第八章 第六节 双曲线
第八章 第六节 双曲线(优秀经典课时作业练习及答案详解)
[课时作业·巩固练习] 实战演练 夯基提能[A 组 基础保分练]1．(2020·湖南永州模拟)焦点是(0，±2)，且与双曲线x 23－y 23＝1有相同的渐近线的双曲线的方程是( )A ．x 2－y 23＝1 B ．y 2－x 23＝1 C ．x 2－y 2＝2 D ．y 2－x 2＝2解析：由已知，双曲线焦点在y 轴上，且为等轴双曲线，故选D. 答案：D2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( )A ．2B ． 3 C. 2D.32解析：由渐近线互相垂直可知⎝⎛⎭⎫－b a ·ba ＝－1，即a 2＝b 2，即c 2＝2a 2，即c ＝2a ，所以e ＝ 2.答案：C 3．已知双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点．若|PF 1|＝43|PF 2|，则△F 1PF 2的面积为( )A ．48B ．24C ．12D ．6解析：由双曲线的定义可得 |PF 1|－|PF 2|＝13|PF 2|＝2a ＝2，解得|PF 2|＝6，故|PF 1|＝8，又|F 1F 2|＝10， 由勾股定理可知三角形PF 1F 2为直角三角形， 因此S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝24.答案：B4．(2020·湖南师大附中模拟)已知A 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左顶点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线上一点，G 是△PF 1F 2的重心，若存在实数λ使得GA →＝λPF 1→，则双曲线的离心率为( )A ．3B ．2C ．4D ．与λ的取值有关解析：由题意，可知|PG |＝2|GO |，GA ∥PF 1，∴2|OA |＝|AF 1|，∴2a ＝c －a ，∴c ＝3a ，∴e ＝3.答案：A5．(2020·惠州市高三一调)已知双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，其中一条渐近线的倾斜角为π3，则双曲线C 的离心率为( )A ．2或 3B ．2或233C.233D ．2解析：双曲线C 的一条渐近线方程为y ＝b a x ，则有b a ＝tan π3＝3，因为e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝1＋3＝4，所以双曲线C 的离心率为2，故选D.答案：D6．已知点F 2为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，直线y ＝kx 交C 于A ，B两点，若∠AF 2B ＝2π3，S △AF 2B ＝23，则C 的虚轴长为________．解析：设双曲线C 的左焦点为F 1，连接AF 1，BF 1(图略)，由对称性可知四边形AF 1BF 2是平行四边形，所以S △AF 1B ＝23，∠F 1AF 2＝π3.设|AF 1|＝r 1，|AF 2|＝r 2，则4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos π3.又|r 1－r 2|＝2a ，所以r 1r 2＝4b 2.又S △AF 2B ＝S △AF 1F 2＝12r 1r 2sin π3＝23，所以b 2＝2，则该双曲线的虚轴长为2 2.答案：2 27．中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求椭圆和双曲线的方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值． 解析：(1)由题知c ＝13，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，双曲线方程为x 2m 2－y 2n2＝1(m ＞0，n ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a －m ＝4，7·13a＝3·13m ，解得a ＝7，m ＝3.则b ＝6，n ＝2.故椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1.(2)不妨设F 1，F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6，所以|PF 1|＝10，|PF 2|＝4. 又|F 1F 2|＝213，所以cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝102＋42－(213)22×10×4＝45.[B 组 能力提升练]1．(2020·河北六校联考)已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b ＞0)的右焦点为(3,0)，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )A. 5 B ．3 C ．5D ．4 2解析：由题意知a 2＝4,4＋b 2＝32，故b ＝5，所以渐近线的方程为y ＝±52x ，则焦点到渐近线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪±3521＋54＝5，选A.答案：A2．已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，点M 在双曲线E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝14，则双曲线E 的离心率为( )A.153 B ．32C.132D ．2解析：由题意知F 1(－c,0)，因为MF 1与x 轴垂直，且M 在双曲线上，所以|MF 1|＝b 2a .在Rt △MF 2F 1中，sin ∠MF 2F 1＝14，所以tan ∠MF 2F 1＝|MF 1||F 1F 2|＝115.即b 2a 2c ＝b 22ac ＝115.又b 2＝c 2－a 2，所以15c 2－15a 2－2ac ＝0，两边同时除以a 2，得15e 2－2e －15＝0.又e >1，所以e ＝153. 答案：A3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个顶点分别为A ，B ，点P 为双曲线上除A ，B外任意一点，且点P 与点A ，B 连线的斜率分别为k 1，k 2，若k 1k 2＝3，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±xB ．y ＝±2xC ．y ＝±3xD ．