河南省郑州市高二上学期期中数学试卷(理科)
河南省郑州市高二上学期期中数学试卷（理科）
姓名:________
班级:________
成绩:________
一、 选择题： (共 12 题；共 24 分)
1. （2 分） (2016 高一下·蓟县期中) 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，a=4，b=4 则角 B 等于（ ）
，A=30°，
A . 30°
B . 30°或 150°
C . 60°
D . 60°或 120°
2. （2 分） (2016 高二上·临漳期中) 设等比数列{an}的公比为 q，其前 n 项之和为 Sn ， 前 n 项之积为 Tn ，
并且满足条件：a1＞1，a2016a2017＞1， A . q＜0
＜0，下列结论中正确的是（ ）
B . a2016a2018﹣1＞0
C . T2016 是数列{Tn}中的最大项
D . S2016＞S2017
3. （2 分） (2017·蚌埠模拟) 已知函数 f（x）= （x）≤0 的解集恰好为[p，q]，则 a 的取值范围是（ ）
且 x＞0）．若存在实数 p，q（p＜q），使得 f
A . （0， ]
B . （一∞， ]
C . （0， ）
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D . （一∞， ）
4. （2 分） (2016 高一下·重庆期中) 设 a＞0，b＞0．若 （）
A.3
B.
C . 2+
D . 3+
5. （2 分） 已知
中
的对边分别为 若
且
A.2
B . 4＋
C . 4—
D.
6. （2 分） 已知命题 p：函数 立．若 为真命题， 为真命题，则 的取值范围是 （
有极值；命题 q：函数 ）
A.
B.
C.
D.
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的最小值为
，则 （ ）
且
恒成
7. （2 分） 下午正 3 点时，时针和分针的夹角为（ ） A. B. C. D.
8.（2 分）(2013·天津理) 设变量 x，y 满足约束条件 A . ﹣7 B . ﹣4 C.1 D.2 9. （2 分） (2019 高二上·开封期中) 在等比数列 中，
，则目标函数 z=y﹣2x 的最小值为（ ）
，则
（）
A.
B.
C.
D.
10. （2 分） 已知两个集合
，
，则
（ ）.
A.
B.
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C. D.
11. （2 分） (2018 高二下·南宁月考) 已知 小值为（ ）
A.0 B.1
，数列
的前 n 项和为 ，则 的最
C.
D.
12. （2 分） 设
， 则“ ”是“直线
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
二、 填空题 (共 4 题；共 5 分)
与直线
平行”的（ ）
13.（1 分）(2018 高二上·通辽月考) 在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、C、
，
则
＝________.
14. （1 分） (2017·扬州模拟) 已知{an}是公差不为 0 的等差数列，Sn 是其前 n 项和，若 a2a3=a4a5 ， S9=1， 则 a1 的值是________．
15. （1 分） (2017·湖北模拟) 已知函数 f（x）= 当取得最小值时，f（a+b）=________．
，若 f（a）=f（b）（0＜a＜b），则
16. （2 分） (2019·浙江模拟) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn ． 若 S2＝6，an+1＝3Sn+2，n∈N* ， 则 a2＝
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________，S5＝________．
三、 解答题. (共 6 题；共 45 分)
17. （10 分） (2019 高一下·佛山月考) .
（1） 求
的值；
的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知
（2） 若
，
，求
的面积.
18. （5 分） (2017·三明模拟) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn ， 且 Sn=2an﹣2
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设 bn=
，求数列{bn}前 n 项和 Tn ．
19. （10 分） (2020·海南模拟) 已知
，
；
，
.
（1） 若 为真命题，求实数 的取值范围；
（2） 若 与 的真假性相同，求实数 的取值范围.
20. （10 分） (2018 高一下·江津期末) 已知关于 的不等式：
，其中 为参数.
（1） 若该不等式的解集为 ，求 的取值范围；
（2） 当
时，该不等式恒成立，求 的取值范围.
21. （5 分） (2016 高二上·嘉兴期中) 要建造一个容积为 4800m3 ， 深为 3m 的长方体无盖水池，如果池底 和池壁的造价每平方米分别为 150 元和 120，那么怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价为多少元？
22. （5 分） (2018 高三上·德州期末) 已知数列 的前 项和为 满足
．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设
．求数列
前 项和 ．
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一、 选择题： (共 12 题；共 24 分)
1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、
二、 填空题 (共 4 题；共 5 分)
参考答案
13-1、 14-1、
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15-1、
16-1、
三、 解答题. (共 6 题；共 45 分)
17-1、 17-2、
第7页共9页
18-1、 19-1、
19-2、 20-1、
第8页共9页
20-2、 21-1、 22-1、
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。
河南省郑州市数学高二上学期理数期中考试试卷
河南省郑州市数学高二上学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分）不等式﹣x2+3x﹣2≥0的解集是（）A . {x|x＞2或x＜1}B . {x|x≥2或x≤1}C . {x|1≤x≤2}D . {x|1＜x＜2}2. （1分）若a＞b＞c，则下列不等式成立的是（）A .B .C . ac＞bcD . ac＜bc3. （1分）已知数列{an}是逐项递减的等比数列，其首项a1<0，则其公比q的取值范围是（）A . （－，－1）B . （－1，0）C . （0，1）D . （1，+）4. （1分） (2017高一下·资阳期末) 直线的倾斜角是（）A .B .C .D .5. （1分）设G为△ABC的重心，且，则B的大小为（）A .B .C .D .6. （1分） (2018高三上·重庆期末) 命题“若，则”，则命题以及它的否命题、逆命题、逆否命题这四个命题中真命题的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 47. （1分） (2017高二·卢龙期末) 设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的（）条件．A . 充分而不必要B . 必要而不充分C . 既不充分也不必要D . 充要8. （1分）变量 x y、满足线性约束条件，则目标函数 z=kx﹣y，仅在点（0，2）取得最小值，则k的取值范围是（）A . k＜﹣3B . k＞1C . ﹣3＜k＜1D . ﹣1＜k＜19. （1分）数列1，37 ， 314 ， 321 ，……中，398是这个数列的（）A . 第13项B . 第14项C . 第15项D . 不在此数列中10. （1分）已知是的两个顶点，且，则顶点的轨迹方程为（）A .B .C .D .11. （1分）(2017·三明模拟) 设F1 ， F2为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为Γ上一点，PF2与x轴垂直，直线PF1的斜率为，则双曲线Γ的渐近线方程为（）A . y=±xB .C .D . y=±2x12. （1分） (2020高二上·天津期末) 设双曲线的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点,若且的面积为 ,则C的方程为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高二上·吴起期末) 一个凸n边形，各内角的度数成等差数列，公差为10°，最小内角为100°，则边数ｎ＝________14. （1分）(2018·民乐模拟) 中，角的对边分别为若，，，则 ________．15. （1分） (2017高二上·莆田期末) 双曲线的渐近线方程为________16. （1分） (2017高二上·南通期中) 在等差数列{an}中，a1=﹣1，a4=8，则公差d=________．三、解答题 (共6题；共9分)17. （1分）(2018·益阳模拟) 已知等差数列的公差为，且方程的两个根分别为， .（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和 .18. （2分） (2017高二下·河南期中) 在△ABC中，A、B、C是三角形的三内角，a、b、c是三内角对应的三边，已知b2 ， a2 ， c2成等差数列．（1）求cosA的最小值；（2）若a=2，当A最大时，△ABC面积的最大值？19. （1分） (2017高二上·湖南月考) 已知命题，命题方程表示焦点在轴上的双曲线.（1）命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题“ ”为真，命题“ ”为假，求实数的取值范围.20. （1分）(2019高二上·洛阳期中) 在中，分别为角的对边，且.（1）求角；（2）若的内切圆面积为，求面积的最小值.21. （2分） (2016高二上·汉中期中) 已知公差不为零的等差数列{an}的前4项和为10，且a2 ， a3 ， a7成等比数列．（Ⅰ）求通项公式an（Ⅱ）设bn= ，求数列{bn}的前n项和Sn ．22. （2分）已知椭圆的离心率，焦距为．（1）求椭圆的方程；（2）已知椭圆与直线相交于不同的两点，且线段的中点不在圆内，求实数的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共9分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、。
河南省郑州市数学高二上学期理数期中考试试卷
河南省郑州市数学高二上学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高一下·无锡期中) 过点，且圆心在直线上的圆的方程是（）A .B .C .D .2. （2分）平面内有一长度为2的线段AB和一动点P，若满足，则的取值范围是（）A .B .C .D .3. （2分）以点P(2，－3)为圆心，并且与y轴相切的圆的方程是（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高二上·怀仁期中) 若直线不平行于平面，且，则A . 内的所有直线与异面B . 内不存在与平行的直线C . 内存在唯一的直线与平行D . 内的直线与都相交5. （2分） (2019高二上·怀仁期中) 两圆和的位置关系是（）A . 内切B . 外离C . 外切D . 相交6. （2分） (2019高二上·怀仁期中) 若圆与圆关于直线l对称，则直线l的方程为（）．A .B .C .D .7. （2分） (2019高二上·怀仁期中) 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A . 17πB . 18πC . 20πD . 28π8. （2分） (2019高二上·怀仁期中) 用半径为的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）A .B .C .D .9. （2分） (2019高二上·怀仁期中) 如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中；⑴BM与ED平行；（2）CN与BE是异面直线；（3）CN与BM所成角为60°；（4）CN与AF垂直. 以上四个命题中，正确命题的序号是（）A . ⑴⑵⑶B . ⑵⑷C . ⑶⑷D . ⑶10. （2分） (2019高二上·怀仁期中) 直线y＝x＋b与曲线x＝有且只有一个公共点，则b的取值范围是（）A . |b|＝B . －1<b<1或b＝－C . －1<b≤1D . －1<b≤1或b＝－11. （2分） (2019高二上·怀仁期中) 过正方体的顶点A作直线，使与棱AB，AD，所成的角都相等，这样的直线l可以作（）A . 1条B . 4条C . 8条D . 12条12. （2分） (2019高二上·怀仁期中) 若圆C：x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0上至少有三个不同的点到直线l：x ﹣y+m＝0的距离为，则m的取值范围是（）A .B .C . [﹣2，2]D . （﹣2，2）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二上·拉萨月考) 已知直线：和：垂直，则实数的值为________．14. （1分） (2019高二上·怀仁期中) 在底面是正方形的长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为________.15. （1分） (2019高二上·怀仁期中) 已知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上，直线：被该圆所截得的弦长为，则圆C的标准方程为________.16. （1分） (2019高二上·怀仁期中) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，若该多面体的各个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为________.三、解答题 (共6题；共52分)17. （10分） (2019高二下·上海月考) 已知平面与平面的交线为直线，为平面内一条直线；为平面内一条直线，且直线互不重合.（1）若直线与直线交于点，判断点与直线的位置关系并证明；（2）若，判断直线与直线的位置关系并证明.18. （10分） (2019高二上·怀仁期中) 已知圆过点，且圆心在直线上.（1）求圆的方程；（2）点为圆上任意一点，求的最值.19. （10分） (2019高二上·怀仁期中) 如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a ，连接A′C′，A′D ，A′B ， BD ，BC′，C′D ，得到一个三棱锥.求：（1）三棱锥A′－BC′D的表面积与正方体表面积的比值；（2）三棱锥A′－BC′D的体积.20. （10分） (2019高二上·怀仁期中) 如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形.（1）求证：AB∥平面EFGH（2）若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围.21. （10分） (2019高二上·怀仁期中) 已知圆与直线 .（1）若直线与圆没有公共点，求的取值范围；（2）若直线与圆相交于两点，为原点，是否存在实数，满足，若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由.22. （2分）如图，圆．（1）若圆C与x轴相切，求圆C的方程；（2）已知，圆C与x轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧）．过点M任作一条直线与圆相交于两点A，B．问：是否存在实数a，使得？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共52分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。
