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稳恒磁场一章习题解答

习题9—1 无限长载流空心圆柱导体的内外半径分别为a 、b ，电流在导体截面

上均匀分布，则空间各处的B

的大小与场点到圆柱中心轴线的距离r 的关系定性地如图所示。正确的图是：[ ]

解：根据安培环路定理，容易求得无限长载流空心圆柱导体的内外的磁感应强度分布为

?????

????--=r

I

a b r a r I B πμπμ2)(2)(0

02

2220 )()()(b r b r a a r >≤≤< 所以，应该选择答案(B)。

习题9—2 如图，一个电量为+q 、质量

为m 的质点，以速度v

沿X 轴射入磁感应强度为B 的均匀磁场中，磁场方向垂直纸面向里，其范围从x =0延伸到无限远，如果质点在x =0和y =0处进入磁场，

则它将以速度v

-从磁场中某一点出来，这点坐标是x =0和［ ］。 (A) qB m y v +

=。 (B) qB m y v

2+=。 (C) qB m y v 2-

=。 (D) qB

m y v

-=。 解：依右手螺旋法则，带电质点进入磁场后将在x >0和y >0区间以匀速v 经一个半圆周而从磁场出来，其圆周运动的半径为

qB

m R v =

r B

O a b (A) (B) B a b r O B r O a b (C) B O

r a b

(D) 习题9―1图

习题9―2图

因此，它从磁场出来点的坐标为x =0和qB

m y v

2+=，故应选择答案(B)。

习题9—3 通有电流I 的无限长直导线弯成如图三种形状，则P ，Q ，O 各点磁感应强度的大小B P ，B Q ，B O 间的关系为［ ］。 (A) O Q P B B B >>。 (B) O P Q B B B >>。 (C) P O Q B B B >>。 (D) P Q O B B B >>

说明：本题得通过计算才能选出正确答案。对P 点，其磁感应强度的大小 a

I B P πμ20= 对Q 点，其磁感应强度的大小 [][])2

2

1(2180cos 45cos 4135cos 0cos 4000+=-+-=

a I a I a I B Q πμπμπμ

对O 点，其磁感应强度的大小 )2

1(2424000π

πμπμμ+=?

+=

a I a I a

I

B O 显然有P Q O B B B >>，所以选择答案(D)。 ［注：对一段直电流的磁感应强度公式)cos (cos 4210θθπμ-=

a

I

B 应当熟练掌握。］

习题9—4 如图所示，一固定的载流大平板， 在其附近有一载流小线框能自由转动或平 动，线框平面与大平板垂直，大平板的电流

与线框中的电流方向如图所示，则通电线框

的运动情况从大平板向外看是：［ ］ (A) 顺时针转动 (B) 靠近大平板AB (C) 逆时针转动

(D) 离开大平板向外运动

解：根据大平板的电流方向可以判断其右侧磁感应强度的方向平行于大平板、且垂直于I 1；小线框的磁矩方向向上，如图所示。由公式

习题9―3图

题解9―4图

B P M m ?=

可以判断小线框受该力矩作用的转动方向如图所示，因此应该选择答案(C)。

习题9—5 哪一幅曲线图能确切描述载流圆线圈在其轴线上任意点所产生的B 随x 的变化关系?(X 坐标轴垂直于圆线圈平面，圆点在圆线圈中心O )［ ］

解：由载流圆线圈(N 匝)轴线上的磁感应强度公式

2

3222

0)(2)(x R NIR x B +=

μ

可以判断只有曲线图(C)是正确的。

习题9—6 两根无限长直导线互相垂

直地放着，相距d =2.0×102m ，其中一根导线与Z 轴重合，另一根导线与X 轴平行且在XOY 平面内。设两导线中

皆通过I =10A 的电流，则在Y 轴上离

两根导线等距的点P 处的磁感应强度

的大小为B = 。

解：依题给坐标系，与Z 轴重合的一根导线单独在P 点产生的磁感应强度为

)T (102100.210104)2(28

2

701i i i d I B --?-=????-=-

=πππμ

同理，另一根与X 轴平行的导线单独在P 点产生的磁感应强度为

(T)102)

