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理论力学第9章
重点与难点
重点：求解质点和平动刚体的两类动力学问题 难点：理解惯性坐标系与非惯性坐标系
§ 9-1 动力学的基本定律
质点动力学的基础是牛顿三大定律 第一定律 (惯性定律) 不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。 ——惯性 第二定律（力与加速度之间关系定律） d (mv ) F dt 在经典力学范围内，质点的质量是守恒的，因此有：
例9-3 已知：一圆锥摆,如图所示。质量m=0.1kg 的小球系 于长 l=0.3 m 的绳上,绳的另一端系在固定点O,并与 60 铅直线成 角。 求：如小球在水平面内作匀速圆周运动，小球 的速度与绳的张力。
解： 以小球为研究的质点
选取在自然轴上投影的运动微 分方程，得： v2 m F sin θ F cos mg 0 ρ 其中：ρ l sin θ mg F 1.96 N cos
动力学
导言
动力学:研究物体的机械运动与作用力之间的关系 动力学的基本问题大致分为两类： 1.已知运动求力； 2.已知力求运动。 具体学习以下内容： 质点动力学基本方程； 普遍定理：动量定理、动量矩定理、动能定理； 达朗贝尔原理； 虚位移原理
力学模型
1. 质点：具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以 忽略不计的物体。 例如：研究卫星的轨道时，卫星 —— 质点 刚体作平动时，刚体 —— 质点
1.已知质点的运动规律，求作用于质点上的力
求两次导数得到质点的加速度，代入质点的 运动微分方程中，即可求解——求微分问题 2.已知质点上所受的力，求质点的运动规律 按作用力的函数规律进行积分，并根据具体 问题的运动条件确定积分常数——求积分问题
3.混合问题：第一类与第二类问题的混合.
例9-1 已知：曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速度
重点：求解质点和平动刚体的两类动力学问题 难点：理解惯性坐标系与非惯性坐标系
§ 9-1 动力学的基本定律
质点动力学的基础是牛顿三大定律 第一定律 (惯性定律) 不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。 ——惯性 第二定律（力与加速度之间关系定律） d (mv ) F dt 在经典力学范围内，质点的质量是守恒的，因此有：
例9-3 已知：一圆锥摆,如图所示。质量m=0.1kg 的小球系 于长 l=0.3 m 的绳上,绳的另一端系在固定点O,并与 60 铅直线成 角。 求：如小球在水平面内作匀速圆周运动，小球 的速度与绳的张力。
解： 以小球为研究的质点
选取在自然轴上投影的运动微 分方程，得： v2 m F sin θ F cos mg 0 ρ 其中：ρ l sin θ mg F 1.96 N cos
动力学
导言
动力学:研究物体的机械运动与作用力之间的关系 动力学的基本问题大致分为两类： 1.已知运动求力； 2.已知力求运动。 具体学习以下内容： 质点动力学基本方程； 普遍定理：动量定理、动量矩定理、动能定理； 达朗贝尔原理； 虚位移原理
力学模型
1. 质点：具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以 忽略不计的物体。 例如：研究卫星的轨道时，卫星 —— 质点 刚体作平动时，刚体 —— 质点
1.已知质点的运动规律，求作用于质点上的力
求两次导数得到质点的加速度，代入质点的 运动微分方程中，即可求解——求微分问题 2.已知质点上所受的力，求质点的运动规律 按作用力的函数规律进行积分，并根据具体 问题的运动条件确定积分常数——求积分问题
3.混合问题：第一类与第二类问题的混合.
