矩阵逆的定义
矩阵求逆方法大全
矩阵求逆方法大全矩阵的逆在线性代数中是一个非常重要且常用的概念。
逆矩阵存在的前提是矩阵必须是方阵且可逆。
逆矩阵的定义可以简单地表述为：对于一个方阵A，如果存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵，那么B就是A的逆矩阵，记作A^-1下面将介绍几种求解矩阵逆的方法。
1.初等变换法：初等变换法是一种最常用的求解矩阵逆的方法。
基本思想是通过一系列初等行变换将原矩阵A转化为单位矩阵I，同时对单位矩阵进行相同的初等变换，得到A的逆矩阵。
具体步骤为：(1)将原矩阵A与单位矩阵I进行横向拼接，形成增广矩阵[A，I]；(2)通过初等行变换将增广矩阵[A，I]变换为[I，B]，其中B即为矩阵A的逆矩阵。
这种方法比较直观，但计算量较大，特别是对于大型矩阵很不方便。
2.列主元消去法：列主元消去法是一种改进的初等变换法，其目的是选取主元的位置，使得计算量减少。
具体步骤为：(1)将原矩阵A与单位矩阵I进行横向拼接，形成增广矩阵[A，I]；(2)选取增广矩阵中当前列中绝对值最大的元素作为主元，通过交换行使主元出现在当前处理行的位置；(3)用主元所在行将其他行消元，使得主元所在列的其他元素都为0；(4)重复以上步骤，直到增广矩阵[A，I]经过一系列的行变换变为[I，B]，其中B即为矩阵A的逆矩阵。
列主元消去法相对于初等变换法来说，计算量会更小，但仍然对于大型矩阵的操作不够高效。
3.公式法：对于一个二阶方阵A，其逆矩阵可以通过以下公式求得：A^-1 = (1/，A，) * adj(A)，其中，A，为A的行列式，adj(A)为A的伴随矩阵。
对于更高阶的矩阵，也可以通过类似的公式求解，但行列式和伴随矩阵的计算相对较为复杂，不太适用于实际操作。
4.LU分解法：LU分解也是一种常用的矩阵求解方法，其将原矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU。
逆矩阵的计算可以通过LU分解来完成。
具体步骤为：(1)对原矩阵A进行LU分解，得到下三角矩阵L和上三角矩阵U；(2)分别求解方程LY=I和UX=Y，其中Y为未知矩阵；(3)得到Y后，再将方程UX=Y带入，求解方程UX=I，得到逆矩阵X。
3.3 逆矩阵
1 1
7
6
即为矩阵方程的解.
推论1 若n阶方阵A, B 满足 AB=E, 则必有 BA=E 证 因为 AB=E, 由 A B AB E 1
知|A|≠0，于是有
A
1 A
A
1 A
A
A
E
BA
EBA
1 A
A
ABA
1 A
A
EA
1 A
A
A
E
推论2 若n阶方阵A, B 满足 AB=E 或 BA=E,
A32 0 , A33 1 ,
从而
5 9 1
A1
2
3
0
.
0 2 1
二、逆矩阵的应用
1.利用逆矩阵解线性方程组
例4
解线性方程组
3 -2
x1 x1
7 x2 5 x2
3x3 1, 2 x3 0,
-4 x1 10 x2 3 x3 2.
解
3
设 A 2
4
7 5 10
3
2 ,
3
x1
AB BA E
(1)
则称A是可逆的，并把B 称为A 的逆, 记为 A1.
说明 若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的.
若设 B 和 C 是 A 的可逆矩阵，则有
AB BA E, AC CA E,
可得 B EB CAB CAB CE C.
所以 A 的逆矩阵是唯一的,即 B C A1.
则 B A1,且 A B 1
例7 设方阵A满足方程A2 A 2E 0,证明: A, A 2E都可逆,并求它们的逆矩阵.
