六年级下册数学试题 -数学竞赛 数列分组 全国通用版(含答案)

小学数学六年级（2019全国通用）-数学竞赛部分-数列分组（含答案）一、单选题1.如图，将自然数1，2，3，…，按箭头所指方向顺序排列，依次在2，3，5，7等数的位置拐弯，如数2算做第一次拐弯处，那么第15次拐弯处的数是（）A. 64B. 65C. 66D. 67二、填空题2.有一串分数，，,，，，，，，，，，，，，；是第________ 个数．3.自然数列1，2，3，…，n，…，它的第n组含有2n﹣1个数，第10组中各数的和是________ ．4.观察三角形数阵：那么，由上而下的第22行中由左向右的第21个数是________ ，2010是第________ 行第________ 个数．5.给定以下数列：，，，，，，，，，，…，（1）是第________ 项；（2）第244项是________ ；（3）前30项之和是________ ．6.如图，问：第11行最左边的数是________ ．7.在以下数列：，，，，，，，，，，，，…中，居于第________ 项．8.将自然数按以下规律排列，则2012所在的位置是第________ 行第________ 列．9.右图是著名德国数学家莱布尼茨给出的三角形：则排在由上而下的第10行中从右边数第三个位置的数是________ ．10.把自然数1、2、3、4、…按照下面的顺序排列（横排叫行，竖排叫列）．1995这个数排在第________ 行第________ 列．三、计算题11.有一列数：1，1993，1992，1，1991，1990，1，…，从第三个数起，每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差，求从第一个起到1993个数这1993个数之和．12.计算（1）1﹣2+3﹣4+5﹣6+…﹣1994+1995（2）1995﹣1992+1989﹣1986+…+9﹣6+3（3）（3+5）+（3+5×2）+…+（3+5×99）+（3+5×100）13.把1，2，3，…，9填在如图的9个圆圈里，然后将任意两个相邻的数相加，得到一些和，要使这些和都不超过整数n，n至少是多少？14.有一数列：101，203，105，207，109，211，…求这数列的前20项的和．四、综合题15.根据下图回答：（1）第一行的第8个数是几？（2）第五行第六列上的数是几？（3）200的位置在哪一格（说出所在行和列的序号）？16.观察下表找规律，并回答下列问题．A：1 6 7 12 …B：2 5 8 11 …C：3 4 9 10 …（1）到2012为止，A、B、C各有多少个数？（2）512和520这两个数分别躲在哪一组？17.设自然数按下图的格式排列：1 2 5 10 17 …4 3 6 11 18 …9 8 7 12 19 …16 15 14 13 20 …25 24 23 22 21 ……（1）200所在的位置是第________ 行，第________ 列；（2）第10行第10个数是________ ．18.自然数按下图所示的方法排列．问：（1）射线b上第1995个数是几？（2）数1995在哪条射线上？19.将奇数按下列方式分组：（1），（3，5），（7，9，11），（13，15，17，19），…．（1）第15组中第一个数是________ ；（2）第15组中所有数的和是________ ；（3）999位于第________ 组第________ 号．五、应用题20.有一个电脑程序，当你输入一个数字时，会输出如图结果：那么当输入4时，输出图形中的数字之和是84．21.在下面的数表中，第100行左边的第一个数是什么？5 4 3 26 7 8 913 12 11 1014 15 16 1721 20 19 18…22.将偶数排成下表：A B C D E2 4 6 816 14 12 1018 20 22 2432 30 28 26…那么，1998这个数在哪个字母下面？23.把40，44，45，63，65，78，99，105这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等．24.把自然数1～200按下面的方法分成A、B、C三组．试问：（1）每组各有多少个数？最后一个数各是多少？（2）C组的第56个数是几？（3）172在哪一组的第几个数？25.把由1开始的自然数依次写下来：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14…．