中职实用数学单元二几何问题(任务7升旗仪式)
专题二几何学-2021年中考数学暑假知识点复习(基础)
f)c
等 边 三 角 形
定义
三条边都相等的三角形是等边三角形,等边三角形是特殊的等腰三角 形.
AA
性质
等边三角形的三边都相等, 三个内角都相等,并且每一个角都等于60..
判定
①三边都相等的三角形是等边三角形.
②三个角都相等的三角形是等边三角形.
③有两个角是60°的二角形是等边二角形.
、特殊三角形
等 腰
三 角 形
定义
有两条边相等的三角形,叫等腰三角形.相等的两边叫腰,另一条边 叫做底边,两腰所夹的角叫顶角,底边与腰的夹角叫做底角
A,A
性质
①等腰三角形是轴对称图形
②等腰三角形的两个底角相等〔等边对等角〕
①等腰三角形的顶角平分线、底边中线、高线相互重合〔三线合一〕
判定
①两边相等、两底角相等ABC为等腰三角形.
三角形两边中点的连线叫中位线.
三角形的中位线平 行于第三边,并且, 于第三边的一半.
1
DE//AB DE—AB 2
5、三角形的三心
(1)重心：三角形三条中线的交点叫三角形的重心.
重心性质：重心和三角形3顶点组成的3个三角形面积相等
重心到顶点的距离与重心到底边中点距离之比为2: 1
三角形顶点坐标A(Xi,yi)B(X2,y2)C(X3,y3)那么重心坐标为
①有一个角是60.的等腰三角形是等边三角形.
直 角 三 角 形
定义
有,个角是直角的一角形叫做直角一角形.
性质
①直角三角形的两锐角互余.
②在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于 斜边的一半.
③在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半.
第二章二次函数-二次函数与几何综合(教案)
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）二次函数图像的几何变换：重点理解图像的平移、伸缩、对称等几何变换的规律及其对函数表达式的影响。
-平移变换：掌握二次函数图像向左、向右、向上、向下平移的规律，理解平移变换对函数解析式中常数项的影响。
-难点举例：在图像的平移、伸缩、对称变换中，如何正确调整函数解析式中的常数项和系数。
-解决方法：通过动态演示和实际操作，帮助学生直观地理解图像变换规律，并学会应用于实际问题。
（2）二次函数与几何关系的综合应用：学生对二次函数图像与坐标轴、直线、圆的交点的理解可能不深刻。
-难点举例：如何确定二次函数图像与坐标轴、直线、圆的交点，以及如何利用这些交点解决几何问题。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次函数与几何综合》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算抛物线与坐标轴围成图形面积的情况？”（如篮球投篮的抛物线）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数与几何综合的奥秘。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次函数与几何综合在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-解决方法：通过典型例题的分析和讲解，使学生掌握求解交点的方法，并运用这些交点解决几何问题。
中考数学几何温习第七章圆第26课时圆和圆的位置关系二教案
第七章：圆第26课时：圆和圆的位置关系(二)教学目标：1、使学生把握相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦这一性质，2、通过例题与练习题的教学使学生进一步巩固圆和圆的位置关系及本节所学习的性质．3、慢慢培育学生观看、比较、分析、归纳问题的能力及推理论证的能力．教学重点：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．教学难点：利用轴对称来证明相交两圆连心线的性质及两圆相交经常使用的引辅助线的方式是本节课的难点．教学进程：一、新课引入：同窗们，上节课咱们学习了在同一平面内圆和圆的位置关系及相切两圆的连心线的性质．本节课咱们在相切两圆连心线的性质的基础上，继续来学习相交两圆连心线的性质．教师出示板书：“7．13圆和圆的位置关系(二)”．若是两圆相切，那么切点必然在连心线上．那么将相切改成相交，这时连心线又有什么性质呢？教师如此做成心识留给学生一种悬念，提示给学生可否用类比的方式去探讨出结论．二、新课讲解：为了使学生进一步来学习相交两圆连心线的性质．