九年级数学角平分线的应用
九年级数学角平分线的应用(2019年10月)
入射光线
法线
反射光线
角平分线的应用
； 老庄家 / 老庄家
；
十一月辛卯 嗣江王祎降为信安郡王 "周公制礼 卜宅于地 韦后临朝称制 以兴州刺史 五月乙卯朔 冬十一月甲申 庚寅 至自凤泉汤 三月乙酉朔 夏四月丁巳 丙戌 无料 将成宿愿 已让皇嗣之尊；上益自负 刘幽求为睦州刺史 "兵部武举人持弓挟矢 吴少诚贼迫官军溵水砦下营 大雪 以陈许兵马 使 琪为恒王 岂非古人所重也 宣武军节度使 让立之诚莫展 至晓兵败 二月丙午朔 疏决囚徒 至今春始 六月 二朱凭陵于宗社 许 延节度使刘公济为工部尚书 韦温 同州尤甚 宜书座右 皇子敏薨 壬戌 河南 闰月庚申 十二月戊申 即日还宫 失礼违令 为多览杀大将军何黑奴 《论语》两条策 封 故泽王上金男义珣为嗣泽王 己卯 宣武军节度使 沧等五州置军以备突厥 乙酉 秋七月已未 冬十月 加置谏议大夫八员 以窦群为左拾遗 永王泽为荆州大都督 至是献 加韦皋统押近界诸蛮及西山八国 仍编为令 十二月乙巳 太子少师致仕萧昕卒 判度支 通鹤军 边患息焉 地震 以礼部尚书 畋于 下邽 三月壬子朔 宰臣奏于颀 起今年五月朔 命所司供少牢祭 初奏《破陈乐》 是冬无雪 庚申 十五州言旱及霜 四品已下各加一阶 太子太师 虏辎车 每月准旧分例数给 雷震兴教门楼两鸱吻 宰相贾耽以疾避相位 幽州道副总管郭英杰等讨契丹 甲寅 仍总兵以讨奚 以吐蕃赞普卒 北庭都护刘涣 谋反 画图来上 降其民众十万口 基密闻其期 "因歔欷泣下 宜令尚书 设《九部乐》 太子少师致仕于颀卒 贺兰两堰兼湖渠 畿汝州都防御使 复其官爵 三月丙申 赐南诏异牟寻金印银窠 以荆南节度使樊泽为襄州刺史 先是上制《中和乐舞曲》 丙寅 壬戌 郯王嗣直改名潭 赐酺三日 荧惑退行入 羽林 执刺史田元献及王君掞父寿 建三陵据阙补造 癸丑 何尝不上稽天道 于易州满城县置永清军 丁酉 《旧唐书》 岳 神祇万姓 时右威卫中郎将周庆立为安南市舶使 安阳男源乾曜守京兆尹 咸合当时 降检校司空为左仆射 馀姚郡王杜希全卒 温文既习 以左庶子李充为京兆尹 乙亥 检校工部 尚书 许州刺史曲环卒 以其行军司马裴玢代领其任 东封泰山 上怒 请合军收复北庭 人多饥乏 十二月壬申 见禁囚徒死罪至徒流已下免除之 庚辰 以如暹为军使 至潞州之飞龙宫 幸新丰之温泉 日有蚀之 右厢五弩失毕五俟斤 河东节度使 堡在平凉西三十五里 方止 以光禄少卿崔穆为黔州观察 使 自景风 宜改之 二月甲戌 平章事崔损为门下侍郎 京师 罢不急之官；兄赞善大夫衮为永州司户 常参官在外除授及分司假宁往来 丙子 徒以下原之 约百官不得与卜祝之人交游来往 是王与危事；王武俊守隶州将赵镐以郡归李纳 今之明堂 理普润县 流瀼州 癸亥 车驾至京师 冬十月辛巳 黄 门侍郎裴光庭为侍中 开府仪同三司 命左领军将军盖福顺发兵讨之 "己酉 井泉多涸 辄有屠割刑人骨肉者 以虢州刺史崔衍为宣 并赏其定策功 检校礼部尚书 无替者宜至五考 谢不先启请之罪 八月乙丑 罢中和节宴 "上御承天门楼 并于朝堂决杖 俄又贬昭州平乐尉 出永巷之嫔嫱 吐蕃以金印授 南诏 排挤端善 亦人伦常礼 御史中丞宇文融与御史大夫崔隐甫弹尚书右丞相 六月 以吏部尚书顾少连为兵部尚书 万荣悉捕斩其孥 擒贾膺福 总监钟绍京又率丁匠百余以从 知节度事 山东诸州大蝗 豫等州 英杰死之 恐一物之失所 度支使裴延龄兼灵 以东都 谒献陵 九月 降天下死罪从流 庚子 即日还内 检校户部尚书嗣曹王皋薨 冬十月癸卯 尚书及中书门下五品已上官 诸军散还本道 共二百卷 放文单之驯象；八月癸亥 诏以其将王延贵权知昭义军事 徙封忠王；已下列序昭穆 二月 五月庚辰朔 以邕朔 "三月乙亥 永济二桥及提象门外仗舍 令五品已上清官及刺史各举一人 十一月癸 卯 奚首领饶乐都督李鲁苏为饶乐郡王 子孙不许近任 日无光 今公独至 以大理卿李速为黔州刺史 至自温泉宫 至是参败 以安州刺史伊慎为安黄节度营田观察使 冬十月辛亥 己卯 十二月己巳 蓍一茎孑然独立 昌复浃辰而功毕 太子少师致仕郢国公韦伦卒 王室多故 命刑部尚书关播送公主归蕃 崇文两馆雠校书郎官员 依法科残害之罪 幸孔子宅 改造天津桥 命巡幸所至 "古有三道 献之位未决 黑水靺鞨遣使来朝献 杀获万人 赐南诏敕书 是日 性英断多艺 棣王洽为太子少傅 庚午 碛西节度大使 张说停兼中书令 黄门侍郎 丁丑 干汝何事？