2020-2021学年河南省郑州一中高二(上)期中(理科)数学试卷 (解析版)
2020-2021学年河南省郑州一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．（5分）下列结论正确的是（）A．若a＞b，则B．若a2＜b2，则a＜bC．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c D．若a＞b，则ac2＞bc22．（5分）在等比数列{a n}中，a4+a5＝10，a6+a7＝20，则a8+a9等于（）A．90B．30C．70D．403．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形4．（5分）关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集为（﹣1，2），则关于x的不等式bx2﹣ax ﹣2＞0的解集为（）A．（﹣2，1）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D．（﹣1，2）5．（5分）已知椭圆＝1（a＞b＞0）的一个焦点是圆x2+y2﹣6x+8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为（）A．（﹣3，0）B．（﹣4，0）C．（﹣10，0）D．（﹣5，0）6．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于（）A．13B．35C．49D．637．（5分）已知a＞0，b＞0，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知动点M（x，y）满足+＝2，则动点M的轨迹是（）A．椭圆B．直线C．线段D．圆9．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos B＝，a＝5，△ABC 的面积为10，则的值为（）A．B．C．D．10．（5分）下列命题中正确的是（）A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题B．在△ABC中“∠A＞∠B”是“sin A＞sin B”的充分必要条件C．命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题是“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0”D．命题p：∃x0≥1，使得x02+x0﹣1＜0，则￢p：∀x＜1，使得x2+x﹣1≥011．（5分）设a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，若，，依次成公差不为0的等差数列，则（）A．a，b，c依次成等差数列B．a2，b2，c2依次成等差数列C．，，依次成等比数列D．a2，b2，c2依次成等比数列12．（5分）已知关于x的不等式x2+bx+c＜0（ab＞1）的解集为空集，则T＝+的最小值为（）A．B．2C．D．4二、填空题（共4小题）.13．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为．14．（5分）已知p：“∃x0∈R，x02﹣x0+a＜0”为真命题，则实数a的取值范围是．15．（5分）数列{a n}中，a1＝1，（n∈N*），则a2020＝．16．（5分）已知△ABC内角A，B，C的对边为a，b，c，已知b＝1，且c cos B+b cos C＝4a sin B sin C，则c的最小值为．三、解答题（共6小题）.17．（10分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n．若a1＝b1＝3，a4＝b2，S4﹣T2＝12．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）求数列{a n+b n}的前n项和．18．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3cos2C＝2sin （A十B）﹣1．（Ⅰ）求cos C；（Ⅱ）若边AB上的中线CD＝1，a+b＝，求△ABC的面积．19．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣（a+2）x+4（a∈R）．（1）当a＝1时，解关于x的不等式f（x）≤2；（2）若对任意的x∈[1，4]，f（x）+a+1≥0恒成立，求实数a的取值范围．20．（12分）如图，海面上一走私船正以每小时15海里的速度沿方位角120°方向航行，距离走私船18海里处的缉私艇测得该走私船当前的方位角为60°，并即刻以每小时21海里的速度径直追赶．（1）求缉私艇追上走私船所需的最短时间；（2）求缉私艇用时最短的追赶方向（方位角α）的余弦值．21．（12分）已知椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）当△F2AB的面积为时，求直线l的方程．22．（12分）已知正项数列{a n}中，，函数．（1）若数列{a n}满足a n+1＝f（a n）（n∈N*），求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}满足a n+1≤f（a n）（n∈N*），设，数列{b n}的前n项和为T n，求证：．参考答案一、选择题（共12小题）.1．（5分）下列结论正确的是（）A．若a＞b，则B．若a2＜b2，则a＜bC．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c D．若a＞b，则ac2＞bc2解：对于A，B：取a＝1，b＝﹣2，显然错误，对于D：取c＝0，显然错误，对于C：若a＞b，c＞d，则﹣d＞﹣c，故a﹣d＞b﹣c，故C正确，故选：C．2．（5分）在等比数列{a n}中，a4+a5＝10，a6+a7＝20，则a8+a9等于（）A．90B．30C．70D．40解：由于在等比数列{a n}中，每相邻两项的和仍然构成等比数列，a4+a5＝10，a6+a7＝20，故10、20、a8+a9构成等比数列，故a8+a9＝40，故选：D．3．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2，可得（1﹣cos A）＝（1﹣），即有cos A＝，即2b2＝2bc cos A＝b2+c2﹣a2，可得b2+a2＝c2，则∠C为直角，即有△ABC为直角三角形．故选：A．4．（5分）关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集为（﹣1，2），则关于x的不等式bx2﹣ax ﹣2＞0的解集为（）A．（﹣2，1）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D．（﹣1，2）解：∵关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集为（﹣1，2），∴﹣1，2是ax2+bx+2＝0（a＜0）的两根∴∴a＝﹣1，b＝1∴不等式bx2﹣ax﹣2＞0为x2+x﹣2＞0，∴x＜﹣2或x＞1故选：B．5．（5分）已知椭圆＝1（a＞b＞0）的一个焦点是圆x2+y2﹣6x+8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为（）A．（﹣3，0）B．（﹣4，0）C．（﹣10，0）D．（﹣5，0）解：∵圆x2+y2﹣6x+8＝0的圆心为（3，0），∴椭圆的一个焦点为F（3，0），得c＝3又∵短轴长为2b＝8，得b＝4∴a＝＝5，可得椭圆的左顶点为（﹣5，0）故选：D．6．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于（）A．13B．35C．49D．63解：因为a1+a7＝a2+a6＝3+11＝14，所以7．（5分）已知a＞0，b＞0，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：若a＞0，b＞0，则a+b++＝（a+）+（b+）≥2+2＝4，当且仅当a＝且b＝时等号成立，即a＝1且b＝1时a+b++＝4；反之，若a＞0，b＞0，由（a+b）（+）＝2++≥2+2＝4，当且仅当＝时等号成立，即a＝b时，a+b++＝4不成立．故若a＞0，b＞0，则“”是“”的充分不必要条件．故选：A．8．（5分）已知动点M（x，y）满足+＝2，则动点M的轨迹是（）A．椭圆B．直线C．线段D．圆解：由已知，动点M到点P（﹣1，0），Q（1，0）的距离之和为2，且|PQ|＝2，所以动点M的轨迹为线段，故选：C．9．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos B＝，a＝5，△ABC 的面积为10，则的值为（）A．B．C．D．解：由B∈（0，π），可得sin B＝＝＝，由a＝5，△ABC的面积为10，可得ac sin B＝•5c•＝10，解得c＝5，从而b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝25+25﹣2•5•5•＝20，即b＝2，则＝＝＝．10．（5分）下列命题中正确的是（）A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题B．在△ABC中“∠A＞∠B”是“sin A＞sin B”的充分必要条件C．命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题是“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0”D．命题p：∃x0≥1，使得x02+x0﹣1＜0，则￢p：∀x＜1，使得x2+x﹣1≥0解：对于A：若p∨q为真命题，则①p真q真，②p假q真，③p真q假，当p真q真时则p∧q为真命题，故A错误；对于B：在△ABC中“∠A＞∠B”⇔“2R sin A＞2R sin B”⇔“a＞b”⇔“∠A＞∠B“，所以在△ABC中“∠A＞∠B”是“sin A＞sin B”的充分必要条件，故B正确；对于C：命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题是“若x≠1且x≠2，则x2﹣3x+2≠0”故C错误；对于D：命题p：∃x0≥1，使得x02+x0﹣1＜0，则￢p：∀x≥1，使得x2+x﹣1≥0，故D错误．故选：B．11．（5分）设a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，若，，依次成公差不为0的等差数列，则（）A．a，b，c依次成等差数列B．a2，b2，c2依次成等差数列C．，，依次成等比数列D．a2，b2，c2依次成等比数列解：∵a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，，，依次成公差不为0的等差数列，∴＝，根据正弦定理可得＝+，∴2ac cos B＝bc cos A+abcsC，∴a2+c2﹣b2＝+，∴a2+c2＝2b2，∴a2，b2，c2依次成等差数列．故选：B．12．（5分）已知关于x的不等式x2+bx+c＜0（ab＞1）的解集为空集，则T＝+的最小值为（）A．B．2C．D．4解：由题意得：，，得．∴，令ab﹣1＝m，则m＞0，所以．则的最小值为4．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为7．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（﹣1，4）．化z＝x+2y为y＝．由图可知，当直线y＝过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为﹣1+8＝7．故答案为：7．14．（5分）已知p：“∃x0∈R，x02﹣x0+a＜0”为真命题，则实数a的取值范围是（﹣∞，）．解：由命题p：“∃x0∈R，x02﹣x0+a＜0”是真命题，知存在x0∈R，使得x02﹣x0+a＜0成立，所以（x2﹣x+a）min＝﹣+a＜0；所以a＜．故答案为：（﹣∞，）．15．（5分）数列{a n}中，a1＝1，（n∈N*），则a2020＝0．解：数列{a n}中，a1＝1，，整理得，令n＝1时，a2﹣a1＝0，解得a2＝1，令n＝2时，a3﹣a2＝﹣1，解得a3＝0，令n＝3时，a4﹣a3＝0，解得a4＝a3＝0，令n＝4时，a5﹣a4＝1，解得a5＝1，令n＝5时，a6﹣a5＝0，解得a6＝1，令n＝6时，a7﹣a6＝﹣1，解得a7＝0，…，所以该数列为1，1，0，0，1，1，0，0，…故数列的周期为4，所以a2020＝a505×4＝a4＝0．故答案为：0．16．（5分）已知△ABC内角A，B，C的对边为a，b，c，已知b＝1，且c cos B+b cos C＝4a sin B sin C，则c的最小值为．解：∵c cos B+b cos C＝4a sin B sin C，b＝1，∴sin C cos B+sin B cos C＝4sin A sin B sin C，∴sin（B+C）＝sin A＝4sin A sin B sin C．∵sin A≠0，∴sin B sin C＝，∴sin C＝，当sin B取得最大值1时，sin C最小，且sin C＝．此时，由正弦定理可得＝，即＝，∴c＝，故答案为：．三、解答题：本题共6小题，17题10分其它题均为12分，共70分．17．（10分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n．若a1＝b1＝3，a4＝b2，S4﹣T2＝12．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）求数列{a n+b n}的前n项和．解：（1）由a1＝b1，a4＝b2，则S4﹣T2＝（a1+a2+a3+a4）﹣（b1+b2）＝a2+a3＝12设等差数列{a n}的公差为d，则a2+a3＝2a1+3d＝6+3d＝12，所以d＝2．