2(28

02k k d I B -?==

πμ

由叠加原理，P 点处的磁感应强度的大小为

(T)102282

221-?=+=B B B

B O (A) B O

(B) X B O (C) X B O (D) X B

O (E) 习题9―5图

习题9―6图

习题9—7 如图，平行的无限长直载流导线A 和B ，电流强度均为I ，垂直纸面向外，两根导线之间相距为a ，则

(1) AB 中点(P 点)的磁感应强度P B

= 。

(2) 磁感应强度B

沿图中环路l 的线积分 ?l

l d B

·

＝ 。 解：(1) A 、B 两载流导线在P 点产生的磁感应强度等大而反向，叠加的结果

使P 点最终的磁感应强度为零，因此，0=P B

。

(2) 根据安培环路定理容易判断，磁感应强度B

沿图中环路l 的线积分等于－I 。

习题9—8 如图，半圆形线圈(半径为R )通有电流I ，线圈处在与线圈平面平行

向右的均匀磁场B

中。则线圈所受磁力矩的大小为 ，方向为 。 把线圈绕O O '转过角度 时，磁力矩恰为零。

解：半圆形线圈的磁矩大小为

I R P m 2

2

1π=

因而线圈所受磁力矩的大小为

IB R IB R B P M m 222

12sin 21sin πππθ==??=

根据磁力矩公式

B P M m ?= 可以判断出磁力矩M

的方向向上。容易知道，当πθk =，k =0，±1，±2，……

时，磁力矩恰为零，这等价于把线圈绕O O '转过2

2

)12(π

ππ

?+

=+=k k ，k =0，1，

2，3，……。

习题9—9 在均匀磁场B

中取一半径

为R 的圆，圆面的法线n

与B 成60°角，如图所示，则通过以该圆为边线的如右图所示的任意曲面S 的磁通量

=?=??S

S S d B

Φ 。

解：通过圆面的磁通量

222

1

60cos R B R B ππΦ=??= 圆

习题9―7图

习题9―8图

习题9―9图

根据磁场的高斯定理，通过整个闭合曲面的磁通量等于零，即

0=+=圆ΦΦΦS

所以

22

1

R B S πΦΦ-=-=圆

习题9—10 如图所示，均匀电场E 沿X 轴正方向，均匀磁场B

沿Z 轴正方向，

今有一电子在YOZ 平面沿着与Y 轴正方向成135°角的方向以恒定速度v

运动，

则电场E 和磁场B

在数值上应满足的关系是 。

解：电子以恒定速度v

运动，说明其所受到的合外力为零，即有

0=+m e F F

即 0)()(=?-+-B e E e

v

0)(45sin )(=--+-i B e i eE

v

∴ B E v 2

2=

习题9—11 如图，在无限长直载流导

线的右侧有面积为S 1和S 2两矩形回路。两个回路与长直载流导线在同一

平面，且矩行回路的一边与长直导线平行。则通过面积为S 1的矩形回路的

磁通量与通过面积为S 2的矩形回路的

磁通量之比为 。

解：建立如图所示的坐标轴OX 轴，并在矩形回路内距长直导线x 处取宽为dx 的窄条面元dS =hdx （图中带阴影的面积），则通过该面元的元磁通为

h d x x

I

B d S d πμ20=

=Φ 所以，通过回路S 1的磁通量为 2ln 220201π

μπμIh

x dx Ih dS a a ===Φ?? 通过回路S 2的磁通量为

2ln 2204202π

μπμIh x dx Ih dS a a ==

=Φ??

习题9―10图

习题9―11图

故，

1121=ΦΦ

习题9—12 两根长直导线通头电流I ，如图所示有三种环路，在每种情况下，??L

l d B

等于：

(对环路a )

(对环路b ) (对环路c )

解：根据安培环路定理，容易得到：对环路a ， ??L

l d B

等于I 0μ；对环路b ，

??L

l d B 等于0；对环路c ，??L

l d B

等于2I 0μ。

习题9—13 如图所示，在真空中有一半圆形闭合线圈，半径为a ，流过的稳恒

电流为I ，则圆心O 处的电流元l Id 所受的安培力F d

的大小为 ， 方向为 。

解：圆心O 处的磁感应强度是由半圆形闭合线圈产生的，其直径段的电流在O 处单独产生的磁场为零，其半圆段在O 处产生的磁场即为该点的总磁场

a

I

B O 40μ=

O B

的方向垂直于图面向内。

根据安培力公式B l Id F d ?=可知圆心O 处的电流元l Id 所受的安培力F d

的大小为

a

dl

I IdlB dF 420μ=

=

力F d

的方向垂直于电流元向左。

习题9—14 一根半径为R 的长直导线均匀载有电流I ，作一宽为R 、长为l 的假想平面S ，如图所示。若假想平面S 可在导线直径与轴O O '所确定的平面内离开O O '

轴移动至远处。试求当通过S 面的磁通量

最大时S 平面的位置。

解：见图示，设假想平面S 靠近轴线的一边到轴线的距离为a

，易知长直导

习题9―12图

l Id

O a I

习题9―13图

习题9―14图

线内外的磁场分布为

2

02R Ir

B πμ=

内 (R r ≤≤0) r I

B πμ20=外 (R r >)

在假想平面S 内、距轴为r 处，沿导线直径方向取一宽度为dr 的窄条面元，通过它的元磁通为

Bldr d =Φ 通过假想平面S 的磁通量为 l d r r I l d r R

Ir Bldr d R a R R

a

R a a

??