例9-1 已知：曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速度
9)动力学基本方程
§9-1 动力学的基本定律
牛 顿
牛顿三定律
第一定律——惯性定律
不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线 运动，即保持其原有的速度不变，这种性质称为 惯性，任何物体都具有惯性 力是改变运动的原因
第九章 动力学基本方程
第二定律——力与加速度关系定律
F ma
质点的质量和加速度的乘积，等于作用于质点 的力的大小，加速度的方向与力的方向相同 微分形式
1、正确选择研究对象，一般选联系已知量和待求量的质点
2、在一般位置上进行受力分析，画出受力图
3、进行运动分析，找出质点运动的特征量 4、选择适当的坐标系建立质点的运动微分方程
第九章 动力学基本方程
例题9-1
半径为R的偏心轮绕轴O以匀角速度ω转动，
推动导板沿铅直轨道运动，导板顶部放一质量为m的物块A， 设偏心距OC = e，开始时OC沿水平线。求物块对导板的最 大压力以及使物块不离开导板的ω最大值
dv 直接分离变量 再积分 dt
若力是位置的函数
dv dv 先置换变量 ，再分离变量并积分 v dt ds
2、应用运动初始条件确定积分常数，求出问题的确切解
第九章 动力学基本方程
例题9-3 滑块C质量为m，由绳子牵引沿水平导轨滑动，绳 子拉力F大小不变，已知OA= l，OB=2l，初始瞬时物块
位于B点，在拉力作用下由静止开始向左运动，不计摩
擦，求任意时刻物块速度的大小v与距离x之间的关系
第九章 动力学基本方程
例题9-4
质量均为m的A、B两物体以无重杆光滑铰链，
置于光滑的水平及铅垂面上，当 300时自由释放，求此 瞬时AB杆所受的力
y
A
B
x
第九章 动力学基本方程
理论力学 第11章 质点运动微分方程
必须指出，牛顿定律中涉及到物体的运动与作用在 物体上的力。显然，物体及其所受的力不因参考系的选 择而改变，但同一物体的运动在不同的参考系中的描述 可能是完全不同的，这就存在着根本性的矛盾。这决定 了牛顿定律不可能适用于一切参考系，而只能适用于某 些参考系。凡牛顿定律成立的参考系，称为惯性参考系。 凡牛顿定律成立的参考系，称为惯性参考系 凡牛顿定律成立的参考系
2 d 2ρ dϕ m 2 −ρ = Fρ dt dt 2 d ρ dϕ d ϕ m 2 + ρ 2 = Fϕ dt dt dt
（11.6）
这就是极坐标形式的质点运动微分方程。
11.3 质点动力学的两类基本问题
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两 类基本问题。 第一类基本问题 已知质点的运动规律，即已知质点 的运动方程或质点在任意瞬时的速度或加速度，求作用 在质点上的未知力。这一类问题可归结为数学中的微分 问题。 求解该问题比较简单。若已知质点的运动方程，则 只须将它对时间求两次导数即可得到质点的加速度，代 入适当形式的质点运动微分方程，得到一个代数方程组， 求解这个方程组即可得到所求的未知力。
11.1 动力学基本定律
质点动力学的基本定律是牛顿在总结前人特别是伽 利略的研究成果的基础上，1687年在其著作《自然哲学 的数学原理》中提出来的，通常称为牛顿三定律 牛顿三定律。这些 牛顿三定律 定律是动力学的基础。
11.1 动力学基本定律
第一定律 任何质点都保持其静止的或作匀速直线运 动的状态， 动的状态，直到它受到其他物体的作用而被迫改变这 种状态为止。 种状态为止 质点保持静止或匀速直线运动状态的属性称为惯性 惯性， 惯性 质点作匀速直线运动称为惯性运动，因此第一定律又称 惯性运动， 惯性运动 惯性定律。此定律表明：质点必须受到其他物体的作用 惯性定律 时，也就是受到外力的作用时，才会改变其运动状态， 即外力是改变质点运动状态的原因 外力是改变质点运动状态的原因。 外力是改变质点运动状态的原因
2 d 2ρ dϕ m 2 −ρ = Fρ dt dt 2 d ρ dϕ d ϕ m 2 + ρ 2 = Fϕ dt dt dt
