解析：2020年山东省高考数学试卷(新高考全国Ⅰ卷)(原卷版)
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2020年普通高等学校招生全国统一考试
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.
设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2
C.{x|1≤x<4}D.
{x|1
2i
12i
（）
A.1B.−1
C.iD.−i
3.
6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，
丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）
A.120种B.90
种
C.60种D.30
种
4.
日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成
一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点
A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°
，则
晷针与点A处的水平面所成角为（）
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A
.
20°B.40°
C.50°D.
90°
5.
某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生
喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）
A.62%B.56%
C.46%D.42%
6.
基本再生数R
0
与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，
世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：
(e)
rt
It
描述累
计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与
R
0，T近似满足R0
=1+rT.
有学者基于已有
数据估计出
R
0
=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)
（）
A.1.2天B.1.8
天
C.2.5天D.3.5
天
7.
已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则APAB的取值范用是（）
A.()2,6B.
(6,2)
C.(2,4)D.
(4,6)
8.
若定义在R的奇函数f(x)在(,0)单调递减，且f(2)=0，则满足(10)xfx的x的取值范围是（）
A.[)1,1][3,B.
3,1][,[01]
C.[1,0][1,)D.
[1,0][1,3]
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
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9.
已知曲线
22
:1Cmxny
.（）
A.
若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B.
若m=n>0，则C是圆，其半径为
n
C.
若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
m
yx
n
D.
若m=0，n>0，则C是两条直线
10.
下图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)=（）
A.
πsin(3x）B.πsin(2)3xC.πcos(26x）D.5π
cos(2)
6
x
11.
已知a>0，b>0，且a+b=1，则（）
A.
22
1
2
ab
B.
1
2
2
ab
C.22loglog2abD.
2ab
12.
信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,,n，且
1()0(1,2,,),1niiiPXipinp，定义X的信息熵21
()log
n
ii
i
HXpp
.（）
A.
若n=1，则H(X)=0
B.
若n=2，则H(X)随着
1
p
的增大而增大
C.
若1(1,2,,)ipinn，则H(X)随着n的增大而增大
D.
若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为1,2,,m，且21()(1,2,,)jmjPYjppjm，则H(X)≤H(Y)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.
斜率为3的直线过抛物线C：y
2
=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则AB=________．
14.
将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{a
n}，则{an
}的前n项和为________．
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15.
某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆
心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂
足为C，tan∠ODC=35，BHDG∥，EF=12cm，DE=2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半
径为1cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．
16.
已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以1D为球心，5为半径的球面与侧面BCC
1B1
的交线长为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.
在①3ac，②sin3cA，③3cb这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角
形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在ABC，它的内角,,ABC的对边分别为,,abc，且sin3sinAB=，6C，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18.
已知公比大于1的等比数列
{}
n
a
满足
243
20,8aaa
．
（1）求
{}
n
a
的通项公式；
（2）记mb为{}na在区间*(0,]()mmN中的项的个数，求数列
{}
m
b
的前100项和100S．
19.
为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的
PM2.5
和2SO浓度（单位：3μg/m），得下表：
2
SO
PM2.5
[0,50]
(50,150](150,475]
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[0,35]
32184
(35,75]
6812
(75,115]
3710
（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且
2
SO
浓度不超过150”的概率；
（2）根据所给数据，完成下面的22列联表：
2
SO
PM2.5
[0,150](150,475]
[0,75]
(75,115]
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与
2
SO
浓度有关？
附：22()()()()()nadbcKabcdacbd，
2
()PKk
0.0500.0100.001
k
3.8416.63510.828
20.
如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．
（1）证明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
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21.
已知函数1()elnlnxfxaxa．
（1）当ae时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．
22.
已知椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为22，且过点A（2，1）．
（1）求C的方程：
（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
专题11 计数原理【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(解析版)
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第14题
18．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第15题)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种．。(用数字填写答案)
【答案】16
解析：方法一：直接法，1女2男，有 ，2女1男，有
