高中物理中对称性问题研究

——中学物理奥林匹克竞赛知识讲座

黑龙江省克东一中刘兴江

摘要：本次讲座主要研究在高中物理中存在的对称性问题。通过分析表明，对称性分析可以培养学生的发散性思维，帮助学生抓住问题的要点，能更好地理解物理规律的涵义。对于一些复杂的题目，学生用普通方法难以求解时，往往可在对称性分析中能找到解题的捷径。培养学生在分析问题和解决问题时，首先关注如何选择解题的巧妙方法，以求达到学生思维素质的提高。

关键词：对称；对称性；对称轴；等效；发散性思维；灵感。

引言

我们在中学物理教学中常体会到，学生在掌握物理知识时往往拘泥于基本概念和基本公式，而对一些由基本概念和基本规律引伸开来的题目往往无从下手，许多中上水平的学生不习惯于发散性思维，对一些新背景的题目毫无办法。长此下去，把物理知识学死了，越学越脱离物理学中的实际意义，这样就不利于学生的进一步的发展。

其实在高中物理中经常能遇到大量的对称性问题，或可以用对称的手法通过作图、等效化简等办法简化问题，找出对称的要素达到解决问题的目的。通过对称性问题的研究，能得到一些学习规律和方法，激发学习中的灵感，树立学好物理学的信心，培养学生发散性思维的能力，最终形成科学的全面的认识。

通过对称性问题研究，可以认识到丰富多采的自然界中包含着大量对称的事实，了解事物的内在规律。能感受各种对称问题的出现，其中包含了稳定与和谐。也能激励学生自觉寻找对称问题的另一半。

对称性问题多种多样，有运动路径对称；研究对象的对称分布；坐标系中图象的对称；质心不变中的动量守恒；等效电路和力的平衡；非对称问题用对称性手段处理等。

通过对称性问题研究，可大大提高图象和图线的运用能力，本文绝大多数的题目是运用图象来分析和表述的，这样有利于提高形象思维能力和建立物理模型的能力，提高处理局部与整体的综合能力。

本文将从三个层次来研究对称和对称性相关问题。一、形式的对称；二、图象的对称；三、物理规律的对称。以及一些非对称性问题转化成对称性问题来解决的例子。

第一讲：物体运动中的对称

在中学物理的许多题目中，存在物体运动的对称性。

[例1] 如图1所示，在水平面上，有一质量为m 的物体，在水平拉力作用下，由静止开始移动一段距离后，到达一斜面底端，这时撤去外力物体冲上斜面，上滑的最大距离和在水平面上移动的距离相等。然后物体又沿斜面下滑，恰好停在水平面上的出发点。已知斜面倾角为30°，物体与斜面及水平面的动摩擦因数相同，求物体所受的水平拉力。

这是一个关于运动对称问题，物体m 在运动中经历了四个不同的匀变速运动，①在F 和f 作用下由A →B ，②在mg sin

θ+mg μcos θ作用下由B →C 。由于AB=BC ，B 点是对称位置，在这两段运动中，它们具有加速度对称，路程对称，时间对称，速度（图线）对称等；同理，③物体由C 点滑到B 点与④由B 点滑到A 点也具有对称关系。抓住这些对称关系不难得到图2的速度图线。

根据加速度对称关系有：

)1(cos sin m mg mg m mg F θ

μθμ+=-

)2(cos sin m

mg mg m mg θμθμ-=

解得mg mg F ==θsin 2

类似有[例2] 物体由A 点从静止出发，以大小为a 1的加速度作匀变速直线运动。经过一段时间，加速度突然反向，大小变为a 2，再经过同样的时间，物体又回到A 点，求a 1与a 2之比。

