勾股定理分类题型(全)
勾股定理19个经典题型
勾股定理是数学中的一个重要定理，它指出在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
这一定理不仅在几何学中有着广泛的应用，而且在物理学、工程学等众多领域都有重要意义。
以下是一些勾股定理的经典题型，这些题型可以帮助学生更好地理解和掌握勾股定理的应用：1. **证明题**：给出一个三角形，证明其中一条边是斜边，另外两边是直角边。
2. **计算题**：给定一个直角三角形的两条直角边的长度，求斜边的长度。
3. **反问题计算题**：给定一个直角三角形的斜边和一条直角边的长度，求另一条直角边的长度。
4. **应用题**：一个房间的长是10米，宽是8米，求房间对角线的长度。
5. **构造题**：用尺子和圆规，仅使用勾股定理，构造一个特定面积的正方形。
6. **比例题**：如果一个直角三角形的两个锐角分别是30度和60度，求三边的长度比。
7. **相似题**：两个直角三角形相似，已知一个三角形的两个直角边分别是3米和4米，求另一个三角形的斜边长度。
8. **代数题**：设直角三角形的两条直角边为a和b，斜边为c根据勾股定理列出方程，并解方程。
9. **逆定理题**：判断一个三角形的三边长是否满足勾股定理的逆定理，即如果三边长满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。
10. **综合题**：在一个复杂的几何问题中，综合运用勾股定理和其他几何知识解决问题。
11. **平面几何题**：在平面直角坐标系中，给定两点A和B，求线AB的中点到A或B的距离。
12. **空间几何题**：在空间直角坐标系中，给定一个四面体的三个顶点，求第四个顶点的位置。
13. **历史题**：关于勾股定理的历史，提出和证明这一定理的人物是谁？14. **文化题**：在不同的文化中，勾股定理是如何被认知和应用的？15. **实际应用题**：在建筑设计中，如何使用勾股定理来计算结构的稳定性？16. **转换题**：将一个直角三角形的直角边从厘米转换为米。
勾股定理常见题型
勾股定理常见题型一．知识归纳 １．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++cbaHG F EDCBAbacbac cabcab所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c =b，a =②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为a bcc baE D CBA正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． ９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒． ⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长ABC30°D CB A ADB CCB DA分析：直接应用勾股定理222a b c +=解：⑴10AB ==⑵8BC ==题型二：应用勾股定理建立方程 例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为 分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解 解：⑴4AC ，2.4AC BCCD AB ⋅==⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边分别为a ，b ，则17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来 解：作DE AB ⊥于E ，Q 12∠=∠，90C ∠=︒DBAC21EDCBA∴ 1.5DE CD == 在BDE ∆中90,2BED BE ∠=︒=Q Rt ACD Rt AED ∆≅∆Q AC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴= 例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积答案：6题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m分析：根据题意建立数学模型，如图8AB =m ，2CD =m ，8BC =m ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，则6AE =m ，8DE =m在Rt ADE ∆中，由勾股定理得10AD答案：10m题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形ABCD E例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c =解：①22221.52 6.25a b +=+=Q ，222.5 6.25c ==∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒②22139b c +=Q ，22516a =，222b c a +≠ABC ∴∆不是直角三角形例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？ 解：此三角形是直角三角形理由：222()264a b a b ab +=+-=Q ，且264c = 222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC = 证明：AD Q 为中线，5BD DC ∴==cm在ABD ∆中，22169AD BD +=Q ，2169AB =222AD BD AB ∴+=，90ADB ∴∠=︒，222169AC AD DC ∴=+=，13AC =cm ，AB AC ∴=D CBA。
(完整版)八年级勾股定理题型总结