向学生提出以下几个问题：(1)在平面内圆和圆有几种位置关系？(2)要判定圆和圆的位置关系你学过了什么方式？(3)相切两圆连心线有什么性质？(4)若是把相切改成相交，那么连心线又有如何的性质呢？教师引导学生能够准确地回答上节课所学习的知识点，把本节课所要讲的内容也抛给学生，启发学生去画图——观看——试探——分析——比较——探讨出结论．为了便于试探，教师把学生探讨出的结论写在黑板上：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦：分析：设⊙O1与⊙O2相交于点A、B，O1O2既是⊙O1的对称轴，又是⊙O2的对称轴，因此直线O1O2是⊙O1、⊙O2所组成的图形的对称轴，将图形沿O1O2折叠，上、下两个半圆相互重合，它们的交点重合，因此点A与点B是对称点．这就取得对称点A、B的连线被对称轴O1O2垂直平分．由此可得：定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．为了使学生能够更好地应用相交两圆连心线的性质和相切两圆连心线的性质，出示两组练习题：练习一，判定下列语句是不是正确：1．两圆的连心线过切点，两圆必然是内切． ( )2．相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线． ( )3．相切两圆的连心线必过切点．( )这组题的目的是强化学生对相切两圆、相交两圆的性质的把握，要求语言叙述准确而规范．练习二，(1)图7-99，已知两个等圆的半径为5cm，公共弦长6cm，求圆心距．本小题由学生回答，教师归纳总结方式．因为O1O2垂直平分AB，交AB于E，因此可取得由一条半径和弦的一半组成的直角三角形，用勾股定理就取得O2E，从而取得O1O2的长．(2)书上的例2已知两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点．⊙O1通过点O2．求∠O1AB的度数．由于通过度析上题学生已初步把握构造直角三角形方式求解，关于此题能够说是上一题的特殊情形．教师为了不代替学生，让学生参与到教学活动中，启发学生分析解题思路，指导学生上黑板板演，就把例2做为练习题显现．(3)如图7-101，⊙O2与以O1为圆心的同心圆相交于A、B、C、D．求证：四边形ABCD是等腰梯形．分析：欲证明四边形ABCD是等腰梯形，只需证明AB∥CD，AD=BC且AB≠CD即可．这时，教师提出如何证明AB∥CD呢？由学生来分析证明弦AB∥CD．总结出相交两圆常常引的辅助线是公共弦，有时还能够引连心线．找一名中等生证明这道题，教师把证明进程写在黑板上，做为参考．证明：连结O1O2，∵⊙O2与以O1为圆心的圆相交于A、B、C、D，∴ A B⊥O1O2，DC⊥O1O2．∴ AB∥CD．在⊙O2中，∵AB∥CD，又∵ AB≠CD，∴四边形ABCD是等腰梯形．接下来投影出示例3已知：如图7-102，A是⊙O1、⊙O2的一个交点，点P是O1O2的中点．若是过A的直线MN垂直于PA，交⊙O1于M，交⊙O2于N．那么AM与AN有什么关系呢？教师对例3的处置不是直接给出证明，而是给出命题的题设，启发学生探讨能取得什么结论．如此做一方面调动学生的踊跃性和主动性；另一方面考察学生的思维灵活性和深刻性．由学生猜想的结论动身，进一步引导学生证明你的结论是不是正确，最后由教师归纳出证明的分析思路．是O1O2中点，由平行线等分线段定理可得AC=AD，而得结论．证明：过点O1、O2别离作O1C⊥MN，O2D⊥MN，垂足为C、D，又∵ PA⊥MN，∴ PA∥O1C∥O2D，∵O1P=O2P，∴ AC=AD．∴ AM=AN．巩固练习：第139页2题．三、课堂小结：本节课要紧讲了相交两圆连心线垂直两圆的公共弦的性质．投影出示本节的知识结构图：本节课学到的方式：两圆相交常引辅助线有：(1)公共弦；(2)连心线；(3)构造由半径、公共弦的一半组成的直角三角形．四、布置作业教材P．152中A组5、6、7、8、9．。
冀教版七年级下册数学第7章 相交线与平行线 垂线(2)
知3－导
思考 如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处， 如何挖渠能使渠道最短？
知3－导
P
A
B
C
m D
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线 段垂最线短段.最短 简单说成：垂线段最短．
归纳
知3－导
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 垂线段最短. 简单说成：垂线段最短.