重新分组，按三个数字为一组：123，456，789，101，112，131，…，问第10个数是几？答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】数列分组【解析】【解答】解：观察拐弯处的数的规律，可以得到n个拐弯处的数，当n 为奇数时为：1+（1+3+5+…+n）=+1，所以第15次拐弯处的数是：+1=65．故选：B．【分析】解这类题目最好是能找到拐弯次数n与拐弯处的数之间的关系，观察可以发现，当n 为奇数时为1+（1+3+5+…+n）=+1，据此即能求出那么第15次拐弯处的数是多少．二、填空题2.【答案】126或140【考点】数列分组【解析】【解答】解：分母是11的分数一共有；2×11﹣1=21（个）；从分母是1的分数到分母是11的分数一共：1+3+5+7+ (21)=（1+21）×11÷2，=22×11÷2，=121（个）；第一个是第122个数，第一个就是第126个数；第二个就是第140个数．故答案为：126或140．【分析】分母是1的分数有1个，分子是1；分母是2的分数有3个，分子是1，2，1；分母是3的分数有5个，分子是1，2，3，2，1；分母是4的分数有7个；分子是1，2，3，4，3，2，1．分数的个数分别是1，3，5，7…，当分母是n时有2n﹣1个分数；由此求出从分母是1的分数到分母是11的分数一共有多少个；分子是自然数，先从1增加，到和分母相同时再减少到1；因此在这个数列中应该有2个，分别求出即可．3.【答案】1729【考点】数列分组【解析】【解答】第1组到第9组共有自然数：1+3+5+…+（2×9﹣1）==81（个）．因此，第10组第1号数是82，第10组有2×10﹣1=19个数，所以第10组各数之和为．故答案为：1729．【分析】此题关键是读懂题意：由题意知，第1组有2×1﹣1=1个数，即1．第2组有2×2﹣1=3个数，即1，2，3．以此类推．4.【答案】462；45；74【考点】数列分组【解析】【解答】解：（1）通过分析数阵可知：行数×2﹣1=该行数字个数，则第二十一行有：21×2﹣1=41个数．到这一行为止，共有：1+3+5+…+41=441个数，那第22行由左到右的第21个数是441+21=462．（2）从左到右，第几个数上的数就是几，2010应该是第2010个数；可先试下到44行共有多少个数字，第44行有44×2﹣1=87个数字，到这一行为止共有：1+3+5+…+87=（1+87）×44÷2=1936个数字，2010﹣1936=74，说明2010在第45行第74个数字．故答案为：462、45、74．【分析】（1）仔细观察：从左到右，第几个数上的数就是几，而且第一行1个数，第二行3个数，第三5个数…，所以行数×2﹣1=个数，则第二十一行有：21×2﹣1=41个数，到这一行为止，共有：1+3+5+…+41=441个数，那第22行由左到右的第21个数是441+21=462．（2）2010应该是第2010个数，那么1+3+5+…加到多少大概在2010左右呢？由（1）可知，第22行有22×2﹣1=43个数字，第这一行为止，共有1+3+5+…+43=484个数字，离2010个数字很远，试下到44行共有多少个数字，第44行有44×2﹣1=87个数字，到这一行为止共有：1+3+5+…+87=（1+87）×44÷2=1936个数字，2010﹣1936=74，说明2010在第45行第74个数字．5.【答案】429；；17【考点】数列分组【解析】【解答】（1）以分母相同的分数分组，并记分母为n的分数属于第n组，从而是第29组的第23号数，第n组由n个分数组成，从第1组到第28组有1+2+3+...+28==406个分数，因此位于第406+23=429项．（2）因21×20=420，22×21=462，23×22=506，故第244项在第22组，前21组有=231个分数，从而第244项是居于第22组中的第13号数，是．（3）前30项之为1+（1+2）+（1+2+3）+…+（1+2+…+7）++=1+2++3++4+=10+=17．故答案为：429，，17．【分析】从给定的数列看数列中分母是几，以此为分母的数就有几个．比如：分母是4，则以4为分母的数便有4个．同理分母是7的得数有7个，所以第一题分母是29分子是23则前面有28组数加23个数．第二、三题需要试一试前多少组共多少个数．找到合适的组数在确定第几个数．6.【答案】101【考点】数列分组【解析】解：根据分析可得，方法一：10×1+10×（10﹣1）×2÷2+1=101；方法二：第10行最后一个数是：102=100，那么第11行最左边的数是：100+1=101；故答案为：101．