所以a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1设等比数列{b n}的公比为q，由题b2＝a4＝9，即b2＝b1q＝3q＝9，所以q＝3．所以；（2），所以{a n+b n}的前n项和为（a1+a2+…+a n）+（b1+b2+…+b n）＝（3+5+…+2n+1）+（3+32+…+3n）＝＝．18．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3cos2C＝2sin（A十B）﹣1．（Ⅰ）求cos C；（Ⅱ）若边AB上的中线CD＝1，a+b＝，求△ABC的面积．解：（Ⅰ）因为3cos2C＝2sin（A十B）﹣1，所以6cos2C﹣3﹣2sin C+1＝0，所以3sin2C+sin C﹣2＝0，因为0＜C＜，所以sin C＝，（负值舍去），可得cos C＝＝．（Ⅱ）由题意可得+＝2，所以a2+b2+2ab cos C＝4CD2＝4，所以（a+b）2﹣2ab+ab＝4，因为a+b＝，所以ab＝，所以S△ABC＝ab sin C＝×＝．19．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣（a+2）x+4（a∈R）．（1）当a＝1时，解关于x的不等式f（x）≤2；（2）若对任意的x∈[1，4]，f（x）+a+1≥0恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）当a＝1时，x2﹣3x+4≤2，即为（x﹣1）（x﹣2）≤0，可得1≤x≤2，则不等式的解集为[1，2]；（2）对任意的x∈[1，4]，f（x）+a+1≥0恒成立，可得x2﹣（a+2）x+5+a≥0恒成立，即a（x﹣1）≤x2﹣2x+5恒成立．当x＝1时，不等式为0≤4恒成立；当x∈（1，4]时，，由1＜x≤4，可得0＜x﹣1≤3，则，当且仅当时，即x﹣1＝2，即x＝3时取“＝”．∴a≤4．综上所述，a的取值范围是（﹣∞，4]．20．（12分）如图，海面上一走私船正以每小时15海里的速度沿方位角120°方向航行，距离走私船18海里处的缉私艇测得该走私船当前的方位角为60°，并即刻以每小时21海里的速度径直追赶．（1）求缉私艇追上走私船所需的最短时间；（2）求缉私艇用时最短的追赶方向（方位角α）的余弦值．解：（1）如图所示，△ABC中，∠ABC＝60°+（180°﹣120°）＝120°，AB＝18，设缉私艇追上走私船的最短时间为x小时，则BC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC；即（21x）2＝182+（15x）2﹣2×18×15x×cos120°，化简得4x2﹣5x﹣6＝0，解得x＝2或x＝﹣（不合题意，舍去）；所以缉私艇追上走私船所需的最短时间是2小时；（2）△ABC中，AB＝18，AC＝42，BC＝30，所以cos∠BAC＝＝，所以sin∠BAC＝＝，计算cosα＝cos（∠BAC+60°）＝cos∠BAC cos60°﹣sin∠BAC sin60°＝×﹣×＝﹣，所以缉私艇用时最短的追赶方向（方位角α）的余弦值是﹣．21．（12分）已知椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）当△F2AB的面积为时，求直线l的方程．解：（1）椭圆过点，离心率为，可得解得所以（2）斜率不存在时x＝﹣1，不满足．斜率存在设为k，过F1（﹣1，0）的直线方程为：y＝k（x+1），即kx﹣y+k＝0，联立直线方程与椭圆方程，即，消去y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，△＞0恒成立，由韦达定理可得，|AB|＝•＝，，所以，解得k＝±1，所以直线的方程y＝±（x+1）．22．（12分）已知正项数列{a n}中，，函数．（1）若数列{a n}满足a n+1＝f（a n）（n∈N*），求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}满足a n+1≤f（a n）（n∈N*），设，数列{b n}的前n项和为T n，求证：．【解答】（1）解：∵，∴，∴，∴数列是以1为首项、为公比的等比数列，∴，∴．（2）证明：∵（n∈N*），∴，∵，∴，∴，…，，…，累乘得：，∴，即，∴，∵，∴＝．。
河南省郑州市高二数学上学期期中试题 理-人教版高二全册数学试题
2017-2018学年高二上学期期中考试数学试卷（理科）注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。
第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。
第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。
答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，集合A={2，3，5，9}，集合B={4，5，6，7，9}，则（∁U A）∩（∁U B）=（）A. {5，9}B. {2，3}C. {1，8，10}D. {4，6，7}2.已知在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，若A：B：C=1：2：3，则a：b：c=（）A. 1：2：3B.C.D.3.设x＞1，则x+的最小值是（）A. 4B. 5C. 6D. 74.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a8=6+a11，则S9的值等于（）A. 54B. 45C. 36D. 275.已知数列{a n}为等比数列，其前n项和S n=3n-1+t，则t的值为（）A. -1B. -3C.D. 16.在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若该三角形有两个解，则x的取值X围是（）A. x＞2B. x＜2C.D.7.裴波那契数列的通项公式为a n=[（）n-（）n]，又称为“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个X例，由此，a5=（）A. 3B. 5C. 8D. 138.在正项等比数列{a n}中，a1008•a1009=，则lg a1+lg a2+…+lg a2016=（）A. 2015B. 2016C. -2015D. -20169.关于x的不等式ax-b＞0的解集为（-∞，1），则不等式＞0的解集为（）A. （-1，2）B. （-∞，1）∪（1，2）C. （1，2）D. （-∞，-1）∪（-1，2）10.在△ABC中，若=，则△ABC的形状是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰或直角三角形11.某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是（）A. 2日和5日B. 5日和6日C. 6日和11日D. 2日和11日12.若关于x的方程x2+ax+a2-a-2=0的一根大于1，另一根小于1，则a的取值X围为（）A. 0＜a＜1B. a＞-1C. -1＜a＜1D. a＜1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=-1，a n+1=2S n，（n∈N*），则S n= ______ ．14.在约束条件下，目标函数z=|x-y+4|的最大值为______ ．15.在△ABC中，∠C=90°，CD是斜边上的高，已知CD=60，AD=25，求BD= ______ ．16.若-1＜a＜0，则不等式-的最大值为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.解不等式：ax2-2（a+1）x+4＞0．18.已知数列{a n}满足：a n≠0，a1=，a n-a n+1=2a n•a n+1．（n∈N*）．（1）求证：{}是等差数列，并求出a n；（2）证明：a1a2+a2a3+…+a n a n+1＜．19.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a cos C-b cos C=c cos B-c cos A，且C=120°．（1）求角A；（2）若a=2，求c．20.已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n是S n与2的等差中项，数列{b n}中，b1=1，点P（b n，b n+1）在直线x-y+2=0上．（1）求a1和a2的值；（2）求数列{a n}，{b n}的通项a n和b n；（3）设=a n•b n，求数列{}的前n项和T n．21.小X打算在2001年初向建行贷款50万元先购房，银行贷款的年利率为4%，按复利计算，要求从贷款开始到2010年要分10年还清，每年年底等额归还且每年1次，每年至少要还多少钱呢（保留两位小数）？（提示：（1+4%）10≈1.48）22.在△ABC中，a，b，c分别表示角A，B，C对边的长，满足（2b-c）cos A=a cos C（1）求角A的大小；（2）已知BC=6，点D在BC边上，①若AD为△ABC的中线，且b=2，求AD长；②若AD为△ABC的高，且AD=3，求证：△ABC为等边三角形．答案和解析【答案】1. C2. C3. B4. A5. C6. C7.B8. D9. C10. D11. C12. C13. -3n-114. 515. 14416. -3-217. 解：∵ax2-2（a+1）x+4＞0，∴（ax-2）（x-2）＞0，1、a=0时，原不等式的解集为{x|x ＜2}；2、a＜0时，原不等式的解集为{x|＜x＜2}；3、0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|x ＞或x＜2}；4、a=1时，原不等式的解集为：{x|x≠2，x∈R}；5、a＞1时，原不等式的解集为{x|x＜或x＞2}．18. 证明：（1）a1=，a n-a n+1=2a n•a n+1．可得-=2，则{}是首项为3，公差为2的等差数列，=+2（n-1）=3+2（n-1）=2n+1，即有a n=；（2）证明：a1a2+a2a3+…+a n a n+1=++…+=（-+-+…+-）=（-）=-•＜．19. 解：由正弦定理，得：sin A cos C-sin B cos C=sin C cos B-sin C cos A，整理得：sin A cos C+sin C cos A=sin C cos B+sin B cos C，即sin（A+C）=sin（B+C），∴sin B=sin A，又C=120°，∴B=A=30°，∵a=2，∴b=2，∴由余弦定理得：a2+b2-2ab cos C=4+4-2×2×2×（-）=12，∴c=2．20. 解：（1）∵a n是S n与2的等差中项∴S n=2a n-2∴a1=S1=2a1-2，解得a1=2 a1+a2=S2=2a2-2，解得a2=4（2）∵S n=2a n-2，S n-1=2a n-1-2，又S n-S n-1=a n，n≥2∴a n=2a n-2a n-1，∵a n≠0，∴=2（n≥2），即数列{a n}是等比数列，∵a1=2，∴a n=2n∵点P （b n，b n+1）在直线x-y+2=0上，∴b n-b n+1+2=0，∴b n+1-b n=2，即数列{b n}是等差数列，又b1=1，∴b n=2n-1，（3）∵=（2n-1）2n∴T n=a1b1+a2b2+…+a n b n=1×2+3×22+5×23+…+（2n-1）2n，∴2T n=1×22+3×23+…+（2n-3）2n+（2n-1）2n+1因此：-T n=1×2+（2×22+2×23+…+2×2n）-（2n-1）2n+1，即：-T n=1×2+（23+24+…+2n+1）-（2n-1）2n+1，∴T n=（2n-3）2n+1+621. 解：50万元10年产生本息和与每年存入x万元的本息和相等，故有购房款50万元十年的本息和：50（1+4%）10…4 分每年存入x万元的本息和：x•（1+4%）9+x•（1+4%）8+…+x…（8分）=•x…（10分）从而有 50（1+4%）10=•x解得：x≈6.17（万元）…12分22. （本小题满分16分）解：（1）由正弦定理得（2sin B-sin C）cos A=sin A cos C．…（ 2分）所以2sin B cos A=sin B，所以cos A=，…（4分）因为0°＜A＜180°，所以A=60°．…（ 5分）（不给A的X围扣1分）（2）①由正弦定理得=，又因为BC=6，b=，A=60°，所以sin B=．…（ 7分）因为0°＜B＜180°，所以B=30°或B=150°．…（8分）因为A+B ＜180°，所以B=30°．…（ 10分）因为D是BC的中点，所以DC=3．由勾股定理知AD=．…（ 11分）②因为=，又因为AD=，BC=6，sin A=，所以AB×AC=36…（13分）因为BC2=AB2+AC2-2ABAC cosA，所以AB2+AC2=72，…（15分）所以AB+AC=12，所以AB=AC=6．所以△ABC为等边三角形．…（16分）本题第3问若用两角和与差的正切公式也给分【解析】1. 解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，集合A={2，3，5，9}，集合B={4，5，6，7，9}，∴∁U A={1，2，4，6，7，8，10}，∁U B={1，2，3，8，10}，则（∁U A）∩（∁U B）={1，8，10}．故选：C．根据全集U，以及A与B，求出A与B的补集，找出两补集的交集即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2. 解：由题意：∵角A，B，C是△ABC的内角，∴B+A+C=π∵A：B：C=1：2：3，∴A=30°，B=60°，C=90°根据正弦定理：sin A：sin B：sin C=a：b：c∴a：b：c=1：：2故选C．根据三角形内角和定理和正弦定理即可求解．本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题．3. 解：∵x＞1，∴+1=5．当且仅当x=3时取等号．故选B．利用基本不等式即可得出．熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键．4. 解：∵2a8=a11+6由等差数列的性质可得，2a8=a11+a5=a11+6从而可得，a5=6由等差数列的前n项和可得，故选：A由已知2a8=a11+6，结合等差数列的性质可得，2a8=a11+a5=a11+6从而可得，a5=6，代入等差数列的前n项和，然后利用利用等差数列的性质及所求的a5的值代入可求得答案．本题主要考查了等差数列的前n项和的求解，关键是由已知2a8=a11+6，结合等差数列的性质可得，2a8=a11+a5=a11+6，求出a5，在求和时利用等差数列的和时又一次利用了性质a1+a9=2a5．灵活利用等差数列的性质是解得本题的关键．5. 解：∵等比数列{a n}的前n项和S n=3n-1+t，∴n=1时，a1=S1=1+t；n≥2时，a n=S n-S n-1=3n-1+t-（3n-2+t）=2×3n-2，n=1时上式成立，∴1+t=2×3-1，解得t=-．故选：C．等比数列{a n}的前n项和S n=3n-1+t，n=1时，a1=S1；n≥2时，a n=S n-S n-1，n=1时上式成立，即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6. 