分块矩阵的概念和运算
《线性代数》分块矩阵
A12
A22
其中，子块
1 0 A11 0 1
A21 4 0
A12
1 3
2 4
0 0
A22 2 1 1
有时候，也常把矩阵按列分块：
a11 a12
A
a21
a22
am1
am2
a1n
a2n
β1,
β2 ,
amn
, βn
称之为列分块矩阵，其中 βj (a1j , a2 j , , amj )T
C13 C23
4 2
1
A11 (0, 0),
A12 (5),
A21
0
1 ,
A22
2
,
1 B11 5,
2 B12 3
14,
1 B13 0 ,
B21 0,
B22 0
2,
B23 0
AB
C
C11 C21
C12 C22
C13 C23
其中
C11 A11B11 A12B21 (0
4 分块矩阵 (Partitional matrices)
4.1 分块矩阵的概念
用若干条横线和纵线把矩阵A分成若干小块，每一个小
块作为一个矩阵，称为A的子块(或子矩阵). 把A的每一个子
块作为一个元素构成的矩阵称为分块矩阵. 例如
1
A
0
4
0 1 0
1 3 2
2 4 1
0 0 1
A11 A21
AT
A11T A12T
A2T1 A2T2
ArT1 ArT2
例2.
A1Ts A2Ts
ArsT
1 0 0
1 A 0
0
0 1 0
矩阵分块知识点总结
矩阵分块知识点总结一、矩阵分块的基本概念1.1 矩阵分块的定义矩阵分块是一种对矩阵进行分割的方法，将一个大的矩阵分割成若干个较小的子矩阵，这些子矩阵可以是行向量、列向量或者更小的矩阵。
矩阵分块的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。
1.2 矩阵分块的表示形式矩阵分块可以采用不同的表示形式，其中包括方括号表示、圆括号表示和其他符号表示。
以方括号表示为例，一个矩阵可以分割成四个子矩阵，如下所示：A = [ A11, A12A21, A22 ]其中A11、A12、A21、A22为子矩阵，分别表示矩阵A的四个子块。
1.3 矩阵分块的基本性质矩阵分块具有很多基本的性质，其中包括可交换性、可加性、可乘性等。
具体而言，如果矩阵A和B可以进行相应的分块操作，则有以下性质：可交换性：A和B的分块顺序可以交换，即A*B = B*A。
可加性：矩阵A和B的分块和形式，若A和B可以相应分块，则有(A + B) = A + B。
可乘性：矩阵A和B的分块和形式，若A和B可以相应分块，则有(A * B) = A * B。
1.4 矩阵分块的应用矩阵分块在实际中有着广泛的应用，其中包括矩阵的运算、方程组的求解、特征值与特征向量的计算等方面。
矩阵分块能够简化问题的处理过程，提高计算的效率，使得矩阵的性质更加清晰和易于理解，因此在很多领域中得到了广泛的应用。
二、矩阵分块的基本类型2.1 行分块矩阵行分块矩阵是将一个大的矩阵按照行进行分块，将每一行的元素划分成若干个较小的行向量，从而形成一个行分块矩阵。
行分块矩阵的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。
2.2 列分块矩阵列分块矩阵是将一个大的矩阵按照列进行分块，将每一列的元素划分成若干个较小的列向量，从而形成一个列分块矩阵。
列分块矩阵的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。
分块矩阵的概念和运算
-1 3
例4
-2 3 0 0
求A=
1 0 0
-2 0 0
0 1 2
5 02的逆矩 A-阵 1
- 2 3 0 0
解
A
=
1 0 0
-2 0 0
0 1 2
502=
A11 o
o A22
A1-11 =--12 --23
A-1 22
=-52
-12
A-1
=
A1-11 o
Ao2-12=
-2 -1 0 0
10 1 3 01 2 4 0 0 -1 0 0 0 0 -1
， B=1 20 02 600 31
0 0
，
0 -2 0 1
用分块矩阵计算kA，A+B及AB。
解：将矩阵A，B进行分块：A= I C ，B= D O ，
O -I
FI
7 -1 1 3
则
AB=
IC O -I
D O = D +CF C = 14 4 2 4 。
0 8 5
032=A O O1
O A2 O
O A O3=B O1
O B2
分块对角矩阵的性质
A11
设A
=
A22
是为分块对角矩阵
Arr
则
(1)
A1k1
Ak =
A2k2
其中 k是自然数
Arkr
( 2 ) |A |= |A 1 |• 1 |A 2 |• 2 |A r|r
(3) A可逆的充分必对 要任 条i(意 1件 i是 r)，Aii可逆，
,
B=l2B21
B22
Ast
lt Bt1 Bt2
B1r
分块矩阵及其运算
矩阵及其 运算
1
第二章 矩阵概念及其运算
第三节 分块矩阵(Block matrix) 及其运算
分块矩阵的概念 分块矩阵的运算 问题与思考
2
一、分块矩阵的概念
将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多小矩阵,每个小 矩阵称为A的一个子块.以这些子块为元素的形式上的矩阵 称为分块矩阵.