知3－讲
例3 如图所示，AB是一条河流，要铺设管道将河水引 到C、D两个用水点，现有两种铺设管道的方案： 方案一：分别过点C，D作AB的垂线，垂足分别为点 E，F，沿CE，DF铺设管道； 方案二：连接CD交AB于点P， 沿PC，PD铺设管道． 这两种铺设管道的方案哪一种 更节省材料？为什么？ (忽略河流的宽度)
解：射线OE，OF互相垂直．理由如下： 因为CO⊥AB，所以∠AOC＝90°. 又因为∠AOE＝∠COF， 所以∠AOE＋∠COE＝∠COF＋∠COE， 即∠AOC＝∠EOF＝90°. 所以OE与OF互相垂直(垂直定义)．
知1－讲
总结
知1－讲
判断两直线(线段、射线所在直线)互相垂直，主要 依据是垂直定义，只要说明两条相交直线所构成的四 个角中有一个角是直角即可．
知3－讲
导引：要尽可能节省材料，也就是让管道的总长度最 短．方案一中CE，DF是垂线段，而方案二中PC， PD不是垂线段，所以CE＜PC，DF＜PD，所以 CE＋DF＜PC＋PD，所以方案一更节省材料．
解：按方案一铺设管道更节省材料，理由如下： 因为CE⊥AB，DF⊥AB，CD不垂直于AB， 根据“垂线段最短”可知，CE＜PC，DF＜DP， 所以CE＋DF＜PC＋DP. 所以沿CE，DF铺设管道更节省材料．
知3－练
3 【中考·淄博】如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂 足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离 的线段共有( D ) A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
四年级下册第七单元图形运动二课件【人教新课标】
画出平移后的图形，再数一数，填一填。 向上平移5格
向（ ）平移 （ ）格
向右平移7格
向（ ）平移（ ）格
画出平移后的图形，再数一数，填一填。 向上平移5格
向（ ）平 移（ ）格
向右平移7格
向（ ）平移（ ）格
再来看向下 平移的过程。
画出平移后的图形，再数一数，填一填。 向上平移5格
向（ ）平 移（ ）格
忆一忆
下面的运动是平移吗？如果是，在后面 的括号里面画上“√”，不是的画“×”。
升旗时国旗的运动 钟摆的运动 在算盘上拨珠 电梯的运动 风扇叶片的运动 火车的直线运动
(√) (×) (√) (√) (×) ( √)
关于平移你学了 哪些知识？回忆 一下，完成左边
的复习题。
想一想
人乘坐电梯时是什么运动? 做上下平移运动。
观察物体（二）
第3课时 画出平移后的图形
人教版 数学 四年级 下册
1.学生结合实例,进一步感知平移现象。 2.学生会在方格纸上画一个简单图形沿水平方向、竖直方向平移后的图形。 3.在探究式的教学活动中,培养主动探索、勇于发现的精神,体会数学的应用价值。
• 在方格纸上画出一个简单图形沿水平方向、竖直方向平移后 • 的图形。
（2）
第2题要解决什么问题呢？同学们认真审题，独立解答。在本上用自己喜欢的方法解决问题。
①10-6.8=3.2（元） 2.5+0.6=3.1（元）3.2元>3.1元
教师：小组根据以上提示问题进行研讨，在交流中取长补短吧！
向（ ）平移 每个盒子中球的总数一样，你为什么不选择②号和③号盒子呢？
师：同学们，我们已经认识了人民币，你对人民币有了哪些认识？
每个盒子中球的总数一样，你为什么不选择②号和③号盒子呢？
中考数学总复习：第七单元《几何变换、投影与视图》
中心对称是指两个全等图形 中心对称图形是指具有特殊形
之间的相互位置关系
状的一个图形
联系
①如果把中心对称的两个图形看成一个整体(一个图 形)，那么这个图形是中心对称图形；②如果把一个中 心对称图形中对称的部分看成是两个图形，那么它们
成中心对称
中心对称 的性质
(1)中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称
图32－4
[解析] 把管道l近似地看成一条直线，问题就是要在l上找一点C ，使AC与CB的和最小．
解：略． [点析] 平面图形上求最短距离有两种情况： (1)若A、B在l的同侧，则先作对称点，再连接； (2)若A、B在l的异侧，则直接连接．
中考变式
[2010淮安] (1)观察发现 如图32－5，若点A，B在直线l同侧，在直线l上找一 点P，使AP＋BP的值最小． 作法如下：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′， 与直线l的交点就是所求的点P； 再如图32－6，在等边三角形ABC中，AB＝2，点E是 AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP＋PE的 值最小． 作法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合 ，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP ＋PE的最小值为____3____