解：由AC=b=2，要使三角形有两解，就是要使以C为圆心，半径为2的圆与BA有两个交点，当A=90°时，圆与AB相切；当A=45°时交于B点，也就是只有一解，∴45°＜A＜90°，＜sin A＜1，由正弦定理以及a sin B=b sin A．可得：a=x=2sin A，∵2sin A∈（2，）．∴x 的取值X围是（2，）．故选：C由题意判断出三角形有两解时，A的X围，通过正弦定理及正弦函数的性质推出x的X围即可．此题考查了正弦定理，正弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．7. 解：∵a n=[（）n-（）n]，∴a1===1，同理可得：a2=1，a3=2，a4=3，a5=5．故选：B．利用通项公式即可得出．本题考查了裴波那契数列、数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8. 解：由正项等比数列{a n}的性质可得：a1•a2016=a2•a2015=…=a1008•a1009=，则lg a1+lg a2+…+lg a2016=lg（a1a2•…•a2015•a2016）==-2016．故选：D．由正项等比数列{a n}的性质可得：a1•a2016=a2•a2015=…=a1008•a1009，再利用对数的运算性质即可得出．本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9. 解：∵关于x的不等式ax-b＞0的解集为（-∞，1），∴a＜0，且=1．则不等式＞0即＜0，解得1＜x＜2，故选：C．由题意可得a＜0，且=1，不等式＞0即＜0，由此求得不等式的解集．本题主要考查一次不等式、分式不等式的解法，注意a的符号，体现了转化的数学思想，属于中档题．10. 解：∵=，∴可得：（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin C，∵2R sin（A-B）=2R（sin A cos B-cos A sin B）=2R sin A cos B-2R sin B cos A=a•-b•=，∴已知等式变形得：（a2+b2）•=（a2-b2）•，∴a2=b2或a2+b2=c2，则△ABC是等腰三角形或直角三角形．故选：D．先利用三角函数的和角公式化左边=2R（sin A cos B-cos A sin B），再利用余弦化成三角形边的关系化简已知等式“（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin C”，得到a2=b2或a2+b2=c2，从而得出该三角形是等腰三角形或直角三角形．此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，考查了转化思想，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于中档题．11. 解：由题意，1至12的和为78，因为三人各自值班的日期之和相等，所以三人各自值班的日期之和为26，根据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，据此可判断丙必定值班的日期是6日和11日，故选：C．确定三人各自值班的日期之和为26，根据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，即可确定丙必定值班的日期．本题考查分析法，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．12. 解：∵关于x的方程x2+ax+a2-a-2=0的一根大于1，另一根小于1，令f（x）=x2+ax+a2-a-2，则f（1）=1+a++a2-a-2=a2-1＜0，求得-1＜a＜1，故选：C．利用一元二次方程的根的分布与系数的关系，二次函数的性质，求得a的取值X围．本题主要考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，二次函数的性质，属于基础题．13. 解：∵a n+1=2S n，∴a n=2S n-1（n≥2），两式相减得：a n+1-a n=2a n，即a n+1=3a n（n≥2），又∵a1=-1，a2=2S1=-2不满足上式，∴a n=，∴S n=a n+1=•（-2）•3n-1=-3n-1，故答案为：-3n-1．通过a n+1=2S n与a n=2S n-1（n≥2）作差，进而可知从第二项起数列{a n}构成以-2为首项、3为公比的等比数列，进而计算可得结论．本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．14. 解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由z=|x-y+4|，得：y=x+4±z，结合图象：若4±z=2，则，|z|=2，若4±z=-1，则|z|=5，故答案为：5．画出满足条件的平面区域，结合图象求出|z|的最大值即可．本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．15. 解：如图所示，由射影定理可得：CD2=AD•BD，∴==144．故答案为：144．由射影定理可得：CD2=AD•BD，代入解出即可．本题考查了射影定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16. 解：设f（a）=-，∴f′（a）=-+=，∵-1＜a＜0，令f′（a）=0，解得a=-2+，当f′（a）＞0，即（-2+，0）单调递减，当f′（a）＜0，即（-1，-2+）单调递增，当a=-2+函数f（a）有最大值，即f（-2+）=，故答案为：-3-2设f（a）=-，求导，根据导数求出函数的最值．本题考查了函数导数和函数的最值的关系，关键时构造函数，属于中档题．17. 由于ax2-2（a+1）x+4=（ax-2）（x-2），对a分a=0，a＜0，0＜a讨论，当a＞0时，再比较与2的大小即可求得ax2-2（a+1）x+4＞0的解集．本题考查一元二次不等式的解法，着重考查含参数的不等式的解法，突出考查分类讨论思想的运用，属于中档题．18. （1）两边除以a n•a n+1，由等差数列的定义和通项公式，即可得证，由等差数列的通项公式即可得到；（2）运用数列的求和方法：裂项相消求和，运用不等式的性质，即可得证．本题考查等差数列的定义和通项公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，注意运用不等式的性质，属于中档题．19. 利用正弦定理化简已知的等式，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化简后，再利用诱导公式化简，根据C的度数，求出A与B的度数，得到A与B的度数相等，利用等角对等边得到a=b，由a的值求出b的值，然后由a，b及cos C的值，利用余弦定理即可求出c的值．此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．20. （1）先利用a n是S n与2的等差中项把1代入即可求a1，再把2代入即可求a2的值；（2）利用S n=2a n-2，可得S n-1=2a n-1-2，两式作差即可求数列{a n}的相邻两项之间的关系，找到规律即可求出通项；对于数列{b n}，直接利用点P（b n，b n+1）在直线x-y+2=0上，代入得数列{b n}是等差数列即可求通项；（3）先把所求结论代入求出数列{}的通项，再利用数列求和的错位相减法即可求出其各项的和．本题考查了数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．考查计算能力．21. 设出每年应还款的数额，分别求出50万元10年产生本息和与每年存入x万元的本息和，列等式后求得每年应还款数．本题考查了函数模型的选择及应用，考查了简单的数学建模思想方法，关键是列出贷款和还款本息的等式，是中档题．22. （1）由正弦定理化简可得2sin B cos A=sin B，求得cos A=，进而可求得A=60°．（2）①由正弦定理及已知可求得sin B=，进而可求B的值，再求得DC的值，从而由勾股定理求得AD的值．②由=可求得AB×AC=36，由余弦定理可求得AB2+AC2=72，从而求得：AB+AC=12，即有：AB=AC=12．本题主要考察了正弦定理、余弦定理的综合应用，属于中档题．。
河南省郑州市2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷
河南省郑州市2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷一、单选题1．直线3210x y +-=的一个方向向量是（）A ．()2,3-B ．()2,3C ．()3,2-D ．()3,22．已知空间向量()2,2,1a =-- ，()3,0,1b = ，则向量b 在向量a上的投影向量是（）A ．⎝⎭B ．10105,,333⎛⎫-- ⎝⎭C ．31,0,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．10105,,999⎛⎫-- ⎝⎭3．已知方程22124x y m m+=--表示一个焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围为（）A ．()3,4B ．()2,3C ．()()2,33,4D ．()2,44．已知{},,a b c 是空间的一个基底，{},,a b a b c +- 是空间的另一个基底，一向量p 在基底{},,a b c 下的坐标为()4,2,3，则向量p在基底{},,a b a b c +- 下的坐标是（）A ．()4,0,3B ．()3,1,3C ．()1,2,3D ．()2,1,35．直线sin 20x y θ-+=的倾斜角的取值范围是（）A ．[)0,πB ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．πππ3,,422π4⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦6．如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD 中，M ，N 分别为BC ，AD 的中点，则直线AM 和CN 夹角的余弦值为（）A ．23B ．34C ．12D ．37．若圆()2221:(1)(2)0C x y r r ++-=>上恰有2个点到直线:43100l x y --=的距离为1，则实数r 的取值范围为（）A ．()3,+∞B ．()5,+∞C ．()3,5D ．[]3,58．已知实数x ，y 满足2222x y x y +=+，则4yx -的最大值为（）A ．3B ．1-C ．2D ．1二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．若空间中O ，A ，B ，C 满足1233OC OA OB =+，则A ，B ，C 三点共线B ．空间中三个非零向量,,a b c，若0a b ⋅= ，0b c ⋅= ，则a c∥C ．对空间任意一点O 和不共线三点A ，B ，C ，若220242025OP OA OB OC =+-，则P ，A ，B ，C 共面D ．()1,1,a x = ，()3,,9b x = ，若310x >-，则a与b 的夹角为锐角10．下列说法不正确的有（）A ．若两条直线250x ay +-=与250ax y +-=互相平行，则实数a 的值为2-B ．若直线y kx b =+不经过第三象限，则点(,)k b 在第二象限C ．过点(2,3)--且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为5x y +=-D ．已知直线10kx y k ---=和以(3,1)M -，(3,2)N 为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为32k ≥或12k ≤-11．在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A -，动点P 满足PA =，得到动点P 的轨迹是曲线C ．则下列说法正确的是（）A ．曲线C 的方程为22(2)8x y -+=B ．若直线4y kx =+与曲线C 有公共点，则k 的取值范围是22⎡+⎣C ．当,,O A P 三点不共线时，若点(2D -，则射线PD 平分APO∠D ．过曲线C 外一点(4,)a a -作曲线C 的切线，切点分别为,M N ，则直线MN 过定点24,33⎛⎫⎪⎝⎭三、填空题1210=化简后为．13．如图，60︒的二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ．已知4AB =，6AC =，8BD =，则CD 的长为14．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点Q 、P 的距离之比MQ MPλ=()0,1λλ>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为221x y +=，定点Q 为x 轴上一点，1,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭且2λ=，若点()1,1B ，则2MP MB +的最小值为.四、解答题15．已知ABC V 的三个顶点分别为(3,0)A -，(2,1)B ，(2,3)C -，求：(1)BC 边上中线AD 所在直线的方程；(2)BC 边的垂直平分线DE 的方程；(3)ABC V 的外接圆方程．16．如图，在棱长为2的平行六面体1111ABCD A B C D -中，1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=.(1)求线段1AC 的长度；(2)求直线1AC 与直线1C D 的夹角的余弦值.17．已知以点−1,2为圆心的圆与直线1270:l x y ++＝相切，过点()2,0B -的动直线l 与圆A 相交于,M N (1)求圆A 的方程；(2)当MN =l 的方程．18．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD ，ABEF 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且CM 和BN 的长度保持相等，记CM BN a ==(0a <<．（1）求MN 的长；（2）a 为何值时，MN 的长最小？（3）当MN 的长最小时求平面MNA 与平面MNB 夹角的余弦值．19．在空间直角坐标系O xyz -中，已知向量(),,u a b c =，点()0000,,P x y z ，若直线l 以u为方向向量且经过点0P ，则直线l 的标准式方程可表示为()0000;x x y y z z abc a b c---==≠若平面α以u为法向量且经过点0P ，则平面α的点法式方程表示为()()()0000.a x xb y yc z z -+-+-=(1)已知直线l 的标准式方程为112x z-==，平面1α的点法式方程可表示为50y z +-+=，求直线l 与平面1α所成角的正弦值;(2)已知平面2α的点法式方程可表示为2320x y z ++-=，平面外一点()1,2,1P ，求点P 到平面2α的距离;(3)若集合(){},,|2,1M x y z x y z =+==，记集合M 中所有点构成的几何体为S ，求几何体S 的体积.。
2024—2025学年河南省郑州市第二高级中学等校高二上学期期中联考数学试卷
