第2讲定解问题dhh汇总
数理方法定解问题
初始速度分布— ut (x, t) t0 (x)
其中 ut
u t
2.2 输运问题 方程中含有对 t 的一阶偏导数
初始温度或浓度分布— u(x, y, z, t) t0 (x, y, z)
稳定场不随时间变化，故没有初始条件.
2 边界条件—待求量及其导数或两者的线性组合在边界上的值
3.在静电场问题中，由介电常数分别为 1 和 2 的两种介质组成系统的分界面 S 处的衔接条件有几个？
具体如何表述？它们的物理意义是什么？ 4.在杆的纵振动中，在 x=l 端自由，这个边界条件如何写？你能从 Hooke 定律出发证明吗？ 5.在杆的热传导问题中，若 x=0 端绝热，这个边界条件如何写？你能从一物理定律出发证明吗？ 作业：p196：9.7 (1)、(3)，9.8 (3)、(4)
v u(r, t; r0, t0 )dr0dt0
是 L[v] f (r, t; r0, t0)dr0dt0
[
v n
v]s
g(t, t0 )dt0 的解
解的叠加原理是线性问题的必然结果，对非线性问题不适用.
2 求解定解问题的一般步骤
4
1)定解问题的适定性
解的存在性 实际物理线性系统演化 发展的结果是确定的 解的唯一性 确定的状态是唯一的 解的稳定性 因测量导致定解条件的 微小改变引起的解的变 化也很微小
u n
S
b k
(u
S
u0 )
( u n
hu)
S
hu0
(h b 0) k
特别，若 u0
0 ，则 (u n
hu) S
0
→ 一维系统 (a x b)
∵ u u ，则
数学物理方法课件：7-数学物理定解问题
x
T (ux |xdx ux |x ) (dx)utt 因 dx很小
T
ux
xdx ux dx
x
utt
utt Tu xx (7.1.5)
5
utt Tu xx (7.1.5)
因为B段是任选的，所以方程（7.1.5）适用于弦上各处， 是弦做微小横振动的运动方程，简称弦振动方程。
记
T a2
(a 0)
响 ➢ 将这种影响用数学关系式表达出来，并简化
整理数学物理方程
2
（一）均匀弦的微小横振动
有一个完全柔软的均匀弦，沿水平直线绷紧，而后以某 种方法激发，使弦在同一个平面上作小振动．列出弦的 横振动方程。
假定：
➢弦是理想柔软的横截面方向无应力，张力沿弦切线
➢弦的质量线密度为；
➢静止时弦位于x 轴，横向振动时各点的位移为 u(x,t); ➢弦没有纵向振动，横向振幅是微小的； ➢张力 T>>重力 mg。
x x+dx x A u Bu+du C
t 时刻杆伸长 u(x dx,t) u(x,t)
相对伸长量 u(x dx,t) u(x,t) u(x,t) 随x而异
dx
x
由胡克（Hooke）定律 P(x,t) E u(x,t) x
由牛顿运动定律 Sdxutt P(x dx,t)S P(x,t)S
第七章 数学物理定解问题(5)
1.数学物理方程（又称为泛定方程）
物理量在时空中的变化规律，并把它写成数学形式(偏 微分方程)即为数学物理方程。它反映了同一类物理问题 的共性。
2.定解条件（包括初始条件与边界条件）
对具体的实际问题，我们必须考虑周围环境的影响和 初始状态对具体物理问题演化的影响。它反映了具体物 理问题的个性。
第二讲 双曲线中常用的结论及解法技巧(学生版)
C． 3
D． 2
【4】设双曲线 C
x2
：
a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
的左焦点为 F
，直线 4x 3y 20
0 过点 F
且与 C 在第二象限的交点为 P ，O 为原点， OP OF ,则双曲线 C 的离心率为（ ）
【例
9】如图，已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0,b
0的左、右焦点分别为 F1, F2 ，|
F1F2
|
4，
P 是双曲线右支上的一点， F2P 与 y 轴交于点 A ， APF1 的内切圆在 PF1 上的切点为 Q ，
若 | PQ | 1 ，则双曲线的离心率是（ ）
4
A． 3
B． 2
C． 3
D． 2
则（1）|
PF1
||
PF2
|
2b2 1 cos
；（2）双曲线的焦点角形的面积为
S F1PF2
b2 ．
tan
2
3．过双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0,b
0 上任一点
A(x0 ,
y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交双
曲线于 B,C
两点，则直线 BC 有定向且 kBC
b2 x0 a2 y0
（常数）．
x a
2 2
y2 b2
1a 0,b 0上关于原点对称的任意两点， B 是双曲
