1.1.1 正弦定理 第2课时

第一章 1.1 1.1.1 第2课时

【基础练习】

1．(2019年辽宁大连双基训练)在△ABC 中，sin A ＝sin C ，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形

【答案】B

【解析】由正弦定理知sin A ＝sin C ?a ＝c ，故△ABC 为等腰三角形． 2．已知△ABC 的面积为4且a ＝4，b ＝43

3，则sin C ＝( )

A ．32

B ．12

C ．

34

D ． 3 【答案】A

【解析】由已知，得4＝12×4×433×sin C ，∴sin C ＝3

2

.

3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝32，b ＝23，cos C ＝1

3，

则△ABC 的面积为( )

A ．33

B ．23

C ．43

D ． 3

【答案】C

【解析】∵cos C ＝1

3

，∴sin C ＝

1－cos 2C ＝223.又∵a ＝32，b ＝23，∴S △ABC ＝1

2

ab sin

C ＝12×32×23×22

3

＝4 3.故选C ．

4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，∠B ＝45°，△ABC 的面积S ＝2，则c ＝______.

【答案】42

【解析】∵a ＝1，∠B ＝45°，根据三角形的面积公式可得S ＝12ac sin B ＝12×1×22c ＝2，

∴c ＝4 2.

5．在△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大的角度数为________．

【答案】75°

【解析】设C 为最大角，则A 为最小角，A ＋C ＝120°，∴c a ＝sin C sin A ＝sin (120°－A )sin A ＝

sin 120°cos A －cos 120°sin A sin A ＝32·cos A sin A ＋12＝32＋12.∴cos A

sin A

＝1.∴tan A ＝1.∴A ＝45°，C ＝75°.

6．已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且a sin C ＝3c cos A ． (1)求角A ；

(2)若b ＝2，△ABC 的面积为3，求a .

【解析】(1)由a sin C ＝3c cos A 及正弦定理得sin A sin C ＝3sin C cos A ． ∵sin C >0，∴上式可化为tan A ＝3，∴A ＝π3.

(2)由S △ABC ＝3得1

2bc sin A ＝3，

将b ＝2，A ＝π

3代入，解得c ＝2.

∴△ABC 为正三角形，∴a ＝2.

7．在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C 且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断三角形的形状． 【解析】∵A ，B ，C 是三角形的内角，∴A ＝π－(B ＋C )． ∴sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ． ∴sin B cos C －cos B sin C ＝0，∴sin(B －C )＝0. 又0＜B ＜π，0＜C ＜π，∴－π＜B －C ＜π，∴B ＝C ． 又sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ， ∴a 2＝b 2＋c 2，∴A 是直角． ∴△ABC 是等腰直角三角形．

8．△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，a cos B ＝1，b sin A ＝2，A －B ＝π4

. (1)求a 的值； (2)求tan A 的值．

【解析】(1)由正弦定理知，b sin A ＝a sin B ＝2， 又a cos B ＝1，

∴(a sin B )2＋(a cos B )2＝3.

∵sin 2B ＋cos 2B ＝1，∴a ＝3(舍去负值)． (2)sin B cos B ＝2，即tan B ＝2， ∵A －B ＝π4，∴A ＝B ＋π

4

.

∴tan A ＝tan ????B ＋π4＝tan B ＋tan

π

41－tan B tan

π4

＝1＋21－2

＝－3－2 2. 【能力提升】

9．在△ABC 中，sin A ＝3

4，a ＝10，则边长c 的取值范围是( )

A ．????152，＋∞

B ．(10，＋∞)

C ．????0，403

D ．(0,10)

【答案】C

【解析】∵在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，∴由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得c ＝a sin C sin A ＝

10sin C 3

4＝40

3

sin C ，∵0＜sin C ≤1，∴c 的取值范围是????0，403.故选C ． 10．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，∠C ＝2π

3，则a ＝________.

【答案】1

【解析】在△ABC 中，由正弦定理，得1sin B ＝3sin

2π3，解得sin B ＝1

2

，因为b ＜c ，故角B

为锐角，所以B ＝π6，则A ＝π

6

，即a ＝b ＝1.

11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2A ＋3

2＝2cos A ．

(1)求角A 的大小；

(2)若a ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围． 【解析】(1)2cos 2A ＋1

2

＝2cos A ，

即4cos 2A －4cos A ＋1＝0， ∴(2cos A －1)2＝0，cos A ＝1

2.

∵0＜A ＜π，∴A ＝π

3.

(2)∵a ＝1，

∴根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，得b ＝23sin B ，c ＝2

3sin C ．

∴l ＝1＋b ＋c ＝1＋

2

3

(sin B ＋sin C )． ∵A ＝π3，∴B ＋C ＝2π3.

∴l ＝1＋23?

???sin B ＋sin ????2π3－B ＝1＋2sin ????B ＋π6.∵0＜B ＜2π3，∴l ∈(2,3]．