2024—2025学年河南省郑州市第二高级中学等校高二上学期期中联考数学试卷一、单选题(★) 1. 直线的一个方向向量是（）A．B．C．D．(★★) 2. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（）A．B．C．D．(★) 3. 已知方程表示一个焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．(★★) 4. 已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（）A．B．C．D．(★★) 5. 直线的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．(★★★) 6. 如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的余弦值为（）A．B．C．D．(★★★) 7. 若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．(★★★) 8. 已知实数x，y满足，则的最大值为（）A． 3B．C． 2D． 1二、多选题(★★) 9. 下列说法正确的是（）A．若空间中O，A，B，C满足，则A，B，C三点共线B．空间中三个非零向量，若，，则C．对空间任意一点O和不共线三点A，B，C，若，则P，A，B，C共面D．，，若，则与的夹角为锐角(★★) 10. 下列说法不正确的有（）A．若两条直线与互相平行，则实数a的值为B．若直线不经过第三象限，则点在第二象限C．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为D．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为或(★★★★) 11. 在平面直角坐标系中，，动点满足，得到动点的轨迹是曲线．则下列说法正确的是（）A．曲线的方程为B．若直线与曲线有公共点，则的取值范围是C．当三点不共线时，若点，则射线平分D．过曲线外一点作曲线的切线，切点分别为，则直线过定点三、填空题(★★) 12. 方程化简后为 ______ ．(★★) 13. 如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，，则的长为 __________(★★★) 14. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点、的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为 ______ .四、解答题(★★) 15. 已知的三个顶点分别为，，，求：(1) 边上中线所在直线的方程；(2) 边的垂直平分线的方程；(3) 的外接圆方程．(★★★) 16. 如图，在棱长为2的平行六面体中，.(1)求线段的长度；(2)求直线与直线的夹角的余弦值.(★★★) 17. 已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于(1)求圆的方程；(2)当时，求直线的方程．(★★★) 18. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记．（1）求MN的长；（2）a为何值时，MN的长最小？（3）当MN的长最小时求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．(★★★★) 19. 在空间直角坐标系中，已知向量，点，若直线l以为方向向量且经过点，则直线l的标准式方程可表示为若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为(1)已知直线l的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线l与平面所成角的正弦值;(2)已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，求点P到平面的距离;(3)若集合，记集合M中所有点构成的几何体为，求几何体的体积.。
河南省郑州名校联考2024-2025学年高二上学期期中联考数学测试卷
河南省郑州名校联考2024-2025学年高二上学期期中联考数学测试卷一、单选题1．已知全集{}0,1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}1,2,4A =，集合{}0,3,5,6B =，则()U A B ð等于（）A ．{}4B ．{}7,8C ．{}3,5,6D ．{}3,5,6,02．直线20x y -=是双曲线()222104x y a a -=>的一条渐近线，则a =（）A ．1B ．2C ．4D ．163．直线10x -=的倾斜角为A ．30oB ．60oC ．120D ．1504．已知,x y ∈R ，向量(),1,1a x = ，()1,,1b y = ，()2,2,2c =- ，且a c ⊥ ，//b c，则x y +的值为（）A ．1-B ．1C ．2D ．35．已知函数()f x 是周期为2的奇函数，且当()0,1x ∈时，()31xf x =+，则381(log )2f 的值为（）A ．3B ．3-C ．2-D ．26．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，已知点()2,4A ，点P 满足3PO PA ⋅=．过点P 总可以向以点()5,6C 为圆心､r 为半径的圆作两条切线，则半径r 的取值范围为（）A ．(B ．(0,C ．(D ．(7．如图所示，在三棱锥P ABC -中，π,4,3,2APB PA PB AC BC ∠=====面PAB ⊥平面ABC ，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A ．24πB ．28πC ．32πD ．35π8．已知ABC V 的顶点均在抛物线24x y =上，且ABC S = 过A B C ､､分别作抛物线24x y =的切线123l l l ､､，则三条切线123l l l ､､围成的三角形的面积为（）AB C ．54D ．2二、多选题9．已知曲线C 的方程为()22cos sin sin cos ,0,πx y θθθθθ⋅+⋅=⋅∈，则下列说法正确的是（）A ．当π2θ=时，曲线C 为直线B ．当π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，曲线C 为焦点在y 轴上的椭圆C ．当π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，曲线C 为焦点在x 轴上的双曲线D ．曲线C 不可能是圆10．下列说法正确的是（）A ．在长方体1111ABCD ABCD -中，11}{,,AB AC AC可以构成空间的一个基底B ．已知,,A BC 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足1()3OM OA OB OC =++，则M 在平面ABC 内C ．若向量p mx ny kz =++，则称(,,)m n k 为p 在基底{,,}x y z 下的坐标，已知向量p 在基底{,,}a b c下的坐标为(1,2,3)，则向量p 在基底{,,}a b a b c -+ 下的坐标为13(,,3)22-D ．已知PA PB PC ､､是从点P 出发的三条线段，每两条线段夹角均为60,1PA PB PC === ，若M 满足23PM PA PB PC =++ ，则cos ,AM AB 〈〉=11．已知椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>和双曲线()222222222:10,0x y C a b a b -=>>有公共焦点，左，右焦点分别为12,F F ，设两曲线在第一象限的交点为,M MP 为12F MF ∠的角平分线，MQ MP ⊥，点,P Q 均在x 轴上，设椭圆1C 的离心率为1e ，双曲线2C 的离心率为2e ，则下列说法正确的是（）A ．221221MF MF b b ⋅=-B ．以椭圆和双曲线四个交点为顶点的四边形的面积的最大值为112a bC ．若1226F F MF =，则12e e 的取值范围为33,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．若1260F M F ∠=，则221212PF QF MF MF ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为12+三、填空题12．设抛物线()220y px p =>的焦点为F ，()1,P m 为抛物线上一点，若2PF =，则p =.13．已知直线1l 的一个方向向量为(),b a ，直线2l 的一个方向向量为(1,2)a -，其中,a b 为正数，若12l l ⊥，则32a b +的最小值为．14．已知长方体1111ABCD A B C D -中，124AB AD AA ===，点P 为平面11A ADD 内任一点，且点P 到点1A 的距离与到面ABCD 的距离相等，点,E F 分别为,BC CD 的中点，则三棱锥1P EFC -的体积的最小值为．四、解答题15．已知双曲线()22:0C x y m m -=>的左右焦点与点(构成等边三角形．(1)求双曲线C 的标准方程；(2)若直线l 过定点()0,1且与双曲线C 交于,P Q两点，当PQ =时，求直线l 的方程．16．一个小岛（点)O 的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛为圆心，半径为1km 的圆形区域内，轮船在小岛正东方2km 的B 点处．以小岛中心为原点O ，正东方向为x 轴的正方向，正北方向为y 轴的正方向建立平面直角坐标系，取1km为单位长度．(1)若轮船沿北偏西45 的航向直线航行，轮船是否会有触礁风险？说明理由；(2)若直线l 过点B ，且其倾斜角为直线12y x =的倾斜角的2倍，求l 的一般式方程，并求暗礁边界上动点P 到直线l 的距离的最小值．17．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()()()sin sin sin c b C a b A B -=+-．(1)求A ；(2)若2a =，求三角形内切圆半径的取值范围．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥面,4,ABCD PD AB E ==为棱PA 上的动点．(1)若E 为棱PA 中点，证明：PC ∥面EBD ；(2)在棱PA 上是否存在点E ，使得二面角B DE A --的余弦值为23若存在，求出PEPA 的值；若不存在，请说明理由；(3),,E F Q 分别在棱,,PA PC PD 上，1EQ FQ ==，求三棱锥F EDP -的体积的最大值．19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>1,2⎛ ⎝⎭，过点()4,2P 作椭圆C 两条切线，切点分别为A B ､．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)求直线AB 的方程；(3)过点()4,2P 作直线l 交椭圆C 于,D E 两点，其中点D 在x 轴上方，直线l 交直线AB 于点F ．试证明：0PD FE FD PE ⋅+⋅=恒成立．。
河南省郑州市2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试卷(无答案)
高二数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A 版选择性必修第一册第一章～第二章第2节（约占30%）；选择性必修第一册第二章第3节～第三章第2节（约占70%）.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（ ）A.0B.C.D.2.双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D.3.过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是（ ）A. B.C.或 D.或4.“”是“方程表示双曲线”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知，是方程的两个不等实数根，则点与圆：的位置关系是（ ）A.在圆内B.在圆上C.在圆外D.无法确定6.已知，若关于有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.7.已知是椭圆：（）的一个焦点，是的上顶点，的延长线交于点2x =-π2π4π2-221916y x -=34y x =±43y x =±45y x =±54y x =±()2,1l 30x y +-=20x y -=30x y +-=20x y -=30x y +-=10x y --=4m >()()22341m x m y ++-=a b 220x --=(),P a b C 228x y +=P P P t ∈R x x t =+t ⎛ ⎝⎭(F C 22221x y a b+=0a b >>B C BF C，若，则的离心率是（ ）C.8.已知圆：，过轴上的点作直线与圆交于，两点，若存在直线使得，则的取值范围为（ ）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设椭圆：（）的左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，若，且上的动点到的距离的最大值是8，则（ ）A. B.的离心率为C.弦的长可能等于 D.的周长为1610.平行六面体的底面是正方形，，，，，则下列说法正确的是（ ）A.B.C.四边形D.若，则点在平面内11.关于曲线：，下列说法正确的是（ ）A.曲线关于直线对称B.曲线围成的区域面积小于2C.曲线上的点到轴、轴的距离之积的最大值是D.曲线上的点到轴、轴的距离之和的最大值是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.A 4BF FA = C 35M ()2234x y +-=x ()0,0P x l M A B l2PA AB =0x ⎡⎣⎡⎣⎡-⎣[]3,3-C 22221x y a b+=0a b >>1F 2F 1F C A B 126F F =C P 1F 4b =C 35AB 4π2ABF △1111ABCD A B C D -ABCD 11AA AB ==1160A AB A AD ∠=∠=︒AC BD O = 11111A C B D O = 1AC =111122BO AB AD AA =-+ 11B BDD 115133AM AO AO AB =+- M 11B BDD E 11221x y +=E y x =-E E x y 116E x y 1212.已知空间向量，，是实数，则的最小值是______.13.设是双曲线上一点，，分别是两圆：和上的点，则的最大值为______.14.设直线：与圆：交于，两点，对于任意的实数，在轴上存在定点，使得的平分线在轴上，则的值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知点，，直线的方程为（）.（1）证明：无论取何值，直线必过第三象限；（2）若点，到直线的距离相等，求的值.16.（本小题满分15分）设，，，，圆的圆心在轴的正半轴上，且过，，，中的三个点.