利用时间对称和位移对称得速度图线如图3所示。解得：a 1∶a 2=1∶3

[例3] 如图4所示，m 1、m 2、m 3为质量相等的三个弹性小球，m 1、m 2分别悬挂在l 1=1m ，l 2=0.25m 的细线上，它们刚好跟光滑水平面接触而不相互挤压，m 1、m 2相距10cm ，m 3从m 1和m 2连线中点处以v =5cm/s 的速度向右运动，则m 3将与m 1和m 2反复做弹性碰撞（碰后两球交换速度）而来回运动，若取中心位置O 为坐标原点，以该位置向右运动开始计时并取向右为正，试在坐标上画出m 3的两个周期内的振动图象。

（图1）

（图2）

（图3）

根据完全弹性碰撞，相等质量的碰撞物体的速度进行交换，所以m 3在m 1和m 2间来回匀速运动，m 3在m 1和m 2位置停留时间等于两个单摆的半周期（经验算单摆偏角都不大于5°），根据周期性得图5所示的图线。

[例4] 如图6所示，在O 点悬挂一细绳，绳上串有一个小球B ，并能顺着绳子滑下来。在O 点正下方有一半径为R 的光滑圆弧形轨道，圆心位置恰好在O 点，在弧形轨道上接近O ′处有另一小球A ，令A 、B 两球同时开始无初速释放。假如A 球第一次到达平衡位置时正好能够和B 球碰上，则B 球与绳子之间的摩擦力与B 球重力之比是多少？（计算时22/10,10s m g ==π）

根据A 球对O ′的对称性，它的运动跟单摆类似 A 球滚到O ′的时间为g

l T t A 24π==

B 球的加速度为m

G a -=

m f G t m f G at l

A 4212121222π?

=?-?==∴；得：2.0822=-=ππG f 单摆是具有对称轴的对称运动例子。利用单摆的对称性，可以求得多个物理量。只要对称轴和等效重力加速度g ′确定，它的周期也能确定了。

[例5] 如图7所示，求竖直匀加速运动中电梯的加速度a 。等效重力加速度为a g g +='。把g ′代入周期公式，得 a

g l

T +='π

2 （a ＞-g ）当a ＞0时，电梯向上加速，周期变小，相同的机械能时，摆角

变小。反之，a ＜0时，电梯向下加速，周期变大，相同机械能时，摆角变大。电梯中的人通过对单摆的周期测定，可以确定电梯的加速度。

（图7）

1 32（图4）

（图5）

（图6）

同理这个方法可以运用到水平匀变速行驶的火车中。

[例6] 如图8所示，当火车以a 作匀变速运动时，它对应的重力加速度为22a g g +=

'，所以在此状态中的单摆周期变为：

22a g l T +='π

运用到两个匀强场力的作用下也是一个斜对称轴的问题。 [例7]：如图9所示，O O '为摆球的斜对称轴，是类似的单摆的周期性运动。当带电小球在平衡位置O '时，同理可得，带电小球受重力和电场力作用下的同期公式。

22?

? ??+='m Eq g l T π

。

类似单摆的例子很多，如图10所示，摆长为l 的单摆，在倾为θ的光滑斜面上，θsin g g ='，

所以周期 θ

πs i n 2g l

T =

由上述几个单摆的讨论可总结得：在其它恒力作用的重力场中（包括非惯性力），合力的等效重力加速度g '，从而可对称地求解在重力单独作用下运动的类型，不只是单摆的例子，也可研究在g '下的动量变化、能量变化、抛体运动等问题。

通过这一问题的研究发现，原模型中的对称问题，在g 变成g '时，运动路径仍保持对称性，只是对称轴、平衡位置和等效重力加速度发生变化，所以在扩衍的问题中就看能否求得等效重力加速度g '了。如果能求出g '，这种单摆的运动问题就完全可以解决了。

[例8] 如图11所示，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a 、b 、c 和d ，外筒的半径为r 0。在圆筒之外的足够大区域中有平

