不等式整章复习课件

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2025届高中数学一轮复习课件《一元二次不等式的解法》ppt

高考一轮总复习•数学
第27页
对点练 3 解关于 x 的不等式 x2－ax＋1≤0.
解：由题意知，Δ＝a2－4.
①当 a2－4＞0，即 a＞2 或 a＜－2 时，方程 x2－ax＋1＝0 的两根为 x＝a± a22－4，∴
原不等式的解集为x a－
2a2－4≤x≤a＋
a2－4 2
.
②若 Δ＝a2－4＝0，则 a＝±2.
高考一轮总复习•数学
第16页
解：(1)原不等式可化为 3x2＋2x－8≤0，即(3x－4)(x＋2)≤0，解得－2≤x≤43，
所以原不等式的解集为x－2≤x≤43
.
(2)原不等式等价于xx22－－xx－－22＞≤04， ⇔xx22－－xx－－26＞≤00， ⇔xx－－23xx＋＋12＞≤00， ⇔
逆向思维，－1,2 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根．
b(x－1)＋c＞2ax 的解集是( )
A．{x|0＜x＜3}
B．{x|x＜0 或 x＞3}
C．{x|1＜x＜3}
D．{x|－1＜x＜3}
高考一轮总复习•数学
第30页
解析：由 a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＞2ax，得 ax2＋(b－2a)x＋(a＋c－b)＞0. ①
高考一轮总复习•数学
第1页
第二章不等式
第3讲二次函数与一元二次不等式第2课时一元二次不等式的解法
高考一轮总复习•数学
第2页
复习要点 1.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.2.会解一元二次不等式和分式不等式.3.了解较简单的不等式恒成立问题的解法．
高考一轮总复习•数学
当 a＞1 时，不等式的解集为x1a＜x＜1

高考数学一轮复习第6章不等式6.3基本不等式课件理

第二十七页，共61页。
2．(2018·广西三市调研)已知 m，n 为正实数，向量 a ＝(m,1)，b＝(1－n,1)，若 a∥b，则m1 ＋2n的最小值为_3_＋__2__2__．
第二十八页，共61页。
解析 ∵a∥b，∴m－(1－n)＝0，即 m＋n＝1，又 m，
n
为
正
实
数
，
∴
1 m
＋
2 n
＝
＝fa＋2 b，Q＝f(
ab)，R＝f
a2＋2 b2，则(
)
A．P＜Q＜R B．P＜R＜Q
C．R＜Q＜P D．R＜P＜Q
用导数法．
第三十页，共61页。
解析 f′(x)＝x＋1 1－1＝x－＋x1(x＞－1)，由 f′(x)>0 解得－1<x<0，由 f′(x)<0 解得 x>0，所以 f(x)在(－1,0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．
∴存在 m＝± 3使得△ABF1 的面积最大．
第四十页，共61页。
方法技巧基本不等式的综合运用常见题型及求解策略
1．应用基本不等式判断不等式的成立性或比较大小，有时也与其他知识进行综合命题，如角度 1 典例，结合函数的单调性进行大小的比较．
根据题意得出三角形面积表达式，求最值时，用基本不等式法．
第三十六页，共61页。
解 (1)易知直线 l：x＝my＋2 与 x 轴的交点坐标为 (2,0)，∴椭圆 C：ax22＋y2＝1(a>0)的一个焦点坐标为(2,0)，
∴c＝2，∴a2＝c2＋1＝4＋1＝5. 故椭圆 C 的方程为x52＋y2＝1. (2)存在．将 x＝my＋2 代入x52＋y2＝1 并整理得(m2＋5)y2＋4my－ 1＝0， Δ＝(4m)2－4(m2＋5)×(－1)＝20m2＋20>0，

2.1等式性质与不等式性质课件(人教版)

