6.2、速度投影定理和速度瞬心详解
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刚体的平面运动
O
A x
vA
已知：OA匀角速度转动， , OA 求：当 60 0 时，点B的速度 解： AB作平面运动， 作出速度瞬心C
r , AB 3r
C
v A AC vB BC
BC vB vA AC v A / sin 2 r 3
vA
速度 =0。于是 图形上各点的速度在该瞬时相等, 这种情况称为瞬时平移。 特别注意瞬时平移在此瞬时各点的速度相等，刚体的角速度 为零，但各点的加速度并不相等，角加速度不等于零。
vA
O
A
vB
B
理论力学
18
例如: 曲柄连杆机构在图示位置时，连杆AB作瞬时平移。
此时连杆AB的图形角速度AB0 ，
三、平面运动方程
为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位置，
我们只需确定平面图形内任意一条线段的位置。
任意线段AB的位置可 用A点的坐标和AB与x轴夹 角表示。因此图形S 的位 置决定于 xA, yA, 三个 独立的参变量。所以
理论力学
6
xA f1(t) 平面运动方程 yA f2(t) f3(t) 对于每一瞬时 t ，都可以求出对应的 在该瞬时的位置也就确定了。
图形角速度。求 vB 。
取A为基点, 将动系铰结于A点， 动系随基点作平移。 取B为动点，则B点的运动可视为牵连运动为平移和相对 运动为圆周运动的合成，va vB;ve vA;vr vBA, 其中vBA大小：vBA=BA·；垂直BA并指向与 转向一致。 根据速度合成定理 va ve vr, 则Ｂ点速度为：
xA, yA,， 图形S
四、平面运动分解为平移和转动 当图形S 上Ａ点不动时， 则刚体作定轴转动； 当图形 S上角不变时， 则刚体作平移。 故刚体平面运动可以看成是 平移和转动的合成运动。
理论力学
1、运动分析。----说明机构中主要构件的运动形式。 2、作速度分析，需要画出相关速度，求一点速度或图形角
速度。（若要分析加速度，一般需要求图形的角速度）
画速度 （1）沿点的运动轨迹切线，与相关的角速度方向协调。
（2）要符合速度投影定理。
3、作加速度分析，需要画出相关加速度，求一点加速度 或图形角加速度。 画加速度
例8-10
如图所示，在椭圆规的机构中，曲柄OD以匀角速度ω绕O 轴转动。
OD＝AD＝BD＝l。求：当 60 时，尺AB的角加速度和点A的加速度。
B ABC AB D
O O
O
A A
vD
O
aA
n a BA
a A B
aD
v A
aD
n a AD y’ a AD
n a AD l 2
n x’ a A cos aD cos 2 a AD
y’ n a A 0 aD sin aAD cos a AD sin
x’
若OD变速转动，有什么变化？
a A l
2
a 0 AD AD
a AD 0 AD
解：
（1）动点：OA上的A点
动系：摇杆O1B
（2）运动分析： 绝对运动： 圆周运动。 相对运动： 直线运动。 牵连运动： 摇杆转动。
（3）速度分析与计算
v a r
ve
O ω
va
B vr
A ω1
vr va cos
ve va sin
r 2 O1 1 2 2 O1 A l r ve
运动分析 瞬心法
12 12 23
P14, P34
23 14 34
24
4
例2：如图示曲柄滑块机构,求该机构的全部瞬心。 如图示曲柄滑块机构,求该机构的全部瞬心。
p24
∞ p 13 p12 ↑ p34 1
∞ ↑ p34
解：
2 4
p14
p23 3
二、瞬心在速度分析上的应用 瞬心在速度分析上的应用
1.已知： 1.已知： 求：下列机构的传动比和 ω 。 已知 ω
1）、转动副联接： ）、转动副联接： 转动副联接
铰链点即为瞬心。 铰链点即为瞬心。 P12 2 1 1 P12 2
2）、移动副联接： ）、移动副联接： 移动副联接
瞬心在垂直于导路无穷远处。 瞬心在垂直于导路无穷远处。
∞
V12
P →∞ 12
2
V12
↑ P 12
1
1
2
n
3）、平面高副 平面高副： 平面高副