（图9）

（图8）

（图10）

行于轴线方向的均匀磁场，磁感强度的大小为B ，在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内存在沿半径向外的电场。一质量为m 、带电量为+q 的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝a 的S 点出发，初速度为零。如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点S ，则两电极之间的电压U 应是多少？（不计粒子的重力，整个装置在真空中）

该题粒子的运动具有周期性，对应的轨迹具有对称性（如图12所示），所以只要粒子能沿半径方向进入b 狭缝，它就能回到S 点。根据对称性，粒子轨迹半径等于外筒半径r 0。

根据能量定恒，有 qU mv =2

由洛仑兹力提供向心力，有0

r mv qBv =

由此得：m

qr U 22

第二讲：静态对称分布

当研究对象具有对称分布时，可以根据研究对象分布的特点，找出对称关系，它的结构在计算和分析中作对应简化。

[例9] 一吊桥由六对钢杆悬吊着，六对钢杆在桥面上分两排，其上端挂在两根钢缆上，图13为一截面图，已知图中相邻杆距离均为9m ，靠桥面中心的钢杆长度为2m ，（即AA ′=DD ′=2m ）BB ′=EE ′，CC ′=PP ′，又已知两端钢缆与水平面成45°角，若钢杆自重不计，为使每根钢杆承受负荷相同，试求每杆钢杆长度各为多少米？

解：设桥钢杆的拉力为G ，总重6G ，先后分析P 点和E 点。（如图14所示）

根据对称性P 点受3G 向上的力作用。PE 杆向下对P 点的拉力为2G ，根据对应边关系，有

a b

（图11）

（图12）

（图13）

C ′ B ′ A ′

D ′

E ′ P ′

G 3G

32G

（图14）

米62=?h ，同理求得米31=?h 。所以，

米米米

米11)65(5)32(=+='='=+='='P P C C E E B B

[例10] 如图15所示的A 、B 、C 、D 、E 、F 为匀强电场中一个正六边形的六个顶点，已知A 、B 、C 三点的电势分别为1V 、6V 、9V ，则D 、E 、F 三点的电势分别为多少？

解：根据正六边形的对称性和匀强电场中任意两条等长的平行线上的电势差相等的原则，

有C F FC AB U U ??-==2，得：V U C AB F 12-=+=??；同理：E F FE BC U U ??-==，

V U F BC E 2=+=??

V V U U D ED AB 7)25(,=+==?

本题利用对称法求解是唯一的途径。

[例11] 把阻值均为R 的三根相同的均匀电阻丝，都弯曲成圆环形，然后两两正交地焊接成如图16（甲）所示的网络，求AB 两节点之间的电阻R AB ？

分析：此网络中每一段为四分之一圆弧，电阻为R r 4

。因网络相对AB 节点具有上下对称性，故可把上、下合并简化为如图16（乙）的平面网络。若A 、B 节点之间有电流I ，又根据对称性得I AO =I BO ；I DO =I CO ；故可以把O 点拆开，由于电流对称，进一步简化成为如图16（丙）的电路。再把丙图转换成电路图，如图16（丁）所示。

（图15）

甲

乙丙

（图16）

v 所以AB 间的等效电阻为R r r r R AB 48

125325.15.25.05.25.0===+?=

可见，对称性在电路简化中起到重要作用。

[例12] 如图17所示是由12根电阻均为R 的导线组成的方

网络，求节点间AB 、AC 、AD 的电阻R AB 、R AC 、R AD 。

用上例方法可解题：

R R AB

127=； R R AC 4

=； R R AD 65=

通过这题还可以得到：在一个具有对称性的网络中，节点间距离相隔越远，其节点间的等效电阻越大。

在研究网络电阻中还有一例：空间有八个点，任意两个点之间都连接一个12欧姆的电阻，问任意两点间的有效电阻有多大？（答：3欧姆）

在匀强电场中，对等量异种电荷的作用力大小相等、方向相反的特点，平衡时有如图18所示的情况，如果在今年高考中学生能掌握对称力作用的平衡问题，综合卷最后一题就容易多了。