【分析】方法一：如果单看第一列的数的排列规律是每次递增1、3、5、7…（等差数列）；根据高斯求和公式，可以求出第11行最左边的数是：10×1+10×（10﹣1）×2÷2+1=101；方法二：单看每一行的最后一个数会发现：最后一个数等于行数的平方，所以第10行最后一个数是：102=100，那么第11行最左边的数是：100+1=101；据此解答．7.【答案】319【考点】数列分组【解析】【解答】解：将分子与分母之和相等者归于同一组：，，，，…，其中在7+19﹣1=25组，是第25﹣7+1=19个数；1至24组共有分数：1+2+3++24==300（个）．所以在原数列中是第300+19=319项．故答案为：319．【分析】首先发现第一个数的分子分母的和为2，第二、第三个数的分子分母的和为3，第四、五、六个数的分子分母的和为4，…，由此将分子与分母之和相等的归于同一组，算出在7+19﹣1=25组，在算出在25组的位置，由此找出规律解决问题．8.【答案】14；45【考点】数列分组【解析】【解答】解：观察发现，第一行的第1、3、5列的数分别为1、9、25，为所在列数的平方，然后向下每一行递减1至与列数相同的行止，第一列的第2、4、6行的数分别为4、16、36，为所在行数的平方，然后向右每一列递减1至与行数相同的列止，因为452=2025，2025﹣2012+1=14，所以自然数2012在左起第45列，上起第14行．故答案为：14，45．【分析】察不难发现，第奇数列的第一行的数为所在列数的平方，然后向下每一行递减一个数至与列数相同的行止，第偶数行的第一列的数是所在行数的平方，然后向右每一列递减1至与行数相同的列止，根据此规律求出与2012最接近的平方数，然后找出所在的列数与行数即可．9.【答案】【考点】数列分组【解析】【解答】解：因为第10行最后一个数是，第9行最后一个数是，第8行最后一个数是，所以第9行倒数第二个数是﹣=，第十行倒数第二个数是﹣=，所以，第10行右数第三个数是﹣=．故答案为：．【分析】通过对已知数据进行观察分析可发现各行的前后两个数分别为行数的倒数，倒数第二个数等于前一行的最后一个数与本行的最后一个数的差，倒数第三个数等于前一行的倒数第二个数与本行的倒数第二个数的差，根据此规律解题即可．10.【答案】五百七十；二【考点】数列分组【解析】【解答】解：1995÷7=285；没有余数，1995里面正好有中285组，是第285组的最后一个数，在第二列；285×2=570；所以1995是第五百七十行，第二列．故答案为：五百七十，二．【分析】把7个连续的数看成一组，每组中前三个数是一行，这三个数是从左到右增大的，后4个数在一行，这4个数按照从右到左增大的；先求出1995里面有多少个这样的一组，还余几，再根据余数进行推算．三、计算题11.【答案】解：1×665+（666+1993）×1328÷2=665+2659×1328÷2=665+1765576=1766241；答：这1993个数的和为1766241．【考点】数列分组【解析】【分析】仔细观察这一数列，若把1抽出，则正好成为一个等差数列：1993，1992，1991，1990，…；在原数列中三个数一组出现一个1，则1993个数1993÷3=664…1．可分为664组，最后一个也是1，即665个1，其余是1993﹣665=1328个数，即除了1之外，最大是1993，最小应是1993﹣1328+1=666，首先算出这1328个数的和再加665个1即可．12.【答案】解：（1）1﹣2+3﹣4+5﹣6+…﹣1994+1995，=1+（3﹣2）+（5﹣4）+…+（1995﹣1994），=998；（2）1995﹣1992+1989﹣1986+…+9﹣6+3=（1995﹣1992）+（1989﹣1986）+…+（9﹣6）+3，=[（1995﹣9）÷6+1]×3+3，=332×3+3，=999；（3）（3+5）+（3+5×2）+…+（3+5×99）+（3+5×100），=（3+3+3+…+3）+（5+5×2+5×3+…5×99+5×100），=3×100+（5+500）×100÷2，=25550．【考点】数列分组【解析】【分析】（1）通过数字发现从最后的数字起，用最后的数字减去前面的数字结果是1，以此类推可以分成（1995﹣1）÷2=997组，最后剩下开头数字1，由此得出结果；（2）从前面开始发现每两个相邻的是相减结果都是3，而被减数和减数是依次减6的数列，所以一共分成（1995﹣9）÷6+1=332组，最后剩下甲3，由此为题得以解决；（3）把括号去掉，重新分组，把100个3放在一起相加，把与5相乘的算式放在一起，利用乘法分配律解答即可．