（1）求圆的方程；（2）若圆上存在两个不同的点，使得成立，求实数的取值范围.17.（本小题满分15分）在如图所示的空间几何体中，四边形是平行四边形，平面平面，，，，为的中点.（1）求证：平面；（2）线段上是否存在点，使得平面与平面的值；若不存在，请说明理由.18.（本小题满分17分）已知是椭圆：（）上的一点，是的一个焦点，，为坐标原点.（1）求的方程；()2,2,a t t = ()2,4,1b t t t =+-- t b a - P 221916x y -=M N ()22154x y -+=()22954x y ++=PM PN -l 13y kx =+C 221x y +=A B k y ()0,D t ADB ∠y t ()1,6A -()3,2B l 10ax y a +++=a ∈R a l A B l a (A ()4,0B (C -(1,D Q x A B C D Q Q P 222PA PC λ+=λABCDE ACDE EAB ⊥ABC EB AB ⊥2AB AC BC ===60EAB ∠=︒F AC AC ⊥BEF CD P PFB EFB CP CD()0,1M Γ22221x y a b+=0a b >>F Γ30MFO ∠=︒O Γ（2），，，是上的四个点，直线与直线相交于点.①若，分别为与，轴的正半轴的交点，求直线的斜率；②若直线的斜率为，求面积的最大值，并求出此时直线的方程.19.（本小题满分17分）在平面直角坐标系中，若在曲线的方程中，以（且）代替得到曲线的方程，则称是由曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线，称为伸缩比.（1）若不过原点的直线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是，证明：是与平行的直线；（2）已知伸缩比时，曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是：，且与轴有，两个交点（在的左侧），过点且斜率为的直线与在轴的右侧有，两个交点.①求的取值范围；②若直线，，的斜率分别为，，，证明：为定值.A B C D ΓAD BC ()4,2E -A B Γx y CD AB 12-EAB △AB xOy 1E (),0F x y =(),x y λλ0λ>1λ≠(),x y 2E (),0F x y λλ=2E 1E λ1E 2E 2E 1E 12λ=1E 2E 221164x y -=1E x A B A B ()4,0k l 1E y M N k AM BM BN 1k 2k 3k ()213k k k -。
河南省部分学校大联考2024-2025学年高二上学期11月期中数学试题(含答案)
大联考2024—2025学年（上）高二年级期中考试数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知直线的倾斜角为，且经过点，则的方程为（）A B. C. D. 2. 椭圆与，且的（）A. 长轴长相等B. 短轴长相等C. 焦距相等D. 离心率相等3. 已知中心在原点的双曲线的一条渐近线的斜率为2，且一个焦点的坐标为，则的方程为（）A. B. C. D. 4. 在四面体中，为棱的中点，为线段的中点，若，则（）A.B. 1C. 2D. 3l 3π4l ()1,2-l 30x y ++=10x y +-=240x y -+=20x y +=22194x y +=221(494x y m m m+=<--0)m ≠C (C 22128x y -=2214y x -=22146y x -=22182-=y x ABCD M CD E AM BE aBC bBD cBA =++ca=125. 若直线与圆相离，则点（）A. 在圆外 B. 在圆内C. 在圆上D. 位置不确定6. 设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，，则的最小值为（）A. 8B. 7C. 6D. 47. 已知为抛物线的焦点，的三个顶点都在上，且为的重心.若的最大值为10，则（）A. 1B. 2C. 3D. 48. 如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，为底面内的一个动点（包括边界），底面底面，且，则的最小值与最大值分别为（）A.B. C.D.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知方程，则（）A. 当时，方程表示椭圆B. 当时，方程表示焦点在轴上的双曲线C. 存在，使得方程表示两条直线D. 存在，使得方程表示抛物线10. 已知直线的方程为，则下列结论正确的是（）A. 点不可能在直线上:40l ax by --=22:4O x y +=(),P a b O O O P 221259x y +=12,F F ()1,0Q -2||||PF PQ +F ()2:20E x py p =>ABC V E F ABC V FA FB +p =EF ABCD -ABCD M ABCD AE ⊥,ABCD CF ⊥ABCD 2AE CF ==ME MF ⋅7,423,47,5257,22()()22:251C m x m y -+-=25m <<C 5m >C x m C m C l ()()0,1,1,3,3ax y a M N --=-M lB. 直线恒过点C. 若点到直线的距离相等，则D. 直线上恒存在点，满足11. 如图，在三棱锥中，平面分别为中点，是的中点，是线段上的动点，则（）A. 存在，使得B. 不存在点，使得C.的最小值为D. 异面直线与三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 在空间直角坐标系中，点与关于原点对称，则点坐标为__________.13. 若圆关于直线对称，则点与圆心的距离的最小值是__________.14. 已知椭圆的任意两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，它的圆心与椭圆的中心重合，半径的平方等于椭圆长半轴长和短半轴长的平方和.如图为椭圆及其蒙日圆，点分别为蒙日圆与坐标轴的交点，分别与相切于点，则四边形与四边形EFGH 的面积的比值为__________.的的l ()1,0,M N l 2a =l Q 0MQ NQ ⋅=A BCD -,BD BC AB ⊥⊥,2,,,,BCD AB BC BDEFGH ===,,,AB BD BC CD M EF N GH 0,0a b >>GM aGH bGE =+N MN EH⊥MN AG EF Oxyz (),0,23P a b -(),0,Q a b O Q 22:(2)(1)1C x y -+-=220ax by ++=(),a b C ()2222Ω:10x y a b a b+=>>,ΩO ,,,A B C D O ,,,AB BC CD AD Ω,,,E F G H ABCD四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知圆的圆心在直线和直线的交点上，且圆过点.（1）求圆的方程；（2）若圆的方程为，判断圆与圆的位置关系.16. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，为的中点.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.17. 已知是抛物线的焦点，是上一点，且在的准线上的射影为.（1）求方程；（2）过点作斜率大于的直线与交于另一点，若的面积为3，求的方程.18. 如图，在斜三棱柱中，平面平面是边长为2的等边三角形，为的中点，且为的中点，为的中点，.的C 2y x =240x y +-=C ()1,1-C B 224430x y x y +-++=B C P ABCD -ABCD 2,4,PA AB AD PB PD N =====CD PA BN ⊥AB PBN F 2:2(03)C y px p =<<()0,4P x C P C ,5Q PQ =C P 43l C M PFM △l 111ABC A B C -11AA C C ⊥,ABC ABC △11,AA A C O =AC 12,A O D =1AC E AD 114BF BB =（1）设向量为平面的法向量，证明：；（2）求点到平面距离；（3）求平面与平面夹角的余弦值.19. 已知双曲线的离心率为2，左､右焦点分别是是的右支上一点，的中点为，且（为坐标原点），是的右顶点，是上两点（均与点不重合）.（1）求的方程；（2）若不关于坐标轴和原点对称，且的中点为，证明：直线与直线的斜率之积为定值；（3）若不关于轴对称，且，证明：直线过定点.的a ABC 0EF a ⋅=A BCD BCD 1B DC ()2222:10,0x y C a b a b-=>>12,,F F P C 1PF Q 11QF QO -=O A C ,M N C AC ,M N MN H OH MN ,M N y AM AN ⊥MN大联考2024—2025学年（上）高二年级期中考试数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B2.【答案】C3.【答案】D4.【答案】C5.【答案】B6.【答案】B7.【答案】D8.【答案】A二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.【答案】BC10.【答案】ABD11.【答案】BCD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】13.【答案】14.【答案】##四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 【解析】【分析】（1）先求出两直线的交点，结合两点的距离公式和圆的标准方程计算即可求解；（2）由题意知的圆心为，半径，结合两圆的位置关系即可下结论.【小问1详解】由，得，即圆心坐标为.圆的方程为.【小问2详解】由（1）知，圆的圆心为，半径圆的方程可化为，则圆的圆心为，半径.，，圆与圆相交.16. 【解析】【分析】（1）根据已知数据结合勾股定逆定理可证得，，然后利用线面垂直的判定定理得平面，再由线面垂直的性质可证得结论；(0,0,1)83223B ()2,2B -2r =2240y x x y =⎧⎨+-=⎩12x y =⎧⎨=⎩()1,2=∴C 22(1)(2)5x y -+-=C ()1,2C 1r =B 224430x y x y +-++=22(2)(2)5x y -++=B ()2,2B -2r =CB == 12120r r CB r r ∴=-<<+=∴C B PA AD ⊥PA AB ⊥PA ⊥ABCD（2）由题意可得两两垂直，所以以为坐标原点，直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.【小问1详解】证明：，，.，，.平面，平面，又平面，.【小问2详解】解：四边形是矩形，，平面，平面，，所以以为坐标原点，直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，.设平面的法向量为，则，令，可得，,,AB AD AP A ,,AB AD AP x yz 2,4PA PD AD === 222PD PA AD ∴=+PA AD ∴⊥2,PA AB PB === 222PB PA AB ∴=+PA AB ∴⊥,,AB AD A AB AD ⋂=⊂ ABCD PA ∴⊥ABCD BN ⊂ABCD PA BN ∴⊥ ABCD AB AD ∴⊥PA ⊥ ABCD ,AB AD ⊂ABCD ,PA AB PA AD ∴⊥⊥A ,,AB AD AP x y z ()()()()0,0,0,2,0,0,1,4,0,0,0,2A B N P ()()()2,0,0,1,4,0,2,0,2AB BN BP ∴==-=-PBN 40220n BN x y n BP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 1y =4,4x z ==平面的一个法向量为.设直线与平面所成的角为，则，直线与平面.17. 【解析】【分析】（1）根据点在抛物线上得，结合抛物线定义列方程求参数，即可得方程；（2）设直线，联立抛物线，应用韦达定理、弦长及点线距离公式，结合三角形面积列方程求参数t ，即可得结果.【小问1详解】是上一点，，则，由抛物线的定义，知，，则，的方程为.【小问2详解】由（1），知.∴PBN ()4,1,4n =AB PBN θsin θ∴AB PBN 08x p=()3:4404l x t y t ⎛⎫-=-<< ⎪⎝⎭()0,4P x C 2042px ∴=01682x p p==852pPQ p =+=03p << 2p =C ∴24y x =()()1,0,4,4F P设直线，即，代入，整理得，，，又点到的距离为，，即，解得或（舍去），直线的方程为，即.18. 【解析】【分析】（1）先建立空间直角坐标系，应用面面垂直性质定理得出平面，进而得出法向量,最后应用空间向量数量积运算即可；（2）应用空间向量法求法向量及向量应用公式运算即可；（3）应用空间向量法求二面角余弦值即可.【小问1详解】如图，连接.，平面平面，平面平面平面，平面.是边长为2的等边三角形，.以为坐标原点，直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，则，.()3:4404l x t y t ⎛⎫-=-<<⎪⎝⎭44x ty t =-+24y x =2416160y ty t -+-=4161644M P M M y y y t y t ∴==-⇒=-(4442P PM y t ∴=-=--=-F l d (1142322PMF S PM d t ∴==⨯-= 2(2)(34)3t t --=12t =94t =∴l ()1442x y -=-240x y --=1A O ⊥ABC ()0,2,0,AC =BO 111,AA A C A O AC =∴⊥ 11AA C C ⊥ABC 11AA C C 1,ABC AC AO =⊂11AAC C 1A O ∴⊥ABC ABC ,BO AC BO ∴⊥=O 1,,OB OC OA x y z ()()0,0,0,0,1,0O A -)()())11111,0,1,0,0,0,2,2,0,,1,0,,242BC A BDE ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是平面的一个法向量，令.，，.【小问2详解】.设平面的法向量为，则令，可得，平面的一个法向量为，点到平面的距离为.【小问3详解】.设平面的法向量为，则令，可得，()10,0,2OA = ABC 1a OA = ()111110,1,2,0,,442BB BF BB ⎛⎫=∴== ⎪⎝⎭111,,,0422F EF ⎫⎫∴∴=⎪⎪⎭⎭1000202EF a ∴⋅=+⨯+⨯= ()()10,2,0,,0,,12AC BC CD ⎛⎫===- ⎪⎝⎭ BCD (),,m x y z =0,10,2m BC y m CD y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩2x=z =∴BCD (2,m = ∴ABCD d)12CB = 1B DC (),,n a b c =120,10,2n CB c n CD b c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩2a=b c =-=平面的一个法向量为.由（2）可知平面的一个法向量为.