《勾股定理》典型例题解析一、知识重点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
也就是说：假如直角三角形的两直角边为 a、 b，斜边为 c ，那么 a 2 + b 2= c 2。
公式的变形： a2 = c 2- b 2， b 2= c 2-a 2。
2、勾股定理的逆定理假如三角形 ABC的三边长分别是a， b， c，且知足 a2 + b2= c2，那么三角形 ABC 是直角三角形。
这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意办理好以下几个重点：①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②知足的条件：最大边的平方=最小边的平方 +中间边的平方 .③获得的结论：这个三角形是直角三角形，而且最大边的对角是直角.④假如不知足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。
3、勾股数知足 a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。
注意：①勾股数一定是正整数，不可以是分数或小数。
②一组勾股数扩大同样的正整数倍后，还是勾股数。
常有勾股数有：（3，4，5 ） (5 ，12， 13 ) ( 6， 8， 10 )( 7，24， 25 ) ( 8，15， 17 )(9 ， 12，15 )4、最短距离问题：主要运用的依照是两点之间线段最短。
二、考点解析考点一：利用勾股定理求面积1、求暗影部分面积：（1）暗影部分是正方形；（ 2）暗影部分是长方形；（ 3）暗影部分是半圆．2.如图，以 Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，尝试究三个半圆的面积之间的关系．3、以下图，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、 S3，则它们之间的关系是（）A. S1- S2= S3B. S1+ S2= S3C. S2+S3< S1D. S2- S3=S1S 3S 1S 24、四边形 ABCD中，∠ B=90°， AB=3，BC=4，CD=12， AD=13，求四边形 ABCD的面积。
人教版八年级数学下册勾股定理题型分类及针对性练习
1勾股定理》典型题型和例习题题型一：利用勾股定理求线段长例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长。
练习 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米归纳：这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题，可以直接利用勾股定理！ 题型二：利用勾股定理逆定理判断垂直，则这个桌面 。
（填“合格”或“不合格” ）练习 试判断：三边长分别是)(2,,2222b a ab b a b a>+-的三角形是不是直角三角形归纳：判断步骤：（1）比较a 、b 、c 大小，找最长边；（2）计算两条短边的平方和，看是否与最长边的平方相等。
题型三：勾股定理和逆定理综合运用例3 如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上一点，且AB FB 41=那么△DEF 是直角三角形吗为什么注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。
题型四：勾股定理在折叠问题中的运用例4 如图4，已知长方形ABCD 中AB=8cm,BC=10cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长.归纳：1、折叠——全等，找到折叠中的不变量。
2、合理设元，利用勾股定理建立方程。
题型五：勾股定理在旋转问题中的运用例5、如图，P 是等边三角形ABC 内一点，PA=2,PB=23,PC=4,求△ABC 的边长.分析：利用旋转变换，将△BPA 绕点B 逆时针选择60°，将三条线段集中到同一个三角形中， 根据它们的数量关系，由勾股定理可知这是一个直角三角形.练习：如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC=90°，E 、F 是BC 上的点，且∠EAF=45°， 试探究222BECF EF 、、间的关系，并说明理由.题型六：勾股定理在实际中的应用例1、如图，公路MN 和公路PQ 在P 点处交汇，点A 处有一所中学，AP=160米，点A 到公路MN 的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的2速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少练习： 有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开二、训练：一、填空题1．如图(1)，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需________米．图(1) 2．种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面半径为㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出㎝，问吸管要做 ㎝。
勾股定理复习与常见题型总结