图32－1
[解析] 如图，把标有序号②的白色小正方形涂黑 ，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图 形．
(1)把所要判断的图形沿一条直线折叠后，直线两 旁的部分能够互相重合的图形是轴对称图形； (2)把所要判断的图形绕着某个点旋转180°后能 与自身重合的图形是中心对称图形．
► 类型之二 图形的折叠与轴对称 命题角度： 图形的折叠与轴对称的关系．
(2)若点N在(1)中的⊙P′上，求PN的长．
图32－3
第7单元-立体几何-数学(文科)-新课标
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第38讲
基 础 自 主 梳 理
空间几何体的结构特征及三视图和直观图
[答案] (1)12π
(2)1
[解析] (1)过圆柱的上、下底面圆的圆心作截面，在 该截面图中，易求得球O的半径R＝ 12＋（ 2）2 ＝ 3，所以球O的表面积S＝4π R2＝12π . (2)设直四棱柱的底面边长为a，高为b，则有 即 得a＝b＝1，所以该直四棱
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第38讲
基 础 自 主 梳 理
空间几何体的结构特征及三视图和直观图 通性通法
►
6．空间几何体表面积和体积的求解——公式法 (1)圆柱的底面半径为 1，高为 2 2，若该圆柱内接于球 O，则球 O 的表面积是________． (2)侧棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱，已知直四棱柱的 底面是正方形，其所有棱之和为 12，表面积为 6，则其体积 为________．
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第38讲
基 础 自 主 梳 理
空间几何体的结构特征及三视图和直观图
3．多面体与旋转体的侧面积和表面积 (1)因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积 就是侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面积的和． (2)旋转体的侧面积和表面积 ①若圆柱的底面半径为 r，母线长为 l，则 2πr(r＋l) ． 2π r2＋2πrl ＝________ S 侧＝________ ；S 表＝ ________ 2πrl ②若圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，则 πrl πr2＋πrl ＝________ πr(r＋l) ． S 侧＝________ ；S 表＝________ ③若圆台的上下底面半径分别为 r′，r，母线长为 l，则 S 侧＝π ________ ；S 表＝______________ (r′＋r)l π(r′2＋r2＋r′l＋rl) ． 4πR2 ④若球的半径为 R，则它的表面积 S＝________ ．
中考数学复习 专项二 解答题专项 十、二次函数与几何图形综合题课件
十、二次函数与几何图形 综合题（针对陕西中考第
24题）
解答题专项
中考解读：中考解读：二次函数与几何图形综合题为陕西中考解答题必考题，题 位为第24题，分值为10分，涉及求点的坐标、求函数解析式（利用待定系数法）、 三角形的全等和相似的性质和判定、等腰三角形和直角三角形的性质和判定、特 殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）的性质和判定、点的存在性、两 点之间线段最短、垂线段最短、面积的最值等。这类题目结构新颖，形式美观、 动静结合、解法活而不难，但有较强的综合性，要逐步突破。其主要考查类型为 （1）二次函数与图形判定；（2）二次函数与相似三角形（全等三角形）；（3） 二次函数与图形面积；（4）二次函数与图形变换；（5）二次函数与最值问题。
类型1 二次函数与图形判定
核心素养及解题思想和方法 1.核心素养：数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象。 2.数形结合思想和分类讨论思想。 3.常用解题方法：代数法和几何法。
解答题专项
代数模型一、平面直角坐标系中两点距离公式
代数模型二、中点坐标公 式
