高中数学一轮复习基础知识手册第十一编：不等式
高中基本不等式基础知识点
高中基本不等式基础知识点
1. 不等式的基本概念：
不等式是一种数学表达式，用来表示两个数之间的大小关系。
它由两个数和一个不等号组成，如：a>b，表示a大于b。
2. 不等式的性质：
（1）交换律：如果a>b，则b<a；
（2）结合律：如果a>b，c>d，则a+c>b+d；
（3）分配律：如果a>b，c>0，则ac>bc；
（4）反转律：如果a>b，则1/a<1/b。
3. 不等式的解法：
（1）求解一元一次不等式：
解法：将不等式中的等号两边同时除以同一个非零数，然后比较结果，即可得出解。
（2）求解一元二次不等式：
解法：将不等式中的等号两边同时除以同一个非零数，然后求出不等式的两个根，再比较结果，即可得出解。
高中数学不等式知识点总结
高中数学不等式知识点总结不等式是数学中重要的概念之一，也是解决实际问题的重要工具。
在高中数学中，学习不等式的知识是非常必要的。
本文将对高中数学不等式的知识点进行总结。
一、不等式的基本概念不等式是数学中描述两个数或两个式子大小关系的一种表示方法。
常见的不等式包括大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等符号。
二、一元一次不等式一元一次不等式是指只有一个未知数、次数为1的不等式。
解一元一次不等式的方法和解一元一次方程类似，可以通过加减法、乘除法进行变形。
三、一元二次不等式一元二次不等式是指只有一个未知数、次数为2的不等式。
由于一元二次不等式的图像是一个抛物线，并且可以通过求函数的最值来解决不等式，所以解一元二次不等式的方法较为灵活。
四、绝对值不等式绝对值不等式是指包含绝对值的不等式。
解绝对值不等式时，需要对绝对值进行分类讨论，并利用绝对值的性质进行求解。
另外，当绝对值中含有未知数时，还需要根据未知数所在的范围进行讨论。
五、有理不等式有理不等式是指不等式中含有有理式（即有理数和代数式）的不等式。
对于有理不等式的解集求解，需要借助分式的性质和一元一次不等式的解法。
六、不等式的性质不等式有许多重要的性质，这些性质在求解不等式时起到非常重要的作用。
常见的不等式性质包括：1. 加减法性质：对不等式的两边同时加减一个数，不等号方向不变；2. 乘除法性质：对不等式的两边同时乘除一个正数，不等号方向不变；但对一个负数进行乘除操作时，需要改变不等号的方向；3. 倒数性质：如果两个数的倒数大小关系相反，那么这两个数的大小关系也相反；4. 平方性质：对非负实数的平方操作，不改变它们的大小关系；5. 倒数平方性质：对正实数的倒数平方操作，改变它们的大小关系；6. 同底指数性质：对于正实数的指数幂操作，不改变它们的大小关系。
七、不等式的应用不等式在实际生活中有广泛的应用，尤其在解决数学建模问题时起到关键作用。
高考一轮复习数学基础知识：不等式 (新人教A版) Word版.pdf
高中数学第六章-不等式 考试内容： 不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式．考试要求：（1）理解不等式的性质及其证明．（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．（4）掌握简单不等式的解法．（5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│? §06. 不 等 式 知识要点 不等式的基本概念 不等（等）号的定义： 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. 同向不等式与异向不等式. 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 （1）（对称性） （2）（传递性） （3）（加法单调性） （4）（同向不等式相加） （5）（异向不等式相减） （6） （7）（乘法单调性） （8）（同向不等式相乘） （异向不等式相除） （倒数关系） （11）（平方法则） （12）（开方法则） 3.几个重要不等式 （1） （2）（当仅当a=b时取等号） （3）如果a,b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号） 极值定理：若则： 如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小； 如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等. （当仅当a=b=c时取等号） （当仅当a=b时取等号） （7） 4.