线上其它任意一点，直线
A1B, A2B 的斜率存在，则 k A1B
k A2B
b2 a2
．
2．双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0, b
数学物理方法中无界区域的定解问题
无界区域的定解问题前言：对于定义在整个空间或半空间的偏微分方程的定解问题，原则上可以用分离变量法求解，另外还有一些专门的方法来解决这类问题，本章就讨论这些解法。
含两个自变量x 和y 的二阶线性偏微分方程的一般形式为：),(22122222122211y x f cu y ub x u b yu a y x u a x u a =+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂其中11a ，12a ，22a ，1b ，2b 和c 都只是x 和y 的函数。
根据判别式2211212a a a -=∆符号的不同可如下来划分偏微分方程的类型⎪⎩⎪⎨⎧<-=∆=-=∆>-=∆椭圆型，抛物型，双曲型，000221121222112122211212a a a a a a a a a 定解问题： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>∞<<-∞=∂∂==∂∂-∂∂==)0,0,(,)(),(),(),(00022222a t x x t x u t x t x u x u a t u t t ψϕ由于111=a ，012=a ，222a a -=，则0)(222211212>=-->-=∆a a a a a 。
令at x t x +=),(ζ，at x t x -=),(η，),(),(ηζv t x u =，可化为：02=∂∂∂ηζv通解为：)()(),(21ηζηζf f v +=，其中)(1ζf ，)(2ηf 为任意函数。
通解为：)()(),(21at x f at x f t x u -++= 代入初始条件可得：⎪⎩⎪⎨⎧-+=-⇒='-'⇒=∂∂=+⇒=⎰==)()()(1)()()()()()(),()()()()(),(0201212102100x f x f d a x f x f x x f a x f a x t x u tx x f x f x t x u x x t t ζζψψψϕϕ由上式可推出：⎪⎩⎪⎨⎧---=-++=⎰⎰)]()([21)(21)(21)()]()([21)(21)(21)(020*******00x f x f d a x x f x f x f d a x x f x x x x ζζψϕζζψϕ 特解： ⎰+-+-++=atx at x d aat x at x t x u ζζψϕϕ)(21)]()([21),(达朗贝尔公式的物理意义： 初位移)(x ϕ分成两半，各为2)(x ϕ，经过时间t 分别向左移动at 变成2)(at x +ϕ，向右移动at 变成2)(at x -ϕ，移动的速度均为a ，弦的总位移),(t x u 为2)(at x +ϕ和2)(at x -ϕ的叠加。
数学物理方法 第7章 定解问题
( t ) dt r ( t ) 1 p ( t ) dt ， r ( t dt ) r ( t ) r m ( t ) dt p ( t ) F ( t ) dt p ( t dt ) p ( t ) p
因此，只要知道质点的受力情况就能由前一时刻的运动状态求 出下一时刻的运动状态，这样的推演过程就是求解常微分方程
T sin 2 T 2 cos
2 2
T1 cos 1 0 u
2
T1 sin 1 F ( x , t ) ds ( ds )
t
2
其中 为单位长度弦的质量， ( x , t ) 为单位 F
长度的弦所受的横向外力，ds 为 B 段弦的长度。 因研究的弦振动为微小振动， 所谓微小振动是指 弦 上 质 点离 开平 衡 位置 的 最大 位移 远 小于 波 在 弦中传播的波长，
2
【讨论】
数学物理方程导出的主要步骤： (1)选取一个坐标系，选择适当物理量。 (2)建立一个理想模型，理想情况下物理量才具有较好 的数学性质，如“柔软的弦”表明 u ( x , t ) 具有连续的 偏导数。 (3)找出该物理过程所遵循的运动规律，取一微元为代 表，将物理规律应用于该微元，列出方程。 (4)作适当的近似，并化简最后得出描述该物理过程的 数学物理方程。 (5)所得方程的正确性必须由实验验证，数学上的演 绎、推导只表明理论的自恰
2 u u xx u yy 、 u u xx u yy u zz 。常数 a 具有速度
量纲，以后将看到 a 就是波速。
二、输运方程
1．扩散方程
u t D ( u ) 0 ，或 u t a u 0 （其中 a
第4节(达朗贝尔公式-定解问题).
