九年级数学角平分线的应用
角平分线的性质及判定 角平分线的应用
12.3角平分线的性质及判定第3课时角平分线的应用一、教学目标知识与技能：理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题过程与方法：经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．情感态度与价值观：学生通过观察，亲自动手实验获得数学的猜想，体验数学活动充满着探索性和创作性，培养学生克服困难的意志，激发学生的学习兴趣二、教学准备多媒体课件，教学三角板三、重点难点重点：角平分线的性质难点：角平分线的应用四、教学方法讲练结合五、教学过程（一）、复习旧知1、角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
2、角平分线的性质定理：在角平分线上的点到这个角的两条边的距离相等。
3、判定定理：在角的内部到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
（二）、情境导入在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路．问题1：怎样修建道路最短？问题2：往哪条路走更近呢？（三）探究新知关于三角形三条角平分线的交点问题如图，如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC、∠ACB 的平分线，那么：①AP、BQ、CR相交于一点吗？②若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，DI、EI、FI 有什么关系？结论：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部. 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. （四）例题精析例1三角形内（外）角平分线夹角结论（1）如图①PB、PC分别平分∠ABC和∠ACB（2）如图②PB、PC分别平分∠ABC和∠ACB的外角（3）如图③PB平分∠ABC、PC平分∠ACB的外角结论：（1）∠P=90°+21∠A（2）∠P=90°-21∠A（3）∠P=21∠A应用：如图在△ABC中，PB平分∠ABC，PC平分∠ACB的外角，若∠BPC=30°，则∠BAC= °例2、在△ABC中，O是角平分线BE和CD的交点，∠A=60°，求证：OD=OE例3、在△ABC中，AD是角平分线，2∠C=∠B， AC-AB=BDDEOBADA课堂练习在正方形ABCD中，∠1=∠2 AE=BE+DF（六）、课堂小结本节课我们学习了什么内容？首先复习了角平分线的定义，性质定理和逆定理。
角平分线定理解三角形问题
角平分线定理解三角形问题
角平分线定理是初中数学中的重要定理之一，它是解决三角形
内角平分线相关问题的重要工具。
在本文中，我们将探讨角平分线
定理的概念和应用。
首先，让我们来了解一下角平分线定理的定义。
在一个三角形中，如果一条线段从一个角的顶点到对边上某一点，且使得这条线
段把这个角分成两个相等的角，那么这条线段就是这个角的平分线。
角平分线定理指出，如果在一个三角形中，一条角的内角平分线与
对边相交，那么这条角的内角平分线将这个对边分成两个部分，且
这两个部分的比等于另外两条边的比。
接下来，让我们看一些角平分线定理的应用。
角平分线定理可
以用来解决一些与三角形内角平分线相关的问题，比如求解三角形
内角平分线的长度、判断三角形内角平分线的位置关系等。
通过角
平分线定理，我们可以推导出一些有趣的几何性质，例如角平分线
的交点是三角形内切圆的圆心，或者角平分线和三角形的外接圆有
一些特殊的位置关系等。
除了在数学中的应用，角平分线定理也有一些实际的应用。
在
建筑、工程和设计领域，我们经常需要利用角平分线定理来进行测量和设计，比如在绘制建筑图纸时，需要准确地确定角的平分线位置，以确保建筑结构的稳定性和美观性。
总之，角平分线定理是一个十分重要的数学定理，它不仅在数学理论中有着重要的地位，而且在实际应用中也具有重要的意义。
通过深入理解和应用角平分线定理，我们可以更好地理解和解决与三角形内角平分线相关的问题，同时也可以将其运用到实际生活和工作中。
