二项式定理导学案2
选修2-3二项式定理学案
选修2-3二项式定理学案二项式定理导学案（两课时）一、你知道本节课你要达到的要求吗？请看学习目标：掌握二项式定理有其推导方法以及二项展开式的有关特征，并能用它们计算和论证一些简单问题.二、温故而知1、()()()112233a b a b a b +++新展开式中一共多少项？2、写出()3a b +的展开式：（什么是展开式：先整式的乘法运算,再合并同类项,再按某个字母的降幂或升幂排列）(a+b)3=________________________这种只有两个元素的展开叫做二项展开式。
三、自学能力培养从这里开始，反复阅读课本完成下列问题问题:4()a b +的二项展开式是什么？研究：()()()()a b a b a b a b ++++展开式中：（1）全展开（每一项系数为1）共几项？（2）展开式中会出现哪些项？（展开式中每一项的系数都等于二项式的系数）则： 4432234)(a b a a b a b ab b +=++++问题：每一项前面的系数各是什么？类比：(a+b)3=322333a a b ab b +++计算：2a b 在3()a b +的展开式中出现了几次？以b 来计算，2a b 中只有一个b 则出现的次数是13C 。
则40413222334444444()a b C a C a b C a b C ab C b +=++++=_______________________________一般的，对于任意正整数*()n n N ∈，这个式子展开称为二项式展开，此公式所表示的定理称为二项式定理，右边展开后的式子称为是二项展开式。
其中各项的系数,(0,1,2)r n C r n =称为是此项的二项式系数。
式子中r n r r n C a b -成为是二项展开式的通项，用1r T +表示，即1r n rr r n T C a b -+=。
在二项式定理中，令a=1,b=x 则(a+b)n =________________________令a=1,b=-x 则(a+b)n =______________________注：1、二项式展开后共有1n +项2、二项式展开后通常是以前面一个元素的降幂排列3、注意通项中第1r +项和指数r 的关系（如：777871n n T T C a b -+==）四、学习研究本节例题,尝试探究下列例题的解法例1、（利用二项式定理展开）（1）展开32x ?（详细写过程）（2）展开(51例2、（求展开式中的某一项）（1）求()421x -展开式中的第3项（2）若2nx展开式中的第5项是常数项，求n 并写出这个常数项例3、（求某项的二项式系数与项的系数）（1）求723x ?? ???展开式中第5项的二项式系数，第4项的系数，5 x 前的系数。
高中数学《二项式定理》导学案
第一章计数原理第三节二项式定理（第1课时）一、学习目标1.理解并掌握二项式定理,能利用计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.3.培养学生的自主探究意识,合作精神,体验二项式定理的发现和创造历程,体会数学语言的简洁和严谨.【重点、难点】二项式定理；二项式定理的性质.二、学习过程【情景创设】二项式定理研究的是(a+b)n的展开式,如:(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)3=?,(a+b)4=?,(a+b)100=?,那么(a+b)n的展开式是什么?这就是本节课我们将要学习的内容.【导入新课】问题1:(1)二项式定理:(a+b)n= (n∈N+).(2)错误!未找到引用源。
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= (n∈N+).问题2:二项展开式的通项和二项式系数在二项式定理中,右边的多项式叫作(a+b)n的二项展开式,展开式的第r+1项为(r=0,1,2…n),其中的系数错误!未找到引用源。
(r=0,1,2…n)叫作.问题3:使用二项展开式的通项要注意的问题①通项T r+1是第项,不是第r项;②通项T r+1的作用:处理与、、、等有关的问题.③二项展开式中二项式系数与展开项的系数是不同的概念.如:(a+2b)3=错误!未找到引用源。
a3+错误!未找到引用源。
a2·(2b)+错误!未找到引用源。
a·(2b)2+错误!未找到引用源。
