和最小值分别是（ ）A ．3,5B ．9,95C ．9,2D ．3,2【答案】B【解析】试题分析：如图,先作出点()P x y ，所在的平面区域.22)1(++y x 表示动点P 到定点(01)Q -，距离的平方. 当点P 在(10)-，时,22PQ =,而点Q 到直线012=+-y x 的距离的平方为925<；当点P 在(02)，时,离Q 最远,92=PQ .因此22)1(++y x 的最大值为9,最小值为95.故选B. 考点：线性规划10. 设点A 、(),0F c 分别是双曲线22221x y a b-=（0a >,0b >）的右顶点和右焦点,直线2a x c =交双曲线的一条渐近线于点P ．若PAF ∆是等腰三角形,则此双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．3C ．2D ．2【答案】D考点：双曲线的性质.11. 一个几何体的三视图如图所示,其体积为（ ）A ．116 B 1136．32 D ．12【答案】A【解析】试题分析：该几何体是一个直三棱柱截去一个小三棱锥,如图 所示,则其体积为： 611111213121221=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=V .故选A. 考点：三视图；几何体的体积.12. 设函数()(),0111,101x x f x x f x ≤<⎧⎪=⎨--<<⎪+⎩,()()4g x f x mx m =--,其中0m ≠．若函数()g x 在区间()1,1-上有且仅有一个零点,则实数m 的取值范围是（ ）A ．14m ≥或1m =-B ．14m ≥C ．15m ≥或1m =- D ．15m ≥ 【答案】C考点：分段函数；函数与方程.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13—21为必考题,每个试题考生都必须作答．第22－第24题为选考题,考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题．每小题5分．13. 若抛物线26y x =的准线被圆心为()2,1-的圆截得的弦长等于3,则该圆的半径为 ．【答案】 1考点：圆的方程；抛物线的性质.14. 将344x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开后,常数项是 ． 【答案】 160-【解析】 试题分析：展开后的通项是3334C C ()(4)m n m n m n m x x ---⋅⋅-,当n m =时为常数.于是332333344C C ()(4)C C ()(4)m n m n m n m m m m m m m x x x x-----⋅⋅-=⋅⋅-. 若0m =,则3(4)64-=-；若1m =,则1132C C 4(4)96⋅⋅-=-.故常数项是.1609664-=--或：63)2()44(x x x x -=-+展开后的通项是66266C ((2)C k k k k k k --⋅=-. 令620k -=,得3k =. 所以常数项是336C (2)160-=-.考点：二项式定理.15. 在平行四边形ABCD 中,AB BD ⊥,22421AB BD +=．将此平行四边形沿BD 折成直二面角,则三棱锥A BCD -外接球的表面积为 ．【答案】 π2考点：球与几何体的切接.16. 已知数列{}n a 是各项均不为零的等差数列,n S 为其前n 项和,且21n n a S -（n *∈Ν）．若不等式8n n a n λ+≤对任意n *∈Ν恒成立,则实数λ的最大值为 ． 【答案】 9【解析】 试题分析：12121(21)()(21)2n n n n n n a a a S a n a ---+=⇒==-2(21)n n a n a ⇒=- 21n a n ⇒=-,n *∈N .8n n a n λ+≤就是(8)(21)8215n n n n nλλ+-⇒-+≤≤.8215n n-+在1n ≥时单调递增,其最小为9,所以9λ≤,故实数λ的最大值为9. 考点：等差数列；基本不等式的应用.三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．17．如图,D 是直角ABC ∆斜边BC 上一点,3AC DC =． （I ）若30DAC ∠=o,求角B 的大小；（II ）若2BD DC =,且22AD =,求DC 的长．【答案】 （I ）60B ∠=°；（II ）2.（Ⅱ）设DC x =,则2BD x =,3BC x =,3AC x =.于是3sin 3AC B BC ==,6cos 3B =,.6x AB = ……………9分 在ABD ∆中,由余弦定理,得 2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅,即22226(22)6426223x x x x x =+-⨯⨯= ,得2x =. 故.2=DC ……………12分考点：正弦定理、余弦定理.18．