勾股定理复习一．知识归纳 １．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形通过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． cbaHG F EDCB A方法二：bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a bcc baE D CBA３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b =，a =②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 22222mn m n m n -+，，（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：ABC30°D CBA ADB CCDA题型一：直接考查勾股定理 例1. 在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长题型二：应用勾股定理建立方程 例2.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为例3. 如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =，2.5BD =，求AC 的长21EDCBA例4. 如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积题型三：实际问题中应用勾股定理例5. 如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mABCD E题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6. 已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c =例7. 三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8. 已知ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =例题9 如图3，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上一点，且AB FB 41=那么△DEF 是直角三角形吗？为什么？题型六：关于翻折问题例10.如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm，BC=6cm，E 为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.变式：如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC 沿直线AD翻折，点C落在点C’的位置，BD=4,求BC’的长.题型七：旋转问题：例11．△ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△AC P′重合，若AP=3，求PP′的长。
勾股定理知识点与题型总结大全
【MeiWei_81重点借鉴文档】勾股定理全章类题总结类型一：等面积法求高【例题】如图，△ ABC 中，/ ACB=90 °, AC=7 , BC=24 , CD 丄AB 于 D 。
C(1 )求AB 的长; (2)求CD 的长。
类型二：面积问题【例题】如下左图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为2___________ c m 。
【例题】如图，A 、B 两个小集镇在河流 CD 的同侧, 千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂,1】如图，一圆柱体的底面周长为 20cm 高AE 为4cm B一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C,试求出 "I【练习2】如图，一个牧童在小河的南 4km的A 处牧马，而他正位于他的小屋 B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件 事情所走的最短路程是多少？小河类型四:…判断三角形的形状牧童例题】如果△ ABC的三边分别为a 、b 、c,且满足a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c,判断1^东ABCD 是正方形， 【练习3】如图字母 【练习 格都是边长为1的正方形， (1) 求图中格点四边形 ABCD的面积和周长。
(2) 求/ ADC 的度数。
A.12B.13C.144D.1941】如上右图，每个小方 【练习2】如图，四边形AE 丄BE ,且AE =3, BE =4，阴影部分的面积是B 所代表的正方形的面积是()类型三：距离最短问题为每千米3万，请你在河流 CD 上选择水厂的位置 总费用是多少? M 使铺设水管的费用最节省，并求出B7cm,则正方形 分别到河的距离为 AC=10千米，BD=30向A 、B 两镇供水，铺设水管的费用【练习 直径.C 是上底面的爬行的最短路a — LA ,B ,C ,D 的面积之和为--D --△ ABC的形状B小屋【练习1】已知△ ABC的三边分别为vm— n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m>n),判断厶ABC是否为直角三角形.【练习2】若厶ABC的三边a、b、c满足条件 a2+ b2 + c2+ 338= 10a+ 24b+ 26c,试判断△ ABC的形状.【练习3】•已知a, b, c ABC三边，且满足(a2— b2)(a 2+b2— c2) = 0,则它的形状为( )三角形A.直角B.等腰C.等腰直角D.等腰或直角2 2【练习4】三角形的三边长为(a b) =c 2ab,则这个三角形是()三角形(A)等边(B)钝角(C)直角(D)锐角类型五：直接考查勾股定理【例题】在RtAABC中，/ C=90°(1)已知a=6, c=10，求b; (2)已知a=40, b=9,求c；(3)已知c=25, b=15，求a.。
勾股定理题型大全