(2b)3=a3+6a2b+12ab2+8b3,第三项的二项式系数为,第三项的系数为.问题4:使用二项式定理需要注意的问题二项式定理展开式中的a和b的位置不能颠倒,且包括a,b前面的,而且a的次数逐渐,b的次数逐渐,每一项的次数都为.答案：问题1:(1)错误!未找到引用源。
a n+错误!未找到引用源。
a n-1b+错误!未找到引用源。
a n-2b2+…+错误!未找到引用源。
1.3二项式定理导学案
选修 2-31.3 二项式定理导学案编写人：谢明明审核人：李华中班级：小组：姓名：【学习目标】1.了解二项式定理的推导，体会“从特殊到一般”的研究方法；记住二项式定理及通项公式；2. 自主学习、合作交流，探究求二项式展开式及展开式中的某一项；与求展开式中某一项的二项式系数及系数的方法．3、激情投入、高效学习，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨，感受中国辉煌的数学史.【学习重点】掌握二项式定理、二项式展开式的通项公式，并能用它们解决简单的问题【学习难点】用计数原理证明二项式定理【使用说明】 1.课前完成预习学案，牢记基础知识，掌握基本题型，时间不超过20 分钟；AA完成所有题目， BB 完成除（ ** ）外所有题目， CC完成不带（ * ）题目 2.认真限时完成，书写规范； 3.小组长在课上讨论环节要在组内起引领作用，控制讨论节奏. 4.必须记忆的内容：二项式定理及通项公式；【学习过程】一、自主学习知识学习导读二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础。
其主要内容包括：定理本身、通项公式、杨辉三角、二项式系数的性质等。
阅读课本第 29~31 页有关内容，探究下列问题：问题 1: (a1b1 )( a2b2 )的展开式是什么？展开式有几项？每一项是怎样构成的？问题 2 :（a1+ b1）(a2+b2) (a3+ b3)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？探究1 推导(a b) 3的展开式如果计算 (a b)( a b)(a b) ，即(a b)3，自然的项数仍然是8 个，但经过同类项合并以后，共有以下 4 个不同的项：、、、，这些项的来源如下：a3：这样的自然项只有1个，由每个因式中的 a 相乘得到；a 2b ：这样的自然项有个，由得到；ab 2：这样的自然项有个，由得到；b3：这样的自然项有个，由得到。
∴ (a b) 3＝ C30 a3.探究 2仿照上述过程 ,推导( a b) 4的展开式探究 3：由特殊到一般，请分析(a b)n的展开过程，，得到二项式定理：（a+b）n的展开式又是什么呢？(1)将（ a+b）n展开有多少项？（2）每一项中，字母 a， b 的指数有什么特点？（3）字母“ a”、“ b”指数的含义是什么？是怎么得到的？（4）如何确定“ a”、“ b”的系数？∴ (a b) n C n0 a n┅┅.这个公式就叫做二项式定理，等号边的式子称为(a b)n 的二项展开式，其中每．．．．．项前的组合数称为二项式系数。
二项式定理的应用导学案
二项式定理的应用导学案一、知识背景1.二项式定理二项式定理又叫做牛顿定理，是代数中的一个基本公式。
它描述的是一个二次幂的多项式被展开后各项系数的规律。
当幂为自然数时，用二项式定理展开后可以帮助我们方便地计算出原式的各项系数。
2.二项式定理的公式(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^nC_n^ka^{n-k}b^k其中，C_n^k是组合数，表示从n个不同元素中取k个元素的不同组合数数目。
3.二项式定理的应用二项式定理最常见的应用是展开幂函数。
在实际应用中，展开幂函数可以简化数学计算，简化问题的形式。
同时，二项式定理也是概率与统计学科中重要的基础知识，通过计算组合数的计算，可以推导出诸多与随机现象相关的公式。
二、应用导学1.现实应用\mathcal{Case\ Study}小云生病了，医生建议她吃一种辅助药。
这种辅助药有两种口味，分别是橙子味和柠檬味，分别标志为O和L。
医生建议小云每天至少吃7粒此类药，而且每天要至少吃3粒橙子味药，另外，为了保持口味新鲜，每天两种药至少要吃一种。