图形的角平分线
图形的角平分线角平分线是一条从角的顶点出发的线段，将角等分为两个相等的部分。
它在数学和几何中有着重要的应用和性质。
本文将详细介绍图形的角平分线及其相关性质。
一、角平分线的定义及性质角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角等分成两个相等的角的线段。
角平分线具有以下性质：1. 角平分线与角的边相交，将角分成两个相等的角。
2. 角平分线与角的对边垂直相交。
3. 当一个角的两条边上的点到另一边的距离相等时，这个点就是角的平分线上的点。
二、三角形的角平分线在三角形中，角平分线具有一些特殊性质，如下所示：1. 内角平分线：从一个内角的顶点出发，将这个内角等分成两个相等的角的线段。
三角形的三个内角的角平分线会相交于一个点，被称为内心，内心到三角形的各个顶点的距离相等。
2. 外角平分线：从一个外角的顶点出发，将这个外角等分成两个相等的角的线段。
三角形的三个外角的角平分线被称为三角形的外心，外心到三角形的顶点的距离相等。
3. 中心角平分线：从一个中心角的顶点出发，将这个中心角等分成两个相等的角的线段。
三角形的三个中心角的角平分线相交于一个点，被称为三角形的外接圆心，外接圆心到三角形的各个顶点的距离相等。
三、四边形的角平分线除了三角形，四边形的角平分线也具有一些特殊性质，如下所示：1. 对角线的角平分线：四边形的对角线的交点到四边形的各个顶点的距离相等。
2. 长方形的角平分线：长方形的角平分线是垂直平分线，将角等分为两个相等的直角。
3. 正方形的角平分线：正方形的角平分线具有特殊性质，将角等分为两个相等的直角。
四、其他除了三角形和四边形之外，其他一些图形也存在角平分线，如下所示：1. 平行四边形的角平分线：平行四边形的对角线交点到相对顶点的距离相等。
2. 五边形的角平分线：五边形的每个内角都可以有一个角平分线。
3. 圆的角平分线：圆的半径可以被视为角平分线，将圆内的角等分为两个相等的角。
五、应用领域角平分线在实际生活和学科中有广泛应用，如下所示：1. 建筑设计：在建筑设计中，角平分线可以帮助确定房间的布局和摆放家具的位置。
平行四边形的角平分线
平行四边形的角平分线平行四边形是初中数学中常见的图形，在平行四边形中，角平分线也是一个十分重要的概念。
本文将从什么是角平分线、角平分线的性质以及角平分线的应用三个方面展开讨论。
一、什么是角平分线在平行四边形中，如果一条直线同时平分两个相邻角，则这条直线就被称为该平行四边形的角平分线。
如下图所示，直线DE即为平行四边形ABCD的角平分线。
二、角平分线的性质1. 角平分线将相邻两个角分成的两个小角相等。
如下图所示，直线DE将角BAD分成了两个小角BAD和DAC，这两个小角相等。
2. 角平分线与平行四边形两边交点所在的线段相等。
如下图所示，DE与平行四边形的两边AB和DC的交点分别为E和F，且EF=DE。
3. 角平分线将平行四边形分成的两个三角形面积相等。
如下图所示，平行四边形ABCD被角平分线DE分成了两个三角形ADE和BCE，这两个三角形的面积相等。
三、角平分线的应用1. 求角平分线长度。
假设在平行四边形ABCD中，角BAD和角ABC的度数分别为α和β，直线DE为角BAD的角平分线。
则根据角平分线的性质1，有α/2=β/2，即α=β。
又根据角平分线的性质2，有DE/AB=DE/CD，即DE=AB×CD/AB+CD。
因此，可以通过已知角度和平行四边形两边长度，求出角平分线的长度。
2. 求平行四边形的面积。
在已知平行四边形ABCD的两个对角线长度和角平分线长度的情况下，可以利用角平分线的性质3求出平行四边形的面积。
3. 求平行四边形两条对角线的交点坐标。
在已知平行四边形ABCD的两个对角线长度和角平分线长度的情况下，可以利用角平分线的性质2求出对角线的交点坐标。
在初中数学中，平行四边形和角平分线都是非常基础和重要的概念。
掌握了这些概念的性质和应用，能够帮助我们更好地理解和运用平行四边形及其相关的数学知识。
角平分线性质定理的应用