研究对象的对称分布还可以应用在光学上。反射光线和入射光线在法线两测对称，在平面镜成像中物跟像的对称等。

在点电荷产生的静电场中，它的场强分布也是对称的。

第三讲：物理规律中对称问题的研究

1、图象图线的对称

在前面的研究中已知运用图象的对称性和物理量的对称，解决了一些其他方法难以

解决的问题，在此再举几个图象例子。

[例13] 两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后匀速行驶，速度均为v 0，若前车突然以恒定的加速度刹车，在它刚停车时，后车以前车的加速度开始刹车，已知前车在刹车过程中所行驶的距离为s ，为保证两车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶时应保持的距离至少为 m 。

两车的减速过程是对称的，不难得到如图19所示的

（图17）

（图18）

q 2

速度图线，容易得到两车间因保持2 s以上的距离。

[例14] 将光滑细管弯成圆角的长方形，如图20所示，固定在竖直平面上，B角比C角低，从A角同时放进两个小球，一个沿AB，一个沿AC滑到D角，问哪个球先到达D角？

解：两小球经过的路程相同，

根据小球在AB段和CD段及AC段

和BD段加速度关系，可作出速度

图象如图21所示，所以经B角的

小球先到达D点。

2、图象的面积相等

[例15] 小球以初速v0上抛，经过时间t后回落到上抛点，已知小球运动过程中受到空气的阻力与其速率成正比，试求回落到上抛点时小球的速度v。

解：小球在整个上抛和下落过程中的速度-时间图象如图22（甲）所示。由于速度图线与t轴间的面积表示小球在对应时间内经过的路程，故由上抛与下落所经路程相同可知，图中区域A与区域B的面积相等。

小球所受的阻力f-t图象如图22（乙）所示。由于f与v成正比，设比例系数为k，即可表示为f=-kv，故图乙中区域Aˊ和区域Bˊ的面积一定分别是图甲中区域A和区域B面积的k倍，由此可知，区域Aˊ和区域Bˊ的面积也相等。在f-t图象中，图线与t轴间的面积表示对应时间内阻力f的冲量值。在小球上抛和下落两过程中阻力的冲量值相等。而两过程中阻力方向相反，故两冲量等值反向。由此可知，在小球整个运动过程中，阻力的冲量为零。故由质点动量定理，可得

()m g t

mv-

()gt

∴

（图22）

（图20）

（图21）

B D

C D

在这个例子中具有图线包围面积的对称性，正是这些物理量的速度图象中位移的面积相等，阻力图象中阻力冲量的面积相等。简化问题的复杂性。对称性对理解和分析问题有很大的帮助。

[例16] 如图23所示，虚线两侧的磁感强度均为B ，但方向相反。电阻为R 的导线弯成顶角为90°、半径为r 的两个扇形组成的回路，O 为圆心，整个回路可绕O 点转动。若由图示的位置开始沿顺时针方向以角速度ω转动，则在一个周期内电路释放的电能为。

由图形的对称性可知：整个回路在绕O 点旋转一个周期时，有一半时间能释放电能。回路在释放电能时，回路中的感应电动势E 相当于半径为r 的棒在垂直于匀强磁场方向，以过一端的O 点为轴、以角速度ω绕轴旋转，产生的感应电动势的4倍，则有