问题是：小云要吃完所有这种辅助药，一共要多少种方案呢？\mathcal{Solution}按照题目中要求的计算，首先给出小云每天至少吃7粒药的方案数：(O+L)^7=C_7^0O^7C_7^1O^6L+C_7^1O^6L^1C_7^1O^6L+C_7^2O^ 5L^2+C_7^3O^4L^3+C_7^4O^3L^4+C_7^5O^2L^5+C_7^6O^1L^6+ C_7^7L^7因为每天要至少吃3粒橙子味药，所以从上述式子中减去：“一天不吃橙子味药”和“一天只吃1粒橙子味药”的方案数：(O+L)^7-[\sum\limits_{i=0}^1C_7^iL^{7-i}+(O+L)^6]再从上述式子中减去“每天都只吃柠檬味药”的方案数：(O+L)^7-[\sum\limits_{i=0}^1C_7^iL^{7-i}+(O+L)^6]+1最后，因为每天两种药至少要吃一种，所以要减去“一天只吃柠檬味药”和“一天只吃橙子味药”的方案数：(O+L)^7-[\sum\limits_{i=0}^1C_7^iL^{7-i}+(O+L)^6]+1-\sum\limits_{i= 0}^1C_6^i(O+L)^5将计算结果带入计算器，得到总方案数为14006种。
1.3.1二项式定理(导学案)
百度文库 - 让每个人平等地提升自我！111§1.3.1 二项式定理一、学习目标1.理解二项式定理及推导方法，识记二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用；2.通过对二项式定理内容的研究，体验特殊到一般的发现规律，一般到特殊指导实践的认识事物过程 二、新知探索引入：二项式定理研究的是nb a ）（+的展开式（一）探究3）（b a + 、4）（b a +的展开式 问题1：（a 1+ b 1）(a 2+b 2) (a 3+ b 3)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？ 问题2：将上式中，若令a 1=a 2=a 3=a, b 1=b 2= b 3=b,则展开式又是什么？ 合作探究1：合并同类项后，为什么a 2b 的系数是3？ 问题3：4）（b a +的展开式又是什么呢？ 结论：4）（b a += C 04 a 4+ C 14 a 3b+ C 24 a 2 b 2+ C 34 a b 3+ C 44b 4（二）猜想、证明“二项式定理”问题4：nb a ）（+的展开式又是什么呢？ 合作探究2: (1) 将nb a ）（+展开有多少项？ （2）每一项中，字母a ，b 的指数有什么特点？ （3）字母“a ”、“b ”指数的含义是什么？是怎么得到的？ （4）如何确定“a ”、“b ”的系数？二项式定理：n b a ）（+=_____________________________________________________________(*N n ∈)(三)归纳小结：二项式定理的公式特征 （1）项数：_________项；（2）次数：字母a 按降幂排列，次数由____递减到____；字母b 按升幂排列，次数由___递增到___； （3）二项式系数：下标为___，上标由___递增至___；（4）通项:T k+1= ____________；指的是第k+1项，该项的二项式系数为_______；（5）公式所表示的定理叫___________，右边的多项式叫做nb a ）（+的二项展开式。
【高二】二项式定理导学案
【高二】二项式定理导学案
第11时
1.3.1二项式定理（一）
自学目标
1．用两个计数原理分析的展开式，归纳地得出二项式定理，并能用计数原理证明；
2．掌控二项展开式的通项公式；能够应用领域它化解直观问题.
学习过程
一、幼儿教育准备工作
试试：用多项式乘法法则得到下列式子的展开式，并说出未合并同类项之前的项数与各项的形式.
（1）；（2）；（3）。
二、新导学
◆探究新知（复习教材p29～p31，找到困惑之处）
问题：如何利用两个计数原理得到
的展开式？你能够由此悖论一下
的展开式是什么吗？
◆应用领域示例
例1．求的展开式。
基准2．进行，ZR19第3项二项式系数和第6项系数。
例3．（1）求的展开式的第4项的系数；
（2）谋的展开式中的系数。
◆反馈练习（本p31练1-4）
1.写下的展开式.
2．求的展开式的第3项.
3．写下的展开式的第项.
4．的展开式的第6项的系数是（）
a、b、c、d、
三、当堂检测
1.谋的展开式。
2．求的展开式中的系数。
3．谋二项式的展开式中的常数项。
四、后作业
1．用二项式定理进行：.