（11.6）
这就是极坐标形式的质点运动微分方程。
11.3 质点动力学的两类基本问题
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两 类基本问题。 第一类基本问题 已知质点的运动规律，即已知质点 的运动方程或质点在任意瞬时的速度或加速度，求作用 在质点上的未知力。这一类问题可归结为数学中的微分 问题。 求解该问题比较简单。若已知质点的运动方程，则 只须将它对时间求两次导数即可得到质点的加速度，代 入适当形式的质点运动微分方程，得到一个代数方程组， 求解这个方程组即可得到所求的未知力。
11.1 动力学基本定律
质点动力学的基本定律是牛顿在总结前人特别是伽 利略的研究成果的基础上，1687年在其著作《自然哲学 的数学原理》中提出来的，通常称为牛顿三定律 牛顿三定律。这些 牛顿三定律 定律是动力学的基础。
11.1 动力学基本定律
第一定律 任何质点都保持其静止的或作匀速直线运 动的状态， 动的状态，直到它受到其他物体的作用而被迫改变这 种状态为止。 种状态为止 质点保持静止或匀速直线运动状态的属性称为惯性 惯性， 惯性 质点作匀速直线运动称为惯性运动，因此第一定律又称 惯性运动， 惯性运动 惯性定律。此定律表明：质点必须受到其他物体的作用 惯性定律 时，也就是受到外力的作用时，才会改变其运动状态， 即外力是改变质点运动状态的原因 外力是改变质点运动状态的原因。 外力是改变质点运动状态的原因
动力学基本方程
的状态，直至它受到其它物体的作用而被迫改 变这种状态时为止。
（这里所说的物体应理解为没有转动或其 转动可以不计的平动物体，即质点）
惯性——任何物体在不受力作用时都有保持其 运动状态不变的属性，物体的运动这一运动属 性称为惯性。 第一定律正是指出了这种属性，所以又叫惯性 定律。 惯性运动——物体的匀速直线运动就称为惯性
运动学——只研究物体作机械运动的几何特征， 只考虑了运动，不考虑引起物体机械 运动状态发生变化的原因，即不考虑 物体的受力状况。
动力学——既研究物体上受力的情况，也需考虑 其运动，静力学和运动学都是动力学 的基础。
事实上，各种物体之间的机械运动状态的 变化与物体的的存在着极为密切的联系而不可 分离，所以单纯只研究受力和研究运动都不能 对机械运动作出合理的研究，必须同时将力与 运动联系起来，加以统一研究，所以学习动力 学就更具有重要性；
不同单位（公斤力与牛）之间的转换关系式。
在工程单位制中，质量的单位为： 1工程质量单位
——将在1公斤(力)的作用下能获得1m/s2 的 加速度的物体所具有的质量称为1质量的单位。 1工程质量单位＝1公斤（力）•秒2／米
＝9.8N•s2/m=9.8Kg ———该式为质量的两种不同单位的换算关系
采用工程单位制时，如已知受力物体的重量p （以公斤为单位），则其质量为p/g。
3. 两类基本问题
(1) 已知运动求力：（主要是指求约束反力） 例如：曲柄滑块机构，其运动规律可以求得，
或者首先设计出来，故作用在滑块上的蒸汽压力 应按一定的要求变化。 （2）已知力求运动
如发射炮弹，飞机航行等受力已知，但发射 炮弹要控制弹道曲线，飞机航行要控制运行的轨 迹等，这就要求控制运动。
又如起重机吊重，起步与制动时，作 加速运动，运行过程中作匀速运动，所以 在起步和制动过程中，要考虑由加速和减 速引起的力，钢绳是否能承受这个力，这 就是已知运动要求力的问题。
（这里所说的物体应理解为没有转动或其 转动可以不计的平动物体，即质点）
惯性——任何物体在不受力作用时都有保持其 运动状态不变的属性，物体的运动这一运动属 性称为惯性。 第一定律正是指出了这种属性，所以又叫惯性 定律。 惯性运动——物体的匀速直线运动就称为惯性
运动学——只研究物体作机械运动的几何特征， 只考虑了运动，不考虑引起物体机械 运动状态发生变化的原因，即不考虑 物体的受力状况。
动力学——既研究物体上受力的情况，也需考虑 其运动，静力学和运动学都是动力学 的基础。
