高二数学期末试卷(理科)及答案
高二数学理科参考答案 试题
智才艺州攀枝花市创界学校二零二零—二零二壹下学期期末测试高二数学理科答案一．选择题〔每一小题5分〕 题号 1 2 3 4 56 7 89 10 选项CBBAD CABDA二．填空题〔每一小题5分〕 三．11．[2,)-+∞12．3113．3614．ab π15．_②③ 三．解答题(总分值是75分) 16．解：q p ∧⌝与“q?q 为真，p 为假。
......4分故⎩⎨⎧≤-+∈1|5|2x x Z x .....8分解得：2,3-=x ......12分 17.解〔1〕x x x t xt t t x f x22131)22331()(23023--=-+-=)0(>x ......4分)1)(2(2)(2'+-=--=x x x x x f 由0)(>x f 得增区间),2(+∞由0)('<x f 得减区间)2,0(......8分〔2〕0)0(=f ,310)2(-=f ∴[)+∞⋃⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈,0310k ......12分 18．解：〔1〕证明：以A 为原点，,AB AP 所在直线分别为y 轴、z 轴，如图建立空间直角坐标系．不妨设3===BC AB PA ，那么()0,0,0A ，)0,3,0(B ，)0,3,3(C ，)3,0,0(P ，)1,2,0(E .设)0,,3(y D ，那么)0,,3(),3,3,3(y AD CP=--=，CP AD ⊥，∴，解得：3-=y ．2DC AB ∴=．-------------------3分连结BD ，交AC 于点M，那么2DM DCMB AB==. 在BPD ∆中，2PE DMEB MB==， ∴//PD EM ．-----------------5分 又PD ⊄平面EAC ，EM 平面EAC ， ∴PD ∥平面EAC ．--------------------6分 〔2〕设),,(1z y x n =为平面EAC 的一个法向量，那么AE n AC n ⊥⊥11,，∴⎩⎨⎧=+=+02033z y y x 取2=z，可得)2,1,1(1-=n ------8分设),,(2w v u n =为平面EBC 的一个法向量，那么BC n ⊥2，BE n ⊥2又)0,0,3(=BC ，)1,1,0(-=BE ，∴⎩⎨⎧=+-=00w v u ∴可取．)1,1,0(2--=n --------------------10分∴63,cos 212121-=⋅=n n n n n n∴二面角A —CE —B 的余弦值为63-．……12分19．解⑴n n n121 (312112)22-<++++......4分 ⑵①n=2时，23452112<=+......5分②假设n=k(k ≥2)时，猜想成立，即：k k k 121...31211222-<++++......6分那么2222)1(11...31211++++++k k 2)1(112++-=k k k )1(112++-<k k k k 11)1(2112+-+=++=k k k k ......11分即n=k+1时，猜想成立根据①②当n ≥2时，猜想成立......12分(另;112)1(1122++-++-k k k k k 0)1(12<+-=k k ) 20．解：〔1〕椭圆C 的方程为：2214x y +=......5分〔2〕设AS 方程为(2)(0),y k x k =+>解得M 1016(,)33k。
(某某市区中学)高二(上学期)数学(理)期末复习质量监测模拟考试试题卷(附答案解析)
（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）题号一二三四总分得分一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.直线y=kx+b经过第二、三、四象限，则斜率k和在y轴上的截距b满足的条件为（）A. k＞0，b＞0B. k＜0，b＜0C. k＞0，b＜0D. k＜0，b＞02.已知F为双曲线C：的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为（）A. 11B. 22C. 33D. 443.“a=2”是“l1：ax+4y-1=0与l2：x+ay+3=0平行”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知抛物线x2=2py和-y2=1的公切线PQ（P是PQ与抛物线的切点，未必是PQ与双曲线的切点）与抛物线的准线交于Q，F（0，），若|PQ|=|PF|，则抛物线的方程是（）A. x2=4yB. x2=2yC. x2=6yD. x2=2y5.已知m，n是两条不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列说法正确的是（）A. 若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nB. 若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥βC. 若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥βD. 若m⊥α，n⊥α，则m∥n6.直线l：y=x与圆x2+y2-2x-6y=0相交于A，B两点，则|AB|=（）A. 2B. 4C. 4D. 87.椭圆5x2+ky2=5的一个焦点为（0，2），那么k的值为（）A. B. 2 C. D. 18.直线y=-2x-3与曲线的公共点的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.矩形ABCD中，AB=4，BC=3，将△ABD沿BD折起，使A到A′的位置，A′在平面BCD的射影E恰落在CD上，则（）A. 三棱锥A′-BCD的外接球直径为5B. 平面A′BD⊥平面A′BCC. 平面A′BD⊥平面A′CDD. A′D与BC所成角为60°10.设O为坐标原点，F1，F2是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点.在双曲线的右支上存在点P满足∠F1PF2=60°，且线段PF1的中点B在y轴上，则（）A. 双曲线的离心率为B. 双曲线的方程可以是-y2=1C. |OP|=aD. △PF1F2的面积为11.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，∠A1AB=∠A1AD，则有（）A. A1M∥B1QB. AA1⊥PQC. A1M∥面D1PQB1D. PQ⊥面A1ACC112.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于两点P（x1，y1），Q（x2，y2），点P在l上的射影为P1，则（）A. |PQ|的最小值为4B. 已知曲线C上的两点S，T到点F的距离之和为10，则线段ST的中点横坐标是（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）4C. 设M（0，1），则|PM|+|PP1|≥D. 过M（0，1）与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知A（0，1），B（1，0），C（t，0），点D在直线AC上，若|AD|≤|BD|恒成立，则t的取值范围是______．14.直线2x+y-1=0的倾斜角是______．15.湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下一个直径为12cm，深为2cm的空穴，则该球的半径为______ cm，表面积是______ ．16.已知双曲线C：的右焦点为F，O为坐标原点.过F的直线交双曲线右支于A，B两点，连结AO并延长交双曲线C于点P.若|AF|=2|BF|，且∠PFB=60°，则该双曲线的离心率为______ .四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知圆的圆心在直线上，且与轴交于两点,.（I）求圆的方程；（II）过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程．18.已知圆C：（x-1）2+（y-2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）．（1）证明：不论m为何值时，直线l恒过定点；（2）求直线l被圆C截得的弦长最小时的方程．19.如图，为圆的直径，点．在圆上，且，矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且，.（1）设的中点为，求证：平面；（2）求四棱锥的体积．20.在平面直角坐标系中，直线l与抛物线y2=2x相交于A，B两点．求证：“如果直线l过（3，0），那么=3”是真命题．（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）21.如图，四棱锥中，底面是菱形，其对角线的交点为，且．（1）求证：平面；（2）设，，是侧棱上的一点，且∥平面，求三棱锥的体积．22.（本题满分16分）已知椭圆的两焦点分别为 , 是椭圆在第一象限内的一点，并满足，过作倾斜角互补的两条直线分别交椭圆于两点.（1）求点坐标；（2）当直线经过点时，求直线的方程；（3）求证直线的斜率为定值.（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）1.【答案】B【解析】解：要使直线y=kx+b经过第二、三、四象限，则斜率k和在y轴上的截距b 满足的条件，故选：B．由题意利用确定直线的位置的几何要素，得出结论．本题主要考查确定直线的位置的几何要素，属于基础题．2.【答案】D【解析】由双曲线C的方程，知a＝3，b＝4，c＝5，∴点A(5,0)是双曲线C的右焦点，且|PQ|＝|QA|＋|PA|＝4b＝16，由双曲线定义，|PF|－|PA|＝6，|QF|－|QA|＝6.∴|PF|＋|QF|＝12＋|PA|＋|QA|＝28，因此△PQF的周长为|PF|＋|QF|＋|PQ|＝28＋16＝44，选D.3.【答案】A【解析】解：若a=2．则两条直线的方程为2x+4y-1=0与x+2y+3=0满足两直线平行，即充分性成立．当a=0时，两直线等价为4y-1=0与x+3=0不满足两直线平行，故a≠0，若“l1：ax+4y-1=0与l2：x+ay+3=0平行”，则，解得a=2或a=-2，即必要性不成立．故“a=2”是“l1：ax+4y-1=0与l2：x+ay+3=0平行”的充分不必要条件，故选：A（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）根据直线平行的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线平行的等价条件是解决本题的关键．4.【答案】B【解析】解：如图过P作PE⊥抛物线的准线于E，根据抛物线的定义可知，PE=PF∵|PQ|=|PF|，在Rt△PQE中，sin，∴，即直线PQ的斜率为，故设PQ的方程为：y=x+m（m＜0）由消去y得．则△1=8m2-24=0，解得m=-，即PQ：y=由得，△2=8p2-8p=0，得p=．则抛物线的方程是x2=2y．故选：B．如图过P作PE⊥抛物线的准线于E，根据抛物线的定义可知，PE=PF可得直线PQ的斜率为，故设PQ的方程为：y=x+m（m＜0）再依据直线PQ与抛物线、双曲线相切求得p．本题考查了抛物线、双曲线的切线，充分利用圆锥曲线的定义及平面几何的知识是关键，属于中档题．5.【答案】D【解析】解：当m⊥α，n∥β，α⊥β时，直线m与n可能异面不垂直，故选项A错误；当m⊥n，m⊥α，n∥β时，比如n平行于α与β的交线，且满足m⊥n，m⊥α，但α与β可能不垂直，故选项B错误；当m∥n，m∥α，n∥β时，比如m与n都平行于α与β的交线，且满足m∥n，m∥α，但α与β不平行，故选项C错误；垂直于同一个平面的两条直线平行，故选项D正确．故选：D．直接利用空间中线、面之间的关系进行分析判断即可．本题考查了空间中线面位置关系的判断，此类问题一般都是从反例的角度进行考虑，属于基础题．6.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，掌握直线和圆相交的弦长公式是解决本题的关键，属于基础题．根据直线和圆相交的弦长公式进行求解即可．【解答】解：圆的标准方程为（x-1）2+（y-3）2=10，圆心坐标为（1，3），半径R=，则圆心到直线x-y=0的距离d=，则|AB|===4.故选C．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质，是基础题．把椭圆化为标准方程后，找出a与b的值，然后根据a2=b2+c2，表示出c，并根据焦点坐标求出c的值，两者相等即可列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．【解答】解：把椭圆方程化为标准方程得：x2+=1，因为焦点坐标为（0，2），所以长半轴在y轴上，（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）则c==2，解得k=1．故选D．8.【答案】B【解析】解：当x≥0时，曲线的方程为，一条渐近线方程为：y=-x，当x＜0时，曲线的方程为，∴曲线的图象为右图，在同一坐标系中作出直线y=-2x-3的图象，可得直线与曲线交点个数为2个．故选：B．分x大于等于0，和x小于0两种情况去绝对值符号，可得当x≥0时，曲线为焦点在y轴上的双曲线，当x＜0时，曲线为焦点在y轴上的椭圆，在同一坐标系中作出直线y=-2x-3与曲线的图象，就可找到交点个数．本题主要考查图象法求直线与曲线交点个数，关键是去绝对值符号，化简曲线方程．9.【答案】AB【解析】解：对于A，取BD中点E，连接A′E，CE，则A′E=BE=DE=CE==．∴三棱锥A′-BCD的外接球直径为5，故A正确；对于B，∵DA′⊥BA′，BC⊥CD，A′F⊥平面BCD，∴BC⊥A′F，又A′F∩CD=F，A′F、CD⊂平面A′CD，∴BC⊥平面A′CD，∵A′D⊂平面A′CD，∴DA′⊥BC，∵BC∩BA′=B，∴DA′⊥平面A′BC，∵DA′⊂平面A′BD，∴平面A′BD⊥平面A′BC，故B正确；对于C，BC⊥A′C，∴A′B与A′C不垂直，∴平面A′BD与平面A′CD不垂直，故C错误；对于D，∵DA∥BC，∴∠ADA′是A′D与BC所成角（或所成角的补角），∵A′C==，∴A′F=，DF==，AF==，AA′==3，∴cos∠ADA′==0，∴∠ADA′=90°，∴A′D与BC所成角为90°，故D错误．