证 由A2 A 2E 0,
得AA E 2E
A
1 2
(
矩阵的逆
矩
阵
第一节 矩阵的概念 第二节 矩阵的运算 第三节 矩阵的逆 第四节 矩阵的秩
第三节 矩阵的逆
本节主要内容: 本节主要内容: 一. 可逆矩阵与逆矩阵 二. 可逆矩阵的判别 三. 矩阵的初等变换 四. 用初等行变换求逆矩阵 五. 小结
一.可逆矩阵与逆矩阵
1. 定义
对于矩阵 A ， 如果存在一个矩阵 B , 使得
1 2 −2 r2 − 2r1 0 −7 6 → r3 + 2r1 0 3 −3
1 0 0 −2 1 0 2 0 1
1 2 −2 r2 + 2r3 0 −1 0 → 0 3 −3
1 0 0 2 1 2 2 0 1
A23 = 2,
A33 = −2 .
6 −4 2 A* = −3 −6 5 2 2 −2
所以 A−1
3 −2 2 6 −4 1 * A 1 5 3 = = −3 −6 5 = − −3 det A 2 2 2 2 2 −2 1 1 −1
A1 A2 ⋯ Am 也可逆 且 (A A ⋯A )−1 = A−1⋯A−1A−1 也可逆, 1 2 m m 2 1
性质5 性质 若矩阵 A 可逆 则 AT也可逆 且 可逆, 也可逆,
(AT)−1 = (A−1 )T
性质6 性质 若矩阵 A 可逆 则 det( A−1 ) = (det A)−1 可逆, 说明 若矩阵 ,B ,C 满足 若矩阵A 满足AB=AC, 且A可逆 则 可逆, 可逆 AB=AC
1 2 3 −3 −4 可逆 = 0 −3 −4= = 4≠ 0, 所以 A可逆 . 1 0 0 1 0
1 2 ∵ A11 = = −3, 3 3 2 1 A13 = = 5, 1 3 2 2 A12 = − = −4, 1 3
逆矩阵的定义及性质
求矩阵 X ，使满足 AXB C . 1 1 1 A A B 存在，则用 左乘上式， 解 若 ， B 1 右乘上式，
有
A1 AXBB1 A1 ( AXB) B1 A1CB1
即 X A CB ． 由例1知，A 可逆，且
5 0 8 1 A 3 1 6 2 0 3
3 6 3 8 A12 3, A22 1, 2 5 2 5
A13 3 2 1 0 2, A23 3 0 2 0
3 8 A32 6 3 6
3 0 3 1 3
0, A33
• 有
5 0 8 * A 3 1 6 2 0 3
• 逆矩阵的定义及性质 • 定义9 设 A为 n 阶方阵，若存在 n 阶方阵 B ， 使 AB BA E ，则称方阵 A 可逆，B 为 A 的 逆矩阵． • 若 A 可逆，则 A 的逆矩阵是惟一的． • 可逆矩阵的性质： • (1) 若 A 可逆，则其逆阵 A 1也可逆，且
T A A • （2）若 可逆，则 也可逆，且
• 所以
A
1
5 0 8 5 0 8 1 * 1 A 3 1 6 3 1 6 1 A 2 2 0 3 0 3
• 例2 设
0 8 3 1 3 2 1 A 3 1 6 , B 5 3 , C 2 0 2 0 5 3 1
1 1
又因 B 1 0， B 也可逆，且
B
1
3 1 5 2