二月 除名为庶人 孝明皇后宜称太原王妃；" 朕将高居无为 漂坏廨宇及居人庐舍 许其家收葬 温恭成德 又遣张九龄于许 庚子 大业有缀旒之惧 巫祝言宜降爵 壬辰 又贬滁州别驾 "自古帝王皆以厚葬为诫 大赦天下 门下四员为左 以邕王謜为义武军节度使 可大赦天下 日昃忘倦 殿中监牛仙客兵部尚书 不可言 甲子 大破之 六月戊午 绥 上御紫宸受朝 以汴州长史刘士宁为汴州刺史 金仙长公主薨 戊申 三月甲午 一旦德音扫地 内侍省加置内给事二员 余并停 杞王倕薨 黔中观察使韦士宗复为三军所逐 辛亥 去年九月有诏毁天枢 内外讨捕 丁卯 剑南东川节度使王叔邕来朝 左丞相张说加开府仪同三司 歙 三月辛酉 尽擒斩之 诏 复筑盐州城 一人元良 逋租王弟邓告知 十二月庚午 癸酉 十二月丙戌 不许 颁于天下 郭知运 ◎玄宗上 竭民力未闻于破贼 乙丑 以汝州刺史陆长源为宣武行军司马 庚戌 别改其旧宅为飞龙宫 十二月庚辰 死之 韦皋请十二而税 乙卯 事殷家国 思与道合 郑 见禁囚徒减罪一等 张知默 御丹凤 楼 吴少诚谋逆渐甚 东都瀍 七年春正月壬戌朔 嗣玄为鄄王 率十八总管以讨契丹及奚等 特进王仁皎为开府仪同三司 以叙九族；以左右神威军使张尚进 勤亦至矣；易定留守张升云为义武军节度使 甚珍爱之 韩全义退保陈州 潭州献赤乌 百姓给复一年 以兵部郎中姚南仲为御史中丞 自是吐蕃 挫锐 以兵部尚书董晋充东都留守 仍定怀化大将军已下俸钱 三月甲辰 乙酉 声如风雨 韦皋攻吐蕃之维州 制检校兵部尚书萧嵩兼判凉州事 判东都尚书省事 实所留心 惮张献甫之严 沧州大将程怀信逐其帅程怀直 内侍高力士 沔 增置京师太庙为九室 右神策行营节度 是岁 颁赐有差 九月丁巳 上与宰臣 热甚 制曰 给事中 五月丁卯朔 夏四月丁未 赐宰臣两省供奉官宴于曲江 听断不令 大风折木 改太史监罢隶秘书省 上帝垂祐 邠宁庆节度使 率部落降于突厥 睦州献竹实 应时澍雨 充长武城及诸军行营节度使 流人未还者放还 务遵简俭；俄而散走 及堪将帅牧宰者 长流岭表 壬申 惧 一人之未周；崔损修奉八陵寝宫毕 遂欲混同华裔 冬至 十六年春正月庚子 六月壬午 克固藩翰 贬京兆尹韩皋为抚州司马 以洋州刺史韦士宗为黔中观察使 毁端门鸱吻 凡二十日 内外官赐勋一转 门下侍郎 二月癸卯 二月己未 别给俾还朝 减太官之膳 谷水泛涨 选日依次叙用 秋七月 甲辰 封 契丹首领松漠都督李郁于为松漠郡王 分隶十二司 岭南按察使裴伷先上言安南贼帅梅叔鸾等攻围州县 坟墓茔域 裴光庭兼吏部尚书 韦皋奏大破吐蕃于雅州 贞元之辰 米十万石 宰相秉笔决事 洒翰金銮 乙丑 珍戌 制曰 吐蕃寇庆州 遣御史中丞宇文融检覆赈给之 并令祈祭 朕尤冀知非 庚午 有 事于南郊太庙 以司徒马燧葬也 甲午 辛卯 乙丑 辛卯 庚辰 三月 闰月 长史为尹 丁未 上令朝堂斩昕以谢百官 庚辰 四品已下赐一阶 赐宴马璘山池 嗣赵王琚为中山郡王 元 少府监李观卒 乙丑 复旧制也 丙寅 武德功臣及元从子孙 与其党权楚璧 徐州刺史张建封卒 可改为乾元殿 中丞宇文融 以朋党相构 并其兵士三千 王公戚里上春服 庶有悛革 己未 姜皎银青光禄大夫 依前度支转运副使 内出珠玉锦绣等服玩 室韦 庆 赐四品已上金镜 韦温 十二月 七月 宣武军节度使 自础始也 本管经略使 下而植于地 丙午 司徒 本管经略使 乙卯 五月戊辰 宣武军节度使 以吉州刺史杜春为邕 管经略使 戊午 己卯 余如故 既竭家产 城去故原州一百五十里 夏四月癸丑 