机构运动分析的目的和方法
解决的问题： 轨迹（角位移） 解决的问题： 轨迹（角位移） 速度（角速度） 速度（角速度） 加速度（角加速度） 加速度（角加速度） 目的： 了解现有机构的运动性能， 目的： 了解现有机构的运动性能， 为受力分析打基础。 为受力分析打基础。 方法： 瞬心法（求机构的速度和角速度） 方法： 瞬心法（求机构的速度和角速度） 1. 2. 矢量方程图解法 解析法（上机计算） 3. 解析法（上机计算）
§ 3-1 速度瞬心
(Instant center of velocity )
一、速度瞬心 速度瞬心 定义： 定义： 两个互作平面平行运动的刚体
上绝对速度相等, 上绝对速度相等, 相对速度为 零的瞬时重合点称为这两个刚 体的速度瞬心, 简称瞬心。 体的速度瞬心, 简称瞬心。 用符号P 表示。 用符号Pij表示。
P14, P34
23 14 34
24
4
例2：如图示曲柄滑块机构,求该机构的全部瞬心。 如图示曲柄滑块机构,求该机构的全部瞬心。
p24
∞ p 13 p12 ↑ p34 1
∞ ↑ p34
解：
2 4
p14
p23 3
二、瞬心在速度分析上的应用 瞬心在速度分析上的应用
1.已知： 1.已知： 求：下列机构的传动比和 ω 。 已知 ω
1）、转动副联接： ）、转动副联接： 转动副联接
铰链点即为瞬心。 铰链点即为瞬心。 P12 2 1 1 P12 2
2）、移动副联接： ）、移动副联接： 移动副联接
瞬心在垂直于导路无穷远处。 瞬心在垂直于导路无穷远处。
∞
V12
P →∞ 12
2
V12
↑ P 12
1
1
2
n
3）、平面高副 平面高副： 平面高副
机构运动分析的目的和方法
解决的问题： 轨迹（角位移） 解决的问题： 轨迹（角位移） 速度（角速度） 速度（角速度） 加速度（角加速度） 加速度（角加速度） 目的： 了解现有机构的运动性能， 目的： 了解现有机构的运动性能， 为受力分析打基础。 为受力分析打基础。 方法： 瞬心法（求机构的速度和角速度） 方法： 瞬心法（求机构的速度和角速度） 1. 2. 矢量方程图解法 解析法（上机计算） 3. 解析法（上机计算）
§ 3-1 速度瞬心
(Instant center of velocity )
一、速度瞬心 速度瞬心 定义： 定义： 两个互作平面平行运动的刚体
上绝对速度相等, 上绝对速度相等, 相对速度为 零的瞬时重合点称为这两个刚 体的速度瞬心, 简称瞬心。 体的速度瞬心, 简称瞬心。 用符号P 表示。 用符号Pij表示。
确定瞬心的方法
确定瞬心的方法
常用的是3个：
1，确定刚体上任意两点的速度方向，过这两点分别做两点速度矢量的垂线，垂线的交点即为速度瞬心。
2，轮子在固定面上纯滚动，接触点即为速度瞬心。
3，如果刚体上任意两点速度矢量大小相等，方向相同，则瞬心在无限远。
称“瞬时平动”。
在刚体平面运动中，只要刚体上任一平行于某固定平面的截面图形S(或其延伸）在任何瞬时的角速度w不为零，就必有速度为零的一点P'，称为速度瞬心。
在该瞬时，就速度分布而言，截面图形(或其延伸)好象只是在绕固定平面上重合于P'的一点P而转动，点P称为转动瞬心。
例如车轮在地面上作无滑动的滚动时，车轮接触地面的点P'就是速度瞬心，而地面上同P'相接触的点P就是转动瞬心。
由理论力学可知，互作平面相对运动的两构件上（在研究的时候，有时瞬心不在图纸所绘机构或构件上，这时可以认为相关构件是延伸或无限延伸的，研究所用构件只是现实中的构件的最简化结构形式）瞬时速度相等的重合点，即为此两构件的速度瞬心(instantaneous centre of velocity)。
速度投影
y
O1
O O
A
B
x
刚体平面运动的实例演示
8.1.2 刚体平面运动的简化
根据平面运动的定义可知，在刚体运动过程中，此平面图形必在平面II内
运动。在刚体内任取一条垂直于平面图形S的直线A1A2做平动。点A的运动代表
了A1A2上所有各点的运动。过平面图形S作无数条垂线，这无数条垂线与平面 图形有无数个交点，这无数个交点的运动代表了无数条直线的运动。刚体的平
BA
A
vA
解：杆AB做平面运动，先进行速度分析，以A为基点分析点B的速度。