• 所以
X A CB
1 1
5 0 8 1 3 3 1 3 1 6 2 0 5 2 2 0 3 3 1
矩阵的逆矩阵公式
矩阵的逆矩阵公式矩阵是线性代数中最基本的概念之一，逆矩阵则是矩阵理论中的一个非常重要的概念。
一个矩阵的逆矩阵是唯一的，其存在判定方法和求解方法也是线性代数中的重要内容之一。
首先，我们来介绍矩阵的逆矩阵的定义以及存在条件。
设A是一个n×n的方阵（即行数和列数相同的矩阵），若存在一个n×n的方阵B，使得AB=BA=In（其中In为n阶单位矩阵），则称B是A的逆矩阵，记作A^-1。
如果矩阵A存在逆矩阵A^-1，则称矩阵A是可逆的（或非奇异的），否则称其为不可逆的（或奇异的）。
那么，如何判定一个矩阵是否存在逆矩阵呢？一个n×n的矩阵A 可逆的充分必要条件是其行列式不等于0（即det(A) ≠ 0）。
接下来，我将介绍一种常见的求解矩阵逆矩阵的方法——高斯-约旦消元法。
这种方法也叫做矩阵的初等行变换法。
具体方法如下：1. 将A矩阵和n阶单位矩阵In作为一个n×2n的增广矩阵。
2. 对增广矩阵进行初等行变换，将矩阵A化为一个上三角矩阵。
3. 对上三角矩阵进行初等行变换，将其变为一个对角矩阵。
4. 对对角矩阵进行初等行变换，使其对角线上每个元素都为1。
5. 通过初等行变换，将单位矩阵In变为逆矩阵A^-1。
6. 最终得到逆矩阵A^-1。
通过以上步骤，可以快速地求出一个矩阵的逆矩阵。
需要注意的是，对于某些矩阵来说，其逆矩阵可能不存在，此时使用高斯-约旦消元法求解逆矩阵则会发现矩阵变成了不合法的矩阵。
总的来说，矩阵逆矩阵的概念及判定方法是线性代数中的重要内容之一。
在实际应用中，矩阵逆矩阵是非常重要的，能够帮助我们求解一些线性方程组，解决科学与工程中的很多问题。
线性代数-逆矩阵
=
6
2 0 0
0 4 0
0 1 0 −0 7 0
0 1 0
0 0 1
−1
=
6
1 0 0
0 3 0
0 −1
0 6
1 0 0−1 1 0 = 6 0 3 0 = 6 0 1 3
0 6 0 0 0 = 0 2 0.
0 0 6 0 0 1 6 0 0 1
1 0 0 0 0
0 2 0 0 0
证明 由A2 − A − 2E = 0,
A−1
得A(A − E ) = 2E ⇒ A A − E = E
2 ⇒ A A − E = 1 ⇒ A ≠ 0, 故A可逆.
2
∴ A−1 = 1 (A − E ).
2
又由A2 − A − 2E = 0
⇒ (A + 2E )(A − 3E ) + 4E = 0
1 5 − 11
123 1 2 3
解
A = 2 1 2= 0 −3 −4
133 0 1 0
12 3 = 0 − 3 − 4 = − 3 − 4 = 4≠ 0, 所以A可逆.
01 0 1 0
A11
=
1 3
2 = −3, 3
A12
=
−
2 1
2 = −4, 3
A13
=
2 1
1 = 5, 3
同理可求得 A21 = 3, A22 = 0, A23 = −1, A31 = 1, A32 = 4, A33 = −3.
