下册七(沪科)数教用课件：第八章 整式乘法与因式分解45-46
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沪科版七年级下册数学精品教学课件 第8章整式乘法与因式分解 第2课时 零次幂、负整数次幂及科学记数法
例2 若 (x - 1)x＋1 = 1，求 x 的值. 解：①当 x＋1 = 0，即 x = -1 时，(x - 1)x＋1 = (-2)0 = 1；
②当 x - 1 = 1，即 x = 2 时，(x - 1)x＋1 = 13 = 1； ③当 x - 1 = -1，即 x = 0 时，(x - 1)x＋1 = (-1)1 = -1. 故 x 的值为 -1 或 2.
算一算： 10－2 = ____0_._0_1____；
10－4 = ___0_.0_0_0_1____；
10－8 = _0_._0_0_0_0_0_0_0_1_.
议一议：指数与运算结果的 0 的个数有什么关系？ 通过上面的探索，你发现了什么？
一般地，10 的 -n 次幂，在 1 前面有__n___个 0.
想一想：10－21 的小数点后的位数是几位？ 1 前面有几个零？
知识要点 用科学记数法表示一些绝对值小于 1 的数的方法：
利用 10 的负整数次幂，把一个绝对值小于 1 的数表 示成 a×10-n 的形式，其中 n 是正整数，1≤|a|＜10. n 等于原数第一个非零数字前所有零的个数（特别注 意：包括小数点前面那个零）.
a0 an a0n 1 an.
即 an 1（a 0，n 是正整数）. an
特别地，a1 1 (a 0). a
例4
若
a
=
2 3
-2
，b
=
(-1)-1，c
=
3 2
0
，则
a，b，
c 的大小关系是（ B ）
A．a＞b＝c
B．a＞c＞b
C．c＞a＞b
D．b＞c＞a
解 析32：0a==1，故23
a-n＝
沪科版七年级数学下册第8章整式乘法与因式分解8.2：整式乘法课件
(2) 7a8b4c2 49a7b4
(7) 49 a87b44c2
1 ac2 7
练一练
(1) (2x2 y)3 (7xy2 ) 14x4 y3 (2) (2a b)4 (2a b)2
(1) (2x2 y)3 (7xy2 ) 14x4 y3
bc5•abc7 =a• (b•b)•(c5•c7) =ab2c5+7=ab2c12
归纳总结
单项式与单项式相乘的法则：
单项式与单项式相乘，把它们 的系数、相同字母分别相乘，对于 只在一个单项式里含有的字母，则 连同它的指数作为积的一个因式。
例1
-4abc
1 2
ab
解：-4abc
看成一个整体
例3 “卡西尼”号土星探测器历经7年多、行 程约3.5×109km后进入环绕土星运行的轨道。
（1）它的这一行程相当于地球赤道多少圈？ （已知地球半径约6.4×103km，π取3.14 ）
（2）这一行程如果由速度是100km/h的汽车 来完成，需要行驶多少年？（1年按365天计算）
（3）这一行程如果由速度是10m/s的短跑飞人 来完成，需要跑多少年？
5abc·(-3ab)= 〔 5×(-3) 〕·(a·a_)(b·_b) ·c=_-_15_a_2b_2_c_
只在一个单项式里含有的字母要连同它的 指数写在积里(注意不要把这个因式丢掉)
注：单项式相乘的结果仍是单项式
口答
1 2x2 3x3 56x5 （×）
2 2 a2b3 5 abc 1 a3b4c（×）
整式乘法
单项式与单项式相乘
第一课时
知识回顾
前面我们学习了哪些幂的运算？ 运算方法分别是什么？
七年级下册数学学沪科版 第8章 整式乘法与因式分解 课件8.2.1 单项式与单项式相乘
【点拨】四月份营业额为 bc＝a(元)，五月份营业额为 3b×0.8c＝ 2.4bc＝2.4a(元)，所以五月份该品牌衬衣的营业额比四月份增加 2.4a－a＝1.4a(元)．
9．已知单项式 2a3y2 与－4a2y4 的积为 ma5yn，则 m＋n 的值为 __－__2____．
【点拨】2a3y2×(－4a2y4)＝－8a5y6＝ma5yn，故 m＝－8，n＝6， 则 m＋n＝－2.
1．[中考·柳州]计算：(2a)·(ab)＝( B ) A．2ab B．2a2b C．3ab D．3a2b
2．[中考·湖州]计算－3a·(2b)，正确的结果是( A )
A．－6ab B．6ab
C．－ab
D．ab
3．计算：(xn)n·36xn＝( C ) A．36xn B．36x3n C．36xn2＋n
10．计算： (1)[淮北期末]12x·2x3·(－3x2)；
解：原式＝－3x1＋3＋2＝－3x6.