事实上，各种物体之间的机械运动状态的 变化与物体的的存在着极为密切的联系而不可 分离，所以单纯只研究受力和研究运动都不能 对机械运动作出合理的研究，必须同时将力与 运动联系起来，加以统一研究，所以学习动力 学就更具有重要性；
不同单位（公斤力与牛）之间的转换关系式。
在工程单位制中，质量的单位为： 1工程质量单位
——将在1公斤(力)的作用下能获得1m/s2 的 加速度的物体所具有的质量称为1质量的单位。 1工程质量单位＝1公斤（力）•秒2／米
＝9.8N•s2/m=9.8Kg ———该式为质量的两种不同单位的换算关系
采用工程单位制时，如已知受力物体的重量p （以公斤为单位），则其质量为p/g。
3. 两类基本问题
(1) 已知运动求力：（主要是指求约束反力） 例如：曲柄滑块机构，其运动规律可以求得，
或者首先设计出来，故作用在滑块上的蒸汽压力 应按一定的要求变化。 （2）已知力求运动
如发射炮弹，飞机航行等受力已知，但发射 炮弹要控制弹道曲线，飞机航行要控制运行的轨 迹等，这就要求控制运动。
又如起重机吊重，起步与制动时，作 加速运动，运行过程中作匀速运动，所以 在起步和制动过程中，要考虑由加速和减 速引起的力，钢绳是否能承受这个力，这 就是已知运动要求力的问题。
《大学物理》第2章 质点动力学
TM
Tm
2Mm M m
g
a
ar
M M
m m
g
a
FM
TM
ar
F m
Tm m
a
M PM
ar
Pm
注：牛顿第二 定律中的加速 度是相对于惯 性系而言的 。
例2 在倾角 θ 30 的固定光滑斜面上放一质量为
M的楔形滑块，其上表面与水平面平行，在其上 放一质量为m的小球， M 和m间无摩擦，
且 M 2m 。
解：以弹簧原长处为坐标原点 。
Fx kx
F Bm A
元功：
O xB x
xA x
dW Fx dx kxdx
dx
弹力做功：W
xB xA
kxdx
1 2
kxA2
1 2
kxB2
2.3.4 势能 Ep
W保 Ep Ep0 Ep
Ep重 mgh
牛顿 Issac Newton（1643－1727） 杰出的英国物理学家,经 典物理学的奠基人.他的 不朽巨著《自然哲学的数 学原理》总结了前人和自 己关于力学以及微积分学 方面的研究成果. 他在光 学、热学和天文学等学科 都有重大发现.
第2章 质点动力学
2.1 牛顿运动定律 2.1.1 牛顿运动定律
1 牛顿第一定律（惯性定律） • 内容：一切物体总保持静止状态或匀速直线运动 状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止。 • 内涵： 任何物体都有保持静止或匀速直线运动状态的趋势。 给出了力的定义 。 定义了一种参照系------惯性参照系。
非惯性参照系：相对于已知的惯性系作变速运动 的参照系。
惯性定律在非惯性系 中不成立。
2．2 动量定理 动量守恒定律
质点动力学
质点动力学
t t0
Fi
dt
n
mi vi
n
mi vi0
i 1
i 1
其分量式： t t0
Fixdt
mivix
mi
vi
0
x
t t0
Fiydt
miviy
mi
vi
0
y
t t0
Fizdt
miviz
mivi0 z
此式表明，外力矢量和在某一方向的冲量等于 在该方向上质点系动量分量的增量。
1）动量定理说明，质点动量的改变是由外力和 外力作用时间两个因素，即由冲量决定的。
2）冲量的方向不是与动量的方向相同，而是与 动量增量的方向相同。
质点动力学
3） 动量定理 P 是矢量式，其直角坐标
的分量式为：
I Ixi Iy j Izk
I x
t2 t1
Fx
dt
mv2 x
mv1 x
2）若合外力不为 0，但在某个方向上合外力分量 为 0，则在该方向上动量守恒。
ΣFix 0 , ΣFiy 0 , ΣFiz 0 ,
px mi vix C x p y mi viy C y pz mi viz C z
质点动力学
3）自然界中不受外力的物体是没有的，但如果系 统的内力 >> 外力，可近似认为动量守恒。在碰 撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程中， 往往可忽略外力。