故选：AB．对于A，取BD中点E，连接A′E，CE，推导出A′E=BE=DE=CE=，从而三棱锥A′-BCD 的外接球直径为5；对于B，推导出DA′⊥BA′，BC⊥CD，A′F⊥平面BCD，BC⊥A′F，BC⊥平面A′CD，DA′⊥BC，DA′⊥平面A′BC，从而平面A′BD⊥平面A′BC；对于C，A′B与A′C不垂直，从而平面A′BD与平面A′CD不垂直；对于D，由DA∥BC，得∠ADA′是A′D与BC所成角（或所成角的补角），推导出A′D与BC所成角为90°．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等数学核心素养，是中档题．10.【答案】AC【解析】解：如图，F1（-c，0），F2（c，0），∵B为线段PF1的中点，O为F1F2的中点，∴OB∥PF2，∴∠PF2F1=90°，由双曲线定义可得，|PF1|-|PF2|=2a，设|PF1|=2m（m＞0），则|PF2|=m，，∴2m-m=2a，即a=，又，∴c=，则e=，故A正确；，则b=，双曲线的渐近线方程为y=，选项B的渐近线方程为y=，故B错误；对于C，∵O为F1F2的中点，∴，（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）则，即=，即，①而|PF1|-|PF2|=2a，两边平方并整理得，，②联立①②可得，，，即|PO|=，故C正确；=，故D错误．故选：AC．由已知可得∠PF2F1=90°，设|PF1|=2m（m＞0），再由已知结合双曲线定义可得a，b，c 与m的关系，即可求得双曲线的离心率及渐近线方程，从而判断A与B；由O为F1F2的中点，得，两边平方后结合双曲线定义联立求得|PO|判断C；进一步求出△PF1F2的面积判断D．本题考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，是中档题．11.【答案】BCD【解析】解：连接MP，可得MP AD A1D1，可得四边形MPA1D1是平行四边形∴A1M∥D1P，又A1M⊄平面DCC1D1，D1P⊂平面DCC1D1，A1M∥平面DCC1D1，连接DB，由三角形中位线定理可得：PQ DB，DB D1B1，可得四边形PQB1D1为梯形，QB1与PD1不平行，因此A1M与B1Q不平行，又A1M∥D1P，A1M⊄平面D1PQB1，D1P⊂平面D1PQB1，∴A1M∥平面D1PQB1.故A不正确，C正确；连接AC，由题意四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵P，Q分别为棱CD，BC的中点，∴PQ∥BD，∴PQ⊥AC，∵平行六面体的所有棱长都相等，且∠A1AB=∠A1AD，∴直线AA1在平面ABCD内的射影是AC，且BD⊥AC，∴AA1⊥BD，∴AA1⊥PQ，故B正确；∵AA1∩AC=A，∴PQ⊥面A1ACC1，故D正确．故选：BCD．连接MP，推导出四边形MPA1D1是平行四边形，从而A1M∥D1P，连接DB，推导出四边形PQB1D1为梯形，A1M与B1Q不平行，推民出A1M∥平面D1PQB1；连接AC，推导出四边形ABCD是菱形，AC⊥BD，从而PQ⊥AC，由平行六面体的所有棱长都相等，且∠A1AB=∠A1AD，推志出AA1⊥PQ，从而PQ⊥面A1ACC1．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】ABC【解析】解：对于A，设直线PQ的方程为x=ty+1,联立解方程组,可得y2-4ty-4=0，x1x2==1，|PQ|=x1+x2+p=x1+x2+2+2=4，故A正确；对于B,根据抛物线的定义可得，|SF|+|TF'|=x S+x T+p=10,则x S+x T=8,则线段ST的中点横坐标是=4,故B成立；对于C，M（0，1），|PM|+|PP1|=|MP|+|PF|≥|MF|=，所以C正确；对于D,过M（0，1）相切的直线有2条，与x轴平行且与抛物线相交且有一个交点的直线有一条，所以最多有三条．所以D不正确；故选：ABC．设出直线方程与抛物线联立，利用弦长公式判断A，结合抛物线的定义，判断B；利用抛物线的性质判断C；直线与抛物线的切线情况判断D．考查抛物线的性质，抛物线与直线的位置关系的应用，是中档题．13.【答案】（-∞，0]【解析】解：设D（x，y），由D在AC上，得+y=1，即x+ty-t=0，由|AD|≤|BD|得≤•，化为（x-2）2+（y+1）2≥4，依题意，线段AD与圆（x-2）2+（y+1）2=4至多有一个公共点，（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）∴≥2，解得：t≤0，则t的取值范围为（-∞，0]，故答案为：（-∞，0]．先设出D（x，y），得到AD的方程为：x+ty-t=0，由|AD|≤|BD|得到圆的方程，结合点到直线的距离公式，解不等式即可得到所求范围．本题考查直线与圆的方程，考查点到直线距离公式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14.【答案】π-arctan【解析】解：直线2x+y-1=0的斜率为，设直线2x+y-1=0的倾斜角为θ（0≤θ＜π），则tan，∴θ=．故答案为：π-arctan．由直线方程求直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求解．本题考查由直线方程求直线的斜率，考查直线的斜率与倾斜角的关系，是基础题．15.【答案】10；400π【解析】解：设球的半径为r，依题意可知36+（r-2）2=r2，解得r=10，∴球的表面积为4πr2=400π故答案为10，400π先设出球的半径，进而根据球的半径，球面上的弦构成的直角三角形，根据勾股定理建立等式，求得r，最后根据球的表面积公式求得球的表面积．本题主要考查了球面上的勾股定理和球的面积公式．属基础题．16.【答案】【解析】【分析】本题考查双曲线的定义以及几何性质的应用，余弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力．属于中档题.设双曲线C的左焦点为F'，连结AF'，BF'，设|BF|=t，则|AF|=2t，推出∠F'AB=60°．在△F'AB 中，由余弦定理求解．结合双曲线的定义，求出，．在△F'AF中，由余弦定理推出a，c关系，得到离心率即可．【解答】解：设双曲线C的左焦点为F'，连结AF'，BF'，设|BF|=t，则|AF|=2t，所以|AF'|=2a+2t，|BF'|=2a+t．由对称性可知，四边形AF'PF为平行四边形，故∠F'AB=60°．在△F'AB中，由余弦定理得（2a+t）2=（2a+2t）2+（3t）2-2×（2a+2t）×3t×cos60°，解得．故，．在△F'AF中，由余弦定理得，，解得：．故答案为：．17.【答案】解：（I）因为圆与轴交于两点,，所以圆心在直线上，由，得，即圆心的坐标为．半径，所以圆的方程为；（II）若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时可得，不符合题意；（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，即，过点作于点，则D为线段MN中点，∴，∴，即点C到直线l的距离，解得或k=-3；综上，直线的方程为x-3y+3=0或3x+y-11=0．【解析】本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，属于中档题．（I）根据题意，即可得解；（II）分类讨论，进行求解即可.18.【答案】（1）证明：将直线化为直线束方程：x+y-4+（2x+y-7）=0．联立方程x+y-4=0与2x+y-7=0，得点（3，1）；将点（3，1）代入直线方程，不论m为何值时都满足方程，所以直线l恒过定点（3，1）；（2）解：当直线l过圆心与定点（3，1）时，弦长最大，代入圆心坐标得m=．当直线l垂直于圆心与定点（3，1）所在直线时弦长最短，斜率为2，代入方程得m=此时直线l方程为2x-y-5=0，圆心到直线的距离为，所以最短弦长为．【解析】（1）通过直线l转化为直线系，求出直线恒过的定点；（2）说明直线l被圆C截得的弦长最小时，圆心与定点连线与直线l垂直，求出斜率即可求出m的值，再由勾股定理即可得到最短弦长．本题考查直线系方程的应用，考查直线与圆的位置关系，考查平面几何知识的运用，考查计算能力，属于中档题．19.【答案】（1）证明详见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）要证平面，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证与平面内一直线平行即可，设的中点为，则为平行四边形，则，又平面，不在平面内，满足定理所需条件；（2）过点作于，根据面面垂直的性质可知平面，即正的高，然后根据三棱锥的体积公式进行求解即可.试题解析：（1）设的中点为，则又，∴∴为平行四边形∴又平面，平面∴平面(2)过点作于平面平面，∴平面，即正的高∴∴∴.考点：1.空间中的平行关系；2.空间中的垂直关系；3.棱锥的体积计算.20.【答案】证明：设过点T（3，0）的直线l交抛物线y2=2x于点A（x1，y1）、B（x2，y2）．当直线l的钭率不存在时，直线l的方程为x=3，（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）此时，直线l与抛物线相交于点A（3，）、B（3，-）．∴=3当直线l的钭率存在时，设直线l的方程为y=k（x-3），其中k≠0，由得ky2-2y-6k=0⇒y1y2=-6，又∵x1=y12，x2=y22，∴x1x2=9，∴=x1x2+y1y2=3，综上所述，命题“如果直线l过点T（3，0），那么=3”是真命题；综上，命题成立．【解析】设出A，B两点的坐标根据向量的点乘运算求证即可得到：“如果直线l过（3，0），那么=3”是真命题．本题考查了真假命题的证明，抛物线的简单性质，向量数量积，是抛物线与平面向量的综合应用，难度中档．21.【答案】（1）证明：∵底面是菱形，∴．又平面．又又平面．（2）连接，∵SB平面，平面，平面平面，SB∥平面APC，∴SB∥OP．又∵是的中点，∴是的中点．由题意知△ABD为正三角形．．由（1）知平面，∴．又，∴在Rt△SOD中，．∴到面的距离为.【解析】主要考查了线面垂直的判定和三棱锥的体积.(1)要证明线面垂直，证明SO与平面ABCD中两条相交直线垂直即可，应用已知条件与等腰三角形的三线合一即可得到证明；(2)由SB∥平面APC的性质定理证明得SB∥OP，由(1)得高为PO，利用三棱锥的体积公式即可求出结果.22.【答案】（1）（2）（3），证明略.【解析】解：（1）设P((x，y)，由题意可得，解得，∴P．（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）（2）∵，两条直线PA，PB倾斜角互补，∴k PA+k PB=0，解得k PB=1．因此直线PA，PB，的方程分别为，，化为，．联立，解得(舍去)，，即A．同理解得B．∴k AB= = ，∴直线AB的方程为，化为．（3）S设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，设直线PA的方程为：，则直线PB 的方程为．联立，解得A．同理B，∴k AB= = ．即直线AB的斜率为定值．。
完整版高二数学期末试卷理科及含
高二数学期末考试卷〔理科〕一、选择题〔本大题共 11 小题，每题 3 分，共 33 分〕r 1、与向量 a (1, 3, 2)平行的一个向量的坐标是〔 〕A ．〔 1 3，1，1〕 B ．〔－1，－3，2〕C ．〔－ 1 2 ， 3 2，－1〕 D ．〔 2 ，－ 3，－2 2 〕2、设命题 p ：方程 2 3 1 0x x 的两根符号不一样；命题 q ：方程2 3 1 0x x 的两根之和为 3，判断命题“ p 〞、“ q 〞、“ p q 〞、“ p q 〞为假命题的个数为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3、“a ＞b ＞0〞是“ ab ＜a 2b 22〞的 〔 〕A ．充足而不用要条件B ．必需而不充足条件C ．充要条件D ．既不充足也不用要条件2y 2 x的焦距为 2，那么 m 的值等于 〔 〕. 4、椭圆 1m 4A ．5B ．8C ．5 或 3D ．5 或 85、空间四边形 OABC 中， OA a ，OB b ，OC c ，点 M 在 OA 上，且 OM=2MA ，N 为 BC 中点，那么 MN =〔 〕1 2 1A ． a b c2 3 22 1 1 B ． a b c3 2 21 1 1 C ． a b c2 2 22 2 1 D ． a b c3 3 26、抛物线 2y 4x 上的一点 M 到焦点的距离为 1，那么点 M 的纵坐标为〔 〕A ．17 16B ．1516C ．78D ．07、对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线 x ＋2y －3＝0，那么该双曲线的离心率为〔 〕或5 4B. 5 或52C. 3 或3 2或5 38、假定不等式 |x －1| <a 成立的充足条件是 0<x<4,那么实数 a 的取值范围是 ( )A ．a 1B ．a 3C ．a 1D ．a 39、a (1 t,1 t,t),b (2,t,t) ，那么| a b |的最小值为〔〕A ．55 B．555C．3 55 D．11510、动点 P(x、y)知足 10 2 ( 2)2(x 1 y ＝|3x＋4y＋2|，那么动点 P 的轨迹是〔〕)A ．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．没法确立2 y2x11、 P 是椭圆125 9上的一点， O 是坐标原点， F 是椭圆的左焦点且1OQ (OP OF ), | OQ | 4，那么点 P 到该椭圆左准线的距离为〔〕25D.2高二数学期末考试卷〔理科〕答题卷一、选择题〔本大题共 11 小题，每题 3 分，共 33 分〕题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11答案二、填空题〔本大题共 4 小题，每题 3 分，共 12 分〕2 x12、命题：x R, x 1 0的否定是2 y213、假定双曲线x 4 4 的左、右焦点是F1、F2 ，过F1 的直线交左支于 A、B 两点，假定|AB|=5 ，那么△ AF2B 的周长是 .14、假定a ( 2,3, 1)，b ( 2 ,1,3) ，那么a,b为邻边的平行四边形的面积为．15、以下四个对于圆锥曲线的命题中：u uur uuur ①设A、B 为两个定点， k 为正常数，| PA| | PB | k ，那么动点P 的轨迹为椭圆；②双曲线2 2x y25 91 与椭圆2x352 1y 有同样的焦点；2 x③方程2x 5 2 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；25④和定点A( 5, 0) 及定直线l : x 的距离之比为4此中真命题的序号为 _________．54的点的轨迹方程为2 2x y16 91．三、解答题〔本大题共 6 小题，共 55 分〕2 2x y16、〔本题总分值 8 分〕命题 p：方程1表示焦点在 y 轴上的椭圆，命题 q：2m m 12 2y x 双曲线15 m 的离心率e (1, 2) ，假定p,q只有一个为真，务实数m 的取值范围．17、〔本题总分值 8 分〕棱长为 1 的正方体 AB CD－A1B1C1D1，试用向量法求平面 A1BC1与平面 AB CD 所成的锐二面角的余弦值。