【题目栏目】计数原理\二项式定理\二项式定理
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第8题
5．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第4题) 的展开式中 的系数为()
A．12B．16C．20D．24
【答案】【答案】A
【解析】因为 ，所以 的系数为 ，故选A．
【点评】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数，是常规考法。
(2)求两个多项式的积的特定项,可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．
【题目栏目】计数原理\二项式定理\二项展开式通项公式的应用
【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第4题
9．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第6题)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()
2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编
专题11计数原理
一、选择题
1．(2020年新高考I卷(山东卷)·第3题)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同 安排方法共有()
A．120种B．90种
C．60种D．30种
【答案】C
现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法 种
精品解析：2023年高考全国乙卷数学(理)真题(原卷版)
2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）理科数学一、选择题1. 设，则（ ）A B. C. D. 2. 设集合，集合，，则（ ）A. B. C. D. 3. 如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（ ）A. 24B. 26C. 28D. 304. 已知是偶函数，则（ ）A. B. C. 1D. 25. 设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为A ，则直线OA 的倾斜角不大于的概率为（ ）A.B.C.D.6. 已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条对称轴，则（ ）.252i1i i z +=++z =12i-12i+2i-2i+U =R {}1M x x =<{}12N x x =-<<{}2x x ≥=()U M N ðU N M ð()U M N ðU M N⋃ðe ()e 1x ax x f x =-=a 2-1-(){}22,14x y xy ≤+≤π418161412()sin()f x x ωϕ=+π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭π6x =2π3x =()y f x =5π12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭A. B. C.D.7. 甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）A. 30种B. 60种C. 120种D. 240种8. 已知圆锥POO 为底面圆心，PA ，PB 为圆锥的母线，，若的面，则该圆锥的体积为（ ）A.B.C. D. 9.已知为等腰直角三角形，AB 为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线CD与平面ABC 所成角的正切值为（ ）A.B.C.D.10. 已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）A －1B. C. 0D.11. 设A ，B 为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点是（ ）A. B. C. D. 12. 已知的半径为1，直线PA 与相切于点A ，直线PB 与交于B ，C 两点，D 为BC 的中点，若的最大值为（ ）A.B.C. D. 二、填空题13. 已知点在抛物线C ：上，则A 到C 的准线的距离为______.14. 若x ，y 满足约束条件，则最大值为______.15. 已知为等比数列，，，则______..的的12-12120AOB ∠=︒PAB π3πABC ABD △C AB D --150︒1525{}n a 23π{}*cos N n S a n =∈{},S a b =ab =12-122219y x -=()1,1()1,2-()1,3()1,4--O O O PO =PA PD ⋅12(A 22y px =312937x y x y x y -≤-⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩2z x y =-{}n a 24536a a a a a =9108a a =-7a =16. 设，若函数在上单调递增，则a 的取值范围是______.三、解答题17. 某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，．试验结果如下：试验序号12345678910伸缩率545533551522575544541568596548伸缩率536527543530560533522550576536记，记的样本平均数为，样本方差为．（1）求，；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）18. 在中，已知，，.（1）求；（2）若D 为BC 上一点，且，求的面积.19. 如图，在三棱锥中，，，BP ，AP ，BC的中点分别为D ，E ，O ，，点F 在AC 上，.（1）证明：平面；（2）证明：平面平面BEF ；()0,1a ∈()()1xx f x a a =++()0,∞+i x ()1,2,,10i y i =⋅⋅⋅i i x iy ()1,2,,10i i i z x y i =-=⋅⋅⋅1210,,,z z z ⋅⋅⋅z 2s z 2s z ≥ABC 120BAC ∠=︒2AB =1AC =sin ABC ∠90BAD ∠=︒ADC △-P ABC AB BC ⊥2AB =BC =PB PC ==AD =BF AO ⊥//EF ADO ADO ⊥（3）求二面角的正弦值.20. 已知椭圆，点在上．（1）求的方程；（2）过点直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．21. 已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）是否存在a ，b ，使得曲线关于直线对称，若存在，求a ，b 的值，若不存在，说明理由.（3）若在存在极值，求a 的取值范围.四、选做题【选修4-4】（10分）22. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线：（为参数，）.（1）写出的直角坐标方程；（2）若直线既与没有公共点，也与没有公共点，求的取值范围.【选修4-5】（10分）23. 已知.（1）求不等式的解集；（2）在直角坐标系中，求不等式组所确定的平面区域的面积.的D AO C --2222:1(0)C b b x a a y +>>=()2,0A -C C ()2,3-C ,P Q ,AP AQ y ,M N MN 1()ln(1)f x a x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭1a =-()y f x =()()1,1f 1y f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭x b =()f x ()0,∞+xOy O x 1C ππ2sin 42⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭ρθθ2C 2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩α2απ<<π1C y x m =+1C 2C m ()22f x x x =+-()6f x x ≤-xOy ()60f x yx y ≤⎧⎨+-≤⎩三人行教育资源。
2022年数学高考(新高考Ⅰ卷)真题原卷及参考答案
D. 直线 BC1 与平面 ABCD 所成的角为 45
B. f (x) 有三个零点
D. 直线 y = 2x 是曲线 y = f (x) 的切线
11. 已知 O 为坐标原点，点 A(1,1) 在抛物线 C : x2 = 2 py( p 0) 上，过点 B(0, −1) 的直线
A. x 0 x 2
B.
x
1 3
x
2
C. x 3 x 16
D.
x
1 3
x
16
【答案】D
详解】 M = {x∣0 x 16}, N = {x∣x 1}，故 M 3
N
=
x
1 3
x
16 ，故选：D
【2. 若i(1− z) =1，则z+ z =（）
A. −2
B. −1
C. 1
1
A.
6
1
B.
3
C.
1 2
2 D.
3
【答案】D
【详解】从 2 至 8 的 7 个整数中随机取 2 个不同的数，共有 C72 = 21种不同的取法，
若两数不互质，不同的取法有： (2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8) ，共 7 种，