1.已知等腰三角形的周长为24，腰长为x ，则x 的取值范围是 ································ （ ）． A ）x ＞12 （B ）x ＜6 （C ）6＜x ＜12 （D ）0＜x ＜122.如图，等边三角形ABC 中，AD 是BC 上的高，取AC 的中点E ， 连结DE ，则图中与DE 相等的线段有 ····························· （ ）． （A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）4条3.如图：∠EAF=15°，AB=BC=CD=DE=EF ，则∠DEF 等于（ ）。
A 、90° B 、 75° C 、70° D 、60°4.．如图所示，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，那么水泵站应修在河边什么地方，可使所用水管最短？画图并说明理由。
5、（10分）①如图：A 、B 是两个蓄水池，都在河流a 的 同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站， 将河水送到A 、B 两地，问该站建在河边什么地方，•②如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M ，N 表示大学，AO ，BO 表示公路）.现计划修建 一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到 两条公路的距离也相等。
(完整版)勾股定理及其逆定理的应用常见题型
勾股定理及其逆定理的应用常见题型利用勾股定理求线段长1．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边的中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E,交BC于F,若AE＝4,FC＝3，求EF的长．(注：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)利用勾股定理求面积2．如图,长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，设点D落在D′处，BC交AD′于点E，AB＝6 cm，BC＝8 cm，求阴影部分的面积．利用勾股定理逆定理判断三角形的形状3．在△ABC中，D为BC的中点，AB＝5,AD＝6，AC＝13，判断△ABD的形状．利用勾股定理解决几何体表面的最短路径问题4.（中考·青岛）如图，圆柱形玻璃杯的高为12 cm，底面周长为18 cm.在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________．利用勾股定理解决实际问题65如图，某港口位于东西方向的海岸线上，A,B两军舰同时离开港口O，各自沿一固定方向航行，A舰每小时航行32 n mile，B舰每小时航行24 n mile，它们离开港口一个小时后,相距40 n mile,已知A舰沿东北方向航行，则B舰沿哪个方向航行？(第6题)几种常见的热门考点勾股定理及其应用1．直角三角形两直角边长分别为6和8，则连接这两条直角边中点的线段长为( ）A．3 B．4 C．5 D．10(第2题）2．如图，长方形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在点C′处,BC′交AD于点E,AD＝8，AB ＝4,则DE的长为________．3．如图，已知∠C＝90°，BC＝3 cm，BD＝12 cm,AD＝13 cm.△ABC的面积是6 cm2.求：(1）AB的长度；（2)△ABD的面积．(第3题）勾股定理的验证4．如图，对任意符合条件的直角三角形BAC，绕其锐角顶点逆时针旋转90°得△DAE,所以∠BAE＝90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE的面积相等,而四边形ABFE 的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和,根据图形写出一种证明勾股定理的方法．（第4题)直角三角形的判别5．在△ABC中，AB＝12 cm，AC＝9 cm，BC＝15 cm，下列关系式成立的是( )A．∠B＋∠C>∠A B．∠B＋∠C＝∠AC．∠B＋∠C<∠A D．以上都不对6．已知｜x－12|＋|z－13｜和（y－5)2互为相反数,则以x，y，z为边长的三角形为________三角形．7．在4×4的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1，线段AB，EA分别是图中1×3的两个长方形的对角线，请你说明：AB⊥EA.利用勾股定理求最短距离8．如图，圆柱形无盖玻璃容器高18 cm，底面周长为60 cm，在外侧距下底1 cm的点C处有一蜘蛛,与蜘蛛相对的圆柱形容器的外侧距上口1 cm的F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度．利用勾股定理解决实际问题9．11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捕鱼”的问题．小溪边长着两棵棕榈，恰好隔岸相望．一棵树高是30肘尺（肘尺是古代的长度单位)，另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺．每棵树的树顶上都停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看到棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻以相同的速度飞去抓鱼，并且同时到达目标．问这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根有多远?思想方法a．方程思想10．如图，四边形ABCD是长方形,把△ACD沿AC折叠得到△ACD′，AD′与BC交于点E，若AD＝4，DC＝3，求BE的长．b．分类讨论思想11．在△ABC中,若AB＝20，AC＝15，AD是BC边上的高,AD＝12,试求△ABC的面积．c．转化思想。
勾股定理逆定理与勾股数(4种题型)