3．求下列各式的二项展开式中指定各项的系数：（1）的含的项；
（2）的常数项。
二项式定理复习课导学案)讲课稿
二项式定理复习课导学案)二项式定理复习课导学案备课：谢明明 审核：李华中 日期：2013.10.30班级 - 组别 姓名【学习目标】熟练掌握二项式定理及其通项公式、二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题，培养学生的发散思维能力和逆向思维能力。
【学习重点】二项式定理【学习难点】二项式定理的应用【使用说明】1.课前完成例题探究中的六个例题掌握基本题型，时间不超过30分钟； 2.认真限时完成，书写规范； 3.小组长在课上讨论环节要在组内起引领作用，控制讨论节奏； 4.必须掌握的内容：二项式定理及其通项公式、二项式系数的性质学习过程：例题探究案题型一：二项展开式的应用例1． 求4)13(x x -的展开式；练习1：计算c C C C n n n n n n n 3)1(....27931321-++-+-；题型二：通项公式的应用例2．103)1(x x -展开式中的常数项是练习2：已知9)2(x x a -的展开式中3x 的系数为49，常数a 的值为题型三：求几个二项式的和（积）的展开式中的条件项的系数例3．5432)1()1()1()1()1(-+---+---x x x x x 的展开式中，2x 的系数等于练习3：72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是题型四：利用二项式定理的性质解题例4．在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是练习4： 求84)21(x x +展开式中系数最大的项；题型五：利用“赋值法”求部分项系数，二项式系数和 例5．若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则2312420)()(a a a a a +-++的值为练习5：设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-，则=++++6210...a a a a题型六：利用二项式定理证明整除问题例6：求证：15151-能被7整除。
高中数学 1.3.1二项式定理导学案2(无答案)新人教B版选修2-3
§1.3.1（2）二项式定理学习目标1.熟悉二项式定理的内容；2.灵活应用二项式定理解决相关的问题；学习过程【任务一】基础知识回顾二项式定理得内容=+n b a )(=+1r T【任务二】典型例题分析例1．（1）求7(12)x +的展开式的第4项的系数；（2）求91()x x -的展开式中3x 的系数及二项式系数例2．已知n xx )2(2-的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项例3.证明：n n n n n n C C C C 2210=+++Λ例4．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++L（1）127a a a +++L ； （2）1357a a a a +++； （3）017||||||a a a +++L .【任务二】课后作业 1.6(2)x -的展开式中2x 的系数是（A ）120- （B ）120 （C ）60- （D ）60 2.41()x x -展开式中的常数项是 （A ）6 （B ）4 （C ）-4 （D ）-63.61()x x -的二项展开式中的常数项为 ．（用数字作答） 4.在251()x x-的展开式中，x 的系数为5.已知5(1)ax +的展开式中3x 的系数是10，则实数a 的值是6.61()x x+的二项展开式中，常数项为___ ___．7.5(12)x -的展开式中3x 项的系数为_ __．（用数字表示）8.5(21)x -的展开式中3x 项的系数是______．（用数字作答）9.若21()n x x+展开式中的二项式系数和为64，则n 等于 ，该展开式中的常数项为.10.91⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中含5x 的项的系数为 (用数字作答).。
高中数学 1.3.1《二项式定理》导学案 新人教A版选修2-3
高中数学选修2-3 1.3.1《二项式定理》导学案姓名: 班级: 组别: 组名: 【学习目标】1.能记住二项式定理，并说出二项式定理中的公式特征2.会应用二项式定理解决简单问题【重点难点】重点：二项式定理中的公式特征难点：二项式定理的应用【学法指导】阅读教材、探究规律、分析例题、达标训练【知识链接】1．分类计数原理和分步计数原理2．排列、组合公式【学习过程】阅读教材第29页至第30页例1上面的内容，回答下列问题知识点一：探究（a+b）n的展开式问题1：（a1+ b1）(a2+b2) (a3+ b3)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？问题2：将上式中，若令a1=a2=a3=a, b1=b2= b3=b,则展开式又是什么？问题3：（a+b）4的展开式又是什么呢？（a+b）4=问题4：（a+b）n的展开式又是什么呢？（1）将（a+b）n展开有多少项？（2）每一项中，字母a，b的指数有什么特点？（3）二项式定理：()=+nba________________________________________________________________________阅读教材第30页例1至第31页的内容，回答下列问题知识点二：公式的运用【典例精析】例1.求6)12(x x -的展开式.分析：为了方便，可以先化简后展开.例2.