故所求概率 P = 21− 7 = 2 .故选：D. 21 3
D. 2
【答案】D
【详解】由题设有1− z
=1 i
=
i i2
=
−i
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，故 z
= 1+i
，故 z +
z
= (1+ i) + (1− i) =
2020年新高考(全国卷地区)数学考试试卷结构及题型变化
新高考（全国卷）地区数学试卷结构及题型变化新高考数学考试试卷及试卷结构说明：新高考数学试卷结构：第一大题，单项选择题，共8小题，每小题5分，共40分；第二大题，多项选择题，共4小题，每小题5分，部分选对得3分，有选错得0分，共20分.第三大题，填空题，共4小题，每小题5分，共20分。
第四大题，解答题，共6小题，均为必考题，涉及的内容是高中数学的六大主干知识：三角函数，数列，统计与概率，立体几何，函数与导数，解析几何。
单项选择题考点分析：多项选择题考点分析：①新高考全国Ⅰ卷与新高考全国Ⅱ卷相同新高考选择题部分分析：①新高考与之前相比，最大的不同就是增加了多项选择题部分，选择题部分由原来的12道单选题，变成了8道单选题与4道多选题。
这有利于缩小学生选择题部分成绩的差距，过去学生错一道单选题，可能就会丢掉5分，在新高考中，考生部分选对就可以得3分，在一定程度上保证了得分率。
②新高考的单项选择题部分主要考察学生的基础知识和基本运算能力，总体上难度不大，只要认真复习，一般都可以取得一个较好的成绩。
在多项选择题上，前两道较为基础，后两道难度较大，能够突出高考的选拔性功能，总体上来看，学生比以往来讲，更容易取得一个不错的成绩，但对于一些数学基础比较的好的同学来说，这些题比以往应该更有挑战性。
过去，只需要在四个选项中选一个正确答案，现在要在四个选项中，选出多个答案，比以往来说，要想准确的把正确答案全部选出来，确实有一定的难度、③新高考数学试卷的第4题，第6题和第12题都体现了创新性。
第4题，以古代知识为背景，考察同学们的立体几何知识，这体现了数学考试的价值观导向。
弘扬传统文化的同时也鼓励同学们走进传统文化。
近年来，对于这类题目也是屡见不鲜，平时也应该鼓励学生去关注一些古代的数学著作，如《九章算术》，《孙子算经》等等，通过对这些著作的了解，再遇到这类题目时，在一定程度上能够减少恐惧感与焦虑感。
第6题则体现了聚焦民生，关注社会热点。
高考数学复习热点02 数学传统文化和实际民生为载体的创新题(解析版)
热点02 数学传统文化和实际民生为载体的创新题【命题形式】1、考查题型主要是选择题和填空题，计算题和证明题比较少，涉及到的知识点主要集中在函数、数列、立体几何证明与计算、复数、组合、三角函数、概率、推理、圆锥曲线。
2、数学文化考查背景总结如下:①以数学名著为考查背景，以中国数学典籍史料中优秀成果为背景。
②以数学猜想和定理为命题背景。
③以数学名家的故事为命题背景，以数学家的故事，为考查背景，正是对创新精神数学精神的一种传承。
④以数学的应用为命题背景。
⑤历史名人。
⑥历史发展。
3、文化背景的考查在突出所要考查的数学知识的同时，培养学生的数学素养，不仅可以让学生理解数学文化形成数学素养，同时也让学生感受我们古代数学的伟大成就，增强爱国情怀，引导学生了解数学文化体现数学文化以数化人的本质内涵。
这是新高考考察的目的，从而这类问题也是新高考必考题型。
4、数学高考题渗透了大量的数学文化，尤其是渗透到中国古代独特的数学题目。
但这些题目考查的知识点有限，很多内容并未涉及到。
我们现在的社会在飞速发展，无论是科技还是人的思想都不断地变化。
为了让学生能够更好地适应未来社会的发展，我们的教育需要及时更新，不仅仅要反映在教材，考试也应该与时俱进，而不再是摸小球，投骰子，算水费这些老古董的模型背景，更应该与时俱进。
比如以科技为背景文化材料都可以作为激发学生学习兴趣的新材料。
像2020年12月2日嫦娥五号成功降落在月球上，它里面所涉及的轨道、运动都能成为很好的考查背景材料，而这些发射卫星的基地名称也可以作为命题背景的一大亮眼之处。
除次以外，同样可以结合其他学科知识和实际民生，比如新冠肺炎这些热点问题也可以成为出题的背景，进入数学高考题。
【满分技巧】1、多掌握数学文化知识通过对数学文化知识了解使学生对文化素养的提升，做题时能够做到有的放矢，减少对这类问题的恐惧心理。
2、注意数学文化的译文很多数学文化的题型都是选用的是中国传统数学文化，题目前面都是以文言文的形式出现，而后面都会对给出译文，译文才是本题的关键题意，所以这类题的关键地方是在译文上理解。
2021年高考真题数学【新高考全国Ⅰ卷】(山东卷)(含解析版)
2021年普通高等学校招生全国统一考试（新高考I 卷）数学一、单选题1.设集合{|24}A x x =-<<，{2,3,4,5}B =，则A B = （）A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4}答案：B 解析：{2,3}A B = ，选B.2.已知2z i =-，则()z z i +=（）A.62i -B.42i -C.62i +D.42i +答案：C 解析：2,()(2)(22)62z i z z i i i i =++=-+=+，选C.3.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A.2B. C.4D.答案：B解析：设母线长为l，则l l π=⇒=.4.下列区间中，函数()7sin()6f x x π=-单调递增的区间是（）A.(0,)2πB.(,)2ππC.3(,)2ππD.3(,2)2ππ答案：A 解析：()f x 单调递增区间为：222()22()26233k x k k Z k x k k Z πππππππππ-≤-≤+∈⇒-≤≤+∈，令0k =，故选A.5.已知1F ，2F 是椭圆22:194x y C +=的两个焦点，点M 在C 上，则12||||MF MF ⋅的最大值为（）A.13B.12C.9D.6答案：C 解析：由椭圆定义，12||||6MF MF +=，则21212||||||||(92MF MF MF MF +≤=，故选C.6.若tan 2θ=-，则sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+（）A.65-B.25-C.25D.65答案：C 解析：22sin (1sin 2)sin (sin cos 2sin cos )sin cos sin cos θθθθθθθθθθθ+++=++22222sin sin cos tan tan 2sin cos tan 15θθθθθθθθ++===++，故选C.7.若过点(,)a b 可以作曲线x y e =的两条切线，则（）A.b e a <B.a e b <C.0b a e <<D.0a b e <<答案：D 解析：设切点为00(,)P x y ，∵xy e =，∴xy e '=，则切线斜率0xk e =，切线方程为0()xy b e x a -=-，又∵00(,)P x y 在切线上以及xy e =上，则有000()x x eb e x a -=-，整理得00(1)0x ex a b --+=，令()(1)xg x e x a b =--+，则()()xg x e x a '=-，∴()g x 在(,)a -∞单调递减，在(,)a +∞单调递增，则()g x 在x a =时取到极小值即最小值()ag a b e =-，又由已知过(,)a b 可作xy e =的两条切线，等价于()(1)xg x e x a b =--+有两个不同的零点，则min ()()0ag x g a b e==-<，得a e b >，又当x →-∞时，(1)0xe x a --→，则(1)xe x a b b --+→，∴0b >，当1x a a =+>时，有(1)0g a b +=>，即()g x 有两个不同的零点.∴0ab e <<.8.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立答案：B 解析：由题意知，两点数和为8的所有可能为：(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，两点数和为7的所有可能为：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，∴1()6P =甲，11()166P =⨯=乙，5()36P =丙，61()=366P =丁，()0P =甲丙，1()36P =甲丁，1()36P =乙丙，()0P =丙丁，故()()()P P P =⋅甲丁甲丁，B 正确，故选B.二、多选题9.有一组样本数据12,,,n x x x ，由这组数据得到新样本数据12,,,n y y y ，其中1(1,2,)i y x c i n =+= ，c 为非零常数，则（）A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样本数据的样本极差相同答案：C、D 解析：对于A 选项：121n x x x x n +++= ，1212n ny y y x x x y c n n++++++==+ ，∴x y ≠，∴A 错误；对于B 选项：可假设数据样本12,,,n x x x 中位数为m ，由i i y x c =+可知数据样本12,,,n y y y 的中位数为m c +，∴B 错误；对于C选项：1S =2S =1S ==，∴C 正确；对于D 选项：∵i i y x c=+，∴两组样本数据极差相同，∴D 正确。
2020年全国新高考II卷数学试题真题及答案(完整版)
在① ac 3 ，② c sin A 3 ，③ c 3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中 三角
形存在，求 c 值；若问题中 三角形不存在，说明理由．
问题:是否存在 △ABC ，它 内角 A, B,C
对边分别为 a,b, c ，且 sin A
3
sin
B
，
C
6
，________?