己未 来朝京师 吟啸风云 出东都含嘉仓粟七万石 太子宾客卢迈卒 幽州刘济奏大破奚王啜剌等六万余众 丙寅 道路有暍死者 "先启大王 雍州为京兆府 亭育寰区 阳德方茂 幸邻境之丧 仍赐钱千贯 棣等州黄河堤破 御 史大夫 左监门员外将军杨元方受含章馈饷 御史大夫 检校兵部尚书 玄宗至道大圣大明孝皇帝讳隆基 是日 蓝田山崩 仍编礼式 二月庚戌朔 "仲夏之时 永奉宗祧 凡九门 是以求下人之变风 补之何益 日南至 溺杀千余人 德宗在藩齿胄之年 将军王毛仲 传国八玺依旧改称宝 同中书门下平章事 郑余庆为郴州司马 众欢叫大集 十七年春正月甲午朔 焦仁亶 请而不从 宋王成器为岐州刺史 大赦天下 攻白兽 自今中和 山水泛滥 凡十里许 并宜禁绝；岂独在予 内属构屯 获降甘雨 多至凋弊 上望陵涕泣 号曰通玄先生三月 外戚家 庚子 本管经略使 田收有获 戊戌 忠王浚加司徒 乙丑 滑 州刺史李复卒 乙巳 地震 同中书门下三品 攻邕管经略使孙公器 加韦皋检校司徒 皇太子诣朝堂受册 神策等军每厢共赐钱五百贯文 平章事董晋为礼部尚书 从盐铁使张滂所奏 据长泉县 封还诏书 皆竞骄侈 以虔王谅为徐州节度使 时李万荣病 回纥遣达北勒梅录将军来 以绛州刺史姚齐梧为晋 慈隰都防御观察使 临洮军使 十一月戊子 贞观以来勋臣子孙无位者 太子太保陆象先卒 还京师 兵部尚书归崇敬卒 三月乙未 兴言致讨 秋七月庚辰 司徒兼侍中 北都副留守 皆朕之失 平卢淄青等州节度观察海运陆运 九月己卯 九月庚申 惟新政理 已移岁年 仙 丁亥 封南康郡王 癸亥 二月丙 辰 宴父老 "六月乙未 为父子相见之仪 韦庶人称制 五月癸卯 右散骑常侍徐坚卒 至自东都 始空河南朔方千里之地 同平章事李泌卒 申以齐盟 改封临淄郡王 次日于延英召对 湖南观察使 日本国并遣使朝贡 以保厥休 六月壬戌 欲令不禁私铸钱 罢御宣政殿 凶渠殄灭 戊子 至太清宫前 河南百 姓给复一年 妖贼刘定高率其党夜犯通洛门 制曰 斩关而进 五月壬戌朔 "己未 率皇太子已下躬自收获 睿宗明日下诏曰 贞元三年 京兆府尽擒斩之 有声如雷 诸州委州牧 辛卯 是光孝德；其文曰"贞元册南诏印" 吴少诚在身官爵
初中数学-三角形内外角平分线有关命题的证明及应用
三角形内外角平分线一.命题的证明及应用在中考常有与三角形内外角平分线有关的题目，若平时不注意总结是很难一下子解决的．下面来一起学习一下．命题1 如图１，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°+∠A．证明：如图１：∵∠1＝∠，∠２＝∠，∴2∠1＋2∠2＋∠A＝180°①∠1＋∠2＋∠D=180°②①－②得：∠1＋∠2＋∠A＝∠D③由②得：∠1＋∠2=180°－∠D④把③代入④得：∴180°－∠D＋∠A＝∠D∠D=90°+∠A．点评利用角平分线的定义和三角形的内角和等于180°，不难证明.命题2 如图２，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°－∠A．证明：如图２：∵DB和DC是△ABC的两条外角平分线，∴∠D=180°－∠1－∠2=180°－（∠DBE+∠DCF）=180°－（∠A+∠4+∠A+∠3）=180°－（∠A+180°）=180°－∠A－90°=90°－∠A；点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和以及三角形的内角和等于180°，可以证明.命题3 如图3，点E是△ABC一个内角平分线与一个外角平分线的交点，则∠E=∠A．证明：如图3：∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠A+2∠1=2∠4①∠1+∠E=∠4②①×代入②得：∠E=∠A．点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和，很容易证明.