vB vA tan
故杆AB的角速度为
vBA vA / cos
AB
vBA
BA
vA l cos
然后再进行加速度分析和计算，以A为基点分析点B的加速度。
n 列 aBA 方向的投影方程
n aB cos aAcos(90 ) aBA
故由点D的速度合成图，可知 vDA vA 0 (r1 r2 ) ,故轮II的角速度为
II
由B、C两点的速度合成图，有
2 2 vB v A vBA
20 (r1 r2 )
vC vA vCA 0 (r1 r2 )
0 (r1 r2 )
r2
vBx 3 0 r，vBy 3 0 r， AB 3 0， BC 2 0
y
C A D
B
30
0
a BC
aBA
30
n a BC
O
0
30
n a BA
B
n aA
n aC
x
，
再由加速度合成图可知：
第6章刚体的平面运动
(a)
(b)
25
⑤已知某瞬时图形上A,B两点的速度方向相 同，且不与AB连线 垂直。 此时, 图形的瞬心在无穷远处,图形的角 速度 =0, 图形上各点速度相等, 这种情况称 为瞬时平动。 (此时各点的加速度不相等)
对④(a)的情况，若vA＝vB，
也是瞬时平动．
26
例如: 曲柄连杆机构在图示位置时，连杆BC作瞬时平动。 此时连杆BC的图形角速度
车轮绕基点的转动(相对运动)
15
16
2.平面运动的分解与基点选择的关系
①平面图形随基点的平动与基点的选择有关。
②平面图形绕基点的转动与基点的选择无关。 证明： 在平面图形上取任意两直线O'P、O'' P' ， 二者夹角为a， 则a =常量。 以O'为基点，作平动坐标系O'x'y'， 设O'P与x'的夹角为，则图形绕O'点转 动的角速度和角加速度分别为：
o
取长度 OI
vO / 则： vIO OI vO 方位⊥IO，指向与vO 相反。所以
vI=0
22
即在某一瞬时必唯一存在一点速度等于零，该点称为平 面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心（I）． ３．速度瞬心又称为瞬时转动中心 设某瞬时平面图形的角速度为， 速度瞬心在I点。以I点为基点，有：
vC 3 0 vB sin 60 r 0 2
()
34
§6-4 平面图形内各点的加速度
一. 基点法 (合成法) 已知：图形S 内一点A 的加速度 a A 和图形 的 , （某一瞬时）。 求： 该瞬时图形上任一点B的加速度。
取A为基点，将平动坐标系铰接于A点， 取B动点，则B点的运动分解为相对运动 为圆周运动和牵连运动为平动．
(b)
25
⑤已知某瞬时图形上A,B两点的速度方向相 同，且不与AB连线 垂直。 此时, 图形的瞬心在无穷远处,图形的角 速度 =0, 图形上各点速度相等, 这种情况称 为瞬时平动。 (此时各点的加速度不相等)
对④(a)的情况，若vA＝vB，
也是瞬时平动．
26
例如: 曲柄连杆机构在图示位置时，连杆BC作瞬时平动。 此时连杆BC的图形角速度
车轮绕基点的转动(相对运动)
15
16
2.平面运动的分解与基点选择的关系
①平面图形随基点的平动与基点的选择有关。
②平面图形绕基点的转动与基点的选择无关。 证明： 在平面图形上取任意两直线O'P、O'' P' ， 二者夹角为a， 则a =常量。 以O'为基点，作平动坐标系O'x'y'， 设O'P与x'的夹角为，则图形绕O'点转 动的角速度和角加速度分别为：
o
取长度 OI
vO / 则： vIO OI vO 方位⊥IO，指向与vO 相反。所以
vI=0
22
即在某一瞬时必唯一存在一点速度等于零，该点称为平 面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心（I）． ３．速度瞬心又称为瞬时转动中心 设某瞬时平面图形的角速度为， 速度瞬心在I点。以I点为基点，有：
vC 3 0 vB sin 60 r 0 2
()
34
§6-4 平面图形内各点的加速度
一. 基点法 (合成法) 已知：图形S 内一点A 的加速度 a A 和图形 的 , （某一瞬时）。 求： 该瞬时图形上任一点B的加速度。
取A为基点，将平动坐标系铰接于A点， 取B动点，则B点的运动分解为相对运动 为圆周运动和牵连运动为平动．