8
t8 t7
x x x x x x x x x1
t6
t5 t4 t3 t2 t1 t0
x2
x
9
在上图中，波已通过的地方，虽然振动消失，但偏离了
原平衡位置！
（二）端点的反射
半无限长的弦具有一个端点，先考察端点固定的情况，即： utt a 2uxx 0, 0 x u |t 0 ( x ) (0 x ) 初始条件里必须 x 0 ut |t 0 ( x ) 才有意义，因为x<0的区域弦不存在，更无初始条件！对于 较迟的时间（t>x/a）达朗贝尔公式里 ( x at ), x at ( )d 失去意义，不能应用！ 我们可以把半无限长弦当作某根无限长弦的一部分，而此无
19
由于许多数学物理问题均可以用适定的定解问题 来处理，长期以来，人们认为不适定数学物理问题 的研究是没有意义的，然而在实际问题中经常遇到 不适定的问题。 例如，对于某物体，希望在某时刻具有一个实际的 温度分布，那么在初始时刻物体应当具有一个什 么样的温度分布才能达到此目的？ 这就是一个不适定的问题它是所谓的数学物理问题 的反问题。 通过研究，人们找到了处理这类不适定问题的 一些办法。现在对不适定问题的研究已成为偏微分 方程的一个重要的研究方向。
则方程（1）变为：
2 ( )u 0
x at 即 x at
2u 0
(3)
u f ( )
对于这个方程，就很容易求解了！
先对 积分： 再对
(4)
其中f是任意函数！
积分得到通解：
u f ( )d f 2 ( ) f1 f 2 ( ) f1 ( x at) f 2 ( x at) (5)
数学物理方程的定解问题
杆的纵振动和弦的横振动满足的偏微分方程相同。更一般地，在三维空间中，方程为以下形式
4
z09a.nb
∂2 u ∂ t2
- a2 ∇ 2 u = 0
∇2 ≡
∂2 ∂ x2
+
∂2 ∂ y2
+
∂2 ∂ z2 (1.1)
2 2 2 上式称为波动方程，其中 ∇ 2 称为 Laplace算符， ∇ 2 ≡ ∂ 2 + ∂ 2 + ∂ 2 是Laplace算符在直角坐标系下的形式。 ∂x ∂y ∂z
◼ Hooke 定律 在弹性限度内 ，应力 （单位截面积的力 ） 与应变 （相对伸长 ） 成正比 ，比例系数称为杨氏模量 Y F S = Y ux (x, t)， 其中： F 为作用力 ，以拉力为正 ， S 为截面面积 ， Y 为杨氏模量 ， Y 总大于 0，这是由热力学稳定性条件所决定的 。 此式意义类似于牛顿第二定律 ：若已知某处的相对伸长为 ： ux (x, t)，则杆在该处必受到 Y S ux (x, t) 的拉力。 反之，若已知细杆在某处受到的拉力为 ： F，则在该处细杆必有 ： ☺ F YS 例 1：细杆置于 x 轴， x = l 为自由端，试写出在 x = l 端位移 u(x, t)x=l 应满足的条件。 解： x = l 为自由端 ，不受力 ， F = 0，从而 ux (l, t) = ☺ F YS 例 2：细杆置于 x 轴， x = l 固定， x = 0 端与一弹簧相连，如图， 当不振动时弹簧处于平衡长度 ，求振动时杆两端位移 u(x, t) 所应满足的条件 （边界条件 ）。 解： = 0。 的相对伸长 ux (x, t)。
9.1 波动方程
先以杆的纵振动为例，讨论支配波动现象的一些物理规律。
07_定解问题
叠加原理：如果泛定方程和定解条件都是线性的，可以把定 解问题的解看作几个部分的线性叠加，只要这些部分各自所 满足的泛定方程和定解条件的相应的线性叠加正好是原来的 泛定方程和定解条件即可。 I 2 I
例：下面的定解问题
utt a u xx f ( x, t ) I u |x 0 0; u I |x l 0 u I | 0; u I | 0 t t 0 t 0
2
sin 1 tan 1 ux ( x0 0, t ) sin 2 tan 2 ux ( x0 0, t )
h
x0
0
x
u( x0 0, t ) u( x0 0, t )
衔接条件
Tux ( x0 0, t ) Tux ( x0 0, t ) F (t )
kun |xa h u |xa u |media (u Hun ) |xa u |media
左端点x=0，(u Hux ) |x0 u |media .
( 右端点x=a， u Hux ) |xl u |media .
例2：纵振动杆，端点x=a处与弹性体连接到固定物上
u u , t n
(1) 第一类边界条件 例：弦两端固定
u( x, t ) x0 u( x, t ) xl 0
u( x, t ) xa f (t )
细杆导热，x=a端温度为f(t)
一维杂质浓度扩散，x=0, l端浓度保持为N0
1 B1u B2u Cu F . u 2 A12
i Re ( ) / 2 , or . i Im ( ) / 2i
定解问题和本征值问题
X '' X 0
X
(0)
X(l)
0
(c) 0 X ( x) C cos x D sin x
代入边界条件：C 0 D sin
l 0
仅有零解
l n (n 1, 2 )
D 0或sin l 0
Xn ( x) Dn sin
x，其中 ( n )2 (n 1, 2, 3, )
9
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本征值、=本-征函数和本征值问题
X '' X 0
X
(0)
X
(l)
0
？
(a) 0
X(x) Ce x De x
代入边界条件：CCe
D
l
0 De
l
0
C
D
0 0
仅有零解
(b) 0 X(x) C Dx
10
代入边界条件：CDl00
C
D
0 0
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仅有零解
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拉普拉斯方 程
亥姆霍兹方 程
• 二、定解条件 • 初始条件： • 输运方程：
• 波动方程： u(r , t ) |t0 (r )
初始分布
u(r , t ) |t0 (r ) u(r , t) (r )
t t0
初始位移分布 初始速度分布
3
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• 边界条件 • 第一类边界条件：直接规定了所研究物理量在边界上的数值。
l
12
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谢谢您的观看！
13
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例2：弦振动问题
¶2u ¶t 2
-
a
2?
2u
0
初始条件：
第一讲定解问题
第一讲：定解问题随着科学技术的不断发展和深入，越来越多的问题得以被解决。
然而，即使是现代科学也不能解决所有的问题。
有些问题，尤其是在数学和物理学领域中，是无法通过直接计算或实验解决的，而需要通过求解问题的定解问题才能得出答案。
本文将介绍定解问题的概念、意义、性质以及解决方法。
一、定解问题的概念定解问题是指确定一组条件，使得某一数学模型或物理问题的解唯一存在的问题。
一般来说，一个数学模型或物理问题会有多种解法，即使这些解法在最终结论上是等价的。
解决定解问题可以确保问题的解法是唯一的，从而避免由于解的不确定性而造成的计算难度和误差。
二、定解问题的意义1、确保答案的正确性解决定解问题可以确保问题的解法是唯一的，从而避免由于解的不确定性而造成的计算难度和误差。
这可以确保问题的答案是正确的。
在一些实际应用中，问题的解法必须是唯一的，才能得到正确的结果。
2、简化问题的解决解决定解问题可以简化问题的解决。
在问题的解法唯一的情况下，我们只需要根据给定的条件寻找问题的解，而不需要试错或者对所有可能的解进行验证。
这样可以节省时间和精力，提高问题的解决效率。
3、研究模型的性质定解问题的解决还可以帮助我们研究模型的性质。
通过分析模型的条件和解，我们可以更好地理解模型的规律和本质，根据这些规律和本质，我们可以推广模型，让它适用于其他应用领域或者更为复杂的问题。
三、定解问题的性质定解问题需要满足一定的性质，才能确保问题有唯一解。
以下是定解问题的几个基本性质：1、解的存在性定解问题必须存在解。
也就是说，通过给定的条件，我们必须能够找到至少一组符合条件的解。
2、解的唯一性定解问题的解必须是唯一的。
也就是说，通过给定的条件，我们只能得到一组解，而不能得到多个或者任意个解。
3、解的光滑性定解问题的解必须是光滑的。
也就是说，解在给定域上可以连续且具有光滑性质。
这个性质可以保证解在求导或者积分的过程中不会出现矛盾或无限大的情况。
四、解决定解问题的方法1、分离变量法分离变量法是定解问题中常用的解决方法。