2018-2019学年四川省乐山市高二(下)期末数学试卷(理科)(含答案)
高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5，10，15，20，25，30，35，40，45，50的学生进行作业检查，这种抽样方法是（）A. 随机抽样B. 分层抽样C. 系统抽样D. 以上都是2.在复平面内，复数6+5i，-2+3i对应的点分别为A，B．若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是（）A. 4+8iB. 8+2iC. 4+iD. 2+4i3.从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是（）A. 18B. 24C. 30D. 364.设i为虚数单位，则（x-i）6的展开式中含x4的项为（）A. -15x4B. 15x4C. -20ix4D. 20ix45.掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（）A. B. C. D.6.曲线f（x）=x3-x+3在点P处的切线平行于直线y=2x-1，则P点的坐标为（）A. （1，3）B. （-1，3）C. （1，3）和（-1，3）D. （1，-3）7.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的x=0，则一开始输入的x的值为（）A.B.C.D.8.p设η=2ξ+3，则E（η）的值为（）A. 4B.C.D. 19.在区间[0，1]上任取两个实数a，b，则函数f（x）=x2+ax+b2无零点的概率为（）A. B. C. D.10.根据如下样本数据，得到回归方程=bx+a，则（）x345678y4.02.5-0.50.5-2.0-3.0A. a＞0，b＞0B. a＞0，b＜0C. a＜0，b＞0D. a＜0，b＜011.若函数f（x）=x3-tx2+3x在区间[1，4]上单调递减，则实数t的取值范围是（）A. （-∞，]B. （-∞，3]C. [，+∞）D. [3，+∞）12.已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )A. (－∞，0)B.C. (0,1)D. (0，＋∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率为______．14.已知复数z满足（1+2i）z=4+3i，则|z|=______．15.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1-EDF的体积为______．16.若曲线C1：y=ax2（a＞0）与曲线C2：y=e x在（0，+∞）上存在公共点，则a的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数f（x）=x3+（1-a）x2-a（a+2）x+b（a，b∈R）（1）若函数f（x）的导函数为偶函数，求a的值；（2）若曲线y=f（x）存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围18.为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩x、物理成绩y进行分析．下面是该生7次考试的成绩．数学888311792108100112物理949110896104101106（1）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；（2）已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议．参考公式：方差公式：，其中为样本平均数==，=-19.已知函数，．（1）求f（x）在区间（-∞，1）上的极小值和极大值点；（2）求f（x）在[-1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值．20.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中点，以AE为折痕将△DAE向上折起，D变为D'，且平面D'AE⊥平面ABCE．（Ⅰ）求证：AD'⊥EB；（Ⅱ）求二面角A-BD'-E的大小．21.交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为T，其范围为[0，10]，分为五个级别，T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通；T∈[4，6）轻度拥堵；T∈[6，8）中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵．早高峰时段（T≥3），从某市交通指挥中心随机选取了三环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如右图．（Ⅰ）这50个路段为中度拥堵的有多少个？（Ⅱ）据此估计，早高峰三环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？（III）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为36分钟；中度拥堵为42分钟；严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望．22.已知函数f（x）=（ax-1）e x（x＞0，a∈R）（e为自然对数的底数）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a=1时，f（x）＞kx-2恒成立，求整数k的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵学生人数比较多，∵把每个班级学生从1到最后一号编排，要求每班编号是5的倍数的同学留下进行作业检查，这样选出的样本是采用系统抽样的方法，故选：C．学生人数比较多，把每个班级学生从1到最后一号编排，要求每班学号是5的倍数的同学留下进行作业检查，这样选出的样本是具有相同的间隔的样本，是采用系统抽样的方法．本题考查系统抽样，当总体容量N较大时，采用系统抽样，将总体分成均衡的若干部分即将总体分段，分段的间隔要求相等，系统抽样又称等距抽样．2.【答案】D【解析】解：因为复数6+5i，-2+3i对应的点分别为A（6，5），B（-2，3）．且C为线段AB的中点，所以C（2，4）．则点C对应的复数是2+4i．故选：D．写出复数所对应点的坐标，有中点坐标公式求出C的坐标，则答案可求．本题考查了中点坐标公式，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】C【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：①，选出的3人为2男1女，有C42C31=18种选法；②，选出的3人为1男2女，有C41C32=12种选法；则男女生都有的选法有18+12=30种；故选：C．根据题意，分2种情况讨论：①，选出的3人为2男1女，②，选出的3人为1男2女，由加法原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：（x-i）6的展开式的通项公式为T r+1=•x6-r•（-i）r，令6-r=4，求得r=2，故展开式中含x4的项为•（-i）2•x4=-15x4，故选：A．在二项式展开式的通项公式中，令x的幂指数等于4，求得r的值，可得展开式中含x4的项．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．5.【答案】B【解析】【分析】这是一个古典概率模型，求出所有的基本事件数N与事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”包含的基本事件数n，再由公式求出概率得到答案本题是一个古典概率模型问题，解题的关键是理解事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”，由列举法计算出事件所包含的基本事件数，判断出概率模型，理解求解公式是本题的重点，正确求出事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件数是本题的难点．【解答】解：抛掷两颗骰子所出现的不同结果数是6×6=36事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）共四种故事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”的概率是=，故选B．6.【答案】C【解析】解：设P的坐标为（m，n），则n=m3-m+3，f（x）=x3-x+3的导数为f′（x）=3x2-1，在点P处的切线斜率为3m2-1，由切线平行于直线y=2x-1，可得3m2-1=2，解得m=±1，即有P（1，3）或（-1，3），故选：C．设P的坐标为（m，n），则n=m3-m+3，求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，可得m的方程，求得m的值，即可得到所求P的坐标．本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，属于基础题．7.【答案】C【解析】【分析】求出对应的函数关系，由题输出的结果的值为0，由此关系建立方程求出自变量的值即可．解答本题，关键是根据所给的框图，得出函数关系，然后通过解方程求得输入的值．本题是算法框图考试常见的题型，其作题步骤是识图得出函数关系，由此函数关系解题，得出答案．【解答】解：第一次输入x=x，i=1第二次输入x=2x-1，i=2，第三次输入x=2（2x-1）-1=4x-3，i=3，第四次输入x=2（4x-3）-1=8x-7，i=4＞3，第五次输入x=2（8x-7）-1=16x-15，i=5＞4，输出16x-15=0，解得：x=，故选：C．8.【答案】B【解析】解：由题意可知E（ξ）=-1×+0×+1×=-．∵η=2ξ+3，所以E（η）=E（2ξ+3）=2E（ξ）+3=+3=．故选：B．求出ξ的期望，然后利用η=2ξ+3，求解E（η）即可．本题考查有一定关系的两个变量之间的期望之间的关系，本题也可以这样来解，根据两个变量之间的关系写出η的分布列，再由分布列求出期望．9.【答案】B【解析】解：∵a，b是区间[0，1]上的两个数，∴a，b对应区域面积为1×1=1若函数f（x）=x2+ax+b2无零点，则△=a2-4b2＜0，对应的区域为直线a-2b=0的上方，面积为1-=，则根据几何概型的概率公式可得所求的概率为．故选：B．函数f（x）=x2+ax+b2无零点的条件，得到a，b满足的条件，利用几何概型的概率公式求出对应的面积即可得到结论．本题主要考查几何概型的概率计算，根据二次函数无零点的条件求出a，b满足的条件是解决本题的关键．10.【答案】B【解析】解：由题意可知：回归方程经过的样本数据对应的点附近，是减函数，所以b ＜0，且回归方程经过（3，4）与（4，2.5）附近，所以a＞0．故选：B．通过样本数据表，容易判断回归方程中，b、a的符号．本题考查回归方程的应用，基本知识的考查．11.【答案】C【解析】解：∵函数f（x）=x3-tx2+3x，∴f′（x）=3x2-2tx+3，若函数f（x）=x3-tx2+3x在区间[1，4]上单调递减，则f′（x）≤0即3x2-2tx+3≤0在[1，4]上恒成立，∴t≥（x+）在[1，4]上恒成立，令y=（x+），由对勾函数的图象和性质可得：函数在[1，4]为增函数，当x=4时，函数取最大值，∴t≥，即实数t的取值范围是[，+∞），由题意可得f′（x）≤0即3x2-2tx+3≤0在[1，4]上恒成立，由二次函数的性质可得不等式组的解集．本题主要考查函数的单调性和导数符号间的关系，二次函数的性质，属于中档题．12.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．先求导函数，函数f（x）=x（ln x-ax）有两个极值点，等价于f′（x）=ln x-2ax+1有两个零点，等价于函数y=ln x与y=2ax-1的图象由两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象．由图可求得实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=x（ln x-ax），则f′（x）=ln x-ax+x（-a）=ln x-2ax+1，令f′（x）=ln x-2ax+1=0得ln x=2ax-1，函数f（x）=x（ln x-ax）有两个极值点，等价于f′（x）=ln x-2ax+1有两个零点，等价于函数y=ln x与y=2ax-1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a=时，直线y=2ax-1与y=ln x的图象相切，由图可知，当0＜a＜时，y=ln x与y=2ax-1的图象有两个交点．则实数a的取值范围是（0，）．