例如矩阵:
a11 a12 a13 a14
B
1 1
2 0
0 1 4 1
1 1 2 0
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 1 4 1
1 1 2 0
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 1 4 1
1 1 2 0
1 0 1 0
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 4
1 1
B
1 1
2 0
Байду номын сангаас
0 1 4 1
1 1 2 0
1 1 2 0
1 0 1 0
B
A a21 a31
a22 a32
a23 a33
a24
a34
记为 A11
A21
其中
A11
a11 a21
a12 a22
a13 a23
;
A12
a14 a24
;
A12
A22
A21 a31 a32 a33 ;
A22 a34
3
注: 任一矩阵A有多种分块方法,较特殊的分块有:
1)将矩阵A视为一个子块的分块矩阵; A
k 1
7
3.分块矩阵的转置
设矩阵A分块如下:
A11
分块矩阵的n次方运算公式
分块矩阵的n次方运算公式【原创版】目录1.分块矩阵的概念2.分块矩阵的 n 次方运算公式3.公式的推导过程4.公式的应用示例正文一、分块矩阵的概念分块矩阵是线性代数中的一个重要概念，它是指将一个大矩阵分成若干个相对独立的子矩阵，这些子矩阵可以是行子矩阵、列子矩阵或对角矩阵。
分块矩阵可以简化矩阵的运算，使得计算更加高效。
二、分块矩阵的 n 次方运算公式对于一个分块矩阵 A，假设其可以表示为：A = [B1 B2...Bn]其中，B1, B2,..., Bn 均为方阵。
我们可以将矩阵 A 的 n 次方表示为：A^n = [B1^n B2^n...Bn^n]这就是分块矩阵的 n 次方运算公式。
三、公式的推导过程为了更好地理解这个公式，我们可以通过数学归纳法来推导。
当 n=1 时，矩阵 A 的 1 次方等于矩阵 A 本身，公式成立。
假设当 n=k 时，公式成立，即：A^k = [B1^k B2^k...Bn^k]我们需要证明当 n=k+1 时，公式也成立。
根据矩阵乘法的结合律，我们有：A^(k+1) = A^k * A将假设代入，得：A^(k+1) = [B1^k B2^k...Bn^k] * [B1 B2...Bn]根据矩阵乘法的分配律，我们可以将上式展开为：A^(k+1) = [B1^(k+1) B2^(k+1)...Bn^(k+1)]这就证明了当 n=k+1 时，公式也成立。
由数学归纳法，我们得出结论：对于任意正整数 n，分块矩阵的 n 次方运算公式都成立。
四、公式的应用示例假设有一个 3x3 的分块矩阵 A：A = [1 0 0; 0 2 0; 0 0 3]我们需要计算 A 的 3 次方。
根据公式，我们可以将 A 的 3 次方表示为：A^3 = [1^3 0^3 0^3; 0^3 2^3 0^3; 0^3 0^3 3^3]= [1 0 0; 0 8 0; 0 0 27]这样，我们就可以很容易地计算出 A 的 3 次方了。
矩阵分块法
A1r Asr
A11 A
As1
A1r
Asr
其运算律与数乘矩阵相同.
λ为数，那末
3.分块矩阵的乘法.
设A为 m×l 矩阵，B为l×n矩阵，分块成
A11 A12
A
Ai1
Ai2
As1
As 2
A1t
B11 B1 j B1r
Ait
§4. 矩阵分块法
一、分块矩阵的定义
把一个阶数较高的矩阵,用若干条横线和竖 线分成若干小块 , 每一小块都叫做矩阵的子块 , 以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.
