2018-2019学年山东省日照市莒县、岚山高一下学期期中数学试题及答案

2018-2019学年山东省日照市莒县、岚山高一下学期期中

数学试题及答案

一、单选题

1．时间经过四小时，时针转过的弧度数为（ ）

A ．23

π B ．3

π-

C ．23

π-

D ．3

π

【答案】C

【解析】时间顺时针转动,形成的角是负角,每小时转-30,计算即可求得四小时转过的弧度数. 【详解】

时间经过四小时,时针转了360

2-4=-120=-12

3π??? ?

?

?

.

故选:.C 【点睛】

本题考查角的概念推广，角度制与弧度制的互化，难度容易.

2．已知α是第三象限角，则点(sin ,tan )P αα在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】B 【解析】由α

为第三象限角，知sin 0

tan 0αα?

由此能判断出点

(sin ,tan )P αα在第几象限．

【详解】

已知α是第三象限角,sin 0

tan 0αα?

,所以(sin ,tan )P αα在第二象

限.

故选:.B 【点睛】

本题考查三角函数值的符号,难度容易.

3．已知向量,a b 满足||2,1a a b =?=，则(23)a a b ?-=（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6

【答案】C

【解析】根据向量的数量积公式计算即可. 【详解】

2

2(23)2-3=2-3=24-3=5a a b a a b a a b ?-=????.

故选:.C 【点睛】

本题考查向量数量积运算公式,难度容易. 4．若3

cos 5

α=-，且α是第二象限角，则tan α的值是（ ）

A ．43

±

B ．3

4

± C ．3

4

D ．43

-

【答案】D

【解析】由已知求得sin α,再由商的关系求解. 【详解】

由3

cos 5α=-,且α是第二象限角, 得24

sin 1cos 5

α

α

sin 4

cos 3

tan ααα∴=

=-. 故选:D ．

【点睛】

本题考查同角三角函数间的基本关系,难度容易. 5．如图，在

ABC 中，3,4,,AB AC D E ==分别为边BC 和AC 上

的点且2,BD DC AE EC ==，则AD BE ?的值为（ ）

A ．4-

B ．11

6-

C ．103

- D ．6

【答案】C

【解析】分别用AB ,AC 表示,AD BE ,然后结合向量数量积的定义即可求解. 【详解】

1132AD BE AB BC AC AB ????

?=+?- ? ?????

111332AB AC AB AC AB ????

=+-?- ? ?????

211322AB AC AC AB ????=

+?- ? ?????

2221|||34AB AC ??=-- ???

2(94)3

=-?-103=-

故选:.C 【点睛】

平面向量数量积的性质及其运算，难度较易. 6221sin 4

1cos 3-+-的结果为（ ）

A ．3-

B ．1-

C ．1

D ．3

【答案】C

【解析】因为3弧度的角在第二象限,4弧度的角在第三象限,利用同角三角函数的关系及三角函数值在各象限的符号即可求得. 【详解】

cos 42sin 3=sin 3cos 42sin 3cos 4

sin 3cos 4211+

-=

+=-=

故选:.C 【点睛】

本题考查同角三角函数的关系及三角函数值在各象限的符号,难度较易. 7．已知曲线

C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π

3)，则下面结

论正确的是( )

A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，

再把得到的曲线向右平移π

6个单位长度，得到曲线

C 2

B ．把

C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π

12个单位长度，得到曲线C 2

C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，

再把得到的曲线向右平移π

6个单位长度，得到曲线C 2

D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的1

2倍，纵坐标不变，

再把得到的曲线向左平移π

12个单位长度，得到曲线C 2 【答案】D 【解析】把

C 1上各点的横坐标缩短到原来的1

2倍，纵坐标

不变，得到函数y=cos2x 图象，再把得到的曲线向左平移

π12个单位长度，得到函数y=cos2（x+π12）=cos （2x+π

6

）=sin （2x+2π

3）的图象，即曲线C 2，

故选D ．

点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数sin()()y A x x R ω?=+∈是奇函数π()k k Z ??=∈；函数

sin()()y A x x R ω?=+∈是偶函数π

π+()2k k Z ??=∈；函数

cos()()y A x x R ω?=+∈是奇函数π

π+()2k k Z ??=∈；函数

cos()()y A x x R ω?=+∈是偶函数π()k k Z ??=∈.