(2)(－3a2b)2·－23abc·34ac2； 原式＝9a4b2·－23abc·34ac2＝－92a6b3c3.
(3)5a3b·(－3b)2＋(－ab)·(－6ab)2. 原式＝45a3b3－36a3b3＝9a3b3.
D．36x2＋n
4．计算：(－3xm＋2y2n)·(4x3－my)＝__－__1_2_x_5_y_2n_＋__1 __．
5．[六安裕安区期中]长方体的长是 2×104 厘米，宽是 1.5×103 厘 米，高是 3×103 厘米，那么它的体积是___9_×__1_0_10______立方 厘米．
6．若(xa＋1yb＋1)·(x2b－1y)＝x5y3，则 a＋b＝__4______.
11．已知(2x2y)m·(－xynz)3·3y4z6＝－24xqy10zp，求 mn＋pq 的值．
9．已知单项式 2a3y2 与－4a2y4 的积为 ma5yn，则 m＋n 的值为 __－__2____．
【点拨】2a3y2×(－4a2y4)＝－8a5y6＝ma5yn，故 m＝－8，n＝6， 则 m＋n＝－2.
1．[中考·柳州]计算：(2a)·(ab)＝( B ) A．2ab B．2a2b C．3ab D．3a2b
2．[中考·湖州]计算－3a·(2b)，正确的结果是( A )
A．－6ab B．6ab
C．－ab
D．ab
3．计算：(xn)n·36xn＝( C ) A．36xn B．36x3n C．36xn2＋n
10．计算： (1)[淮北期末]12x·2x3·(－3x2)；
解：原式＝－3x1＋3＋2＝－3x6.
(2)(－3a2b)2·－23abc·34ac2； 原式＝9a4b2·－23abc·34ac2＝－92a6b3c3.
(3)5a3b·(－3b)2＋(－ab)·(－6ab)2. 原式＝45a3b3－36a3b3＝9a3b3.
D．36x2＋n
4．计算：(－3xm＋2y2n)·(4x3－my)＝__－__1_2_x_5_y_2n_＋__1 __．
5．[六安裕安区期中]长方体的长是 2×104 厘米，宽是 1.5×103 厘 米，高是 3×103 厘米，那么它的体积是___9_×__1_0_10______立方 厘米．
6．若(xa＋1yb＋1)·(x2b－1y)＝x5y3，则 a＋b＝__4______.
11．已知(2x2y)m·(－xynz)3·3y4z6＝－24xqy10zp，求 mn＋pq 的值．
沪科版七年级数学下册：第8章 整式乘法与因式分解 教学课件
解: (1) (a－b)2 (a－b) = (a－b)2+1 = (a－b)3 .
(2) (x+y)3×(x+y)= (x+y) 3+1= (x+y)4 .
(3) (b－ a)2(a－ b)= (a－b)2 (a－b) = (a－b)2+1
= (a－b)3
(4) (x- y) 3 × (y-x)3 = - (y - x)3 × ( y – x ) 3 = - (y - x)6
通过学习，你有哪些收获？
1 乘方的意义:
an = a·a·… ·a n个a
2 同底数幂的乘法性质：
am ·an =am+n(m，n都是正整数）.
am·an·ap = am+n+p （m、n、p都是正整数).
3 注意：同底数幂相乘时 底数 不变 ，指数 相加 .
通过学习，你有哪些收获？
1 乘方的意义:
(3) -a2 ·a6 = - a2+6 = - a8
(4) y2n ·yn+1 = y2n+n+1 = y3n+1
活动5 应用提高、拓展创新
计算 (1) (a－b)2 (a－b). (3) (b－ a)2(a－ b).
(2) (x+y) 3× (x+y). (4) (x- y) 3 × (y-x)3
计算：（1）3b3 5 b2 6
同学们,你们知道我们的教室有多大吗? 小明想要估算它的面积，你能帮助他解决问 题吗？
小明采用步长测量教室的面积，测量长 时走了13步，测量宽时走了9步，如果小 明的步长用a米表示, 你能用含a的代数式表 示教室的面积吗?
解:(13a) • (9a)
沪科版七年级下册数学精品教学课件-第8章-整式乘法与因式分解-公式法(2024版)
步骤
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有 分解到不能再分解为止.