第02讲勾股定理逆定理与勾股数（4种题型）【知识梳理】一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长a b c ，，，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如c ）.（2）验证2c 与22a b +是否具有相等关系.若222c a b =+，则△ABC 是∠C＝90°的直角三角形；若222c a b ≠+，则△ABC 不是直角三角形.要点诠释：当222a b c +<时，此三角形为钝角三角形；当222a b c +>时，此三角形为锐角三角形，其中c 为三角形的最大边.三、勾股数满足不定方程222x y z +=称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：13、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.要点诠释：（1）22121n n n -+，，（1,n n >是自然数）是直角三角形的三条边长；（2）2222,21,221n n n n n ++++（n 是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）2222,,2m n m n mn -+（,m n m n >、是自然数）是直角三角形的三条边长；【考点剖析】题型一、勾股定理的逆定理例1、判断由线段a b c ，，组成的三角形是不是直角三角形．（1）a ＝7，b ＝24，c ＝25；（2）a ＝43，b ＝1，c ＝34；（3）22a m n =-，22b m n =+，2c mn =(0m n >>)；【变式】发现下列几组数据能作为三角形的边：（1）8，15，17；（2）5，12，13；（3）12，15，20；（4）7，24，25．其中能作为直角三角形的三边长的有（）A.1组 B.2组 C.3组 D.4组题型二．勾股数例2．（2022春•铜梁区校级期中）下列四组数中，是勾股数的是（）A ．6，8，10B ．0.3，0.4，0.5C ．，，D ．32，42，52例3．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m 表示大于1的整数，a ＝2m ，b ＝m 2﹣1，c ＝m 2+1，那么a ，b ，c 为勾股数，你认为正确吗？如果正确，请说明理由，并利用这个结论得出一组勾股数．【变式1】观察下列勾股数3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…；a 、b 、c ．根据你发现的规律，回答下列问题：（1）a＝17时，求b、c的值；（2）a＝2n+1时，求b、c的值．【变式2】已知m＞0，若3m+2，4m+8，5m+8是一组勾股数，求m的值．题型三、勾股定理逆定理的应用例4．（2022春•汉阴县月考）如图，在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且AB⊥BC．求证AC ⊥CD．例5．古埃及人曾用下面的方法得到直角：如图他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处．（1）你能说说其中的道理吗？（2）仿照上面的方法，你能否只用绳子，设计一种不同于（1）的直角三角形（在图2中，只需画出示意图．）【变式】如图，在Rt ABC中，∠ACB=90°，AB=13，AC=12，点D为ABC外一点，连接BD，CD，测得CD=4，BD=3，求四边形ABDC的面积．例6.如图所示，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内一点，且PA＝3，PB＝1，PC＝CD＝2，CD ⊥CP，求∠BPC的度数．【变式1】如果△ABC 的三边长a 、b 、c 满足关系式()226018300a b b c +-+-+-=，则△ABC 的形状是．【变式2】如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连接PA，PB，PC，以BP 为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．（1）观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论；（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC 的形状，并说明理由．题型四、勾股定理逆定理的实际应用例7．（2022春•蚌山区校级期中）龙梅和玉荣是草原上的好朋友，可是有一次经过一场争吵之后，两人不欢而散，龙梅的速度是米/秒，4分钟后她停了下来，觉得有点后悔了，玉荣走的方向好像是和龙梅成直角，她的速度是米/秒，如果她和龙梅同时停下来，而这时候她俩正好相距200米，那么她走的方向是否成直角？如果她们现在想讲和，那么原来的速度相向而行，多长时间后能相遇？例8、“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？例9.如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿边向B点以每秒1cm 的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ的面积为多少？【过关检测】一．选择题1．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A ．三内角之比为3：4：5B ．三边长的平方之比为1：2：3C ．三边长之比为7：24：25D ．三内角之比为1：2：32．下列条件中，能判断ABC 是直角三角形的有（）①A B C ∠+∠=∠；②A B C ∠-∠=∠；③::2:5:3A B C ∠∠∠=；④23A B C ∠=∠=∠；⑤1123A B C ∠=∠=∠；⑥::3:4:5AB AC BC =．A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个3.如图，根据下列条件，不能判断ABD △是直角三角形的是（）A ．