8．函数()3sin 3cos (0)f x x x ωωω=

+>在一个周期内的图象如图

所示，A 为图象的最高点，,B C 为图象与x 轴的交点，且ABC

?为正三角形，则下列结论中错误．．

的是（）

A ．()f x 的最小正周期为8

B ．()f x 在(3,4)上单调递减

C ．()f x 的值域为[3,3]-

D ．()f x 的图象上所有的点向右平移4

3个单位长度后，图象关于y 轴对称 【答案】D

【解析】结合三角函数的平移性质，得到平移后的三角函数的解析式，结合正弦型三角函数的性质，判定周期，单调区间，值域，即可． 【详解】

()

3f x wx π?

?=+ ??

?，故A 点纵坐标为结合三角形ABC 为等边三角形，可知4BC =，所以周期28T w

π

==，解得4w π=，

故()4

3f x x π

π??=+ ???，A

选项正确；值域为?-?，故

C 选项正确；结合题意可知

()f x 在814,33??

????

单调递减，则()

3,4

在该区间内，故正确；新函数()4

g x x π

=，结合奇偶函

数的判定可知

()()g x g x -=-，故关于原点对称，故错误，故选

D ．

【点睛】

考查了三角函数平移后解析式的计算方法，考查了正弦型三角函数的性质，难度中等．

9．已知向量,a b 满足||2,||1a b ==，且()b a b ⊥+，则向量2a b +在向量b 方向上的射影的数量为（ ） A ．1 B ．1

2

C ．1

2-

D ．1-

【答案】A

【解析】由向量的垂直求出1a b ?=-,由向量的模及夹角的公

式求出|2|=2a b +,1

cos ,2=2a a b <+>,借助向量投影的概念即可求出所得. 【详解】

(),

()110.1.

b a b b a b b a b b a b a b ⊥+∴?+=?+?=?+?=∴?=-

2222|2|(2)4424(2,a b a b a a b b +=+=+?+=+?=

2(2)22(1)1

cos ,2.222|||2|

a a

b a a b a a b ?++?-∴<+>===?+

向量2a b +在向量b 方向上的射影

为:1

|2|cos ,2=2=12

a b a a b +<+>?. 故选:A . 【点睛】

本题考查了向量的数量积的运算,以及向量投影的计算,对向量投影的概念一定要熟记,应用公式准确计算是解答的关键,难度较易. 10．已知函数()sin()0,||,28f x x x ππω?ω??

?=+>≤=-

??

?为()f x 的零

点，8x π

=

为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在5,824ππ?? ???

单调，则ω的最大值为（ ）

A ．6

B ．9

C ．10

D ．12

【答案】C

【解析】根据()y f x =在5,824ππ??

???

上的单调性，结合函数的周期,求得ω的取值范围,结合8

x π

=-为的零点,8

x π=

为图象的

对称轴,求得ω的最大值.

【详解】 因为8

x π

=-

为()f x 的零点,8x π

=为图象()y f x =的对称轴,所以

,8842T kT

π

π??--=+ ???即21212,444k k T ππω

++==?所以42()k k N ω=+∈,又因为

()f x 在5,824ππ??

???

单调,所以522481222T ππππω-=≤=,即12,ω≤又42()k k N ω=+∈,ω的可能取值为2,6,10,由检验知10ω=符合题

意. 故选:.C 【点睛】

本题考查三角函数的单调性、周期性、零点和对称轴等知识,难度一般.

二、多选题

11．已知12,e e 是平面向量的一组基底，则下列四组向量中，可以作为一组基底的是（ ） A ．1e 和12e e + B ．122e e -和212e e - C ．12e e +和12e e - D ．122e e -和2142e e -

【答案】ABC

【解析】可以作为一组基底的条件为两个向量不共线,分别判断选项中的向量是否共线即可. 【详解】

因为1e 和2e 是平面向量的一组基底,故1e 和2e 不共线,所以1e 和12e e +不共线,

122e e -和212e e -不共线,12e e +和12e e -不共线,

因为()1221=-4222e e e e --,所以122e e -和2142e e -共线

故选:ABC . 【点睛】

本题考查平面向量的基本定理,难度较易.

12．已知角,,A B C 是锐角三角形ABC 的三个内角，下列结论一定成立的是（ ） A ．sin()sin B C A += B ．sin cos 22A B C +??