1. 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ D ）
A．a2 ＋ ( - b)2
B．5m2 - 20mn
C．- x2 - y2
D． - x2 ＋ 9
2. 分解因式 ( 2x + 3 )2 - x2 的结果是（ D ）
A．3(x2 + 4x + 3)
B．3(x2 + 2x + 3)
C．(3x + 3)(x + 3)
x＋y ＝ 1①，
所以 x - y ＝ -2②.
联立①②组成二元一次方程组，
解得
x y
3 2
1 2
.
，
方法总结：在与 x2－y2，x±y 有关的求代数式 或未知数的值的问题中，通常需先因式分解， 然后整体代入或联立方程组求值.
例3 计算下列各题： (1) 1012 - 992； (2) 53.52×4 46解.52：×(41.) 原式＝(101＋99)(101－99)＝400.
因式吗？ 是 a，b 两数的平方差的形式
平方差公式： 整式乘法
( a + b )( a - b ) = a2 - b2 a2 - b2 = ( a + b )( a - b )
因式分解
两个数的平方 差，等于这两 个数的和与这 两个数的差的 乘积.
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，
为什么？ （1）x2 + y2 （2）x2 - y2
解析：∵ 16 = (±4)2，∴ - m = 2×(±4)，即 m = ±8.
方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的结构 特征，根据参数所在位置，结合公式，找出参数 与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值. 计算过程中，要注意积的 2 倍的符号，避免漏解.
沪科版七年级下第8章 8.4.2 因式分解 公式法课件(15张PPT)
满足上述条件就可以用平方差公式
小试牛刀
判断下列各多项式是否可以用平方差公式进 行因式分解，如果可以，指出对应公式中的 a，b分别是什么，如果不能请说明理由。
(1)、a²-2ab+b² (2)、a²+b² (3)、-a²-b² (4)、a²-b (5)、a²-1 (6)、4a²-25b²(7)-16m²+1
）
3、分解因式：
（1）、4x²+4x+1 （2）、(x-2y)²+8xy
（3）、 1 x2 1 y2 （4）、(x+1)(x-1)-35
16 25
布置作业 课堂小册子
魅力数学
1、用简便方法计算：
1 1 1 1 1 1 1 1 ...1 1 4 9 16 25 10000
因式分解
引出概念
像这样运用公式进行因式分解的方法叫做公式 法
掌握运用
那么，我们如何运用公式法进行因式分解呢？ 观察刚才的等式
a²+2ab+b²=(a+b)² a²-2ab+b²=(a-b)² 等式左边的多项式具有什么特点？
特征： 项数 三项式 特点 两项能够写成完全平方数，另外 一项是它们底数积的2倍。 符号 完全平方数的两项符号相同
满足刚才三点要求就可以运用完全平方公式法来 因式分解了。
判断下列各多项式可以运用完全平方法进行分解 因式吗？
（1）x²-2x+1 （2）m²+2mn+n²（3）4a²+6ab+9b² （4）(a-b)²-2(a-b)+1（5）-a²+2ab-b²（6）2a²-b （7）x²-2xy-y ² （8）a²-ab+b²（9）m²+mn+n²
小试牛刀
判断下列各多项式是否可以用平方差公式进 行因式分解，如果可以，指出对应公式中的 a，b分别是什么，如果不能请说明理由。
(1)、a²-2ab+b² (2)、a²+b² (3)、-a²-b² (4)、a²-b (5)、a²-1 (6)、4a²-25b²(7)-16m²+1
）
3、分解因式：
（1）、4x²+4x+1 （2）、(x-2y)²+8xy
（3）、 1 x2 1 y2 （4）、(x+1)(x-1)-35
16 25
布置作业 课堂小册子
魅力数学
1、用简便方法计算：
1 1 1 1 1 1 1 1 ...1 1 4 9 16 25 10000
因式分解
引出概念
像这样运用公式进行因式分解的方法叫做公式 法
掌握运用
那么，我们如何运用公式法进行因式分解呢？ 观察刚才的等式
a²+2ab+b²=(a+b)² a²-2ab+b²=(a-b)² 等式左边的多项式具有什么特点？
特征： 项数 三项式 特点 两项能够写成完全平方数，另外 一项是它们底数积的2倍。 符号 完全平方数的两项符号相同
满足刚才三点要求就可以运用完全平方公式法来 因式分解了。
判断下列各多项式可以运用完全平方法进行分解 因式吗？
（1）x²-2x+1 （2）m²+2mn+n²（3）4a²+6ab+9b² （4）(a-b)²-2(a-b)+1（5）-a²+2ab-b²（6）2a²-b （7）x²-2xy-y ² （8）a²-ab+b²（9）m²+mn+n²
第8章整式乘法和因式分解复习课课件38张初中数学沪科版七年级下册
【当堂检测】
5.计算：(1)(2a＋5b)(a－3b)；(2)(x＋1)(x2－x＋1)； (3)(3x-2y)(y-3x)-(2x-y)(3x+y)．
解：(1)原式=2a2-6ab+5ab-15b2 =2a2-ab-15b2.