20,70DB ∠=︒∠=︒B ．5,12,13AB AD BD ===C ．AC BC DC==D ．3,8B D BAD D ∠=∠∠=∠二．填空题4．已知三角形三边长分别是6，8，10，则此三角形的面积为．5．勾股数为一组连续自然数的是．6．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm ，则它的面积为cm 2．7．（2022春•泗水县期中）观察下列几组勾股数，并填空：①6，8，10，②8，15，17，③10，24，26，④12，35，37，则第⑥组勾股数为．8．已知△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，则△ABC的面积是cm2．9．（2022春•孝南区月考）探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…，请写出第6个数组：．10．已知△ABC中，AB＝k，AC＝k﹣1，BC＝3，当k＝时，∠C＝90°．三．解答题11．如图，在△ABC中，AB＝5，＝3，D是BC的中点，AD＝2，求△ABC的面积．12．已知△ABC中，AB＝AC，BC＝20，D是AB上一点，且CD＝16，BD＝12，（1）求证：CD⊥AB；（2）求三角形ABC的周长．13．如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的高，DF是△ABD的中线，且CE＝1，DE＝2，AE＝4．（1）∠ADC是直角吗？请说明理由．（2）求DF的长．14．如图是由边长均为1的小正方形组成的网格，点A，B，C都在格点上，∠BAC是直角吗？请说明理由．。
勾股定理常考题型
17.1 勾股定理 知识点 1 勾股定理
例1：等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为 ．
知识点 2 勾股定理的应用 ⑴ 已知直角三角形的任意两边长求第三边长。 例2：在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=12，AC=9，则AB=
例3：腰长为5，一条高为4的等腰三角形的底边长为 例4：已知直角三角形的两条边长为3和4，则第三边的长为． ⑵已知直角三角形的任意一边长及另外两边的关系，求另两边的长。 例4：如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，CD=5cm，求AB的长．
例5：如图，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，D在AB上． （1）求证：△AOC≌△BOD； （2）若AB=3，AD：BD=1：2，求CD的长．
例6：已知：如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上，DA⊥CA于A． 求：BD的长．
例7：如图，已知△ABC中，∠C=60°，AB=14，AC=10，AD是BC边上的高，求BC的长．
⑶证明包含平方关系的几何问题 例8：已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD，AD2+CD2=2AB2． （1）求证：AB=BC； （2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE=AE+CD．
例9：已知AD是Rt△ABC斜边BC的中线，证明AB2+AC2=2（AD2+DC2）． （4）利用勾股定理求面积 例10：公园里有一块形如四边形ABCD的草地，测得BC=CD=10米，∠B=∠C=120°，∠A=45度．请你求出这块草地的面积．
例11：如图，在△ABC中，AB=2，AC=BC，CD⊥AB，垂足是D，△BCE与△BCD是关于BC成轴对称的，且恰好使A、C、E在一条直线上．求四边形BDCE的面积．
（5）勾股定理在折叠中的使用 例12：如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处； （1）求证：B′E=BF； （2）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给予证明．
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一、证明方法 二、面积 1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴
影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆． 2. 如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系． 3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、S3，则它们之间的关系是（ ）
A. S1- S2= S3 B. S1+ S2= S3
C. S2+S3< S1 D. S2- S3=S1
4、在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）。已知斜放置的三个正方形
的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是SS12、、SSSSSS341234、，则=_____________。
5、如图17-3-7是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A、B、C、D的面积分别为2,5,1,2,则最大的正方形E的面积_______. 6、以某直角三角形三边分别作三个正方形，其中两个正方形的面积分别为25和12，则第三个正方形的面积为___________________. 7、如图，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，CD＝2. 求四边形ABCD的面积.
