《线性回归方程》1PPT课件

i1
a ybx
以上公式的推导较复杂，故不作推导，但它
的原理较为简单：即各点到该直线的距离的平方
和最小，这一方法叫最小. 二乘法。
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求解线性回归问题的步骤:
1.列表( xi,yi,xi yi )，画散点图.
2.计算:
n
n
x, y, xi2, xi yi
i1
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3.代入公式求a,b 4.列出直线方程
Q ( y 1 b x 1 a ) 2 ( y 2 b x 2 a ) 2 . . . ( y n b x n a ) 2
取得最小值时,就称 yˆ bxa为拟合
这n对数据的线性回归方程,该方程所表
示的直线称为回归直. 线
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.
Q(y1bx1a)2(y2bx2a)2...(ynbxna)2
1286
.
11
把b看作常数，那么Q是关于a的二次函数记为f(a)
f (a) 6a2 (140b460)a1286b2 3820b10172 6(a2 140b460 a...........) 6 6(a 70b230)2 ........... 6
当a 70b230时，f (a)取最小值 6
所以,我们用类似于估计平均数时的 思想,考虑离差的平方和
Q(a,b)(26ba20)2(18ba24)2
(13ba34)2(10ba38)2
(4ba50)2(ba64)2
1286b26a2140ab3820b460a10172
.
9
Q (a, b) 是直线 yˆ bxa与各散点
在垂直方向(纵轴方向)上的距离的平
相关关系—变量之间有一定的联 系,但不能完全的用函数来表达. 一般 来说,身高越高,体重越重,但不能用一 个函数来严格地表示身高与体重之间 的关系.(非确定性关系)
.
3
问题：举一两个现实生活中的问题，问题所涉及的
变量之间存在一定的相关关系。
例：（1）父母的身高与子女身高之间的关系
（2）商品销售收入与广告支出经费之间的关系 （3）粮食产量与施肥量之间的关系
f(b) 1286b 2 (140a 3820)b 6a 2 460a 10172
1286(b2 140a 3820 b ...........) 1286
1286(b 70a 1910 )2 ........... 1286
当 b 70a 1910 时 ， f (b)取 最 小 值
相关关系与函数关系的异同点：
相同点：均是指两个变量的关系． 不同点：函数关系是一种确定的关系；
相关关系是一种非确定关系.
.
4
问题：
某小卖部为了了解热茶销售量与气温 之间的关系，随机统计并制作了某6天 卖出热茶的杯数与当天气温的对照表：
气温 /0C
26
18
13
10
4
-1
杯数 20 24 34 38 50 64
.
13
线性相关关系：
像这样能用直线方程 yˆ bxa
近似表示的相关关系叫做线性相关关系.
如果散点图中的点分布从整体 上看大致在一条直线附近我们就称 这两个变量之间具有线性相关关系
.
ห้องสมุดไป่ตู้
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线性回归方程： 一般地,设有n个观察数据如下：
x x1 x2 x3 … xn
y y 1 y 2 y 3 … y n 当a,b使
如果某天的气温是-50C，你能根据这些 数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗?
.
5
为了了解热茶销量与
气温的大致关系,我们
以横坐标x表示气温，
纵坐标y表示热茶销量，
建立直角坐标系.将表
中数据构成的6个数对
表示的点在坐标系内
标出，得到下图。今
后我们称这样的图为
散点图(scatterplot).
.
6
选择怎样的直线近似地表示热茶销量与气 温之间的关系? 我们有多种思考方案: (1)选择能反映直线变化的两个点,例如取
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例题1：下表为某地近几年机动车辆数与交通 事故数的统计资料，请判断机动车辆数与交 通事故数之间是否具有线性相关关系，求出 线性回归方程;如果不具有线性相关关系,说明 理由．
的点，应使得该直线与散点图中的点最接近
那么，怎样衡量直线 yˆ bxa 与图中六
个点的接近程度yˆ 呢？
我们将表中给出的自变量 x 的六个值
代入直线方程,得到相应的六个值：
2 6 b a , 1 8 b a , 1 3 b a , 1 0 b a , 4 b a , b a
它们与表中相应的实际. 值应该越接近越好8.
线性回归方程
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1
问题引入：
有些教师常说：“如果你的数学成绩好，那 么你的物理学习就不会有什么大问题” 按照这种 说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间也存 在着某种关系。你如何认识它们之间存在的关系？
数学成绩
物理成绩
学习兴趣
学习时间
其他因素
结论：变量之间除了函数关.系外，还有
。2
变量之间的关系
函数关系---变量之间是一种确定 性的关系.如:圆的面积S和半径r之间 的关系.
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当
b a
70a 1
70b
1910 286 230 6
时
，
Q（
a
,
b
）
取
最
小
值
解
得
b
a
1 .6 4 7 7 5 7 .5 5 6 8
,
所 求 直 线 方 程 为 yˆ 1 .6 4 7 7 x 5 7 .5 5 6 8
当 x 5时 ， yˆ 6 6
故 当 气 温 为 50C时 ， 热 茶 销 量 约 为66杯 。
方和,可以用来衡量直线 yˆ bxa
与图中六个点的接近程度,所以,设法
取 a , b 的值,使 Q (a, b) 达到最小值.
这种方法叫做最小平方法(又称最小 二乘法) .
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Q(a,b)
1286b2 6a2 140ab 3820b 460a 10172
把 a看 作 常 数 ， 那 么 Q是 关 于 b的 二 次 函 数 记 为 f(b)
(4,50),(18,24)这两点的直线；
（2）取一条直线,使得位于该直线一侧和 另一侧的点的个数基本相同；
（3）多取几组点,确定几条直线方程,再分 别算出各条直线斜率、截距的平均值,作为 所求直线的斜率、截距；
………………
怎样的直线最好呢? .
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建构数学
1.最小二乘法：
用方程为 yˆ bxa的直线拟合散点图中
n
n
n
n
n
yi22b xiyi2a yi b2 xi22ab xina2
i1
i1
i1
i1
i1
.
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类似地，我们可以推得，求回归
方程 yˆ bxa 中系数a,b的一般公式:
n
n
xi yi nxy (xi x)(yi y)
b
i1 n
xi2
2
nx
i1
n
(xi x)2
,
i1