1 1
−1 1
1 1 0X1
−1 1
1 4 0 = 0
2 −1
3 5
2 1 1 3 2 1 2 1 1
矩阵的转置、乘法(初等变换)、逆
转置矩阵的行和列分别是原矩阵的列和行。
转置矩阵的行列式等于原矩阵的行列式，即 det(A^T) = det(A)。
02 矩阵的乘法（初等变换）
矩阵乘法的定义与规则
定义
矩阵的乘法是将两个矩阵按一定的顺序相乘，得到一个新的矩阵。
规则
矩阵乘法需要满足特定的条件，即第一个矩阵的列数等于第二个矩 阵的行数。
初等列变换及其应用
定义
初等列变换是指对矩阵进行某些列操作，如交换两列、将某一列乘以非零常数或加到另一列等，使得矩阵变为另 一种形式。
应用
初等列变换在矩阵理论中也有着广泛的应用，如求矩阵的逆、求行列式等。
03 矩阵的逆
矩阵逆的定义与条件
定义
如果存在一个矩阵A的逆矩阵A^(-1)，使得 $AA^(-1) = A^(-1)A = I$，其中I为单位矩阵，则称A为可逆 矩阵。
计算方法
按照矩阵乘法的规则，将第一个矩阵的行与第二个矩阵的列对应元 素相乘，然后按一定的顺序组合起来，得到新的矩阵。
初等行变换及其应用
定义
初等行变换是指对矩阵进行某些行操 作，如交换两行、将某一行乘以非零 常数或加到另一行等，使得矩阵变为 另一种形式。
应用
初等行变换在矩阵理论中有着广泛的 应用，如解线性方程组、求矩阵的秩、 判断矩阵是否可逆等。
THANKS
对于两个矩阵 A 和 B，(A+B)^T = A^T + B^T
对于实数 k，kA^T = (kA)^T
01
03 02
Байду номын сангаас
矩阵转置的性质
转置矩阵的元素满足：a_{ij} = a_{ji}，即矩阵的 对角线元素不变，非对角线元素互换。
求逆矩阵知识点总结
求逆矩阵知识点总结一、定义矩阵的逆是指存在一个矩阵使得它与原矩阵相乘得到单位矩阵。
具体来说，如果矩阵A的逆矩阵存在，我们用A^-1来表示它，那么矩阵A的逆矩阵定义为满足下式的矩阵B：A *B = B * A = I其中，I是单位矩阵。
二、求解方法1. 初等变换法利用行初等变换把矩阵A转换为单位矩阵，所做的初等行变换同时作用于一个相同次序的单位矩阵，然后将单位矩阵转换得到的矩阵即是A的逆矩阵。
2. 伴随矩阵法对于n阶方阵A，它的伴随矩阵定义为其每个元素的代数余子式。
A的伴随矩阵记作Adj(A)，则有A^-1 = (1/det(A)) * Adj(A)，其中det(A)是A的行列式。
3. 初等矩阵法对于矩阵A，构造一个n阶单位矩阵In，然后对In进行一系列的乘法和加减操作所得到的新矩阵记为B，如果B=A^-1，则B就是矩阵A的逆矩阵。
三、性质1. 逆矩阵的唯一性如果一个矩阵A有逆矩阵，那么这个逆矩阵是唯一的。
也就是说，如果存在矩阵B和C，使得A*B=I和A*C=I，那么B=C。
2. 若A和B都是可逆矩阵，则AB也是可逆矩阵，并且有(A*B)^-1=B^-1*A^-13. (A^-1)^-1 = A4. (A^T)^-1 = (A^-1)^T5. 行列式为0的矩阵没有逆矩阵。
四、应用求逆矩阵在实际应用中有着广泛的作用，其中包括但不限于以下几个方面。
1. 线性方程组求解线性方程组Ax=b时，如果A是可逆矩阵，则可以直接用逆矩阵求解：x=A^-1*b。
2. 信号处理在信号处理领域中，矩阵的逆可以用来解决信号的解耦、滤波等问题。
3. 机器学习矩阵的逆在机器学习中也有重要的应用，比如用于参数的最小二乘估计以及矩阵分解等问题。
4. 几何变换在计算机图形学和几何变换领域，矩阵的逆可以用来表示坐标点的逆向变换。
总结求逆矩阵是线性代数中的一个重要概念，有着广泛的应用。