东北大学理论力学第八章 刚体的平面运动
E
30
vE
B
60
vD vB
C
A
O
vA
vB cos30 vA vB 0.23 m/s
Northeastern University
第八章 刚体的平面运动1Leabharlann 刚体平面运动的概述和运动分解
2 3
求平面图形内各点速度的基点法 求平面图形内各点速度的瞬心法 用基点法求平面图形内各点的加速度
4
5
运动学综合应用举例
Northeastern University
§8-1
刚体平面运动的概述和运动分解
§8-2
求平面图形内各点速度的基点法
例8-3 图示曲柄连杆机构,OA=r,AB= 3r。如曲柄OA以匀角速 度ω转动,求当α=60°,0°和90°时滑块B的速度。
α=90°
大小 方向
vB v A vBA
？ √ √ √ ？ √
vA
A
O
v A r
vBA 0
vA vB
Northeastern University
§8-2
求平面图形内各点速度的基点法
一、基点法
基点：O' 平移坐标系：O'x'y' 牵连运动：随O'点的平移 相对运动：绕O'点的圆周运动
O
y
y'
vMO'
vM
vO '
M
vO '
O'
x'
x
绝对运动： 两个运动的合成
v O'M va ve vr vM vO' vMO' O '
理论力学第八章平面运动
基点：C
r vM
r vMC
r
uuuur CM
• 速度瞬心的确定方法
已知 vA ,的vB方向， 且 v不A 平行于 v。B
vrA // vrB ,且不垂直于AB
vrB
vvrrBBvArAvr0AvrABvrMAB
0
瞬时平移(瞬心在无穷远处)
纯滚动(只滚不滑)约束
找出下列平面运动刚体的速度瞬心。 A
第八章 刚体平面运动
1、刚体平面运动的定义及运动方程 2、刚体平面运动分解为随基点平动和绕基点转动 3、平面运动图形上点的速度分析 4、平面运动图形上点的加速度分析
1、刚体平面运动的定义
若刚体在运动过程中，刚体上的任意一点与 某一固定平面始终保持相等的距离，这种运 动称为平面运动。
刚体平面运动特点
刚体上所有各点均在平行于某固 定平面的平面内运动。
刚体的平面运动，可以简化为平面 图形在其自身平面内的运动来研究。
平面图形 S 的位置可用其上任一 线段如AB 来确定，线段AB的位 置又可用A 点的坐标 xA 、yA 和 线段AB与 x 轴的夹角 φ 来确定。 点 A 称为基点。
刚体平面运动方程
当平面图形 S 运动时，坐标 xA 、
yA 和夹角 φ 一般都是随时间 t 而 变化的，分别为时间 t 的单值连
续函数，即
xA f1 (t)
y A f 2 (t)
f3 (t)
这就是平面图形S 的运动方程，也就是刚体平面运动的运动方程。
2、刚体平面运动分解为随基点平动和绕基点转动
xO f1 t
1.5rad
/
s
BC
vB BC
2.25rad
/s
vA
2）瞬心法
r vM
r vMC
r
uuuur CM
• 速度瞬心的确定方法
已知 vA ,的vB方向， 且 v不A 平行于 v。B
vrA // vrB ,且不垂直于AB
vrB
vvrrBBvArAvr0AvrABvrMAB
0
瞬时平移(瞬心在无穷远处)
纯滚动(只滚不滑)约束
找出下列平面运动刚体的速度瞬心。 A
第八章 刚体平面运动
1、刚体平面运动的定义及运动方程 2、刚体平面运动分解为随基点平动和绕基点转动 3、平面运动图形上点的速度分析 4、平面运动图形上点的加速度分析
1、刚体平面运动的定义
若刚体在运动过程中，刚体上的任意一点与 某一固定平面始终保持相等的距离，这种运 动称为平面运动。
刚体平面运动特点
刚体上所有各点均在平行于某固 定平面的平面内运动。
刚体的平面运动，可以简化为平面 图形在其自身平面内的运动来研究。
平面图形 S 的位置可用其上任一 线段如AB 来确定，线段AB的位 置又可用A 点的坐标 xA 、yA 和 线段AB与 x 轴的夹角 φ 来确定。 点 A 称为基点。
刚体平面运动方程
当平面图形 S 运动时，坐标 xA 、
yA 和夹角 φ 一般都是随时间 t 而 变化的，分别为时间 t 的单值连