综上所述，当a＝b时，a3＋b3＝a2b＋ab2；
当a≠b时，a3＋b3>a2b＋ab2.
④下结论
方法归纳
反思感悟
单调性）
作差法比较两个实数大小的基本步骤（后续证明函数的
新知探究
D
C
F
G
E
a
b
H
A
B
追问1：如果直角三角形的两条直角边边长分别为，b (a≠b)，你能
将发现的不等关系用不等式表示吗？
范围，再去求其他不等式的范围.
课堂练习
已知-1≤x＋y≤4，2≤x-y≤3，则z=2x-3y的取值范围是_____________.
课堂小结
等式性质与不等式性质(2)
实际问题、
几何问题
不等
关系
数学抽象
不等式
不等式
性质
两个实数大小
关系的基本事
实（作差法）
性质的应用
判断命题的真假
基本不等式
D
G
正方形
4个直角三角
大于
ABCD的面积
形的面积和
1
2
2
＞
+
4 ×
2
A
H
F
a
2 + 2
C
E
b
B
≠
追问2：如果直角三角形的两条直角边边长相等( = )，不等式
D
2 + 2＞2还成立吗？
2 + 2
=
2GΒιβλιοθήκη AHFE
B
C
新知讲授
追问3：∀， ∈ R，2 + 2 ≥ 2,这个猜想成立吗？请证明.
关系的基本事
实（作差法）

不等式的性质基本不等式课件高三数学一轮复习

常用变形 ab≤(a＋4b)2≤a2＋2 b2
举题说法
不等式的性质
1 (1) (多选)已知a，b，c满足c＜a＜b，且ac＜0，那么下列各式一
定成立的是
( BCD
)
A．ac(a－c)＞0
B．c(b－a)＜0
【解C析．】c因b2为＜aa，b2b，c满足c＜a＜b，且Dac．＜a0b，＞所a以c c＜0，a＞0，b＞0，a－c＞0，b
3．已知 x＞1，则 x＋x－1 1的最小值为 ( C )
A．1 C．3
B．2 D．4
【解析】因为 x＞1，所以 x－1＞0，所以 x＋x－1 1＝(x－1)＋x－1 1＋1≥2 (x－1)·x－1 1 ＋1＝3，当且仅当 x－1＝x－1 1，即 x＝2(x＝0 舍去)时等号成立，此时 x＋x－1 1取最小值 3.
4．(多选)下列说法正确的是
()
A．若
x＜1，则函数 2
y＝2x＋2x1－1的最小值为－1
B．若实数 a，b，c 满足 a＞0，b＞0，c＞0，且 a＋b＋c＝2，则a＋4 1＋b＋1 c的最小值
是3
C．若实数 a，b 满足 a＞0，b＞0，且 2a＋b＋ab＝6，则 2a＋b 的最大值是 4
D．若实数 a，b 满足 a＞0，b＞0，且 a＋b＝2，则a＋a21＋b＋b21的最小值是 1
【解析】设 2α－β＝m(α＋β)＋n(αห้องสมุดไป่ตู้β)，则mm＋－nn＝＝2－，1，解得mn＝＝3212，，
所以 2α－β
＝12(α＋β)＋32(α－β).
因为 π＜α＋β＜54π，－π＜α－β＜－π3，所以π2＜12(α＋β)＜58π，－32π＜32(α－β)＜－π2，所
以－π＜12(α＋β)＋32(α－β)＜π8，即－π＜2α－β＜π8，所以 2α－β 的取值范围是－π，π8.

高三数学高考第一轮复习课件：不等式

４．构造函数，进而通过导数来证明不等式或解决不等式恒成立的问题是高考热点问题．
第六单元 │ 使用建议
使用建议
１．本单元内容理论性强，知识覆盖面广，因此教学中应注意：
（１）复习不等式的性质时，要克服“想当然”和“显然成立”的思维定式，一定使要用注建议意不等式成立的条件，强化或者弱化了条件都有可能得出错误的结论．
第34讲 │ 编读互动编读互动
第34讲 │ 知识要点知识要点
第34讲 │ 知识要点
第34讲 │ 知识要点
第34讲 │ 双基固化双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
（１）理解不等式的性质及其证明．（２）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．（３）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．（４）掌握简单不等式的解法．（５）理解不等式｜ａ｜－｜ｂ｜≤｜ａ＋ｂ｜≤｜ａ｜＋｜ｂ｜．
第六单元 │ 复习策略
复习策略
不等式
目录
第34讲不等式的概念与性质第35讲均值不等式第36讲不等式的解法第37讲不等式的证明第38讲含绝对值的不等式
第六单元不等式
第六单元 │ 知识框架知识框架
第六单元 │ 考点解读考点解读
不等式、不等式的基本性质、不等式的证明、不等式的解法、含绝对值的不等式．
第六单元 │ 考点解读
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化