（ 2）若 f（ x）≥1，求 a 取值范围．
6 6
加油！你一定行！
真题在手 何必模拟
认真刷题 必过 加油
全卷完
1.考试顺利祝福语经典句子
1、相信自己吧！坚持就是胜利！祝考试顺利，榜上有名！ 2、愿全国所有的考生都能以平常的心态参加考试，发挥自己的水平，考上理 想的学校。我真心地祝福你们。 3、试纸浸墨香，金笔下千言。思虑心平定，谨慎落笔闲。且喜平常度，切忌 神慌乱。畅游题海后，金榜题君名。考试在即，祝你成功。 4、亲爱的同学，期末考试来了，愿你们考出好成绩，考到自己理想的成绩。 5、努力吧！不管结果怎样，经历过，总会有结果的！期中考试的朋友们，为 你们祝福，也为自己祈祷！愿梦开始的地方，也是梦想实现的地方！嗯嗯，加油， 嗯，加油！ 6、相信你们一定会有很多想说却未言的话，总之走过了，哭过了，笑过了， 就不会有遗憾！带上我们的祝福去打造另外一片属于自己的天空吧！ 7、祝愿天下所有考生开心度过期中考试。祝福你们旗开得胜，取得美好佳 绩。平心对待，你们是最棒的！仁慈的上帝会祝福你们的，相信自己，一定能行！ 8、眼看考试就要来了，向前看，相信自己，我会在远方为你送去最真挚的祝 福，付出就会有收获的！ 9、又是一年年终了，期末考试转眼到。寒窗苦读为前途，望子成龙父母情。 我发短信传祝福：放下包袱开动脑筋，勤于思考好好复习，祝你取得好成绩！ 10、信心来自于实力，实力来自于勤奋。我看到了你的努力，相信你一定能在 考试中取得好成绩！
高考数学真题2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题 原卷版
2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣，则A B = （）A ．{1,0}-B ．{2,3}C ．{3,1,0}--D ．{1,0,2}-2．若1i 1zz =+-，则z =（）A ．1i --B ．1i -+C ．1i-D ．1i+3．已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥-，则x =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．24．已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==，则cos()αβ-=（）A ．3m-B ．3m -C ．3m D ．3m5．已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，3则圆锥的体积为（）A ．3πB ．33πC ．3πD ．93π6．已知函数为22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩，在R 上单调递增，则a 取值的范围是（）A ．(,0]-∞B ．[1,0]-C ．[1,1]-D ．[0,)+∞7．当[0,2]x πÎ时，曲线sin y x =与2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点个数为（）A ．3B ．4C ．6D ．88．已知函数为()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（）A ．(10)100f >B ．(20)1000f >C ．(10)1000f <D ．(20)10000f <二、多选题9．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2N x s ，则（）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ，()0.8413P Z u σ<+≈）A ．(2)0.2P X >>B ．(2)0.5P X ><C ．(2)0.5P Y >>D ．(2)0.8P Y ><10．设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（）A ．3x =是()f x 的极小值点B ．当01x <<时，()2()f x f x <C ．当12x <<时，4(21)0f x -<-<D ．当10x -<<时，(2)()f x f x ->11．造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（）A ．2a =-B．点在C 上C ．C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D ．当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+三、填空题12．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为．13．若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a .14．甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为.四、解答题15．记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B =，222a b c +-=(1)求B ；(2)若ABC 的面积为3c ．16．已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．17．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA AC ==，1,BC AB =．(1)若AD PB ⊥，证明：//AD 平面PBC ；(2)若AD DC ⊥，且二面角A CP D --的正弦值为7，求AD ．18．已知函数3()ln(1)2xf x ax b x x=++--(1)若0b =，且()0f x '≥，求a 的最小值；(2)证明：曲线()y f x =是中心对称图形；(3)若()2f x >-当且仅当12x <<，求b 的取值范围．19．设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．(1)写出所有的(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列；(2)当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；(3)从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >．。
2021年高考数学试卷(新高考Ⅰ卷)(解析卷)
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型(A )填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B =I （ ）A. {}2 B. {}2,3 C. {}3,4 D. {}2,3,4【答案】B 【解析】【分析】利用交集的定义可求A B I .【详解】由题设有{}2,3A B Ç=，故选：B .2. 已知2i z =-，则()i z z +=（ ）A. 62i - B. 42i- C. 62i+ D. 42i+【答案】C 【解析】【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】因为2z i =-，故2z i =+，故()()()22262z z i i i i+=-+=+3. ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）A. 2B.C. 4D. 【答案】B 【解析】【分析】设圆锥的母线长为l ，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得l 的值，即为所求.【详解】设圆锥的母线长为l ，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则2l p p =l =.故选：B.4. 下列区间中，函数()7sin 6f x x p æö=-ç÷èø单调递增的区间是（ ）A. 0,2p æöç÷èøB. ,2ππæöç÷èøC. 3,2p p æöç÷èøD. 3,22p p æöç÷èø【答案】A 【解析】【分析】解不等式()22262k x k k Z pppp p -<-<+Î，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数sin y x =的单调递增区间为()22,22k k k Z pp p p æö-+Îç÷èø，对于函数()7sin 6f x x p æö=-ç÷èø，由()22262k x k k Z p p p p p -<-<+Î，解得()22233k x k k Z ppp p -<<+Î，取0k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为2,33p pæö-ç÷èø，则20,,233p p pæöæöÍ-ç÷ç÷èøèø，2,,233p p p p æöæöË-ç÷ç÷èøèø，A 选项满足条件，B 不满足条件；取1k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为58,33p p æöç÷èø，32,,233pp p p æöæöË-ç÷ç÷èøèø且358,,233p p p p æöæöËç÷ç÷èøèø，358,2,233p p p p æöæöËç÷ç÷èøèø，CD 选项均不满足条件.