第15周第4课时九上1-4角平分线(2)柳埠中学徐好霞

1.４．角平分线（二）
一、课标与教材：1、课标要求：了解角平分线及其性质。

探索并证明角平分线上
的点到角的两边距离相等，角的内部到两边距离相等的点在角的平分线上。

尺规
作图作已知角的角平分线。

了解三角形的角平分线。

2、教学建议：学生对于角平分线性质定理和逆定理均有一个很深的了解和理解，
在此基础上本节主要是通过例题来巩固定理和逆定理的应用，提高学生证明推
理能力。

教材知识的呈现方式及知识体系：本节课要求会运用三角形三个内角的平分线的性
质作出三角形三个内角的角平分线。

角平分线的性质定理和判定定理的会灵活运用；培养
学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力．进一步发展学生的推理证明意识和能
力，掌握证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论．掌握三角形三
个内角的平分线的性质．并综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中
的问题．本节难点角平分线的性质定理和判定定理的综合应用．
二、学情分析：学生已经知道的：通过上节的学习，学生对于角平分线性质定理
和逆定理均有一个很深的了解和理解，在此基础上本节主要是通过例题来巩固
定理和逆定理的应用，提高学生证明推理能力。

学生想知道的：在上节课中学生做的是单一的角的平分线性质定理及判定定理
的应用，三角形的角平分线的性质定理和判定定理有何应用．
学生能自己解决的：会画角平分线
三、教学目标：1、知识与技能
（1）证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论．
（2）角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用．
（3）会画三角形的角平分线，知道他们能交于一点。

2．数学思考：
（1）进一步发展学生的推理证明意识和能力．
（2）培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力．
3、问题解决：提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力．
过程与方法在具体情景中让学生体会观察、归纳的思想。

4、情感与态度①能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．
②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心
四、重、难点及突破：重点：①三角形三个内角的平分线的性质．
②综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题．
难点：角平分线的性质定理和判定定理的综合应用．
难点突破：通过实际问题的解决突破难点
五、教学方法与媒体：采用多媒体， 本节课展开主要以“学习探究—小组合作——归纳拓展——交流总结” 的模式进行，因而采用情景教学法。

教具：圆规，三角板
六、 学 过 程
第一环节：设置情境问题，搭建探究平台
问题l 习题1．8的第1题作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么?能证明自己发现的结论一定正确吗？
于是，首先证明“三角形的三个内角的角平分线交于一点” ．
当然学生可能会提到折纸证明、软件演示等方式证明，但最终，教师要引导学生进行逻辑上的证明。

复习角平分线的性质定理和逆定理，并写出数学语言
第二环节：展示思维过程，构建探究平台
已知：如图，设△ABC 的角平分线．BM 、CN 相交于点P ， 证明：P 点在∠B AC 的角平分线上． 画图三种三角形的三条角平分线
证明：过P 点作PD ⊥AB ，PF ⊥AC ，PE ⊥BC ，其中D 、E 、F 是垂足．
∵BM 是△ABC 的角平分线，点P 在BM 上，
∴PD =PE (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)． 同理：PE =PF ． ∴PD =PF ．
∴点P 在∠BAC 的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)．
∴△ABC 的三条角平分线相交于点P ．
在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还有什么“附带”的成果呢?
（PD =PE =PF ，即这个交点到三角形三边的距离相等．）
得出三角形的三条角平分线定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．
D F
E
M
N
C B
A P
下面我通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理
通过画图总结出结论，要求学生思考、交流。

教师讲评
问题2
如图：直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？你如何发现的?
l3
l2
1
l C
B
A
第三环节：例题讲解
[例1]如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
(1)已知CD=4 cm，求AC的长；
(2)求证：AB=AC+CD．
计算和证明融合在一起，使学生进一步理解、掌握这些知识和方法，并能综合运用它们解决问题．
(1)解：∵AD是△ABC的角平分线，
∠C=90°，DE⊥AB．
∴DE=CD=4cm(角平分线上的点到这个角两边的距离相等)．A
D B
E
C
∵∠AC=∠BC ∴∠B=∠BAC(等边对等角)． ∵∠C=90°， ∴∠B=12 ×90°=45°． ∴∠BDE=90°—45°＝45°． ∴BE=DE(等角对等边)． 在等腰直角三角形BDE 中 BD=2DE 2.=4 2 cm(勾股定理)， ∴AC=BC=CD+BD=(4+42)cm ． (2)证明：由(1)的求解过程可知， Rt △ACD ≌Rt △AED(HL 定理) ∴AC=AE ． ∵BE=DE=CD ， ∴AB=AE+BE=AC+CD ． 图中还有哪些相等的线段和角呢?
[例2]已知：如图，P 是么AOB 平分线上的一点，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别为C 、D ．
求证：(1)OC=OD ；
(2)OP 是CD 的垂直平分线．
（2）既要说明O 在CD 的垂直平分线上还要说明P 也在上面
P D
A
E C
O
B
证明：(1)P 是∠AOB 角平分线上的一点，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ， ∴PC=PD(角平分线上的点到角两边的距离相等)． 在Rt △OPC 和Rt △OPD 中，
OP =OP ，PC =PD ，
∴Rt △OPC ≌Rt △OPD (HL 定理)． ∴OC =OD (全等三角形对应边相等)． (2)又OP 是∠AOB 的角平分线，
∴OP 是CD 的垂直平分线(等腰三角形“三线合一”定理)． ∴PD =PF ．
∴点P 在∠BAC 的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)．
∴△ABC 的三条角平分线相交于点P ．
在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还有什么“附带”的成果呢?
（PD =PE =PF ，即这个交点到三角形三边的距离相等．）
定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等． 课内拓展延伸
如图，△ABC 中，点O 是∠BAC 与∠ABC 的平分线的交点，过O 作与BC 平行的直线分别交AB 、AC 于D 、E ．已知△ABC 的周长为15，BC 的长为6，求△ADE 的周长.
归纳交流本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明了三角形三条角平分线
交于一点，且这一点到三角形各边的距离相等．并综合运用我们前面学过的性质定理等解决了几何中的计算和证明问题． 先由学生总结，最后教师补充。

布置作业第五环节：课后作业
C B
A
E D O
课本习题1．9 第1、2题（必做）
P40 第3题（选做）板书设计：1：三角形的三条角平分线定理
2、
3、例题与练习。