①已知二项式10323⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ，求展开式的第4项的二项式系数及第4项的系数； ②求n x x )2(2-的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10：1 （1）求n 的值； （2）求展开式中含23x 的项.小结：（1）某项的二项式系数及某项的系数的区别（2）求展开式中指定项的方法例3.已知在nx x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-333的展开式中，第6项为常数项, （1）求含2x 的项的系数；（2）求展开式中所有的有理项.小结：求展开式中有理项的方法【基础达标】A1．在()103-x 的展开式中，6x 的系数为 （） A ．610C 27- B ．410C 27 C ．610C 9- D ．410C 9A2．已知（na a )132+的展开式的第三项与第二项的系数的比为11∶2，则n 是 （）A ．10B ．11C ．12D ．13B3．92)21(x x -展开式中9x 的系数是 .B4.1231⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中常数项为 .C5. ()()10311x x +-的展开式中，含5x 项的系数是 .D6. 若()100a x +的展开式中98x 的系数是9900，求实数a 的值.【课堂小结】我收获的知识有：我积累的方法有：【当堂检测】A1.求（2a +3b ）6的展开式的第3项.B2.写出n x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3321的展开式的第r+1项.B3.（x-1）10的展开式的第6项的系数是（ ）.A.610CB.610C - C.510C D.510C - 【学习反思】本节课我最大的收获是 我还存在的疑惑是 我对导学案的建议是。
二项式定理(二)教案
二项式定理(二)教案教案标题：二项式定理(二)教案教学目标：1. 理解二项式定理的概念和公式。
2. 掌握二项式定理的应用方法，包括二项式展开和二项式系数的计算。
3. 培养学生的逻辑思维和数学推理能力。
教学准备：1. 教师准备：教师课件、二项式定理的相关练习题、黑板、粉笔等。
2. 学生准备：学生课本、笔记本、铅笔、橡皮等。
教学过程：Step 1：导入新知1. 教师通过提问和复习，回顾上节课所学的二项式定理的概念和公式。
2. 引导学生回忆二项式定理的应用场景，如多项式的展开和二项式系数的计算。
Step 2：学习新知1. 教师通过示例和解析，详细讲解二项式定理的应用方法。
2. 引导学生理解二项式定理的展开原理，如二项式系数的计算公式。
3. 教师提供多个练习题，让学生进行实际操作和计算，巩固二项式定理的应用技巧。
Step 3：拓展应用1. 教师引导学生思考和讨论，探索二项式定理在实际问题中的应用。
2. 教师提供相关实际问题，让学生运用二项式定理解决问题，并进行讨论和分享。
Step 4：归纳总结1. 教师帮助学生总结和归纳二项式定理的重要概念和应用方法。
2. 教师提供相关练习题，让学生进行自主练习和巩固。
Step 5：作业布置1. 教师布置相关作业，要求学生进行二项式定理的练习和应用题目。
2. 鼓励学生在作业中思考和解决问题，培养学生的独立思考和解决问题的能力。
Step 6：课堂小结1. 教师对本节课的重点内容进行总结和回顾。
2. 引导学生提出问题和疑惑，解答学生的疑问。
教学反思：通过本节课的教学，学生应该能够理解和掌握二项式定理的概念、公式和应用方法。
同时，通过训练和实践，学生的逻辑思维和数学推理能力也得到了培养和提升。
在教学过程中，教师应注重引导学生思考和解决问题的能力，让学生在实际操作中发现问题、解决问题，提高学生的学习主动性和自主学习能力。
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掌握二项式定理、二项习难点】
用计数原理证明二项式定理
【知识链接】
1.两个计数原理：
2.组合数公式：
【学习过程】
一、自主学习
（一）知识梳理
1．二项式定理的推导：
= =
= =
观察 、 的展开式，思考：
①展开式中各种类型的项是如何得到的？
②展开式中各项的系数是如何确定的？
③观察两个展开式你能发现什么规律？
④根据以上规律： 有哪些项，它们的系数是多少？
=将其推广到 可以得到：
=（二项式定理）
特例：
=
2．二项式的通项： 的二项展开式共有项， 是展开式中的第项，用 表示，记作：，其中叫二项式系数．
（注意：二项式系数与项的系数的区别）
（二）自学检测：
1．写出 的展开式．
=
2． 的展开式为，它的第3项是；它的第4项的二项式系数是，系数是．
课题：选修2-3 1.3二项式定理
教学内容
个性笔记
【使用【使用说明】独立完成导学案所设计的问题，并在不会或有疑问的地方用红笔标出，标出，规范书写。课上小组合作探究、并及时用红笔纠错，补充.
【学习目标】
1.了解二项式定理的推导，体会“从特殊到一般”的研究方法；
2.记住二项式定理及通项公式；
3.会求二项式展开式及展开式中的某一项；会求展开式中某一项的二项式系数及系数．
4．化简 ．
5．求 展开式的常数项．
6．已知 的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，求 ．
7．求 展开式中 的系数
3．求 的展开式的第3项．
二、合作探究：
1．写出 的展开式的通项，求展开式中的常数项及展开式中 的系数．
2．化简: ．
3．求(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) (x-5)的展开式中含 项的系数．
三、课堂小结
四、反馈练习
1． 的展开式为．
2． 的展开式中的第5项的二项式系数为，第5项为．
3． 的展开式中， 的系数等于．