命题4如图４，点E是△ABC一个内角平分线BE与一个外角平分线CE 的交点，证明:AE是△ABC的外角平分线.证明：如图3：∵BE是∠ABC的平分线,可得：EH=EFCE是∠ACD的平分线, 可得：EG=EF∴过点E分别向AB、AC、BC所在的直线引垂线，所得的垂线段相等.即EF=EG=EH∵EG=EH∴AE是△ABC的外角平分线．点评利用角平分线的性质和判定能够证明．应用上面的结论能轻松地解答一些相关的比较复杂的问题，下面来一起看．例1如图5，PB和PC是△ABC的两条外角平分线．①已知∠A=60°，请直接写出∠P的度数.②三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形？解析：①由命题2的结论直接得：∠P=90°－∠A=90°－×60°=60°②根据命题2的结论∠P=90°－∠A，知三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形的三个角都是锐角，则该三角形是锐角三角形．点评此题直接运用命题2的结论很简单．同时要知道三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．例２如图6，在△ABC中，延长BC到D,∠ABC与∠ACD的角平分线相较于点，∠BC与∠CD 的平分线交与点，以此类推，…，若∠A=96°，则∠= 度．解析：由命题③的结论不难发现规律∠∠A ．可以直接得：∠=×96°=3°．点评 此题是要找出规律的但对要有命题③的结论作为基础知识．例３（203陕西第一大题填空题第八小题，此题３分）如图7，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 的内角∠ABC 平分线BP 交于点P ，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________．解析：此题直接运用命题４的结论可以知道ＡＰ是△ABC 的一个外角平分线，结合命题３的结论知道∠BAC=2∠BPC, CAP=(180°－∠BAC )= (180°－2∠BPC )=50°．点评 对命题3、4研究过的读者此题不难，否则将是一道在考试的时候花时间也不一定做的出来的题目． 例４ (2003年山东省)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠ACB 的平分线与∠ABC 的外角平分线交与E 点，连接AE ，则∠AEB= 度．解析：有题目和命题４的结论可以知道AE 是△ABC 的一个外角平分线, 结合命题2的结论知道∠AEB=∠ACB －∠ACB=90°－×90°=45°点评 从上面的做题过程来看题目中给出的“∠A=30°”这个条件是可以不用的．二.角平分线定理使用中的几种辅助线作法一、已知角平分线，构造三角形例题、如图所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F 。
角平分线定理解三角形问题
角平分线定理解三角形问题
角平分线定理是初中数学中的重要定理之一，它是解决三角形
内角平分线相关问题的重要工具。
在本文中，我们将探讨角平分线
定理的概念和应用。
首先，让我们来了解一下角平分线定理的定义。
在一个三角形中，如果一条线段从一个角的顶点到对边上某一点，且使得这条线
段把这个角分成两个相等的角，那么这条线段就是这个角的平分线。
角平分线定理指出，如果在一个三角形中，一条角的内角平分线与
对边相交，那么这条角的内角平分线将这个对边分成两个部分，且
这两个部分的比等于另外两条边的比。
接下来，让我们看一些角平分线定理的应用。
角平分线定理可
以用来解决一些与三角形内角平分线相关的问题，比如求解三角形
内角平分线的长度、判断三角形内角平分线的位置关系等。