??+++===πμπμΦΦ220

20 R R a Il a R R

Il ++-=ln 2)(202

22

0πμπμ 由最值条件，令

012)2(4020=+?+-=R

a Il a R Il da d πμπμΦ

即 022=-+R Ra a 解得 R R

a 618.0)15(2

=-=

(其负根已舍去)

习题9—15 半径为R 的导体球壳表面流有沿同一绕向均匀分布的面电流，通垂直于电流方向的每单位长度的电流为K 。求球心处的磁感应强度大小。

解：如图所示，取一直径方向为OX 轴。并沿电流方向在球面上取一宽度为dl 的球带，该球带可以看成载流圆环，其载有的电流为dI =Kdl =θKRd ，其在球心O 处产生的元磁场为

θθμθμd K

R R dI dB 203

2

0sin 2

2)sin (=

=

该元场的方向沿X 轴的正方向。球面上所有电流在O 点产生的磁感应强度大小

为

题解9―15图

r

题解9―14图

πμθθμπK d K

dB B 02

204

1

sin 2

2=

?

==?

? 场的方向沿X 轴的正方向。

习题9—16 如图，一半径为R 的带电朔料圆盘，其中有一半径为r 的阴影部分 均匀带正电荷，面电荷密度为σ+，其余部分均匀带负电荷，面电荷密度为σ-，当圆盘以角速度ω旋转时，测得圆盘中心O 点的磁感应强度为零，问R 与r 满足

什么关系?

解：取与圆盘同心、半径为r 、宽度为dr 的圆环，其带量电量为 r d r dS dq πσσ2== 其等效的圆电流为

rdr rdr

T dq dI σωω

ππσ==

=22 其在中心O 处产生的元场强为 dr r

dI

dB σωμμ002

1

2=

=

因此，中心O 点的磁感应强度为

)2(2

1

21210000R r dr dr dB B R r r -=-==???σωμσωμσωμ

令该磁感应强度为零可得

r R 2=

习题9—17 如图，有一密绕平面螺旋线圈，其上通有电流I ，总匝数为N ，它被限制在半径为R 1和R 2的两个圆周之间。求此螺旋线中心O 处的磁感应强度。

解：以O 点为圆心、以r 为半径，在

线圈平面内取宽度为dr 的圆环面积，在此

环面积内含有dN =ndr =)(12R R Ndr -匝线圈，其相应的元电流为dI =IdN 。其在中心O 点产生的元磁场为

r

R R NIdr

r

dI

dB )(221200-=

=

μμ

O 点最终的磁感应强度为

1

2120120ln )(2)(22

1

R R R R NI r dr R R NI

dB B R R -=-=

=??μμ

习题9―16图

习题9―17图

该磁感应强度的方向垂直于图面向外。

习题9—18 厚度为2d 的无限大导体平板，其内有均匀电流平行于表面流动，电流密度为j

解：如图所示，在垂直于电流密度方向取一矩形回路abcda ，其绕行方向

与电流密度方向成右手螺旋关系。对此环路应用安培环路定理 ∑?=?i

i L

I l d B 0μ

在平板内部有

ab x j B ab 220μ=?

所以

x j B 0μ= 在平板外部有

ab d j B ab ?=?220μ

所以 jd B 0μ=

习题9—19 均匀带电刚性细杆AB ，电荷线密度为λ，绕垂直于直线的轴O 以ω角速度匀速转动(O 点在细杆AB 的延长线上)，求：(1) O

点的磁感应强度O B

；(2)磁矩m P ；(3) 若a>>b ，

求O B

及m P 。

解：(1) 在杆上距轴O 为r 处取线元dr ，其带电量为dr dq λ=，该线元相当于运动的点电荷，其在O 处产生的元磁场大小为

r

dr r r dq dB O ωλπμωπμ?=?=44020

元磁场的方向垂直于纸面向里。由于杆上各线元的元磁场的方向均一致，所以求

O 点的总场可直接对上述元场积分即可 a

b

a r dr dB B

b a a O O +==

=??+ln 4400ωλπμωλπμ

O B

的方向垂直于纸面向里。

［求O 点磁场还可以用等效电流法作：在杆上距轴O 为r 处取线元dr ，其带电量为dr dq λ=，该线元相当于运动的点电荷，它作圆周运动的等效环电流为

题解9―18图

习题9―19图