续函数，即
xA f1 (t)
y A f 2 (t)
f3 (t)
这就是平面图形S 的运动方程，也就是刚体平面运动的运动方程。
2、刚体平面运动分解为随基点平动和绕基点转动
xO f1 t
1.5rad
/
s
BC
vB BC
2.25rad
/s
vA
2）瞬心法
刚体的基本运动
第三章 刚体力学§3.1 刚体运动的分析 §3.2 角速度矢量 §3.3 刚体运动微分方程 §3.4 刚体平衡方程 §3.5 转动惯量 §3.6 刚体的平动与定轴转动 §3.7刚体的平面平行运动§3.1 刚体运动的分析 一、描述刚体位置的独立变量1.刚体是特殊质点组dr ij =0,注意:它是一种理想模型,形变大小可忽略时可视为刚体。
2.描述刚体位置的独立变数描述一个质点需(x,y,z), 对刚体是否用3n 个变量？否,由于任意质点之间的距离不变,如确定不在同一直线上的三点,即可确定刚体的位置,需9个变量，由于两点间的距离保持不变，所以共需9-3=6个变量即可。
刚体的任意运动=质心的平动+绕质心的转动，描述质心可用(x,y,z), 描述转轴可由α,β,γ。
二、刚体的运动分类1.平动：刚体在运动过程中，刚体上任意直线始终平行.任意一点均可代表刚体的运动，通常选质心为代表.需要三个独立变量,可以看成质点力学问题.(注意:平动未必是直线运动)2.定轴转动: 刚体上有两点不动,刚体绕过这两点的直线转动,该直线为转轴. 需要一个独立变量φ3.平面平行运动: 刚体上各点均平行于某一固定平面运动。
可以用平行于固定平面的截面代表刚体。
需要三个独立变量。
4.定点运动: 刚体中一点不动,刚体绕过固定点的瞬转转动。
需三个独立的欧拉角。
5.一般运动: 平动+转动 §3.2 角速度矢量定轴转动时角位移用有向线段表示,右手法确定其方向.有向线段不一定是矢量,必须满足平行四边形法则,对定点转动时,不能直接推广,因不存在固定轴.刚体在dt 时间内转过的角位移为d n ，则角速度定义为0limt d t dt ∆→∆==∆n nω角速度反映刚体转动的快慢。
线速度与角速度的关系：,t d d d d =⨯⨯∴==rv r n r ωr§3.3 刚体运动微分方程 一、 基础知识1.力系：作用于刚体上里的集合。
刚体的平面运动动力学课后答案
（7－8）
其中： 是从速度瞬心 引向M点的矢径， 为平面图形的角速度矢量。
4、平面图形上各点的加速度
基点法公式：
（7－9）
其中： 。基点法公式建立了平面图形上任意两点的加速度与平面图形的角速度和角加速度间的关系。只要平面图形的角速度和角加速度不同时为零，则其上必存在唯一的一点，其加速度在该瞬时为零，该点称为平面图形的加速度瞬心，用 表示。
(b)
再根据对固定点的冲量矩定理：
系统对固定点A（与铰链A重合且相对地面不动的点）的动量矩为滑块对A点的动量矩和AB杆对A点的动量矩，由于滑块的
动量过A点，因此滑块对A点无动量矩，AB杆对A点的动量矩（也是系统对A点的动量矩）为：
将其代入冲量矩定理有：
(c)
由（a,b,c）三式求解可得：
(滑块的真实方向与图示相反)
其中：aK表示科氏加速度；牵连加速度就是AB杆上C点的加速度，即：
将上述公式在垂直于AB杆的轴上投影有：
科氏加速度 ，由上式可求得：
3-14：取圆盘中心 为动点，半圆盘为动系，动点的绝对运动为直线运动；相对运动为圆周运动；牵连运动为直线平移。
由速度合成定理有：
速度图如图A所示。由于动系平移，所以 ，
根据点的复合运动速度合成定理有：
其中： ，根据几何关系可求得：
AB杆作平面运动，其A点加速度为零，
B点加速度铅垂，由加速度基点法公式可知
由该式可求得
由于A点的加速度为零，AB杆上各点加速度的分布如同定轴转动的加速度分布，AB杆中点的加速度为：
再取AB杆为动系，套筒C为动点，
根据复合运动加速度合成定理有：
3－25设板和圆盘中心O的加速度分别为
，圆盘的角加速度为 ，圆盘上与板
其中： 是从速度瞬心 引向M点的矢径， 为平面图形的角速度矢量。
4、平面图形上各点的加速度
基点法公式：
（7－9）