y ＝±2x解析：设点P (x ，y )，由题意知k 1·k 2＝y x －a ·y x ＋a ＝y 2x 2－a 2＝y 2a 2y 2b 2＝b 2a2＝3，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，故选C.答案：C4．(2019·高考全国卷Ⅲ)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点．若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( )A.324B ．322C ．2 2D ．3 2解析：双曲线x 24－y 22＝1的右焦点坐标为(6，0)，一条渐近线的方程为y ＝22x ，不妨设点P 在第一象限，由于|PO |＝|PF |，则点P 的横坐标为62，纵坐标为22×62＝32，即△PFO 的底边长为6，高为32，所以它的面积为12×6×32＝324.故选A. 答案：A5．(2019·高考天津卷)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB |＝4|OF |(O 为原点)，则双曲线的离心率为( )A. 2 B ． 3 C ．2D. 5解析：∵抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l . ∴F (1,0)，准线l 的方程为x ＝－1，∵l 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB |＝4|OF |(O为原点)，∴|AB |＝2b a ，|OF |＝1，∴2ba＝4，∴b ＝2a ， ∴c ＝a 2＋b 2＝5a ，∴双曲线的离心率为e ＝ca ＝ 5.故选D. 答案：D6．已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 作垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(2,1＋2)D ．(1,1＋2)解析：若△ABE 是锐角三角形，只需∠AEF ＜45°，在Rt △AFE 中，|AF |＝b 2a ，|FE |＝a ＋c ，则b 2a ＜a ＋c ，即b 2＜a 2＋ac ，即2a 2－c 2＋ac >0，则e 2－e －2<0，解得－1<e <2，又e >1，则1<e <2，故选B.答案：B7．(2020·广东六校联考)已知点F 为双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，直线y ＝kx (k ＞0)与E 交于不同象限内的M ，N 两点，若MF ⊥NF ，设∠MNF ＝β，且β∈⎣⎡⎦⎤π12，π6，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．[2，2＋6]B ．[2，3＋1]C ．[2，2＋6]D ．[2，3＋1]解析：如图，设左焦点为F ′，连接MF ′、NF ′，令|MF |＝r 1，|MF ′|＝r 2，则|NF |＝|MF ′|＝r 2，由双曲线定义可知r 2－r 1＝2a ①，∵点M 与点N 关于原点对称，且MF ⊥NF ，∴|OM |＝|ON |＝|OF |＝c ，∴r 21＋r 22＝4c 2②，由①②得r 1r 2＝2(c 2－a 2)，又知S △MNF ＝2S △MOF .∴12r 1r 2＝2·12c 2·sin 2β，∴c 2－a 2＝c 2·sin 2β，∴e 2＝11－sin 2β，又∵β∈⎣⎡⎦⎤π12，π6，∴sin 2β∈⎣⎡⎦⎤12，32，∴e 2＝11－sin 2β∈[]2，(3＋1)2.又e ＞1，∴e ∈[2，3＋1]，故选D.答案：D8．已知F 1，F 2分别是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2的直线l 与E 的右支交于P ，Q 两点，若|PF 2|＝3|QF 2|，且|QF 1|＝2|QF 2|，则E 的离心率是________．解析：设直线l 的倾斜角为θ，|QF 2|＝m (m >0)，则|PF 2|＝3m ，|QF 1|＝2m .因为|PF 1|－|PF 2|＝|QF 1|－|QF 2|，即|PF 1|－3m ＝2m －m ，所以|PF 1|＝4m .在△QF 1F 2中，设∠QF 2F 1＝θ，有cos θ＝|F 1F 2|2＋|QF 2|2－|QF 1|22|F 1F 2|·|QF 2|＝4c 2＋m 2－4m 24cm ①.在△PF 1F 2中，有cos(π－θ)＝|F 1F 2|2＋|PF 2|2－|PF 1|22|F 1F 2|·|PF 2|＝4c 2＋9m 2－16m 212cm②.①＋②，得m ＝c .又|QF 1|－|QF 2|＝2a ，所以m ＝2a ，所以c ＝2a ，即e ＝ca ＝2.答案：29．(2020·江西红色七校第一次联考)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________.解析：将双曲线的方程x 2－y 2＝2化为x 22－y 22＝1，则a ＝b ＝2，c ＝2.因为|PF 1|＝2|PF 2|①，所以点P 在双曲线的右支上．由双曲线的定义知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22 ②.由①②，解得|PF 1|＝42，|PF 2|＝22.在△PF 1F 2中，根据余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34.答案：3410．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线的离心率e 的最大值为________．解析：由双曲线定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 又已知|PF 1|＝4|PF 2|，所以|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a .在△PF 1F 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a ＝178－98e 2，要求e 的最大值，即求cos ∠F 1PF 2的最小值， ∵cos ∠F 1PF 2≥－1，∴cos ∠F 1PF 2＝178－98e 2≥－1，解得e ≤53，即e 的最大值为53.答案：53。
高考数学一轮总复习教学课件第八章 平面解析几何第6节 双曲线
A.1
√
B.17
C.1或17
D.8
解析:(2)对于 - =1 ,a2=16,b2=20,
所以c2=a2+b2=36,a=4,c=6,
又|PF1|=9<a+c,所以点P在双曲线的左支,则有|PF2|-|PF1|=2a=8,
所以|PF2|=17,故选B.