13.【答案】解：设这9个数字分别为a、b、c、d、e、f、g、h、i，由题意得，a+b≤nb+c≤nc+d≤nd+e≤ne+f≤nf+g≤ng+h≤nh+i≤ni+a≤n2（a+b+c+d+e+f+g+h+i）≤9n得出n≥10，当n=10的只有9+1，8+2，7+3，6+4，另一个与9相邻最小是2，因此n=10不符合题意，所以n=11．填图如下：．【考点】数列分组【解析】【分析】不妨设这9个数字分别为a、b、c、d、e、f、g、h、i，根据题意连续相邻的2个圆圈内的数的和均不超过整数n，得出不等式，从而可得出n的最小值，进而将9个数分组填入即可．14.【答案】解：（1）101+（10﹣1）×4=137，（101+137）×10÷2=1190，203+（10﹣1）×4=239，（203+239）×10÷2=2210，前20项的和是：1190+2210=3400．答：这数列的前20项的和是3400．【考点】数列分组【解析】【分析】把这列数字看成两列数，奇数项一列，偶数项一列；奇数列为：101，105，109，…可以看成是公差为4的等差数列，共10项；偶数项为：203，207，211，…可以看成是公差为4的等差数列，共10项；根据等差数量求和公式求解．四、综合题15.【答案】（1）解：如图，所有自然数按自右上至左下以斜线分组：（1），（2，3），（4，5，6），（7，8，9，10），…第n组第1号数是第一行的第n个数．从第1组到第（n﹣1）组有：1+2+3++（n﹣1）=个数，从而第n组第1号数是+1．因此，第1行第8个数是+1=29．（2）解：一般地，自上至下第m行，自左至右第n列上的数在第（m+n﹣1）组中，第五行第六列上的数在第10组中，第10组第1号数是+1=46，第10组在第五行的数是46+5﹣1=50．（3）解：19×20=380，20×21=420，故200在第20组中，第20组第一个数是+1=191，因此数200在第10行第11列的位置上．【考点】数列分组【解析】【分析】按图斜线划分分组比较容易发现（1），（2，3），（4，5，6），（7，8，9，10），…也就是每组的个数分别有1，2，3，4，5，…，第一行的第8个数是几即求前7个组共有多少数？我们还发现：自上而下第m行，自左而右第n列上的数在第（m+n﹣1）组中，照此可以解决第2题．先算出200在哪一组？再算出所在组的第一个数．16.【答案】（1）解：2012÷6=335…2；余数是2，刚好由上往下排2行，A：335×2+1=671（个）；B：335×2+1=671（个）；C：335×2=670（个）．答：A组有671个，B组有671个，C组有670个．（2）解：512÷6=85…2；512在B组；520÷6=86…4；520在C组．答：512在B组，520在C组．【考点】数列分组【解析】【分析】通过观察，每6个数一个循环，占两列，前3个数为一列向下递增排列，后3个数为一列从下向上递增．（1）用2012除以6得到的商乘2得到列数，余数再继续排一下即可得解；（2）用512、520除以6得到的商乘2得到列数，余数再继续排一下即可得．17.【答案】（1）4；15（2）91【考点】数列分组【解析】【解答】解：（1）注意到第一列是完全平方数：1，4，9，16，25，…按（1），（2，3，4），（5，6，7，8，9），分组，则200在196与225之间，属第15组，倒数第4个数，在第4行、第15列上．（2）第10行第10个数是位于第10行第10列上的数91．【分析】（1）我们看出：第一竖列都是行号的平方数．如4=22，9=32，25=52…其数列发展也是按正方形来排列的1→2→3→4，正好构成一个正方形，1→2→3→4→5→6→7→8→9又围成一个较大的正方形，其发展是按顺时针方向来旋转的．由此类推第14行第一列是142=196，此时也是此行最大．200只能在其外一圈的正方形上．200就出现在第15列第4行．（2）第2题也可以得出第10行第1列为102=100，第10个数就得减9即得到91．18.【答案】（1）解：2+（1995﹣1）×3=2+1994×3，=5984；答：射线b上第1995个数是5984．（2）解：因为射线c上的数都为3的倍数，又1995÷3=665，所以数1995在射线C上．答：数1995在射线C上．