其中： 。基点法公式建立了平面图形上任意两点的加速度与平面图形的角速度和角加速度间的关系。只要平面图形的角速度和角加速度不同时为零，则其上必存在唯一的一点，其加速度在该瞬时为零，该点称为平面图形的加速度瞬心，用 表示。
(b)
再根据对固定点的冲量矩定理：
系统对固定点A（与铰链A重合且相对地面不动的点）的动量矩为滑块对A点的动量矩和AB杆对A点的动量矩，由于滑块的
动量过A点，因此滑块对A点无动量矩，AB杆对A点的动量矩（也是系统对A点的动量矩）为：
将其代入冲量矩定理有：
(c)
由（a,b,c）三式求解可得：
(滑块的真实方向与图示相反)
其中：aK表示科氏加速度；牵连加速度就是AB杆上C点的加速度，即：
将上述公式在垂直于AB杆的轴上投影有：
科氏加速度 ，由上式可求得：
3-14：取圆盘中心 为动点，半圆盘为动系，动点的绝对运动为直线运动；相对运动为圆周运动；牵连运动为直线平移。
由速度合成定理有：
速度图如图A所示。由于动系平移，所以 ，
根据点的复合运动速度合成定理有：
其中： ，根据几何关系可求得：
AB杆作平面运动，其A点加速度为零，
B点加速度铅垂，由加速度基点法公式可知
由该式可求得
由于A点的加速度为零，AB杆上各点加速度的分布如同定轴转动的加速度分布，AB杆中点的加速度为：
再取AB杆为动系，套筒C为动点，
根据复合运动加速度合成定理有：
3－25设板和圆盘中心O的加速度分别为
，圆盘的角加速度为 ，圆盘上与板
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这时称该平面图形为瞬 时平动,并把它的“速度 瞬心点看作在无穷远处”
4
vB v A v AB
2.1 确定平面图形速度瞬心点的常用方法 1) 纯滚动圆轮切地点
2) 速度瞬心点在速度垂线上
AB杆速度瞬心在哪里？
两种情况可能吗？
5
3) 平面图形上A、B两点的速度矢都垂直于AB连线
4) 平面图形上A、B两 点的速度矢同向平行, 且都不与AB连线垂直
细杆AB作平面运动,某时刻杆的两端点A、 B速度如图所示,有这种可能性吗？
2
2 速 度 瞬 心
vB v A v AB
若
vA 0
vB v AB rAB v B rAB v B rAB
B点是平面图形上的任意一点 结论:某时刻平面运动图形上各 点的速度分布情况,等同于平面图 形绕其速度瞬心点的定轴转动
C
C
O
vA
P A
30 o 15 o
B
vB
B C
A B P
vB
vA
vB
A P
vA
B
C O
30 o
vA
60 o
C
30 o
vA
A O
C
P1
60 o
A O
A
30 o
B O
A 60 o
vB
D
B
30 o
30 o
vB
D
B
D
60 60 o
o
D F
P2
E
A O
vA
vD
B
vD
vB
10
100 rad / s
例6.2-1图中A=0.15m,AB=0.75m,BC=BD=0.6m;图 示时刻AB杆水平;求此时滑块冲头D的瞬时速度
7
课堂练习题 图示机构中 OA BD DE 0.1m 4rad / s 图示位置时:OA杆竖直,B/D/F点 在同一竖直线上,且 DE EF ;求冲头F的瞬时速度
6.2、速度投影定理和速度瞬心 1、速度投影定理
vB
θ
vA
B
B θ
ω
A
vA
rAB vB cos rAB v A cos
(vAB rAB )
两边点乘A、B点连线矢 rAB
vB cos vA cos
记作
vB v A v AB
vA
[v B ] AB [v A ] AB
平面图形上任意两 速度投影定理 点的速度在其连线 矢上的投影相等
1
应用举例:
vB cos15 v A cos 45o vB 0.73v A
o
vB cos30o v A cos o 60 vB 0.58vA
大小： ? 方向：
n t aB a A a AB a AB
√ √ 0 √ √
6
瞬时平动≠平行移动
3 综合应用 a) 基点法
b) 速度投影定理 [v B ] AB [v A ] AB
c) 速度瞬心法
vB v A v AB
在求解速度问题 时,有三种方法 可供选择：
8
9
vB
vA
B
ω
θ A
β θ B
O
30
o
vA
A
15 o
vA
B
vB
A
B
B
vB vA