8、如图,长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠,设点D落在D'处,BC交AD'于点E,AB=6 cm,BC=8 cm,求阴影部分的面积. 9.如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个得到，可得△ABC，则边AC上的高为（ ）
A. 223 B. 5103 C. 553 D. 554
c b a A B b
b b b c c c
c
a a
a a
bc
c
a
ab
D
CA
EB
S3
S2
S1
42
60°D
CB
A10、如图，四边形ABCD中，AD＝1cm，BC＝2cm，AB＝2cm，CD＝3cm，且 ∠ABC＝90度，求四边形ABCD的面积
11、三角形ABC中，AB=5，AC=3，BC边上的中线AD=2，求三角形ABC的面积？
三、在直角三角形中，求相关量 1在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=6,则BC的长为___________ 2、已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是_________ 3、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的__________. 4、在Rt△ABC中，∠C=90° ①若a=5，b=12，则c=___________； ②若a=15，c=25，则b=___________； ③若c=61，b=60，则a=__________； ④若a∶b=3∶4，c=10则Rt△ABC的面积是=____________________ 5、一个直角三角形的三边长的平方和为200，则斜边长为___________;
6、斜边的边长为cm17，一条直角边长为cm8的直角三角形的面积是______________． 7、如图AB=BC=CD=DE=1,AB⊥BC,AC⊥CD,AD⊥DE,则AE的长为________ 四、勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状 1、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 2，3，4 C. 11，12，13 D. 8，15，17 2、若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（ ） A、2∶3∶4 B、3∶4∶6 C、5∶12∶13 D、4∶6∶7 3、下面的三角形中： ①△ABC中，∠C=∠A－∠B； ②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3； ③△ABC中，a：b：c=3：4：5； ④△ABC中，三边长分别为8，15，17． 其中是直角三角形的个数有（ ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4、已知2512yxx 与25102zz互为相反数，试判断以x、y、z为三边的三角形的形状。
5、若△ABC的三边长a,b,c满足222abc20012a16b20c，试判断△ABC的形状。 6、五根小木棒,其长度(单位:cm)分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形,其中正确的是( ) 7、将勾股数3,4,5扩大到原来的2倍,3倍,4倍,…,可以得到勾股数6,8,10;9,12,15;12,16,20;…,则我们把3,4,5这样的勾股数称为基本勾股数,请你写出另外两组基本勾股数:________,________. 8、如图，在平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别为A(3,1),B(2,4),三角形OAB是直角三角形吗?
9、远航号海天号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，远航号每小时航
行16海里，海天号每小时航行12海里，他们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道远航沿东北方向航行，你知道海天沿哪个方向航行吗？ 五、利用列方程求线段的长（方程思想） 1、直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为______________ 2、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积是_____________. 3、已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是________________. 4、如图,小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端,绳子末端刚好接触到地面,然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处,发现此时绳子末端距离地面2 m.则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为______________________________. 5、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？ 6、如图，有两只猴子在一棵树CD高5m的点B处，它们都要到A处的池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树10m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线越向池塘的A处．如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？
7、一架长2.5m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7m（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子底端将向左滑动多少米？ 8、如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC•于M，交AB于N，若AC=4，MB=2MC，求AB的长． 9、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于多少？ 10、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使AC恰好落在斜边AB上，且点C与点E重合，求CD的长。 11、小明的叔叔家承包了一个长方形鱼池，已知其面积为48平方米，其对角线长为10m，为建栅栏，要计算这个矩形鱼池的周长，你能帮助小明算一算吗？ 12、如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA•垂直AB于A，CB垂直AB于B，已知AD=15km，BC=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站建在距A站多少千米处？
六、折叠问题 七、勾股定理在非直角三角形中的应用 1、在直角三角形ABC中，角C=90度，AC=4，BC=3，在直角三角形ABC的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，求出等腰三角形
的底边长。 2、已知，在△ABC中，∠A= 45°，AC= 2，AB= 3+1，则边BC的长为 ． 3、某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要__________元． 4、.如图，ΔABC中，AC＝12，∠B＝45°，∠A＝60°. 求ΔABC的面积.
5、将一根长24㎝的筷子置于地面直径为5㎝，高
为12㎝的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为h㎝，则h的取值范围 。 八、爬行距离最短问题 1、一只蚂蚁从长为4cm、宽为3 cm，高是5 cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是____________cm。
2、如图,圆柱形容器高为18 cm,底面周长为24 cm,在杯内壁离杯底4 cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿2 cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为________cm. 3、如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行_________. 4、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是 分米.
九、航海问题
A
B 150°30米20米
1245°60°
C
BA