r B R T E W T r B r Br E 4222

42,2,224ωπωπωω==∴==?=释放的电能为

图象对称还有很多，凡是周期性的运动均具有对称性，如简谐振动的图象；稳恒电路U-I 图线中的输出功率的变化；

磁滞回线；理想气体的P-V 图线等。

图象对称关系不容易发现，它本质是物理量的对称问题，这些对称的讨论有利于学生发散性思维的培养。

第四讲：一些对应关系中的对称性

1、电路的等效简化

在遇到复杂电路时，往往先要对电路进行简化，把原来电路中的电源、电路元件进行

（图23）

（图24） B

甲乙

等效转化。这里就有原电路电压源跟等效电压源的对称。

[例17]：如图25所示，电动势分别为ε

1和ε2、

内阻分别为r 1和r 2的两个电池（如

图a ），用一个电动势为ε、内阻为r 的电池（如图b ）代替，流过电阻R 的电流强度不变，并与R 无关。问ε和r 应随ε1、ε2、r 1、r 2怎样变化？

分析：本题实际上就是把电源部分等效为一个电压源。

解：如图c 所示，电源开路，端电压 2

111111r r r r r r r r I U AB ++

+--

='-=εεεεεε

网络电阻1

1)11(

-+=r r R AB 所以，AB AB R r U ==,ε即为所求。如果开始不是两个，而是n 个电动势分别为ε1、ε2、……εn 和内阻为

r 1、r 2、……

r n 的电池，多次地运用等效电压源定理。可得

n n

r r r r r r 1112122

+???+++

???++

εεεε n r r r r 1

11121+???++=

2、动量的对称

[例18]：质量为M 、长为l 的小船静浮于河中，小船的两头分别站着质量为m 1、和m 2（m 1＞m 2）的人A 和B ，他们同时以相同的速率u （相对船）走向原位于船正中、但固定在河里的木桩，如图26所示。若忽略水对船的阻力作用，试问：

ε r

图

图a

图b

（图25）

① 谁先走到木桩处？ ② 他用了多少时间？

解① 由船与A 、B 两人组成的系统在水平方向不受外力，因此系统水平方向动量守恒，即在人行走时，系统的总动量始终为零。由此可判断出，船必向质量大的人A 方向移动。设船的速度为v ，则有 m 1（u –v ）–m 2（u+v ）–Mv=0 u m m M m m v 2

1++-=

A 、

B 两人欲走到木桩处，他们的位移大小均为

，而他们相对木桩的速度分别为v u -和v u +。可见，质量小的人B 先走到木桩处。

② 设B 走到木桩处所需时间为t ，所以 u

m M m m M l v u l

t )2(2)

(2121+++=+=

在这例中虽然人向船中点走是对称的，但由于m 1和m 2质量不同，在行走中对木桩运动是不对称的。根据动量守恒定律，动量()v u m -1跟动量()Mv v u m ++2对称。

3．电流-磁场的对称

[例19] 六根互相绝缘的导线，在同一平面内组成四个相等的正方形，导线中通以大小相同的电流，方向如图27所示，在这四个正方形区域中，指向纸面内，磁通量最大的区域是哪个？

A 、Ⅰ

B 、Ⅱ

C 、Ⅲ

D 、Ⅳ

这六根导线的电流具有对称性，它们产生的磁场可以等效于一根方向与水平成45°的电流，由安培定则可以判断Ⅰ区域的磁场是垂直于纸面进去的，而Ⅱ、Ⅳ区域中磁通量为零，Ⅲ区域是垂直纸面出来的，所以选项A 正确。

物理规律的对称是很多的，在此不一一例举了。

第五讲：非对称性问题可看成若干个对称问题的叠加

在求某处的场强时，电荷如对称分布，就能运用高斯定理，比较方便地求出该点的场强。如果分布不对称，有时可采用几个对称分布场强的叠加。

[例20]：如图28（甲）所示，在一实心大球体内挖去一个较小的球形孔，余下部分

（图27） ⅡⅠ Ⅲ

Ⅳ

均匀带电，体电荷密度为ρ，试证明小球形孔内为匀强场区。

分析：挖去的小球形孔可视为电荷体密度分别为ρ和-ρ的两个小带电球的复合体。于是带电系统为带电ρ的大球与带电-ρ的小球的组合。利用均匀带电球的场强分布，结合场强叠加原理，即可计算小球孔内的场强。