简解：函数f（x）=x（ln x-ax），则f′（x）=ln x-ax+x（-a）=ln x-2ax+1，令f′（x）=ln x-2ax+1=0得ln x=2ax-1，可得2a=有两个不同的解，设g（x）=，则g′（x）=，当x＞1时，g（x）递减，0＜x＜1时，g（x）递增，可得g（1）取得极大值1，作出y=g（x）的图象，可得0＜2a＜1，即0＜a＜，13.【答案】【解析】解：根据题意，简单随机抽样中每个个体被抽到的概率是相等的，若在含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率P==；故答案为：．根据题意，由简单随机抽样的性质以及古典概型的计算公式可得个体m被抽到的概率P=，化简即可得答案．本题考查古典概型的计算，涉及随机抽样的性质，属于基础题．14.【答案】【解析】解：∵（1+2i）z=4+3i，∴z=，则|z|=||=．故答案为：．把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．15.【答案】【解析】解：将三棱锥D1-EDF选择△D1ED为底面，F为顶点，则=，其==，F到底面D1ED的距离等于棱长1，所以=××1=S故答案为：将三棱锥D1-EDF选择△D1ED为底面，F为顶点，进行等体积转化V D 1-EDF=V F -D1ED后体积易求．本题考查了三棱柱体积的计算，等体积转化法是常常需要优先考虑的策略．16.【答案】[，+∞）【解析】解：根据题意，函数y=ax2（a＞0）与函数y=e x在（0，+∞）上有公共点，令ax2=e x得：，设则，由f'（x）=0得：x=2，当x＞2时，f'（x）＞0，函数在区间（2，+∞）上是增函数，所以当x=2时，函数在（0，+∞）上有最小值，所以．故答案为：．由题意可得，ax2=e x有解，运用参数分离，再令，求出导数，求得单调区间、极值和最值，即可得到所求范围．本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查函数方程的转化思想的运用，属于中档题．17.【答案】解：（1）：f（x）=3x2+2（1-a）x-a（a+2），由题因为f（x）为偶函数，∴2（1-a）=0，即a=1．（2）∵曲线y=f（x）存在两条垂直于y轴的切线，∴关于x的方程f′（x）=3x2+2（1-a）x-a（a+2）有两个不相等的实数根，∴△=4（1-a）2+12a（a+2）＞0，即4a2+4a+1＞0，∴，∴a的取值范围为（）∪（）．【解析】（1）求出导函数，利用函数的奇偶性求出a即可．（2）求出函数的导数，利用曲线y=f（x）存在两条垂直于y轴的切线，通过△＞0求解即可．本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．18.【答案】解：（1）根据题意，由表中的数据可得：=100+=100，=100+=100，则有，从而，故物理成绩更稳定；（2）由于x与y之间具有线性相关关系，则==0.5，则=100-0.5×100=50，则线性回归方程为=0.5x+50，当y=115时，x=130；建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高．【解析】（1）根据题意，由数据计算数学、物理的平均数、方差，进而分析可得答案；（2）根据题意，求出线性回归方程，据此分析可得答案．本题考查线性回归方程的计算，涉及数据的平均数、方差的计算，属于基础题．19.【答案】解：（1）当x＜1时，f′（x）=-3x2+2x=-x（3x-2），令f′（x）=0，得x=0或x=．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x（-∞，0） 0（0，）（，1）f′（x）- 0+ 0-f（x）极小值极大值∴当x=0时，函数f（x）取得极小值f（0）=0，函数f（x）取得极大值点为x=．（2）①当-1≤x＜1时，f（x）=-x3+x2，由（1）知，函数f（x）在[-1，0]和[，1）上单调递减，在[0，]上单调递增．∵，∴f（x）在[-1，1）上的最大值为2．②当1≤x≤e时，f（x）=a ln x．当a≤0时，f（x）在[1，e]，上单调递增，∴f（x）max=a．综上所述，当a≥2时，f（x）在[-1，e]上的最大值为a；当a＜2时，f（x）在[-1，e]上的最大值为2．【解析】（1）当x＜1时，求导函数，确定函数的单调性，可得f（x）在区间（-∞，1）上的极小值和极大值点；（2）分类讨论，确定函数的单调性，即可得到f（x）在[-1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值．本题考查导数知识的应用，考查函数的单调性与极值、最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．20.【答案】证明：（Ⅰ）∵，AB=4，∴AB2=AE2+BE2，∴AE⊥EB，取AE的中点M，连结MD'，则AD=D'E=2⇒MD'⊥AE，∵平面D'AE⊥平面ABCE，∴MD'⊥平面ABCE，∴MD'⊥BE，从而EB⊥平面AD'E，∴AD'⊥EB；解：（Ⅱ）以C为原点，CE为x轴，CB为y轴，过C作平面ABCE的垂线为z轴，如图建立空间直角坐标系，则A（4，2，0）、C（0，0，0）、B（0，2，0）、，E（2，0，0），从而=（4，0，0），，．设为平面ABD'的法向量，则，取z=1，得设为平面BD'E的法向量，则，取x=1，得因此，，有，即平面ABD'⊥平面BD'E，故二面角A-BD'-E的大小为90°．【解析】（Ⅰ）推导出AE⊥EB，取AE的中点M，连结MD'，则MD'⊥BE，从而EB⊥平面AD'E，由此能证明AD'⊥EB；（Ⅱ）以C为原点，CE为x轴，CB为y轴，过C作平面ABCE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BD'-E的大小．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）（0.2+0.16）×1×50=18，这50路段为中度拥堵的有18个．（Ⅱ）设事件A“一个路段严重拥堵”，则P（A）=0.1，事件B至少一个路段严重拥堵”，则P=（1-P（A））3=0.729．P（B）=1-P（）=0.271，所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是0.271．（III）由频率分布直方图可得：分布列如下表：X30364260P0.10.440.360.1E（X）=30×0.1+36×0.44+42×0.36+60×0.1=39.96．此人经过该路段所用时间的数学期望是39.96分钟．【解析】（Ⅰ）利用（0.2+0.16）×1×50即可得出这50路段为中度拥堵的个数．（Ⅱ）设事件A“一个路段严重拥堵”，则P（A）=0.1，事件B至少一个路段严重拥堵”，则P=（1-P（A））3．P（B）=1-P（）=0.271，可得三个路段至少有一个是严重拥堵的概率．（III）利用频率分布直方图即可得出分布列，进而得出数学期望．本题考查了频率分布直方图的应用、互斥事件的概率计算公式、数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.【答案】解：（1）f′（x）=[ax-（1-a）]e x（x＞0，a∈R），当a≥1时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上递增；当0＜a＜1时，f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）上递增；当a≤0时，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上递减．（2）依题意得（x-1）e x＞kx-2对于x＞0恒成立，方法一：令g（x）=（x-1）e x-kx+2（x≥0），则g′（x）=xe x-k（x≥0），当k≤0时，f（x）在（0，+∞）上递增，且g（0）=1＞0，符合题意；当k＞0时，易知x≥0时，g′（x）单调递增．则存在x0＞0，使得，且g（x）在（0，x0]上递减，在[x0，+∞）上递增，∴，∴，，由得，0＜k＜2，又k∈Z，∴整数k的最大值为1．另一方面，k=1时，，g′（1）=e-1＞0∴x0∈（，1），∈（1，2），∴k=1时成立．方法二：恒成立，令，则，令t（x）=（x2-x+1）e x-2（x＞0），则t′（x）=x（x+1）e x＞0，∴t（x）在（0，+∞）上递增，又t（1）＞0，，∴存在x0∈（，1），使得，且h（x）在在（0，x0]上递减，在[x0，+∞）上递增，∴，又x0∈（，1），∴∈（1，），∴h（x0）∈（，2），∴k＜2，又k∈Z，∴整数k的最大值为1．【解析】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，函数恒成立问题，是一道综合题．（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）方法一：令g（x）=（x-1）e x-kx+2（x≥0），通过讨论k的范围，求出g（x）的最小值，从而确定k的最大值；方法二：分离参数k，得到恒成立，令，根据函数的单调性求出k的最大值即可．。
高二上学期期末数学试卷（理科）含答案
高二（上）期末测试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.函数：的单调递增区间是 f(x)=3+xlnx ()A. B. C. D. (0,1e ).(e,+∞)(1e ,+∞)(1e ,e)【答案】C【解析】解：由函数得：，f(x)=3+xlnx f(x)=lnx +1令即，根据得到此对数函数为增函数，f'(x)=lnx +1>0lnx >‒1=ln 1e e >1所以得到，即为函数的单调递增区间．x >1e 故选：C ．求出的导函数，令导函数大于0列出关于x 的不等式，求出不等式的解集即可得到x 的范围即为函数的单f(x)调递增区间．本题主要考查学生会利用导函数的正负得到函数的单调区间，同时考查了导数的计算，是一道基础题．2.函数的图象在点处的切线方程为 f(x)=lnx ‒2x x (1,‒2)()A. B. C. D. 2x ‒y ‒4=02x +y =0x ‒y ‒3=0x +y +1=0【答案】C【解析】解：由函数知，f(x)=lnx ‒2x x f'(x)=1‒lnxx 2把代入得到切线的斜率，x =1k =1则切线方程为：，y +2=x ‒1即．x ‒y ‒3=0故选：C ．求出曲线的导函数，把代入即可得到切线的斜率，然后根据和斜率写出切线的方程即可．x =1(1,2)本题考查学生会利用导数求曲线上过某点的切线方程，考查计算能力，注意正确求导．3.已知，，，则向量与的夹角为 A(2,‒5,1)B(2,‒2,4)C(1,‒4,1)⃗AB ⃗AC ()A. B. C. D. 30∘45∘60∘90∘【答案】C 【解析】解：因为，，，A(2,‒5,1)B(2,‒2,4)C(1,‒4,1)所以，⃗AB =(0,3,3),⃗AC = (‒1,1,0)所以，并且，，⃗AB ⋅⃗AC═0×(‒1)+3×1+3×0=3|⃗AB |=32|⃗AC |=2所以，，cos <⃗AB ⃗AC >=⃗AB ⋅⃗AC |⃗AB ||⃗AC |=332×2=12的夹角为∴⃗AB 与⃗AC 60∘故选：C ．由题意可得：，进而得到与，，再由，可得答⃗AB=(0,3,3),⃗AC = (‒1,1,0)⃗AB ⋅⃗AC |⃗AB ||⃗AC |cos <⃗AB ⃗AC >=⃗AB ⋅⃗AC |⃗AB ||⃗AC |案．解决此类问题的关键是熟练掌握由空间中点的坐标写出向量的坐标与向量求模，以及由向量的数量积求向量的夹角，属于基础试题4.已知椭圆的左焦点为，则 x 225+y 2m 2=1(m >0)F 1(‒4,0)m =()A. 2B. 3C. 4D. 9【答案】B【解析】解：椭圆的左焦点为，∵x 225+y 2m 2=1(m >0)F 1(‒4,0)，∴25‒m 2=16，∵m >0，∴m =3故选：B ．利用椭圆的左焦点为，可得，即可求出m ．x 225+y 2m 2=1(m >0)F 1(‒4,0)25‒m 2=16本题考查椭圆的性质，考查学生的计算能力，比较基础．5.等于 ∫10(e x +2x)dx ()A. 1B. C. e D. e ‒1e +1【答案】C 【解析】解：，∵(e x +x 2)'=e x +2x ，∴∫10(e x +2x)dx ═(e x +x 2)|10=(e +1)‒(1+0)=e故选：C ．由，可得，即可得出．(e x +x 2)'=e x +2x ∫10(e x +2x)dx =(e x +2x)|10本题考查了微积分基本定理，属于基础题．6.若函数在处有极大值，则 f(x)=x(x ‒c )2x =3c =()A. 9B. 3C. 3或9D. 以上都不对【答案】A 【解析】解：函数的导数为f(x)=x(x ‒c )2f'(x)=(x ‒c )2+2x(x ‒c)，=(x ‒c)(3x ‒c)由在处有极大值，即有，f(x)x =3f'(3)=0解得或3，c =9若时，，解得或，c =9f'(x)=0x =9x =3由在处导数左正右负，取得极大值，f(x)x =3若，，可得或1c =3f'(x)=0x =3由在处导数左负右正，取得极小值．f(x)x =3综上可得．c =9故选：A ．由题意可得，解出c 的值之后必须验证是否符合函数在某一点取得极大值的充分条件．f'(3)=0本题考查导数的运用：求极值，主要考查求极值的方法，注意检验，属于中档题和易错题．7.函数的示意图是 y =e x (2x ‒1)()A. B.C. D.【答案】C【解析】解：由函数，y =e x (2x ‒1)当时，可得，排除A ；D x =0y =‒1当时，可得，时，．x =‒12y =0∴x <12y <0当x 从时，越来越大，递增，可得函数的值变大，排除B ；12→+∞y =e x y =2x ‒1y =e x (2x ‒1)故选：C ．带入特殊点即可选出答案本题考查了函数图象变换，是基础题．8.若AB 过椭圆 中心的弦，为椭圆的焦点，则面积的最大值为 x 225+y 216=1F 1△F 1AB ()A. 6B. 12C. 24D. 48【答案】B【解析】解：设A 的坐标则根据对称性得：，(x,y)B(‒x,‒y)则面积．△F 1AB S =12OF ×|2y|=c|y|当最大时，面积最大，∴|y|△F 1AB 由图知，当A 点在椭圆的顶点时，其面积最大，△F 1AB 则面积的最大值为：．△F 1AB cb =25‒16×4=12故选：B ．先设A 的坐标则根据对称性得：，再表示出面(x,y)B(‒x,‒y)△F 1AB积，由图知，当A 点在椭圆的顶点时，其面积最大，最后结合椭圆的标准方程即可求出面积△F 1AB △F 1AB 的最大值．