人教版七年级下册数学第9章不等式与不等式组全章课件

10天的工作量 < 500件
（2）“提前完成任务”是什么意思？
10天的工作量 ≥ 500件
（三）深入探究,阶段小结
解：每个小组每天生产x件产品，
依题意得： 3×10x<500, ① 3×10(x+1)>500. ②
①式解得：x
<
16
2 3
②式解得：x
>15
2 3
∴不等式组的解集为
15
2 3
<x
< 16
问题3：
从刚才的练习中你发现了什么？请你把你的发现和合作小组的同学交流．
⑴ 5＞3， 5+2 ＞ 3+2， 5-2 ＞ 3-2； ⑵ -1＜3， -1+2 ＜ 3+2，-1-3＜ 3-3； ⑶ 6＜2， 6×5 ＜ 2×5，
6×（-5）＞2×（-5）； ⑷ -2＜3，（-2）×6 ＜ 3×6，
依题意得：40x≤2400 且 40x≥2000
（二）概念认识
c>10－3 且 c<10+3
c >10－3 c <10+3
一元一次不等式组
40x≤2400 且 40x≥2000
40x≤2400
【问题3】
40x≥2000
请大家判断一下，下列式子是一元一次不等式
组吗？一元一次不等式组有什么特点？
x － 3 >0
23 从图中可以找到两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集是: x >3
（五）练习巩固
【问题 7】完成课本 140 页练习 1.
（六）课堂小结
【问题 8】本节课你学到了哪些知识？
第九章不等式与不等式组

人教高中数学必修一B版《不等式》等式与不等式说课复习(不等式及其性质)

课件
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已知－1<x<4，2<y<3.
(1)求 x－y 的取值范围；
(2)求 3x＋2y 的取值范围．
【解】 (1)因为－1<x<4，2<y<3，所以－3<－y<－2，所以
－4<x－y<2.
(2)由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6，所以 1<3x＋2y<18.
栏目导引
第二章等式与不等式
■名师点拨
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课件课件
课件课件
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(1)推论 1 表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相
反的符号后，从不等式的一边移到另一边．
(2)推论 2 表明，两个同向不等式的两边分别相加，所得到的不
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________．
解析：M－N＝x2＋x－4x＋2＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)，又因为 x<1，所以 x－1<0，x－2<0，所以(x－1)(x－2)>0，所以 M >N.

湘教版数学八年级上册第4章《一元一次不等式(组)单元复习课》课件

+1<
A.0
B.-1
C.1
10.(2023·遂宁中考)若关于x的不等式组
D.2 023
4( − 1) > 3 − 1
的解集为x>3,则a的
5 > 3 + 2
取值范围是( D )
A.a>3
B.a<3
C.a≥3
D.a≤3
7 − 14 ≤ 0①,
11.(1)(2023·湘潭中考)解不等式组
方案1:租用5辆B种客车,20辆A种客车;
方案2:租用6辆B种客车,19辆A种客车;
方案3:租用7辆B种客车,18辆A种客车;
(3)在(2)的条件下,若A种客车租金为每辆220元,B种客车租金每辆300元,应该怎
最小整数解.
【解析】由①得:x<1,由②得:x≥-2,
∴不等式组的解集为:-2≤x<1,
∴该不等式组的最小整数解为x=-2.
− 3( − 2) > 4①
2−1
3
≥
3+2
6
− 1②
,并写出该不等式组的
考点4一元一次不等式(组)的应用
12.(2023·邵阳中考)低碳生活已是如今社会的一种潮流形式,人们的环保观念也
其解集在数轴上表示如图:
−1 −3
(2)(2022·宜昌中考)解不等式 ≥ +1,并在数轴上表示解集.
3
2
【解析】去分母得:2(x-1)≥3(x-3)+6,
去括号得:2x-2≥3x-9+6,
移项得:2x-3x≥-9+6+2,
合并同类项得:-x≥-1,
系数化为1得:x≤1.
表示如图.