代数模型三、平行四边形四顶点坐标模型
解答题专项
【问题情境】 如图13，已知平面内不共线的三点A，B，C或两点A，B，求作一点或两点C，P,使 得A，B，C，P四个点组成平行四边形。
【问题探究】 (1)如图14，顺次连接AB，BC，CA，分别过A，B，C作 对边的平行线，三条平行线交点即为所求点P。
解答题专项
(2)对于已知两点，求两点C，P，题目中的C，P两动点位置受某种条件约束。如图 15，若以AB为一边，根据题目约束条件，可将AB进行上 下左右平移，找到适合条件的两个点的坐标。如 图16，若以AB为对角线，找出AB中点，旋转经过 中点的直线，寻找适合条件的两个点的坐标。
(2024版)大单元整体教学设计
可编辑修改精选全文完整版大单元整体教学设计大单元整体教学设计（精选5篇）作为一位无私奉献的人民教师，就难以避免地要准备教学设计，教学设计是教育技术的组成部分，它的功能在于运用系统方法设计教学过程，使之成为一种具有操作性的程序。
优秀的教学设计都具备一些什么特点呢？下面是小编为大家收集的大单元整体教学设计（精选5篇），欢迎大家分享。
大单元整体教学设计1一、激趣导入1.背丛书101页《数字成语排排坐》。
2.出示谜语，猜谜底。
二、检查预习，巧妙识字。
1.词语大比拼瞧，我们班的小朋友可真厉害，这么难的谜语都没有打败你们，那我可就要出难题了。
就让我们一起走进词语大比拼。
出示词语。
自由认读词语，接着我们来大比拼。
第一场：男女比拼(男生前三行，女生后三行)，男女互换。
师：男生不愧是男子汉，声音洪亮整齐。
女生可要加油了!女生的声音甜美可爱，继续努力。
第二场：竖行比拼。
第三场：小组比拼。
2.搭建智慧屋小朋友们，你们想不想当小小建筑师(想)那就让我们一起动手来搭一搭我们的智慧屋吧!火车火车就要开，谁来开?(1)逐一出示词语：数数、京城、诉说、那些、安全、现在、景色、平静、回家、清楚、可爱、高兴。
(2)词语读正确了，房屋盖一层。
师评价：你总是这么棒，不愧是我们班的小智慧星。
比起以前你已经有很大进步了，继续努力，老师相信你可以更棒的!(3)齐读词语。
3.燕子走迷宫在智慧屋里有只小燕子走丢了，你们愿意帮助它找到它的家吗?(愿意)那我们一起齐读来帮它吧!课件出示迷宫图片、词语。
词语：报告、彩旗、飘落、回答、清点、这些、自己、学会、仔细。
4.做游戏过渡：同学们表现的这么棒!老师决定奖励大家一个萝卜蹲的游戏。
(生拿出提前做好的词语卡片)现在，选6个小朋友带上自己的词语卡片上台来玩游戏。
游戏规则：先自我介绍，并记住其他的'词语宝宝。
谁说错或者没跟上节奏就淘汰，淘汰后自己拼读卡片上的词语带领大家读两遍。
设计意图：让孩子在玩耍中快乐的识字。
高中数学(苏教版)必修2精品教学案全集：平面解析几何初步 第7课时——两条直线的平行与垂直(2)——教师
两条直线的平行与垂直(２) 【学习导航】学习要求1．掌握两条直线垂直的判定方法，并会根据直线方程判断两条直线是否垂直；2．理解两条直线垂直条件的推导过程，注意解几思想的渗透和表述的规范性，培养学生的探索和概括能力． 【课堂互动】自学评价（1）当两条直线的斜率都存在时，如果它们 互相垂直 ，那么它们的斜率的乘积等于1-，反之，如果它们的斜率的乘积等于1-，那么它们 互相垂直 .（2）若两条直线12,l l 中的一条斜率不存在，则另一条斜率为 0 时，12l l ⊥.【精典范例】例1：（1）已知四点(5,3),A (10,6),(3,4),(6,11)B C D --，求证：AB CD ⊥．（2）已知直线1l 的斜率为134k =，直线2l 经过点2(3,2),(0,1)A a B a -+，且12l l ⊥，求实数a 的值．【证明】（1）由斜率公式得：63311(4)5,1055633AB CD k k ---====----， 则1AB CD k k ⋅=-， ∴AB CD ⊥．（2）∵12l l ⊥，∴121k k ⋅=-， 即231(2)1403a a+--⨯=--， 解得1a =或3a =，∴当1a =或3a =时，12l l ⊥．点评:本题是两直线垂直判定的简单应用.角形的三个顶点为(2,4),A (1,2),B -(2,3)C -，求例2：已知三高AD 所在的直线方程． BC 边上的BC 和AD 垂直,求出AD 的斜率,利用直线的分析：由求出高AD 所在的直线方程． 点斜式便可BC 的斜率为3(2)5213BC k --==---， ∵【解】直线AD BC ⊥， ∴35AD k =， 根据点斜式，得到所求直线的方程为34(2)5y x -=-， 即35140x y -+=. 点评：一般地，与直线0=++C By Ax 垂直的直线的方程可设为0=+-m Ay Bx ，其中m 待定．