（本小题满分12分）在如图所示的多面体ABCDEFG 中,面ABCD 是边长为2的菱形,120BAD ∠=o ,DE////CF BG ,CF ⊥面ABCD ,//AG EF ,且24CF BG ==． （I ）证明：//EG 平面ABCD ；（II ）求直线CF 与平面AEG 所成角的正弦值．【答案】 （I ）见试题解析；（II ）55连接AF 交EG 于M ,连接AC ,BD 交于O ,连接MO ,如图1所示.则//MO CF ,且12MO CF BG ==,故BOMG 为平行四边形,所以//MG BO . 又BO ⊂平面ABCD ,MG ⊄平面ABCD ,所以//MG 平面ABCD ,即//EG 平面ABCD . ……………6分解法二、由（Ⅰ）易知,.2==BG DE 以O 为坐 标原点,分别以直线AC 、BD 为x 、y轴,建立空间直角坐标系xyz O -,如图2所示.则有(100)A ，，、(032)E ，, (032)G ，,(100)C -，，,(104)F -，，,所以(132)AE =--uu u r ，，,(0230)EG =u u u r，，,(004)CF =u u u r，，.设面AEG 的法向量为()n x y z =r ，，,由n AE ⊥r u u u r , n EG ⊥r u u u r ,得320230.x y z y ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩， 令1=z ,则2=x所以(201)n =r，，,于是5cos 45n CF <>==r u u u r，. ………10分 故直线CF 与平面AEG 所成角的正弦值为.55………12分 考点：线面平行；线面角的求法；空间向量的应用.19．（本小题满分12分）近年来,全国很多地区出现了非常严重的雾霾天气,而燃放烟花爆竹会加重雾霾．是否应该全面禁放烟花爆竹已成为人们议论的一个话题．一般来说,老年人（年满60周岁）从情感上不太支持禁放烟花爆竹,而中青年人（18周岁至60周岁以下）则相对理性一些．某市环保部门就是否赞成禁放烟花爆竹对400位老年人和中青年市民进行了随机问卷调查,结果如下表：（I ）有多大的把握认为“是否赞成禁放烟花爆竹”与“年龄结构”有关？请说明理由； （II ）从上述不赞成禁放烟花爆竹的市民中按年龄结构分层抽样出13人,再从这13人中随机的挑选2人,了解它们春节期间在烟花爆竹上消费的情况．假设老年人花费500元左右,中青年人花费1000元左右．用X 表示它们在烟花爆竹上消费的总费用,求X 的分布列和数学期望．【答案】（Ⅰ）有95%把握认为“是否赞成禁放烟花爆竹”与“年龄结构”有关. （II ）X的分布列为X15001000P526713726所以1462EX≈.【解析】试题分析：（Ⅰ）先求出24004.3956 3.84191K==≈>,由临界值表可以判断有95%把握认为“是否赞成禁放烟花爆竹”与“年龄结构”有关. （II）先缺13人中有老年人7人,中青年人6人. 2000X=,1500,1000.由26213C5(2000)C26P X===,1176213C C7(1500)C13P X===,27213C7(1000)C26P X===,进一步确定分布列,再由期望定义求出期望.试题解析：（Ⅰ）因为22400(6012014080)4004.3956 3.84114026020020091K⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯,所以有95%把握认为“是否赞成禁放烟花爆竹”与“年龄结构”有关.……… 5分考点：独立性检验；随机变量的分布列与期望.20．（本小题满分12分）已知定圆:A(22316x y++=,动圆M过点)3,0B,且和圆A相切．（I）求动圆圆心M的轨迹E的方程；（II ）设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹E 交于不同的两点P 、Q ,点()4,0N ．若P 、Q 、N 三点不共线,且ONP ONQ ∠=∠．证明：动直线PQ 经过定点．【答案】 (Ⅰ) 1422=+y x ；（II ）见试题解析. 【解析】试题分析：(Ⅰ)由两圆相切的结论可得||||4MA MB +=,由此可得动点M 的轨迹E 是以A 、B 为焦点,长轴长为4的椭圆,其方程为1422=+y x . （II ） 设直线l 的方程为(0)y kx b k =+≠,联立2244y kx b x y =+⎧⎨+=⎩，，消去y 得,222(14)8440k x kbx b +++-=, 2216(41)k b ∆=-+. 设11()P x kx b +，,11()Q x kx b +，,由ONP ONQ ∠=∠可得0=+QN PN k k ,利用根与系数的关系可得b k =-,故动直线l 的方程为y kx k =-,过定点(10)，.即 21212224482(4)()82(4)81414b kbkx x k b x x b k k b b k k----+-=---++3222288328801414k k k b kb b k k--=+-=++,得b k =-,216(31)0k ∆=+>. 故动直线l 的方程为y kx k =-,过定点(10)，. …………12分 考点：直线、圆与椭圆.21．