本小题主要考查函数椭圆的标准方程、椭圆的简单性质、面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题．.9.设函数的极大值为1，则函数的极小值为 f(x)=13x 3‒x +m f(x)()A. B. C. D. 1‒13‒113【答案】A【解析】解：，∵f(x)=13x 3‒x +m ，∴f'(x)=x 2‒1令，解得，f'(x)=x 2‒1=0x =±1当或时，，x >1x <‒1f'(x)>0当时，；‒1<x <1f'(x)<0故在，上是增函数，在上是减函数；f(x)(‒∞,‒1)(1,+∞)(‒1,1)故在处有极大值，解得f(x)x =‒1f(‒1)=‒13+1+m =1m =13在处有极小值，f(x)x =1f(1)=13‒1+13=‒13故选：A ．求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．本题考查函数的极值问题，属基础知识的考查熟练掌握导数法求极值的方法步骤是解答的关键．.10.设抛物线的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值y 2=4x 范围是 ()A. B. C. D. [‒12,12][‒2,2][‒1,1][‒4,4]【答案】C【解析】解：，∵y 2=4x 为准线与x 轴的交点，设过Q 点的直线l 方程为．∴Q(‒1,0)(Q )y =k(x +1)与抛物线有公共点，∵l 方程组有解，可得有解．∴{y =k(x +1)y 2=4x k 2x 2+(2k 2‒4)x +k 2=0，即．∴△=(2k 2‒4)2‒4k 4≥0k 2≤1，∴‒1≤k ≤1故选：C ．根据抛物线方程求得Q 点坐标，设过Q 点的直线l 方程与抛物线方程联立消去y ，根据判别式大于等于0求得k 的范围．本题主要考查了抛物线的应用涉及直线与抛物线的关系，常需要把直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定.理或判别式解决问题．11.已知函数 x ，若在区间内恒成立，则实数a 的取值范围是 f(x)=ax ‒ln f(x)>1(1,+∞)()A. B. C. D. (‒∞,1)(‒∞,1](1,+∞)[1,+∞)【答案】D 【解析】解： x ，在内恒成立，∵f(x)=ax ‒ln f(x)>1(1,+∞)在内恒成立．∴a >1+lnx x (1,+∞)设，g(x)=1+lnx x 时，，∴x ∈(1,+∞)g'(x)=‒lnxx 2<0即在上是减少的，，g(x)(1,+∞)∴g(x)<g(1)=1，即a 的取值范围是．∴a ≥1[1,+∞)故选：D ．化简不等式，得到在内恒成立设，求出函数的导数，利用函数的单调性化简求a >1+lnx x (1,+∞).g(x)=1+lnx x 解即可．本题考查函数的导数的综合应用，考查转化思想以及计算能力．12.设双曲线的两条渐近线与直线分别交于A ，B 两点，F 为该双曲线的右焦点若x 2a 2‒y 2b 2=1x =a 2c .，则该双曲线的离心率的取值范围是 60∘<∠AFB <90∘()A. B. C. D. (1,2)(2,2)(1,2)(2,+∞)【答案】B【解析】解：双曲线的两条渐近线方程为，时，，x 2a 2‒y 2b 2=1y =±b a x x =a 2c y =±ab c ，，∴A(a 2c ,ab c )B(a 2c ,‒ab c )，∵60∘<∠AFB <90∘，∴33<k FB <1，∴33<ab c c ‒a 2c <1，∴33<a b <1，∴13<a 2c 2‒a 2<1，∴1<e 2‒1<3．∴2<e <2故选：B ．确定双曲线的两条渐近线方程，求得A ，B 的坐标，利用，可得，由x 2a 2‒y 2b 2=160∘<∠AFB <90∘33<k FB <1此可求双曲线的离心率的取值范围．本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，正确寻找几何量之间的关系是关键．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.双曲线的顶点到其渐近线的距离等于______．x 2‒y 2=1【答案】22【解析】解：双曲线的，x 2‒y 2=1a =b =1可得顶点为，(±1,0)渐近线方程为，y =±x 即有顶点到渐近线的距离为d =11+1=22故答案为：．22求得双曲线的，求得顶点坐标，渐近线方程，运用点到直线的距离公式计算即可得到所求值．a =b =1本题考查双曲线的顶点到渐近线的距离，注意运用点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．14.已知函数的导函数为，且满足，则______．f(x)f'(x)f(x)=3x 2+2xf'(2)f'(5)=【答案】6【解析】解：f'(x)=6x +2f'(2)令得x =2f'(2)=‒12∴f'(x)=6x ‒24∴f'(5)=30‒24=6故答案为：6将看出常数利用导数的运算法则求出，令求出代入，令求出．f'(2)f'(x)x =2f'(2)f'(x)x =5f'(5)本题考查导数的运算法则、考查通过赋值求出导函数值．15.已知向量5，，1，，若平面ABC ，则x 的值是______．⃗AB=(1,‒2)⃗BC =(3,2)⃗DE =(x,‒3,6).DE//【答案】‒23【解析】解：平面ABC ，∵DE//存在事实m ，n ，使得，∴⃗DE =m ⃗AB +n ⃗BC ，解得．∴{x =m +3n ‒3=5m +n 6=‒2m +2n x =‒23故答案为：．‒23由平面ABC ，可得存在事实m ，n ，使得，利用平面向量基本定理即可得出．DE//⃗DE =m ⃗AB +n ⃗BC 本题考查了平面向量基本定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.已知抛物线C ：的焦点F ，，则曲线C 上的动点P 到点F 与点A 的距离之和的最小值为y 2=‒4x A(‒1,1)______．【答案】2【解析】解：抛物线方程为，∵y 2=‒4x ，可得焦点为，准线为∴2p =4F(‒1,0)x =1设P 在抛物线准线l 上的射影点为Q 点，A(‒1,1)则由抛物线的定义，可知当P 、Q 、A 点三点共线时，点P 到点的距离与P 到该抛物线焦点的距离之和(‒1,1)最小，最小值为．∴1+1=2故答案为：2．根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，再由抛物线的定义知：当P 、A 和P 在准线上的射影点Q 三点共线时，这个距离之和最小，即可得出结论．本题给出抛物线上的动点，求该点到定点Q 和焦点F 距离之和的最小值，着重考查了抛物线的定义和简单几何性质等知识，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数．f(x)=x 3+x ‒16求曲线在点处的切线的方程；(I)y =f(x)(2,‒6)Ⅱ直线L 为曲线的切线，且经过原点，求直线L 的方程及切点坐标．()y =f(x)【答案】解：函数的导数为，(I)f(x)=x 3+x ‒16f'(x)=3x 2+1可得曲线在点处的切线的斜率为，y =f(x)(2,‒6)3×4+1=13即有曲线在点处的切线的方程为，y =f(x)(2,‒6)y ‒(‒6)=13(x ‒2)即为；13x ‒y ‒32=0Ⅱ的导数为，()f(x)f'(x)=3x 2+1设切点为，可得切线的斜率为，(m,n)3m 2+1即有，3m 2+1=n m =m 3+m ‒16m 即为，2m 3+16=0解得，m =‒2，n =‒8‒2‒16=‒26可得直线L 的方程为及切点坐标为．y =13x (‒2,‒26)【解析】求出的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程即可得到所求切线的方程；(I)f(x)Ⅱ的导数为，设切点为，可得切线的斜率，运用两点的斜率公式，可得m 的方程，()f(x)f'(x)=3x 2+1(m,n)解方程可得m 的值，即可得到所求切线的方程和切点坐标．本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，以及运算能力，正确求导和运用直线方程是解题的关键，属于基础题．S‒ABCD SD⊥18.如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是矩形，且SD=AD=2AB，E是SA的中点．(1)BED⊥求证：平面平面SAB；(2)()求平面BED与平面SBC所成二面角锐角的大小．(1)∵SD⊥SD⊂【答案】证明：底面ABCD，平面SAD，∴SAD⊥ABCD (2)平面平面分∵AB⊥AD SAD∩，平面平面ABCDAD，∴AB⊥平面SAD，DE⊂又平面SAD，∴DE⊥AB (4)，分∵SD=AD∴DE⊥SA，E是SA的中点，，∵AB∩SA=A DE⊥AB DE⊥SA，，，∴DE⊥平面SAB，∵DE⊂平面BED，∴BED⊥SAB (6)平面平面分(2)D‒xyz AD=2解：由题意知SD，AD，DC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设．则0，，0，，，，0，，0，，D(0,0)A(2,0)B(2,2,0)C(0,2,0)S(0,2)E(1,1)，，，分∴⃗DB=(2,2,0)⃗DE=(1,0,1)⃗CB=(2,0,0)⃗CS=(0,‒2,2)…(8)设是平面BED 的法向量，则，即，⃗m =(x 1,y 1,z 1){⃗m ⋅⃗DB =0⃗m ⋅⃗DE=0{2x 1+2y 1=0x 1+z 1=0令，则，x 1=‒1y 1=2,z 1=1是平面BED 的一个法向量．∴⃗m=(‒1,2,1)设是平面SBC 的法向量，则，即，⃗n=(x 2,y 2,z 2){⃗n ⋅⃗CB =0⃗n ⋅⃗CS=0{2x 2=0‒2y 2+2z 2=0解得，令，则，x 2=0y 2=2z 2=1是平面SBC 的一个法向量分∴⃗n=(0,2,1) (10)，∵cos〈⃗m ,⃗n>=⃗m ⋅⃗n|⃗m|⋅|⃗n|=323=32平面BED 与平面SBC所成锐二面角的大小为分∴π6 (12)【解析】证明平面平面SAB ，利用面面垂直的判定定理，证明平面SAB 即可；(1)BED ⊥DE ⊥建立空间直角坐标系，求出平面BED 与平面SBC 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面BED 与平(2)面SBC 所成二面角锐角的大小．()本题考查面面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定，正确利用向量法，属于中档题．19.如图所示，斜率为1的直线过抛物线的焦点F ，与抛物线交y 2=2px(p >0)于A ，B 两点且，M 为抛物线弧AB 上的动点．|AB|=8求抛物线的方程；(1)求的最大值．(2)S △ABM 【答案】解 由条件知：，(1)l AB y =x ‒p2与联立，消去y ，得，y 2=2px x 2‒3px +14p 2=0则由抛物线定义得．x 1+x 2=3p.|AB|=x 1+x 2+p =4p 又因为，即，|AB|=8p =2则抛物线的方程为；y 2=4x 由知，且：，(2)(1)|AB|=4p l AB y =x ‒p2设与直线AB 平行且与抛物线相切的直线方程为，y =x +m 代入抛物线方程，得．x 2+2(m ‒p)x +m 2=0由，得．△=4(m ‒p )2‒4m 2=0m =p 2与直线AB 平行且与抛物线相切的直线方程为y =x +p2两直线间的距离为，d =22p故的最大值为．S △ABM 12×4p ×22p =2p 2=42【解析】根据题意，分析易得直线AB 的方程，将其与联立，得，由根与系数的(1)y 2=2px x 2‒3px +14p 2=0关系可得，结合抛物线的定义可得，解可得p 的值，即可得抛物线的x 1+x 2=3p |AB|=x 1+x 2+p =4p =8方程；设与直线AB 平行且与抛物线相切的直线方程为，代入抛物线方程，得，(2)y =x +m x 2+2(m ‒p)x +m 2=0进而可得与直线AB 平行且与抛物线相切的直线方程，计算可得两直线间的距离，由三角形面积公式计算即可得答案．本题考查直线与抛物线的位置关系，注意抛物线的焦点弦的性质，属于中档题20.函数在处取得极值．f(x)=ax +xlnx x =1Ⅰ求的单调区间；()f(x)Ⅱ若在定义域内有两个不同的零点，求实数m 的取值范围．()y =f(x)‒m ‒1【答案】解：Ⅰ，分( (1)，解得，当时，，分a =‒1a =‒1f(x)=‒x +xlnx (2)即，令0'/>，解得；分x >1 (3)令，解得；分0<x <1 (4)在处取得极小值，的增区间为，减区间为分∴f(x)x =1f(x)(1,+∞)(0,1)…(6)Ⅱ在内有两个不同的零点，()y =f(x)‒m ‒1(0,+∞)可转化为在内有两个不同的根，f(x)=m +1(0,+∞)也可转化为与图象上有两个不同的交点，分y =f(x)y =m +1...(7)由Ⅰ知，在上单调递减，在上单调递增，()f(x)(0,1)(1,+∞)，分f(x )min =f(1)=‒1 (8)由题意得，即分m +1>‒1m >‒2①…(10)当时，；0<x <1f(x)=x(‒1+lnx)<0当且时，；x >0x→0f(x)→0当时，显然或者举例：当，；x→+∞f(x)→+∞(x =e 2f(e 2)=e 2>0)由图象可知，，即分m +1<0m <‒1②...(11)由可得分①②‒2<m <‒1 (12)【解析】Ⅰ求出函数的导数，计算，求出a 的值，从而求出函数的单调区间即可；()f'(1)Ⅱ问题转化为在内有两个不同的根，结合函数的图象求出m 的范围即可．()f(x)=m +1(0,+∞)本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及数形结合思想、转化思想，是一道中档题．21.已知椭圆，已知定点，若直线与椭圆交于C 、D 两点问：是否存在x 23+y 2=1E(‒1,0)y =kx +2(k ≠0).k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点？请说明理由．【答案】解：假若存在这样的k 值，由得．{y =kx +2x 2+3y 2‒3=0(1+3k 2)x 2+12kx +9=0 ∴△=(12k )2‒36(1+3k 2)>0.