例3：在路边安装路灯，路宽23m ，灯杆长2.5m ，且与灯柱成120o角，路灯采用锥形灯罩，2-A B C D 24 2-灯罩轴线与灯杆垂直．当灯柱高h 为多少米时，灯罩轴线正好通过道路路面的中线？（精确到0.01m ）【解】记灯柱顶端为B ，灯罩顶为A ，灯管为AB ，灯罩轴线与道路中线交于点C ．以灯柱底端O 为原点，灯柱OB 为y 轴，建立如图所示的直角坐标系．点B 的坐标为(0,)h ，点C 的坐标为(11.5,0)，∵120OBA ∠=o ，∴直线BA 的倾斜角为30o ，则点A 的坐标为（2.5cos30, 2.5sin 30h +o o ），即（ 1.25h +），CA BA ⊥Q∴1CA BA k k =-1tan 30=-=o ，由直线的点斜式方程，得CA 的方程为( 1.25)y h x -+=-，Q 灯罩轴线CA 过点(11.5,0)C ，∴( 1.25)h -+=-，解得 14.92()h m ≈答：灯柱高h 约为14.92m ． 点评:读懂题意,画出示意图,建立直角坐标系,构造数学模型是关键.追踪训练一1. 以(1,1),(2,1),(1,4)A B C --为顶点的三角形是 （B ） （A ）锐角三角形 （B ）直角三角形 （C ）钝角三角形 ２.（2000京皖春，6）直线（23-）x +y =3和直线x +（32-）y =2的位置关系是 （ B ）（A ）相交不垂直 （B ）垂直（C ）平行 （D ）重合３. 过原点作直线l 的垂线，若垂足为(2,3)-，则直线l 的方程是23130x y -+=． ４. 已知两直线0742:1=+-y x l ，2:250l x y +-=，求证：21l l ⊥．【选修延伸】例4：（课本第91页 习题 第12题）直线1l 和2l 的方程分别是1110A x B y C ++=和2220A x B y C ++=，其中11,A B 不全为0，22,A B 也不全为0，试探究：（1）当12//l l 时，直线方程中的系数应满足什么关系？（2）当12l l ⊥时，直线方程中的系数应满足什么关系？分析：由于1l 和2l 的斜率可能不存在，因此分类讨论．【解】（1）①当两直线方程中,x y 的系数有一个为0时，不妨设10B =，则必有10A ≠，此时直线1l 垂直于x 轴，其方程为110A x C +=，由12//l l 知2l 也垂直于x 轴，其方程可以为220A x C +=，此时满足1221A B A B =；反之也成立．②当两直线方程中,x y 的系数均不为0时，直线1l 和2l 的斜率分别为11A B -，22A B -，由12//l l 得1212A A B B -=-， 即1221A B A B =．反之也成立．综合①②可知：当12//l l 时，1221A B A B =．（2）①当两直线方程中,x y 的系数有一个为0时，不妨设10B =，则必有10A ≠，此时直线1l 垂直于x 轴，其方程为110A x C +=，由12l l ⊥知，直线2l 平行于x 轴，故其方程为220B y C +=，满足，12120A A B B +=；反之也成立．②当两直线方程中,x y 的系数均不为0时，直线1l 和2l 的斜率分别为11A B -，22A B -， 由12l l ⊥知，1212()()1A A B B --=-，∴12120A A B B +=．反之也成立． 综合①②可知：当12l l ⊥时，12120A A B B +=．点评：斜率是否存在的讨论是本题的难点所在．另外，分类讨论的数学思想也得到了充分的体现．思维点拔：1．求直线方程时，与y kx b =+或0Ax By C ++=平行的直线可分别设为1y kx b =+或10Ax By C ++=（其中11,b C 为待定系数）；与y kx b =+或0Ax By C ++=垂直的直线可分别设为()110y x b k k=-+≠或10Bx Ay C -+=（其中11,b C 为待定系数）． 2．在解有关两直线平行或垂直问题时,应注意它们的斜率是否存在,否则需分类讨论. 追踪训练二1．若直线03)1()2(=--++y a x a 与02)32()1(=+++-y a x a 互相垂直，则实数a 的值为11a =-或．2．由四条直线：210x y +-=，210x y --=，2410x y ++=，4210x y -+=围成的四边形是 ( D )()A 等腰梯形()B 梯形 ()C 长方形()D 正方形3．过点(2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程是250x y +-=．4．分别经过点A(1,2)、B(2,4)的两条直线互相平行，当它们之间的距离达到最大时，求这两条直线的方程．答案:经过,A B 的直线分别是10x y +-=及2100x y +-=．。