vB
O 60 º
60 º
C
A
vA
B
P
2
vB
A
vB
B B
v
O C
v vO
v
O C
v vO
vAC vAB
C
B
vA
O2 O1
vA = 0 vBLeabharlann A vAO2 B P
45
B A
O
vO
P
O
vO
P
O1
A
45
3
平面运动图形任意时刻的速度瞬心点存在且唯一 a) 存在性证明
c)
vB v A v AB v A
0
vC v A v AC v A v A 0 b) 唯一性证明 v A vB 0 0 vB vA vAB vD vA vAD 0
4
vB v A v AB
2.1 确定平面图形速度瞬心点的常用方法 1) 纯滚动圆轮切地点
2) 速度瞬心点在速度垂线上
AB杆速度瞬心在哪里？
两种情况可能吗？
5
3) 平面图形上A、B两点的速度矢都垂直于AB连线
4) 平面图形上A、B两 点的速度矢同向平行, 且都不与AB连线垂直
细杆AB作平面运动,某时刻杆的两端点A、 B速度如图所示,有这种可能性吗？
2
2 速 度 瞬 心
vB v A v AB
若
vA 0
vB v AB rAB v B rAB v B rAB
B点是平面图形上的任意一点 结论:某时刻平面运动图形上各 点的速度分布情况,等同于平面图 形绕其速度瞬心点的定轴转动
C
C
O
vA
P A
30 o 15 o
B
vB
B C
A B P
vB
vA
vB
A P
vA
B
C O
30 o
vA
60 o
C
30 o
vA
A O
C
P1
60 o
A O
A
30 o
B O
A 60 o
vB
D
B
30 o
30 o
vB
D
B
D
60 60 o
o
D F
P2
E
A O
vA
vD
B
vD
vB
10
100 rad / s
例6.2-1图中A=0.15m,AB=0.75m,BC=BD=0.6m;图 示时刻AB杆水平;求此时滑块冲头D的瞬时速度
7
课堂练习题 图示机构中 OA BD DE 0.1m 4rad / s 图示位置时:OA杆竖直,B/D/F点 在同一竖直线上,且 DE EF ;求冲头F的瞬时速度
6.2、速度投影定理和速度瞬心 1、速度投影定理
vB
θ
vA
B
B θ
ω
A
vA
rAB vB cos rAB v A cos
(vAB rAB )
两边点乘A、B点连线矢 rAB
vB cos vA cos
记作
vB v A v AB
vA
[v B ] AB [v A ] AB
平面图形上任意两 速度投影定理 点的速度在其连线 矢上的投影相等
1
应用举例:
vB cos15 v A cos 45o vB 0.73v A
o
vB cos30o v A cos o 60 vB 0.58vA
大小： ? 方向：
n t aB a A a AB a AB
√ √ 0 √ √
6
瞬时平动≠平行移动
3 综合应用 a) 基点法
b) 速度投影定理 [v B ] AB [v A ] AB
c) 速度瞬心法
vB v A v AB
在求解速度问题 时,有三种方法 可供选择：
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vB
vA
B
ω
θ A
β θ B
O
30
o
vA
A
15 o
vA
B
vB
A
B
B
vB vA
vB
O 60 º
60 º
C
A
vA
B
P
2
vB
A
vB
B B
v
O C
v vO
v
O C
v vO
vAC vAB
C
B
vA
O2 O1
vA = 0 vBLeabharlann A vAO2 B P
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B A
O
vO
P
O
vO
P
O1
A
45
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平面运动图形任意时刻的速度瞬心点存在且唯一 a) 存在性证明
c)
vB v A v AB v A
0
vC v A v AC v A v A 0 b) 唯一性证明 v A vB 0 0 vB vA vAB vD vA vAD 0