八年级数学上册-第3章一元一次不等式复习课件-浙教版

第3章一元一次不等式复习课件
不等式的性质
不等式
1.加减不改变 2.乘除正不变 3.乘除负改变 4.对称性 5.同向传递性
一元一次不等式
解一元一次不等式解一元一次不等式组
在数轴上表示不等式的解
根据下列数量关系列不等式：
⑴a不是正数。
a0
⑵x与y的一半的差大于-3。
x 1 y 3 2
（ 4 a<6 ）
4.若不等式2x+k<5-x没有正数解则k的范围是（ K 5 ）
5.同时满足-3x大于或等于0与4x+7>0的整数是（ 0 ，-）1
6.不等式（a-1）x<a-1的解集为x>1则a的范围是（ a<1 ）
7.不等式组 6x-1>3x-4 的整数解为（ 0，1 ） -1/3≤x 2/3
5
2
并把它的解集表示的数轴上。
x
20 3
其解集在数轴上表示如右图
4.解不等式 y 1 y 1 y 1 32 6
并把它的解集在数轴上表示出来。
2( y 1) 3( y 1) y 1 y 3
解集在数轴上表示如右图
一元一次不等式组的解集及记忆方法
图形
数学语言
文字记忆
ba ba ba ba
a
X＞a
条件是__m__＜___5____。
5.已知不等式3x-m≤0有4个正整数解，则m的取值范
围是_1_2__≤_m__≤_1_5_。
x＞a+2
6.若不等式组
无解，
x＜3a-2
则a的取值范围是____a_≤_2__。 7.若(a 2)xa23 8 2a是关于x的一元一次不等式则a的
值____-_2_____。

不等式及其性质(课件)-2024届《创新设计》高考数学一轮复习(湘教版)

综上，p≤q.

索引
(2)eπ·πe与ee·ππ的大小关系为__e_π·_π_e_＜__e_e·_π_π_. 解析 eeπe··πππe＝πeππ－－ee＝πeπ－e，又 0＜πe＜1，0＜π－e＜1，所以πe π－e＜1，即eeπe··πππe＜1，即 eπ·πe＜ee·ππ.
索引
感悟提升
因为 a＞b＞0＞c，所以 b－a＜0，a－c＞0，所以ba－－cc＞ab，正确；
对于 C，因为 c＜0，所以 y＝xc 单调递减，又 a＞b，所以 ac＜bc，错误；
对于 D，a－c＝a＋(－c)≥2 －ac＞2 －bc，正确.
索引
感悟提升
解决此类题目常用的三种方法： (1)直接利用不等式的性质逐个验证，要特别注意前提条件； (2)利用特殊值排除法； (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数、对数、幂函数等函数的单调性进行判断.
知识梳理
1.两个实数比较大小的方法 a－b>0⇔a > b，
(1)作差法a－b＝0⇔a = b， a－b<0⇔a < b. ba>1（a∈R，b>0）⇔a > b（a∈R，b>0），
(2)作商法ab＝1⇔a = b（a，b≠0）， ba<1（a∈R，b>0）⇔a < b（a∈R，b>0）.
索引
2.不等式的性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a； (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； (3)同向可加性：a＞b⇔a＋c__＞__b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c__＞__b＋d； (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac_＞___bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞ 0⇒ac__＞__bd； (5)可乘方性：a＞b＞0⇒an_＞___bn(n∈N，n≥1)； (6)可开方性：a＞b＞0⇒n a ＞ n b(n∈N，n≥2).

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a＞b， c 0 ，那么ac＜bc ④、a＞b＞0， c d 0 那么，ac＞bd ⑤、a＞b＞0 那么 n a n b（条件n N, n 2） ⑥、|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|
这些性质是推导不等式其他性质的基础，也是证明不等式的依据。
基本性质练习
1、对于实数a,b,c，判断下列命题的真假
①c－b＞c－a，那么b＞a
（× ）
②a＞b＞0，则 1 1 ab
（× ）
③a＞b，则ac＞bc ④ac2＞bc2，则a＞b
（× ）（ √）
⑤a＞b， 1 1 ab
则a＞0，b＜0 （ √）
⑥a＜b＜0，则|a|＞|b|
（ √）
2、判断下列命题是否正确:
(1) a b,c b a c ( × ) (6) a 2 b2 a b (× )
不等式复习(一）
2019年5月21日星期二 03:53:23
《不等式》知识结构
均值不等式
不
实数与
不
的大
等
不等
等
运小
式
不等式证明
式
式
算顺性序质
性质
应用
不等式解法
两实数比较大小
2019年5月21日星期二 03:53:23
作差比较法的步骤：作差——变形（化简）——判断（差值与0的大小）——得出结论
(2) a b c a c b (√ ) (3) a b a2 b2 (√ )
(7) a b a2 b2 (× )
(8) a b ac2 bc2 ( ×)
(4) a b a2 b2 ( ×) (9) a b,c d ac bd ( ×)
a=b
不等式的基本性质： ①对称性： a>b ②传递性： a>b,b>c ③可加性： a>b ④加法法则： a>b,c>d ⑤可乘性： a>b,c>0
a>b,c<0
b<a; a>c;
a+c>b+c; a+c>b+d; ac>bc; ac<bc;
2019年5月21日星期二 03:53:23
⑥乘法法则：a>b>0,c>d>0 ⑦倒数法则：a>b,ab>0 ⑧乘方法则：a>b>0 ⑨开方法则：a>b>0
2019年5月21日星期二 03:53:23
⑩绝对值不等式的性质：
(1)|x|<a (2)|x|>a
-a<x<a. (a>0); x>a或x<-a. (a>0)
(3)|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|
a （4）绝对值的定义 | a | 0
a
(当a 0时) (当a 0时) (当a 0时)