根据高斯定理，在电荷体密度均匀分布的带电球的场强为：

R r r ≤0

3ερ

R r r R >2

3ερ

为证明小球孔内任一点P 的场强均匀，可先计算小球球心O ˊ点的场强，再证明小球孔内任一点P 的场强与O ˊ点的场强相等即可。

如图（甲）所示，根据高斯定理，O ˊ点的场强为 a E O 0

3ερ

' 式中a 是O 到O ˊ的矢量。小球孔-ρ在O ˊ点的场强为0。

在孔内任取另一点P ，则带电ρ的大球和带电-ρ的小球在P 点的场强E P1与E P2之和即为P 点的场强，即 O P P P E a r r r r E E E '=='-='-+=

+=0

000213)(333ερερερερ 式中r 和r ˊ如图（乙）所示。

因任一点P 的场强与小球O ˊ点的场强相同，故小球孔内为匀强场区。

（乙）

（图28）

[例21]：如图29所示，圆柱形容器内装满液体，当有1/3液体倒出时，容器的倾角θ为多大？

解：当有1/3的液体倒出时，在h /3高处作圆面，以上2/3的一半根据对称性分界面为椭圆面a 。

所以h d tg 23=θ 得 h

d arctg 23=θ

[例22] 如图30所示，电流从A 点进入对称的、由上下电阻不同（R 上>R 下）的环形分路，汇集于B 点，则中心O 处的磁感强度方向指向何处？

由于上下半环的电阻不同，所以它们的电路不对称，因为R 上>R 下，所以电流I 下>I 上，根据相同电流中心磁场为零，它等效于I 下–I 上下半环的电流，根据安培定则，中心O 处磁场方向垂直纸面向外。

从以上几个例子得出，在有些非对称性问题中它的局部是对称的或它是由若干个对称问题的组合，都可以用对称性手法来解决，即不对称问题可以创造条件利用对称法求解。这样有助于学生了解整体和局部的关系，提高了分析能力。

对称是自然界广泛存在的一种现象，它显示出物质世界的和谐、优美和均衡。对称本来是指图形或物体对某个点、区域或平面而言，在大小、形状和排列上具有一一对应关系。现在对称的意义已大大延伸，如图象对称、物理规律对称等等。在考虑问题时，一旦确定了某个对称特征，往往可以得到一些简捷的解题方法而免去一些繁琐的数学计算，并使问题的物理实质得以更清楚地展现。

综上所述，对称性现象是多种多样的，利用对称性来解题只是一种方法，能运用不同的方法解题是一种能力，所以多一种方法有利于学生能力的培养，也利于学生学习积极性的提高。

总结：对称性研究是一种学习的方法

学生通过对称性问题的思考，掌握了方法后，在学习中能激发灵感，培养分析问题的能力，提高学习兴趣，为进一步发展打下良好的基础。

（图30）

下

另外，自然界本身充满着许多对称现象，研究对称问题是人类探索自然的一种重要的方法。

如当发现了电子后又发现了正电子，这中自然界中物质的对称。科学家在以后的研究中当发现了某种粒子后，总要想办法寻找它的反粒子，也确实找到了一些微观粒子的反粒子。所以当发现了一个规律、一种现象、一种方法时，总要考虑它们是否还存在“另一半”。如科学家寻找“暗物质”。又如当实现了原子核裂变反应后，就会想到原子核的聚变反应能否来获取原子能。我国两弹试验成功相隔了只有一年多时间，如果没有原子弹的启发，能研制成功氢弹所需的时间可能要长得多。

相互对称的两个方面，往往是一对矛盾的两个方面。如组成物质分子间存在着引力和斥力。如果存在某种对称性，自然会出现特殊点和转折点，如“临界状态”，“平衡位置”等。这样就比较容易掌握个体和整体的关系。所以对称性问题研究是学习知识的重要方法和重要手段。