)
考点二
双曲线的标准方程
| | +| | -
cos∠F1PF2=
| || |
= ,
整理得|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=100,①
根据点P在双曲线上可得||PF1|-|PF2||=6,
则(|PF1|-|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=36,②
解析:(1)由题意,双曲线 C1 的焦距 2c=4 ,又 C1 过点(3,1),
若 C1 的焦点在 x 轴上,设双曲线 C1 的方程为 -=1(a>0,b>0),
将点(3,1)代入 - =1(a>0,b>0),
得 - =1,①
2
2
2
又 a +b =c =8,②
)
解析:(2)设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),
= - ,
+ = ,
则
解得
+ = ,
= ,
故双曲线的标准方程为 - =1.故选 B.
考点三
双曲线的简单几何性质
角度一
渐近线
高考数学一轮复习第8章平面解析几何第6节双曲线课件
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的
轨迹是双曲线．( )
(2)方程xm2－yn2＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(
)
第八章 平面解析几何
第六节 双曲线
[考试要求] 1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实 际问题中的作用. 2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何 性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线). 3.理解数形结合思想. 4.了解双曲线的简单应用．
01
走进教材·夯实基础
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的
轨迹是双曲线．( )
(2)方程xm2－yn2＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(
)
(3)双曲线mx22－ny22＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是mx22－ny22＝
(2)在“焦点三角形”中，当∠F1PF2＝90°时，S△PF1F2＝b2， 常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方 的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．
()
1234
A [设所求的双曲线方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)，由椭圆x42＋y32 ＝1，得椭圆焦点为(±1,0)，在x轴上的顶点为(±2,0)．所以双曲线的顶 点为(±1,0)，焦点为(±2,0). 所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3，所以 双曲线标准方程为x2－y32＝1.]
高考理科数学总复习第八章 第六节 双曲线
[小题纠偏]
1．双曲线36－x2m2－my22＝1(0<m<3)的焦距为( B )
A．6
B．12
C．36
D．2 36－2m2
解析：c2＝36－m2＋m2＝36，∴c＝6.双曲线的焦距为 12.
2．双曲线x42－1y22 ＝1的焦点到渐近线的距离为( A )
A．2 3
B．2
C. 3
D．1
解析：由题意知双曲线的渐近线方程为 y＝± 3x，焦点为(±4,0)， 故焦点到渐近线的距离 d＝2 3.