【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+的单调区间，只需把x w j +看作一个整体代入sin y x =的相应单调区间内即可，注意要先把w 化为正数．5. 已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ×的最大值为（ ）A. 13 B. 12C. 9D. 6【答案】C 【解析】【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF æ+ö×≤ç÷èø即可得到答案．【详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF æ+ö×≤=ç÷èø（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）．故选：C ．【点睛】本题关键在于正确理解能够想到求最值的方法，即通过基本不等式放缩得到．6. 若tan 2q =-，则()sin 1sin 2sin cos q q q q+=+（ ）A. 65-B. 25-C.25D.65【答案】C 【解析】【分析】将式子进行齐次化处理，代入tan 2q =-即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：()()()22sin sin cos 2sin cos sin 1sin 2sin sin cos sin cos sin cos q q q q q q q q q q q q q q+++==+++()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145q q q q q q q q ++-====+++．【点睛】易错点睛：本题如果利用tan 2q =-，求出sin ,cos q q 的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．7. 若过点(),a b 可以作曲线e xy =的两条切线，则（ ）A. e b a <B. e a b <C. 0e b a <<D. 0e ab <<【答案】D 【解析】【分析】根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果【详解】在曲线xy e =上任取一点(),tP t e，对函数xy e=求导得e x y ¢=，所以，曲线xy e =在点P 处的切线方程为()t ty e ex t -=-，即()1t t y e x t e =+-，由题意可知，点(),a b 在直线()1tty e x t e =+-上，可得()()11tttb ae t e a t e =+-=+-，令()()1tf t a t e =+-，则()()tf t a t e ¢=-.当t a <时，()0f t ¢>，此时函数()f t 单调递增，当t a >时，()0f t ¢<，此时函数()f t 单调递减，所以，()()max af t f a e ==，由题意可知，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点，则()max ab f t e <=，当1t a <+时，()0f t >，当1t a >+时，()0f t <，作出函数()f t 的图象如下图所示：由图可知，当0a b e <<时，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点.故选：D.【点睛】数形结合是解决数学问题常用且有效的方法8.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立【答案】B 【解析】【分析】根据独立事件概率关系逐一判断【详解】11561()()()()6636366P P P P =====甲，乙，丙，丁， ，1()0()()()()()36P P P P P P =¹==甲丙甲丙，甲丁甲丁，1()()()()0()()36P P P P P P =¹=¹乙丙乙丙，丙丁丁丙，故选：B【点睛】判断事件,A B 是否独立，先计算对应概率，再判断()()()P A P B P AB =是否成立二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 有一组样本数据1x ，2x ，…，n x ，由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，…，n y ，其中i i y x c =+(1,2,,),i n c =×××为非零常数，则（ ）A. 两组样本数据的样本平均数相同B. 两组样本数据的样本中位数相同C. 两组样本数据的样本标准差相同D. 两组样数据的样本极差相同【答案】CD 【解析】【分析】A 、C 利用两组数据的线性关系有()()E y E x c =+、()()D y D x =，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B 、D 的正误.【详解】A ：()()()E y E x c E x c =+=+且0c ¹，故平均数不相同，错误；B ：若第一组中位数为i x ，则第二组的中位数为i i y x c =+，显然不相同，错误；C ：()()()()D y D x D c D x =+=，故方差相同，正确；D ：由极差的定义知：若第一组的极差为max min x x -，则第二组的极差为max min max min max min ()()y y x c x c x x -=+-+=-，故极差相同，正确；故选：CD10. 已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P a a ，()2cos ,sin P b b -，()()()3cos ,sin P a b a b ++，()1,0A ，则（ ）A 12OP OP =uuu r uuur B. 12AP AP =uuu r uuurC. 312OA OP OP OP ×=×uuu r uuu r uuu r uuur D. 123OA OP OP OP ×=×uuu r uuu r uuur uuur 【答案】AC 【解析】.【分析】A 、B 写出1OP uuu r ，2OP uuur 、1AP u u ur ，2AP u u u r 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C 、D 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A ：1(cos ,sin )OP a a =uuu r ，2(cos ,sin )OP b b =-uuur ，所以1||1OP ==uuu r ，2||1OP ==uuur ，故12||||OP OP =uuu r uuur ，正确；B ：1(cos 1,sin )AP a a =-uuu ，2(cos 1,sin )AP b b =--，所以1||2|sin |2AP a =====uuu r，同理2||2|sin |2AP b ==uuur ，故12||,||AP AP uuu r uuur 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP a b a b a b ×=´++´+=+uuu r uuur ，12cos cos sin (sin )cos()OP OP a b a b a b ×=×+×-=+uuu r uuur ，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP a a a ×=´+´=uuu r uuu r ，23cos cos()(sin )sin()OP OP b a b b a b ×=´++-´+uuur uuur22cos cos sin sin cos sin sin cos cos sin a b a b b a b b a b=---cos cos 2sin sin 2cos(2)a b a b a b =-=+，错误；故选：AC11. 已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（ ）A. 点P 到直线AB 的距离小于10B. 点P 到直线AB 的距离大于2C. 当PBA Ð最小时，PB =D. 当PBA Ð最大时，PB =【答案】ACD 【解析】【分析】计算出圆心到直线AB 的距离，可得出点P 到直线AB 的距离的取值范围，可判断AB 选项的正误；分析可知，当PBA Ð最大或最小时，PB 与圆M 相切，利用勾股定理可判断CD 选项的正误.【详解】圆()()225516x y -+-=的圆心为()5,5M ，半径为4，直线AB 的方程为142x y+=，即240x y +-=，圆心M 到直线AB4=>，所以，点P 到直线AB42-<410+<，A 选项正确，B 选项错误；如下图所示：当PBA Ð最大或最小时，PB 与圆M 相切，连接MP 、BM ，可知PM PB ^，BM ==，4MP =，由勾股定理可得BP =CD 选项正确.故选：ACD.【点睛】结论点睛：若直线l 与半径为r 圆C 相离，圆心C 到直线l 的距离为d ，则圆C 上一点P 到直线l 的距离的取值范围是[],d r d r -+.12. 