1、恒A 力F直c线os运 动| 的rr |功：F
Δr
r
r
F
F
θ
位移无限小时：dA
r F
drr
Δr
dA F cos drv F cosds = Fτ ds
大学物理(第三版)北京邮电大学 教学PPT 绪论与第一章-质点运动学
消去t，得轨道方程
x 2 y 2 R2
22
二、位移r
1、定义 ：由起始位臵指向终了位臵的有向线段；△t时间 内位臵矢量的增量
Z
S
A
A
B
r
r1
X
r
r2
r1
Y
r1
B
r2
r r2 r2 r1
r r2 r1 r | r2 | | r1 | 直角坐标系中 r xi yj zk
vA
v
o
vB
v a t
2 v dv d r a lim 2 t 0 t dt dt
28
2、加速度在直角坐标系中
dv dv x dv y dvz a i j k dt dt dt dt
d 2 x d 2 y d 2z 2 i 2 j 2 k dt dt dt
5
绪
论
物理学是关于自然界最基本形态的科学。它研究物质的结 构，相互作用以及物质的运动。
一、物理学的研究对象
1、研究物质的两种形态
实物和场是物质的两种基本形态 ▲关于实物物质结构
实物包括微观粒子和宏观物体，它的范围是从基本粒子的亚 核世界到整个宇宙。
▲关于场物质结构 例如：电磁场、引力场、各种介子场。
7
三、物理学的发展历程
经典物理、近代物理、现代物理
四、物理学的意义
1、物理学是一切自然科学的基础； 2、物理学推动技术革命和社会文明。
8
大学物理
第一篇 第二篇 第三篇 第四篇 第五篇 力学基础 热 学 电 磁 学 波动光学 量子物理
9
010第十章 质点动力学
第10章 质点动力学动力学研究作用于物体上的力和物体运动之间的关系。
在动力学问题研究中，不仅要用到静力学中有关力系的简化和受力分析方面的知识，也要用到运动学中有关物体运动分析方面的知识。
因此，静力学和运动学是动力学的基础。
动力学研究的力学模型是质点和质点系。
质点是具有一定质量而几何形状和尺寸可以忽略不计的物体。
当物体的几何形状和尺寸对所研究的问题影响很小时，就可以将该物体抽象为质点，这样可以使问题的研究简化。
质点系是由有限个或无限个质点组成的系统。
刚体是一个特殊的质点系，它由无限个质点组成，并且任意两点间的距离保持不变。
动力学的内容极其丰富，动力学在工程技术中的应用也极为广泛，例如各种机器、机构、结构的设计，航空和航于技术等，都要用到动力学的知识。
研究动力学问题有很多方法，如建立物体的运动微分方程的方法、动力学普遍定理的方法，以及动静法等。
每个内容的研究都从质点入手，然后再过渡到质点系的研究。
§10-1 动力学的基本定律例1.三角形块置于光滑水平面上并以水平加速度a 向右运动。
另一物体置于其斜面上，斜面的倾角为θ。
若物体与斜面之间的摩擦系数为f ，且t a n f θ>，如要保持物体在斜面上不滑动，求加速度a 的最大值及最小值。
图10-1解：根据题设条件tan tan m f θϕ>=，m ϕ为摩擦角，即m θϕ>，故当三角形块不滑动时物体不会静止于斜面上。
（a ）求min a ，当斜面以最小加速度向右运动时，物体还会有沿斜面下滑的趋势，因此，对物体来说，摩擦力F 应沿斜面向上，如图。
写出牛顿定律在,x y 方向的投影式，可得min sin cos ma N F θθ=- (a)cos sin y ma N F mg θθ=+- (b)当斜面向右运动的加速度为最小值时，这时的摩擦力F 显然达到最大值，即有F fN = (c) 因要求物体在斜面上不动，故有0y a = (d) 将(c)(d)代入(b)，解出N ，然后再代入(a)可得min sin cos cos sin f a g f θθθθ-=⋅+ （b ）求max a ，当斜面以最大加速度向在运动时，物体有沿斜面向上滑动的趋势，因此，对物体来说，摩擦力F 应沿斜面向下，如图。
第11章动力学基础(牛顿定律质点的运动微分方程).