例析角平分线性质定理的应用.可联想角平分线的性质，数学问题中，若出现角平分线这一条件时，往往可以化难为易.下面举例予以说明．MAN，AC平分∠MAN例1 （临沂）已知∠；＋AD＝AC，求证：＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°AB（1）在图1中，若∠MAN，则⑴中的结论是否仍然成180°ABC＋∠ADC＝（2）在图2中，若∠MAN＝120°，∠立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．MMMCCCEDDD G BAAB F NNBAN图32图图1分析：（1）中可利用“直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半”的性质解题；（2）中猜想结论仍成立，可通过添加辅助线，构造全等三角形进行等线段的转化．解：（1）∵AC平分∠MAN，∠MAN＝120°，∴∠CAB＝∠CAD＝60°．∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠ACB＝∠ACD＝30°．1AC．＝AB∴＝AD2∴AB＋AD＝AC．（2）成立．如图3，过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F．∵AC平分∠MAN，∴CE＝CF．∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠CDE＝180°．∴∠CDE＝∠ABC．∵∠CED＝∠CFB＝90°，∴△CED≌△CFB，∴ED＝FB．∴AB＋AD＝（AF＋BF）＋（AE－ED）＝AF＋AE，由（1）知AF＋AE＝AC，∴AB＋AD＝AC．例2 如图4，在△ABC中，∠ABC=100°，∠ACB=20°，CE平分∠ACB，D是AC上一点，若∠CBD=20°，求∠ADE的度数.分析：由于CE平分∠ACB，可过点E作∠ACB的两边的垂线，通过证明DE是∠ADB- 1 -的平分线解决问题.图4解：作EN⊥CA，EM⊥BD，EP⊥CB，垂足分别是N、M、P.因为∠ABD=∠ABC-∠CBD=100°－20°=80°，∠PBA=180°－100°=80°，所以∠PBA=∠ABD.因为EM⊥BD于M，EP⊥CB于P，所以EP=EM.又CE平分∠ACB，EN⊥CA，EP⊥CB，所以EN=EP，所以EN=EM.11∠ADB=×40°平分∠ADB，所以∠ADE==20°. ED所以22例3 如图5，OC平分∠AOB，P是OC上一点，D是OA上一点，E是OB上一点，且PD=PE，求证：∠PDO＋∠PEO ＝180°．分析：要证∠PDO＋∠PEO＝180°，∠PDO、∠PEO在图形的不同位置，又无平行线使它们联系起来，但若考虑设法把其中的一个角转化为另一个角的邻补角，问题便可以解决．由于OC是角平分线，故可过P点作两边的垂线，构造出两个直角三角形，再证明这两个三角形全等即可．证明：过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M、N．因OC是角平分线，故PM=PN．由PD=PE，PM=PN，得Rt△PMD≌RtPNE，所以∠MDP＝∠NEP．图5则∠PEO＝∠MDP，而∠MDP＋∠PDO＝180°，∠PDO＋∠PEO＝180°．?A?90ABPD?BCADC//AD P．求4例如图6是，，平分的中点，，已知：CP?DCB．证：平分?ADC?DCB PP的角平分线上，可转化为证的平分线上，而欲证点在在点分析：DC PP引垂线，这是本题证明的关键．点到这个角两边的距离相等，从而考虑过点一点向- 2 -以便充分运用角平分线的性质定理和判定定理．EDCPE?证明：作，垂足为，D A90?4??A??3?2 ，所以1 E 4 3P PE???ADC?1?2PAPD，所以．因为平分，所以CBPBPE??ABPAPB P因为是，所以的中点，所以，6 图DCB?CPDCB?P平分的平分线上，所以．所以点在- 3 -。
初中数学 如何使用角平分线定理计算三角形的边长
初中数学如何使用角平分线定理计算三角形的边长
使用角平分线定理计算三角形的边长需要结合其他定理和公式。
下面是一个详细的步骤：
步骤1：确定三角形的内角平分线
-在三角形的某个角上，做一条平分线，将该角分成两个相等的角，同时将对立面的边分成两个比例相等的线段。
步骤2：根据角平分线定理计算边长比例