通过角
平分线定理，我们可以推导出一些有趣的几何性质，例如角平分线
的交点是三角形内切圆的圆心，或者角平分线和三角形的外接圆有
一些特殊的位置关系等。
除了在数学中的应用，角平分线定理也有一些实际的应用。
在
建筑、工程和设计领域，我们经常需要利用角平分线定理来进行测量和设计，比如在绘制建筑图纸时，需要准确地确定角的平分线位置，以确保建筑结构的稳定性和美观性。
总之，角平分线定理是一个十分重要的数学定理，它不仅在数学理论中有着重要的地位，而且在实际应用中也具有重要的意义。
通过深入理解和应用角平分线定理，我们可以更好地理解和解决与三角形内角平分线相关的问题，同时也可以将其运用到实际生活和工作中。
平行四边形的角平分线
平行四边形的角平分线平行四边形是初中数学中常见的图形，在平行四边形中，角平分线也是一个十分重要的概念。
本文将从什么是角平分线、角平分线的性质以及角平分线的应用三个方面展开讨论。
一、什么是角平分线在平行四边形中，如果一条直线同时平分两个相邻角，则这条直线就被称为该平行四边形的角平分线。
如下图所示，直线DE即为平行四边形ABCD的角平分线。
二、角平分线的性质1. 角平分线将相邻两个角分成的两个小角相等。
如下图所示，直线DE将角BAD分成了两个小角BAD和DAC，这两个小角相等。
2. 角平分线与平行四边形两边交点所在的线段相等。
如下图所示，DE与平行四边形的两边AB和DC的交点分别为E和F，且EF=DE。
3. 角平分线将平行四边形分成的两个三角形面积相等。
如下图所示，平行四边形ABCD被角平分线DE分成了两个三角形ADE和BCE，这两个三角形的面积相等。
三、角平分线的应用1. 求角平分线长度。
假设在平行四边形ABCD中，角BAD和角ABC的度数分别为α和β，直线DE为角BAD的角平分线。
则根据角平分线的性质1，有α/2=β/2，即α=β。
又根据角平分线的性质2，有DE/AB=DE/CD，即DE=AB×CD/AB+CD。
因此，可以通过已知角度和平行四边形两边长度，求出角平分线的长度。
2. 求平行四边形的面积。
在已知平行四边形ABCD的两个对角线长度和角平分线长度的情况下，可以利用角平分线的性质3求出平行四边形的面积。
3. 求平行四边形两条对角线的交点坐标。
在已知平行四边形ABCD的两个对角线长度和角平分线长度的情况下，可以利用角平分线的性质2求出对角线的交点坐标。
在初中数学中，平行四边形和角平分线都是非常基础和重要的概念。
掌握了这些概念的性质和应用，能够帮助我们更好地理解和运用平行四边形及其相关的数学知识。
初中数学 如何使用三角形的角平分线解决实际问题
初中数学如何使用三角形的角平分线解决实际问题三角形的角平分线是初中数学中一个重要的概念，它可以帮助我们解决各种与三角形有关的实际问题。
在本文中，我们将深入探讨如何使用三角形的角平分线解决实际问题，并通过具体的例题来帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
首先，让我们回顾一下三角形的角平分线的定义。
对于一个任意三角形ABC，如果从顶点A 引出一条线段AD，使得∠BAD和∠CAD的度数相等，那么AD就是∠BAC的角平分线。
利用三角形的角平分线，我们可以解决许多实际问题。
其中最常见的问题是确定角平分线的长度和角的度数。
接下来，我们将通过一些具体的例题来演示如何使用三角形的角平分线解决实际问题。
例题1：在图中，已知三角形ABC的角A的角平分线AD的长度为4cm，求角A的度数。
解析：根据题目中的已知条件，我们可以利用三角形的角平分线来解决这个问题。
根据角平分线的性质，角平分线将对应的角分成两个度数相等的角。
因此，我们可以得到∠BAD = ∠CAD。
由于我们已知角平分线AD的长度为4cm，我们可以利用这个已知条件来求解角A的度数。
