三阶常系数线性非齐次微分方程特解的两种解法
第-节 高阶线性微分方程【高等数学PPT课件】
m maxl, n
Rm ( x),Qm ( x) 都是x的m次多项式, 其系数待定.
例4 设 y 5 y 6 y f ( x)
(1) f ( x) sin x 写出 y 的形式.
(2) f ( x) x cos x
Pm ( x) 为x的m次多项式. 其中 为常数,
分析： 设 y Q( x)ex 是原方程的解，则代入
原方程，整理得
Q (2 p)Q (2 p q)Q Pm ( x) ()
综上，对 f ( x) Pm ( x)ex 型
令 y x kQm ( x)ex
y p1( x) y p2 ( x) y f1( x) f2 ( x) 的特解.
定理5 若 y1( x), y2( x) 是方程(10)的两个解, 则 y1( x) y2( x) 是方程(9)的解.
例3 设 y1 x, y2 x 2 , y3 x3 是方程 y p1( x) y p2( x) y f ( x)
定理2 若 y1( x), y2( x)是方程(9)的两个线性无关
( y1 y2
常数) 的解,
则 C1 y1( x) C2 y2( x) 是 (9)的通解.
上述定理可推广到n阶线性齐次方程。
若已知方程 y p1( x) y p2( x) y 0 有一特解 y1( x), 要求其通解, 则只要再求出该方程的另一个与 y1( x) 线性无关的特解 y2 ( x) 即可. 用降阶法求 y2( x) :
第四节 高阶线性微分方程 二、线性齐次微分方程解的结构
二阶线性齐次微分方程：
y p1( x) y p2( x) y 0 ——（9） 定理1 若 y1( x), y2( x) 是方程(9)的两个解, 则
微分方程求解方法
微分方程求解方法微分方程是数学中的一个重要概念，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
微分方程求解是通过已知条件找到满足方程的未知函数的过程。
根据方程的类型和性质，有多种解法可供选择。
一、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程形式为dy/dx = f(x)g(y)，可以通过变量的分离和积分的方法进行求解。
具体步骤如下：1. 将方程变形为dy/g(y) = f(x)dx。
2. 对两边同时积分，得到∫(1/g(y))dy = ∫f(x)dx。
3.求出积分的表达式，然后求解原方程。
二、一阶线性微分方程一阶线性微分方程的一般形式为dy/dx + P(x)y = Q(x)，可通过线性变换和积分的方法进行求解。
具体步骤如下：1. 通过线性变换将方程变为dy/dx + yP(x) = Q(x)P(x)。
2. 确定积分因子μ(x) = e∫P(x)dx。
3. 将原方程两边同时乘以μ(x)，并进行化简得到d(yμ(x))/dx = Q(x)μ(x)。
4. 对等式两边同时积分得到∫d(yμ(x))/dx dx = ∫Q(x)μ(x)dx。
5.求出积分的表达式，然后求解原方程。
三、二阶线性齐次微分方程二阶线性齐次微分方程的一般形式为d²y/dx² + p(x)dy/dx + q(x)y = 0，可以通过特征根法求解。
具体步骤如下：1. 假设解的形式为y = e^(mx)。
2. 将形式代入原方程，得到特征方程m² + pm + q = 0。
3.求解特征方程得到特征根m₁和m₂。
4.根据特征根的情况，得到相应的通解。
四、二阶线性非齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程的一般形式为d²y/dx² + p(x)dy/dx +q(x)y = f(x)，可以通过常数变易法求解。
具体步骤如下：1.假设原方程的特解为y=u(x)，将其代入原方程，得到关于u和它的导数的代数方程。
2.根据原方程的非齐次项f(x)的形式，设定特解的形式。
n阶常系数非齐次线性微分方程特解的统一求法
n阶常系数非齐次线性微分方程特解的统一求法
非齐次线性微分方程指的是一类数学问题，其特征是一个常系数、高阶数函数来描述某些物理量及其之间间的变化规律。
对于这类物理问题，求解通常使用统一求法，也就是阶常系数非齐次线性微分方程特解的统一求法。
阶常系数非齐次线性微分方程特解的统一求法是一种微积分解决方案，需要利用数学工具，包括积分学的概念，基础的几何和代数的计算方法，常数及共轭量的对应，解析函数及其分部积分等，这些都是进行解决非齐次线性微分方程问题所必须具备的知识。
在求解特解时，主要是通过计算微分系数，解它们的积分表达式，再通过求和或者其他方法得出最终答案。
计算机科学的发展，给阶常系数非齐次线性微分方程特解的统一求法带来了更多便利。
如今，已经有很多种具有优良性能的软件在处理这类数学问题上发挥了关键作用。
这些软件不仅可以提升计算效率，而且有效解决了复杂问题，也使得研究及科学实验更为便捷。
总之，阶常系数非齐次线性微分方程特解的统一求法是解决物理问题所必备的基础方法。
在计算机的帮助下，已经可以解决大量的复杂问题，从而大大提高了研究实验的便捷性。
3.非齐次微分方程
有根
x ( d cos x k sin x )
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例7. 第六节例1 (P323)中, 若设物体只受弹性恢复力 f 和铅直干扰力 F h sin pt 的作用 , 求物体的运动规律. 解: 问题归结为求解无阻尼强迫振动方程