= ?

??

C ．sin cos B A <

D ．cos()cos A B C +<

【答案】ABD

【解析】利用三角形内角和定理，诱导公式即可证明,A B 正

确；对于C ，若60A =?，

45B =?，75C =°,显然sin cos B A >,可得错误；对于D ,利用诱导公式,三角形内角和定理可得正确． 【详解】

对于,sin()sin()sin ,A B C A A π+=-=正确;

对于,sin sin cos 222A B C C B π+-????

== ? ?

????

,正确;

对于,60,45,75,C A B C ???===显然1

sin cos 22

B A =

>=,故错误; 对于,cos()cos()cos D A B C C π+=-=-,由C 为锐角,可得:cos 0C >,可得:

cos()cos cos A B C C +=-<,正确.

故选:ABD . 【点睛】

本题考查诱导公式在解三角形中的应用,难度较易. 13．已知函数

()sin f x x x =，则下列结论正确的是

（ ）

A ．函数()f x 的最小正周期为2π

B ．函数()f x 的图象关于点,06π??

-

???

对称 C ．函数

()f x 的图象关于直线6

5x π

=-

对称

D ．若实数m 使得方程()f x m =在[0,2]π上恰好有三个实数解

123,,x x x ，则一定有12373

x x x π++=

【答案】ACD

【解析】首先利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果． 【详解】

()sin 32sin 3f x x x x π?

?==+ ??

?,故函数()f x 的最小正周期为2π

,

故A 正确; 当6

x π

=-时, 06f π??

-≠ ???故B 错误; 当6

5x π

=-

时,

526

f π??

-=- ???

故C 正确; 当实数3m =时,使得方程

()f x m =在[0,2]π上恰好有三个实

数解123,,x x x ， 则一定有12373

x x x π

++=

,故D 正确.

故选:ACD . 【点睛】

本题考查正弦型函数的周期性、奇偶性和对称性，难度一般.

三、填空题

14．已知扇形的半径长为2，面积为2，则该扇形圆心角所对的弧长为___________. 【答案】2

【解析】根据扇形的弧长和面积公式即可得解. 【详解】

设扇形弧长为l ,面积为S ,半径为r ，

11

2222

S lr l ==??=, 2l ∴=

故答案为:2. 【点睛】

本题考查扇形的弧长和面积公式,难度容易.

15．已知1

cos 35πα??+= ?

??

，则sin 6πα??-= ???_______. 【答案】1

5

【解析】由=6+32πππαα??-?? ???+ ???,则知sin 6cos 3παπα??-=??+ ??????

即可求得. 【详解】

+2

3=6ππαπα??- ??+ ??????,

1cos sin 365

παπα??+= ?????∴-= ???.

故答案为:1

5. 【点睛】

本题考查互余两角的诱导公式的运用,难度容易. 16．已知向量(1,3),(3,1)AB BC ==，则ABC ∠=______.

【答案】

56

π

【解析】向量,AB BC 的夹角为-B π,利用向量的数量积公式即可求得.ABC ∠ 【详解】

131AB BC ?=?+=

()()

cos -22cos AB BC AB BC B B π∴?=?=??-=

cos B ∴=则56ABC π∠=

.

故答案为:56

π

.

【点睛】

本题考查向量的数量积公式的运用,特别要熟记向量的夹角定义,以免出错,难度较易.

17．当0x π≤≤时，函数2()cos sin f x x x =-的最小值为_________，此时x =______. 【答案】5

-4

23

π

【解析】通过同角三角函数的基本关系将()f x 化简为

2()cos cos 1f x x x =+-,利用二次函数的性质即可求出最值.

【详解】

22sin +cos =1x x ，

(

)

2

2

2

2

15()cos sin =cos 1-cos cos cos 1=cos +-,24f x x x x x x x x ?

?∴=--=+- ??

?

∴当1

cos =-

2

x 时, 函数()f x 的最小值为5

-4,由0x π≤≤可知,23

x π=

.

故答案为: 5-;423

π.

【点睛】

本题将三角函数的最值问题转化为二次函数的最值问题,借助二次函数性质解决三角函数最值,难度一般.

四、解答题

18．已知角α

的终边经过点(P m

，sin 3

α=

且α为第一

象限角.