几个著名不等式 （1）平均不等式： 如果a,b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）： 特别地，（当a=b时，） 幂平均不等式： 注：例如：. 常用不等式的放缩法：① ② （2）柯西不等式： （3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数 若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点有 则称f(x)为凸（或凹）函数. 5.不等式证明的几种常用方法 比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法. 6.不等式的解法 （1）整式不等式的解法（根轴法）. 步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解. 特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论； ②一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)解的讨论. （2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 （3）无理不等式：转化为有理不等式求解 （4）.指数不等式：转化为代数不等式 （5）对数不等式：转化为代数不等式 （6）含绝对值不等式 应用分类讨论思想去绝对值； 应用数形思想； 应用化归思想等价转化 注：常用不等式的解法举例（x为正数）： ① ② 类似于，③。
不等式高中数学知识点
不等式高中数学知识点
1. 嘿，同学们，知道不，不等式两边同时加上或减去同一个数，就像你给一个天平两边同时加或减同样重量的东西，天平还是平衡的呢！比如 3＞1，两边都加 2，就变成 5＞3 啦！
2. 哇塞，不等式中乘法和除法可要注意正负号哦！这就好比在路上开车，速度和方向都得把握好呀。
像 2＜3，两边同时乘以-1，就成了-2＞-3 咯！
3. 你们有没有发现，不等式有时候会多个不等式一起出现，就像是一群小伙伴聚在一起，要一起解决问题呢！比如 x＞1，x＜3，那 x 就在 1 和 3 之间呀。
4. 哈哈，解不等式组就像是解开一团乱麻，找到那关键的线索就能理清楚啦！比如说解不等式组{x+2＞3，2x-1＜5}，最后就能得出 1＜x＜3 呢！
5. 哎呀呀，不等式还有绝对值的情况呢，这就像给数字穿上了一层神秘的外衣，得揭开它才能看到真面目呀！像x-2＜3，解开就是-1＜x＜5 呢。
6. 瞧，不等式在解决实际问题中也超有用的哦，就好比是你的秘密武器！比如一堆苹果分给一些同学，每人分 3 个还剩 2 个，每人分 4 个就不够，
那用不等式就能算出同学的人数范围啦！
7. 嘿，可别小看了不等式呀，它可是数学世界里的重要角色呢！它能帮我们解决好多难题，就像一个超级英雄一样！大家可得好好学它哦！
我的观点结论：不等式在高中数学中真的非常重要，同学们一定要认真对待，熟练掌握呀！。
高中不等式知识点归纳总结
高中不等式知识点归纳总结一、基本概念不等式是数学中的一种关系式，表示两个数或两个式子之间的大小关系。
不等式中包含了大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）和小于等于号（≤）。
二、解不等式的方法1.加减法原理：将同一个数加减到不等式的两边，不等式仍然成立。
2.乘除法原理：将同一个正数或同一个负数乘除到不等式的两边，不等式的方向不变；将同一个正数乘除到不等式的两边，不等式方向不变；将同一个负数乘除到不等式两边，不等式方向改变。
3.平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)。
用平方差公示来解决有些带有平方项的二次函数。
4.配方法：通过添加适当的常量或因子使得方程左右完全匹配。
然后可以使用因子分解法或其他方法进行求解。
三、常见类型1.一元一次不等式：形如ax+b>c(x∈R)，其中a≠0。
可使用加减法和乘除法原理进行求解。
2.二元一次不等式组：形如{ax+by>c,dx+ey>f}(x,y∈R)。
可使用代数法或图象法进行求解。
3.绝对值不等式：形如|ax+b|>c(x∈R)。
可使用分段函数法进行求解。
4.二次不等式：形如ax²+bx+c>0(x∈R)。
可使用配方法、因式分解和图象法进行求解。