例如：将3×4矩阵
A
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a14 a24
a31 a32 a33 a34
分块形式如下：
A22 A12
a11 a12
1
a21
a22
a31 a32
A21 A11
a13 a23
a14 a24
2
a11 a21
a12 a13 a22 a23
a14 a24
a33 a34
a31
a32 a33
a34
A11 A21
A12 A22
A13 A23
3
a11 a21
a12 a22
a13 a23
0 0 1 1
6.分块矩阵的应用
设A为m×n矩阵，将A按行分块，得
1
A
2
m
其中 i (i 1,2, , m) 是A的第 i 行.
将A按列分块,得
A =（ β1， β2，…， βn ）.
其中 βj ( j = 1, 2, … ,n ). 是 A 的第 j 列. 对于线性方程组
分块矩阵
2
O
1 11
2
2 2
M M
m
m
m
m
(2)以对角阵n右乘矩阵Amn时 把A按列分块 有
AAmmnnn n(a(a1,1a, a2,2,,a, an)n)1 12 2mm((1a1a1,1, 2a2a2,2,,, nanan)n)
例4 设ATAO 证明AO
证明 设A(aij)mn 把A用列向量表示为A(a1 a2 an) 则
例5 设4阶矩阵A α, γ2, γ3, γ4 , B β, γ2, γ3, γ4 ,其中
α, β, γ2, γ3, γ4均为4行1列的分块矩阵，已知 A 4, B 1,
则 AB
.
解 A B α, γ2, γ3, γ4 ＋ β,γ2,γ3,γ4 ＝α＋β, 2γ2, 2γ3, 2γ4
AT
A
a1T a2T
anT
(a1,
a2,
an
)
a1T a1 a2T a1
anT a1
a1T a2 a2T a2
anT a2
a1T an a2T an
anT an
因为ATAO 所以
aiT
ai
(ai1,
ai2,
,
ain)
ai1 ai2
ain
ai21 ai22 ai2n 0 (i1 2 n) 从而ai1ai2 ain0(i1 2 n) 即AO
A12 L A22 L
A1s
A
2s
M M M
Ar1 A r2 L Ars
AT
A1T1 A1T2 M
A
T 21
L
A
T 22
L
A
T
分块矩阵的运算
分块矩阵的运算分块矩阵的运算是一种特殊的运算方式，它可以有效地减少矩阵计算时间和存储空间，在科学计算、信号处理等领域有广泛的应用。
本文针对分块矩阵的定义、特性、计算方式和应用进行深入细致的介绍，以期为读者提供更多有价值的信息。
一、什么是分块矩阵分块矩阵是将原始矩阵按一定规则拆分，得到格式一致的若干小矩阵，每一小矩阵叫做分块，组成分块矩阵。
简单地说，分块矩阵的概念就是将原始矩阵拆分成若干小矩阵，每一小矩阵称为一块，它可以更加细致地描述不同的矩阵元素，有助于明确矩阵的结构和信息。
二、分块矩阵的特性1、存储空间的优化：由于分块矩阵可以将原始矩阵拆分，根据分块矩阵的定义可知，当其中某块恒为零时，即可认为该块不存在，从而节省内存空间；2、线性计算时间的优化：分块矩阵的计算时间较简单的矩阵更少，相比普通的矩阵该方法可以节省计算时间；3、实现快速收敛：由于分块矩阵可以分解矩阵，把复杂的计算问题分解为若干子问题，相比普通的矩阵可以实现更快的收敛；4、具有可扩展性：由于分块矩阵分解了原来的矩阵，新增的分块矩阵可以随时添加，也可以方便地删除，能够更容易实现分块矩阵的扩展性；三、分块矩阵的计算方式分块矩阵的计算方式主要有三种：第一种是基于普通的矩阵运算计算方式，这种方式集中计算分块矩阵所有的分块，是一种普通的矩阵运算。
第二种方式为拆解结构计算方式，这种方式先把分块矩阵拆解，把各个分块转化为普通矩阵，再采用普通矩阵计算方式进行各个分块的计算，最后综合各个分块的计算结果得到最终结果。
第三种则通过调整运算顺序来提高运算效率，这种方式根据分块矩阵的特性，分析每一个分块元素之间的依赖性，调整每一步运算的先后顺序，以达到提高运算效率的目的。