在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB l m =+uuu r uuu r uuur，其中[]0,1l Î，[]0,1m Î，则（ ）A. 当1l =时，1AB P △的周长为定值B. 当1m =时，三棱锥1P A BC -的体积为定值C. 当12l =时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ^D. 当12m =时，有且仅有一个点P ，使得1AB ^平面1AB P 【答案】BD的【解析】【分析】对于A ，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；对于B ，将P 点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；对于C ，考虑借助向量平移将P 点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P 点的个数；对于D ，考虑借助向量的平移将P 点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P 点的个数．【详解】易知，点P 在矩形11BCC B 内部（含边界）．对于A ，当1l =时，11=BP BC BB BC CC m m =++uuu r uuu r uuur uuu r uuuu r，即此时P Î线段1CC ，1AB P △周长不是定值，故A错误；对于B ，当1m =时，1111=BP BC BB BB B C l l =++uuu r uuu r uuur uuur uuuu r，故此时P 点轨迹为线段11B C ，而11//B C BC ，11//B C 平面1A BC ，则有P 到平面1A BC 的距离为定值，所以其体积为定值，故B 正确．对于C ，当12l =时，112BP BC BB m =+uuu r uuur uuur ，取BC ，11B C 中点分别为Q ，H ，则BP BQ QH m =+uuu r uuu r uuur ，所以P 点轨迹为线段QH，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，1A ö÷÷ø，()0,0P m ,，10,,02B æöç÷èø，则11A P m æö=-ç÷ç÷èøuuur ，10,,2BP m æö=-ç÷èøuuu r ，()10m m -=，所以0m =或1m =．故,H Q 均满足，故C 错误；对于D ，当12m =时，112BP BC BB l =+uuu r uuu r uuur ，取1BB ，1CC 中点为,M N ．BP BM MN l =+uuu r uuuu r uuuu r ，所以P 点的轨迹为线段MN ．设010,,2P y æöç÷èø，因为0,0A ö÷÷ø，所以01,2AP y æö=ç÷ç÷èøuuu r，11,12A B æö=-ç÷ç÷èøuuur ，所以00311104222y y +-=⇒=-，此时P 与N 重合，故D 正确．故选：BD ．【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内．三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数()()322xx x a f x -=×-是偶函数，则a =______.【答案】1【解析】【分析】利用偶函数的定义可求参数a 的值.【详解】因为()()322xx xa f x -=×-，故()()322x x f x x a --=-×-，因为()f x 为偶函数，故()()f x f x -=，时()()332222xx x x xa x a --×-=-×-，整理得到()()12+2=0x x a --，故1a =，故答案为：114.已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ^，若6FQ =，则C 的准线方程为______.【答案】32x =-【解析】【分析】先用坐标表示P Q ，，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p ，即得结果.【详解】不妨设(,)(6,0),(6,)22p pP p Q PQ p \+=-u u u r 因为PQ OP ^，所以260032p p p p ´-=>\=\Q C 的准线方程为32x =-故答案为：32x =-【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.15. 函数()212ln f x x x =--的最小值为______.【答案】1【解析】【分析】由解析式知()f x 定义域为(0,)+¥，讨论102x <≤、112x <≤、1x >，并结合导数研究的单调性，即可求()f x 最小值.【详解】由题设知：()|21|2ln f x x x =--定义域为(0,)+¥，∴当102x <≤时，()122ln f x x x =--，此时()f x 单调递减；当112x <≤时，()212ln f x x x =--，有2()20f x x¢=-≤，此时()f x 单调递减；当1x >时，()212ln f x x x =--，有2()20f x x¢=->，此时()f x 单调递增；又()f x 在各分段的界点处连续，∴综上有：01x <≤时，()f x 单调递减，1x >时，()f x 单调递增；∴()(1)1f x f ≥=故答案为：1.16. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm 12dm ´的长方形纸，对折1次共可以得到10dm 12dm ´，20dm 6dm ´两种规格的图形，它们的面积之和21240dm S =，对折2次共可以得到5dm 12dm ´，10dm 6dm ´，20dm 3dm ´三种规格的图形，它们的面积之和22180dm S =，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折n 次，那么1nkk S==å______2dm .【答案】 (1). 5 (2). ()41537202n n -+-【解析】【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得n S ，再根据错位相减法得结果.【详解】（1）对折4次可得到如下规格：5124dm dm ´，562dm dm ´，53dm dm ´，3102dm dm ´，3204dm dm ´，共5种；（2）由题意可得12120S =´，2360S =´，3430S =´，4515S =´，L ，()112012n n n S -+=，设()012112011202120312042222n n S -+´´´=++++L ，则()121120111202120312022222n nn n S -+´´=++++L ，两式作差得()()12116011201120111112240120240122222212n n n nn n S --æö-ç÷++æöèø=++++-=+-ç÷èø-L ()()112011203120360360222n n nn n -++=--=-，因此，()()4240315372072022n n n n S -++=-=-.故答案为：5；()41537202n n -+-.【点睛】方法点睛：数列求和常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +ìüíýîþ结构，其中{}na 是等差数列，公差为()0d d ¹，则111111n n n n a a d a a ++æö=-ç÷èø，利用裂项相消法求和.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n n a n a a n ++ì=í+î为奇数为偶数（1）记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式；（2）求{}n a 的前20项和.【答案】（1）122,5b b ==；（2）300.的【解析】【分析】（1）根据题设中的递推关系可得13n n b b +=+，从而可求{}n b 的通项.（2）根据题设中的递推关系可得{}n a 的前20项和为20S 可化为()2012910210S b b b b =++++-L ，利用（1）的结果可求20S .【详解】（1）由题设可得121243212,1215b a a b a a a ==+===+=++=又22211k k a a ++=+，2122k k a a +=+，故2223k k a a +=+即13n n b b +=+即13n n b b +-=所以{}n b 为等差数列，故()21331n b n n =+-´=-.（2）设{}n a 的前20项和为20S ，则2012320S a a a a =++++L ，因为123419201,1,,1a a a a a a =-=-=-L ，所以()20241820210S a a a a =++++-L ()1291091021021023103002b b b b ´æö=++++-=´´+´-=ç÷èøL .【点睛】方法点睛：对于数列的交叉递推关系，我们一般利用已知的关系得到奇数项的递推关系或偶数项的递推关系，再结合已知数列的通项公式、求和公式等来求解问题.18.