四、常见应用1.经济学中的应用：在生产和消费中，需要考虑成本和收益之间的关系，可以通过不等式来表示。
2.几何学中的应用：在三角形或四边形中，需要考虑各边长之间的大小关系，可以通过不等式来表示。
3.物理学中的应用：在力学问题中，需要考虑物体的速度、加速度等与时间相关的因素，可以通过不等式来表示。
4.竞赛数学中的应用：许多数学竞赛都会涉及到不等式问题，需要灵活运用各种方法进行求解。
五、注意事项1.注意符号方向：在使用乘除法原理时要注意符号方向是否改变。
2.注意取值范围：在解二次不等式时要注意判别式大于0或小于0的情况，以确定其根的取值范围。
3.注意绝对值问题：在解绝对值不等式时要注意分段函数的定义域和取值范围。
高一数学不等式基础知识点
高一数学不等式基础知识点不等式是数学中重要且常见的概念，它在解决实际问题中起着极为重要的作用。
在高一数学中，学习不等式的基础知识点对于掌握后续的数学知识具有至关重要的作用。
本文将围绕高一数学不等式基础知识点展开论述。
一、不等式的基本性质不等式是指两个数之间的大小关系，其比较运算包括大于、小于、大于等于、小于等于四种形式。
在不等式中，我们需要了解以下几个基本性质：1. 相等性质：将不等式两边同时加上、减去一个相同的数（非零），不等式的大小关系不变。
2. 倍数性质：将不等式两边同时乘以（或除以）一个正数，不等式的大小关系不变；将不等式两边同时乘以（或除以）一个负数，不等式的大小关系发生改变。
3. 倒数性质：将不等式两边同时取倒数，不等式的大小关系发生改变。
二、一元一次不等式一元一次不等式是数学中最基础的不等式形式，其形式一般为ax + b > c（或 <、≥、≤），其中a、b、c为已知实数，x为未知数。
1. 解一元一次不等式的基本步骤是：将x的系数提出来，根据正负号的情况确定不等式的方向，最后将解集写出来。
2. 对于带有绝对值符号的一元一次不等式，我们需要分情况讨论。
当绝对值的自变量为未知数x时，分别考虑x的取值范围即可。
三、一元二次不等式一元二次不等式是高一数学中较为复杂的不等式形式，其形式一般为ax² + bx + c > 0（或 <、≥、≤），其中a、b、c为已知实数，a≠0。
1. 解一元二次不等式的基本步骤是：求出一元二次不等式的解集。
可以通过因式分解、配方法以及判别式等方法来解。
2. 对于带有绝对值符号的一元二次不等式，我们同样需要分情况讨论。
当绝对值的自变量为未知数x时，根据x的取值范围确定不等式的方向。
四、常见的不等式在高一数学中，有一些特殊的不等式形式常常出现，我们需要熟练掌握其解法。
1. 分式不等式：对于形如f(x) > 0的分式不等式，我们需要找出其定义域和零点，并根据函数在不同区间的取值情况确定不等式的解集。
高一数学不等式知识点总结
二.知识要点
两实数大小的比较
不等式的性质
基本不等式定理
重要结论
公式
反证法：正难则反
证明不等式的主要方法
放缩法：要恰当的放缩以达到证题的目的
比较法：
综合法：由因导果
分析法：执果索因
构造法：构造函数或不等式证明不等式
STEP3
STEP2
STEP1
判别式法：与一元二次函数有关的或可以转化为一元二次函数,根据其有无实数解建立不等式关系求解问题.
不等式知识点总结 （一）
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202X
不等式知识要点
一.知识网络
不等式
不等式性质
绝对值不等式的基本性质
证明不等式主要方法
比较法
综合法
分析法
其它重要方法
反证法
放缩法
判别式法
解不等式
整式不等式
可化为整式不等式的不等式
不等式的应用
换元法
重要不等式： 定理：
数学归纳法：
换元法：三角换元，增量换元 ， 均置换元.
绝对值的定义 绝对值的性质
9.绝对值的解法
解不等式 一元二次不等式： 一元一次不等式
(3)高次不等式：
分式不等式：
Hale Waihona Puke 无理不等式 不等式的分类（按所连接的解析式类型分类）
不等式
再见
演讲人姓名
高考数学一轮总复习第十一单元选考内容第84讲绝对值不等式的解法及其应用课件理新人教A版
1．解含有绝对值的不等式的关键是去掉绝对值符 号，利用绝对值的定义是去绝对值符号的有效方法．
2．解含多个绝对值符号的不等式，常采用零点分区 间法，也可数形结合，将不等式的求解问题转化为考察 两函数图象之间的关系．
3．不等式的解集为 R 是指不等式恒成立，而解集为 ∅即不等式的对立面也是不等式恒成立(如 f(x)>m 的解集 是∅，则 f(x)≤m 恒成立)，这两类问题都可转化为最值问 题，即 f(x)<a 恒成立⇔a>f(x)max，f(x)>a 恒成立⇔a<f(x)min.