①设、，则C(x 1,y 1)D(x 2,y 2){x 1+x 2=‒12k1+3k 2x 1⋅x 2=91+3k 2②而．y 1⋅y 2=(kx 1+2)(kx 2+2)=k 2x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4要使以CD 为直径的圆过点，当且仅当时，则，即E(‒1,0)CE ⊥DE y 1x 1+1⋅y 2x2+1=‒1．y 1y 2+(x 1+1)(x 2+1)=0 ∴(k 2+1)x 1x 2+2(k +1)(x 1+x 2)+5=0.③将式代入整理解得经验证，，使成立．②③k =76.k =76①综上可知，存在，使得以CD 为直径的圆过点E ．k =76【解析】把直线的方程与椭圆的方程联立，转化为关于x 的一元二次方程，得到根与系数的关系，假设以CD为直径的圆过E 点，则，将它们联立消去，即可得出k 的值．CE ⊥DE x 1x 2本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，解题的关键是联立方程，利用韦达定理求解．22.设函数．f(x)=x ‒ae x ‒1求函数的单调区间；(1)f(x)若对恒成立，求实数a 的取值范围．(2)f(x)≤0x ∈R 【答案】解：(1)f'(x)=1‒ae x ‒1当时，，在R 上是增函数；a ≤0f'(x)>0f(x)当时，令得a >0f'(x)=0x =1‒lna 若，则，从而在区间上是增函数；x <1‒lna f'(x)>0f(x)(‒∞,1‒lna)若，则，从而在区间上是减函数．x >1‒lna f'(x)<0f(x)(1‒lna,+∞由可知：当时，不恒成立，(2)(1)a ≤0f(x)≤0又当时，在点处取最大值，a >0f(x)x =1‒lna 且，f(1‒lna)=1‒lna ‒ae‒lna=‒lna 令得，‒lna <0a ≥1故若对恒成立，则a 的取值范围是．f(x)≤0x ∈R [1,+∞)【解析】对函数求导，使得导函数大于0，求出自变量的取值范围，针对于a 的值小于进行讨论，得到函(1)数的单调区间．这是一个恒成立问题，根据上一问做出的结果，知道当时，不恒成立，又当时，在(2)a ≤0f(x)≤0a >0f(x)点处取最大值，求出a 的范围．x =1‒lna 本题考查求函数的单调区间和解决函数恒成立的问题，解题时注意函数的单调性是解决最值的必经途径，注意数字的运算．。
高二数学期末试卷(理科)及答案(1)汇编
高二数学期末考试卷（理科）一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分） 1、与向量(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（ ） A ．（31，1，1） B ．（－1，－3，2）C ．（－21，23，－1）D ．（2，－3，－22）2、设命题p ：方程2310x x +-=的两根符号不同；命题q ：方程2310x x +-=的两根之和为3，判断命题“p ⌝”、“q ⌝”、“p q ∧”、“p q ∨”为假命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．33、“a ＞b ＞0”是“ab ＜222b a +”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4、椭圆1422=+y m x 的焦距为2，则m 的值等于 （ ）. A ．5 B ．8 C ．5或3 D ．5或85、已知空间四边形OABC 中，，，===，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则=（ ） A ．213221+- B ．212132++-C ．c b a 212121-+D ．c b a 213232-+6、抛物线2y 4x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为（ ）A ．1716 B ．1516 C ．78D ．0 7、已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x ＋2y －3＝0，则该双曲线的离心率为（ ）A.5或54 或 C. D.5或538、若不等式|x －1| <a 成立的充分条件是0<x <4,则实数a 的取值范围是 ( ) A ．a ≤1 B ．a ≤3 C ．a ≥1 D ．a ≥39、已知),,2(),,1,1(t t t t t =--=，则||-的最小值为 （ ）A ．55B ．555C ．553 D ．51110、已知动点P(x 、y )满足1022)2()1(-+-y x ＝|3x ＋4y ＋2|，则动点P 的轨迹是 （ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．无法确定11、已知P 是椭圆192522=+y x 上的一点，O 是坐标原点，F 是椭圆的左焦点且),(21OF OP OQ +=4||=OQ ，则点P 到该椭圆左准线的距离为（ ） A.6 B.4 C.3 D.25高二数学期末考试卷（理科）答题卷二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）12、命题：01,2=+-∈∃x x R x 的否定是13、若双曲线 4422=-y x 的左、右焦点是1F 、2F ，过1F 的直线交左支于A 、B 两点，若|AB|=5，则△AF 2B 的周长是 .14、若)1,3,2(-=，)3,1,2(-=，则,为邻边的平行四边形的面积为 ． 15、以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，k 为正常数，||||PA PB k +=，则动点P 的轨迹为椭圆；②双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点； ③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④和定点)0,5(A 及定直线25:4l x =的距离之比为54的点的轨迹方程为221169x y -=． 其中真命题的序号为 _________．三、解答题（本大题共6小题，共55分）16、（本题满分8分）已知命题p ：方程11222=--m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：双曲线1522=-mx y 的离心率)2,1(∈e ，若q p ,只有一个为真，求实数m 的取值范围．17、（本题满分8分）已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1，试用向量法求平面A 1B C 1与平面AB CD 所成的锐二面角的余弦值。
高二第二学期理科数学期末考试试卷-附答案
高二第二学期期末考试试卷数学(理科）一、选择题(每小题4分,共40分）请将正确选项填入答题纸选择题答题栏．．．．．．． 1．从甲地到乙地,每天有直达汽车4班，从甲地到丙地，每天有5个班车，从丙地到乙地，每天有3个班车，则从甲地到乙地不同的乘车方法有( )A ．19种B ．12种C ．32种D ．60种2．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．3．甲、乙两工人在同样的条件下生产某种产品，日产量相等,每天出废品的情况为下表所示,则有结论（ )A ．甲的产品质量比乙的产品质量好一些;B ．两人的产品质量一样好；C ．乙的产品质量比甲的产品质是好一些；D ．无法判断谁的质量好一些.3题表 4题图6．设随机变量ξ服从正态分布ξ～N (0，1），，则＝( )A ．B ．C ．D ．7．的展开式中x 3的系数为( ）A ．﹣84B ．84C ．﹣36D ．368．有6个人排成一排照相,要求甲、乙、丙三人站在一起，则不同的排法种数为( )A ．24B ．72C ．144D ．2889．对同一目标进行两次射击，第一、二次射击命中目标的概率分别为0.5和0.7，则两次射击中至少有一次命中目标的概率是（ ）A ．0.15B ．0.35C ．0.42D ．0。
85 10．已知随机变量ξ的分布列为右表所示，若， 则( ）A ．B ．C ．1D ．二、填空题．（每小题4分，共16分）11．观察下面四个图：① ② ③ ④其中两个分类变量x ,y 之间关系最强的是 ．（填序号） 12．如果随机变量X 服从二项分布X ～,则的值为 ． 13．对具有线性相关关系的变量x 和y ，测得一组数据如下表：若已求得它们的回归直线的斜率为6。
5,则这条回归直线的方程为 ．根据表中的数据，得到K 2＝错误!≈10。
653，因为K 2〉7.879，所以产品的颜色接受程度与性别有关系,那么这种判断出错的可能性为 ．三、解答题(共44分）解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．15．(本小题满分10分）某班从6名班干部(男生4人,女生2人）中，任选3人参加学校的义务劳动；（1）共有多少种不同的选法; （2）求选中的3人都是男生的概率；(3）求男生甲．和女生乙．至少有一个被选中的概率． 16．(本小题满分10分）某校组织一次冬令营活动，有8名同学参加,其中有5名男同学，3名女同学，为了活动的需要,要从这8名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务，记其中有X 名男同学．（1）求去执行任务的同学中有男有女的概率； （2)求X 的分布列和数学期望．17．(本小题满分12分)某电脑公司有六名产品推销员,其工作年限与年推销金额数据如下表：(1)画出y 关于x 的散点图．（2）求年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程,若第六名推销员的工作年限为10年，试估计他的年推销金额；（3）计算R 2的值，并说明回归模型拟合程度的好坏． 参考公式：（参考数据:x －＝6，错误!＝3.4，错误!错误!＝200，错误!错误!＝63,错误!i y i ＝112，错误!（y i －错误!i )2＝0。
2022-2023学年陕西省宝鸡市教育联盟高二(上)期末数学试卷(理科)(含答案解析)
2022-2023学年陕西省宝鸡市教育联盟高二（上）期末数学试卷（理科）1. 双曲线C:x 23−y 29=1的虚轴长为( )A. √3B. 2√3C. 3D. 6 2. 已知等比数列{a n }中，a 1=2，a 4=16，则公比q =( ) A. −2B. 2C. 4D. −43. 两抛物线x 2=√2y 与y 2=−x 的焦点间的距离为( ) A. √24B. √34C. 12D. √544. 设x ∈R ，则“|x −2|<1”是“x 2+x −2>0”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 已知平面α的一个法向量为n ⃗ =(−1,0,−1)，点A(3,3,0)在平面α内，则平面外一点P(−2,1,4)到平面α的距离为( )A. 103 B. √22C. √2D. 16. 下列命题中，真命题是( ) A. 命题“若a >b ，则c 2a <c 2b ”B. 命题“当x ≠−1时，x 2+3x +2≠0”C. 命题“若两个三角形有两条边和一个内角对应相等，那么这两个三角形全等”D. 命题“若a =−b ，则a 2=b 2”7. 若x ，y 满足log 2x =−log 2y ，则x +4y 的最小值为( ) A. 12B. 14C. 8D. 48. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若A =2π3，bc =3，且b +c =√52a ，则a =( )A. 2√3B. 3√3C. 2√2D. 3√29. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bcosC +ccosB =b 2+c 2a，则△ABC 的形状为( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 钝角三角形10. 已知双曲线x 26−y 23=1的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M的距离为( )A.3√65B.5√66C. 65D. 5611. 如图，在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形．若∠A 1AB =∠A 1AD =60∘，且AA 1=3，则AC 1的长为( )A. √29B. 2√7C. 4√2D. 512. 设直线y =13(x +t)(t ≠0)与双曲线C ：x 2a2−y 2b2=1(a >0,b >0)的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若(MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中点M 的坐标为(0,2t)，则C 的离心率为( ) A. √52B.2√33C. √62D.√10313. 设变量x ，y 满足约束条件{x ≤0x −y +1≤02x −y +2≥0，则z =x +2y 的最小值为______.14. 习近平同志提出：乡村振兴，人才是关键．要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．为鼓励外出人员返乡创业，某镇政府决定投入“创业资金”，帮扶返乡创业人员．五年内，预计该镇政府每年投入的“创业资金”构成数列{a n }(单位：万元)，且第一年投入“创业资金”3(万元)，以后每年投入的“创业资金”为上一年的2倍，则该镇政府帮扶五年累计总投入的“创业资金”为______万元．15. 抛物线C ：y 2=6x 与直线l 交于A ，B 两点，且AB 的中点为(m,−2)，则l 的斜率为______.16. 已知点A ，B 是椭圆G:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上的两点，且直线AB 恰好平分圆x 2+y 2=R 2(R >0)，M 为椭圆G 上与A ，B 不重合的一点，且直线MA ，MB 的斜率之积为−13，则椭圆G 的离心率为______.17. 已知等差数列{a n }的公差d <0，a 1=20，且a 7是a 3与a 9的等比中项．