12 x

3x

2
12 3x 12 x
二定
当且仅当 12 3x即x 2 时取等号,
即当x=2时x函数的最小值为12.
三相等
利用均值不等式求函数最值的步骤:
典型错解举例：
一正,二定,三相等
5 例1、求函数 f (x) 2 log2 x log2 x (0 x 1)
(5) a b a b ( √ )
c2 c2
(10)
a

b

0, c

d

0

a c

b d
( ×)
3、已知 2 a b 3,2 c 0, 求 c(a b) 的取值范
围.
复习二：
1. 基本不等式,均值不等式:
①a,b∈R,a2 +b2≥2ab
(当且仅当a=b时取“=”号)
比较法
作差比较法
不等式的证明
综合法分析法
不等
其他证明方法
式
一元一次和一元
不等式的解法二次不等式
作商比较法反证法换元法放缩法
分式不等式指数和对数不等式
不等式的应用
求最值解实际应用题
2019年5月21日星期二 03:53:23
实数的运算性质：a-b>0 a>b
a-b<0
a<b
a-b=0
一正,二定,三相等
利用均值不等式求函数最值的步骤: 一正,二定,三相等
练习1)若x>0,f(x)= 12 3x的最小值为___1_2___;此时x=__2_____
x
若x<0,f(x)= 12 3x的最大值为__-_1_2___;此时x=__-_2____.
一正 x
解:因为x>0,
f (x)
ab
(5)a b 2 ab (a 0,b 0)
推广 : a b c 3 abc (当且仅当a=b=c时取“=”号)
3
当a1,a2, … ,an是正数时
a1 a2 n
an n a1a2
an
(当且仅当a1=a2= =an时取" "号)
利用均值不等式求函数最值的步骤: ①各项必须为正; ②含变数的各项和或积必须为定值; ③必须有自变量值能使函数取到 = 号.
②a,b是正数, a b ab (当且仅当a=b时取”=“号) 2
2.上面两个重要不等式有如下变形及推广:
(1)ab a2 b2 (a R,b R) (2)ab ( a b)2 (a 0,b 0)
2
2
(3) b a 2(a,b同号) (4)a b 2 ab(a 0,b 0)
ac>bd;
1
a
1 b
;
an>bn;
n anb ;
例1，已知c>a>b>0，求证：
c
a a
b cb
分析：此题要根据不等式的构成特征，从已知条件入手，以不等式的性质为依据，应用构造法完成证明。
a>b>0
-a<-b<0
0<c-a<c-b

1 ca

1 cb
0
ab0

a ca

b cb
（5）实数乘法与除法绝对值的性质
|ab|=|a|·|b|， a | a | (b 0) b |b|
2019年5月21日星期二 03:53:23
重点内容
不等式的主要性质有： ①、对称性：a b b a 传递性：a___b_,b___c__ a c ②、 a b,c R ，a+c＞b+c ③、a＞b， c 0 ，那么ac＞bc；
作商比较法的原理及步骤： a, b R a b a 1 b a b a 1 b a b a 1 b
步骤：作商——变形（化简）——判断（差值与实数1的大小关系）——得出结论
2019年5月21日星期二 03:5等式的性质