C．{x|－3≤x≤2 或 4≤x≤9} D．{x|－1≤x≤2}
解：原不等式等价于：
x－3≥0， 1≤x－3≤6，
或x1－≤3－<x0＋，3≤6.
解得 4≤x≤9 或－3≤x≤2.
所以原不等式的解集为{x|－3≤x≤2 或 4≤x≤9}．
答案：D
5．若|x－a|<m，|y－a|<n，则下列不等式一定成立的
3．不等式|x＋3|－|x－1|>0 的解集为
.
解：原不等式等价于|x＋3|>|x－1|. 两边平方得(x＋3)2>(x－1)2，解得 x>－1. 故原不等式的解集为{x|x>－1}．
答案：{x|x>－1}
4．不等式 1≤|x－3|≤6 的解集是( )
A．{x|4≤x≤9}
B．{x|－3≤x≤9}
绝对值三角不等式的应用
考点1·|f(x)|>g(x)及|f(x)|<g(x)型不等式的解法
【例 1】(经典真题)解不等式 x＋|2x＋3|≥2.
解：原不等式化为|2x＋3|≥2－x.
所以x<－32，
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第十一编 不等式 考纲要求 1.不等关系 了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景. 2.一元二次不等式 (1)会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型. (2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. (3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图. 3.二元一次不等式组与简单的线性规划问题 (1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. (2)了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组. (3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.
4.基本不等式： > ab (a, b > 0)
(1)了解基本不等式的证明过程. (2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 5.推理与证明 (1)了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合情推理在数学 发现中的作用. (2)了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异；掌握演绎推理的“三段 论”，能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理. (3)了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法；了解综合法和分析法的思考过程和特 点. (4)了解反证法的思考过程和特点. (5)了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 第一讲 不等式的性质、解法与简单的线性规划 知识能力解读 知能解读(一)不等式的有关概念 1 不等式 用不等号(>, <, >, 共, 士 )连接的式子叫做不等式. 2 同向不等式 若两个不等式的左边都大于(小于)右边，则称这两个不等式为同向不等式. 3 异向不等式 若一个不等式的左边大于右边， 而另一个不等式的左边小于右边， 则称这两个不等式为异向 不等式. 知能解读(二)比较两实数大小的依据 对任意两实数a, b ，有a _ b > 0 一 a > b; a _ b = 0 一 a = b; a _ b < 0 一 a < b . 知能解读(三)不等式的性质 (l) a > b 一 b < a . (对称性) (2) a > b, b > c 一 a > c . (传递性) (3) a > b 一 a + c > b+ c . (可加性) (4) a > b, c > d 一 a + c > b + d . (同向可加) (5) a > b, c > 0 一 ac > bc;a > b, c < 0 亭 ac < bc . (可乘性) (6) a > b > 0,c > d > 0 亭 ac > bd . (同向正数可乘)
(7) a > b > 0 亭 an > bn (n = , 且n > 1). (8) a > b > 0 亭 n a > n b (n = 且n > 2). 1 1 (9) a > b, ab > 0 亭 < . a b 对性质(2)，要正确处理带等号的情况：由a > b, b > c 或a > b, b > c 均可推得a > c ；而对
于a > b, b > c ，可能有a > c ，也可能当a = b 且b = c 时，有a = c . 对性质(4)，可推广为：两个或两个以上的同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等 式同向.同样， 对性质(6)，可推广为： 两个或两个以上的都是正数的同向不等式两边分别相 乘，所得不等式与原不等式同向. 需注意： ①同向不等式不能相减.②异向不等式不能相加.③两边同乘或除以一个负数， 不等
号要反向.④a > b > c, c > d > 0 亭 ac > bd ，但由 a > b, c > d 不一定得到ac > bd . 知能解读(四)二元一次不等式表示的平面区域 用二元一次不等式表示平面区域，常有一定的规律性，如图，大致可分为以下四种情形：
(1) Ax + By + C > 0(A > 0, B > 0)； (2) Ax + By + C < 0(A > 0, B > 0)； (3) Ax + By + C < 0(A > 0, B < 0)； (4) Ax + By + C > 0(A > 0, B < 0). 总之，主要看不等号与 B 的符号是否同向，若同向，则在直线上方；若异向，则在直线下 方.简记为“同上异下”
(1) y
O (2) x
y O x (3)
y O x
(4)
知能解读(五)区域划分的方法 一般地，平面内一条直线Ax + By + C > 0 把整个平面分成三部分，即直线两侧的点集及直 线上的点集构成的不同的平面区域.