设平面与平面的夹角为，则，平面与平面夹角的余弦值为..19.【解析】【分析】（1）由题设及双曲线定义得，再结合离心率、双曲线参数关系求双曲线方程；（2）设且，应用点在双曲线上、中点公式得，即可证结论；（3）设直线的方程为，联立双曲线，应用韦达定理及向量垂直的坐标表示列方程求参数t ，即可证结论.【小问1详解】设，连接.是的中点，是的中点，，，则.又.，的方程为.【小问2详解】设且的中点为，则，∴1B DC (2,n =- BCD (2,m = BCD 1B DC θ11cos 19n m n m θ⋅=== ∴BCD 1B DC 11191a =()()()(1122000,,,,,0M x y N x y H x y x ≠)00y ≠0121203x y y x x y -=-MN ()1x my t t =+≠()()()12,0,,00F c F c c ->2PF Q 1PF O 12F F //QO ∴221,2PF QO PF =1212222a PF PF QF QO ∴=-=-=1a =e 222c c a a==⇒==22222213b c a ∴=-=-=C ∴2213y x -=()()()(1122000,,,,,0M x y N x y H x y x ≠)00y ≠MN H 1201202,2x x x y y y +=+=是上的两点，①，②，①②，得，即，即，可得，，直线与直线的斜率之积为定值3.【小问3详解】易知，且不关于轴对称，直线的斜率不为0，设直线的方程为，代入，整理得，，，,M N C 221113y x ∴-=222213y x -=-2222121203y y x x ---=()()()()1212121203y y y y x x x x +-+--=()()0120122203y y y x x x ---=0121203x y y x x y -=-012120030MN OH y y y k k x x x --∴=⨯=--OH MN ()1,0A ,M N y ∴MN MN ()1x my t t =+≠2213y x -=()222316330m y mty t -++-=()()()222222310,Δ(6)4313312310,m mt m t m t ⎧-≠⎪∴⎨=---=+->⎪⎩2121222633,3131mt t y y y y m m -∴+=-=--AM AN ⊥ ()()()()112212121,1,11AM AN x y x y x x y y ∴⋅=-⋅-=--+ ()()()()()22121212121111(1)my t my t y y m y y m t y y t =+-+-+=++-++-()()()2222213361(1)3131m t mt m t t m m +-⨯-=-+---22222222222223333663632131m t m t m t m t m t m t m t t m -+--++-+-+-=-，解得或（舍去），直线过定点.22224031t t m +-==-2t =-1t =∴MN ()2,0-。
河南省高二上学期期中联考数学(理)试题(解析版)
一、单选题 1．不等式的解集是（ ） 2062x x+≥-A ． B ．或 {|23}x x -≤<{|2x x ≤-3}x ≥C ． D ．或{|23}x x -≤≤{|2x x ≤-3}x >【答案】A【解析】将分式不等式转化为一元二次不等式化简即可.【详解】解：由题意可得，所以，解得.203x x +≥-(2)(3)030x x x +-≥⎧⎨-≠⎩23x -≤<故选：A.2．在中，已知，，则的面积为（ ） ABC A 3a =c =60C =︒ABC AA B C D 【答案】B【分析】先用余弦定理求得b ，然后由三角形面积公式计算．【详解】因为中，已知，， ABC A 3a =c 60C =︒所以，由余弦定理得，2222323cos 60320b b b b =+-⨯︒⇒-+=解得或2， 1b =所以的面积或 ABC A 1sin 2S ab C ==1132⨯⨯=1232S =⨯⨯=故选：B.3．已知数列为等差数列，为数列的前项和，，则等于{}n a n S {}n a n 2345625a a a a a ++++=7S （ ） A ．5 B ．15C ．30D ．35【答案】D【解析】根据等差数列的性质，由已知可求得，再由等差数列性质求得． 4a 7S 【详解】因为为等差数列，，得，所以{}n a 234564525a a a a a a ++++==45a =.()177477352a a S a +===故选：D ．4．已知方程表示一个焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ）22124x y m m+=--y mA ．B ．C ．D ．()3,4()2,3()()2,33,4 ()2,4【答案】B【分析】由椭圆的简单几何性质即可求解.【详解】解：因为方程表示一个焦点在轴上的椭圆，22124x y m m+=--y 所以有，解得，20,40,24,m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-<-⎩23m <<所以实数的取值范围为， m 23m <<故选：B.5．已知、、、为实数，则下列命题中正确的是（ ） a b c d A ．若且，则 a b <0ab ≠11a b>B ．若且，则 22a bc c<0c ≠a b >C ．若，，则 22a b <22c d <2222a c b d -<-D ．若，，则 22a b <22c d <2222a c b d <【答案】D【解析】利用特殊值法可判断AC 选项的正误；利用不等式的基本性质可判断BD 选项的正误. 【详解】对于A 选项，取，，则满足，但此时，A选项错误； 1a =-1b =a b <11a b<对于B 选项，由于且，所以，所以B 选项错误； 22a b c c<20c >ab <对于C 选项，取，，成立，但是，所以C a c ==b d ==22a b <22c d <2222a c b d -=-选项错误；对于D 选项，当、中至少有一个为零时，则，此时； a c 220b d >22220a c b d =<当且时，，，有，故D 选项正确. 0a ≠0c ≠220b a >>220d c >>2222b d a c >故选：D. 6．函数的最小值为（ ） 19()(1)41f x x x x =+>-A ．B ．C ．D ．13437294【答案】A【解析】凑配出积为定值，然后由基本不等式得最小值． 【详解】因为，所以，所以1x >10x ->9191113()(1)4141444x f x x x x =+=-+++=--…， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 1941x x -=-7x =()f x 134故选：A ．7．等比数列的前项和为，则（ ） {}n a n 1053,310,3n S S S S +==42a a +=A ．-10 B ．-16C ．-22D ．-8【答案】A【解析】首先利用等比数列的前项和，求公比和首项，再求.n 42,a a 【详解】根据题意，等比数列中，若，则，由，则{}n a 105310S S +=1q ≠±105310S S +=，得，解得，又由，则有()1011311a q q-+⨯-()51101a q q-=-532q=-2q =-33S =3131(1)331a q S a q-===-，解得，所以，有.11a =41a =32(2)8,1(2)2a ⨯-=-=⨯-=-42(8)(2)10a a +=-+-=-故选：A8．已知抛物线为坐标原点，点为抛物线上的一点，且点在轴的上方，2:2(0),C y px p O =>P P x 若线段的垂直平分线过点，则直线的斜率为（ ） OP ()2,0Q p OP A ．1 B ．2C ．D ．1232【答案】A【分析】设出点的坐标，写出的线段所在直线的解析式，进而求出线段垂直平分线所在P OP OP 直线的解析式，通过线段的垂直平分线过点，得到点的横坐标与的关系，即可求OP ()2,0Q p P p 出直线的斜率.OP 【详解】解：由题意设，则，线段的中点为(0P x:OP l y x =OP 02x A ⎛⎝∴线段的垂直平分线为：OP :AQ l y x =+∵线段的垂直平分线过点OP ()2,0Q p ∴20p +=解得：02x p =∴直线OP 1==故选：A.9．已知数列的前n 项和为，，对任意的都有，则（ ） {}n a n S 112a =*n ∈N 1(2)n n na n a +=+2021S =A ．B ．C ．D ．20192020202020212021202210101011【答案】C【解析】由，可得，数列为常数列，令1(2)n n na n a +=+1(1)(1)(2)n n n n a n n a ++=++{}(1)n n n a +1n =，可得，进而可得，利用裂项求和即可求解.1(1)21n n n a a +==1(1)n a n n =+【详解】数列满足，对任意的都有， {}n a 112a =*n ∈N 1(2)n n na n a +=+则有，可得数列为常数列， 1(1)(1)(2)n n n n a n n a ++=++{}(1)n n n a +有，得，得，1(1)2n n n a a +=(1)1n n n a +=1(1)n a n n =+又由，111(1)1n a n n n n ==-++所以．20211111112021112232021202220222022S =-+-+⋅⋅⋅-=-=故选：C【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列的前项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常{}n a n 数，那么求这个数列的前项和即可以用倒序相加法n （2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可以用错位相减法来求；n （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如n 类型，可采用两项合并求解.()()1nn a f n =-10．在中，内角、、所对的边分别为、、，若，角ABC A A B C a b c ()sin sin sin c C a Ab a B =+-的角平分线交于点，且，则的值为（ ）C ABD CD =3a b =cA ．B C ． D ．723【答案】B【解析】利用正弦定理边角互化以及余弦定理求出角的值，由可得出C ABC ACD BCD S S S =+△△△，结合可求得、的值，再利用余弦定理可求得的值.ab a b =+3a b =a b c 【详解】，由正弦定理可得，可得()sin sin sin c C a A b a B =+- ()22c a b a b =+-222a b c ab+-=，由余弦定理可得：，，所以，2221cos 22a b c C ab +-==0C π<< 3C π=由，有，得，ABC ACD BCD S S S =+△△△111sin sin sin 232626ab a CD b CD πππ=⋅+⋅ab a b =+所以，，，， 234b b =0b > 43b ∴=34a b ==由余弦定理可得. c ==故选：B.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； a b c （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.11．已知，是双曲线的左，右焦点，点在双曲线的右支上，若1F 2F 22221(0,0)x y a b a b-=>>P ，，则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的最大值为（ ）122PF PF =121cos 0,4F PF ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦A ．3B ．2C D【答案】B【分析】根据双曲线定理得到，，由余弦定理得到，结合22PF a =14PF a =21225cos 44c F PF a∠=-求出，得到双曲线经过一、三象限的渐近线的121cos 0,4PF PF ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦2245c a ≤≤2b a ≤≤斜率最大值.【详解】设，∴． 2PF m =12PF m =由题知， 22m m a -=∴，2m a =故，，22PF a =14PF a =∴由余弦定理得．222222221112221222241642045cos 22241644F P F P F F a a c a c c F PF F P F P a a a a+-+--∠==-⨯⨯⋅==∵，121cos 0,4PF PF ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦解得，2245c a≤≤所以，2234b a≤≤2b a ≤≤∵双曲线经过一、三象限的渐近线为， by x a=∴双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的最大值为2． 故选：B.12．已知，为椭圆上关于短轴对称的两点，、分别为椭圆的上、下顶点，M N 22143x y +=A B 设，、分别为直线，的斜率，则的最小值为（ ） 1k2k MA NB 12114k k +AB CD 【答案】A【分析】设出点，的坐标，并表示出两个斜率、，把代数式转化成与点的坐M N 1k 2k 12114kk +M 标相关的代数式，再与椭圆有公共点解决即可.【详解】椭圆中：，22143x y +=A (0,B 设则，则，(,)M m n (,)N m n -1k=2k =22143mn +=114k令它对应直线k =330mkn +-=330kx y +-=由整理得22330143kx y x y ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩22(912)640k x +-+=由判别式解得()22464(912)0k ∆=--⨯+≥k ≥，则的最小值为12114k k +故选 ：A二、填空题13．命题“，”的否定是___________.00x ∃>20002ln x x x -<【答案】，.0x ∀>22ln x x x -…【解析】根据特称命题的否定形式书写即可.【详解】命题“，”为特称命题，则其否定为：，.为全称命00x ∃>20002ln x x x -<0x ∀>22ln x x x -…题.故答案为：，.0x ∀>22ln x x x -…14．若满足约束条件，则的最小值为___________.,x y 2202202320x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩………3z x y =-【答案】4-【解析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．【详解】作出可行域，如图内部（含边界），作直线，由得ABC A :30l x y -=2202320x y x y -+=⎧⎨--=⎩，(2,2)B --由得，是直线的纵截距的相反数，向上平移时，减小， 3z x y =-3y x z =-z 3x z =-z ∴向上平移直线，减小，当过时，． l z l (2,2)B --min 3(2)(2)4z =⨯---=-故答案为：．4-三、双空题15．