（本小题满分12分）设函数()()21f x x =-,()()2ln g x a x =,其中a ∈R ,且0a ≠． （I ）若直线e x =（e 为自然对数的底数）与曲线()y f x =和()y g x =分别交于A 、B 两点,且曲线()y f x =在点A 处的切线与曲线()y g x =在点B 处的切线互相平行,求a 的值；（II ）设()()ln h x f x m x =+（m ∈R ,且0m ≠）有两个极值点1x ,2x ,且12x x <,证明：()212ln 24h x ->． 【答案】,（I ）2a e e =-；见试题解析.（Ⅱ）222()2(1)m x x mh x x x x-+'=-+=,0x >.因为()h x 有两个极值点1x ,2x ,所以1x ,2x 是方程2220x x m -+=的两个实数根,考点：导数的几何意义；导数的应用.请考生在第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分．做答时请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22．（本小题满分10分）如图,以ABC ∆的边AB 为直径作圆O ,圆O 与边BC 的交点D 恰为BC 边的中点,过点D 作DE AC ⊥于点E ． （I ）求证：DE 是圆O 的切线； （II ）若30B ∠=o,求AEDC的值．【答案】. （I ）见试题解析；（II 3 【解析】试题分析：（Ⅰ）由OD //AC ,OD DE ⊥可得OD DE ⊥,所以DE 是⊙O 的切线.（Ⅱ）根据BC AD ⊥.D 是BC 的中点,可得 AB AC =,ο30=∠=∠B ACD .再由AC DE ⊥,所得ο30=∠ADE .在直角三角形AED 中,ο30tan =DE AE ；在直角三角形DEC 中,ο30sin =DCDE. 故36AE DE =.考点：圆的性质.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=,直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数,α为直线的倾斜角）． （I ）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （II ）若直线l 与曲线C 有唯一的公共点,求角α的大小． 【答案】（I ）当π2a =时,直线l 的普通方程为1x =-；当2π≠a 时,直线l 的普通方程为(tan )(1)y x a =+；曲线C 的直角坐标方程为222x y x +=；（II ）π6或5π6.【解析】试题分析： （I ）把1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩中的α消去,即得l 的普通方程,由θρcos 2=得θρρcos 22=,利用222x y ρ=+,cos x ρθ=,可得曲线C 的直角坐标方程；（II ）把a t x cos 1+-=,sin y t a =代入222x y x +=整理得24cos 30t t a -+=,再由0∆=求角α的大小.考点：参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化及应用,直线与圆的位置关系. .24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数()3f x x x a =--+,其中a ∈R ． （I ）当2a =时,解不等式()1f x <；（II ）若对于任意实数x ,恒有()2f x a ≤成立,求a 的取值范围． 【答案】（I ）(0)+∞，；（II ）[3)+∞，. 【解析】试题分析：（I ）采用零点分区间法求解；（II ）先求出)(x f 的最大值为3+a ,把问题转化为32a a +≤求解.试题解析：（Ⅰ）2=a 时,1)(<x f 就是.123<+--x x 当2-<x 时,321x x -++<,得51<,不成立；当23x -<≤时,321x x ---<,得0x >,所以30<<x ； 当3x ≥时, 321x x ---<,即51-<,恒成立,所以3x ≥.综上可知,不等式1)(<x f 的解集是(0)+∞，. …………5分考点：.绝对值不等式的解法；不等式恒成立问题。
安徽省安庆市高考数学二模试卷(理科)
安徽省安庆市高考数学二模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合A={y︱y=3x},B={x︱x2＞1},，则A∩CRB = （）A . [-1,1]B . (0,1)C . [0,1]D . (0,1]2. （2分） .已知i是虚数单位，，则|z|=A . 0B . 1C .D . 23. （2分） (2016高二上·宁阳期中) 若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（）A . 4B . 9C . 10D . 124. （2分）若某程序框图如图所示，则输出的P的值是（）A . 21B . 26C . 30D . 