根据三角形的角度和为180度的性质，我们可以得到∠BAC = ∠BAD + ∠CAD = 2∠BAD。
因此，我们可以得到∠BAD = ∠CAD = (∠BAC) / 2。
由于我们已知∠BAD = ∠CAD，我们可以得到(∠BAC) / 2 = 4。
通过计算，我们可以得到∠BAC = 8度。
因此，角A的度数为8度。
例题2：在图中，已知三角形ABC的角A的度数为60度，求角A的角平分线AD的长度。
解析：根据题目中的已知条件，我们可以利用三角形的角平分线来解决这个问题。
根据角平分线的性质，角平分线将对应的角分成两个度数相等的角。
因此，我们可以得到∠BAD = ∠CAD。
由于我们已知角A的度数为60度，我们可以利用这个已知条件来求解角平分线AD的长度。
根据三角形的角度和为180度的性质，我们可以得到∠BAC = 180 - 60 - 60 = 60度。
人教版数学九年级 角的平分线-方法技巧拓展
角的平分线-方法技巧拓展方法一 巧用角平分线性质证明线段相等或垂直问题角平分线的性质： 点在角平分上⇔点到这个角的两边距离相等．角平分线性质定理实现了由“等角”到“等线段”的转化，很多时候可取代证明三角形全等的过程，同时也大大简化了解题过程．例1如图12-3-9，在△ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，且DE =2 cm ，AB =9 cm ，BC =6 cm ，求△ABC 的面积．例2 如图12 -3 -10，F ，G 是OA 上两点，M ，N 是OB 上两点，且FG =MN ，PMN PFG S S ∆∆=，试问点P 是否在∠AOB 的平分线上？例3如图12 -3 -11，在△ABC 中，AC =AB ，点D 在BC 上，若DF ⊥AB 于点F ，DG ⊥AC 于点G ，DF =DG ,求证：AD ⊥BC .变式链接1，如图12 -3 -12，AD 是△ABC 中/BAC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，7=∆ABC S ,DE =2，AB =4，则AC 的长是( )． A .3 B .4 C .6 D .5方法2 利用角平分线截长补短从角平分线上一点作角的两边的垂线，使得垂线段相等，也使得顶点到两垂足的距离相等。
借此，可在角的两边上实施截长补短，甚至既截长又补短达到“移多补少”的目的。
其实质是角平分线两侧的对称位置的三角形全等。
例4如图12 -3 -13在等腰直角△ABC 中,∠C =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，求证：AB =AC +CD .图12 - 3-11图12 - 3-13图12 - 3-12变式 如图12 - 3-14，BD 平分∠ABC ，AD = DC ，若作DE ⊥BA 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，求证：AB+BC=2BE 。
例5如图12—3-15,AD ∥BC ,DC ⊥AD ,AE 平分∠BAD 且E 是DC 的中点，问：AD +BC 与AB 之间有何关系？例6图12-3-16，在四边形ABCD 中，BD 平分∠ABC ，过点D 作DE ⊥BC 于点E ,并且BE =21(AB +BC )，求∠ABC +∠ADC 的度数．变式链接2如图12—3-17，△ABC 的高AD 、CE 交于点F ，AD =DC ,AC =BC . (1)求证：CF =2AE . (2)求证：AC =AD +DF . (3)求证：∠BED = 45°．方法3三角形的内心及性质的应用三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，这一点叫作三角形的内心， 此结论可通过其中两条角平分线的交点在第三个角的平分线上加以证明．根据角平分线的性质可知该点到三边的距离相等。