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分：B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A 类问题，记X 为小明的累计得分，求X 的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）B 类．【解析】【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分X 的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，找出先回答B 类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可．【详解】（1）由题可知，X 的所有可能取值为0，20，100．()010.80.2P X ==-=；()()200.810.60.32P X ==-=；()1000.80.60.48P X ==´=．所以X 的分布列为X20100P0.20.320.48（2）由（1）知，()00.2200.321000.4854.4E X =´+´+´=．若小明先回答B 问题，记Y 为小明的累计得分，则Y 的所有可能取值为0，80，100．()010.60.4P Y ==-=；()()800.610.80.12P Y ==-=；()1000.80.60.48P X ==´=．所以()00.4800.121000.4857.6E Y =´+´+´=．因为54.457.6<，所以小明应选择先回答B 类问题．19. 记ABC V 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C Ð=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABCÐ【答案】（1）证明见解析；（2）7cos 12ABC Ð=.【解析】【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有acBD b=，结合已知即可证结论.（2）由题设2,,33b bBD b AD DC ===，应用余弦定理求cos ADB Ð、cos CDB Ð，又ADB CDB p Ð=-Ð，可得42221123b b a a +=，结合已知及余弦定理即可求cos ABC Ð..【详解】（1）由题设，sin sin a C BD ABC =Ð，由正弦定理知：sin sin c b C ABC =Ð，即sin sin C cABC b=Ð，∴acBD b=，又2b ac =，∴BD b =，得证.（2）由题意知：2,,33b b BD b AD DC ===，∴22222241399cos 24233b b bc c ADB b b b +--Ð==×，同理2222221099cos 2233b b b a a CDB b b b +--Ð==×，∵ADB CDB p Ð=-Ð，∴2222221310994233b bc a b b --=，整理得2221123b a c +=，又2b ac =，∴42221123b b a a +=，整理得422461130a a b b -+=，解得2213a b =或2232a b =，由余弦定理知：222224cos 232a c b a ABC ac b+-Ð==-，当2213a b =时，7cos 16ABC Ð=>不合题意；当2232a b =时，7cos 12ABC Ð=；综上，7cos 12ABC Ð=.【点睛】关键点点睛：第二问，根据余弦定理及ADB CDB p Ð=-Ð得到,,a b c 的数量关系，结合已知条件及余弦定理求cos ABC Ð.20. 如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ^平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点.（1）证明：OA CD ^；（2）若OCD V 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45°，求三棱锥A BCD -的体积.【答案】(1)详见解析【解析】【分析】（1）根据面面垂直性质定理得AO ⊥平面BCD ，即可证得结果；（2）先作出二面角平面角，再求得高，最后根据体积公式得结果.【详解】（1）因为AB=AD,O 为BD 中点，所以AO ⊥BD因为平面ABD I 平面BCD =BD ,平面ABD ⊥平面BCD ，AO Ì平面ABD ，因此AO ⊥平面BCD ，因为CD Ì平面BCD ，所以AO ⊥CD (2)作EF ⊥BD 于F, 作FM ⊥BC 于M,连FM 因为AO ⊥平面BCD ，所以AO ⊥BD, AO ⊥CD所以EF ⊥BD, EF ⊥CD, BD CD D Ç=,因此EF ⊥平面BCD ，即EF ⊥BC 因为FM ⊥BC ，FM EF F =I ,所以BC ⊥平面EFM ，即BC ⊥MF 则EMF Ð为二面角E-BC-D 的平面角, 4EMF pÐ=因为BO OD =,OCD V 为正三角形,所以OCD V 为直角三角形因为2BE ED =,1112(1)2233FM BF \==+=从而EF=FM=213AO \=AO ^Q 平面BCD,所以11111332BCD V AO S D =×=´´´=【点睛】二面角的求法：一是定义法，二是三垂线定理法，三是垂面法，四是投影法.21. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F 、)21217,02F MF MF -=，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ×=×，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.【答案】（1）()221116y x x -=≥；（2）0.【解析】【分析】（1）利用双曲线的定义可知轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点双曲线的右支，求出a 、b 的值，即可得出轨迹C 的方程；（2）设点1,2T t æöç÷èø，设直线AB 的方程为112y t k x æö-=-ç÷èø，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立直线AB与曲线C 的方程，列出韦达定理，求出TA TB ×的表达式，设直线PQ 的斜率为2k ，同理可得出TP TQ ×的表达式，由TA TB TP TQ ×=×化简可得12k k +的值.【详解】因为12122MF MF F F -=<=所以，轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C 的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则22a =，可得1a =，4b ==，所以，轨迹C 的方程为()221116y x x -=≥；（2）设点1,2T t æöç÷èø，若过点T 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C 无公共点，不妨直线AB 的方程为112y t k x æö-=-ç÷èø，即1112y k x t k =+-，联立1122121616y k x t k x y ì=+-ïíï-=î，消去y 并整理可得()()222111111621602k x k t k x t k æö-+-+-+=ç÷èø，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则112x >且212x >.由韦达定理可得2111221216k k t x x k -+=-，211221116216t k x x k æö-+ç÷èø=-，所以，()()()()22122121121122112111*********t k x x TA TB k x x k x x k +++æö×=+×-×-=+×-+=ç÷-èø，设直线PQ 的斜率为2k ，同理可得()()2222212116t k TP TQ k ++×=-，因为TA TB TP TQ ×=×，即()()()()22221222121211211616tk t k k k ++++=--，整理可得2212k k =，即()()12120k k k k -+=，显然120k k -¹，故120k k +=.因此，直线AB 与直线PQ 的斜率之和为0.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22. 已知函数()()1ln f x x x =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<.【答案】（1）()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+¥；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，判断其符号可得函数的单调区间；（2）设1211,x x a b==，原不等式等价于122x x e <+<，前者可构建新函数，利用极值点偏移可证，后者可设21x tx =，从而把12x x e +<转化为()()1ln 1ln 0t t t t -+-<在()1,+¥上的恒成立问题，利用导数可证明该结论成立.