(1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n 的最大值及对应的n 的值．18. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，2a2+a5=24，S8=100.(1)求{a n}的通项公式；(2)若b n=1a n a n+1，求数列{b n}的前n项和T n.19. 设动点P(x,y)与点F(√10,0)之间的距离和点P到直线l:x=√102的距离的比值为√2，记点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)若O为坐标原点，直线y=12x+1交曲线C于A，B两点，求△OAB的面积．20. 在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量m⃗⃗⃗ =(bsinB,cosB)，n⃗=(a−bsinC,cosC)，且m⃗⃗⃗ //n⃗ .(1)求角B的大小；(2)若b=2，(1+√3)a−√2c=0，求△ABC的面积．21. 如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABC，PA=√6，AB=2，∠ABC=π3，BC=1，D，E分别是PC上的三等分点，F是PB的中点．(1)证明：AE⊥平面PBC；(2)求平面ADF与平面BDF的夹角的余弦值．22. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√63，且过点(0,−2).(1)求C的方程；(2)若动点P在直线l：x=−2√2上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，使得PM=PN，再过P作直线l′⊥MN，证明：直线l′恒过定点，并求出该定点的坐标．答案和解析1.【答案】D【解析】解：因为双曲线C:x 23−y 29=1，b 2=9，所以b =3，所以双曲线的虚轴长为2b =6. 故选：D.直接利用双曲线方程求解b ，即可得到结果．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．2.【答案】B【解析】解：∵在等比数列{a n }中，a 1=2，a 4=16， ∴a4a 1=q 3=8，解得公比q =2. 故选：B.利用等比数列的通项公式列出方程，由此能求出公比．本题考查等比数列的公比的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．3.【答案】B【解析】解：两抛物线x 2=√2y 与y 2=−x 的焦点间的距离为分别为(0,√24)，(−14,0)，焦点间的距离为(14)+(√24)=√34，故选：B.求出抛物线的焦点，利用两点之间的距离公式即可得出结论．本题考查了抛物线的标准方程及其性质、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】A【解析】 【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：由“|x −2|<1”得1<x <3， 由x 2+x −2>0得x >1或x <−2，所以“|x −2|<1”是“x 2+x −2>0”的充分不必要条件， 故选A.5.【答案】B【解析】解：∵A(3,3,0)，P(−2,1,4)， ∴AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(−5,−2,4)， ∵平面α的一个法向量为n ⃗ =(−1,0,−1)， ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =5−4=1，|n ⃗ |=√2，∴平面外一点P(−2,1,4)到平面α的距离d =|AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||n ⃗ |=√2=√22. 故选：B.根据题意，计算AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合平面α的一个法向量为n ⃗ ，利用d =|AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗ ||n ⃗ |，计算即可． 本题考查点到平面的距离计算，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：对于A ，当a =2，b =−1，c =1时，满足a >b ，但c 2a=12>−1=c 2b，故错误； 对于B ，当x =−2时，x 2+3x +2=0，故错误；对于C ，若两个三角形有两条边和这两边的夹角对应相等，那么这两个三角形全等，故错误； 对于D ，若a =−b ，则a 2=(−b)2=b 2，故正确． 故选：D.对于A ，举反例说明即可；对于B ，当x =−2时，x 2+3x +2=0，即可判断； 对于C ，由两三角形全等的判定定理即可判断； 对于D ，将等式两边平方即可判断． 本题考查了对命题真假判断，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：由题意得log 2x +log 2y =0， 所以xy =1，x >0，y >0， 则x +4y ≥2√4xy =4，当且仅当x =4y 且xy =1，即y =12，x =2时取等号． 故选：D.由已知结合对数运算性质及基本不等式即可求解．本题主要考查了对数的云南省性质及基本不等式求解最值，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2−2bccosA =(b +c)2−2bc −2bccosA =(b +c)2−2bc −2bccos 2π3=(b +c)2−bc =(√52a)2−3，解得a =2√3. 故选：A.由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2−2bccosA ，代入计算即可求a. 本题考查余弦定理，考查运算求解能力，属基础题．9.【答案】B【解析】解：∵bcosC +ccosB =b 2+c 2a， ∴abcosC +accosB =b 2+c 2， ∴ab ⋅a 2+b 2−c 22ab +ac ⋅a 2+c 2−b 22ac=b 2+c 2，∴a 2+b 2−c 22+a 2+c 2−b 22=b 2+c 2，∴a 2=b 2+c 2，∴△ABC 的形状为直角三角形． 故选：B.根据余弦定理得到a 2=b 2+c 2，即可求解． 本题考查了余弦定理的应用，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：已知双曲线x 26−y 23=1的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且MF 1⊥x 轴，M(3,√62)，则MF 1=√62，故MF 2=2√6+√62=5√62，故F 1到直线F 2M 的距离为F 1F 2⋅MF 1MF2=6×√625√62=65.故选：C.根据双曲线的方程可得双曲线的焦点坐标，根据MF 1⊥x 轴进而可得M 的坐标，则MF 1可得，进而根据双曲线的定义可求得MF 2.本题主要考查了双曲线的简单性质．要理解好双曲线的定义．11.【答案】A【解析】解：根据题意，构造空间向量有AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4+4+9+0+2×2×3×12+2×2×3×12=29， 故|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√29. 故选：A.根据题意，构造空间向量=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，进行平方，结合题中∠A 1AB =∠A 1AD =60∘，且AA 1=3，计算，最后开方即可得到|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.本题考查立体几何与向量分解定理，属于基础题．12.【答案】B【解析】解：若(MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即(MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0， 即有|MA|=|MB|，其中点M 的坐标为(0,2t)， 设AB 的中点为N(x 0,y 0)，可得MN ⊥AB ，由双曲线的渐近线方程为y =±b a x ，联立y =13(x +t)(t ≠0)可得 A(at 3b−a ,bt 3b−a )，B(at −3b−a ,bt3b+a )， 中点N(a 2t9b 2−a 2,3b 2t9b 2−a 2)，由M(0,2t)，k MN ⋅k AB =−1，可得2ta 2−15tb2ta 2⋅13=−1，化为a 2=3b 2， 则e =c a=√1+b 2a2=√1+13=2√33.故选：B.由向量数量积的性质可得|MA|=|MB|，设AB 的中点为N(x 0,y 0)，可得MN ⊥AB ，求得双曲线的渐近线方程，联立直线AB 的方程，可得A ，B 的坐标，再由两直线垂直的条件：斜率之积为−1，化为a 2=3b 2，再由离心率公式可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，考查两直线垂直的条件和向量数量积的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．13.【答案】−1【解析】解：画出变量x ，y 满足约束条件{x ≤0x −y +1≤02x −y +2≥0表示的平面区域， 如图所示；化目标函数为y =−12x +12z ，由图可知，当直线y =−12x +12z 过点A 时， 直线在y 轴上的截距最小， 由{x −y +1=02x −y +2=0，解得A(−1,0)； ∴z 的最小值为：−1. 故答案为：−1.画出约束条件表示的平面区域，利用目标函数找出最优解，即可求出目标函数的最小值． 本题考查了简单的线性规划应用问题，是基础题．14.【答案】93【解析】解：由已知条件可得，数列{a n }是首项为3，公比为2的等比数列， 故S 5=3(25−1)2−1=93.故答案为：93.根据已知条件，结合等比数列的前n 项和公式，即可求解． 本题主要考查数列的实际应用，考查转化能力，属于基础题．15.【答案】−32【解析】解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，代入抛物线方程，可得y 12=6x 1，y 22=6x 2，相减可得(y 1+y 2)(y 1−y 2)=6(x 1−x 2)，∵AB 的中点为(m,−2)，∴y 1+y 2=2×(−2)=−4， 设直线l 的斜率为k ，则−4k =6，解得k =−32. 故答案为：−32.设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，代入抛物线方程，可得y 12=6x 1，y 22=6x 2，相减化简，结合斜率计算公式、中点坐标公式即可得出结论．本题考查了抛物线的标准方程及其性质、斜率计算公式、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.【答案】√63【解析】解：由直线AB 恰好平分圆x 2+y 2=R 2(R >0)，可得直线AB 过原点， 设A(x 1,y 1)，则B(−x 1,−y 1)，M(x 2,y 2)， 可得{x 12a 2+y 12b 2=1x 22a 2+y 22b2=1，作差可得x 22−x 12a 2+y 22−y 12b2=0，可得y 22−y 12x 22−x 12=−b2a 2， 而k MA ⋅k MB =y 2−y 1x 2−x 1⋅y 2+y 1x 2+x 1=y 22−y 12x 22−x 12，所以可得−b2a 2=−13，即b 2a 2=13，所以椭圆的离心率e =c a=√1−b 2a2=√1−13=√63，故答案为：√63.由直线AB 平分圆，可得直线AB 过圆心，设A ，M 的坐标，由题意可得B 的坐标，将A ，M 的坐标代入椭圆的方程，作差可得A ，M 的坐标的关系，求出直线MA ，MB 的斜率之积，由题意可得a ，b 的关系，进而求出椭圆的离心率的值．本题考查直线平分圆的性质的应用及直线与椭圆的综合应用，属于基础题．17.【答案】解：(1)∵a 7是a 3与a 9的等比中项，∴a 72=a 3a 9，即(a 1+6d)2=(a 1+2d)(a 1+8d)，整理得2a 1d +20d 2=0. ∵d <0，a 1=20，∴d =−2. 故a n =20−2(n −1)=−2n +22； (2)∵d =−2，a 1=20，∴S n =na 1+n(n−1)2d =−n 2+21n ，∴S n =−(n −212)2+(212)2，当n =10或n =11时，S n 取得最大值． 故当n =10或n =11时，S n 取最大值110.【解析】(1)由a 7是a 3与a 9的等比中项列关于首项与公差的等式，得到2a 1d +20d 2=0，结合d <0，a 1=20，求得d =−2.则{a n }的通项公式可求； (2)写出等差数列的前n 项和，再由二次函数求最值．本题考查等差数列的通项公式与前n 项和，考查等比数列的性质，训练了利用二次函数求最值，是中档题．18.【答案】解：(1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，2a 2+a 5=24，S 8=100，∴{2a 1+2d +a 1+4d =248a 1+8×72d =100， 解得a 1=2，d =3，∴a n =2+(n −1)×3=3n −1.∴{a n }的通项公式为a n =3n −1. (2)b n =1a n a n+1=1(3n−1)(3n+2)=13(13n−1−13n+2)，∴数列{b n }的前n 项和为：T n =13(12−15+15−18+18−111+13n −4−13n −1+13n −1−13n +2) =13(12−13n +2) =n6n+4. 【解析】(1)利用等差数列通项公式、前n 项和公式列方程组，求出a 1=2，d =3，由此能求出{a n }的通项公式． (2)求出b n =1a n a n+1=1(3n−1)(3n+2)=13(13n−1−13n+2)，利用裂项求和法能求出数列{b n }的前n 项和．