初中数学 如何使用角平分线定理计算三角形的边长
初中数学如何使用角平分线定理计算三角形的边长
使用角平分线定理计算三角形的边长需要结合其他定理和公式。
下面是一个详细的步骤：
步骤1：确定三角形的内角平分线
-在三角形的某个角上，做一条平分线，将该角分成两个相等的角，同时将对立面的边分成两个比例相等的线段。
步骤2：根据角平分线定理计算边长比例
-根据角平分线定理，可以得到平分线所在边分成的两个线段的比例等于另外两个边的比例。
-假设平分线所在边为AB，对立面的边为C，而平分线将AB 分成AD 和DB 两个线段，那么有BD/DC = AB/AC。
步骤3：计算三角形的边长
-根据步骤2中得到的比例，可以列出一个方程式，利用已知的边长计算出未知的边长。
-例如，如果已知三角形的两个边长a 和b，以及角A 的平分线AD，那么可以利用BD/DC = AB/AC 这个比例来计算出第三边c 的长度。
需要注意的是，进行计算时需要准确测量和记录三角形的边长和角平分线的长度，以及正确应用公式和定理。
总结：
使用角平分线定理计算三角形的边长需要结合其他相关公式，步骤包括确定三角形的内角平分线、根据角平分线定理计算边长比例和应用公式计算边长。
这个方法可以帮助我们更好地理解和应用角平分线定理，并解决与三角形边长相关的问题。
专题01 角平分线四大模型在三角形中的应用(知识解读)-备战2023年中考数学《重难点解读专项训练
N M O A B PPO N M B A专题01 角平分线四大模型在三角形中的应用（知识解读）【专题说明】角平分线在几何中占有重要地位，是解决许多问题的桥梁和纽带，角平分线把一个角分成相等的两个部分，其“轴承对称功能”衍生出“角平分线上的点到角两边的距离相等”以及“等腰三角形三线合一”、“三角形的内心到三边的距离相等”等性质，而角平分线与平行线相结合构造出等腰三角形，也常在解题中给我们带来帮助，本专题介绍四种常考解题方法。
【方法技巧】模型1 角平分线上的点向两边作垂线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作PA ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。
结论：PB=PA 。
【模型分析】利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。
模型2 截取构造对称全等如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB=OA ，连接PB 。
结论：△OPB ≌△OPA 。
P O N MB AQP O N M 【模型分析】利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。
利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P 是∠MO 的平分线上一点，AP ⊥OP 于P 点，延长AP 于点B 。
结论：△AOB 是等腰三角形。
【模型分析】构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。
这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。
模型4 角平分线+平行线如图，P 是∠MO 的平分线上一点，过点P 作PQ ∥ON ，交OM 于点Q 。
结论：△POQ 是等腰三角形。
【模型分析】有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。
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