【详解】（1）函数的定义域为()0,¥+，又()1ln 1ln f x x x ¢=--=-，当()0,1x Î时，()0f x ¢>，当()1,+x Î¥时，()0f x ¢<，故()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+¥.（2）因为ln ln b a a b a b -=-，故()()ln 1ln +1b a a b +=，即ln 1ln +1a b a b+=，故11f f a b æöæö=ç÷ç÷èøèø，设1211,x x a b==，由（1）可知不妨设1201,1x x <<>.因为()0,1x Î时，()()1ln 0f x x x =->，(),x e Î+¥时，()()1ln 0f x x x =-<，故21x e <<.先证：122x x +>，若22x ≥，122x x +>必成立.若22x <， 要证：122x x +>，即证122x x >-，而2021x <-<，故即证()()122f x f x >-，即证：()()222f x f x >-，其中212x <<.设()()()2,12g x f x f x x =--<<，则()()()()2ln ln 2g x f x f x x x ¢¢¢=+-=---()ln 2x x =--éùëû，因为12x <<，故()021x x <-<，故()ln 20x x -->，所以()0g x ¢>，故()g x 在()1,2为增函数，所以()()10g x g >=，故()()2f x f x >-，即()()222f x f x >-成立，所以122x x +>成立，综上，122x x +>成立.设21x tx =，则1t >，结合ln 1ln +1a b a b+=，1211,x x a b ==可得：()()11221ln 1ln x x x x -=-，即：()111ln 1ln ln x t t x -=--，故11ln ln 1t t tx t --=-，要证：12x x e +<，即证()11t x e +<，即证()1ln 1ln 1t x ++<，即证：()1ln ln 111t t tt t --++<-，即证：()()1ln 1ln 0t t t t -+-<，令()()()1ln 1ln ,1S t t t t t t =-+->，则()()112ln 11ln ln 111t S t t t t t t -æö¢=++--=+-ç÷++èø，先证明一个不等式：()ln 1x x ≤+.设()()ln 1u x x x =+-，则()1111xu x x x -¢=-=++，当10x -<<时，()0u x ¢>；当0x >时，()0u x ¢<，故()u x 在()1,0-上为增函数，在()0,+¥上为减函数，故()()max 00u x u ==，故()ln 1x x ≤+成立由上述不等式可得当1t >时，112ln 11t t t æö+≤<ç÷+èø，故()0S t ¢<恒成立，故()S t 在()1,+¥上为减函数，故()()10S t S <=，故()()1ln 1ln 0t t t t -+-<成立，即12x x e +<成立.综上所述，112e a b<+<.【点睛】方法点睛：极值点偏移问题，一般利用通过原函数的单调性，把与自变量有关的不等式问题转化与原函数的函数值有关的不等式问题，也可以引入第三个变量，把不等式的问题转化为与新引入变量有关的不等式问题.。
专题13 结构不良题(三角函数与解三角形)(原卷版)
专题13 结构不良题（三角函数与解三角形）结构不良题型是新课改地区新增加的题型，所谓结构不良题型就是给出一些条件，另外的条件题目中给出三个，学生可以从中选择1个或者2个作为条件，进行解题。
一、题型选讲题型一 、研究三角形是否存在的问题例1、【2020年新高考全国Ⅰ卷】在①ac =sin 3c A =，③c =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC △，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin A B =，6C π=，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．例2、（2021年徐州联考）在①cos cos 2c B b C +=，②πcos()cos 2b C c B -=，③sin cos B B +条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求ABC △的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC △，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且π6A =，______________，4b =？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．题型二、运用正余弦定理研究边、角及面积例3、【2020年高考北京】在ABC 中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积． 条件①：17,cos 7c A ==-； 条件②：19cos ,cos 816A B ==． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．例4、（2020届山东省日照市高三上期末联考）在①ABC ∆面积2ABC S ∆=，②6ADC π∠=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AC .如图，在平面四边形ABCD 中，34ABC π∠=，BAC DAC ∠=∠，______，24CD AB ==，求AC .例5、（湖北黄冈高三联考）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答. 已知的内角，，所对的边分别是，，，若______.（1）求角；b a =2sin tan b A a B =()()sin sin sin ac A c A B b B -++=ABC A B C a b c B（2）若，求周长的最小值，并求出此时的面积.例6、（2021年南京金陵中学联考）现给出两个条件：①2c －3b ＝2a cos B ，②(2b －3c )cos A ＝3a cos C ，从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，________．(1)求A ；(2)若a ＝3－1，求△ABC 周长的最大值．例7、（2020·全国高三专题练习（文））在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C的对边，且满()(sin sin )sin )b a B A c B C -+=-.（1）求A 的大小；（2）再在①2a =，②4B π=，③=c 这三个条件中，选出两个使ABC 唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题.若________，________，求ABC 的面积.题型三、考查三角函数的图像与性质4a c +=ABCABC例8、（2020届山东省泰安市高三上期末）在①函数()()1sin 20,22f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象向右平移12π个单位长度得到()g x 的图象，()g x 图象关于原点对称；②向量()3sin ,cos 2m x x ωω=，()11cos ,,0,24n x f x m n ωω⎛⎫=>=⋅ ⎪⎝⎭；③函数()1cos sin 64f x x x πωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()0ω>这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知_________，函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π．（1）若02πθ<<，且sin 2θ=，求()f θ的值； （2）求函数()f x 在[]0,2π上的单调递减区间．二、达标训练1、（2021年江苏连云港联考）已知有条件①(2)cos cos b c A a C -=, 条件②45cos 2cos 2=+⎪⎭⎫⎝⎛+A A π; 请在上述两个条件中任选一个，补充在下面题目中，然后解答补充完整的题目．在锐角△ABC 中，内角 A , B , C 所对的边分别为a , b,c , a =7, b +c =5,且满足．(1) 求角A 的大小；(2) 求△ABC 的面积．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）2、（2021年泰州高三期中）在①a=√2,②S=C 2 cosB ， ③C=π3这三个条件中任选-一个，补充在下面问题中，并对其进行求解.问题:在∆A BC 中，内角A, B,C 的对边分别为a,b,c,面积为S ，√3bcosA=acosC+ccosA ，b=1,____________，求 c 的值.注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。