d x dt
2 2
k
2
x h sin p t
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Q ( x )
( p q ) Q ( x ) Pm ( x )
2
(2) 若 是特征方程的单根 , 即 为m 次多项式, 故特解形式为 (3) 若 是特征方程的重根 , 即
2 p 0 ,
则 Q ( x ) 是 m 次多项式, 故特解形式为 y * x Q m ( x ) e
于是求得一个特解
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例5. 解: 特征方程为 r 2 9 0 , 其根为
对应齐次方程的通解为
的通解.
为特征方程的单根 , 因此设非齐次方程特解为 代入方程:
6 b cos 3 x 6 a sin 3 x
比较系数, 得 因此特解为 y * x ( 5 cos 3 x 3 sin 3 x )
y* x
k
e
x
~ [ R m ( x ) cos x R m ( x ) sin x ]
3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.
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思考与练习
1 . (填空) 设
时可设特解为
y * x ( a x b ) cos x ( cx d ) sin x
Pm ( x ) e
( i ) x
第九节 常系数非齐次线性微分方程
第九节 常系数非齐次线性微分方程㈠本课的基本要求会求自由项为多项式，指数函数，正弦函数，余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数齐次线性微分方程的特解和通解㈡本课的重点、难点由自由项的特点去找特解的思想是本节的重点，难点是自由项为混合型时特解的求法 ㈢教学内容一．二阶常系数线性非齐次方程的解法)(x f qy y p y =+'+'' ⑶由定理3知线性非齐次方程的通解是对应的线性齐次方程的通解与其自身的一个特解之和。
而求二阶常系数线性齐次方程的通解前已解决，现在的关键在于求线性非齐次方程的一个特解，而特解显然与自由项)(x f 有关。
以下介绍当自由项)(x f 属于某些特殊类型函数时的情况。
1．自由项)(x f 为多项式)(x P e m x λ，其中λ是常数，)(x P m 是x 的一个m 次多项式： m m m m m a x a x a x a x P ++++=--1110)(可令⑶的特解x e x Q y λ)(*=，为此将*y 及x e x Q x Q y λλ)]()([*+'='，x e x Q x Q x Q y λλλ)]()(2)([*2+'+''=''代入方程⑶并消去x e λ，得)()()()()2()(2x P x Q q p x Q p x Q m =+++'++''λλλ ⑻由分析得x m k e x Q x y λ)(*=，其中)(x Q m 是与)(x P m 同次（m 次）的多项式，而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0，1或2。
上述结论可推广到n 阶常系数非齐次线性微分方程，但要注意特解中的k 是特征方程含根λ的重复次数（即若λ不是特征方程的根，k 取0；若λ是特征方程的s 重根，k 取s ）。
例1．求方程13452+=+'+''x y y y 的一个特解 327181543*2+-=x x y 例2．求)474322221x x ec c x y y x +-++-='+''-的通解（ 例3．求x xe y y y -=+'+''323的通解2．自由项]sin )(cos )([)(wx x P wx x P e x f n l x +λ为型利用欧拉公式，有 ]22[]sin )(cos )([)(i e e P e e P e wx x P wx x P e x f iwxiwx n iwx iwx l xn l x ---++=+=λλ x iw x iw x iw n l x iw n l e x P e x P e i P P e i P P )()()()()()(2222-+-++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=λλλλ其中i P P i P P x P i P P i P P x P n l n l n l n l 2222)(,2222)(+=-=-=+= 是互成共轭的m 次多项式（即它们对应项的系数是共轭复数），而},max{n l m =。
常系数非齐次高阶线性微分方程
整 个 链 条 滑 过 钉 子,即 x 8
2
代入上式得 t 3 ln(9 80) (秒)
g
9
2、 f (x) e x Pl (x) cos x P~n (x)sin x 型
分析思路: 第一步 将 f (x) 转化为
f (x) Pm (x) e(i) x Pm (x) e(i) x
解 设链条的线密度为,经过时间t, 链条下滑了x 米, 8m 10m
则由牛顿第二定律得
m d 2 x (10 x)g (8 x)g,
o
dt 2
即 x g x g , x(0) 0, x(0) 0.