-根据角平分线定理，可以得到平分线所在边分成的两个线段的比例等于另外两个边的比例。
-假设平分线所在边为AB，对立面的边为C，而平分线将AB 分成AD 和DB 两个线段，那么有BD/DC = AB/AC。
步骤3：计算三角形的边长
-根据步骤2中得到的比例，可以列出一个方程式，利用已知的边长计算出未知的边长。
-例如，如果已知三角形的两个边长a 和b，以及角A 的平分线AD，那么可以利用BD/DC = AB/AC 这个比例来计算出第三边c 的长度。
需要注意的是，进行计算时需要准确测量和记录三角形的边长和角平分线的长度，以及正确应用公式和定理。
总结：
使用角平分线定理计算三角形的边长需要结合其他相关公式，步骤包括确定三角形的内角平分线、根据角平分线定理计算边长比例和应用公式计算边长。
这个方法可以帮助我们更好地理解和应用角平分线定理，并解决与三角形边长相关的问题。
九年级数学角平分线
到一个角的两边的距 离相等的点，在这个 角的平分线上。
常见误区及纠正方法
01
误区一
认为角平分线就是角的对称轴。实际上，角平分线所在的直线是这个角
的对称轴，但角平分线本身不是对称轴。
02 03
误区二
认为角平分线将角所在的平面分成面积相等的两部分。实际上，这个结 论只在一些特殊情况下成立，例如当角是直角或角所在的三角形是等腰 三角形测量建筑物的角 度，利用角平分线的性质可以简化测量过 程并提高精度。
在地理定位中，可以利用角平分线判断两 个地点之间的相对方向，从而确定目标位 置。
军事领域中阵地布局
物理学中光线传播路径分析
在军事领域中，角平分线可用于阵地布局 和火力分配，提高作战效率。
在物理学中，光线传播遵循直线传播和反 射定律，利用角平分线可以分析光线在不 同介质中的传播路径。
PART 05
角平分线在实际问题中应 用
REPORTING
WENKU DESIGN
角度测量问题解决方法
利用角平分线性质定理
角平分线将相邻两边按比例分割，根据已知角度和边长，可求解 未知角度。
构造全等三角形
通过角平分线构造两个全等三角形，利用全等三角形的性质求解角 度。
应用三角函数
在直角三角形中，利用角平分线与对边所形成的角，结合三角函数 求解角度。
答案及详细解析提供
练习题2答案及解析
解：过点D作DE⊥AB于点E。由于AD平分∠BAC，∠C=90°，所以CD=DE。在Rt△BDE和Rt△ACD中，由 于∠BDE=∠ADC=90°，∠B=∠CAD，所以Rt△BDE∽Rt△ACD。因此，BD:AD=DE:CD。设CD=7x，则 BD=9x。由于BC=32，所以7x+9x=32，解得x=2。因此，CD=14，DE=CD=14。所以点D到AB的距离 为14。
直角三角形角平分线定理
直角三角形角平分线定理
直角三角形角平分线定理是指：在一个直角三角形中，从直角顶点引出一条直线，将直角分为两个角度相等的角，则该直线被称为直角三角形的角平分线。
这个定理是数学中基础的定理之一，在数学中经常应用。
一、角平分线的性质
1. 角平分线把对边分为相等的两部分。
2. 角平分线上的点，到对边两点的距离相等。
3. 对于同一条角平分线，可以作出两条垂直于这条角平分线的直线，这两条直线相交于直角。
二、角平分线的应用
1. 海伦公式：用于计算任意三角形的面积。
海伦公式中需要用到三条边的长度，以及半周长。
而角平分线可以将三角形分成两个相似的三角形，其中一个边长为三角形斜边的一半，而另一个边长可以通过勾股定理计算得出。
这样，我们就可以轻松地计算半周长和三条边的长度。
2. 证明两条直线垂直：假设我们有两条直线交于一点，现在需要证明它们垂直。
我们可以在这个交点处引出一条角平分线，将两条直线分为两个相等的角度。
然后，我们再作两条垂直于角平分线的直线，这两条直线将交于直角。
3. 证明三角形相似：如果我们有两个三角形，需要证明它们相似。
我们可以找到它们的一个顶点，然后从该顶点引出两条角平分线，将这两个三角形分成两个相似的三角形。
如果另外两个顶点所在的线段比例相等，则这两个三角形相似。
总之，角平分线定理是数学学习中非常重要的一条定理，它广泛应用于几何分析、数学证明等领域，具有非常高的实用性和普适性。
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Hale Waihona Puke