思维升华
双曲线定义及标准方程问题求解中的 2 个注意点 (1)应用双曲线的定义需注意的问题： 在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条 件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该 常数必须小于两定点的距离”，若定义中的“绝对值”去掉， 点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用． (2)求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意 a，b，c 的关 系易错易混．
[锁定考向] 双曲线的渐近线与离心率问题是每年各地高考命 题的热点．常见的命题角度有： (1)已知离心率求渐近线方程； (2)已知渐近线求离心率； (3)由离心率或渐近线求双曲线方程； (4)利用渐近线与已知直线位置关系求离心率．
角度一 已知离心率求渐近线方程
1．已知双曲线C：xa22－by22＝1(a>0，b>0)的离心率为 25，则C的 渐近线方程为( )
第八章 平面解析几何 第六节 双曲线
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高考·导航
1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程． 2．知道双曲线的简单几何性质．
主干知识 自主排查
第八章 第六节 双曲线
A 组 考点能力演练1．双曲线x 236－m 2－y 2m 2＝1(0<m <3)的焦距为( )A ．6B ．12C ．36D ．236－2m 2解析：c 2＝36－m 2＋m 2＝36，∴c ＝6.双曲线的焦距为12. 答案：B2．双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为( )A ．2 3B ．2 C. 3D ．1解析：双曲线x 24－y 212＝1的焦点坐标为(4,0)，(－4,0)，渐近线方程为y ＝3x ，y ＝－3x .由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等， d ＝|43＋0|3＋1＝2 3.答案：A3．P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上的点，F 1，F 2是其左、右焦点，双曲线的离心率是54，且PF 1⊥PF 2，若△F 1PF 2的面积是9，则a ＋b 的值等于( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：由||PF 1|－|PF 2||＝2a ，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，12|PF 1|·|PF 2|＝9，得c 2－9＝a 2.又c a ＝54，∴a ＝4，c ＝5，b ＝3.∴a ＋b ＝7.答案：D4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若c 是a ，m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是( )A.33B.22C.14D.12解析：依题意，a 2－b 2＝m 2＋n 2＝c 2，c 2＝am,2n 2＝2m 2＋c 2，得a ＝4m ，c ＝2m ，∴e ＝ca ＝12. 答案：D5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线右支上的任意一点，若|PF 1|2|PF 2|的最小值为8a ，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2]C ．(1，3]D ．(1,3]解析：因为P 为双曲线右支上的任意一点，所以|PF 1|＝2a ＋|PF 2|，所以|PF 1|2|PF 2|＝|PF 2|＋4a 2|PF 2|＋4a ≥2|PF 2|·4a 2|PF 2|＋4a ＝8a ，当且仅当|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4a 时，等号成立，可得2a ＋4a ≥2c ，解得e ≤3，又因为双曲线离心率大于1，故选D.答案：D6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作与x 轴垂直的直线，与双曲线的一个交点为P ，且∠PF 1F 2＝π6，则双曲线的渐近线方程为________．解析：易知P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，又∠PF 1F 2＝π6，∴tan π6＝b 2a 2c ，即33＝c 2－a 22ac ，即3e 2－2e －3＝0，∴e ＝3，∴b 2a 2＝c 2a 2－1＝2.∴ba＝2，则双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .答案：y ＝±2x7．设点P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2在第一象限的交点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF 1|＝3|PF 2|，则双曲线的离心率为________．解析：由双曲线的定义|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝3|PF 2|，∴|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a .又点P 在以F 1F 2为直径的圆上，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即(3a )2＋a 2＝(2c )2，c 2a 2＝52，∴e ＝102.答案：1028．已知双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，其中一条渐近线为y ＝3x ，点A 在双曲线C 上，若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝________.