已知抛物线的准线为，点为抛物线上的一个动点，则点到准线和直线2:4C y x =l P P l 的距离之和的最小值为__________，此时点的坐标为__________.50x y -+=P【答案】()32-【分析】根据抛物线的定义把点到的距离转化到点到焦点的距离，就是求点到直线P l P F F 的距离，从而能求出直线，与抛物线联立可求点的坐标.50x y -+=FP 2:4C y x =P 【详解】设过点分别向和作垂线，垂足分别为， P l 50x y -+=12,P P 因为抛物线的焦点，由抛物线的定义得：， 2:4C y x =()1,0F 1PP PF =所以只需要求最小即可.2PF PP +当且仅当三点共线时最小，且最小值为点到直线的距离，即2,,F P P 2PF PP +F 50x y -+=此时直线与垂直，所以，所以直线为： 50x y -+=FP 1FP k =-FP ()1y x =--直线与抛物线联立得，即，且 FP 2:4C y x =()214x x -=2610x x -+=01x <<所以，故点 32x y =-=P ()32-答案为：()32-四、填空题16．数列满足，则的最大值为___________.{}n a ()*310128,29,2n n n a a a a a n ++=+≤=∈N 6a 【答案】17【解析】根据可得，，再由，122n n n a a a ++≤+()106764a a a a -≥-()63653a a a a -≤-7665a a a a ≥--可得，由等差数列的通项公式即可求解. 617a ≤【详解】由， 122n n n a a a ++≤+得121,n n n n a a a a +++--≤有， ()()()()106109887769a a a a a a a a a a -=-+-+-+-()764a a ≥-有；又由， ()7661294a a a ≤--()()()()63655443653a a a a a a a a a a -=-+-+-≤-有；再由，有，得，6a -()56183a a -≥7665a a a a ≥--()()661129843a a -≥-617a ≤当时，数列为等差数列，122n n n a a a ++=+{}n a 由和，可得，此时，， 38a =1029a =3d =63383317a a d =+=+⨯=故的最大值为. 6a 17故答案为：17【点睛】关键点点睛：本题考查了数列递推关系式，解题的关键是根据，得出122n n n a a a ++≤+，，求出，同时考查了等差数列的通项公式的应用.()106764a a a a -≥-()63653a a a a -≤-617a ≤五、解答题17．已知的内角的对边分别为，且.ABC A ,,A B C ,,a b c 2cos 2c B a b =+（1）求；C（2）若为线段上一点，且，求的长. 3,c a ==D AB CD AC ⊥CD 【答案】（1）；（2）. 23C π=1【解析】（1）利用正弦定理将化为，结合2cos 2c B a b =+2sin cos 2sin sin C B A B =+，化简整理可得，从而可求出，进而可求sin sin[()]A B C π=-+2sin cos sin 0B C B +=1cos 2C =-出角的值；C（2）在中利用余弦定理可求出，而ABC A AC =a b ==30A ︒=CD AC ⊥，所以 1CD AC ===【详解】解：（1）根据正弦定理得， 2sin cos 2sin[()]sin C B B C B π=-++整理得2sin cos sin 0B C B +=因为，所以，又，可得 sin 0B ≠1cos 2C =-(0,)C π∈23C π=（2）在中，由余弦定理得：ABC A 2932cos b b C =+-⨯将（1）中所求代入整理得：，解得或(舍)，即260b -=b =b =-AC =在中，可知，有， ABC A a b =30A ︒=因为， CD AC ⊥所以. tan 301CD AC AC =︒===18．已知：方程有两个不等的负实根，：函数的定义p 210x mx ++=q 23log 44(2)1y x m x ⎡⎤=+-+⎣⎦域为R ．(1)若为真，求的取值范围；p q ∨m (2)若和有且只有一个为真，求的取值范围． p q m 【答案】(1) (1,)m ∈+∞(2) (1,2][3,)m ∈+∞【分析】（1）根据方程有两个不等的负实根，得到不等式组，求出为真时，再根据对数函数p m>2的定义域为R 求出，求出均为假命题时的取值范围，进而得到为真的取值范13m <<,p q m p q ∨围；（2）考虑真假和假真两种情况下的的取值范围，进而得到答案.p q p q m 【详解】（1）若为真，则，解得：，p 24002m m ⎧->⎪⎨-<⎪⎩m>2若为真，则恒成立， q 244(2)10x m x +-+>则，解得：，216(2)160m ∆=--<13m <<先考虑均为假命题时，与取交集得：， ,p q (][),13,-∞⋃+∞(],2-∞(],1-∞则若为真，则和至少有一个为真，则； p q ∨p q (1,)m ∈+∞（2）真假：与或取交集得：，p q m>21m £3m ≥3m ≥假真：，p q 21213m m m ≤⎧⇒<≤⎨<<⎩综上：．(1,2][3,)m ∈+∞ 19．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线xOy 2:2(0)C y px p =>F F l C相交于两点，且. ,A B 3OA OB ⋅=-(1)求的值；p (2)若以线段为直径的圆与直线相切，求直线的方程. AB 4x =l 【答案】(1)2(2)或. 22y x =-22y x =-+【分析】（1）设点的坐标分别为，直线的方程为，联立抛物线方程,A B ()()1122,,,x y x y l 2pmy x =-得，已知，利用数量积的坐标运算和韦达定理，即可求出的值； 2220y pmy p --=3OA OB ⋅=-p （2）利用韦达定理求出弦长，已知以线段为直径的圆与直线相切，求出半径列得方AB AB 4x =程求解即可算出参数m 的值，进而得到直线方程. 【详解】（1）设点的坐标分别为， ,A B ()()1122,,,x y x y 由点的坐标为，设直线的方程为，F ,02p ⎛⎫⎪⎝⎭l 2p my x =-联立方程，消去后整理得，222y px p my x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩x 2220y pmy p --=所以，，. 122y y pm +=212y y p =-2221212244y y p x x p ==又由，解得.22212123344p p OA OB x x y y p ⋅=+=-=-=- 2p =所以的值为2.p （2）由， ()21212124,242y y m x x m y y m +=+=++=+可得线段中点的坐标为，AB ()221,2m m +.212244AB x x m =++=+若以线段为直径的圆与直线相切， AB 4x =有，解得.()221442142m m +=+-12m =±所以直线的方程为，即或. l 112y x ±=-22y x =-22y x =-+20．设数列满足. {}n a ()*122222n n a a a n n +++=∈N （1）求数列的通项公式；{}n a （2）求数列的前项和.21n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭n n T 【答案】（1）；（2）. 2n n a =2332n nn T +=-【解析】（1）当时，与已知条件两式相减可得，再令，计2n ≥112211222n n a a a n --+++=- 2n n a =1n =算即可求解；1a （2）由（1）得，所以，再利用乘公比错位相见即可求和.2n n a =22211n n n n a --=【详解】（1）数列满足 {}n a 122222n na a a n +++= 当时， 2n ≥112211222n n a a a n --+++=- 两式作差有，所以 12nn a =2n n a =当时，，上式也成立 1n =12a =所以 2n n a =（2）22211n nn n a --=则，211113(21)222nn T n ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，231111113(21)2222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()2311111111111111131421221221231222222222212nn n n n n T n n n ++-+⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=⨯+++⋯+--⨯=+⨯--=-+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-所以. 2332n nn T +=-【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列的前项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常{}n a n 数，那么求这个数列的前项和即可以用倒序相加法n （2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可以用错位相减法来求；n （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如n 类型，可采用两项合并求解.()()1nn a f n =-21．已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上.2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>20x y +=()1-C (1)求双曲线的标准方程；C (2)过定点的动直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，与其两条渐近线分别交于()0,1P l C ,A B （点在点的左边）两点，证明：线段与线段的长度始终相等.,M N M N AM BN 【答案】(1)2214x y -=(2)证明见解析【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得双曲线的标准方程.,a b C （2）设出直线的方程，并分别与双曲线的渐近线方程、双曲线方程联立，利用中点坐标公式判断l出线段和共中点，从而证得线段与线段的长度始终相等. AB MN AM BN 【详解】（1）由双曲线可得渐近线方程为，2222:1x y C a b-=b y x a =-由渐近线方程的斜率为，有，可得.20x y +=12-12b a -=-2a b =将点代入双曲线的方程，有. ()1-C 22811a b -=联立方程，解得，222811a ba b =⎧⎪⎨-=⎪⎩21a b =⎧⎨=⎩故双曲线的标准方程为.C 2214x y -=（2）设点的坐标分别为， ,,,A B M N ()()()()11223344,,,,,,,x y x y x y x y 线段的中点的坐标为，线段的中点的坐标为. AB D ()55,x y MN E ()66,x y 依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，， l l 1y kx =+12k ≠±联立方程，得；联立方程，得. 112y kx y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩3221x k =-+112y kx y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩4221x k =--所以可得. 6212242212141kx k k k ⎛⎫=--=- ⎪+--⎝⎭联立方程，消去后整理得， 22114y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩y ()2241880kx kx -++=由解得， ()22264324132640k k k ∆=--=->k -<<12k ≠±由于直线与双曲线左右两支分别相交，所以.l 1122k -<<所以，可得，所以， 122841kx x k +=--52441k x k =--56x x =所以线段和共中点，故有.AB MN AM BN =【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为；()()1122,,,x y x y （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； x y ∆（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； 12x x +12x x 12y y +12y y （5）代入韦达定理求解.22．如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：，椭圆：，点P 为xOy 1M 2213y x +=2M 22193x y +=椭圆的上顶点，点A ，C 为椭圆上关于原点对称的两个动点.斜率为的直线PA 与椭圆1M 1M 1k 2M 交于另一点B ，斜率为的直线PC 与椭圆交于另一点D2k 2M(1)求的值；12k k (2)求的值.PA PC PBPD+【答案】(1)-3 (2) 109【分析】(1)设点的坐标为，则点的坐标为，且，A (),m n C (),m n --2213n m +=根据两点斜率公式求，由此可得的值；(2)分别联立直线与椭圆方程，求点12k k ，12k k AP 1M 2M A的横坐标和点的横坐标，由此可求，同理可求，再求的值.B PA PB PCPD PA PC PB PD +【详解】（1）设点的坐标为，可得点的坐标为，A (),m n C (),m n --由点在椭圆上有，可得，A 1M 2213n m +=2233n m -=点的坐标为，由 P (1k =2k ==有， 221222333nm k k m m--====-故的值为-3；12k k（2）直线的方程为AP 1y k x =联立方程消去可得，解得或A 的横坐{y =k 1x +3,x 2+y 23=1,y ()221130k x x ++=0x =x =标为.A x =联立方程消去可得，解得或，点的横坐1221,93y k x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩y ()2211310k x x ++=0x =x =B 标为 B x =； ()21213133k k ++同理， ()()()22221211222221113313127273333993333PC k k k k PD k k k k ⎛⎫⨯-+ ⎪+++⎝⎭====⎡⎤+++⎛⎫⎢⎥-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦可得， ()()()()()()()()22222211111122222111119327103312710301093393939393k k k PAPCk k k PB PD k k k k k ++++++++=+====+++++故的值为.PA PC PB PD+109。