x
99
解得 x(t)
1
(e
1 3
gt
1
e3
gt
) 1,
11
第二步 求如下两方程的特解
y py qy Pm (x) e(i) x
②
y p y q y Pm (x) e(i) x
③
设 i 是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 则 ② 有
特解:
y1 xkQm (x) e(i) x (Qm (x)为m次多项式)
6
例2.
的通解.
解: 本题 2, 特征方程为 r 2 5 r 6 0 , 其根为
对应齐次方程的通解为
设非齐次方程特解为 y* x (b0 x b1) e2 x
代入方程得 2b0 x b1 2b0 x
比较系数, 得
b0
1 2
,
b1
1
因此特解为
y*
形式e为xPym*(x)e xQm (x) . 3
常系数线性非齐次微分方程
2 是单根， 设 y* x(Ax B)e2x,
代入方程, 得 2Ax B 2A x
A
1 2
,
于是 y* x(1 x 1)e2x
B 1
原方程通解为
2
y C1e2x 2
.
例2 求通解 y 6 y 9 y 5xe3x
(1) f ( x) ex Pm ( x), (可以是复数）
y xkexQm ( x);
(2) f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn ( x)sinx],
y
x
k
e
x
[
R(1) m
(
x
)
cos
x
R(2) m
(
x
)
sin
x];
只含上式一项解法：作辅助方程,求特解, 取 特解的实部或虚部, 得原非齐方程特解.
二阶常系数非齐次线性微分方程
y py qy f ( x) 二阶常系数非齐次线性方程
对应齐次方程 y py qy 0,
通解结构 y Y y*,
常见类型 自由项为 Pm ( x), Pm ( x)ex , Pm ( x)ex cos x, Pm ( x)ex sin x,
1 x cos 2x 4 sin 2x (4 cos 2x 1 x sin 2x) j,
3
9
9
3
所求非齐方程特解为 y 1 x cos 2x 4 sin 2x,
3
9（取实部）
原方程通解为
y
C1
cos
x
C2
sin
常系数非齐次线性微分方程62981
2019/7/23
第七章 微分方程
19
1 a b 0 a0
比较系数得 2ac
b1
1 a b 0 c2
故原方程为 yy2ex
yexxex
对应齐次方程通解: YC1exC2ex
原方程通解为 yC1exC2ex
2019/7/23
第七章 微分方程
xex
18
作业 P347 1.(1) (3) (5) ； 2.(1) (2) (3).
3 b 0 x 3 b 1 2 b 0 3 x 1
比较系数, 得
于是所求特 解2b 3为0 b0 y3 *b 31 1 x1.
3
2019/7/23
第七章 微分方程
b0
1,
b1
1 3
5
例2 求 方 程 y 5 y 6 y x e 2 x 的通解.