【考点】数列分组【解析】【分析】通过观察可知，射线b上的数列为等差数列，公差为3，根据高斯求和有关公式可知：末项=首项+（项数﹣1）×公差，所以射线b上第1995个数是2+（1995﹣1）×3；射线c上的数都为3的倍数，而1995÷3=665，1995为3的倍数，所以所以数1995在射线C上．19.【答案】（1）211（2）3375（3）32；4【考点】数列分组【解析】【解答】解：（1）从第1组到第14组的奇数有1+2+3+…+14==105（个）．因此，第15组最初一个数是第106个奇数：2×106﹣1=211．（2）在第15组中的数是以211为首项，公差为2，项数等于15的等差数列，其和是15×211+×2=3375．（3）设999位于第n组，因31×32=992，32×33=1056，所以n=32，第32组最初一个数是：[2×（1+2+…+31）﹣1]+2=993．因此，999是第32组的第4号数．【分析】从分组情况看第几组就有几个奇数如第3组就有三个奇数，第一题先看从第1组到第14组的奇数有多少个，再看下一个奇数是几，第二题利用等差数列来解题比较容易．第三题先求出大致是第几组再利用等差数列求是第几个数．五、应用题20.【答案】解：当n=4时，输出图形是2×4﹣1=7行和7列的数列，数字之和是7+12+15+16+15+12+7=84；答：那么当输入4时，输出图形中的数字之和是84；故答案为：84．【考点】数列分组【解析】【分析】如上图所示，认真观察，发现规律，当n确定后，输出图形是一个数列，行数和列数都是2n﹣1，以n为中心，即第n行和第n列的交叉处的数字是n，向外依次减去1，象花朵一样，层层减去1，直到最外层全部是1；因此得解．21.【答案】解：99×4=396（个）；又因为这个数表中开始的最小的一个数为2，所以，依数列的排列规律可知，第100行的左边第1个数为：396+1+1=398；答：第100行左边的第一个数是398．【考点】数列分组【解析】【分析】因为每行有4个数，前99行共有99×4=396（个）数；这个数表中开始的最小的一个数为2，奇数行是从右到左的顺序依次增加的；偶数行的数是从左到右依次增加的；整个数表可以看成是以2开始的自然数列，第100行的第一个数是第397个数，由此求解．22.【答案】解：1998÷16=124 (14)所以，1998与14同列在B列．【考点】数列分组【解析】【分析】由图表看出：偶数依次排列，每8个偶数一组依次按B、C、D、E、D、C、B、A列顺序排．看A列，E列得到排列顺序是以16为周期来循环的．求出1998里面有多少个这样的周期，还余几，再根据余数判断．23.【答案】解：第一组为40、99、65、63；第二组为44、78、45、105．【考点】数列分组【解析】【分析】这个就需要解公因式：40可以拆分为2×2×2×5，44可拆分为2×2×11，45可拆分为3×3×5，63可拆分为3×3×7，65可拆分为5×13，78可拆分为2×3×13，99可拆分为3×3×11，105可拆分为3×5×7，这样就明确了，把两个7两个11两个13分开，6个2一边三个、4个5分开第一组：2×2×2×5、3×3×11、5×13、3×3×7；第二组：2×2×11、2×3×13、3×3×5、3×5×7；即第一组为40、99、65、63；第二组为44、78、45、105．24.【答案】解：各组中偶数项中的数据及奇数项中的数据有以下特点：奇数项：A组：6n﹣5，B组：6n﹣4，C组：6n﹣3，按竖列递增k=2n﹣1，偶数项：A组：6n，B组：6n﹣1，C组：6n﹣2，按竖列递减k=2n；每一组的第k项k=2n﹣1，k=2n，n=1，2，3…据此可知：（1）200=6×33+2=6×34﹣4（属于B组奇数项），n=34，k=2n﹣1=67；所以：B组有67项最后一个数200，是B组的第67项；A组有67项，最后一个数199，是A组的第67项；C组有66项，最后一个数196，是C组的第66项．（2）C组k=56项n=28是：6×28﹣2=166．（3）172=6×28+4=6×29﹣2 （C组偶数项），C组偶数项，n=29，k=2×29=58，所以，172是C组的第58个数．【考点】数列分组【解析】【分析】完成本题目要根据数列的组数、数横排及竖排的排列特点及规律，结合高斯求和的有关知识进行解答．25.【答案】解：从1到9有9个数字，10到19有20个数字，从1到19一共由29个数字，第28个数字是1，第29个数字是9，下一个数字应是20的第一个数字2，所以第10个三位数是192．【考点】数列分组【解析】【分析】重新分组的是一个三位数，要求第10个数是几，只要求出第28、29、30个数字是多少即可解决问题．。