因为在直线Ax + By + C > 0 同一侧的所有点， 把它的坐标(x, y
)
代入Ax + By + C > 0 ，所
得的实数符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点 (x , y )作为测试点，由 0 0
特别地，当C 才 0 时，常把原点作为此特殊点. 若 Ax + By + C > 0 或Ax + By + C 共 0 ，则其表示的平面区域，应把边界的虚线画成实线.
知能解读(六)线性规划的有关概念 约束条件：关于x, y 的不等式组成的不等式组. 线性约束条件：关于x, y 的一次不等式组成的不等式组. 目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的关于变量x, y 的解析式.
线性目标函数：目标函数为关于变量x, y 的一次解析式. 线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题.
可行解：满足线性约束条件的解(x, y). 可行域：所有可行解组成的集合. 最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解. 知能解读(七)整点最优解问题 1 平移找解法 先打网格，描整点，平移直线 l ，最先经过或最后经过的整点便是整点最优解 .这种方法应 充分利用非整点最优解的信息，且要结合精确的作图. 2 调整优值法
y x O
Ax + By + C > 0
的正负即可判断
Ax + By + C > 0
(< 0
)
表示直线哪一侧的平面区域. 0 0 先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛选出整点最优解. 3 逐一检验法 由于作图有误差， 有时仅由图形不一定能准确而迅速地找到整点最优解， 此时将数个可能解 逐一代入目标函数求值，经比较求得整点最优解. 知能解读(八)有关概念及原理 1.如果两个不等式的解集相等，那么这两个不等式就叫做同解不等式.解不等式主要是依据 不等式的性质和同解变形原理，求解原不等式的同解不等式. 2.不等式的同解变形原理主要有： (1)不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得不等式与原不等式同解； (2)不等式两边都乘(或除以)同一个正数或同一个大于零的整式，所得不等式与原不等式同 解； (3)不等式两边都乘(或除以)同一个负数或同一个小于零的整式，并把不等号改变方向后， 所得不等式与原不等式同解. 知能解读(九)一元一次不等式的解法 不等式 条件
a > 0
a < 0 x < 知能解读(十)一元二次不等式的解法(a > 0)
说明 上表是一元二次不等式中二次项系数 a > 0 时各种解的情况 .如果 a < 0 ，可同解变形为 -a > 0
，然后参照上表解决.
知能解读(十一)简单的的一元高次不等式的解法
先化成标准型P(x)= (x - x )(x - x )(x - x )..... (x - x )> 0 (或< 0 )，再利用穿根法写 1 2 3 n 出解集.
化成标准型后，用穿根法解一元高次不等式的步骤如下： (1)将每个因式的根标在数轴上； (2)从右上方依次通过每个根所对应的点画出曲线， 奇过偶
不过； (3)根据曲线显示的P(x)值的符号变化写出不等式的解集。
如用穿根法可得不等式(x +1)(x - 1)2 (x - 3)3 共 0 的解集为{x -1 共 x 共 3}，如图所示
y O x1=x2 x
Δ =0 {x x = 且x 丰 x , x }
1 2 气
{x x = x = x } 1 2 y O x1 x2 x Δ>0 {x x < x 或x > x } 1 2 {x x 共 x 共 x } 1 2
图像 解集 不等式 ax2 + bx + c > 0 ax2 + bx + c < 0 ax2 + bx + c > 0 ax2 + bx + c 共 0
y Δ<0 气 气
{x x < x < x }
{x x 共 1x 或x >2x }
1 2
x O
ax > b b x > ax < b a x < b
b x > a
b a
a