ypyqyP m (x )e( i)x ③ 设 i是特征方程的k重根(k=0,1), 则 ② 有
特解:
y1 xkQ m (x)e(i)x(Qm(x)为m次多项) 式
故
( y 1 ) p ( y 1 ) q y 1 P m ( x ) e ( i )x
可 Q (x 设 ) xm ( Q x ),y*xeλxQm(x),
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第七章 微分方程
3
(3) 若是特征方程的重根，
λ2pλq0, 2λp0,
可 Q (x 设 ) x 2 Q m (x )y,*x2eλxQm(x),
综上讨论
0, 不是根 ,
y*xkeλxQm(x), k 1, 是单根 ,
利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 :
常系数线性微分方程的一般解法
初始条件法
根据微分方程和初始条件 ，确定通解中的任意常数 ，从而得到满足初始条件 的特解。
积分因式法
通过对方程进行适当的变 换，使其成为易于积分的 形式，然后求解通解。
05 微分方程的特解
特解的定义与性质
总结词
特解是满足微分方程的特定函数，具有 与原方程不同的形式。
VS
详细描述
特解是微分方程的一个解，它具有与原方 程不同的形式，但满足原方程的约束条件 。特解通常用于求解微分方程时，通过将 特解代入原方程来求解未知数。
二阶常系数线性微分方程
总结词
二阶常系数线性微分方程是形如 (y'' + p(t)y' + q(t)y = r(t)) 的方程，其中 (p(t))、(q(t)) 和 (r(t)) 是关于时间 (t) 的已知函数。
详细描述
二阶常系数线性微分方程的一般形式为 (y'' + p(t)y' + q(t)y = r(t))，其中 (p(t))、(q(t)) 和 (r(t)) 是关于时间 (t) 的已知函数。解这个方程可以得到 (y(t)) 的通解。
间的变化性微分方程在机械振动分析中有着广泛的应用，例如分 析弹簧振荡器、单摆等的振动规律。
电路分析
在电路分析中，微分方程被用来描述电流、电压随时间的变化规 律，以及电路元件的响应特性。
控制工程
在控制工程中，微分方程被用来描述系统的动态特性，以及系统 对输入信号的响应。
在经济中的应用
供需模型
微分方程可以用来描述商品价格 随时间的变化规律，以及供需关 系对价格的影响。
投资回报分析
在投资领域，微分方程可以用来 描述投资回报随时间的变化规律， 以及风险因素对投资回报的影响。
高阶常系数线性非齐次微分方程特解几种非常规解法
高阶常系数线性非齐次微分方程特解几种非常规解法
高阶常系数线性非齐次微分方程的解法比一般的非齐次微分方程复杂的多，而采用正规的分步法或积分复原法来求解，效率低下易出现错误，所以需要采用非常规的解法来加快求解的效率，提高解的准确性。
经过一系列的研究，目前已经形成了三种主要的非常规解法：
一是拉格朗日多元展开法。
该法是将微分方程展开成多元多项式求解，计算结果精确，但计算比较复杂，不适合大规模计算。
二是Kowalewsky-Trunov展开法。
该法是通过对称性质对“元胞”或者“子空间”进行展开，以求解非齐次线性微分方程，这一方法有很强的鲁棒性，同时可以有效避免数值计算错误。
三是Padé拆分法。
该法将线性常系数微分方程根据代数特性进行拆解和重新组合，从而达到快速精确求解的目的。
这三种非常规解法都具有自身独特的优点，以及不同的应用场景，有效的提高了求解高阶常系数线性非齐次微分方程的效率，也为科学研究提供了更好的解决方案。
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三阶常系数线性非齐次微分方程特解的两种解法
一种解法是求解特征方程，另一种解法是采用逐步求解法。
1、求解特征方程法：
设三阶常系数线性非齐次微分方程为：
y'''+a2y''+a1y'+a0y=f(x)
其中a2,a1,a0为常数，f(x)为右端函数。
（1）求解特征方程：
设特征根为λ1,λ2,λ3，则特征方程为：
λ3+a2λ2+a1λ+a0=0
求解特征方程，得到特征根：
λ1,λ2,λ3
（2）求解特解：
令特解为y=C1eλ1x+C2eλ2x+C3eλ3x
代入方程，得：
C1eλ1x+C2eλ2x+C3eλ3x+a2(C1eλ1x+C2eλ2x+C3eλ3x)+a1(C1eλ
1x+C2eλ2x+C3eλ3x)+a0(C1eλ1x+C2eλ2x+C3eλ3x)=f(x)
即：
(C1λ3+C2λ2+C3λ1)eλ1x+(C1λ3+C2λ2+C3λ1)eλ2x+(C1λ3+C2λ2 +C3λ1)eλ3x=f(x)
化简得：
C1λ3+C2λ2+C3λ1=f(x)
解得：
C1=f(x)λ3/(λ3-λ2)(λ3-λ1)
C2=f(x)λ2/(λ2-λ1)(λ2-λ3)
C3=f(x)λ1/(λ1-λ2)(λ1-λ3)
故特解为：
y=f(x)λ3/(λ3-λ2)(λ3-λ1)eλ1x+f(x)λ2/(λ2-λ1)(λ2-
λ3)eλ2x+f(x)λ1/(λ1-λ2)(λ1-λ3)eλ3x
2、逐步求解法：
设三阶常系数线性非齐次微分方程为：
y'''+a2y''+a1y'+a0y=f(x)
（1）求解一阶线性微分方程：
设y1(x)为一阶线性微分方程的解，则有：y1'+a2y1=0
解得：
y1=C1e-a2x
（2）求解二阶线性微分方程：
设y2(x)为二阶线性微分方程。