（1）求m 的值；

（2

）若tan β=sin cos 3sin sin 23cos()cos()3sin cos 2παβαβ

ππαβαβ??

++ ???

??

+--+ ?

??

的值. 【答案】(1)1m =

;(2)-

13

.

【解析】(1)利用任意角的三角函数的定义,求解即可.(2)由(1)可求出tan α,利用三角函数诱导公式化简即可求得. 【详解】

（1

）由三角函数的定义可知sin 3α=

,解得1m =±，

因为α为第一象限角，则 1.m = （2）由（1

）可知tan α=

tan β=(

)sin cos 3sin sin 23cos()cos()3sin cos 2sin cos 3cos sin =

cos cos 3sin sin sin cos 3cos sin =-cos cos 3sin sin tan 3tan =-13tan tan =-13

παβαβ

ππαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ??

++ ???∴

??

+--+ ?

??

+--++++

【点睛】

本题考查三角函数定义,利用诱导公式化简求三角函数值问题,难度较易.

19．已知四点(2,3),(3,2),(5,1),(6,)A B C D y --. （1）若向量AB 与CD 共线，求y 的值；

（2）设向量,a AB b BC ==，若a kb +与a b -垂直，求实数k 的值.

【答案】(1)-6;(2)

298

. 【解析】(1)由向量平行的坐标公式即可求y 的值;(2)由向量的垂直的坐标公式及数量积公式即可求出所得. 【详解】 (1)

()=1,5AB -,()=1,1CD y +,且//AB CD ,

()()11510y ∴?+--?=,-6.y ∴=

(2)向量,a AB b BC ==,

()()=1,5,2,1a b ∴-=,()=21,5a kb k k ∴++-,()=16a b ---，

, 当a kb +与a b -垂直时,()()=0a k b b a ∴+?-, 即()()21650k k -+--=,则8+290k -=,298

k ∴=. 【点睛】

本题考查向量的坐标公式在平行垂直中的运用,难度较易. 20．已知向量(cos ,sin ),(1,3),[0,]a x x b x π==-∈.

（1）若//a b ，求x 的值；

（2）记()f x a b =?，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值. 【答案】(1)

23

π

;(2)0x =时,()f x 的最大值为1;当23

x π

=

时,

()f x 的最小值为-2.

【解析】

(1)根据向量平行的坐标表示求出tan x 的值,根据角的范围求出x 的值;

(2)根据向量的数量积公式将三角函数化简为余弦型函数借助余弦函数的图象性质即可求出所得. 【详解】 (1)

//,(cos ,sin ),(1,3)a b a x x b ==-,

(

cos -sin =0x x ∴,即

tan x =2(0,],3

x x π

π∈∴=

.

(2)

()=cos cos 23f x x x x a b π-=+?

?=? ??

?

4[0,],[,]333

x x π

ππ

π∈∴+

∈, ∴当,3

3

x π

π

+

=

即0x =时, ()f x 的最大值为1;当,3x π

π+

=即

23

x π=

时, ()f x 的最小值为-2.

【点睛】

本题综合考查了向量的数量积运算,三角函数的性质中的最值,难度较易.

21．已知函数2()sin cos ()f x x x x x R =-

∈.

（1）求()f x 的单调递减区间；

（2）若()f x 在区间,3m π

??-????

上的最小值为1

2-，求m 的最小值. 【答案】(1)

-+k ,+k ,;36k Z ππππ??∈????

(2) 6π

【解析】（1）运用二倍角公式的降幂公式,两角和的正弦公式将函数化简为正弦型函数，借助正弦函数的单调区间,即可得到所求; （2）求得26

x π

+

的范围,结合正弦函数的图象可得26

2

m π

π

+

≥

,

即可得出所求最小值.

，即可得到所求最小值． 【详解】

(1)

21-cos 21()sin cos =2sin 2226x f x x x x x x π?

?==-+ ??

?, 由-+2k 2+2k ,,2

6

2

x k Z π

π

π

ππ≤+

≤

∈

即-+k +k ,,3

6

x k Z π

π

ππ≤≤

∈

得()f x 的单调递减区间:-+k ,+k ,;36k Z π

π

ππ??

∈?

???

(2) 若

()f x 在区间,3m π??

-

????