解析：双曲线的一条渐近线方程为y ＝3x ， 则b ＝3a ，c ＝2a .在△AF 2F 1中，由|F 1A |＝2|F 2A |，|F 1A |－|F 2A |＝2a ， 得|F 1A |＝4a ，|F 2A |＝2a ，|F 1F 2|＝4a ， ∴cos ∠AF 2F 1＝14.答案：149．直线l ：y ＝3(x －2)和双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)交于A ，B 两点，且|AB |＝3，又l 关于直线l 1：y ＝bax 对称的直线l 2与x 轴平行．(1)求双曲线C 的离心率； (2)求双曲线C 的方程．解：(1)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1过一、三象限的渐近线l 1：x a －yb ＝0的倾斜角为α.因为l 和l 2关于l 1对称，记它们的交点为P ，l 与x 轴的交点为M . 而l 2与x 轴平行，记l 2与y 轴的交点为Q . 依题意有∠QPO ＝∠POM ＝∠OPM ＝α. 又l ：y ＝3(x －2)的倾斜角为60°，则2α＝60°， 所以tan 30°＝b a ＝33.于是e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝1＋13＝43，所以e ＝233.(2)由于b a ＝33，于是设双曲线方程为x 23k 2－y 2k 2＝1(k ≠0)，即x 2－3y 2＝3k 2.将y ＝3(x －2)代入x 2－3y 2＝3k 2中，得x 2－3×3(x －2)2＝3k 2. 化简得到8x 2－36x ＋36＋3k 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋3|x 1－x 2|＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2362－4×8×(36＋3k 2)8＝9－6k 2＝3，求得k 2＝1.故所求双曲线方程为x 23－y 2＝1.10.如图所示的“8”字形曲线是由两个关于x 轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是x 2＋y 2－4y －4＝0，双曲线的左、右顶点A ，B 是该圆与x 轴的交点，双曲线与半圆相交于与x 轴平行的直径的两端点．(1)试求双曲线的标准方程；(2)记双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，试在“8”字形曲线上求一点P ，使得∠F 1PF 2是直角．解：(1)设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，在已知圆的方程中，令y ＝0，得x 2－4＝0，即x ＝±2，则双曲线左、右顶点为A (－2,0)，B (2,0)，于是a ＝2.令y ＝2，可得x 2－8＝0，解得x ＝±22， 即双曲线过点(±22，2)，则822－4b 2＝1，∴b ＝2.所以所求双曲线方程为x 24－y 24＝1.(2)由(1)得双曲线的两个焦点F 1(－22，0)， F 2(22，0)．当∠F 1PF 2＝90°时，设点P (x ，y )， ①若点P 在双曲线上，得x 2－y 2＝4，由F 1P →·F 2P →＝0，得(x ＋22)(x －22)＋y 2＝0，即x 2－8＋y 2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝4，x 2－8＋y 2＝0， 解得⎩⎨⎧x ＝±6，y ＝±2，所以P 1(6，2)，P 2(6，－2)，P 3(－6，2)，P 4(－6，－2)． ②若点P 在上半圆上，则x 2＋y 2－4y －4＝0(y ≥2)，由F 1P →·F 2P →＝0，得(x ＋22)(x －22)＋y 2＝0，即x 2＋y 2－8＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4y －4＝0，x 2＋y 2－8＝0，无解．同理，点P 在下半圆也没有符合题意的点．综上，满足条件的点有4个，分别为P 1(6，2)，P 2(6，－2)，P 3(－6，2)，P 4(－6，－2)．B 组 高考题型专练1．(2015·高考全国卷Ⅱ)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3D. 2解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，不妨设点M 在双曲线的右支上，如图，AB ＝BM ＝2a ，∠MBA ＝120°，作MH ⊥x 轴于H ，则∠MBH ＝60°，BH ＝a ，MH ＝3a ，所以M (2a ，3a )．将点M 的坐标代入双曲线方程x 2a 2－y 2b2＝1，得a ＝b ，所以e ＝ 2.故选D.答案：D2．(2015·高考重庆卷)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．±12B ．±22C ．±1D ．±2解析：由题意，得A 1(－a,0)，A 2(a,0)，F (c,0)，将x ＝c 代入双曲线方程，解得y ＝±b 2a ，不妨设B ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，C ⎝⎛⎭⎫c ，－b2a ，则kA 1B ＝b 2ac ＋a ，kA 2C ＝－b 2a c －a ，根据题意，有b 2a c ＋a ·－b 2a c －a ＝－1，整理得ba＝1，所以该双曲线的渐近线的斜率为±1，故选C.答案：C3．(2015·高考四川卷)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.433B ．2 3C ．6D ．4 3解析：由双曲线的标准方程x 2－y 23＝1得，右焦点F (2,0)，两条渐近线方程为y ＝±3x ，直线AB ：x ＝2，所以不妨取A (2,23)，B (2，－23)，则|AB |＝43，选D.答案：D4．