(2)原式=x3-x2+x+x2-x+1 =x3+1.
(3)原式=(-9x2+9xy-2y2)-(6x2-xy-y2) =-15x2+10xy－y2.
典型例题
例6.如图所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形. b
(1)图①中阴影部分的面积为___a_2-_b_2___， a
图②中阴影部分的面积为_(_a_+_b_)_(_a_-_b_)；
(2)通过视察比较两图的阴影部分面积， 可以得到乘法公式为__(_a_+_b_)_(_a_-_b_)_=_a_2_-_b_2 ___(用式子表达)；
2
分析：本题是一个含有整式的乘方、乘法、加减的混合运算，根据式子的 特点灵活选用相应的公式或法则是解题的关键． 解：原式=a2－4ab＋4b2＋a2－b2－2(a2－4ab＋3b2)
=2a2－4ab＋3b2－2a2＋8ab－6b2＝4ab－3b2.
当a=
1 2
，b=-3时，原式=4×
1 2
×(-3)-3×(－3)2=-6-27=-33.
C. a4 ·a3=a7
D. a2·a4=a8
解析：a2·a4=a2+4=a6，故D选项错误.
2.(1)若∣p+3∣=(-202X)0，则p＝ -4或-2 ；
(2)若(x-2)0＝1，则x应满足的条件是 x≠2 ．
解析：任何不等于0的数的0次幂都等于1,；故(1)中∣p+3∣=1，(2)中x-2≠0.
最新沪科版数学七年级下册第8章整式乘法与因式分解8.2：整式乘法课件
分析：距离=速度×时间；即（3×105）×（4×3×107）； 怎样计算（3×105）×（ 4×3×107 ）？
地球与太阳的距离约是： （3×105）×（4×3×107） =4×3 ×3 × 105 ×107 =4×32×105 ×107 =3.6 ×1013（km）
因此，地球与这颗恒星的距离约为3.6 ×1013 km
8x6 y (7xy2 ) 14x4 y3
56x7 y5 14x4 y3
4x3 y2
注意运算顺
序：先乘方，再 乘除，最后算加
减
(2) (2a b)4 (2a b)2 (2a b)42 (2a b)2 4a2 4ab b2
可以把 2a b
选作：
精心选一选：
1.下列计算中，正确的是（ B ）
A.2a3·3a2=6a6
B.4x3·2x5=8x8
C.2X·2X5=4X5 D.5X3·4X4=9X7 2.下列运算正确的是（ D ）
A.X2·X3=X6
B.X2+X2=2X4
C.(-2X)2=-4X2 D.(-2X2)(-3X3)=6x5
计算15a4b3x2 3a2b3 ，就是要 求一个单项式，使它与 3a2b3 相乘 的积等于 15a4b3x2。
因为 (5a2 x2 ) (3a2b3 ) 15a4b3x2
所以 15a4b3x2 3a2b3 5a2 x2
分析
得到什么规律？
单项式除法法则
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除， 作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母， 则连同它的指数作为商的一个因式。
bc5•abc7 =a• (b•b)•(c5•c7) =ab2c5+7=ab2c12
地球与太阳的距离约是： （3×105）×（4×3×107） =4×3 ×3 × 105 ×107 =4×32×105 ×107 =3.6 ×1013（km）
因此，地球与这颗恒星的距离约为3.6 ×1013 km
8x6 y (7xy2 ) 14x4 y3
56x7 y5 14x4 y3
4x3 y2
注意运算顺
序：先乘方，再 乘除，最后算加
减
(2) (2a b)4 (2a b)2 (2a b)42 (2a b)2 4a2 4ab b2
可以把 2a b
选作：
精心选一选：
1.下列计算中，正确的是（ B ）
A.2a3·3a2=6a6
B.4x3·2x5=8x8
C.2X·2X5=4X5 D.5X3·4X4=9X7 2.下列运算正确的是（ D ）
A.X2·X3=X6
B.X2+X2=2X4
C.(-2X)2=-4X2 D.(-2X2)(-3X3)=6x5
计算15a4b3x2 3a2b3 ，就是要 求一个单项式，使它与 3a2b3 相乘 的积等于 15a4b3x2。
因为 (5a2 x2 ) (3a2b3 ) 15a4b3x2
所以 15a4b3x2 3a2b3 5a2 x2
分析
得到什么规律？
单项式除法法则
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除， 作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母， 则连同它的指数作为商的一个因式。