555. （2分） (2017高一下·宜春期末) 在等差数列{an}中，已知a1+a5+a9=3，则数列{an}的前9项和S9=（）A . 9B . 15C . 18D . 246. （2分）(2020·鄂尔多斯模拟) 已知抛物线的焦点为F，是抛物线上两个不同的点，若，则线段的中点到y轴的距离为（）A . 5B . 3C .D . 27. （2分）下列函数中既是奇函数又在区间[﹣1，1]上单调递减的是（）A . y=sinxB . y=﹣|x+1|C . y=D . y=（2x+2﹣x）8. （2分）抛掷两颗骰子，第一颗骰子向上的点数为x，第二颗骰子向上的点数为y，则“｜x-y︱>1”的概率为（）A .B .C .D .9. （2分）已知空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则等于（）A .B .C .D .10. （2分）(2018·枣庄模拟) 已知斜率为3的直线与双曲线交于两点，若点是的中点，则双曲线的离心率等于（）A .B .C . 2D .11. （2分）在正方体中，与平面所成的角的大小是A . 90°B . 30°C . 45°D . 60°12. （2分） (2019高二上·惠州期末) 若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共6分)13. （2分） (2020高二下·海丰月考) 在的展开式中，第5项和第6项的二项式系数同时取得最大值，则n=________，常数项为________.14. （1分） (2018高一下·安庆期末) 如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为________.15. （2分） (2016高一上·尼勒克期中) 已知函数f（x）=（）ax ， a为常数，且函数的图象过点（﹣1，2）．则a=________，若g（x）=4﹣x﹣2，且g（x）=f（x），则x=________．16. （1分）(2012·福建) 数列{an}的通项公式an=ncos +1，前n项和为Sn ，则S2012=________三、解答题 (共5题；共40分)17. （10分）(2017·吴江模拟) 已知函数，．（1）求函数f（x）的值域；（2）已知锐角△ABC的两边长a，b分别为函数f（x）的最小值与最大值，且△ABC的外接圆半径为，求△ABC的面积．18. （10分） (2018高二上·遵义月考) 如图1是图2的三视图，在三棱锥B-ACD中，E,F分别是棱AB,AC 的中点.（1）求证：BC//平面DEF；（2）求三棱锥A-DEF的体积.19. （10分） (2017高一下·乾安期末) 现从某学校高一年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm和184cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组，第2组，…，第6组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.（1）求这50名男生身高的中位数，并估计该校高一全体男生的平均身高；（2）求这50名男生当中身高不低于176cm的人数，并且在这50名身高不低于176cm的男生中任意抽取2人，求这2人身高都低于180cm的概率.20. （5分）已知△ABC中， = ， = ．对于平面ABC上任意一点O，动点P满足 = +λ+λ ，λ∈[0，+∞）．试问动点P的轨迹是否过某一个定点？说明理由．21. （5分） (2017高二下·成都期中) 已知f （ x）= x2 ， g （ x）=a ln x（a＞0）．（Ⅰ）求函数 F （ x）=f（x）g（x）的极值（Ⅱ）若函数 G（ x）=f（x）﹣g（x）+（a﹣1）在区间（，e）内有两个零点，求的取值范围；（Ⅲ）函数 h（ x）=g （ x ）﹣x+ ，设x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），若 h（ x 2）﹣h（ x 1）存在最大值，记为 M （a），则当a≤e+1 时，M （a）是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．四、选做题 (共2题；共20分)22. （10分）已知曲线C的参数方程为（α为参数），直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立坐标系．（1）求曲线C和直线l的极坐标方程；（2）求曲线C和直线l的交点的极坐标．23. （10分）已知函数f（x）=|x﹣2|+|x+1|．（1）求不等式f（x）＞7的解集；（2）若实数m，n＞0，且f（x）的最小值为m+n，求m2+n2的最小值，并指出此时m，n的值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共40分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、四、选做题 (共2题；共20分)22-1、22-2、23-1、23-2、。