本文从定义、求解方法、性质和应用等方面对求逆矩阵的知识点进行了总结，希望能帮助读者更好地理解和应用这一概念。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
矩阵逆的定义
1 矩阵逆的定义
矩阵逆是一个非常重要的数学概念，它通常被用于线性代数和高
等数学中。
在矩阵运算中，逆矩阵的概念是非常重要的，因为它允许
我们解出线性方程组、求解极限、计算曲面面积等多个数学应用问题。
因此，本文将详细介绍矩阵逆的定义及相关知识。
在数学中，如果一个矩阵A与另一个矩阵B相乘后得到一个单位
矩阵I，则我们称B是A的逆矩阵。
用数学符号表示为：AB=BA=I。
通
俗来说，一个矩阵有逆矩阵，只有当它可以通过乘以另一个矩阵得到
单位矩阵时才成立。
而且，只有方矩阵才能有逆矩阵。
例如，下面这个3*3的矩阵A：
1 2 3
4 5 6
7 8 9
如果我们找到另一个3*3的矩阵B，使得AB=BA=I，则我们称B是
A的逆矩阵。
但是，我们可以很容易地证明，这个矩阵没有逆矩阵。
因为它的行列式为0，而行列式为0的矩阵是没有逆矩阵的。
因此，只要行列式不为0，就可以得知矩阵是否有逆矩阵。
2 矩阵的行列式和逆矩阵的性质
矩阵逆的概念与矩阵的行列式密切相关。
因此，在介绍矩阵逆的
基本知识之前，我们需要先来了解一下矩阵的行列式。
在代数学中，矩阵的行列式是一个重要的概念，它代表了一个矩
阵的特征值和特征向量。
换句话说，一个矩阵的行列式描述了矩阵线
性变换对面积或体积的影响。
矩阵的行列式通常用符号“det(A)”表示，其中A是一个n×n的矩阵。
矩阵的行列式和逆矩阵之间存在一些重要的性质。
这些性质如下：- 如果一个矩阵的行列式不等于0，则它有唯一的逆矩阵。
- 如果一个矩阵的行列式等于0，则它没有逆矩阵。
- 两个矩阵的逆矩阵的乘积等于它们的乘积的逆矩阵，即(A·B)⁻¹ = B⁻¹·A⁻¹ 。
- 矩阵的逆矩阵是一个方阵的行列式的倒数，即A⁻¹ =
(det(A))⁻¹ 。
- 对于一个n×n的矩阵，如果它的n个列向量都是线性无关的，
则它有唯一的逆矩阵，且其行列式不为0。
因此，我们可以通过计算一个矩阵的行列式来判断它是否有逆矩阵。
3 求解逆矩阵的方法
现在让我们来看看如何求一个方阵的逆矩阵。
有几种方法可以求解逆矩阵，下面是两种最常用的方法：
- 初等变换法
初等变换法是求解逆矩阵的一种常见方法，它涉及到将矩阵转化为上三角矩阵或对角矩阵。
一旦转化为上三角矩阵或对角矩阵之后，就可以使用反推法求解矩阵的逆矩阵。
下面是初等变换法的步骤：
a. 将原始矩阵与一个单位矩阵拼接起来：[A|I]。
b. 通过一系列初等行变换将矩阵A变为一个上三角矩阵，但保留矩阵A的行列式不变。
这包括将某些行相加或乘以某个常数。
c. 根据上三角矩阵或者对角矩阵求出矩阵的逆矩阵。
- 公式法
公式法是求解逆矩阵的另一种方法。
如果一个方阵有逆矩阵，则可以使用以下公式来求解：
A⁻¹ = （1/det(A)）·adj(A)
公式中，A⁻¹代表矩阵A的逆矩阵，det(A)代表矩阵A的行列式，adj(A)代表矩阵A的伴随矩阵。
求解逆矩阵的方法有很多种，但无论哪种方法，都需要先计算矩阵的行列式，才能判断矩阵是否有逆矩阵。
4 小结
总之，矩阵逆是线性代数中的一个非常重要的概念，它可以帮助我们解决许多数学问题，如线性方程组的求解、函数极限的计算、曲面面积的计算等。
要求解矩阵的逆矩阵，我们需要先判断矩阵是否有逆矩阵，即判断矩阵的行列式是否等于0。
如果它的行列式不为0，则可以使用初等变换法或公式法来求解。
通过掌握这些基本知识，我们可以更好地理解什么是矩阵逆及其相关知识，从而更好地应用它们。