高三数学集合的概念1

集合的概念

教学目标：使学生掌握集合的有关概念，并能解决一些问题

①定义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，每个对象叫做集合的元素。

②表示

列举法：将集合中的元素一一列举出来，用大括号括起来，如{a,b,c}

描述法：将集合中的元素的共同属性表示出来，形式为：P={x I P(x)}.

女口：{xy = *^},{y y ={(x, y) y = fR}

又如:{x | x > 1}与{y I y=x2-2x+2}

图示法：用文氏图表示题中不同的集合。

③分类：有限集、无限集、空集。

④性质确定性：a A或a ' A必居其一，

互异性：不写{1，1，2，3}而是{1，2, 3}，集合中元素互不相同，

无序性：{1，2, 3}={3，2，1}

2?常用数集

复数集C 实数集R 整数集Z自然数集N 正整数集N”(或N +) 有理数集Q 3.元素与集合的关系：a s A或a，A

4?集合与集合的关系：

①子集：若对任意x A都有x B ［或对任意x B都有x- A］则A是B的子集。

记作：A』B或B二A A』B,B』C= A』C

②真子集：若A B，且存在X。? B,但X。A,则A是B的真子集。

记作：A=B［或“ A -B且A = B ” ］A=B，B=C — A=C

③ A - B 且B - A A = B

④空集：不含任何元素的集合，用??表示

对任何集合A有J A，若A「则?? _A

注：a ={a} ={C} ={ }

5.子集的个数

若A二{印~2,…a.}，则A的子集个数、真子集的个数、非空真子集的个数分别为2n个，2n -1个和2n -2个。

满足牡彳 A 1,2,3，…，n1的集合A的个数为2心

二.应用举例

例1.在集合A -1,a2-a -1,a2-2a 2 ［中，a的值可以是(

A . 0

B . 1 C. 2 D . 1 或2

例2 .已知P={0，1}，M={x I x P}，贝U P与M的关系为(

(A) P M (B) P ' M (C) P M

解：??? P={0，1} ??? M={x I x P}={ ，

{0}，{1}，{0，1}}

A )

)

(D) P 二M ［P8变式］

??? P€ M 应选A

应选B 例4.( 04湖北)设集合P =| -1 ：：： m 空0 f, Q = 'm ? R | mx 2 ? 4mx - 4 ： 0对任意实数x 恒成立'，例3. (2002年全国高考题)设集合 (A) M =N (B)M ±N k 1 分析:M ={xx = —+ — ,k E Z} ={xx 2 4 k 1 _ |、 M ={xx = — + —，k E Z}, N={xx = ^ 2 4 “ (C)M=N 2k 1 k 1 Z}，则() ' 4 2 (D) M 「N 二 ［P8 变式］

k 1 ,k^Z}, N ={xx = _+_,k^Z} ={xx = 4 2

则下列关系中成立的是( C )

A . P ^Q

B . Q ±P

C . P = Q

D . P Q 二 Q

例5?已知非空集合 M {1,2,3,4,5},且若a € M,则6-a € M ，求集合M 的个数[P8变式] 解：??? M {1,2,3,4,5}，且若 a € M,则 6-a € M

???若 1 € M ，贝U 5€ M ，反之亦然，二 1 € M 且 5€ M , 或 V M 且 5 , M 同理：2€ M 且 4€ M ，或 2「M 且 4「M 3€ M 且 6-3 € M ， 又??? M 是非空集合，? M 个数为23-仁7

例6 ?已知A ={xx 1 2 — 2x + a 乞C}，B ={xx 2 — 3x + 2兰0}，且A±B ，求实数a 的取值范围。 解：可得B ={x1兰x^21

对于A : . <0即a>1时,A= ,A 』B

二=0 即 a=1 时,A={1},A =B

也>0即a<1时，A={x1 —(匸亍兰xW1 + J 订5} ,A=B 不成立，

综上所述：所求a 的范围是[1，]

例7. (04上海)记函数 仙=」2一工^的定义域为A ，g(x) =lg[(x-a-1)(2a-x)](a<1)的 V x +1 定义域为B 。(1)求A ; (2)若B A ，求实数a 的取值范围。

【解】(1)2— > 0,得 2 > 0, xv — 1 或 x > 1 即 A=( —%，- 1)U [1,+ %) x+1 x+1

(2)由(x — a — 1)(2a — x)>0,得(x — a — 1)(x — 2a)<0.

■/ a<1, ? a+1>2a, ? B=(2a,a+1).

1

-B ■- A, — 2 a 》1 或 a +1 w — 1,即 a 》一或 a w — 2,而 a <1, 2 1 1 ? - w a <1或a w — 2,故当B A 时，实数a 的取值范围是(一％, — 2)U [ —,1] 2 2

1 集合中元素的性质（互异性） 1?元素与集合之间的关系，如例

2 集合与集合之间的关系，如例 3?子集个数问题，如例 5;

4.含参问题常用转化思想或数形结合求解，如例

4、6、7 如例1 2； 3,不要忘记“ '”的考虑, 如例6;

小结