四、分块矩阵的应用分块矩阵的计算方式在科学计算、信号处理等领域有广泛的应用，其中包括：1、分块矩阵在解决线性方程组时有着强大的能力，可以更加有效地解决大规模的线性方程组；2、分块矩阵可以用来处理稀疏矩阵，在机器学习、数据分析、金融数据等领域有重要的应用；3、分块矩阵在信号处理领域有广泛的应用，可以有效地处理正交调制、小波变换等信号处理任务；4、在矩阵的LU分解、矩阵的幂运算等复杂的线性代数计算中，分块矩阵可以极大地提高计算效率。
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a14 分块矩阵不仅 a24 = a1 , a 形式上进行转 2 ,a3 ,a4 置， a34
a11 a12 T A = a13 a 首页 14
a21 a22 a23
24 上页
a
a31 a1T T a32 a 2 = a33 a 3T T a34 返回 a4
3 1 -1 1 -1 A2 = , A2 = 2 1 2 3
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例4
解
- 2 1 A= 0 0
-1 11
- 2 1 求A = 0 0
3 -2 0 0
0 0 1 2
3 -2 0 0
C11 C 21 C = AB = C s1
首页
C1 r t C 2 r C ij = Aik Bkj , k =1 ( i = 1, , s; j = 1, C sr
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, r)
结束 铃
按行分块以及按列分块
mn 矩阵 A 有m 行 n 列，若将第 i 行记作
0 0 1 2
-1 22
0 A 0 = 11 o 2 5
0 0 -1 的逆矩阵 A 2 5
o A22
- 2 - 3 A = -1 - 2
-1 A 11 A-1 = o
5 - 2 A = - 2 1
m1 A11 m2 A21 A= m s As1 A12 A22 As 2
C12 C 22 Cs2
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A1 t l1 B11 A2 t l2 B21 , B= Ast lt Bt 1
B12 B22 Bt 2
B1 r B2 r , Btr
结束
铃
5 例3:设A = 0 0 5 解： A = 0 0
0 0 3 1 ，求 A－1 ． 2 1 0 0 -1 A O A O 1 -1 1 3 1 = A = -1 O A2 O A2 2 1 1/ 5 0 0 1 = 0 1 -1 A1 = (5), A1-1 = 0 -2 3 5
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例如：
一、分块矩阵的概念
在矩阵的讨论和运算中，有时需要将一个矩阵分成若干 个“子块”(子矩阵)，使原矩阵显得结构简单而清晰。
1 0 例如：A = 0 0
0 1 0 0
0 3 0 -1 = I2 A3 ， 1 0 O I2 0 1
1 0 ，A = 0 3 ，I = 0 0 。 其中 I2= 3 2 0 1 0 -1 0 0
, n .
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结束
铃
于是设 A 为 ms 矩阵，B 为 s n 矩阵， 若把 A 按行分块，把 B 按列块，则
C = (cij )mn
T a1 T a2 = AB = 1 , 2 , aT m T T a1 1 a1 2 T T a a 2 1 2 2 , n = aT aT m 1 m 2
像这样将一个矩阵分成若干块 (称为子块或子阵 )，并以 所分的子块为元素的矩阵称为分块矩阵。
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问题二：为什么提出矩阵分块法？
答：对于行数和列数较高的矩阵 A，运算 时采用分块法，可以使大矩阵的运算化 成小矩阵的运算，体现了化整为零的思 想.