本题考查等差数列的性质、裂项求和法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)因为动点P(x,y)与点F(√10,0)之间的距离和点P 到直线l:x =√102的距离的比值为√2， 所以√(x−√10)2+y 2|x−√102|=√2，整理得x 25−y 25=1，所以曲线C 的方程为x 25−y 25=1；(2)因为直线y =12x +1交曲线C 于A ，B 两点， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{x 25−y 25=1y =12x +1，得3x 2−4x −24=0，所以x 1+x 2=43,x 1x 2=−8，所以|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+14×√(43)2−4×(−8)=2√953，点O到直线y=12x+1即12x−y+1=0的距离d=1√1+14=2√55，所以△OAB的面积S=12|AB|⋅d=12×2√953×2√55=2√193.【解析】(1)根据已知条件列出关于x，y的方程，整理可得曲线C的方程；(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，将直线方程与双曲线的方程联立得到韦达定理，利用弦长公式计算|AB|，然后计算O到直线y=12x+1的距离，代入三角形面积公式计算即可．本题考查了动点的轨迹方程以及直线与双曲线的位置关系，属于中档题．20.【答案】解：(1)∵m⃗⃗⃗ //n⃗，∴bcosCsinB=(a−bsinC)cosB，∴acosB=b(sinBcosC+cosBsinC)=bsin(B+C)=bsinA，由正弦定理可得sinAcosB=sinAsinB，∵A、B∈(0,π)，∴sinA>0，cosB=sinB>0，∴tanB=1，故B=π4；(2)因为(1+√3)a−√2c=0，可设a=√2t(t>0)，则c=(√3+1)t，由余弦定理可得4=b2=a2+c2−2accosB=2t2+(√3+1)2t2−2√2(1+√3)t2×√22=4t2，解得t=1，故a=√2，c=√3+1，故△ABC的面积为S△ABC=12acsinB=12×√2×(√3+1)×√22=√3+12.【解析】(1)利用平面向量共线的坐标表示结合正弦定理化简可得tanB的值，结合角B的取值范围可求得角B的值；(2)利用余弦定理结合已知条件可求得a、c的值，再利用三角形的面积公式可求得结果．本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)证明：∵AB=2,BC=1,∠ABC=π3，根据余弦定理得AC=√AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cosπ3=√3，所以AB²=AC²+BC²，所以CA⊥CB，以C点为坐标原点，CB，CA所在直线为x，y轴，经过C点垂直于CA，CB的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A(0,√3,0)，B(1,0,0)，P(0,√3,√6)，E(0,√33,√63)，D(0,2√33,2√63)，F(12,√32,√62)， ∴AE⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2√33,√63)，CP⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,√6)，CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)， ∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2√33×√3+√63×√6=0，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，CP ∩CB =C ， ∴AE ⊥平面PBC ；(2)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−√33,2√63)，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,−√36,−√66)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,23√3,2√63)， 设平面ADF 的一个法向量为n ⃗ =(x,y,z)，由{AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−√33y +2√63z =0DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =12x −√36y −√66z =0，令z =√2，则x =2√3，y =4，可得n ⃗ =(2√3,4,√2)，同理可得平面BDF 的一个法向量m ⃗⃗⃗ =(0,−√2,1)， ∴|cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||m⃗⃗⃗ ||n ⃗ |=√2+√2|√3×√30=√55，所以平面ADF 与平面BDF 夹角的余弦值为√55.【解析】(1)用余弦定理求出AC =√3，从而得到AB ²=AC ²+BC ²，CA ⊥CB ，建立空间直角坐标系，利用空间向量证明出线面垂直；(2)求出平面的法向量，进而求出两平面的夹角余弦值． 本题主要考查平面与平面所成的角，属于中档题．22.【答案】解：(1)由题意知b =2，又椭圆的离心率为√63，所以c 2a 2=a 2−b2a 2=(√63)2=23，所以a 2=12，所以椭圆C 的方程为x 212+y 24=1.(2)因为直线l 的方程为x =−2√2，设P(−2√2,y 0)，y 0∈(−2√33,2√33)， 当y 0≠0时，设M(x 1,y 1)、N(x 2,y 2)，显然x 1≠x 2，联立{x 1212+y 124=1x 2212+y 224=1，相减可得112(x 12−x 22)+14(y 12−y 22)=0，即y 1−y 2x 1−x 2=−13⋅x 1+x 2y 1+y 2又PM =PN ，即P 为线段MN 的中点， 故直线MN 的斜率−13⋅−2√2y 0=2√23y 0，又l′⊥MN ，所以直线l′的方程为y −y 0=−2√23y 0(x +2√2)，即y =02√2+4√23)，,0)，显然l′恒过定点(−4√23,0)；当y0=0时，l′为x轴亦过点(−4√23,0).综上所述，l′恒过定点(−4√23【解析】(1)根据椭圆的离心率和过点(0,−2)即可求出椭圆的方程．(2)直线l的方程为x=−2√2，设P(−2√2,y0)，当y0≠0时，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，由题意知x1≠x2，利用点差法l′的方程，从而得到l′恒过定点．当y0=0时，直线MN为，由此推导出l′恒过定点．本题考查椭圆的标准方程，考查点差法的运用，考查分类讨论的数学思想，正确运用点差法是解题的关键，属于中档题。
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高二数学期末考试卷（理科） 、选择题（本大题共 11小题，每小题3分，共 33分) 1、与向量a （1, 3,2）平行的一个向量的坐标是（
A . ( 1 , 1, 1) 3 1 3 C.(——,—, 2 2
B. (-1,— 3, 2)
1) D. (2，一 3
,— 2 , 2 )
2、设命题 p :方程x2 3x 1 0的两根符号不同; 命题 q :方程x2 3x 0的两根之
3、
和为3, 判断命题“ p q
”为假命题的个数为
C. 2
“a>b>0” 是“ abv a2 b2 ”
A .充分而不必要条件 C •充要条件 B •必要而不充分条件 D .既不充分也不必要条件
2 x
4、椭圆— m
1的焦距为2，则m的值等于
（ A . 5 B .8 C. 5 或 3 D . 5 或 8
* * 已知空间四边形 OABC 中，OA a,OB b,OC c ，点M在OA上,
N为BC中点, 则MN =( ) 1 ' 2' 1 ' 2 - 1 1 .
A. - a b c B . a b c 2 3 2 3 2 2
1 " 1 ■ 1 2「 1 r C. — a b c D . - a b c
2 2 2 3 3 2
抛物线y 4x2 上的一点 M到焦点的距离为 1,则点 M的纵坐标为（
且
) 5、 6、 OM=2MA ,
17 A. 16
7、已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线 心率为（
15 B .
16 D
. x + 2y— 3 = 0,则该双曲线的离
A.5 或 5 4
8、若不等式 A. a 1
B. 5或乜 2
|x— 1| 是
B. a 3
C. 2
0C. a 1
D.5 或- 3
的取值范围是（ D. a 3 9、已知a (1 t,1 t,t),b (2,t,t)
, 则| a b |的最小值为 （
） 2 c. 35 5 11
D.— 5
10、已知动点 P(x、 y)满足 10
(x
2 2
1)2 (y 2)2 |3x+ 4y+ 2|,则动点P的轨迹是 （）
A •椭圆 双曲线 C .抛物线 D .无法确定
11、已知 P是椭圆
25
1上的一点， O是坐标原点， F是椭圆的左焦点且
OQ 1(OP OF）, |OQ| 4，则点P到该椭圆左准线的距离为（
A.6 B.4 C.3 5 D.- 高二数学期末考试卷（理科）答题卷
、选择题（本大题共 11小题，每小题3分，共33分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案］
、填空题（本大题共 4小题，每小题3分，共12分） 12、命题: x R, x2 x 1 0的否定是
其中真命题的序号为 _ 三、解答题（本大题共 6小题，共55 分）
17、（本题满分8分）已知棱长为1的正方体ABCD- A1B1C1D1，试用向量法求平面 A1BC1 与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值。
13、若双曲线 x2 4y2 4的左、右焦点是 F1、F2，过F-
i的直线交左支于 A、B两点，
若 |AB|=5， 则厶AF2B
的周长是
14、若 a (2,3, 1), b ( 2,1,3）,则a,b
为邻边的平行四边形的面积为
15、以下四个关于圆锥曲线的命题中： ①设A、B为两个定点，k为正常数， 2 2 y 「 x 2
1与椭圆 y 9 35
mjn uuri |PA| |PB| k,则动点 P
的轨迹为椭圆;
2 x
② 双曲线 25
③ 方程2x2
1有相同的焦点;
5x 2 0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
5 的点的轨迹方程为 4 16
④和定点A（5,0）及定直线l : x 25的距离之比为 4
x2
16、（本题满分 8 分) 2 人 x
已知命题p:方程 ■ 2m
1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q:
2 双曲线— 5
x2 1的离心率e （1,2），若p, q只有一个为真，求实数 m的取值范围. A1
18、(本题满分8分) 3 I—
(1) 已知双曲线的一条渐近线方程是 y x ,焦距为2. 13 ,求此
双曲线的标准方程; 2 2
—1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆标准方程。
9
19、(本题满分10分)如图所示，直三棱柱 ABC — A1B1C1中，CA=CB=1，/ BCA=90 2 (2)求以双曲线丿一
16 棱AA1=2, M、N分别是A1B1、A1A的中点. C1 B1
M A1
(1 )求BN的长; (2) 求 cos< BA^, CB1 >的值; (3) 求证：AIB 丄 CiM.
20、
(本题满分10分)如图所示，在直角梯形 ABCD中，
曲线段DE上任一点到 A、B两点的距离之和都相等. (1 )建立适当的直角坐标系，求曲线段 DE的方程; (2 )过C能否作一条直线与曲线段 DE相交，且所 得弦以C为中点，如果能，求该弦所在的直线 的方程；若不能，说明理由.
21、(本题满分11分)若直线I: x my c 0与抛物线y2 是坐标原点。
|AD| = 3, |AB|= 4, |BC|= . 3 , 2x交于A、B两点，O点 (1) 当 m=— 1,c= — 2 时，求证：0A 丄 OB ; (2) 若0A丄0B，求证：直线I恒过定点；并求出这个定点坐标。 ⑶当0A丄0B时，试问△ OAB的外接圆与抛物线的准线位置关系如何？证明你的结论。
高二数学(理科)参考答案： 4、C 5、B 6、B 7、B 8、D 9、C 10、A1 、C 2、C 3、 A 15 2 ) 11、D 12、 x R,x2 x 1 0 13、18 14、6、. 5 15、②③ 1 1 16、p:0真，贝U m
3 3
故m的取值范围为1 m 15
3
17、如图建立空间直角坐标系， A1C1 =(- 1 , 1, 0), AB =( 0, 1 , - 1)
设n1、n2分别是平面 A1BC1与平面ABCD 由| m AB 0 可解得m =( 1, -n AG 0
易知山=(0, 0, 1),
…BA1 =( 1, — 1,2), CB1 = (0, 1,2), BA1 ' CB1 =3 ,
|BA|= 6 , |CBj= 5
••• cos< BA , CB1 >=里週 1 ,30. |BA1 | |CB1 | 10
(3) 证明：依题意，得 C1 (0, 0, 2)、M (丄，丄, 2 2
2 x 18、 (1) 2
y
2
1或—
2 x 1 ；
(2) 2 x 2
y 1
4 9 9 4 9 25
19、
如图，建
立 〕空间直角坐标
系 O
— xyz.
(1)依题意得 B (0, 1, 0)、 N (1, 0, 1)
• |BN |= .. (1 0)2 (0 1) 2 (1 0)2 3
.
所以平面A1BC1与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为 (2)依题意得 A1 ( 1, 0, 2)、B (0, 1, 0)、C (0, 所以，cos：R|, n2
n1 n2 3
0, 0)、B1 (0, 1, 2)