动力学两 类基本问 题：
(1) 已知运 动求力； (2) 已知力 求运动。
ma F
此外，尚有虚位移原理（分析力学一部分）——用动力学方法求解静力学 问题。
6
（动）力学原理分类：
先了解一下
微分 形式 力学 原理 积分 形式
非变分形式（如牛顿定律、普遍定理、 达朗伯原理、拉氏方程） 变分形式（如虚位移（功）原理、动力 学普遍方程） 非变分形式（如普遍定理、能量守恒原理） 变分形式（如哈密顿原理）
8
三、质点运动微分方程（动力学基本方程）（指惯性参考系下）
即牛二定律的微分形式： ma F
d 2r 矢径式 m 2 F dt
d2 x m 2 X dt 2 d 直角坐标式 m y Y 2 dt d2 z m 2 Z dt
d2s m 2 F dt 2 v 自然坐标式 m Fn 0 Fb
作业：11-3, 11-4
10
如此诸多名称，你一下子记不住，可以在后面学习中 慢慢理解。
7
第11章 动力学基础(牛顿定律 质点的运动微分方程)
牛顿三大定律——动力学的理论基础（相当于静力学的公理）
复习或简介以下内容：
一、牛顿三大定律： 请同学叙述，请其他同学回答叙述是否正确。
问题：牛顿定律对刚体是否成立？
二、（运动）参考系：
提问：①什么是惯性参考系和非惯性参考系？一般如何确定惯性参考系？
4
哲 学 家 云： 静止是相对的，运动是绝对的 物理学家云：静止是相对的，运动也是相对的
运动学——仅从几何角度 研究 物体 的 运动规律。
（动）点 刚体 (无质量) 绝对法 合成法 点的 运动 学
大学物理简明教程赵近芳质点动力学
与墙碰撞后以原速率弹回。且碰撞前后的运动方向和 墙的法线所夹的角都是? ，设球和墙碰撞的时间Δt＝ 0.05 s， ? ＝60°，求在碰撞时间内，球和墙的平均 相互作用力。
m? 1
m?2
?
N
x
?
? (mv) ? f ? t
解：以球为研究对象.设墙对球的平均作用力为 f ，球
在碰撞前后的速度为v1和v2，由动量定理可得
2.2 动量 动量守恒定律
整个物理学大厦的基石 ,三大守恒定律：
动量守恒定律
能量转换与守恒
角动量守恒
一.质点的动量定理 定义: 质点的动量 —
p? ? m??
△ 状态矢量
定义:
△ 相对量
? t?
? 力的冲量 — I ? F ?dt t0
若一个质点，所受合外力为
? F
? F
?
d (m??)
?
? dp
f ? t ? m? 2 ? m?1 ? m? v
将冲量和动量分别沿图中 N和x两方向分解得
fx? t ? m? sin ? ? mv sin ? ? 0
fN ? t ? m? cos ? ? (? mv cos ? ) ? 2mv cos ?
解方程得
fx ? 0
fN
? 2mv cos ?
?t
? 2 ? 0.20 ? 5 ? 0.5 ? 20 N 0.05
分析受力 隔离体受力如图所示.
列出方程
m2
T1
T2
T
a1
a2
取a1向上为正方向，则有 T 1－m 1g＝m 1a1
m 1g
①
m2g
T
/ 1
T
/ 2
以a2向下为正方向，则有
m? 1
m?2
?
N
x
?
? (mv) ? f ? t
解：以球为研究对象.设墙对球的平均作用力为 f ，球
在碰撞前后的速度为v1和v2，由动量定理可得
2.2 动量 动量守恒定律
整个物理学大厦的基石 ,三大守恒定律：
动量守恒定律
能量转换与守恒
角动量守恒
一.质点的动量定理 定义: 质点的动量 —
p? ? m??
△ 状态矢量
定义:
△ 相对量
? t?
? 力的冲量 — I ? F ?dt t0
若一个质点，所受合外力为
? F
? F
?
d (m??)
?
? dp
f ? t ? m? 2 ? m?1 ? m? v
将冲量和动量分别沿图中 N和x两方向分解得
fx? t ? m? sin ? ? mv sin ? ? 0
fN ? t ? m? cos ? ? (? mv cos ? ) ? 2mv cos ?
解方程得
fx ? 0
fN
? 2mv cos ?
?t
? 2 ? 0.20 ? 5 ? 0.5 ? 20 N 0.05
分析受力 隔离体受力如图所示.
列出方程
m2
T1
T2
T
a1
a2
取a1向上为正方向，则有 T 1－m 1g＝m 1a1
m 1g
①
m2g
T
/ 1
T
/ 2
以a2向下为正方向，则有