bc5•abc7 =a• (b•b)•(c5•c7) =ab2c5+7=ab2c12
第8章 整式乘法与因式分解-因式分解的拓展课件(共27张ppt) 2022--2七年级下册数学沪科版
待定系数法
待定系数法：就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数 可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒 等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。
例 待定系数法分解因式：x3－1 设 x3－1 =((xx－+a1)) (x2+bx+1c) x3－1 = x3+(b－1)x2 +(1－b)x －1
a1c2y＋a2c1y＝by
口诀: 首尾分解，交叉相乘，求和凑中
例 把x2＋7x＋10分解因式．
常数项
二次项系数为1
分解
x2＋7x＋10
一次项系数7
10＝1×10 10＝(－1)×(－10) 10＝2×5 7＝2＋5 10＝(－2)×(－5)
x2＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）
解析 二次三项式：x2＋7x＋10
分解二次项系数
分解常数
1
p
1
q
1×q＋1×p ＝p＋q
二次项系数不为1型
ax2＋bx＋c ＝(a1x＋c1)(a2x＋c2)
分解二次项系数
分解常数
a1
c1
a2
c2
a1c2＋a2c1＝b
两个字母型
ax2＋bxy＋cy2 ＝(a1x＋c1y)(a2x＋c2y)
分解二次项系数
分解常数
a1
c1y
a2
c2y
＝x(x2－3x－4)＋4(x＋1)
＝x(x－4)(x＋1)＋4(x＋1)
＝(x＋1)(x2－4x＋4)＝(x＋1)(x－2)2
例 分解因式：x3－3x2＋4． x3－3x2＋4
拆二次项
沪科版七年级下册数学课件第八章整式乘法 和因式分解 8.2.3 多项式和多项式相乘 (共23张PPT
(m+n)(a+b)=ma + mb + na + nb. 如何进行多项式与多项式相乘的运算？
实际上，把(m+n)看成一个整体，有： (m+n)(a+b) = (m+n)a+(m+n)b
= ma+mb+na+nb.
知识要点
多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每
一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得
的每一边都包进去m厘米，问小东应在挂历画上裁
下一块多大面积的长方形？
b
数学 a
七年级(下)
姓名： ____________
c
b
b
a
m m
c
面积：(2m+2b+c)(2m+a)
解：(2m+2b+c)(2m+a) = 4m2+2ma+4bm+2ab+2cm+ca.
答：小东应在挂历画上裁下一块（4m2+2ma+4bm +2ab+2cm+ca）平方厘米的长方形.
的积相加.
2
1
1
2
3
4
(a+bm +bn
3
4
多乘多顺口溜： 多乘多，来计算，多项式各项都见面，
乘后结果要相加，化简、排列才算完.
典例精析 例1 计算:（1）(1－x)(0.6－x)； (2)(2x+y)(x－y)；
解： (1) 原式=1×0.6－1×x－x·0.6+x·x =0.6－x－0.6x+x2 =0.6－1.6x+x2；
实际上，把(m+n)看成一个整体，有： (m+n)(a+b) = (m+n)a+(m+n)b
= ma+mb+na+nb.
知识要点
多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每
一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得
的每一边都包进去m厘米，问小东应在挂历画上裁
下一块多大面积的长方形？
b
数学 a
七年级(下)
姓名： ____________
c
b
b
a
m m
c
面积：(2m+2b+c)(2m+a)
解：(2m+2b+c)(2m+a) = 4m2+2ma+4bm+2ab+2cm+ca.
答：小东应在挂历画上裁下一块（4m2+2ma+4bm +2ab+2cm+ca）平方厘米的长方形.
的积相加.
2
1
1
2
3
4
(a+bm +bn
3
4
多乘多顺口溜： 多乘多，来计算，多项式各项都见面，
乘后结果要相加，化简、排列才算完.
典例精析 例1 计算:（1）(1－x)(0.6－x)； (2)(2x+y)(x－y)；
解： (1) 原式=1×0.6－1×x－x·0.6+x·x =0.6－x－0.6x+x2 =0.6－1.6x+x2；