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二、分块矩阵的运算
前言
• 由于某些条件的限制，我们经常会遇到大 型文件无法上传的情况，如何解决这个问 题呢? • 这时我们可以借把文件分块，依次上传. • 家具的拆卸与装配 问题一：什么是矩阵分块法？ 问题二：为什么提出矩阵分块法？
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铃
一、分块矩阵的概念
第三节 分块矩阵
在矩阵的讨论和运算中，有时需要将一个矩阵分成若干 个“子块”(子矩阵)，使原矩阵显得结构简单而清晰。 定义1在一个矩阵A的行、列之间划一些横线和纵线，将 A 从形式上分成若干个小矩阵，每个小矩阵称为A的一个子块， 以子块为元素的矩阵称为A的分块矩阵 1 0 0 3 0 1 0 -1 I3 A1 ， A= = 0 0 1 0 O A2 0 0 0 1 1 0 0 3 其中 I3= 0 1 0 ， A1= -1 ， O=(0 0 0)，A2=(1)。 0 0 1 0
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0 k 3k k 2 k 4k ； 0 -k 0 0 0 -k
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二、分块矩阵的运算
分块矩阵运算时，把子块作为元素处理。 例1．设矩阵 1 0 A= 0 0 0 1 3 1 2 4 ， B= 0 -1 0 0 0 -1 1 2 2 0 6 3 0 -2 0 0 1 0 0 0 ， 0 1
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四、分块对角矩阵
定义：设 A 是 n 阶矩阵，若 1. A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块， 2. 其余子块都为零矩阵， 3. 对角线上的子块都是方阵， 那么称 A 为分块对角矩阵． 例如：
5 0 A= 0 0
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0 1 0 0
0 0 8 5
0 A1 0 =O 3 O 2
T a1 T a2 T 于是 A A = a1 , a 2 , aT n T T a1 a1 a1 a2 T T a a a 2 1 2 a2 ,a n = a Ta a Ta n 1 n 2
, an
T a1 an T a2 an
；
结束
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二、分块矩阵的运算
分块矩阵运算时，把子块作为元素处理。 例1．设矩阵 1 0 A= 0 0 0 1 3 1 2 4 ， B= 0 -1 0 0 0 -1 1 2 2 0 6 3 0 -2 0 0 1 0 0 0 ， 0 1
用分块矩阵计算kA，A+B及AB。
解：将矩阵A，B进行分块：A= I C ，B= D O ， O -I F I 则 AB = I C O -I 1 3 CF = 2 1
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7 -1 14 4 D O D +CF C = = F I -6 -3 -F -I 0 2 6 3 = 6 -3 0 -2 12 4
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1 3 2 4 。 -1 0 0 -1
铃
结束
注意：在进行加法运算时，两个矩阵要有相同的分法。 在进行乘法运算时，左矩阵的列分法要与右矩阵的行分 法相同。
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7 B1 O3 A1B1 O 14 = = O 4 B3 O A3B3 0 0
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5 0 0 6 0 0 。 0 0 0 0 -1 -1
结束 铃
分块矩阵的乘法
m1 + m2 + l1 + l2 + n1 + n2 +
+ ms = m + lt = l + nr = n
一般地，设 A为ml 矩阵，B为l n矩阵 ，把 A、B 分块如下： l1 l2 lt n1 n2 nr
用分块矩阵计算kA，A+B及AB。
2 2 I C D O I + D C 则 A+B= = = + O -I F I 6 F O 0
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形式上看成 解：将矩阵是普通矩阵 A，B进行分块：A= I C ，B= D O ， O -I F I 的加法！
2 1 3 -2
1 2 0 0
3 4 0 0
1 0 A= 0 0 用分块矩阵计算AB。
例2．设矩阵
0 1 0 0
1 0 2 0 ， B= 0 0 0 -1
1 2 6 0
2 0 3 0
0 0 0 1
0 0 ， 0 1
解：将矩阵A，B进行分块：A= A1 O1 ，B= B1 O3 ， O2 A 3 O4 B3 A1 O1 则 AB= O 2 A3
则
(1)
其中k是自然数
(2)
(3)
| A |=| A11 | | A22 | | Arr |
A可逆的充分必要条件是 对任意i (1 i r )，Aii可逆，且
-1 A11 -1 A = -1 A22
首页
上页
-1 Arr
返回
下页
T an an
=O
那么
aT j a j = a1 j , a2 j ,
分块矩阵运算时，把子块作为元素处理。 例1．设矩阵 1 0 A= 0 0 0 1 3 1 2 4 ， B= 0 -1 0 0 0 -1 1 2 2 0 6 3 0 -2 0 0 1 0 0 0 ， 0 1
用分块矩阵计算kA，A+B及AB。
解：将矩阵A，B进行分块：A= I C ，B= D O ， O -I F I 则 k 0 kI kC kA= = 0 O -kI 0
O A2 O
O B1 O = O A返回
下页
结束
铃
分块对角矩阵的性质
A11 设A = A22
k A11 k A =
Arr
k A22
是为分块对角矩阵
k Arr
-3 -2 0 0
返回
- 2 o -1 = -1 A22 0 0
上页
0 0 5 -2
0 0 - 2 1
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例5：往证 Amn = Omn的充分必要条件是方阵ATA = Onn ． 证明：把 A 按列分块，有 A = (aij )mn = a1 ,a2 ,