(2015·高考北京卷)已知(2,0)是双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一个焦点，则b ＝________.解析：因为(2,0)是双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一个焦点，所以1＋b 2＝4，则b ＝ 3.答案： 35．(2015·高考山东卷)平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)交于点O ，A ，B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________．解析：由题意，双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，抛物线的焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫0，p 2.不妨设点A 在第一象限，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，x 2＝2py ，解得⎩⎨⎧x ＝2pba ，y ＝2pb 2a 2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0， 故A ⎝⎛⎭⎫2pb a ，2pb 2a 2.所以k AF ＝2pb 2a 2－p22pb a＝4b 2－a 24ab . 由已知F 为△OAB 的垂心，所以直线AF 与另一条渐近线垂直，故k AF ·⎝⎛⎭⎫－b a ＝－1，即4b 2－a 24ab ×⎝⎛⎭⎫－b a ＝－1，整理得b 2＝54a 2，所以c 2＝a 2＋b 2＝94a 2，故c ＝32a ，即e ＝c a ＝32. 答案： 32。
(新课标)高考数学(理)大一轮复习精讲课件：第八章解析几何第六节双曲线
第六节双曲线这样自检要比死记更有效基础盘查一双曲线的定义及标准方程（一）循纲忆知1. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2. 了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用.(二)小题査验1.判断正误(1)平面内到点鬥(0,4), F2(0, 一4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线(2)平面内到点Fi(0,4), F2(0, 一4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线2-（人敘A版敎材例题改褊）已知双曲线两个焦点分别为风（一5,0）, F2（5,0）.双曲线上一点P到F I，卩2距离差的绝对值等于6,则双曲线的标准方程为3.设Fi ，形是双曲线x 2-^=l 的两个焦点显是双曲线上的一点, 且3IPF!l=4IPF 2l,则△PTS©的面积等于解析：双曲线的实轴长为2,焦距为IF/』=2X5=10.2=IPFj I 一 1略1=|lPF 2l-IP^2l=|lPF 2l,A \PF 2\=69 IPFil=8.AIPFil 2+lPF2l 2 = IFiF 2l 2^ •••Mi 丄“2, ・°・ S^PF \F2=flPF ］卜LPF2I=f X 6 X 8=24.,（二）小题查验1.判断正误2 2⑴方程打一占=1（如＞0）表示焦点在X轴上的双曲线（X ）2 2 2（2）双曲线方程和一讣=沏＞0, n＞0, 2H0）的渐近线方程是和一必=0,即兰±》=0n m n（3）等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于边（V ）2 2 2 2（4）若双曲线器一器=1@＞0，〃＞0）与話—缶=1（°＞0, 〃＞0）的离心率分别是习，%，则需+寿=K此结论中两条双曲线为共轨双曲线）（V ）2.（北师大版教材习题改编）若双的离心率eG则加的取值范围为（°”）■巳课堂c 9考点突破不同考点不同设让更高效 2 23・已知F （c ，O ）是双曲线缶一話=1（°>0, 〃>0）的右焦点，若双曲线C 的渐近线与圆E ：x-c ）2+y 2=^c 2相切，则双曲线C 的离心率为边•解析：依题意得，圆心（c,0）到渐近线的距离等于亨c,即有方号c （注:双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于其虚 半轴长)，c 2=2b 2=2(c 2—a 2)9 c 2=2a 29 夕=\2 即双曲线 C 的离心率为羽.考点一 双曲线的定义及标准方程I （基础送分型考点——自主练透）［必备知识］1.定义在平面内到两定点F” F2的距离的差的绝对值等于常数（小于IFid且大于零）的点的轨迹（或集合）叫做双曲线.定点F i9 F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.［提醒］令平面内一点到两定点F”尸2的距离的差的绝对值为加@为常数），贝！I只有当2a<IF!F2l且加HO时，点的轨迹才是双曲线；若2“ = IFiF2l,则点的轨迹是以Fi，码为端点的两条射线；若2a>IFiF2b则点的轨迹不存在.2.标准方程中心在坐标原点，焦点在兀轴上的双曲线的标准方程为护一# =1（“>0,课堂c 9考点突破不同考点不同设让更高效方>0）；2 2中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为7—話=1（“>0,方>0）・［提醒］在双曲线的标准方程中，决定焦点位置的因素是X2 或X的系数.［题组练透］1. （2014•大纲卷）已知双曲线C的离心率为2,焦点为F” F29点A在C上，若屮淤1=2屮2如，贝J COS ZAF2F I =C- 4 D- 3解析曲双曲线的定义知|lAFil — IAF2l|=2©又⑷Fil=214/5 •••lAFil=4a, \AF2\=2a.