上的最小值为12-,因为

2-,2626x m π

π

π??+

∈+????，所以262

m ππ+≥，解得6m π≥,则m 的最小值

为6π

. 【点睛】

本题考查正弦型函数的的单调区间,借助正弦函数图象求参数最值问题,体现了数形结合的解题思想,难度一般. 22．如图，已知函数()sin()(0,0)f x x ω?ω?π=+><<，点,A B 分别是()f x 的图象与y 轴、x 轴的交点，,C D 分别是()f x 的图

象上横坐标为3

π

、2π

的两点，//CD x 轴，,,A B D 三点共线.

（1）求,ω?的值；

（2）若关于x 的方程()23f x k x =+在区间,123ππ??

?

???

上恰有两个实根，求实数k 的取值范围. 【答案】(1)

3ω=,=

4π?;(2)2

12

k -<≤-

【解析】(1)结合AB BD =及中点坐标可求B ，根据点C 与点D 对称性求出对称轴512

x π=

，然后可求()f x 的最小正周期T ，

进而可求ω，再由点B 代入解析式求出?； (2)由(1)可知,()23f x k x =+

,可求得

sin 323cos 344k x x x ππ???

?=+=+ ? ????

?，设

()cos 3,,4123g x x x πππ????

=+∈ ???????

,结合y k =与()g x 的图象即可求出k

的取值范围. 【详解】

根据题意,点A 与点D 关于点B 对称,则点B 的横坐标为

0+2=24

π

π, 又点C 与点D 关于直线53

2212

x π

π

π+

=

=对称,

f x 的最小正周期T 满足541246

T πππ

=-=，

解得23

T π=

，即3ω=,

由五点法做图可知,3+=4π

?π

?

,且0?π<<, =

4

π

?∴;

由(1)知，函数()sin 34f x x π?

?=+ ??

?,

由

()23f x k x =+得sin 3234x k x π?

?+=+ ??

?, sin 323cos 344k x x x ππ???

?∴=+=+ ? ?????

设()cos 3,,4123g x x x πππ????

=+∈ ??????

?， 画出()g x 在,123x ππ??

∈?

???

上的函数图象,如图所示; 根据题意, y k =与()g x 恰有两个交点，

实数k 应满足212

k -<≤-.

【点睛】

本题考查三角函数的图象性质及其应用,同时考查了数形结合的思想和计算求解的能力,难度较难.

23．某工厂有甲、乙两生产车间，其污水瞬时排放量y （单位：3/m h ）关于时间t （单位：h ）的关系均近似地满足函数sin()(0,0,0)y A t b A ω?ω?π=++>><<，其图象如图所示：

（1）根据图象求函数解析式；

（2）若甲车间先投产，1小时后乙车间再投产，求该厂两车间都投产(0)t t >时刻的污水排放量；

（3）由于受工厂污水处理能力的影响，环保部门要求该厂两车间任意时刻的污水排放量之和不超过310/m h ，若甲车间先投产，为满足环保要求，乙车间比甲车间至少需推迟多少小时投产？ 【答案】(1)

2cos 4(0)3y t t π??

=+≥ ???

;(2)

238,(0)3

6W t t π

π??=++≥ ???;(3)

至少需推迟2小时投产.

【解析】(1)由图可得:,A b ,利用周期公式可求出ω,(3,2)代入求出?,即可得函数解析式;

(2) 该厂t 时刻的排污量为甲乙两车间排污量之和，可得t

时刻的排污量:2cos (1)2cos 833W t t ππ????

=+++ ? ?????

，化简即可得出8,(0)3

6W t t π

π??=++≥ ???;

(3) 设乙车间至少比甲车间推迟m 小时投产,

据题意得，2cos ()42cos 41033t m t ππ????++++≤ ? ?????

, 化简可得1cos cos sin sin 13333m t t m ππππ??+-≤ ?

??

,

借助辅助角可知1≤化简即可得出,1cos 32m π≤-,借助图象性质即可得解． 【详解】 由图可得:2,

4A b ==

263

2sin 4

3y t π

π

ωω

π?=∴=

??

∴=++ ???

由过点(3,2)可得: sin 1?=

所求函数的解析式为2cos 4(0)3y t t π??

=+≥ ???

. (2)该厂t 时刻的排污量为甲乙两车间排污量之和，此时甲

车间排污量为2cos (1)4,3t π??++ ???乙车间为2cos 43t π??

+ ???

,根据题意可得t 时刻的排污量: