渗流力学第二章

M
y
K P
vy o
y
vx
x
z
§2.2 渗流基本微分方程的建立
二、状态方程
状态方程：描述液体、气体、岩石的状态参数随压力变化 规律的数学方程。
1.液体的状态方程 ( )
CL 1 VL VL P CL 1 dVL VL dP
流体质量 M VL
取全微分 整理
dM dVL VL d 0
( ) div ( v ) t
单相渗流的基本微分方程：
vx K P
x
K P
不考 虑岩 石和 流体 的压 缩性
K v gradP

vy
y
K P
vz
z
( v x ) x

( v y ) y

( v z ) z
三、建立数学模型的步骤
1、确定建立模型的目的和要求
●渗流力学研究主要解决两类基本问题：
★单相渗流问题中，弄清流域内压力和流速的分布及变化；
★在多相渗流过程中和非等温渗流过程中，弄清流域内饱和 度和温度的分布及变化。 因变量： P、 v、 s、T 自变量： ( x, y, z, t )
三、建立数学模型的步骤
2
[e
C L ( P P0 )
e
C L ( P P0 )
P x

x
[
e
C L ( P P0 )
] CL

P x
2

1 C L ( P P0 ) [ ] x CL P x

同理：
( v y ) y

K

K
0
P
2
y
2
( vz ) z
﹡微分法：无穷小微元体分析法。
●积分法：矢量场方法。
微分法
在地层中取一微小的平行六面体单元如图：
M 点质量流速：v
z
dz
v x
( v x ) dx x
o
分速度分别为：v x
v y
v z
( v x ) dx x 2
M
M
M
2
dy
v x
dx
x
y
●同一时间间隔内液体流入质量与流出质量之差
P t
整理得：
或：
K
P x
2

P
2
y
2
2

P z
2

1 P
t
P
1 P
t
Ct
称为导压系数，物理意义为单位时间内压力传 播的地层面积，表明地层压力波传导的速度。 单位为 m 2 / s 或 cm 2 / s 。
单相微可压缩流体在微可压缩地层中按达西定律渗流的 渗流基本微分方程。
dVL VL d

CL
1 d
P

L
分离变量积分
dP
C
P0
dP
0
d
1
变化较小，看成常数
0e
C L ( P P0 )
10 (1 / MPa)
4
按麦克劳林级数展开，取前两项
e 1 x
x
1 2!
x
2
1 3!
x
3
0 [1 CL ( P P0 )]
0
div( v ) 0
两相渗流的基本微分方程（不考虑岩石和流体的压缩性）：
Ko vo gradP
o
Kw vw gradP
w
(vo x ) x (v w x ) x

(voy ) y (v wy ) y

(voz ) z (v wz ) z
§2.2 渗流基本微分方程的建立
三、连续性方程（质量守恒方程）
在渗流力学中，质量守恒定律可描述为：在地层中任取一 微小单元体，在微元体内若没有源和汇存在，那么包含在微元 体封闭表面内的液体质量变化应等于同一时间间隔内液体流入 质量与流出质量之差，用质量守恒定律建立起来的方程称为质 量守恒方程（或连续性方程）。
一、建立数学模型的基础
1、地质基础
油气层的孔隙结构类型、几何形状、边界性质、参数分布
2、实验基础
科学实验是认识和检验各种渗流力学规律的基础，是建 立数学模型的关键
3、科学的数学方法
无穷小单元体分析法，通常根据单元体中空间上和时间上 的物质守恒定律或微小单元体上的特征来建立微分方程
二、油气渗流数学模型的一般结构


0
P
2
z
2
则方程左端为：
( v x ) ( v y ) ( v z ) div ( v ) x y z K

0 (
P
2
x
2

P
2
y
2

P
2
z
2
)
● ●方程右端：
0 [1 CL ( P P0 )]
t
( v x ) x ( v y ) dxdydzdt
dxdydzdt
同理：
y方向

z
方向

y ( v z )
z
dxdydzdt
dt 时间内，纯流入微元体的流体质量为： ( vx ) ( v y ) ( vz )
[ x y z
]dxdydzdt

vy
y
K P
考虑 岩石 和流 体的 压缩 性
vz
z
0e
C L ( P P0 )
0 [1 C L ( P P0 )]
0 C f ( P P0 )
( vx ) x ( v y ) y ( vz ) z ( ) t
简化:
或：
( vx ) x

( v y ) y

( vz ) z

( ) t
( ) div ( v ) t
为微可压缩液体在微可压缩地层中满足达西线性渗流定 律的连续性方程。
div ( v ) 的物理含义：质量流速为 v 的M 点，单位体积
§2.2 渗流基本微分方程的建立
2.岩石的状态方程 ( )
Cf Cf 1 V f V f P 1 dV p V f dP
V p 为孔隙体积 V f V p
Pf
P P
P
'

Vp V
Cf
d dP

开采前


'
开采后
积分
( P , 0 ) ( P, ) 0
0 C f ( P P0 )
§2.2 渗流基本微分方程的建立
假设条件
●单相微可压缩液体； ●液体渗流符合线性渗流规律； ●地层岩石均质微可压缩；
●地层中为等温渗流过程。
§2.2 渗流基本微分方程的建立
一、运动方程
K v gradP

z
vz
或写为：
vx vy vz
v
K P
x
K P
在单位时间内向包围曲面外流出的流体质量，反映该点源的 强度。 div ( v ) 0 有源场（正、负）
div ( v ) 0
无源场
不可压缩液体在刚性介质中渗流的连续性方程为：
div (v ) 0
单相渗流的基本微分方程：
vx
K P
x
K P
K v gradP
2、研究各物理量的条件和情况
过程状况：是等温过程还是非等温过程
系统状况：是单组分系统还是多组分系统，甚至是凝析系统
相态状况：是单相还是多相甚至是混相 流态状况：是服从线性渗流规律还是服从非线性渗流规律， 是否物理化学渗流或非牛顿液体渗流
三、建立数学模型的步骤
3、确定未知量和其它物理量之间的关系
运动方程：速度和压力梯度的关系
CL C f
Ct 0
P t
相对较小， 可忽略不计。
C f 0C L 称为综合压缩系数，表示单位体积岩
石在降低单位压力时，由于孔隙收缩
和液体膨胀所排挤出来的液体体积。
● ● ●方程左端等于方程右端：

K

0 (
2
P
2
x
2

P
2
y
2

P
2
z
2
2
) Ct 0
vi f ( A, B , dp dx )
状态方程：物理参数和压力关系
A i f i ( p ), B i f i ( p )
连续性方程：渗流速度V和坐标及时间 或饱和度与坐标和时间的关系
v f ( x, y, z, t, A, B ) s f ( x, y, z, t, A, B )
式中
2 为拉普拉斯算子（算符）。

2

2

2
x


2

2
y


2

2
z
为哈密尔顿算子（算符）。
x

i
y

j
z

k
( ) v t ( v ) 0
K v P

不考虑流体及岩石弹性，则：
三、建立数学模型的步骤
4、写出数学模型所需的综合微分方程
用连续性方程作为综合方程，把其他方程都带入连续