• 0 = - = 2，・.c = , • • \F iF 2^ = • • cos Z AF2^I =随尸2卩+IFiFf—IAF1 卩_ （加）2+（滋）2—（滋）2 _ 1 2IAF2I-IF1F2I —2X2aX4a_4,敌坯A2. （2014•天漳高考）已知双曲线初一話=1@>0, 〃>0）的一条渐近线平行于直线Z： y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线Z上,则双曲线的方程为解析：由题意可知，双曲线的其中一条渐近线丿=》与直线y =2x+10平行，所以十=2且左焦点为（一5,0）,所以a2+b2 = c2=25f解得a2=5f沪=20,故双曲线方程为?一空=1.3.已知Fi，巧为双曲线?一专=1的左、右焦点，卩(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，贝!|L4PH-IAF2I的最小值为() A.A/37+4 B. A/37-4^^37-2^5 D. 回+2书解析：由题意知，IAPI + IAF2I = IAPI + IAF1I- 2a f要求IAPI +⑷F2I的最小值，只需求IAPI + IAF1I的最小值，当A, P, Fi三点共线时，取得最小值，贝1|14卩1 + 14珂=1"11=佰，AIAPI + IAF2I = IAPI + lAFJ - 2a=佰一2质・［类题通法］1.应用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中要注意双曲线上的点（动点）具备的几何条件，即“到两定点（焦点）的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”.若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支.同时注意定义的转化应用.2.求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a, b, c的关系易错易混.考点二渐近线与离心率问题I (常考常新型考点——多角探明)［必备知识］1.求双曲线离心率的值⑴直接求出“，c,求解e：已知标准方程或“，C易求时，可利用离心率公式求解;(2)变用公式，整体求出◎如利用2.双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，二A厂2者之间可以互求.已知渐近线方程时，可得十的值，于是/=£ ==1+ 因此可求出离心率e 的值；而已知离心率的值,W 丿也可求出渐近线的方程，即夕=管二i.但要注意，当双曲线的焦 点所在的坐标轴不确定时，上述两类问题都有两个解.［多角探明］a 2+b 2~?-角度一：已知离心率求渐近线方程（2014•山东离考）已知«>Z»0,2 2椭圆Ci的方程为缶+話=1,双曲线C2的方程为話一&=1, C］与C2的离心率之积为岁,则C2的渐近线方程为A. x±\[2y=0C. x+2y=0() B. \[2x±y=0D. 2x±y=0=4胪，所以a=\[ib,所以双曲线C 2的渐近线方程是丿=±正x,即 x±\[2y=Q.解析：椭圆Ci 的离心率为2-b 2,双曲线C 2的离心率为尹,所以芒=¥，所以 a 4~b 4=^a 4f 即 a 4答案：A角度二：已知渐近线求离心率2 2 2. （2014-浙江高考设直线兀一3y+/w=0OH0）与双曲线缶_話=1（«>0,方>0）的两条渐近线分别交于点A, B•若点P（m,0）满足\PA\ = \PB\,则该双曲线的离心率是_____________ •解析：联立直线方程兀一3丁+观=0与双曲线渐近线方程丿=±$可bm bm3b~a3b+a ° =—3,化简得4b 2=a 2f 所以e =\f J -得交点坐标为 am bm —am bm 9 而 kAB=j ，由 IP4I3b —a 9 3b —a)9 {3b + a" 连线的斜率为一3,即=\PB\ ,可得AB 的中点与点P 2 am —am 3b —a 3ba墨答案：乎角度三：由离心率或渐近线确定双曲线方程2 23・(2015•郑州二^已知双曲线为一器=1(。
《课堂新坐标》2021高考数学(文)一轮总复习课件：第八章第六节双曲线
对称轴❖坐：标轴 对称轴：_❖_坐__标__轴_
对称性
____❖__原点 对称中心：❖__原__点_
性
对称中心：____
质
顶点
顶点坐标： A1_❖__((_a－_，__a_0，_)__0__)_，
A2_____________
顶❖点(0坐，标－：a) A1 __❖__(0_，__a_)__，
A2_______________
防范措施：(1)双曲线的渐近线方程，只需将双曲线方程 右端的常数“1”变为“0”即可．
(2)区别好椭圆与双曲线中“a，b，c之间关系”，双曲线 中a，b，c三者之间，c最大，应为c2＝a2＋b2.
【答案】 A
【答案】 B
【答案】 A
课后作业(五十)
____
渐近线 性 质
离心率
__________ _________ e＝，e∈❖_(_1_，__＋__∞_，)
其中c＝______________
a、b、c间 的关系
c2＝ ________(c＞a＞0，c＞b ❖a2＋b2 ＞0)
3.等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方
《课堂新坐标》2021高 考数学（文）一轮总复 习课件：第八章第六节
双曲线
2020/9/7
1．双曲线定义
平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c＞0)的 _❖_距__离__之__差__的__绝__对__值__为常数2a(2a＜2c) ，则点P的轨迹 叫做双曲线．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c 为常数且a＞0，c＞0.
(2)待定系数法，即“先定型，后定量”，如果不能确定焦 点的位置，应注意分类讨论或恰当设置简化讨论．
高考新坐标高考数学总复习 第八章 第6节 双曲线名师课件
(2)设|PF1|＝m，|PF2|＝n，不妨设 m>n>0. 则 m＋n＝3b 且 m－n＝2a，
∴m＝3b＋2a，n＝3b－2a，①
2
2
又|PF1|·|PF2|＝mn＝94ab，②
将①代入②，得9b2－4a2＝9ab. 44
解之得ba＝43.则 e2＝ca22＝b2＋a2 a2＝1＋ba22＝295，故 e＝53.
又双曲线xa22－yb22＝1 的一条渐近线为 y＝2x. 所以b＝2，即 b＝2a，②
a 联立方程①②，得 a2＝5，b2＝20. 故所求双曲线方程为x2－ y2 ＝1.
5 20
[答案] (1)D (2)A
【通关锦囊】
1．(1)求双曲线的渐近线，要注意双曲线焦点位置的影响；(2) 求离心率的关键是确定含 a，b，c 的齐次方程，但一定注意 e>1 这一条件．
【变式训练 2】 已知双曲线xa22－yb22＝1(a＞0，b＞0)和椭圆1x62 ＋y2＝1 有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，
9 求双曲线的标准方程
[解]
由椭圆x2＋y2＝1，知 c＝ 16－9＝ 7， 16 9
∴焦点 F1(－ 7，0)，F2( 7，0)，且离心率 e′＝ 47.
【变式训练 1】 已知 F1、F2 为双曲线 C：x2－y2＝2 的左、 右焦点，点 P 在 C 上，|PF1|＝2|PF2|，则 cos∠F1PF2＝( )
A.14
B.35
C.34
D.45
[解析] 由 x2－y2＝2，知 a＝b＝ 2，c＝2. 由双曲线定义，|PF1|－|PF2|＝2a＝2 2， 又|PF1|＝2|PF2|， ∴|PF1|＝4 2，|PF2|＝2 2， 在△PF1F2 中，|F1F2|＝2c＝4，由余弦定理，得 cos∠F1PF2＝|PF1|22＋|PF|P1F|·2|2|－ PF|2F| 1F2|2＝34.
高考数学一轮复习 第八章 第六节 双曲线课件 理
y2 4
1的左右
焦点，P（3，1）为双曲线内一点，A点在双
曲线上，则| AP | | AF2 |的最小值为
A. 37 4
B. 37 4
C. 37 2 5
D. 37 2 5
考点二 渐近线与离心率问题
[多角探明] 角度一，已知离心渐 率近 求线方程
1. 已 知a
b
0,
椭
圆
C1的方程为
x a
一 条 渐 近 线 平 行 于 l : y直2线x10, 双 曲
线 的 一 个 焦 点 在l上直， 则 线双 曲 线 的 方 程 为
x2 y2 A. 1
5 20 C. 3x2 3y2 1
25 100
x2 y2 B. 1
20 5 D. 3x2 3y2 1
100 25
3.
的圆与双曲线渐近一线个的交点(4是, 3),
则此双曲线的方程为
x2 y2 A. 1
9 16 x2 y2 C. 1 16 9
x2 y2 B. 1
43 x2 y2 D. 1 34
角度四，利用渐已近知线直与线位置关系 求离心率范围
已知双曲 ax22 线 by22 1与直y线 2x有 交 点 ， 则 双 曲的 线取 离值 心范 率围 是
2 2
y2 b2
1，
双 曲 线 C 2的 方 程 为
x2 a2
-
y2 b2
1，C1与C2的离心率
之积为
3 2
，则C
2的
渐
近
线
方
程
为
A. x 2 y 0
B. 2x y 0
C. x 2y 0
D. 2x y 0
角度二，已知渐近线离求心率
高考新坐标高考数学总复习 第八章 第6节 双曲线课件
2．双曲线的标准方程和几何性质
图形
标准方程
范围
对 称 性 性质 顶 点
x2－y2＝1(a>0，b>0) a2 b2
x≥a 或 x≤－a
y2－x2＝1(a>0，b>0) a2 b2
y≤－a 或 y≥a
)
B．虚轴长相等 D．焦距相等
[解析] 双曲线 C1 和 C2 的实半轴长分别是 sin θ和 cos θ， 虚半轴长分别是 cos θ和 sin θ，则半焦距 c 都等于 1.
[答案] D
3．(2014·课标全国卷Ⅰ)已知双曲线xa22－y32＝1(a>0)的离心率为 2，则 a＝( )
A．2
B.
6 2
C.
5 2
D．1
[解析] 由题意得 e＝ a2＋3＝2， a
∴ a2＋3＝2a，∴a2＋3＝4a2， ∴a2＝1，∴a＝1.
[答案] D
4．(2015·济南质检)已知双曲线 C：xa22－yb22＝1(a＞0，b＞0)的
离心率为
5，则 2
C
的渐近线方程为(
)
A．y＝±14x B．y＝±13x
[解析] 设 P 在双曲线的右支上，|PF1|＝2＋x，|PF2|＝x(x>0)， 因为 PF1⊥PF2，
所以(x＋2)2＋x2＝(2c)2＝8， 所以 x＝ 3－1，x＋2＝ 3＋1，所以|PF2|＋|PF1|＝2 3.
[答案] 2 3
考向 1 双曲线的定义及应用
【典例 1】 (2013·辽宁高考)已知 F 为双曲线 C：x2－y2 ＝1 9 16